Обемът на пирамида с правоъгълна основа. Обем на правилна пирамида

У дома

Дъждовна канализация

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Многостен, чиято основа е правилен триъгълник, а останалите лица са равнобедрени триъгълници, се нарича триъгълна пирамида.Друга такава пирамида се нарича тетраедър.

Правилната пирамида има много свойства, които се извличат от нейните съставни фигури:

Всички страни на основата са равни една на друга, тъй като тя е представена от правилен триъгълник;
Всички ръбове на пирамидата също са равни помежду си;
защото всяко лице образува равнобедрен триъгълник, в който ръбовете са равни и основите са равни, тогава можем да кажем, че площта на всяко лице е една и съща;
Всички двустенни ъгли в основата са равни.

Изчислява се като сбор от площите на основата и страничното сканиране. Може да се намери и чрез изчисляване на площта на една от страничните повърхности и основата. Формулата за обема на триъгълна пирамида също се извлича от свойствата на триъгълниците, от които се състои:

Основната площ се изчислява по формулата:

Помислете за пример за изчисляване на обема на триъгълна пирамида.

Нека е дадена триъгълна пирамида. Страната на основата е a = 2 cm, а височината е h = 2√3. Намерете обема на дадения многостен.
Първо, нека намерим площта на основата. За да направите това, заместваме известните данни в горната формула:

Сега използваме намерената стойност, за да изчислим обема на триъгълна пирамида:

Съкратена формула може да се използва и за изчисляване на площта на триъгълна пирамида. Той съчетава основната площ и височината и чете такава формула като една трета от произведението на основната площ и височината на пирамидата:

Използвайки тази формула, е важно да следвате стриктно изчисленията и намаленията. Една малка грешка може да доведе до неправилен резултат. Като цяло намирането на обема на правилна триъгълна пирамида е много просто.

Определение на пирамидата

Пирамидае многостен, чиято основа е многоъгълник и чиито лица са триъгълници.

Онлайн калкулатор

Пирамидата има ребра. Можем да кажем, че те са привлечени към точка, наречена връхтази пирамида. нея базаможе да бъде произволен многоъгълник. ръб, край- това е фигурата, която се образува в резултат на обединението на двата най-близки ръба със страната на основата. Лицето на пирамидата е триъгълник. Разстоянието от върха на пирамидата до средата на страната на основата се нарича апотема. ВисочинаПирамида се нарича дължината на перпендикуляра от върха до центъра на нейната основа.

Видове пирамиди

Има следните видове пирамиди.

Правоъгълна- ръбът му сключва с основата ъгъл от 90 градуса.
Правилно- основата му е някакъв правилен многоъгълник, а върхът е проектиран в центъра на тази основа.
ТетраедърПирамида с триъгълник в основата.

Формули за обем на пирамида

Обемът на пирамидата се намира по няколко начина.

Според площта на основата и височината на пирамидата

Простото умножение на една трета от площта на основата по височината на пирамидата е нейният обем.

Обем на пирамидата по площ на основата и височина

V = 1 3 ⋅ S main ⋅ h V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(main))\cdot hV =3 1 ⋅ С основен ⋅ ч

S main S_(\text(main)) С основен - площ на основата на пирамидата;
ч ч че височината на пирамидата.

Задача 1

Площта на основата на пирамидата е 100 cm 2 100\text( cm)^2 1 0 0 см2 , а височината му е 30 см 30\текст (см) 3 0 см. Намерете обема на тялото.

Решение

S main = 100 S_(\text(main))=100С основен = 1 0 0
h=30 h=30 h =3 0

Знаем всички количества, заместваме техните числени стойности във формулата и намираме:

V = 1 3 ⋅ S main ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1000 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(main))\cdot h=\frac(1)( 3)\cdot 100\cdot 30=1000\текст(cm)^3V =3 1 ⋅ С основен ⋅ h =3 1 ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 см3

Отговор

1000 cm3. 1000\текст(cm)^3.1 0 0 0 см3 .

Формулата за обема на правилна триъгълна пирамида

Този метод е подходящ, ако пирамидата е правилна и триъгълна.

