У дома
Пречистване и филтриране на водата
Лаборатория за космически изследвания. Какво представляват фракталите

Лаборатория за космически изследвания. Какво представляват фракталите

Открих този фрактал, когато гледах интерференцията на вълните на повърхността на река. Вълната се движи към брега, отразява се и се наслагва върху себе си. Има ли ред в моделите, които вълните създават? Нека се опитаме да го намерим. Не разглеждайте цялата вълна, а само вектора на нейното движение. Ще направим „бреговете“ гладки, за да опростим експеримента.

Експериментът може да се проведе на обикновен лист хартия в кутия от ученическа тетрадка.

Или като използвате JavaScript реализация на алгоритъма.

Вземете правоъгълник със страни q и p. Нека изпратим лъч (вектор) от ъгъл до ъгъл. Лъчът се придвижва към една от страните на правоъгълника, отразява се и продължава да се движи към следващата страна. Това продължава, докато лъчът удари един от останалите ъгли. Ако размерът на страната q и p са взаимно прости числа, тогава се получава модел (както ще видим по-късно - фрактал).

На снимката ясно виждаме как работи този алгоритъм.

Gif анимация:

Най-удивителното е, че с различни страни на правоъгълника - получаваме различни шарки.




Защо наричам тези модели фрактали? Както знаете, "фрактал" е геометрична фигура, която има свойствата на самоподобие. Част от картината повтаря цялата картина като цяло. Ако значително увеличим размерите на страните Q и P, става ясно, че тези модели имат свойства на самоподобие.

Нека се опитаме да увеличим. Ще увеличим по един труден начин. Вземете, например, модел 17x29. Следните модели ще бъдат: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Едната страна: F(n);
Втора страна: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Подобно на числата на Фибоначи, само с различни първи и втори членове на последователността: F(0)=17, F(1)=29.

Ако по-голямата страна е равна, моделът изглежда така:

Ако по-малката страна е четна:

Ако и двете страни са нечетни, получаваме симетричен модел:

В зависимост от начина на стартиране на лъча:

или

Ще се опитам да обясня какво се случва в тези правоъгълници.

Нека отделим квадрата от правоъгълника и да видим какво се случва на границата.

Лъчът излиза в същата точка, от който е влязъл.

В този случай броят на квадратите, през които преминава лъчът, винаги е четно число.

Следователно, ако квадратът бъде отрязан от правоъгълника, непроменената част от фрактала ще остане.

Ако отделите квадратите от фрактала колкото е възможно повече пъти, можете да стигнете до "началото" на фрактала.

Прилича ли на спирала на Фибоначи?

Фракталите могат да се получат и от числата на Фибоначи.

В математиката числата на Фибоначи (ред на Фибоначи, последователност на Фибоначи) се наричат ​​числа:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
По дефиниция първите две цифри в последователността на Фибоначи са 0 и 1, а всяко следващо число е равно на сбора от предходните две.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Отивам:

Както виждаме, колкото по-близо съотношението на страните се доближава до златното сечение, толкова по-подробен е фракталът.

В този случай фракталът повтаря част от фрактала, увеличена с .

Вместо числа на Фибоначи можете да използвате ирационални размери на страната:

Получаваме същия фрактал.

Същите фрактали могат да бъдат получени и в квадрат, ако лъчът се изстреля под различен ъгъл:

Какво може да се каже в заключение?
Хаосът също е ред. С техните правила. Този ред не се изучава, но е доста податлив на изучаване. И целият стремеж на науката е да открие тези закономерности. И в крайна сметка свържете парчетата от пъзела, за да видите голямата картина.
Нека разгледаме повърхността на реката. Ако хвърлите камък върху него, вълните ще отидат. Кръгове доста податливи на изучаване. Скорост, период, дължина на вълната - всичко това може да се изчисли. Но докато вълната не стигне до брега, тя няма да бъде отразена и няма да започне да се припокрива със себе си. Получаваме хаос (интерференция), който вече е труден за изследване.
Ами ако се движим назад? Опростете поведението на вълната доколкото е възможно. Опростете, намерете модел и след това се опитайте да опишете пълната картина на случващото се.
Какво може да се опрости? Очевидно, за да направите отразяващата повърхност права, без завои. Освен това, вместо самата вълна, използвайте само вектора на движение на вълната. По принцип това е достатъчно, за да се изгради прост алгоритъм и да се симулира процеса на компютър. И дори напълно достатъчно, за да направите "модел" на поведението на вълната върху обикновен лист хартия в кутия.
Какво получаваме като резултат? В резултат на това виждаме, че при вълнови процеси (същите вълни на повърхността на реката) имаме не хаос, а налагането на фрактали (самоподобни структури) един върху друг.

Нека разгледаме друг вид вълни. Както знаете, електромагнитната вълна се състои от три вектора - вълнов вектор и вектор на електрически и магнитни полета. Както можете да видите, ако „хванем“ такава вълна в затворена зона – там, където тези вектори се пресичат, получаваме доста ясни затворени структури. Може би елементарните частици са едни и същи фрактали?

Всички фрактали в правоъгълници от 1 до 80 (6723x6723 px):

Затворени зони във фрактали (6723x6723 px):

Просто красив фрактал (4078x2518 px):

фрактал

Фрактал (лат. фрактус- смачкан, счупен, счупен) - геометрична фигура, която има свойството на самоподобие, тоест съставена от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура като цяло. В математиката фракталите се разбират като множества от точки в евклидовото пространство, които имат дробна метрична размерност (в смисъла на Минковски или Хаусдорф) или метрична размерност, различна от топологична. Фрактазъмът е независима точна наука за изучаване и компилиране на фрактали.

С други думи, фракталите са геометрични обекти с дробно измерение. Например, размерността на линия е 1, площта е 2, а обемът е 3. За фрактал стойността на размерността може да бъде между 1 и 2 или между 2 и 3. Например фракталната размерност на смачкан хартиена топка е приблизително 2,5. В математиката има специална сложна формула за изчисляване на размерността на фракталите. Разклоненията на трахеалните тръби, листата по дърветата, вените на ръката, реката са фрактали. С прости думи, фракталът е геометрична фигура, определена част от която се повтаря отново и отново, променяйки се по размер - това е принципът на самоподобието. Фракталите са подобни на себе си, те са подобни на себе си на всички нива (т.е. във всякакъв мащаб). Има много различни видове фрактали. По принцип може да се твърди, че всичко, което съществува в реалния свят, е фрактал, независимо дали е облак или кислородна молекула.

Думата "хаос" предполага нещо непредвидимо, но всъщност хаосът е доста подреден и се подчинява на определени закони. Целта на изучаването на хаоса и фракталите е да се предскажат модели, които на пръв поглед може да изглеждат непредсказуеми и напълно хаотични.

Пионер в тази област на знанието е френско-американският математик, професор Беноа Б. Манделброт. В средата на 60-те години той разработва фрактална геометрия, чиято цел е да анализира счупени, набръчкани и размити форми. Множеството на Манделброт (показано на фигурата) е първата асоциация, която човек има, когато чуе думата "фрактал". Между другото, Манделброт определи, че фракталното измерение на бреговата линия на Англия е 1,25.

Фракталите все повече се използват в науката. Те описват реалния свят дори по-добре от традиционната физика или математика. Брауновото движение е, например, произволното и хаотично движение на прахови частици, суспендирани във вода. Този тип движение е може би най-практичният аспект на фракталната геометрия. Случайното брауново движение има честотна характеристика, която може да се използва за прогнозиране на явления, включващи големи количества данни и статистически данни. Например, Манделброт прогнозира промени в цената на вълната, използвайки Брауново движение.

