В някои проблеми на физиката не може да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но има възможност да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникват диференциалните уравнения и необходимостта от тяхното решаване, за да се намери неизвестна функция.

Тази статия е предназначена за тези, които са изправени пред проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е изградена по такъв начин, че с нулево разбиране на диференциалните уравнения можете да си вършите работата.

Всеки тип диференциални уравнения е свързан с метод на решение с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Просто трябва да определите вида на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия.

За да решавате успешно диференциални уравнения, ще ви е необходима и способността да намирате набори от антипроизводни (неопределени интеграли) от различни функции. Ако е необходимо, препоръчваме да се обърнете към раздела.

Първо разглеждаме видовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени по отношение на производната, след това преминаваме към ODE от втори ред, след това се спираме на уравнения от по-висок ред и завършваме със системи от диференциални уравнения.

Припомнете си, че ако y е функция на аргумента x.

Диференциални уравнения от първи ред.

Най-простите диференциални уравнения от първи ред на вида .

Нека напишем няколко примера за такова DE .

Диференциални уравнения може да бъде разрешено по отношение на производната чрез разделяне на двете страни на равенството на f(x) . В този случай стигаме до уравнението , което ще бъде еквивалентно на оригиналното за f(x) ≠ 0 . Примери за такива ODE са .

Ако има стойности на аргумента x, за които функциите f(x) и g(x) едновременно изчезват, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решения на уравнението дадено x са всички функции, дефинирани за тези стойности на аргумента. Примери за такива диференциални уравнения са .

Диференциални уравнения от втори ред.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

LODE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциални уравнения. Тяхното решение не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение . За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или комплексен конюгат. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение, общото решение на диференциалното уравнение се записва като , или , или съответно.

Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характерно уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LDE с постоянни коефициенти е


Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Общото решение на LIDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси като сума от общото решение на съответния LODE и конкретно решение на оригиналното нехомогенно уравнение, т.е. Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И конкретно решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти за определена форма на функцията f (x) , стояща от дясната страна на оригиналното уравнение, или чрез метода на вариация на произволни константи.

Като примери за LIDE от втори ред с постоянни коефициенти, ние представяме


За да разберете теорията и да се запознаете с подробните решения на примерите, ви предлагаме на страницата линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODEs) и линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDEs).

Специален случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LODE с постоянни коефициенти.

Общото решение на LODE на определен интервал се представя от линейна комбинация от две линейно независими частни решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

Основната трудност се крие именно в намирането на линейно независими частични решения на този тип диференциално уравнение. Обикновено конкретни решения се избират от следните системи от линейно независими функции:


Конкретните решения обаче не винаги се представят в тази форма.

Пример за LODU е .

Общото решение на LIDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LODE и е частно решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането, но то може да се определи с помощта на метода на вариация на произволни константи.

Пример за LNDE е .

Диференциални уравнения от по-висок порядък.

Диференциални уравнения, допускащи редукция на реда.

Ред на диференциално уравнение , който не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 порядък, може да бъде намален до n-k чрез замяна на .

В този случай и оригиналното диференциално уравнение се свежда до . След намиране на нейното решение p(x), остава да се върнем към заместването и да определим неизвестната функция y .

Например диференциалното уравнение след като замяната се превръща в разделимо уравнение и неговият ред се намалява от третото към първото.

Диференциални уравнения от първи ред. Примери за решение.
Диференциални уравнения с отделими променливи

Диференциални уравнения (DE). Тези две думи обикновено ужасяват обикновения лаик. Диференциалните уравнения изглеждат нещо скандално и трудно за овладяване за много ученици. Уууууу... диференциални уравнения, как ще преживея всичко това?!

Подобно мнение и такова отношение са коренно погрешни, защото в действителност ДИФЕРЕНЦИАЛНИТЕ УРАВНЕНИЯ СА ПРОСТИ И ДАЖЕ ЗАБАВНИ. Какво трябва да знаете и да можете да научите да решавате диференциални уравнения? За да изучавате успешно дифузията, трябва да сте добри в интегрирането и диференцирането. Колкото по-добре се изучават темите Производна на функция на една променливаи Неопределен интеграл, толкова по-лесно ще бъде разбирането на диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, значи темата е практически усвоена! Колкото повече интеграли от различни видове можете да решите, толкова по-добре. Защо? Трябва да интегрирате много. И диференцирайте. Също горещо препоръчвамнаучи се да намираш.

В 95% от случаите има 3 вида диференциални уравнения от първи ред в тестовите документи: разделими уравнения, които ще разгледаме в този урок; хомогенни уравненияи линейни нехомогенни уравнения. За начинаещи да изучават дифузори, съветвам ви да прочетете уроците в тази последователност и след като изучите първите две статии, няма да навреди да консолидирате уменията си в допълнителен семинар - уравнения, които се редуцират до хомогенни.

