Разлика на логаритмите със същата основна формула. Логаритъм на правилото за действие с логаритми

• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др. Алгебрата и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати в техникуми).

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или връзка с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

Следват някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкрийте личната си информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния правоприемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние предприемаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на ниво компания

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Във връзка с

може да се постави задачата да се намери някое от трите числа от другите две дадени. Дадено a и след това N се намира чрез степенуване. Ако са дадени N и тогава a се намира чрез извличане на корена на степента x (или степенуване). Сега разгледайте случая, когато при дадени a и N се изисква да се намери x.

Нека числото N е положително: числото a е положително и не е равно на единица: .

Определение. Логаритъмът на числото N спрямо основата a е степента, към която трябва да повишите a, за да получите числото N; логаритъмът се обозначава с

Така в равенство (26.1) степента се намира като логаритъм на N спрямо основата a. Вписвания

имат същото значение. Равенството (26.1) понякога се нарича основно тъждество на теорията на логаритмите; всъщност той изразява дефиницията на понятието логаритъм. Според това определение основата на логаритъма a винаги е положителна и различна от единица; логаритмируемото число N е положително. Отрицателните числа и нулата нямат логаритми. Може да се докаже, че всяко число с дадена основа има добре дефиниран логаритъм. Следователно равенството включва . Обърнете внимание, че условието е съществено тук, в противен случай заключението не би било оправдано, тъй като равенството е вярно за всякакви стойности на x и y.

Пример 1. Намерете

Решение. За да получите числото, трябва да повишите база 2 на степен. Следователно.

Можете да записвате при решаване на такива примери в следната форма:

Пример 2. Намерете .

Решение. Ние имаме

В примери 1 и 2 лесно намерихме желания логаритъм, като представихме логаритмируемото число като степен на основа с рационален показател. В общия случай, например за т.н., това не може да се направи, тъй като логаритъмът има ирационална стойност. Нека обърнем внимание на един въпрос, свързан с това твърдение. В § 12 дадохме концепцията за възможността за определяне на всяка реална степен на дадено положително число. Това беше необходимо за въвеждането на логаритми, които по принцип могат да бъдат ирационални числа.

Помислете за някои свойства на логаритмите.

Свойство 1. Ако числото и основата са равни, тогава логаритъмът е равен на единица и обратно, ако логаритъмът е равен на единица, тогава числото и основата са равни.

Доказателство. Нека По дефиницията на логаритъма имаме и откъде

Обратно, нека Тогава по дефиниция

Свойство 2. Логаритъмът на единицата към която и да е основа е равен на нула.

Доказателство. По дефиницията на логаритъма (нулевата мощност на всяка положителна основа е равна на единица, виж (10.1)). Оттук

Q.E.D.

Обратното твърдение също е вярно: ако , тогава N = 1. Наистина имаме .

Преди да посочим следното свойство на логаритмите, нека се съгласим да кажем, че две числа a и b лежат от една и съща страна на трето число c, ако и двете са по-големи от c или по-малки от c. Ако едно от тези числа е по-голямо от c, а другото е по-малко от c, тогава казваме, че те лежат от противоположните страни на c.

Свойство 3. Ако числото и основата лежат на една и съща страна на единицата, тогава логаритъмът е положителен; ако числото и основата лежат на противоположните страни на единицата, тогава логаритъмът е отрицателен.

Доказателството за свойство 3 се основава на факта, че степента на a е по-голяма от единица, ако основата е по-голяма от единица и степента е положителна, или основата е по-малка от единица, а степента е отрицателна. Степента е по-малка от единица, ако основата е по-голяма от единица и степента е отрицателна, или основата е по-малка от единица и степента е положителна.

Има четири случая, които трябва да бъдат разгледани:

Ние се ограничаваме до анализа на първия от тях, останалите читателят ще разгледа сам.

Нека тогава експонентът в равенството не е нито отрицателен, нито равен на нула, следователно е положителен, т.е., което се изискваше да бъде доказано.