Думата "фрактал" може да се използва не само като математически термин. Фрактал в пресата и научнопопулярната литература може да се нарече фигури, които имат някое от следните свойства:

    Той има нетривиална структура във всички мащаби. Това е разликата от обикновените фигури (като кръг, елипса, графика на гладка функция): ако разгледаме малък фрагмент от правилна фигура в много голям мащаб, той ще изглежда като фрагмент от права линия . За фрактал, увеличението не води до опростяване на структурата, на всички мащаби ще видим еднакво сложна картина.

    Той е себеподобен или приблизително себеподобен.

    Той има дробно метрично измерение или метрично измерение, което е по-добро от топологичното.

Най-полезното използване на фракталите в изчисленията е фракталното компресиране на данни. В същото време снимките се компресират много по-добре, отколкото при конвенционалните методи - до 600:1. Друго предимство на фракталната компресия е, че когато увеличите, няма ефект на пикселизация, който драстично влошава картината. Освен това фрактално компресирано изображение след увеличение често изглежда дори по-добре от преди. Компютърните учени също знаят, че фракталите с безкрайна сложност и красота могат да бъдат генерирани с прости формули. Филмовата индустрия използва широко технологията за фрактална графика за създаване на реалистични елементи на пейзажа (облаци, скали и сенки).

Изучаването на турбулентността в потоците се адаптира много добре към фракталите. Това позволява по-добро разбиране на динамиката на сложните потоци. Пламъците също могат да бъдат моделирани с помощта на фрактали. Порестите материали са добре представени във фрактална форма поради факта, че имат много сложна геометрия. За предаване на данни на разстояния се използват антени с фрактална форма, което значително намалява техния размер и тегло. Фракталите се използват за описване на кривината на повърхностите. Неравната повърхност се характеризира с комбинация от два различни фрактала.

Много обекти в природата имат фрактални свойства, като брегове, облаци, корони на дървета, снежинки, кръвоносната система и алвеоларната система на хората или животните.

Фракталите, особено в самолета, са популярни заради комбинацията от красота и лекота на изграждане с компютър.

Първите примери за самоподобни множества с необичайни свойства се появяват през 19 век (например функцията на Болцано, функцията на Вайерщрас, множеството на Кантор). Терминът "фрактал" е въведен от Беноа Манделброт през 1975 г. и придоби широка популярност с издаването на книгата му "Фракталната геометрия на природата" през 1977 г.

Фигурата вляво показва фрактал Darer Pentagon като прост пример, който изглежда като куп петоъгълници, притиснати заедно. Всъщност той се образува чрез използване на петоъгълник като инициатор и равнобедрен триъгълник, съотношението на най-голямата страна към най-малката в който е точно равно на така нареченото златно сечение (1.618033989 или 1/(2cos72°)) като генератор. Тези триъгълници се изрязват от средата на всеки петоъгълник, което води до форма, която изглежда като 5 малки петоъгълника, залепени към един голям.

Теорията на хаоса казва, че сложните нелинейни системи са наследствено непредсказуеми, но в същото време твърди, че начинът за изразяване на такива непредвидими системи се оказва верен не в точни равенства, а в представяния на поведението на системата - в графики на странни атрактори, които приличат на фрактали. Така теорията на хаоса, смятана от мнозина като непредсказуемост, се оказва наука за предсказуемостта дори в най-нестабилните системи. Доктрината за динамичните системи показва, че простите уравнения могат да генерират такова хаотично поведение, при което системата никога не се връща в стабилно състояние и в същото време не се появява никаква закономерност. Често такива системи се държат съвсем нормално до определена стойност на ключов параметър, след това преживяват преход, в който има две възможности за по-нататъшно развитие, след това четири и накрая хаотичен набор от възможности.

Схемите на процесите, протичащи в техническите обекти, имат ясно дефинирана фрактална структура. Структурата на минималната техническа система (ТС) предполага протичането в рамките на ТС на два вида процеси - основни и поддържащи, като това разделение е условно и относително. Всеки процес може да бъде основен по отношение на поддържащите, а всеки от поддържащите процеси може да се счита за основен по отношение на „техните“ поддържащи процеси. Кръговете в диаграмата показват физическите ефекти, които осигуряват протичането на тези процеси, за които не е необходимо специално да се създава „собствен“ TS. Тези процеси са резултат от взаимодействието между вещества, полета, вещества и полета. По-точно, физическият ефект е носител, на чийто принцип не можем да повлияем и не искаме или нямаме възможност да се намесваме в неговата структура.

Потокът на основния процес, показан на диаграмата, се осигурява от наличието на три поддържащи процеса, които са основните за TS, които ги генерират. Заради справедливостта отбелязваме, че за функционирането дори на минимален TS три процеса очевидно не са достатъчни, т.е. схемата е много, много преувеличена.

Всичко не е толкова просто, както е показано на диаграмата. Полезен (необходим на човек) процес не може да се извърши със 100% ефективност. Разсеяната енергия се изразходва за създаване на вредни процеси - нагряване, вибрации и др. В резултат на това успоредно с полезния процес възникват и вредни. Не винаги е възможно да се замени „лош“ процес с „добър“, така че трябва да се организират нови процеси, за да се компенсират вредните за системата последствия. Типичен пример е необходимостта от борба с триенето, което принуждава човек да организира гениални схеми за смазване, да използва скъпи антифрикционни материали или да отделя време за смазване на компоненти и части или периодичната им подмяна.

Във връзка със съществуването на неизбежното влияние на променливата среда може да се наложи контрол на полезен процес. Управлението може да се извършва както с помощта на автоматични устройства, така и директно от човек. Диаграмата на процеса всъщност представлява набор от специални команди, т.е. алгоритъм. Същността (описанието) на всяка команда е комбинация от един полезен процес, придружаващ вредните процеси и набор от необходими процеси за управление. В такъв алгоритъм наборът от поддържащи процеси е обикновена подпрограма - и тук намираме и фрактал. Методът на Р. Колер, създаден преди четвърт век, дава възможност за създаване на системи с доста ограничен набор от само 12 двойки функции (процеси).

Самоподобни множества с необичайни свойства в математиката

От края на 19 век в математиката се появяват примери за себеподобни обекти с патологични свойства от гледна точка на класическия анализ. Те включват следното:

    множеството на Кантор е никъде плътно неизброимо съвършено множество. Чрез модифициране на процедурата може да се получи и никъде плътен набор с положителна дължина.

    триъгълникът на Серпински („покривка“) и килимът на Серпински са аналози на Cantor, поставен в самолета.

    Гъбата на Менгер - аналог на набора Кантор в триизмерно пространство;

    примери от Weierstrass и van der Waerden за никъде недиференцируема непрекъсната функция.

    Крива на Кох – несамопресичаща се непрекъсната крива с безкрайна дължина, която няма допирателна в нито една точка;

    кривата на Пеано е непрекъсната крива, минаваща през всички точки на квадрат.

    траекторията на броунова частица също никъде не може да бъде диференцирана с вероятност 1. Неговото измерение на Хаусдорф е две

Рекурсивна процедура за получаване на фрактални криви

Построяване на кривата на Кох

Има проста рекурсивна процедура за получаване на фрактални криви в равнина. Дефинираме произволна прекъсната линия с краен брой връзки, наречена генератор. След това заменяме всеки сегмент в него с генератор (по-точно счупена линия, подобна на генератор). В получената прекъсната линия отново заместваме всеки сегмент с генератор. Продължавайки до безкрайност, в предела получаваме фрактална крива. Фигурата вдясно показва първите четири стъпки от тази процедура за кривата на Кох.