Има още по-редки видове диференциални уравнения: уравнения в тотални диференциали, уравнения на Бернули и някои други. От последните два вида най-важните са уравненията в общите диференциали, тъй като в допълнение към този DE, обмислям нов материал - частична интеграция.

Ако ви остават само ден-два, тогава за ултра бързо приготвянеима блиц курсв pdf формат.

И така, ориентирите са поставени - да тръгваме:

Нека първо си припомним обичайните алгебрични уравнения. Те съдържат променливи и числа. Най-простият пример:. Какво означава да се реши обикновено уравнение? Това означава да намерите набор от числакоито удовлетворяват това уравнение. Лесно е да се види, че детското уравнение има един корен: . За забавление, нека да направим проверка, да заменим намерения корен в нашето уравнение:

- се получава правилно равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Дифузите са подредени почти по същия начин!

Диференциално уравнение първа поръчкаобщо взето съдържа:
1) независима променлива;
2) зависима променлива (функция);
3) първата производна на функцията: .

В някои уравнения от 1-ви порядък може да няма "x" или (и) "y", но това не е от съществено значение - важнотака че в ДУ бешепърва производна и не са ималипроизводни от по-висок порядък - и др.

Какво означава ?Да се ​​реши диференциално уравнение означава да се намери набор от всички функциикоито удовлетворяват това уравнение. Такъв набор от функции често има формата ( е произволна константа), която се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Пример 1

Решете диференциално уравнение

Пълни боеприпаси. Откъде да започна решение?

На първо място, трябва да пренапишете производната в малко по-различна форма. Припомняме тромавата нотация, която мнозина от вас вероятно смятат за смешна и ненужна. Именно тя управлява в дифузьорите!

Във втората стъпка нека видим дали е възможно разделяне на променливи?Какво означава разделяне на променливи? Грубо казано, отлявотрябва да си тръгнем само "игри", а от дясната странаорганизирайте само х. Разделянето на променливите се извършва с помощта на "училищни" манипулации: скоби, прехвърляне на термини от част в част с промяна на знака, прехвърляне на фактори от част в част според правилото за пропорция и др.

Диференциали и са пълни множители и активни участници във военните действия. В този пример променливите се разделят лесно чрез обръщане на коефициенти според правилото за пропорция:

Променливите са разделени. От лявата страна - само "Игра", от дясната - само "X".

Следващ етап - интегриране на диференциално уравнение. Просто е, ние окачваме интеграли и на двете части:

Разбира се, трябва да се вземат интеграли. В този случай те са таблични:

Както си спомняме, константа се присвоява на всеки антидериват. Тук има два интеграла, но е достатъчно да запишем константата веднъж (защото константа + константа все още е равна на друга константа). В повечето случаи се поставя от дясната страна.

Строго погледнато, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо е, че нашето „y“ не се изразява чрез „x“, тоест решението е представено в имплицитнотоформа. Неявното решение на диференциално уравнение се нарича общ интеграл на диференциалното уравнение. Това е общият интеграл.

Отговорът в тази форма е напълно приемлив, но има ли по-добър вариант? Нека се опитаме да получим общо решение.

Вие сте добре дошъл, запомнете първата техника, той е много разпространен и често използван в практически задачи: ако след интегрирането от дясната страна се появи логаритъм, тогава в много случаи (но в никакъв случай не винаги!) също е препоръчително да запишете константата под логаритъма.

т.е. ВМЕСТОзаписите обикновено се пишат .

Защо е необходимо това? И с цел по-лесно изразяване на "у". Използваме свойството на логаритмите . В такъв случай:

Сега логаритмите и модулите могат да бъдат премахнати:

Функцията е представена изрично. Това е общото решение.

Отговор: общо решение: .

Отговорите на много диференциални уравнения са сравнително лесни за проверка. В нашия случай това се прави съвсем просто, вземаме намереното решение и го диференцираме:

След това заместваме производната в оригиналното уравнение:

- се получава правилното равенство, което означава, че общото решение удовлетворява уравнението , което е необходимо да се провери.

Като давате константа различни стойности, можете да получите безкраен брой частни решениядиференциално уравнение. Ясно е, че някоя от функциите , и т.н. удовлетворява диференциалното уравнение .

Понякога се нарича общото решение семейство от функции. В този пример общото решение е семейство от линейни функции или по-скоро семейство от преки пропорционалности.

