Болцманова константа. Универсалната газова константа е универсална, фундаментална физическа константа R, равна на произведението на константата на Болцман k и константата на Авогадро

Пеперудите, разбира се, не знаят нищо за змиите. Но птиците, които ловуват пеперуди, знаят за тях. Птиците, които не разпознават змии, са по-склонни да...

Константа на Болцман (k (\displaystyle k)или k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) е физическа константа, която определя връзката между температурата и енергията. Наречен на името на австрийския физик Лудвиг Болцман, който има голям принос към статистическата физика, в която тази константа играе ключова роля. Стойността му в Международната система от единици SI според промяната в дефинициите на основните SI единици (2018) е точно равна на

Връзка между температура и енергия

В хомогенен идеален газ при абсолютна температура T (\displaystyle T), енергията на транслационна степен на свобода е, както следва от разпределението на Максуел, kT / 2 (\displaystyle kT/2). При стайна температура (300°С) тази енергия е 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21)) J, или 0,013 eV. В едноатомен идеален газ всеки атом има три степени на свобода, съответстващи на три пространствени оси, което означава, че всеки атом има енергия в 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

Познавайки топлинната енергия, може да се изчисли средноквадратната атомна скорост, която е обратно пропорционална на квадратния корен от атомната маса. Средно квадратната скорост при стайна температура варира от 1370 m/s за хелий до 240 m/s за ксенон. В случай на молекулен газ ситуацията става по-сложна, например двуатомният газ има 5 степени на свобода - 3 транслационни и 2 ротационни (при ниски температури, когато вибрациите на атомите в молекулата не се възбуждат и допълнителни степени на свободата не се добавя).

Определение на ентропията

Ентропията на термодинамична система се определя като естествен логаритъм на броя на различните микросъстояния Z (\displaystyle Z)съответстващи на дадено макроскопско състояние (например състояние с дадена обща енергия).

Коефициент на пропорционалност k (\displaystyle k)и е константата на Болцман. Това е израз, който определя връзката между микроскопични ( Z (\displaystyle Z)) и макроскопски състояния ( S (\displaystyle S)), изразява централната идея на статистическата механика.

Роден през 1844 г. във Виена. Болцман е пионер и откривател в науката. Неговите трудове и изследвания често са били неразбрани и отхвърляни от обществото. Въпреки това, с по-нататъшното развитие на физиката, неговите произведения бяха признати и впоследствие публикувани.

Научните интереси на учения обхващаха такива фундаментални области като физиката и математиката. От 1867 г. работи като учител в редица висши учебни заведения. В своето изследване той установява, че това се дължи на хаотичните въздействия на молекулите върху стените на съда, в който се намират, докато температурата пряко зависи от скоростта на движение на частиците (молекулите), с други думи, от тях Следователно, колкото по-бързо се движат тези частици, толкова по-висока е температурата. Константата на Болцман е кръстена на известния австрийски учен. Именно той направи безценен принос за развитието на статичната физика.

Физическото значение на тази постоянна стойност

Константата на Болцман определя връзката между неща като температура и енергия. В статичната механика той играе основна ключова роля. Константата на Болцман е равна на k=1,3806505(24)*10 -23 J/K. Числата в скоби показват допустимата грешка в стойността на стойността спрямо последните цифри. Струва си да се отбележи, че константата на Болцман може да бъде получена и от други физически константи. Тези изчисления обаче са доста сложни и трудни за изпълнение. Те изискват задълбочени познания не само в областта на физиката, но и

Константата на Болцман, която е коефициент, равен на k = 1,38 · 10 - 23 J K, е част от значителен брой формули във физиката. Той получи името си от австрийския физик, един от основателите на молекулярно-кинетична теория. Формулираме дефиницията на константата на Болцман:

Определение 1

Болцманова константанаречена физическа константа, която определя връзката между енергията и температурата.

Не трябва да се бърка с константата на Стефан-Болцман, свързана с излъчването на енергията на абсолютно твърдо тяло.

Има различни методи за изчисляване на този коефициент. В тази статия ще разгледаме два от тях.