Примери за такива криви са:

    крива на дракон,

    крива на Кох (снежинка на Кох),

    крива на Леви,

    крива на Минковски,

    крива на Хилберт,

    Счупен (крив) дракон (Fractal Harter-Hateway),

    Пеано крива.

С помощта на подобна процедура се получава питагорейско дърво.

Фракталите като фиксирани точки на съкращения

Свойството на самоподобието може да бъде математически строго изразено, както следва. Нека е свиване карти на равнината. Помислете за следното отображение на множеството от всички компактни (затворени и ограничени) подмножества на равнината:

Може да се покаже, че отображението е съкращаване на съвкупността от компактни множества с метриката на Хаусдорф. Следователно, според теоремата на Банах, това отображение има уникална неподвижна точка. Тази фиксирана точка ще бъде нашият фрактал.

Рекурсивната процедура за получаване на фрактални криви, описана по-горе, е специален случай на тази конструкция. В него всички съпоставяния са съпоставяния на подобие и е броят на връзките на генератора.

За триъгълника на Сиерпински и отображението , , са хомотетии с центрове във върховете на правилен триъгълник и коефициент 1/2. Лесно е да се види, че триъгълникът на Сиерпински се трансформира в себе си при отображението.

В случай, когато отображенията са преобразувания на подобие с коефициенти , размерността на фрактала (при някои допълнителни технически условия) може да се изчисли като решение на уравнението . И така, за триъгълника на Серпински получаваме .

Съгласно същата теорема на Банах, като се започне от всяко компактно множество и приложи към него итерации на отображението , получаваме последователност от компактни множества, сближаващи се (в смисъл на метриката на Хаусдорф) към нашия фрактал.

Фрактали в сложна динамика

Джулия комплект

Още един комплект на Джулия

Фракталите естествено възникват при изучаването на нелинейни динамични системи. Най-проучваният случай е, когато динамичната система се дефинира от итерации на полином или холоморфна функция на комплексна променлива в равнината. Първите проучвания в тази област датират от началото на 20 век и са свързани с имената на Фату и Джулия.

Нека бъде Ф(z) - полином, z 0 е комплексно число. Помислете за следната последователност: z 0 , z 1 =Ф(z 0), z 2 =Ф(Ф(z 0)) = Ф(z 1),z 3 =Ф(Ф(Ф(z 0)))=Ф(z 2), …

Ние се интересуваме от поведението на тази последователност, както сме склонни ндо безкрайност. Тази последователност може:

    стремете се към безкрайността

    стремете се към крайното

    показват циклично поведение в границата, например: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

    да се държи хаотично, тоест да не демонстрира нито един от трите споменати типа поведение.

Набори от стойности z 0 , за които последователността проявява един специфичен тип поведение, както и набори от точки на бифуркация между различни типове, често имат фрактални свойства.

По този начин множеството на Джулия е множеството от точки на бифуркация за полинома Ф(z)=z 2 +° С(или друга подобна функция), тоест тези стойности z 0 , за което поведението на последователността ( z н) може да се промени драстично с произволно малки промени z 0 .

Друг вариант за получаване на фрактални множества е въвеждането на параметър в полинома Ф(z) и като се има предвид наборът от тези стойности на параметрите, за които последователността ( z н) демонстрира определено поведение за фиксиран z 0 . По този начин множеството на Манделброт е множеството от всички, за които ( z н) за Ф(z)=z 2 +° Си z 0 не отива до безкрайност.

Друг добре познат пример от този вид са басейните на Нютон.

Популярно е създаването на красиви графични изображения на базата на сложна динамика чрез оцветяване на равнинни точки в зависимост от поведението на съответните динамични системи. Например, за да допълните набора на Манделброт, можете да оцветите точките в зависимост от скоростта на стремеж ( z н) до безкрайност (дефинирано, да речем, като най-малкото число н, където | z н| надвишава фиксирана голяма стойност А.

Биоморфите са фрактали, изградени на базата на сложна динамика и наподобяващи живи организми.

Стохастични фрактали

Рандомизиран фрактал, базиран на набора Джулия

Естествените обекти често имат фрактална форма. За тяхното моделиране могат да се използват стохастични (случайни) фрактали. Примери за стохастични фрактали:

    траектория на броуновото движение в равнината и в пространството;

    границата на траекторията на броуновото движение в равнината. През 2001 г. Лоулър, Шрам и Вернер доказаха хипотезата на Манделброт, че нейното измерение е 4/3.

    Еволюциите на Шрам-Льовнер са конформно инвариантни фрактални криви, които възникват в критични двумерни модели на статистическата механика, например в модела на Изинг и перколацията.

    различни видове рандомизирани фрактали, тоест фрактали, получени чрез рекурсивна процедура, при която на всяка стъпка се въвежда произволен параметър. Плазмата е пример за използването на такъв фрактал в компютърната графика.

В природата

Изглед отпред на трахеята и бронхите

    бронхиално дърво

    мрежа от кръвоносни съдове

Приложение

естествени науки

Във физиката, фракталите естествено възникват при моделиране на нелинейни процеси, като турбулентен флуиден поток, сложни дифузионно-адсорбционни процеси, пламъци, облаци и др. Фракталите се използват при моделиране на порести материали, например в нефтохимията. В биологията те се използват за моделиране на популации и за описване на системи от вътрешни органи (система от кръвоносни съдове).

Радиотехника

фрактални антени

Използването на фрактална геометрия при проектирането на антенни устройства е приложено за първи път от американския инженер Нейтън Коен, който тогава живее в центъра на Бостън, където е забранено да се монтират външни антени на сгради. Натан изряза от алуминиево фолио фигура под формата на крива на Кох и я залепи върху лист хартия, след което я прикрепи към приемника. Коен основава собствена компания и стартира тяхното серийно производство.

информатика

Компресиране на изображение

Основна статия: Алгоритъм за фрактална компресия

фрактално дърво

Има алгоритми за компресиране на изображения, използващи фрактали. Те се основават на идеята, че вместо самото изображение, можете да съхранявате карта на свиване, за която това изображение (или някое близко до него) е фиксирана точка. Използван е един от вариантите на този алгоритъм [ източник неуточнен 895 дни] от Microsoft при публикуването на своята енциклопедия, но тези алгоритми не са били широко използвани.

Компютърна графика

Друго фрактално дърво

Фракталите се използват широко в компютърната графика за изграждане на изображения на природни обекти като дървета, храсти, планински пейзажи, морски повърхности и т.н. Има много програми, използвани за генериране на фрактални изображения, вижте Fractal Generator (програма).

децентрализирани мрежи

Системата за присвояване на IP адреси на Netsukuku използва принципа на фрактална компресия на информация за компактно съхраняване на информация за мрежовите възли. Всеки възел в мрежата Netsukuku съхранява само 4 KB информация за състоянието на съседните възли, докато всеки нов възел се свързва към общата мрежа без необходимост от централно регулиране на разпределението на IP адреси, което например е типично за Интернет. По този начин принципът на фракталната компресия на информация гарантира напълно децентрализирана и следователно най-стабилна работа на цялата мрежа.

Общинска бюджетна образователна институция

"Сиверска средно училище № 3"

Изследвания

математика.

Свърши работата

ученик от 8 клас

Емелин Павел

ръководител

учител по математика

Тупицина Наталия Алексеевна

стр. Сиверски

2014 година

Математиката е пълна с красота и хармония,

Просто трябва да видите тази красота.