След подробно обсъждане на първия пример е подходящо да се отговори на няколко наивни въпроса относно диференциалните уравнения:

1)В този пример успяхме да разделим променливите. Винаги ли е възможно да се направи това?Не, не винаги. И още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например, в хомогенни уравнения от първи редпърво трябва да се смени. В други видове уравнения, например, в линейно нехомогенно уравнение от първи ред, трябва да използвате различни трикове и методи, за да намерите общо решение. Уравненията с отделяема променлива, които разглеждаме в първия урок, са най-простият тип диференциални уравнения.

2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциално уравнение?Не, не винаги. Много е лесно да се измисли "фантастично" уравнение, което не може да бъде интегрирано, освен това има интеграли, които не могат да бъдат взети. Но такива DE могат да бъдат решени приблизително с помощта на специални методи. Д'Аламбер и Коши гарантират... ...уф, lurkmore.за да прочетох много току-що, почти добавих "от другия свят".

3) В този пример получихме решение под формата на общ интеграл . Винаги ли е възможно да се намери общо решение от общия интеграл, тоест да се изрази "y" в изрична форма?Не, не винаги. Например: . Е, как мога да изразя "у" тук?! В такива случаи отговорът трябва да бъде записан като общ интеграл. Освен това понякога може да се намери общо решение, но е написано толкова тромаво и тромаво, че е по-добре да оставите отговора под формата на общ интеграл

4) ...може би достатъчно за сега. В първия пример се срещнахме друг важен момент, но за да не затрупам "манекените" с лавина от нова информация, ще го оставя до следващия урок.

Да не бързаме. Друго просто дистанционно управление и друго типично решение:

Пример 2

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие

Решение: според условието, което се изисква да се намери частно решение DE, който удовлетворява дадено начално условие. Този вид разпит също се нарича Проблем на Коши.

Първо, намираме общо решение. В уравнението няма променлива "x", но това не трябва да е смущаващо, основното е, че има първата производна.

Пренаписваме производната в необходимия вид:

Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета отляво, момичета отдясно:

Интегрираме уравнението:

Получава се общият интеграл. Тук нарисувах константа с акцент звезда, факт е, че много скоро тя ще се превърне в друга константа.

Сега се опитваме да преобразуваме общия интеграл в общо решение (изразете "y" изрично). Спомняме си старото, доброто училище: . В такъв случай:

Константата в индикатора изглежда някак не кошерна, така че обикновено се спуска от небето на земята. В детайли, това се случва така. Използвайки свойството градуси, пренаписваме функцията, както следва:

Ако е константа, тогава е и някаква константа, преозначете я с буквата:

Не забравяйте, че "разрушаването" на константа е втора техника, който често се използва в хода на решаване на диференциални уравнения.

Така че общото решение е: Такова хубаво семейство от експоненциални функции.

На последния етап трябва да намерите конкретно решение, което удовлетворява даденото първоначално условие. Освен това е просто.

Каква е задачата? Трябва да се вземе такъвстойността на константата за удовлетворяване на условието.

Можете да го подредите по различни начини, но най-разбираемият може би ще бъде така. В общото решение вместо „x“ заместваме нула и вместо „y“ две:



т.е.

Стандартна версия на дизайна:

Сега заместваме намерената стойност на константата в общото решение:
– това е конкретното решение, от което се нуждаем.

Отговор: частно решение:

Да направим проверка. Проверката на конкретно решение включва два етапа:

Първо, е необходимо да се провери дали намереното конкретно решение наистина удовлетворява първоначалното условие? Вместо "x" заместваме нула и виждаме какво се случва:
- да, наистина се получи двойка, което означава, че първоначалното условие е изпълнено.

Вторият етап вече е познат. Вземаме полученото конкретно решение и намираме производната:

Заместете в оригиналното уравнение:

- се получава правилното равенство.

Заключение: конкретното решение е намерено правилно.

Нека да преминем към по-смислени примери.

Пример 3

Решете диференциално уравнение

решение:Пренаписваме производната във формата, от която се нуждаем:

Оценяване дали променливите могат да бъдат разделени? Мога. Прехвърляме втория член в дясната страна с промяна на знака:

И обръщаме факторите според правилото за пропорция:

Променливите са разделени, нека интегрираме двете части:

Трябва да ви предупредя, че идва съдният ден. Ако не сте научили добре неопределени интеграли, решени няколко примера, тогава няма къде да отидете - трябва да ги овладеете сега.

Интегралът от лявата страна е лесен за намиране, с интеграла на котангенса се занимаваме със стандартната техника, която разгледахме в урока Интегриране на тригонометрични функцииМиналата година:

От дясната страна имаме логаритъм и според първата ми техническа препоръка константата също трябва да бъде записана под логаритъма.