Пример 3. Разберете кои от следните логаритми са положителни и кои са отрицателни:

Решение, а) тъй като числото 15 и основата 12 са разположени от една и съща страна на модула;

b) , тъй като 1000 и 2 са разположени от една и съща страна на модула; в същото време не е от съществено значение основата да е по-голяма от логаритмичното число;

в), тъй като 3.1 и 0.8 лежат от противоположните страни на единицата;

Ж) ; защо?

д) ; защо?

Следните свойства 4-6 често се наричат ​​правила на логаритъм: те позволяват, знаейки логаритмите на някои числа, да се намерят логаритмите на тяхното произведение, частно, степен на всяко от тях.

Свойство 4 (правилото за логаритъма на произведението). Логаритъмът на произведението на няколко положителни числа в дадена основа е равен на сбора от логаритмите на тези числа в същата основа.

Доказателство. Нека са дадени положителни числа.

За логаритъма на техния продукт записваме равенството (26.1), определящо логаритъма:

От тук намираме

Сравнявайки експонентите на първия и последния израз, получаваме необходимото равенство:

Обърнете внимание, че условието е съществено; логаритъмът на произведението на две отрицателни числа има смисъл, но в този случай получаваме

Като цяло, ако произведението на няколко фактора е положително, тогава неговият логаритъм е равен на сбора от логаритмите на модулите на тези фактори.

Свойство 5 (правило за частен логаритъм). Логаритъмът на частно от положителни числа е равен на разликата между логаритмите на делимото и делителя, взети в една и съща основа. Доказателство. Намерете последователно

Q.E.D.

Свойство 6 (правило на логаритъма на степента). Логаритъмът на степента на всяко положително число е равен на логаритъма на това число, умножен на степента.

Доказателство. Пишем отново основната идентичност (26.1) за числото:

Q.E.D.

Последица. Логаритъмът на корена на положително число е равен на логаритъма на коренното число, разделен на степента на корена:

Можем да докажем валидността на това следствие, като представим как и използваме свойство 6.

Пример 4. Логаритъм на база a:

а) (приема се, че всички стойности b, c, d, e са положителни);

б) (предполага се, че ).

Решение, а) Удобно е да преминем в този израз към дробни степени:

Въз основа на равенства (26.5)-(26.7) сега можем да запишем:

Забелязваме, че върху логаритмите на числата се извършват по-прости операции, отколкото върху самите числа: при умножение на числата се събират логаритмите им, при разделяне се изваждат и т.н.

Ето защо логаритмите са били използвани в изчислителната практика (вж. § 29).

Действието, обратно на логаритъма, се нарича потенциране, а именно: потенцирането е действието, чрез което самото това число се намира от дадения логаритъм на число. По същество потенцирането не е никакво специално действие: то се свежда до повишаване на основата до степен (равна на логаритъма на числото). Терминът "потенциране" може да се счита за синоним на термина "потенциране".

При потенциране е необходимо да се използват правилата, които са обратни на правилата на логаритъма: заменете сумата от логаритмите с логаритъма на произведението, разликата на логаритмите с логаритъма на частното и т.н. По-специално, ако има всеки фактор пред знака на логаритъма, тогава по време на потенцирането той трябва да се прехвърли в индикаторните градуси под знака на логаритъма.

Пример 5. Намерете N, ако е известно, че

Решение. Във връзка с посоченото току-що правило за потенциране, множителите 2/3 и 1/3, които са пред знаците на логаритмите от дясната страна на това равенство, ще бъдат прехвърлени в степените под знаците на тези логаритми; получаваме

Сега заменяме разликата на логаритмите с логаритъма на частното:

за да получим последната дроб в тази верига от равенства, освободихме предишната дроб от ирационалност в знаменателя (раздел 25).