Б. Манделброт

Въведение

Глава 1. Историята на възникването на фракталите _______ 5-6 стр.

Глава 2. Класификация на фракталите.____________________6-10стр.

геометрични фрактали

Алгебрични фрактали

Стохастични фрактали

Глава 3. "Фрактална геометрия на природата" ______ 11-13стр.

Глава 4. Приложение на фракталите _______________13-15стр.

Глава 5 Практическа работа __________________ 16-24стр.

Заключение________________________________25.стр

Списък с литература и интернет ресурси _______ 26 стр.

Въведение

математика,

ако го погледнеш правилно,

отразява не само истината,

но и несравнима красота.

Бертран Ръсел


Думата "фрактал" е нещо, за което много хора говорят в наши дни, от учени до гимназисти. Появява се на корицата на много учебници по математика, научни списания и кутии с компютърен софтуер. Цветни изображения на фрактали днес могат да бъдат намерени навсякъде: от пощенски картички, тениски до снимки на работния плот на персонален компютър. И така, какви са тези цветни форми, които виждаме наоколо?

Математиката е най-старата наука. На повечето хора изглеждаше, че геометрията в природата е ограничена до такива прости форми като линия, кръг, многоъгълник, сфера и т.н. Както се оказа, много природни системи са толкова сложни, че използването само на познати обекти с обикновена геометрия за моделирането им изглежда безнадеждно. Как например да се изгради модел на планинска верига или корона на дърветата по отношение на геометрията? Как да опишем разнообразието от биологично разнообразие, което наблюдаваме в света на растенията и животните? Как да си представим цялата сложност на кръвоносната система, състояща се от много капиляри и съдове и доставяща кръв до всяка клетка на човешкото тяло? Представете си структурата на белите дробове и бъбреците, наподобяващи дървета с разклонена корона по структура?

Фракталите са подходящо средство за изследване на поставените въпроси. Често това, което виждаме в природата, ни интригува с безкрайното повторение на един и същ модел, увеличен или намален няколко пъти. Например, едно дърво има клони. Тези клони имат по-малки клони и т.н. Теоретично елементът "вилица" се повтаря безкрайно много пъти, като става все по-малък и по-малък. Същото може да се види и при гледане на снимка на планински терен. Опитайте да увеличите малко планинската верига --- ще видите планините отново. Така се проявява свойството на самоподобие, характерно за фракталите.

Изучаването на фракталите разкрива прекрасни възможности, както в изучаването на безкраен брой приложения, така и в областта на математиката. Използването на фрактали е много широко! В крайна сметка тези предмети са толкова красиви, че се използват от дизайнери, художници, с помощта на тях много елементи от дървета, облаци, планини и т.н. се рисуват в графики. Но фракталите дори се използват като антени в много мобилни телефони.

За много хаолози (учени, които изучават фрактали и хаос) това не е просто нова област на знанието, която съчетава математика, теоретична физика, изкуство и компютърни технологии – това е революция. Това е откриването на нов тип геометрия, геометрията, която описва света около нас и която може да се види не само в учебниците, но и в природата и навсякъде в безграничната вселена..

В работата си също реших да се „докосна“ до света на красотата и реших за себе си...

Обективен: създаване на обекти, които са много подобни на природата.

Изследователски методиКлючови думи: сравнителен анализ, синтез, моделиране.

Задачи:

    запознаване с концепцията, историята на възникване и изследване на Б. Манделброт,

Г. Кох, В. Серпински и др.;

    запознаване с различни видове фрактални множества;

    изучаване на научно-популярна литература по този въпрос, запознаване с

научни хипотези;

    намиране на потвърждение на теорията за фракталността на околния свят;

    изследване на използването на фрактали в други науки и в практиката;

    провеждане на експеримент за създаване на свои собствени фрактални изображения.

Основен въпрос на работата:

Покажете, че математиката не е сух, бездушен предмет, тя може да изрази духовния свят на човек поотделно и в обществото като цяло.

Предмет на изследване: Фрактална геометрия.

Обект на изследване: фрактали в математиката и в реалния свят.

Хипотеза: Всичко, което съществува в реалния свят, е фрактал.

Изследователски методи: аналитичен, търсене.

Уместностна заявената тема се определя преди всичко от предмета на изследване, който е фракталната геометрия.

Очаквани резултати:В хода на работата ще мога да разширя познанията си в областта на математиката, да видя красотата на фракталната геометрия и да започна да работя върху създаването на свои собствени фрактали.

Резултатът от работата ще бъде създаването на компютърна презентация, бюлетин и книжка.

Глава 1

Б Енуа Манделброт

Терминът "фрактал" е въведен от Беноа Манделброт. Думата идва от латинското "fractus", което означава "счупен, разбит".

Фрактал (лат. fractus - смачкан, счупен, счупен) - термин, означаващ сложна геометрична фигура със свойството на самоподобие, тоест съставена от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура като цяло.

Математическите обекти, за които се отнася, се характеризират с изключително интересни свойства. В обикновената геометрия линията има едно измерение, повърхността има две измерения, а пространствената фигура е триизмерна. Фракталите, от друга страна, не са линии или повърхности, а, ако можете да си го представите, нещо между тях. С увеличаване на размера обемът на фрактала също се увеличава, но неговото измерение (експонента) не е цяло число, а дробна стойност и следователно границата на фракталната фигура не е линия: при голямо увеличение става ясна че е замъглено и се състои от спирали и къдрици, повтарящи в малко мащаба на самата фигура. Такава геометрична закономерност се нарича инвариантност на мащаба или самоподобие. Тя е тази, която определя дробното измерение на фракталните фигури.

Преди появата на фракталната геометрия науката се занимаваше със системи, съдържащи се в три пространствени измерения. Благодарение на Айнщайн стана ясно, че триизмерното пространство е само модел на реалността, а не самата реалност. Всъщност нашият свят е разположен в четириизмерен пространствено-времеви континуум.
Благодарение на Манделброт стана ясно как изглежда едно четириизмерно пространство, образно казано, фракталното лице на Хаоса. Беноа Манделброт открива, че четвъртото измерение включва не само първите три измерения, но и (това е много важно!) интервалите между тях.

Рекурсивната (или фракталната) геометрия замества евклидовата. Новата наука е в състояние да опише истинската природа на телата и явленията. Евклидовата геометрия се занимаваше само с изкуствени, въображаеми обекти, принадлежащи към три измерения. Само четвъртото измерение може да ги превърне в реалност.

Течност, газ, твърдо вещество са трите обичайни физически състояния на материята, които съществуват в триизмерния свят. Но какво е измерението на струята дим, облаците или по-скоро техните граници, непрекъснато размити от турбулентното движение на въздуха?

По принцип фракталите се класифицират в три групи:

    Алгебрични фрактали

    Стохастични фрактали

    геометрични фрактали

Нека разгледаме по-отблизо всеки един от тях.

Глава 2. Класификация на фракталите

геометрични фрактали

Беноа Манделброт предложи фрактален модел, който вече се е превърнал в класика и често се използва за демонстриране както на типичен пример за самия фрактал, така и за демонстриране на красотата на фракталите, което също привлича изследователи, художници и хора, които просто се интересуват.