Намиране на константата на Болцман чрез уравнението на идеалния газ

Тази константа може да бъде намерена с помощта на уравнение, описващо състоянието на идеален газ. Експериментално може да се определи, че нагряването на всеки газ от T 0 = 273 K до T 1 = 373 K води до промяна в налягането му от p 0 = 1,013 10 5 Pa до p 0 = 1,38 10 5 Pa. Това е доста прост експеримент, който може да се направи дори само с въздух. За да измерите температурата, трябва да използвате термометър, а налягането - манометър. Важно е да запомните, че броят на молекулите в един мол от всеки газ е приблизително равен на 6 10 23, а обемът при налягане от 1 атом е V = 22,4 l. Като вземем предвид всички посочени параметри, можем да продължим към изчисляването на константата на Болцман k:

За да направите това, ние записваме уравнението два пъти, като заместваме параметрите на състоянието в него.

Знаейки резултата, можем да намерим стойността на параметъра k:

Намиране на константата на Болцман чрез формулата на Брауновото движение

За втория метод на изчисление също трябва да проведем експеримент. За него трябва да вземете малко огледало и да го окачите във въздуха с еластична нишка. Да приемем, че системата огледало-въздух е в стабилно състояние (статично равновесие). Молекулите на въздуха удрят огледалото, което по същество се държи като браунова частица. Въпреки това, като се вземе предвид неговото окачено състояние, можем да наблюдаваме въртеливи трептения около определена ос, съвпадаща с окачването (вертикално насочена нишка). Сега нека насочим лъч светлина към повърхността на огледалото. Дори при леки движения и завъртания на огледалото, лъчът, отразен в него, ще се измести забележимо. Това ни дава възможност да измерваме вибрациите на въртене на обект.

Означавайки модула на усукване като L, инерционния момент на огледалото спрямо оста на въртене като J и ъгъла на въртене на огледалото като φ, можем да напишем уравнението на трептене в следния вид:

Минусът в уравнението е свързан с посоката на момента на еластичните сили, който има тенденция да върне огледалото в равновесното му положение. Сега нека умножим двете части по φ, интегрираме резултата и получаваме:

Следното уравнение е законът за запазване на енергията, който ще е вярно за тези вибрации (тоест потенциалната енергия ще се преобразува в кинетична енергия и обратно). Можем да считаме тези трептения за хармонични, следователно:

При извеждането на една от формулите по-рано използвахме закона за равномерното разпределение на енергията по степени на свобода. Така че можем да го напишем така:

Както казахме, ъгълът на въртене може да бъде измерен. Така че, ако температурата е приблизително 290 K, а модулът на усукване L ≈ 10 - 15 N m; φ ≈ 4 10 - 6, тогава можем да изчислим стойността на необходимия ни коефициент, както следва:

Следователно, познавайки основите на Брауновото движение, можем да намерим константата на Болцман чрез измерване на макро параметри.

Стойността на константата на Болцман

Стойността на изследвания коефициент се състои във факта, че той може да се използва за свързване на параметрите на микрокосмоса с тези параметри, които описват макрокосмоса, например термодинамична температура с енергията на транслационното движение на молекулите:

Този коефициент е включен в уравненията на средната енергия на молекула, състоянието на идеалния газ, кинетичната теория на газа, разпределението на Болцман-Максуел и много други. Също така, константата на Болцман е необходима, за да се определи ентропията. Той играе важна роля при изследването на полупроводниците, например в уравнението, описващо зависимостта на електрическата проводимост от температурата.

Пример 1

състояние:изчислете средната енергия на газова молекула, състояща се от N-атомни молекули при температура Т, като знаете, че в молекулите се възбуждат всички степени на свобода – ротационна, транслационна, вибрационна. Всички молекули се считат за насипни.

Решение

Енергията е равномерно разпределена върху степените на свобода за всяка от нейните степени, което означава, че тези степени ще имат една и съща кинетична енергия. Ще бъде равно на ε i = 1 2 k T . След това, за да изчислим средната енергия, можем да използваме формулата:

ε = i 2 k T , където i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l е сумата от транслационни ротационни степени на свобода. Буквата k означава константа на Болцман.

Нека преминем към определяне на броя на степените на свобода на молекулата:

m p o s t = 3 , m υ r = 3 , следователно m k o l = 3 N - 6 .

i = 6 + 6 N - 12 \u003d 6 N - 6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

Отговор:при тези условия средната енергия на молекулата ще бъде равна на ε = 3 N - 3 k T .

Пример 2

състояние:е смес от два идеални газа, чиято плътност при нормални условия е p. Определете каква ще бъде концентрацията на един газ в сместа, при условие че знаем моларните маси на двата газа μ 1, μ 2.

Решение

Първо, изчислете общата маса на сместа.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02 .