Свойство 7. Ако основата е по-голяма от единица, то по-голямото число има по-голям логаритъм (и по-малкото има по-малък), ако основата е по-малко от единица, то по-голямото число има по-малък логаритъм (и по-малкото единият има по-голям).

Това свойство също се формулира като правило за логаритъма на неравенствата, и двете части на които са положителни:

При вземане на логаритъм от неравенства на основа, по-голяма от единица, знакът на неравенството се запазва, а при вземане на логаритъм на основа, по-малка от единица, знакът на неравенството се обръща (виж също т. 80).

Доказателството се основава на свойства 5 и 3. Разгледайте случая, когато Ако , тогава и, като вземем логаритъма, получаваме

(a и N/M лежат от една и съща страна на единицата). Оттук

Следва случай а, читателят ще го разбере сам.

Определение на логаритъм

Логаритъмът на числото b спрямо основата a е степента, към която трябва да повишите a, за да получите b.

Числото ев математиката е обичайно да се обозначава границата, към която клони изразът

Номер де ирационално число- число, несъизмеримо с единица, не може да бъде точно изразено нито като цяло, нито като дроб рационалнономер.

писмо д- първата буква на латинската дума exonere- да парадирам, откъдето идва и името в математиката експоненциален- експоненциална функция.

номер дсе използва широко в математиката и във всички науки, по един или друг начин използвайки математически изчисления за своите нужди.

Логаритми. Свойства на логаритмите

Определение: Основният логаритъм на положително число b е степента c, до която трябва да се повиши числото a, за да се получи числото b.

Основна логаритмична идентичност:

7) Формула за преход към нова база:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Задачи и тестове на тема „Логаритми. Свойства на логаритмите»

• Логаритми – Важни теми за повтаряне на изпита по математика

За да изпълнявате успешно задачи по тази тема, трябва да знаете определението на логаритъма, свойствата на логаритмите, основната логаритмична идентичност, определенията на десетичния и естествения логаритъм. Основните видове задачи по тази тема са задачи за изчисляване и преобразуване на логаритмични изрази. Нека разгледаме тяхното решение на следните примери.

решение:Използвайки свойствата на логаритмите, получаваме

решение:използвайки свойствата на степента, получаваме

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Свойства на логаритмите, формулировки и доказателства.

Логаритмите имат редица характерни свойства. В тази статия ще анализираме основните свойства на логаритмите. Тук даваме техните формулировки, записваме свойствата на логаритмите под формата на формули, показваме примери за тяхното приложение, а също така даваме доказателства за свойствата на логаритмите.

Навигация в страницата.

Основни свойства на логаритмите, формулите

За по-лесно запомняне и използване ви представяме основни свойства на логаритмитекато списък с формули. В следващия раздел даваме техните формулировки, доказателства, примери за употреба и необходимите обяснения.

Частно свойство на логаритъм: , където a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .

Последица: , където a>0 , a≠1 , n е естествено число, по-голямо от едно, b>0 .

Следствие 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Последствие 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p и q са реални числа, q≠0 , по-специално, за b=a имаме .

Изявления и доказателства за имоти

Преминаваме към формулирането и доказването на записаните свойства на логаритмите. Всички свойства на логаритмите се доказват въз основа на определението на логаритъма и основното логаритмично тъждество, което следва от него, както и свойствата на степента.

Да започнем с свойства на логаритъма на единството. Неговата формулировка е следната: логаритъмът на единството е равен на нула, т.е. log a 1=0за всяко a>0, a≠1. Доказателството е просто: тъй като a 0 =1 за всяко a, което отговаря на горните условия a>0 и a≠1 , тогава доказаното равенство log a 1=0 непосредствено следва от дефиницията на логаритъма.

Нека дадем примери за приложение на разглежданото свойство: log 3 1=0 , lg1=0 и .

Да преминем към следващото свойство: логаритъмът на число, равно на основата, е равно на единицат.е. log a a=1за a>0 , a≠1 . Всъщност, тъй като a 1 =a за всяко a , то според дефиницията на логаритъма log a a=1 .