Именно с тях започва историята на фракталите. Този тип фрактали се получават чрез прости геометрични конструкции. Обикновено при конструирането на тези фрактали се процедира по следния начин: взема се "семе" - аксиома - набор от сегменти, на базата на които ще бъде изграден фракталът. Освен това, набор от правила се прилага към това "семе", което го превръща в някаква геометрична фигура. Освен това към всяка част от тази фигура отново се прилага същия набор от правила. С всяка стъпка фигурата ще става все по-сложна и ако извършим (поне в ума) безкраен брой трансформации, ще получим геометричен фрактал.

Фракталите от този клас са най-визуалните, защото веднага се виждат самоподобието във всякаква скала на наблюдение. В двумерния случай такива фрактали могат да бъдат получени чрез задаване на прекъсната линия, наречена генератор. В една стъпка от алгоритъма всеки от сегментите, които съставляват прекъснатата линия, се заменя с генератор на прекъсната линия, в съответния мащаб. В резултат на безкрайното повторение на тази процедура (или по-точно при преминаване до границата) се получава фрактална крива. С привидната сложност на получената крива, нейната обща форма се дава само от формата на генератора. Примери за такива криви са: крива на Кох (фиг.7), крива на Пеано (фиг.8), крива на Минковски.

В началото на 20-ти век математиците търсят криви, които нямат допирателна в нито една точка. Това означаваше, че кривата рязко промени посоката си и освен това с изключително висока скорост (производната е равна на безкрайност). Търсенето на тези криви е предизвикано не само от празния интерес на математиците. Факт е, че в началото на 20-ти век квантовата механика се развива много бързо. Изследователят М. Браун скицира траекторията на суспендираните частици във вода и обяснява това явление по следния начин: произволно движещи се течни атоми удрят суспендирани частици и по този начин ги привеждат в движение. След подобно обяснение на брауновското движение учените бяха изправени пред задачата да намерят крива, която най-добре да показва движението на брауновските частици. За да направите това, кривата трябваше да отговаря на следните свойства: да няма допирателна в нито една точка. Математикът Кох предложи една такава крива.

Да се кривата на Кох е типичен геометричен фрактал. Процесът на неговото изграждане е следният: вземаме един сегмент, разделяме го на три равни части и заменяме средния интервал с равностранен триъгълник без този сегмент. В резултат на това се образува прекъсната линия, състояща се от четири връзки с дължина 1/3. На следващата стъпка повтаряме операцията за всяка от четирите получени връзки и така нататък ...

Граничната крива е крива на Кох.


Снежинка Кох.Извършвайки подобна трансформация на страните на равностранен триъгълник, можете да получите фрактално изображение на снежинка на Кох.

т
Друг прост представител на геометричен фрактал е площад Серпински.Изграден е съвсем просто: Квадратът е разделен от прави линии, успоредни на страните му, на 9 равни квадрата. Централният площад се отстранява от площада. Получава се комплект, състоящ се от 8 оставащи квадрата от "първи ранг". Правейки същото с всеки от квадратите от първи ранг, получаваме набор от 64 квадрата от втори ранг. Продължавайки този процес за неопределено време, получаваме безкрайна последователност или квадрат на Сиерпински.

Алгебрични фрактали

Това е най-голямата група фрактали. Алгебричните фрактали са получили името си, защото са изградени с помощта на прости алгебрични формули.

Те се получават чрез нелинейни процеси в н-мерни пространства. Известно е, че нелинейните динамични системи имат няколко стабилни състояния. Състоянието, в което се намира динамичната система след определен брой итерации, зависи от нейното първоначално състояние. Следователно всяко стабилно състояние (или, както се казва, атрактор) има определена област от начални състояния, от които системата непременно ще изпадне в разглежданите крайни състояния. По този начин фазовото пространство на системата е разделено на атракционни зониатрактори. Ако фазовото пространство е двуизмерно, тогава чрез оцветяване на областите на привличане с различни цветове може да се получи цветен фазов портреттази система (итеративен процес). Чрез промяна на алгоритъма за избор на цвят можете да получите сложни фрактални модели с фантастични многоцветни модели. Изненада за математиците беше способността да генерират много сложни структури с помощта на примитивни алгоритми.



Като пример разгледайте множеството на Манделброт. Изграден е с помощта на комплексни числа.

Част от границата на множеството на Манделброт, увеличена 200 пъти.

Множеството на Манделброт съдържа точки, които по време набезкраен броят на повторенията не отива до безкрайност (точки, които са черни). Точки, принадлежащи на границата на множеството(тук възникват сложни структури) отиват до безкрайност в краен брой итерации, а точките, лежащи извън множеството, отиват до безкрайност след няколко итерации (бял фон).

П



Пример за друг алгебричен фрактал е множеството Джулия. Има 2 разновидности на този фрактал.Изненадващо, множествата на Джулия се формират по същата формула като множеството на Манделброт. Комплектът Джулия е изобретен от френския математик Гастон Джулия, на когото е кръстен комплектът.

И
интересен факт, някои алгебрични фрактали поразително наподобяват изображения на животни, растения и други биологични обекти, в резултат на което се наричат ​​биоморфи.

Стохастични фрактали

Друг добре познат клас фрактали са стохастичните фрактали, които се получават, ако някой от неговите параметри бъде произволно променен в итеративен процес. Това води до обекти, много подобни на естествените – асиметрични дървета, разчленени брегови линии и т.н.

Типичен представител на тази група фрактали е "плазмата".

д
За конструирането му се взема правоъгълник и се определя цвят за всеки негов ъгъл. След това се намира централната точка на правоъгълника и се боядисва в цвят, равен на средноаритметичната стойност на цветовете в ъглите на правоъгълника плюс някакво произволно число. Колкото по-голямо е произволното число, толкова по-„разкъсана“ ще бъде картината. Ако приемем, че цветът на точката е височината над морското равнище, вместо плазма ще получим планинска верига. Именно на този принцип се моделират планините в повечето програми. С помощта на алгоритъм, подобен на плазма, се изгражда карта на височината, към нея се прилагат различни филтри, нанася се текстура и фотореалистичните планини са готови.

Е
Ако разгледаме този фрактал в секция, ще видим, че този фрактал е обемен и има „грапавост“, точно поради тази „грапавост“ има много важно приложение на този фрактал.

Да приемем, че искате да опишете формата на планина. Обикновените фигури от евклидовата геометрия няма да помогнат тук, защото не отчитат топографията на повърхността. Но когато комбинирате конвенционална геометрия с фрактална геометрия, можете да получите самата „грапавост“ на планината. Плазма трябва да се нанесе върху обикновен конус и ще получим релефа на планината. Такива операции могат да се извършват с много други обекти в природата, благодарение на стохастичните фрактали, самата природа може да бъде описана.

Сега нека поговорим за геометричните фрактали.

.

Глава 3 "Фракталната геометрия на природата"

Защо геометрията често се нарича "студена" и "суха"? Една от причините е неспособността й да опише формата на облак, планина, брегова линия или дърво. Облаците не са сфери, планините не са конуси, бреговата линия не са кръгове, дърво кората не е гладка, но сложността е на съвсем различно ниво. Броят на различни по дължина скали на природни обекти за всякакви практически цели е безкраен."

(БеноаМанделброт "Фракталната геометрия на природата" ).