Сега се опитваме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме само логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. Чрез известни свойствамаксимално "опаковат" логаритмите. Ще пиша много подробно:

Опаковката е пълна, за да бъде варварски оръфана:

Възможно ли е да се изрази "у"? Мога. И двете части трябва да бъдат на квадрат.

Но не е нужно.

Трети технически съвет:ако за да получите общо решение трябва да се издигнете до степен или да пуснете корени, тогава В повечето случаитрябва да се въздържате от тези действия и да оставите отговора под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда просто ужасно - с големи корени, табели и други боклуци.

Следователно, ние записваме отговора като общ интеграл. Счита се за добра форма да го представите във формата, тоест от дясната страна, ако е възможно, оставете само константа. Не е необходимо да се прави това, но винаги е от полза да се хареса на професора ;-)

Отговор:общ интеграл:

! Забележка: общият интеграл на всяко уравнение може да се запише по повече от един начин. По този начин, ако резултатът ви не съвпада с предварително известен отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Общият интеграл също се проверява доста лесно, основното е да можете да намерите производна на функция, дефинирана имплицитно. Нека разграничим отговора:

Умножаваме и двата термина по:

И разделяме на:

Оригиналното диференциално уравнение е получено точно, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което удовлетворява началното условие. Извършете проверка.

Това е пример "направи си сам".

Напомням ви, че алгоритъмът се състои от два етапа:
1) намиране на общо решение;
2) намиране на необходимото конкретно решение.

Проверката също се извършва на две стъпки (виж образеца в Пример № 2), трябва:
1) уверете се, че конкретното намерено решение удовлетворява първоначалното условие;
2) проверете дали определено решение като цяло удовлетворява диференциалното уравнение.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение , удовлетворяващи първоначалното условие . Извършете проверка.

решение:Първо, нека намерим общо решение.Това уравнение вече съдържа готови диференциали и , което означава, че решението е опростено. Разделяне на променливите:

Интегрираме уравнението:

Интегралът вляво е табличен, интегралът отдясно е взет методът за сумиране на функцията под знака на диференциала:

Общият интеграл е получен, възможно ли е успешно да се изрази общото решение? Мога. Окачваме логаритми от двете страни. Тъй като те са положителни, модулните знаци са излишни:

(Надявам се всички да разберат трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

Така че общото решение е:

Нека намерим конкретно решение, съответстващо на даденото начално условие.
В общото решение вместо „x“ заместваме нула и вместо „y“ логаритъмът на две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

Отговор:частно решение:

Проверете: Първо проверете дали е изпълнено първоначалното условие:
- всичко е наред.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение изобщо удовлетворява диференциалното уравнение. Намираме производната:

Нека да разгледаме оригиналното уравнение: – представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциала от намерената производна:

Заместваме намереното конкретно решение и получения диференциал в оригиналното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилно равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият начин за проверка е огледален и по-познат: от уравнението изразете производната, за това разделяме всички парчета на:

И в трансформираната DE заместваме полученото частно решение и намерената производна. В резултат на опростяването трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Решете диференциалното уравнение. Изразете отговора като общ интеграл.

Това е пример за самостоятелно решаване, пълно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности очакват при решаването на диференциални уравнения с отделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за чайник), че променливите могат да бъдат разделени. Помислете за условен пример: . Тук трябва да извадите факторите от скоби: и да отделите корените:. Как да се процедира по-нататък е ясно.

2) Трудности в самата интеграция. Интегралите често възникват не от най-простите и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, тогава ще е трудно с много дифузори. Освен това логиката „тъй като диференциалното уравнение е просто, нека интегралите са по-сложни“ е популярна сред компилаторите на колекции и ръководства.

3) Трансформации с константа. Както всички са забелязали, константа в диференциалните уравнения може да се обработва доста свободно и някои трансформации не винаги са ясни за начинаещ. Нека разгледаме друг хипотетичен пример: . В него е препоръчително да умножите всички термини по 2: . Получената константа също е някакъв вид константа, която може да бъде обозначена с: . Да, и тъй като от дясната страна има логаритъм, препоръчително е да пренапишете константата като друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. В резултат на това записът на решението приема следната форма:

Каква ерес? Ето грешките! Строго погледнато, да. Въпреки това, от същностна гледна точка няма грешки, тъй като в резултат на трансформацията на променлива константа все пак се получава променлива константа.

Или друг пример, да предположим, че в хода на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, така че е препоръчително да промените знака на всеки термин: . Формално отново има грешка - вдясно трябва да бъде написано . Но неофициално се подразбира, че „минус ce“ все още е константа ( който също толкова добре приема всякакви стойности!), така че поставянето на "минус" няма смисъл и можете да използвате същата буква.