Примери за използване на това свойство на логаритмите са log 5 5=1 , log 5.6 5.6 и lne=1 .

Логаритъмът на степента на число, равно на основата на логаритъма, е равен на степента. Това свойство на логаритъма съответства на формула от вида log a a p =p, където a>0 , a≠1 и p е всяко реално число. Това свойство следва директно от определението на логаритъма. Имайте предвид, че ви позволява незабавно да посочите стойността на логаритъма, ако е възможно да представите числото под знака на логаритъма като степен на основа, ще говорим повече за това в статията за изчисляване на логаритми.

Например, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 и .

Логаритъм на произведението на две положителни числа x и y е равно на произведението на логаритмите на тези числа: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Нека докажем свойството на логаритъма на произведението. Поради свойствата на степента a log a x + log a y =a log a x a log a y , и тъй като по основната логаритмична идентичност a log a x =x и log a y =y , тогава a log a x a log a y =x y . Така, a log a x+log a y =x y , откъдето изискваното равенство следва от дефиницията на логаритъма.

Нека покажем примери за използване на свойството на логаритъма на продукта: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и .

Свойството логаритъм на произведението може да се обобщи до произведението на крайно число n от положителни числа x 1 , x 2 , ..., x n като log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Това равенство може лесно да се докаже чрез метода на математическата индукция.

Например, естественият логаритъм на продукт може да бъде заменен със сумата от три естествени логаритъма на числата 4 , e и .

Логаритъм на частното от две положителни числа x и y е равно на разликата между логаритмите на тези числа. Свойството на частния логаритъм съответства на формула от вида , където a>0 , a≠1 , x и y са някои положителни числа. Валидността на тази формула се доказва като формулата за логаритъм на произведението: тъй като , след това по дефиницията на логаритъма .

Ето пример за използване на това свойство на логаритъма: .

Да преминем към свойство на логаритъма на степента. Логаритъмът на степен е равен на произведението на степента и логаритъма на модула на основата на тази степен. Записваме това свойство на логаритъма на степента под формата на формула: log a b p =p log a |b|, където a>0 , a≠1 , b и p са числа такива, че степента на b p има смисъл и b p >0 .

Първо доказваме това свойство за положително b . Основната логаритмична идентичност ни позволява да представим числото b като log a b , след това b p =(a log a b) p , а полученият израз, поради свойството на степента, е равен на a p log a b . Така стигаме до равенството b p =a p log a b , от което по дефиницията на логаритъма заключаваме, че log a b p =p log a b .

Остава да се докаже това свойство за отрицателно b . Тук отбелязваме, че изразът log a b p за отрицателно b има смисъл само за четни експоненти p (тъй като стойността на степента b p трябва да е по-голяма от нула, в противен случай логаритъмът няма да има смисъл), а в този случай b p =|b| п . Тогава b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , откъдето log a b p =p log a |b| .

Например, и ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Това следва от предходния имот свойство на логаритъма от корена: логаритъмът на корена от n-та степен е равен на произведението на дроб 1/n и логаритъма на коренния израз, тоест където a>0, a≠1, n е естествено число, по-голямо от едно, b>0.

Доказателството се основава на равенство (виж дефиницията на степен с дробен показател), което е валидно за всяко положително b , и свойството на логаритъма на степента: .

Ето пример за използване на това свойство: .

Сега да докажем формула за преобразуване към новата основа на логаритъмамил . За да направите това, достатъчно е да се докаже валидността на равенството log c b=log a b log c a . Основната логаритмична идентичност ни позволява да представим числото b като log a b , след което log c b=log c a log a b . Остава да използваме свойството на логаритъма на степента: log c a log a b = log a b log c a . Така е доказано равенството log c b=log a b log c a, което означава, че е доказана и формулата за преход към нова основа на логаритъма .

Нека покажем няколко примера за прилагане на това свойство на логаритмите: и .