Да се Красотата на фракталите е двойна: тя радва окото, както свидетелства поне световната изложба на фрактални изображения, организирана от група бременски математици под ръководството на Пейтген и Рихтер. По-късно експонатите на тази грандиозна изложба са запечатани в илюстрациите към книгата „Красотата на фракталите“ на същите автори. Но има и друг, по-абстрактен или възвишен аспект на красотата на фракталите, отворен, според Р. Файнман, само за умствения поглед на теоретика, в този смисъл фракталите са красиви с красотата на труден математически проблем. Беноа Манделброт посочи на своите съвременници (и, вероятно, на потомците си) жалък пропуск в Елементите на Евклид, според който, без да забелязва пропуска, в продължение на почти две хилядолетия човечеството разбира геометрията на околния свят и усвоява математическата строгост на презентация. Разбира се, и двата аспекта на красотата на фракталите са тясно свързани помежду си и не се изключват, а взаимно се допълват, въпреки че всеки от тях е самодостатъчен.

Фракталната геометрия на природата, според Манделброт, е реална геометрия, която отговаря на определението за геометрия, предложено в „Програмата на Ерланген“ на Ф. Клайн. Факт е, че преди появата на неевклидовата геометрия, N.I. Лобачевски - Л. Боляй, имаше само една геометрия - тази, която беше изложена в "Началата", и въпросът какво е геометрията и коя от геометриите е геометрията на реалния свят не възникна и не можеше възникват. Но с появата на още една геометрия възникна въпросът какво е геометрия като цяло и коя от многото геометрии съответства на реалния свят. Според Ф. Клайн геометрията изучава такива свойства на обекти, които са инвариантни при трансформации: Евклидови - инварианти на групата движения (трансформации, които не променят разстоянието между които и да е две точки, т.е. представляват суперпозиция на паралелни транслации и завъртания с или без промяна в ориентацията) , геометрия на Лобачевски-Боляй - инварианти на групата на Лоренц. Фракталната геометрия се занимава с изучаване на инвариантите на групата от самоафинни трансформации, т.е. свойства, изразени от силовите закони.

Що се отнася до съответствието с реалния свят, фракталната геометрия описва много широк клас природни процеси и явления и следователно можем, следвайки Б. Манделброт, с право да говорим за фракталната геометрия на природата. Нови - фракталните обекти имат необичайни свойства. Дължините, площите и обемите на някои фрактали са равни на нула, други се обръщат към безкрайност.

Природата често създава невероятни и красиви фрактали, с перфектна геометрия и такава хармония, че просто замръзвате от възхищение. А ето и техните примери:


морски черупки


Светкавицавъзхищавайки се на красотата им. Фракталите, създадени от мълния, не са случайни или редовни.


фрактална форма подвидове карфиол(Brassica cauliflora). Този специален вид е особено симетричен фрактал.

П папратсъщо е добър пример за фрактал сред флората.


паунивсеки е известен с цветното си оперение, в което са скрити плътни фрактали.


Лед, замръзванена прозорците, това също са фрактали


О
t увеличено изображение брошура, преди клони на дървета- можете да намерите фрактали във всичко

Фракталите са навсякъде и навсякъде в природата около нас. Цялата вселена е изградена според изненадващо хармонични закони с математическа прецизност. Възможно ли е след това да мислим, че нашата планета е произволен съединител от частици? Едва ли.

Глава 4

Фракталите намират все повече приложения в науката. Основната причина за това е, че те описват реалния свят понякога дори по-добре от традиционната физика или математика. Ето няколко примера:

О
са дните на най-мощните приложения на фракталите компютърна графика. Това е фрактална компресия на изображения. Съвременната физика и механика тепърва започват да изучават поведението на фракталните обекти.

Предимствата на алгоритмите за фрактална компресия на изображения са много малкият размер на пакетирания файл и краткото време за възстановяване на изображението. Фрактално опакованите изображения могат да бъдат мащабирани без появата на пикселизация (лошо качество на изображението - големи квадрати). Но процесът на компресиране отнема много време и понякога продължава с часове. Алгоритъмът за фрактално опаковане със загуби ви позволява да зададете ниво на компресия, подобно на jpeg формата. Алгоритъмът се основава на търсене на големи парчета от изображението, подобни на някои малки парчета. И само кое парче е подобно на което се записва в изходния файл. При компресиране обикновено се използва квадратна решетка (парчетата са квадрати), което води до лек ъгъл при възстановяване на картината, шестоъгълната мрежа е освободена от такъв недостатък.

Iterated разработи нов формат на изображения, "Sting", който комбинира фрактална и "вълнова" (като jpeg) компресия без загуби. Новият формат ви позволява да създавате изображения с възможност за последващо висококачествено мащабиране, а обемът на графичните файлове е 15-20% от обема на некомпресираните изображения.

По механика и физикафракталите се използват поради уникалното свойство да повтарят очертанията на много природни обекти. Фракталите ви позволяват да приближавате дървета, планински повърхности и пукнатини с по-висока точност от приближения с линейни сегменти или многоъгълници (със същото количество съхранени данни). Фракталните модели, подобно на естествените обекти, имат "грапавост" и това свойство се запазва при произволно голямо увеличение на модела. Наличието на единна мярка върху фракталите дава възможност да се приложи интеграция, теория на потенциала, да се използват вместо стандартни обекти в вече изследваните уравнения.

т
Фракталната геометрия също се използва за проектиране на антенни устройства. Това е използвано за първи път от американския инженер Нейтън Коен, който тогава живее в центъра на Бостън, където монтирането на външни антени върху сградите е забранено. Коен изряза форма на крива на Кох от алуминиево фолио и след това го залепи върху лист хартия, преди да го прикрепи към приемник. Оказа се, че такава антена работи не по-лошо от конвенционалната. И въпреки че физическите принципи на такава антена не са проучени досега, това не попречи на Коен да създаде собствена компания и да създаде серийното им производство. В момента американската компания “Fractal Antenna System” разработи нов тип антена. Сега можете да спрете да използвате изпъкнали външни антени в мобилни телефони. Така наречената фрактална антена се намира директно върху основната платка вътре в устройството.

Има и много хипотези за използването на фрактали - например лимфната и кръвоносната система, белите дробове и много други също имат фрактални свойства.

Глава 5. Практическа работа.

Първо, нека се съсредоточим върху фракталите "Огърлица", "Победа" и "Квадрат".

Първо - "Огърлица"(фиг. 7). Кръгът е инициаторът на този фрактал. Този кръг се състои от определен брой едни и същи кръгове, но с по-малки размери, а самият той е един от няколкото кръга, които са еднакви, но с по-големи размери. Така че процесът на обучение е безкраен и може да се осъществява както в една посока, така и в обратна посока. Тези. фигурата може да бъде увеличена, като се вземе само една малка дъга, или може да се намали, като се разгледа нейната конструкция от по-малки.


ориз. 7.

Фрактал "Огърлица"

Вторият фрактал е "победа"(фиг. 8). Той получи това име, защото външно прилича на латинската буква „V“, тоест „победа“-победа. Този фрактал се състои от определен брой малки „v“, които образуват едно голямо „V“, а в лявата половина, в която малките са поставени така, че левите им половини да образуват една права линия, е изградена дясната част по същия начин. Всяко от тези "v" е изградено по същия начин и продължава това до безкрайност.


Фиг.8. Фрактал "Победа"

Третият фрактал е "Квадрат" (фиг. 9). Всяка от страните му се състои от един ред клетки, оформени като квадрати, чиито страни също представляват редове клетки и т.н.


Фиг. 9. Фрактал "Квадрат"

Фракталът е наречен "Роза" (фиг. 10), поради външната му прилика с това цвете. Изграждането на фрактал е свързано с изграждането на поредица от концентрични окръжности, чийто радиус се променя пропорционално на дадено съотношение (в този случай R m / R b = ¾ = 0,75.). След това във всяка окръжност се вписва правилен шестоъгълник, чиято страна е равна на радиуса на окръжността, описана около него.