Ще се опитам да избегна небрежния подход и все пак ще запиша различни индекси за константи, когато ги конвертирам.

Пример 7

Решете диференциалното уравнение. Извършете проверка.

решение:Това уравнение допуска разделяне на променливи. Разделяне на променливите:

Ние интегрираме:

Константата тук не трябва да се дефинира под логаритъм, тъй като нищо добро няма да излезе от нея.

Отговор:общ интеграл:

Проверка: Разграничете отговора (неявна функция):

Отърваваме се от дробите, за това умножаваме и двата термина по:

Оригиналното диференциално уравнение е получено, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете конкретно решение на DE.
,

Това е пример "направи си сам". Единственият намек е, че тук получавате общ интеграл и, по-правилно, трябва да се стремите да намерите не конкретно решение, а частен интеграл. Пълно решение и отговор в края на урока.

6.1. ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ДЕФИНИЦИИ

При решаване на различни задачи по математика и физика, биология и медицина доста често не е възможно незабавно да се установи функционална зависимост под формата на формула, свързваща променливите, които описват изследвания процес. Обикновено трябва да се използват уравнения, съдържащи освен независимата променлива и неизвестната функция и нейните производни.

Определение.Уравнение, свързващо независима променлива, неизвестна функция и нейните производни от различни порядки, се нарича диференциал.

Обикновено се обозначава неизвестната функция y(x)или просто y,и неговите производни са y", y"и т.н.

Възможни са и други обозначения, например: if г= x(t), тогава x"(t), x""(t)са негови производни и те независима променлива.

Определение.Ако функцията зависи от една променлива, тогава диференциалното уравнение се нарича обикновено. Обща форма обикновено диференциално уравнение:

или

Функции Фи еможе да не съдържа някои аргументи, но за да бъдат уравненията диференциални, наличието на производна е от съществено значение.

Определение.Редът на диференциалното уравнениее редът на най-високата производна, включена в него.

Например, x 2 y"- г= 0, y" + sin х= 0 са уравнения от първи ред и y"+ 2 y"+ 5 г= хе уравнение от втори ред.

При решаване на диференциални уравнения се използва операцията за интегриране, която е свързана с появата на произволна константа. Ако се приложи действието за интегриране нпъти, тогава, очевидно, решението ще съдържа нпроизволни константи.

6.2. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ПЪРВИ РЕД

Обща форма диференциално уравнение от първи редсе дефинира от израза

Уравнението може да не съдържа изрично хи y,но задължително съдържа y".

Ако уравнението може да се запише като

тогава получаваме диференциално уравнение от първи ред, решено по отношение на производната.

Определение.Общото решение на диференциалното уравнение от първи ред (6.3) (или (6.4)) е набор от решения , където Се произволна константа.

Графиката за решаване на диференциално уравнение се нарича интегрална крива.

Даване на произволна константа Сразлични стойности, е възможно да се получат конкретни решения. На повърхността xOyобщото решение е семейство от интегрални криви, съответстващи на всяко конкретно решение.

Ако поставите точка A(x0, y0),през която трябва да премине интегралната крива, тогава по правило от множеството функции може да се отдели едно - конкретно решение.

Определение.Частно решениена диференциално уравнение е неговото решение, което не съдържа произволни константи.

Ако е общо решение, а след това от условието

можете да намерите постоянен С.Условието се нарича първоначално състояние.

Проблемът за намиране на конкретно решение на диференциално уравнение (6.3) или (6.4), което удовлетворява първоначалното условие в Наречен проблемът на Коши.Винаги ли този проблем има решение? Отговорът се съдържа в следната теорема.

Теорема на Коши(теорема за съществуването и единствеността на решението). Нека в диференциалното уравнение y"= f(x, y)функция f(x, y)и тя

частична производна дефинирани и непрекъснати в някои

области Д,съдържащи точка След това в района дсъществуват

единственото решение на уравнението, което удовлетворява първоначалното условие в

Теоремата на Коши гласи, че при определени условия съществува уникална интегрална крива г= f(x),преминаване през точка Точки, в които условията на теоремата не са изпълнени

Котките се наричат специален.Счупвания в тези точки е(x, y) или.

Или няколко интегрални криви преминават през единична точка, или нито една.

Определение.Ако решението (6.3), (6.4) се намери във формата е(x, y, ° С)= 0 не е разрешено по отношение на y, тогава се извиква общ интегралдиференциално уравнение.

Теоремата на Коши гарантира само, че решението съществува. Тъй като няма единен метод за намиране на решение, ще разгледаме само някои видове диференциални уравнения от първи ред, които са интегрируеми в квадратчета.

Определение.Диференциалното уравнение се нарича интегрируеми в квадратури,ако търсенето на неговото решение се сведе до интегриране на функции.