Формулата за преминаване към нова база ви позволява да преминете към работа с логаритми, които имат „удобна“ основа. Например, може да се използва за превключване към естествени или десетични логаритми, така че да можете да изчислите стойността на логаритъма от таблица с логаритми. Формулата за преход към нова основа на логаритъма също позволява в някои случаи да се намери стойността на даден логаритъм, когато са известни стойностите на някои логаритми с други бази.

Често се използва специален случай на формулата за преход към нова основа на логаритъма за c=b на формата. Това показва, че log a b и log b a са взаимно обратни числа. Например, .

Често се използва и формулата, което е удобно при намиране на стойности на логаритъм. За да потвърдим думите си, ще покажем как се изчислява стойността на логаритъма на формуляра с него. Ние имаме . За да се докаже формулата, е достатъчно да се използва формулата за преход към новата основа на логаритъма a: .

Остава да се докажат сравнителните свойства на логаритмите.

Нека използваме обратния метод. Да предположим, че за a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 2 и за 0 1 log a 1 b≤log a 2 b е вярно. Чрез свойствата на логаритмите тези неравенства могат да бъдат пренаписани като и съответно и от тях следва, че log b a 1 ≤log b a 2 и log b a 1 ≥log b a 2, съответно. Тогава по свойствата на степени със същите основи трябва да бъдат изпълнени равенствата b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, тоест a 1 ≥a 2 . Така стигнахме до противоречие с условието a 1 2 . Това завършва доказателството.

Основни свойства на логаритмите

• Материали за урока
• Изтеглете всички формули

Логаритмите, като всяко число, могат да се добавят, изваждат и преобразуват по всякакъв възможен начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Тези правила трябва да се знаят – нито един сериозен логаритмичен проблем не може да бъде решен без тях. Освен това те са много малко – всичко може да се научи за един ден. Така че нека започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Да разгледаме два логаритма с една и съща основа: log a x и log a y. След това те могат да се добавят и изваждат и:

И така, сборът от логаритмите е равен на логаритъма на произведението, а разликата е логаритъмът на частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е - същите основания. Ако основите са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще помогнат за изчисляването на логаритмичния израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите - и вижте:

Задача. Намерете стойността на израза: log 6 4 + log 6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата за сума:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 − log 2 3.

Основите са еднакви, използваме формулата за разлика:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 − log 3 5.

Отново, основите са едни и същи, така че имаме:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от "лоши" логаритми, които не се разглеждат отделно. Но след трансформации се оказват съвсем нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, този контрол - подобни изрази с пълна сериозност (понякога - практически без промени) се предлагат на изпита.

Премахване на степента от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава степента на тази степен може да бъде извадена от знака на логаритъма съгласно следните правила:

• log a x n = n log a x ;
• 
• 

Лесно е да се види, че последното правило следва първите им две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва логаритъмът на ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата преди знака на логаритъма в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6 .

Нека се отървем от степента в аргумента според първата формула:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете стойността на израза:

[Надпис на фигура]

Забележете, че знаменателят е логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Ние имаме:

[Надпис на фигура]

Мисля, че последният пример се нуждае от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на стоящия там логаритъм под формата на градуси и извадиха индикаторите - получиха „триетажна“ дроб.

Сега нека разгледаме главната дроб. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дроба - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четирите могат да бъдат прехвърлени в числителя, което беше направено. Резултатът е отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако основите са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

На помощ идват формули за преминаване към нова база. Формулираме ги под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм log a x. Тогава за всяко число c такова, че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

[Надпис на фигура]

По-специално, ако поставим c = x , получаваме:

[Надпис на фигура]

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но целият израз се „преобръща“, т.е. логаритъмът е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновените числови изрази. Възможно е да се оцени колко удобни са те само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма са точни експоненти. Нека извадим индикаторите: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Сега нека обърнем втория логаритъм:

[Надпис на фигура]

Тъй като продуктът не се променя от пермутация на фактори, ние спокойно умножихме четири и две и след това изчислихме логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека го запишем и да се отървем от индикаторите:

[Надпис на фигура]

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като се преместим на нова основа:

[Надпис на фигура]

Основна логаритмична идентичност

Често в процеса на решаване се изисква числото да се представи като логаритъм към дадена основа. В този случай формулите ще ни помогнат:

1. n = log a a n

2. В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото това е само стойността на логаритъма.

   Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Нарича се основна логаритмична идентичност.

   Наистина, какво ще се случи, ако числото b се повиши до такава степен, че числото b на тази степен да даде числото a? Точно така: това е същото число a . Прочетете внимателно този абзац отново - много хора се "окачват" на него.

   Подобно на новите формули за основно преобразуване, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

   [Надпис на фигура]

   Обърнете внимание, че log 25 64 = log 5 8 - просто вземете квадрата на основата и аргумента на логаритъма. Като се имат предвид правилата за умножение на степени със същата основа, получаваме:

   [Надпис на фигура]

   Ако някой не е наясно, това беше истинска задача от Единния държавен изпит 🙂

   Логаритмична единица и логаритмична нула

   В заключение ще дам две идентичности, които трудно могат да се нарекат свойства – по-скоро това са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се срещат в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за "напреднали" ученици.

   1. log a a = 1 е логаритмичната единица. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът към всяка основа a от самата основа е равен на единица.
   2. log a 1 = 0 е логаритмична нула. Основата а може да бъде всякаква, но ако аргументът е един - логаритъмът е нула! Тъй като 0 = 1 е пряко следствие от дефиницията.

   Това са всички имоти. Не забравяйте да практикувате прилагането им! Изтеглете листа за мами в началото на урока, разпечатайте го - и решете проблемите.

   Логаритъм. Свойства на логаритъма (събиране и изваждане).

   Свойства на логаритъмаследват от неговото определение. И така логаритъмът на числото бпо разум адефиниран като степента, до която трябва да се повиши числото аза да получите номера б(логаритъмът съществува само за положителни числа).

   От тази формулировка следва, че изчислението x=log a b, е еквивалентно на решаване на уравнението ax=b.Например, log 2 8 = 3защото 8 = 2 3 . Формулирането на логаритъма дава възможност да се обоснове, че ако b=a c, след това логаритъмът на числото бпо разум асе равнява с. Ясно е също, че темата за логаритъма е тясно свързана с темата за степента на число.

   С логаритмите, както с всички числа, можете да изпълнявате операции събиране, изважданеи се трансформира по всякакъв възможен начин. Но с оглед на факта, че логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук важат собствени специални правила, които се наричат основни свойства.

   Събиране и изваждане на логаритми.

   Вземете два логаритма със същата основа: log xи регистрирайте у. След това премахване е възможно да се извършват операции по събиране и изваждане:

   както виждаме, сума от логаритмие равно на логаритъма на произведението и разлика логаритми- логаритъмът на частното. И това е вярно, ако числата а, Хи вположително и а ≠ 1.

   Важно е да се отбележи, че основният аспект в тези формули са едни и същи бази. Ако основите се различават една от друга, тези правила не важат!

   Правилата за събиране и изваждане на логаритми с еднакви основи се четат не само отляво надясно, но и обратно. В резултат имаме теоремите за логаритъма на произведението и логаритъма на частното.

   Логаритъм на произведениетодве положителни числа е равно на сбора от техните логаритми ; перифразирайки тази теорема, получаваме следното, ако числата а, хи вположително и а ≠ 1, тогава:

   Логаритъм на частнотона две положителни числа е равно на разликата между логаритмите на делимото и делителя. С други думи, ако числата а, хи вположително и а ≠ 1, тогава:

   Прилагаме горните теореми за решаване примери:

   Ако числата хи втогава са отрицателни формула за логаритъм на произведениетостава безсмислено. Така че е забранено да се пише:

   тъй като изразите log 2 (-8) и log 2 (-4) изобщо не са дефинирани (логаритмичната функция в= дневник 2 хдефиниран само за положителни стойности на аргумента х).