Ориз. 11. Фрактал "Роза*"

След това се обръщаме към правилния петоъгълник, в който рисуваме диагоналите му. След това, в петоъгълника, получен в пресечната точка на съответните сегменти, отново рисуваме диагонали. Нека продължим този процес до безкрайност и да получим фрактала "Пентаграма" (фиг. 12).

Нека въведем елемент на креативност и нашият фрактал ще приеме формата на по-визуален обект (фиг. 13).


Р
е 12. Фрактал "Пентаграма".

Ориз. 13. Фрактал "Пентаграм *"


Ориз. 14 фрактал "Черна дупка"

Експеримент №1 "Дърво"

Сега, когато разбрах какво е фрактал и как да го изградя, се опитах да създам свои собствени фрактални изображения. В Adobe Photoshop създадох малка подпрограма или действие, особеността на това действие е, че повтаря действията, които правя, и така получавам фрактал.


Като начало създадох фон за нашия бъдещ фрактал с резолюция 600 на 600. След това начертах 3 линии на този фон - основата на нашия бъдещ фрактал.




ССледващата стъпка е да напишете скрипта.

дублиран слой ( слой > дубликат) и променете типа на смесване на " Екран" .

да го наречем" fr1". Дублирайте този слой (" fr1") още 2 пъти.

Сега трябва да преминем към последния слой (fr3) и го обединете два пъти с предишния ( ctrl+e). Намалете яркостта на слоя ( Изображение > Настройки > Яркост/контраст , яркост 50% ). Отново слейте с предишния слой и отрежете ръбовете на целия чертеж, за да премахнете невидимите части.

Като последна стъпка копирах това изображение и го поставих в намален размер и завъртях. Ето и крайния резултат.


Заключение

Тази работа е въведение в света на фракталите. Разгледахме само най-малката част от това какво представляват фракталите, на базата на какви принципи са изградени.

Фракталната графика не е просто набор от самоповтарящи се изображения, тя е модел на структурата и принципа на всяко същество. Целият ни живот е представен от фрактали. Цялата природа около нас се състои от тях. Трябва да се отбележи, че фракталите се използват широко в компютърните игри, където терените често са фрактални изображения, базирани на триизмерни модели на сложни набори. Фракталите значително улесняват рисуването на компютърна графика, с помощта на фрактали се създават много специални ефекти, различни приказни и невероятни картини и др. Също така с помощта на фрактална геометрия се рисуват дървета, облаци, брегове и всякаква друга природа. Фракталната графика е необходима навсякъде, а развитието на "фракталните технологии" е една от най-важните задачи днес.

В бъдеще смятам да се науча как да изграждам алгебрични фрактали, когато изучавам комплексните числа по-подробно. Също така искам да се опитам да изградя моето фрактално изображение на езика за програмиране Pascal, използвайки цикли.

Трябва да се отбележи използването на фрактали в компютърните технологии, в допълнение към простото изграждане на красиви изображения на компютърен екран. Фракталите в компютърните технологии се използват в следните области:

1. Компресирайте изображения и информация

2. Скриване на информация в изображението, в звука, ...

3. Криптиране на данни с помощта на фрактални алгоритми

4. Създаване на фрактална музика

5. Системно моделиране

В нашата работа не са дадени всички области на човешкото познание, където теорията на фракталите е намерила своето приложение. Искаме само да кажем, че не е изминала повече от една трета от век от възникването на теорията, но през това време фракталите за много изследователи се превърнаха в внезапна ярка светлина в нощта, която освети неизвестни досега факти и закономерности в конкретни области с данни. С помощта на теорията на фракталите те започват да обясняват еволюцията на галактиките и развитието на клетката, появата на планините и образуването на облаци, движението на цените на фондовата борса и развитието на обществото и семейството . Може би в началото тази страст към фракталите беше дори твърде бурна и опитите да се обясни всичко с помощта на теорията на фракталите бяха неоправдани. Но без съмнение тази теория има право на съществуване и съжаляваме, че напоследък някак си беше забравена и остана дело на елита. При подготовката на тази работа за нас беше много интересно да намерим приложения на ТЕОРИЯТА в ПРАКТИКАТА. Защото много често има усещането, че теоретичното знание стои отделно от реалността на живота.

Така концепцията за фракталите става не само част от "чистата" наука, но и елемент от човешката култура. Фракталната наука е все още много млада и има голямо бъдеще пред нея. Красотата на фракталите далеч не е изчерпана и тепърва ще ни даде много шедьоври – тези, които радват окото, и тези, които доставят истинско удоволствие на ума.

10. Литература

    Божокин С.В., Паршин Д.А. Фрактали и мултифрактали. RHD 2001 г .

    Витолин Д. Използването на фрактали в компютърната графика. // Компютърен свят-Русия.-1995

    Манделброт Б. Самоафинни фрактални множества, "Фракталите във физиката". М.: Мир 1988

    Манделброт Б. Фрактална геометрия на природата. - М.: "Институт за компютърни изследвания", 2002.

    Морозов A.D. Въведение в теорията на фракталите. Нижни Новгород: Нижегородско издателство. университет 1999г

    Paytgen H.-O., Richter P.H. Красотата на фракталите. - М.: "Мир", 1993 г.

Интернет ресурси

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html


Фракталите са известни от почти век, добре са проучени и имат многобройни приложения в живота. Това явление се основава на много проста идея: безкраен брой фигури по красота и разнообразие могат да бъдат получени от сравнително прости структури, като се използват само две операции - копиране и мащабиране.

Това понятие няма строго определение. Следователно думата "фрактал" не е математически термин. Това обикновено е името на геометрична фигура, която удовлетворява едно или повече от следните свойства:

  • има сложна структура при всяко увеличение;
  • е (приблизително) себеподобен;
  • има дробна хаусдорфова (фрактална) размерност, която е по-голяма от топологичната;
  • може да се изгради чрез рекурсивни процедури.

В началото на 19-ти и 20-ти век изучаването на фракталите е било по-скоро епизодично, отколкото систематично, тъй като по-ранните математици основно са изучавали „добри“ обекти, които могат да бъдат изучавани с помощта на общи методи и теории. През 1872 г. немският математик Карл Вайерщрас конструира пример за непрекъсната функция, която никъде не може да бъде диференцирана. Конструкцията му обаче беше изцяло абстрактна и трудна за разбиране. Затова през 1904 г. шведът Хелге фон Кох измисли непрекъсната крива, която няма допирателна никъде и е доста лесно да се начертае. Оказа се, че има свойствата на фрактал. Една вариация на тази крива се нарича снежинка на Кох.

Идеите за самоподобие на фигурите бяха подхванати от французина Пол Пиер Леви, бъдещият наставник на Беноа Манделброт. През 1938 г. е публикувана статията му „Равнински и пространствени криви и повърхности, състоящи се от части, подобни на цялото“, в която е описан друг фрактал - C-кривата на Леви. Всички горепосочени фрактали могат условно да бъдат отнесени към един клас конструктивни (геометрични) фрактали.

Друг клас са динамичните (алгебрични) фрактали, които включват множеството на Манделброт. Първите изследвания в тази посока датират от началото на 20 век и се свързват с имената на френските математици Гастон Жулия и Пиер Фату. През 1918 г. излизат почти двеста страници от труда на Джулия, посветени на итерации на сложни рационални функции, в които са описани множествата на Джулия – цяло семейство фрактали, тясно свързани с множеството Манделброт. Тази работа беше отличена с наградата на Френската академия, но не съдържаше нито една илюстрация, така че беше невъзможно да се оцени красотата на откритите предмети. Въпреки факта, че тази работа направи Джулия известна сред математиците от онова време, тя бързо беше забравена.