6.2.1. Диференциални уравнения от първи ред с отделими променливи

Определение.Диференциалното уравнение от първи ред се нарича уравнение с отделими променливи,

Дясната страна на уравнение (6.5) е произведение на две функции, всяка от които зависи само от една променлива.

Например, уравнението е уравнение с разделяне

преминаване на променливи
и уравнението

не може да се представи във вида (6.5).

Предвид това , пренаписваме (6.5) като

От това уравнение получаваме диференциално уравнение с отделени променливи, в което диференциалите съдържат функции, които зависят само от съответната променлива:

Интегрирайки термин по термин, имаме

където C= C 2 - C 1 е произволна константа. Изразът (6.6) е общият интеграл на уравнение (6.5).

Разделяйки двете части на уравнение (6.5) на , можем да загубим онези решения, за които, Наистина, ако в

тогава очевидно е решение на уравнение (6.5).

Пример 1Намерете решение на уравнението, което отговаря

състояние: г= 6 at х= 2 (г(2) = 6).

Решение.Да заменим в"за тогава . Умножете двете страни по

dx,тъй като при по-нататъшна интеграция е невъзможно да се напусне dxв знаменателя:

и след това разделяне на двете части на получаваме уравнението,

които могат да бъдат интегрирани. Ние интегрираме:

Тогава ; потенцирайки, получаваме y = C . (x + 1) - ob-

решение.

Въз основа на изходните данни определяме произволна константа, като ги заместваме в общото решение

Най-накрая получаваме г= 2(x + 1) е конкретно решение. Помислете за още няколко примера за решаване на уравнения с отделими променливи.

Пример 2Намерете решение на уравнението

Решение.Предвид това , получаваме .

Интегрирайки двете страни на уравнението, имаме

където

Пример 3Намерете решение на уравнението Решение.Разделяме и двете части на уравнението на онези фактори, които зависят от променлива, която не съвпада с променливата под диференциалния знак, т.е. и интегрирайте. Тогава получаваме

и накрая

Пример 4Намерете решение на уравнението

Решение.Знаейки какво ще получим. Раздел-

lim променливи. Тогава

Интегрирайки, получаваме

Коментирайте.В примери 1 и 2 желаната функция гизразено изрично (общо решение). В примери 3 и 4 - имплицитно (общ интеграл). В бъдеще формата на решението няма да се уточнява.

Пример 5Намерете решение на уравнението Решение.

Пример 6Намерете решение на уравнението удовлетворяващо

състояние y(e)= 1.

Решение.Записваме уравнението във формата

Умножаване на двете страни на уравнението по dxи нататък получаваме

Интегрирайки двете страни на уравнението (интегралът от дясната страна се взема от части), получаваме

Но по условие г= 1 при х= д. Тогава

Заменете намерените стойности Св общо решение:

Полученият израз се нарича конкретно решение на диференциалното уравнение.

6.2.2. Хомогенни диференциални уравнения от първи ред

Определение.Диференциалното уравнение от първи ред се нарича хомогеннаако може да се представи като

Представяме алгоритъм за решаване на хомогенно уравнение.

1. Вместо това гвъведете нова функция След това и следователно

2. По отношение на функцията uуравнението (6.7) приема формата

т.е. замяната редуцира хомогенното уравнение до уравнение с отделими променливи.

3. Решавайки уравнение (6.8), първо намираме u, а след това г= ux.

Пример 1реши уравнението Решение.Записваме уравнението във формата

Правим замяна:
Тогава

Да заменим

Умножете по dx: Разделете на хи нататък тогава

Интегрирайки двете части на уравнението по отношение на съответните променливи, имаме

или, връщайки се към старите променливи, най-накрая получаваме

Пример 2реши уравнението Решение.Нека бъде тогава

Разделете двете страни на уравнението на x2: Нека отворим скобите и пренаредим термините:

Преминавайки към старите променливи, стигаме до крайния резултат:

Пример 3Намерете решение на уравнението предвид това

Решение.Извършване на стандартна подмяна получаваме

или

или

Така че конкретното решение има формата Пример 4Намерете решение на уравнението

Решение.

Пример 5Намерете решение на уравнението Решение.

Самостоятелна работа

Намерете решение на диференциални уравнения с отделими променливи (1-9).

Намерете решение на хомогенни диференциални уравнения (9-18).

6.2.3. Някои приложения на диференциални уравнения от първи ред

Проблемът с радиоактивния разпад

Скоростта на разпадане на Ra (радия) във всеки момент от време е пропорционална на наличната му маса. Намерете закона за радиоактивния разпад на Ra, ако е известно, че в началния момент е имало Ra и периодът на полуразпад на Ra е 1590 години.