Параметърът m 01 обозначава масата на молекула на един газ, m 02 е масата на молекула на друг газ, n 2 е концентрацията на молекулите на един газ, n 2 е концентрацията на втория. Плътността на сместа е равна на ρ.

Сега, от това уравнение, ние изразяваме концентрацията на първия газ:

n 1 \u003d ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02 .

p = n k T → n = p k T .

Заменете получената равна стойност:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .

Тъй като моларните маси на газовете са ни известни, можем да намерим масите на молекулите на първия и втория газ:

m 01 = μ 1 N A , m 02 = μ 2 N A .

Знаем също, че сместа от газове е при нормални условия, т.е. налягането е 1 at m, а температурата е 290 K. Така че можем да считаме проблема за решен.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Като точна количествена наука физиката не може без набор от много важни константи, които се включват като универсални коефициенти в уравнения, установяващи връзка между определени величини. Това са фундаментални константи, благодарение на които подобни отношения придобиват инвариантност и са в състояние да обяснят поведението на физическите системи в различни мащаби.

Сред такива параметри, характеризиращи свойствата, присъщи на материята на нашата Вселена, е константата на Болцман - величина, включена в редица от най-важните уравнения. Въпреки това, преди да се обърнем към разглеждането на неговите особености и значение, не може да не се каже няколко думи за учения, чието име носи.

Лудвиг Болцман: научни заслуги

Един от най-големите учени на 19 век, австриецът Лудвиг Болцман (1844-1906) има значителен принос за развитието на молекулярно-кинетична теория, като се превръща в един от създателите на статистическата механика. Той е автор на ергодичната хипотеза, статистическия метод при описанието на идеален газ, основното уравнение на физическата кинетика. Работил е много по въпросите на термодинамиката (Н-теоремата на Болцман, статистическият принцип за втория закон на термодинамиката), теорията на излъчването (законът на Стефан-Болцман). В своите трудове той засяга и някои въпроси на електродинамиката, оптиката и други клонове на физиката. Името му е увековечено в две физически константи, които ще бъдат разгледани по-долу.

Лудвиг Болцман беше убеден и последователен привърженик на теорията за атомната и молекулярната структура на материята. В продължение на много години той трябваше да се бори срещу неразбирането и отхвърлянето на тези идеи в научната общност от онова време, когато много физици смятаха атомите и молекулите за прекомерна абстракция, в най-добрия случай условно устройство, което служи за улесняване на изчисленията. Болезнено заболяване и атаки на консервативно настроени колеги предизвикаха тежка депресия у Болцман, неспособен да я понесе, изключителният учен се самоуби. Върху гробния паметник, над бюста на Болцман, в знак на признание за заслугите му е гравирано уравнението S = k∙logW – един от резултатите от плодотворната му научна дейност. Константата k в това уравнение е константа на Болцман.

Енергията на молекулите и температурата на материята

Концепцията за температура служи за характеризиране на степента на нагряване на тялото. Във физиката се използва абсолютна температурна скала, която се основава на заключението на молекулярно-кинетичната теория за температурата като мярка, която отразява големината на енергията на топлинното движение на частиците на веществото (което разбира се означава, че средна кинетична енергия на много частици).

Както SI джаул, така и CGS erg са твърде големи единици, за да изразят енергията на молекулите и на практика беше много трудно да се измери температурата по този начин. Удобна единица за температура е градусът, а измерването се извършва индиректно, чрез регистриране на променящите се макроскопични характеристики на веществото - например обем.

Как са свързани енергията и температурата?

За изчисляване на състоянията на реално вещество при температури и налягания, близки до нормалните, успешно се използва моделът на идеален газ, тоест такъв, чийто размер на молекулата е много по-малък от обема, зает от определено количество газ, и разстоянието между частиците значително надвишава радиуса на тяхното взаимодействие. Въз основа на уравненията на кинетичната теория, средната енергия на такива частици се определя като E cf = 3/2∙kT, където E е кинетичната енергия, T е температурата и 3/2∙k е въведения коефициент на пропорционалност от Болцман. Числото 3 тук характеризира броя на степените на свобода на транслационното движение на молекулите в три пространствени измерения.

Стойността k, която по-късно е наречена константа на Болцман в чест на австрийския физик, показва колко джаул или ерг съдържа един градус. С други думи, стойността му определя колко средно статистически нараства енергията на топлинното хаотично движение на една частица от едноатомен идеален газ с повишаване на температурата с 1 градус.