Само половин век по-късно, с появата на компютрите, вниманието се насочва към работата на Джулия и Фату: именно те направиха видими богатството и красотата на света на фракталите. В крайна сметка Фату никога не би могъл да разгледа изображенията, които сега познаваме като изображения на множеството на Манделброт, защото необходимият брой изчисления не може да се направи ръчно. Първият човек, който използва компютър за това, е Беноа Манделброт.

През 1982 г. излиза книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата“, в която авторът събира и систематизира почти цялата налична по това време информация за фракталите и я представя по лесен и достъпен начин. Манделброт постави основния акцент в своето изложение не върху тежките формули и математически конструкции, а върху геометричната интуиция на читателите. Благодарение на компютърно генерирани илюстрации и исторически истории, с които авторът умело размива научния компонент на монографията, книгата се превръща в бестселър, а фракталите стават известни на широката публика. Техният успех сред нематематиците се дължи до голяма степен на факта, че с помощта на много прости конструкции и формули, които дори ученик в гимназията може да разбере, се получават изображения с удивителна сложност и красота. Когато персоналните компютри станаха достатъчно мощни, дори се появи цяла тенденция в изкуството - фрактално рисуване и почти всеки собственик на компютър можеше да го направи. Сега в интернет можете лесно да намерите много сайтове, посветени на тази тема.

Здравейте всички! Моето име е, Рибенек Валерия,Уляновск и днес ще публикувам няколко мои научни статии на сайта на LCI.

Първата ми научна статия в този блог ще бъде посветена на фрактали. Веднага ще кажа, че моите статии са предназначени за почти всяка аудитория. Тези. Надявам се, че ще представляват интерес както за ученици, така и за студенти.

Наскоро научих за такива интересни обекти от математическия свят като фракталите. Но те съществуват не само в математиката. Те ни заобикалят навсякъде. Фракталите са естествени. За това какво представляват фракталите, за видовете фрактали, за примерите за тези обекти и тяхното приложение, ще разкажа в тази статия. Като начало ще ви кажа накратко какво е фрактал.

Фрактал(лат. fractus – смачкан, счупен, счупен) е сложна геометрична фигура, която има свойството на самоподобие, тоест съставена е от няколко части, всяка от които е подобна на цялата фигура като цяло. В по-широк смисъл, фракталите се разбират като набори от точки в евклидовото пространство, които имат дробно метрично измерение (в смисъла на Минковски или Хаусдорф) или метрично измерение, различно от топологичното. Например ще вмъкна снимка на четири различни фрактала.

Нека ви разкажа малко за историята на фракталите. Концепциите за фрактална и фрактална геометрия, които се появяват в края на 70-те години, се утвърдиха в ежедневието на математиците и програмистите от средата на 80-те години. Думата "фрактал" е въведена от Беноа Манделброт през 1975 г., за да се отнася до неправилните, но самоподобни структури, които той изучава. Раждането на фракталната геометрия обикновено се свързва с публикуването през 1977 г. на книгата на Манделброт „Фракталната геометрия на природата“. В неговите трудове са използвани научните резултати на други учени, работили в периода 1875-1925 г. в същата област (Поанкаре, Фату, Джулия, Кантор, Хаусдорф). Но само в наше време беше възможно да се комбинира тяхната работа в единна система.

Има много примери за фрактали, защото, както казах, те ни заобикалят навсякъде. Според мен дори цялата ни Вселена е един огромен фрактал. В крайна сметка всичко в него, от структурата на атома до структурата на самата Вселена, точно се повтаря едно друго. Но има, разбира се, по-конкретни примери за фрактали от различни области. Фракталите, например, присъстват в сложна динамика. Там те естествено се появяват при изучаването на нелинейните динамични системи. Най-проучваният случай е, когато динамичната система се специфицира чрез итерации полиномили холоморфен функция на комплекс от променливина повърхността. Някои от най-известните фрактали от този тип са множеството на Джулия, множеството на Манделброт и басейните на Нютон. По-долу, по ред, снимките показват всеки от горните фрактали.

Друг пример за фрактали са фракталните криви. Най-добре е да обясните как да изградите фрактал, като използвате примера на фрактални криви. Една такава крива е така наречената снежинка на Кох. Има проста процедура за получаване на фрактални криви на равнина. Дефинираме произволна прекъсната линия с краен брой връзки, наречена генератор. След това заменяме всеки сегмент в него с генератор (по-точно счупена линия, подобна на генератор). В получената прекъсната линия отново заместваме всеки сегмент с генератор. Продължавайки до безкрайност, в предела получаваме фрактална крива. По-долу е показана снежинка на Кох (или крива).

Има и много фрактални криви. Най-известните от тях са вече споменатата снежинка на Кох, както и кривата на Леви, кривата Минковски, пречупеният дракон, кривата на пиано и питагорейското дърво. Изображение на тези фрактали и тяхната история, мисля, че ако желаете, можете лесно да намерите в Wikipedia.

Третият пример или вид фрактали са стохастичните фрактали. Такива фрактали включват траекторията на Брауновото движение в равнина и в пространството, еволюцията на Шрам-Льовнер, различни видове рандомизирани фрактали, тоест фрактали, получени чрез рекурсивна процедура, при която на всяка стъпка се въвежда произволен параметър.

Има и чисто математически фрактали. Това са например наборът на Кантор, гъбата на Менгер, триъгълникът на Серпински и др.

Но може би най-интересните фрактали са естествените. Естествените фрактали са обекти в природата, които имат фрактални свойства. И вече има голям списък. Няма да изброявам всичко, защото вероятно не мога да изброя всички, но ще разкажа за някои. Например в живата природа такива фрактали включват нашата кръвоносна система и белите дробове. А също и короните и листата на дърветата. Също така тук можете да включите морски звезди, морски таралежи, корали, морски раковини, някои растения, като зеле или броколи. По-долу са ясно показани няколко такива естествени фрактала от дивата природа.

Ако разгледаме неживата природа, тогава има много по-интересни примери, отколкото в живата природа. Светкавици, снежинки, облаци, познати на всички, шарки на прозорци в мразовитите дни, кристали, планински вериги - всичко това са примери за естествени фрактали от неживата природа.

Разгледахме примери и видове фрактали. Що се отнася до използването на фрактали, те се използват в различни области на знанието. Във физиката, фракталите естествено възникват при моделиране на нелинейни процеси, като турбулентен флуиден поток, сложни дифузионно-адсорбционни процеси, пламъци, облаци и др. Фракталите се използват при моделиране на порести материали, например в нефтохимията. В биологията те се използват за моделиране на популации и за описване на системи от вътрешни органи (система от кръвоносни съдове). След създаването на кривата на Кох беше предложено да се използва при изчисляване на дължината на бреговата линия. Също така фракталите се използват активно в радиотехниката, в компютърните науки и компютърните технологии, телекомуникациите и дори икономиката. И, разбира се, фракталното зрение се използва активно в съвременното изкуство и архитектура. Ето един пример за фрактални картини:

И така, с това мисля да завърша разказа си за такова необичайно математическо явление като фрактал. Днес научихме какво е фрактал, как се е появил, за видовете и примерите за фрактали. И аз също говорих за тяхното приложение и демонстрирах ясно някои от фракталите. Надявам се, че ви е харесала тази кратка екскурзия в света на невероятните и омайни фрактални обекти.



Секции