Решение.Нека в момента масата Ra е х= x(t) g и Тогава скоростта на разпадане на Ra е

Според задачата

където к

Разделяйки променливите в последното уравнение и интегрирайки, получаваме

където

За определяне ° Сизползваме началното условие: .

Тогава и следователно,

Коефициент на пропорционалност копределя от допълнителното условие:

Ние имаме

Оттук и желаната формула

Проблемът със скоростта на размножаване на бактериите

Скоростта на размножаване на бактериите е пропорционална на техния брой. В началния момент имаше 100 бактерии. В рамките на 3 часа броят им се удвои. Намерете зависимостта на броя на бактериите от времето. Колко пъти ще се увеличи броят на бактериите в рамките на 9 часа?

Решение.Нека бъде х- броят на бактериите в момента т.Тогава, според условието,

където к- коефициент на пропорционалност.

Оттук От условието се знае, че . означава,

От допълнителното условие . Тогава

Необходима функция:

И така, при т= 9 х= 800, тоест в рамките на 9 часа броят на бактериите се е увеличил 8 пъти.

Задачата за увеличаване на количеството на ензима

В културата на бирена мая скоростта на растеж на активния ензим е пропорционална на първоначалното му количество. х.Първоначално количество ензим асе удвои в рамките на един час. Намерете зависимост

x(t).

Решение.По условие диференциалното уравнение на процеса има вида

оттук

Но . означава, ° С= аи тогава

Известно е също, че

следователно,

6.3. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ВТОРИ РЕД

6.3.1. Основни понятия

Определение.Диференциално уравнение от втори редсе нарича релация, свързваща независимата променлива, желаната функция и нейните първи и втори производни.

В специални случаи, x може да отсъства в уравнението, вили y". Въпреки това, уравнението от втори ред трябва задължително да съдържа y". В общия случай диференциалното уравнение от втори ред се записва като:

или, ако е възможно, във формата, разрешена за втората производна:

Както в случая на уравнение от първи ред, уравнението от втори ред може да има общо и конкретно решение. Общото решение изглежда така:

Намиране на частно решение

при начални условия - дадени

номер) се нарича проблемът на Коши.Геометрично, това означава, че е необходимо да се намери интегралната крива в= y(x),преминаване през дадена точка и с допирателна в тази точка, което е около

вилици с положителна посока на ос волдаден ъгъл. д. (фиг. 6.1). Проблемът на Коши има уникално решение, ако дясната страна на уравнението (6.10), непредварително

е прекъснат и има непрекъснати частични производни по отношение на ти, ти"в някакъв квартал на изходната точка

За намиране на константа включени в конкретно решение, е необходимо да се разреши на системата

Ориз. 6.1.интегрална крива

Обикновено диференциално уравнение наречено уравнение, което свързва независима променлива, неизвестна функция на тази променлива и нейните производни (или диференциали) от различни порядки.

Редът на диференциалното уравнение е редът на най-високата производна, съдържаща се в него.

Освен обикновените се изучават и частни диференциални уравнения. Това са уравнения, свързани с независими променливи, неизвестна функция на тези променливи и нейните частни производни по отношение на същите променливи. Но ние само ще разгледаме обикновени диференциални уравнения и затова ще пропуснем думата "обикновен" за краткост.

Примери за диференциални уравнения:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) е от четвърти ред, уравнение (2) е от трети ред, уравнения (3) и (4) са от втори ред, уравнение (5) е от първи ред.

Диференциално уравнение нред не трябва изрично да съдържа функция, всички нейни производни от първо до нпорядък и независима променлива. Може да не съдържа изрично производни на някои порядки, функция, независима променлива.

Например, в уравнение (1) очевидно няма производни от трети и втори порядък, както и функции; в уравнение (2) - производна от втори ред и функция; в уравнение (4) - независима променлива; в уравнение (5) - функции. Само уравнение (3) съдържа изрично всички производни, функцията и независимата променлива.

Чрез решаване на диференциалното уравнение се извиква всяка функция y = f(x), замествайки който в уравнението, то се превръща в тъждество.

Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича негов интеграция.

Пример 1Намерете решение на диференциалното уравнение.

Решение. Записваме това уравнение във формата . Решението е да се намери функцията по нейната производна. Първоначалната функция, както е известно от интегралното смятане, е антипроизводната за, т.е.

Ето какво е то решение на даденото диференциално уравнение . променяйки се в него ° С, ще получим различни решения. Открихме, че има безкраен брой решения на диференциално уравнение от първи ред.

Общо решение на диференциалното уравнение н th ред е неговото решение, изразено изрично по отношение на неизвестната функция и съдържащо ннезависими произволни константи, т.е.