   Продуктова теоремае приложим не само за два, но и за неограничен брой фактори. Това означава, че за всеки естествен ки всякакви положителни числа х 1 , х 2 , . . . ,x nима самоличност:

   От теореми за частен логаритъмможе да се получи още едно свойство на логаритъма. Добре известно е, че дневника а 1= 0, следователно,

   Значи има равенство:

   Логаритми от две взаимно реципрочни числана една и съща основа ще се различават един от друг само по знак. Така:

   Логаритъм. Свойства на логаритмите

   Логаритъм. Свойства на логаритмите

   Помислете за равенството. Уведомете ни стойностите и искаме да намерим стойността на .

   Тоест търсим експонента, към която трябва да се наклоните, за да получите .

   Нека бъде променливата може да приеме всяка реална стойност, тогава върху променливите се налагат следните ограничения: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Ако знаем стойностите на и , и сме изправени пред задачата да намерим неизвестното, тогава за тази цел се въвежда математическа операция, която се нарича логаритъм.

   За да намерим стойността, която приемаме логаритъм на числоНа фондация :

   Логаритъмът на число към основата е степента, към която трябва да се повиши, за да получите .

   т.е основна логаритмична идентичност:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   по същество е математическа нотация дефиниции на логаритъм.

   Логаритъмът на математическата операция е обратен на степента, така че свойства на логаритмитеса тясно свързани със свойствата на степента.

   Изброяваме основните свойства на логаритмите:

   (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   5.

   Следната група свойства ви позволява да представите експонента на израза под знака на логаритъма или стоящ в основата на логаритъма като коефициент преди знака на логаритъма:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Следващата група формули ви позволява да преминете от логаритъм с дадена основа към логаритъм с произволна основа и се нарича преходни формули към нова основа:

   10.

   12. (следствие от свойство 11)

   

   Следните три свойства не са добре известни, но често се използват при решаване на логаритмични уравнения или при опростяване на изрази, съдържащи логаритми:

   13.

   14.

   15.

   Специални случаи:

   — десетичен логаритъм

   — естествен логаритъм

   При опростяване на изрази, съдържащи логаритми, се прилага общ подход:

   1. Представяме десетичните дроби под формата на обикновени.

   2. Представяме смесените числа като неправилни дроби.

   3. Числата в основата на логаритъма и под знака на логаритъма се разлагат на прости множители.

   4. Опитваме се да приведем всички логаритми към една и съща основа.

   5. Приложете свойствата на логаритмите.

   Нека разгледаме примери за опростяване на изрази, съдържащи логаритми.

   Пример 1

   Изчисли:

   Нека опростим всички експоненти: нашата задача е да ги доведем до логаритми, чиято основа е същото число като основата на степента.

   ==(по свойство 7)=(по свойство 6) =

   Заместете индикаторите, които сме получили в оригиналния израз. Получаваме:

   Отговор: 5,25

   Пример 2 Изчислете:

   

   Привеждаме всички логаритми до основа 6 (в този случай логаритмите от знаменателя на дроба ще „мигрират“ към числителя):

   Нека разложим числата под знака на логаритъма на прости множители:

   Приложете свойства 4 и 6:

   Представяме подмяната

   Получаваме:

   Отговор: 1

   Логаритъм . Основна логаритмична идентичност.

   Свойства на логаритмите. Десетичен логаритъм. естествен логаритъм.

   логаритъм положително число N в основата (б > 0, б 1) се нарича степента x, до която трябва да повишите b, за да получите N .

   Този запис е еквивалентен на следното: b x = N .

   ПРИМЕРИ: log 3 81 = 4, тъй като 3 4 = 81 ;

   log 1/3 27 = – 3, защото (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   Горното определение на логаритъма може да бъде записано като идентичност:

   

   Основни свойства на логаритмите.