Колко пъти един градус е по-малък от джаул

Числената стойност на тази константа може да бъде получена по различни начини, например чрез измерване на абсолютна температура и налягане, като се използва уравнението на идеалния газ или като се използва моделът на Брауновото движение. Теоретичното извеждане на тази величина при сегашното ниво на познание не е възможно.

Константата на Болцман е 1,38 × 10 -23 J/K (тук K е келвин, градус по абсолютната температурна скала). За група частици в 1 мол идеален газ (22,4 литра), коефициентът, отнасящ енергията до температурата (универсалната газова константа) се получава чрез умножаване на константата на Болцман по числото на Авогадро (броя на молекулите в един мол): R = kN A и е 8,31 J / (mol∙kelvin). Въпреки това, за разлика от последното, константата на Болцман е по-универсална по своята същност, тъй като тя също така влиза в други важни взаимоотношения и също така служи за определяне на друга физическа константа.

Статистическо енергийно разпределение на молекулите

Тъй като макроскопските състояния на материята са резултат от поведението на голяма колекция от частици, те се описват с помощта на статистически методи. Последните включват също откриване как се разпределят енергийните параметри на газовите молекули:

• Максуелово разпределение на кинетичните енергии (и скорости). То показва, че в газ в равновесие повечето молекули имат скорости, близки до някаква най-вероятна скорост v = √(2kT/m 0), където m 0 е масата на молекулата.
• Болцманово разпределение на потенциалните енергии за газове в полето на всякакви сили, като земната гравитация. Зависи от съотношението на два фактора: привличане към Земята и хаотичното топлинно движение на газовите частици. В резултат на това, колкото по-ниска е потенциалната енергия на молекулите (по-близо до повърхността на планетата), толкова по-висока е тяхната концентрация.

И двата статистически метода се комбинират в разпределение на Максуел-Болцман, съдържащо експоненциален коефициент e - E/ kT , където E е сумата от кинетичната и потенциалната енергия, а kT е средната енергия на топлинното движение, вече известно за нас, контролирано от константата на Болцман.

Константа k и ентропия

В общ смисъл ентропията може да се характеризира като мярка за необратимост на термодинамичен процес. Тази необратимост е свързана с разсейване - разсейване - на енергия. В статистическия подход, предложен от Болцман, ентропията е функция от броя на начините, по които една физическа система може да бъде реализирана, без да се променя нейното състояние: S = k∙lnW.

Тук константата k задава скалата на растеж на ентропията с увеличаване на този брой (W) опции за внедряване на системата или микросъстояния. Макс Планк, който доведе тази формула до нейната съвременна форма и предложи да се даде името на константата k на Болцман.

Закон за радиацията на Стефан-Болцман

Физическият закон, който установява как енергийната светимост (мощност на излъчване на единица повърхност) на черно тяло зависи от неговата температура, има формата j = σT 4, тоест тялото излъчва пропорционално на четвъртата степен на своята температура. Този закон се използва например в астрофизика, тъй като излъчването на звездите е близко по характеристики до излъчването на черното тяло.

В това съотношение има друга константа, която също контролира мащаба на явлението. Това е константата на Стефан-Болцман σ, която е приблизително 5,67 × 10 -8 W / (m 2 ∙K 4). Неговото измерение включва келвини, което означава, че е ясно, че тук участва и константата на Болцман k. Всъщност стойността на σ се дефинира като (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), където c е скоростта на светлината, а h е константата на Планк. Така константата на Болцман, комбинирана с други световни константи, образува величина, която отново свързва енергията (мощността) и температурата - в този случай по отношение на радиацията.

Физическата същност на константата на Болцман

Вече беше отбелязано по-горе, че константата на Болцман е една от така наречените фундаментални константи. Въпросът е не само, че дава възможност да се установи връзка между характеристиките на микроскопичните явления на молекулярно ниво и параметрите на процесите, наблюдавани в макрокосмоса. И не само, че тази константа е включена в редица важни уравнения.

Понастоящем не е известно дали има някакъв физически принцип, от който теоретично може да се извлече. С други думи, от нищо не следва, че стойността на дадена константа трябва да бъде точно такава. Можем да използваме други количества и други единици вместо градуси като мярка за съответствието на кинетичната енергия на частиците, тогава числената стойност на константата ще бъде различна, но ще остане постоянна стойност. Наред с други фундаментални величини от този вид - граничната скорост c, константата на Планк h, елементарния заряд e, гравитационната константа G - науката приема константата на Болцман като даденост на нашия свят и я използва за теоретично описание на физическите процеси, протичащи в то.