Решението на диференциалното уравнение в пример 1 е общо.

Частично решение на диференциалното уравнение се извиква неговото решение, при което на произволни константи се приписват конкретни числови стойности.

Пример 2Намерете общото решение на диференциалното уравнение и конкретно решение за .

Решение. Интегрираме двете части на уравнението толкова пъти, че редът на диференциалното уравнение е равен.

,

.

В резултат на това получихме общото решение -

дадено диференциално уравнение от трети ред.

Сега нека намерим конкретно решение при посочените условия. За да направите това, заместваме техните стойности вместо произволни коефициенти и получаваме

.

Ако в допълнение към диференциалното уравнение, първоначалното условие е дадено във формата , тогава такъв проблем се нарича Проблем на Коши . Стойностите и се заместват в общото решение на уравнението и се намира стойността на произволна константа ° С, а след това конкретно решение на уравнението за намерената стойност ° С. Това е решението на проблема на Коши.

Пример 3Решете задачата на Коши за диференциалното уравнение от пример 1 при условието .

Решение. Заместваме в общото решение стойностите от първоначалното условие г = 3, х= 1. Получаваме

Записваме решението на задачата на Коши за даденото диференциално уравнение от първи ред:

Решаването на диференциални уравнения, дори и на най-простите, изисква добри умения за интегриране и вземане на производни, включително сложни функции. Това може да се види в следния пример.

Пример 4Намерете общото решение на диференциалното уравнение.

Решение. Уравнението е написано в такава форма, че двете страни могат да бъдат интегрирани незабавно.

.

Прилагаме метода на интегриране чрез промяна на променливата (заместване). Нека тогава.

Задължително да се вземе dxи сега - внимание - ние го правим според правилата за диференциране на сложна функция, тъй като хи има сложна функция ("ябълка" - извличане на квадратен корен или, което е същото - повишаване на степен "една секунда", и "мляно месо" - самият израз под корена):

Намираме интеграла:

Връщане към променливата х, получаваме:

.

Това е общото решение на това диференциално уравнение от първа степен.

При решаването на диференциални уравнения ще са необходими не само умения от предишните раздели на висшата математика, но и умения от елементарна, тоест училищна математика. Както вече беше споменато, в диференциално уравнение от всякакъв ред може да няма независима променлива, т.е. променлива х. Знанието за пропорциите, което не е забравено (все пак всеки има такова) от училищната скамейка, ще помогне за решаването на този проблем. Това е следващият пример.

Диференциално уравнение (DE) е уравнението,
където са независими променливи, y е функция и са частични производни.

Обикновено диференциално уравнение е диференциално уравнение, което има само една независима променлива, .

Частично диференциално уравнение е диференциално уравнение, което има две или повече независими променливи.

Думите „обикновени“ и „частични производни“ могат да бъдат пропуснати, ако е ясно кое уравнение се разглежда. По-нататък се разглеждат обикновените диференциални уравнения.

Ред на диференциално уравнение е ред на най-високата производна.

Ето пример за уравнение от първи ред:

Ето пример за уравнение от четвърти ред:

Понякога диференциалното уравнение от първи ред се записва по отношение на диференциали:

В този случай променливите x и y са равни. Тоест независимата променлива може да бъде или x, или y. В първия случай y е функция на x. Във втория случай x е функция на y. Ако е необходимо, можем да доведем това уравнение до вид, в който производната y′ влиза изрично.
Разделяйки това уравнение на dx , получаваме:
.
Тъй като и , следва, че
.

Решение на диференциални уравнения

Производните на елементарните функции се изразяват чрез елементарни функции. Интегралите на елементарните функции често не се изразяват чрез елементарни функции. При диференциалните уравнения положението е още по-лошо. В резултат на решението можете да получите:

• явна зависимост на функция от променлива;

  Решаване на диференциално уравнение е функцията y = u (х), което е дефинирано, е n пъти диференцируемо, и .

• имплицитна зависимост под формата на уравнение от тип Φ (x, y) = 0или системи от уравнения;

  Интеграл от диференциално уравнение е решение на диференциално уравнение, което има имплицитна форма.

• зависимост, изразена чрез елементарни функции и интеграли от тях;

  Решение на диференциално уравнение в квадратури - това е намиране на решение под формата на комбинация от елементарни функции и интеграли от тях.

• решението може да не се изрази чрез елементарни функции.

Тъй като решението на диференциални уравнения се свежда до изчисляване на интеграли, решението включва набор от константи C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Броят на константите е равен на реда на уравнението. Частичен интеграл от диференциално уравнение е общият интеграл за дадените стойности на константите C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Препратки:
В.В. Степанов, Курс по диференциални уравнения, LKI, 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.