   2) log 1 = 0, защото б 0 = 1 .

   3) Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите на факторите:

   4) Логаритъмът на частното е равен на разликата между логаритмите на дивидента и делителя:

   5) Логаритъмът на степента е равен на произведението на степента и логаритъма на нейната основа:

   Последствието от това свойство е следното: лог корен равен на логаритъма на коренното число, разделен на степента на корена:

   

   6) Ако основата на логаритъма е градус, тогава стойността реципрочната стойност на степента може да бъде извадена от знака на римата:

   

   Последните две свойства могат да бъдат комбинирани в едно:

   

   7) Формулата за модула на прехода (т.е. прехода от една основа на логаритъма към друга основа):

   

   В конкретен случай, когато N = ание имаме:

   

   Десетичен логаритъм Наречен основен логаритъм 10. Означава се lg, т.е. дневник 10 н= дневник н. Логаритми от числа 10, 100, 1000, . p са съответно 1, 2, 3, …, т.е. има толкова много положителни

   единици, колко нули има в логаритъма след единица. Логаритми от числа 0,1, 0,01, 0,001, . p са съответно –1, –2, –3, …, т.е. имат толкова отрицателни, колкото има нули в логаритъма преди единицата (включително нулеви цели числа). Логаритмите на останалите числа имат дробна част, наречена мантиса. Извиква се цялата част на логаритъма Характеристика. За практически приложения десетичните логаритми са най-удобни.

   естествен логаритъм Наречен основен логаритъм д. Означава се с ln, т.е. дневник д н=ln н. номер де ирационално, приблизителната му стойност е 2,718281828. Това е границата, към която числото (1 + 1 / н) нс неограничено увеличение н(см. първо прекрасно ограничениена страницата Ограничения на поредицата от номера).
   Колкото и странно да изглежда, естествените логаритми се оказаха много удобни при извършване на различни операции, свързани с анализа на функциите. Изчисляване на основни логаритми дмного по-бързо от всяка друга основа.

• Какво ви трябва днес, за да осиновите дете в Русия? Осиновяването в Русия, освен отговорно лично решение, включва редица процедури за държавна проверка на кандидатите. Твърдият подбор на подготвителния етап допринася за повече […]
• Безплатна информация по TIN или OGRN от данъчния регистър в цяла Русия - онлайн На Единния портал за данъчни услуги, информация за държавна регистрация на юридически лица, индивидуални предприемачи, […]
• Наказание за шофиране без документи (шофьорска книжка, застраховка, STS) Понякога, поради забрава, шофьорите сядат зад волана без книжка и получават глоба за шофиране без документи. Припомняме, че един шофьор, шофирайки с него непременно […]
• Цветя за мъже. Какви цветя можете да подарите на мъж? Какви цветя могат да се подарят на мъж? Няма толкова много "мъжки" цветя, но има такива, които се подаряват на мъжете. Малък списък с цветя пред вас: Хризантеми. рози. Карамфили. […]
• Бележката е специална форма на документ, която се използва във вътрешната среда на предприятието и служи за бързо решаване на текущи производствени проблеми. Обикновено този документ се изготвя с цел да направи някои […]
• Кога и как да получите финансираната част от пенсията в Сбербанк? Сбербанк е банка партньор на държавния пенсионен фонд. Въз основа на това гражданите, които са издали капиталова пенсия, могат да прехвърлят финансираната […]
• Детски надбавки в Уляновск и Уляновска област през 2018 г. Освен това във всички региони действат програми, одобрени от федералния закон. Нека видим на кого и какви ползи може да разчита. Като регионални власти […]
• Подробно ръководство за изготвяне на пълномощно за представляване на интересите на физическо лице в съда В гражданско или арбитражно дело, в административно или наказателно дело, интересите както на ищеца, така и на ответника могат да бъдат представлявани от адвокат: […]