Обем на правилна триъгълна пирамида

V = h ⋅ a 2 4 3 V=\frac(h\cdot a^2)(4\sqrt(3))V =4 3 h ⋅ а 2

H h ч- височината на пирамидата;
а а а

Задача 2

Изчислете обема на правилна триъгълна пирамида, ако нейната основа е равностранен триъгълник, чиято страна е равна на 5 см 5\текст (см) 5 см, а височината на пирамидата е 19 см 19\текст (см) 1 9 см.

Решение

A=5 a=5 а =5
h=19 h=19 h =1 9

Просто заменете тези стойности във формулата за обем:

V = h ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68,6 cm 3 (4\sqrt(3))\approx68,6\text( cm)^3V =4 3 h ⋅ а 2 = 4 3 1 9 ⋅ 5 2 ≈ 6 8 . 6 см3

Отговор

68,6 cm3. 68,6\текст(см)^3.6 8 . 6 см3 .

Формулата за обема на правилна четириъгълна пирамида

Обем на правилна четириъгълна пирамида

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2V =3 1 ⋅ h ⋅а 2

H h ч- височината на пирамидата;
а а астрана на основата на пирамидата.

Задача 3

Дадена е правилна четириъгълна пирамида. Изчислете обема му, ако височината му е 7 см 7\текст (см) 7 см, а страната на основата е - 2 cm 2\текст (cm) 2 см.

Решение

A=2 a=2 а =2
h=7 h=7 h =7

Изчислете по формулата:

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9,3 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2=\frac(1)(3)\cdot 7\cdot 2^2\приблизително 9,3\текст(cm)^3V =3 1 ⋅ h ⋅а 2 = 3 1 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 см3

Отговор

9,3 cm3. 9,3\текст(см)^3.9 . 3 см3 .

Формула за обем на тетраедър

Обем на тетраедър

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)V =1 2 2 ⋅ а 3

A a ае дължината на ръба на тетраедъра.

Задача 4

Дължината на ръба на тетраедъра е 13 см 13\текст (см) 1 3 см. Намерете неговия обем.

Решение

A=13 a=13 а =1 3

Заместител а а авъв формулата за обема на тетраедър:

V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 cm 3 3)(12)\approx259\text(cm)^3V =1 2 2 ⋅ а 3 = 1 2 2 ⋅ 1 3 3 ≈ 2 5 9 см3

Отговор

$259\текст(см)^3.$

Формула за обем на пирамида като детерминанта

Може би най-екзотичният начин за изчисляване на обема на дадено тяло.

Нека векторите, върху които е построена пирамидата, са дадени като на страните. Тогава неговият обем ще бъде равен на една шеста от смесеното произведение на векторите. Последният от своя страна е равен на детерминантата, съставена от координатите на тези вектори. Така че, ако пирамидата е изградена върху три вектора:

$\vec(a)=(a_x, a_y, a_z)$

тогава обемът на съответната пирамида е такава детерминанта:

Обемът на пирамидата през определителя

$V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix) )$

Задача 5

Намерете обема на пирамидата чрез смесеното произведение на вектори, чиито координати са: $а = (2, 3, 5), b = (1, 4, 4), ° С = (3, 5, 7) .$

Решение

$\vec(a)=(2,3,5)$

Според формулата:

$V=\frac(1)(6)\ cdot\begin(vmatrix) 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot(2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7) =\frac(1)(6)\cdot(56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21)=\frac(1)(6)\cdot(-4)=-\frac(2)(3)\прибл.-0,7$

Трябва да вземем модула на това число, тъй като обемът е неотрицателна стойност:

$V=0,7\text( cm)^3$

Отговор

$0,7\текст(см)^3.$

четириъгълна пирамидаПолиедър се нарича многостен, чиято основа е квадрат, а всички странични лица са еднакви равнобедрени триъгълници.

Този полиедър има много различни свойства:

Неговите странични ребра и съседните двустенни ъгли са равни един на друг;
Площите на страничните лица са еднакви;
В основата на правилна четириъгълна пирамида лежи квадрат;
Височината, спусната от върха на пирамидата, се пресича с пресечната точка на диагоналите на основата.

Всички тези свойства го правят лесен за намиране. Въпреки това, доста често, в допълнение към него, се изисква да се изчисли обемът на полиедъра. За да направите това, приложете формулата за обема на четириъгълна пирамида:

Тоест обемът на пирамидата е равен на една трета от произведението на височината на пирамидата и площта на основата. Тъй като е равно на произведението на равните му страни, веднага въвеждаме формулата за квадратна площ в израза за обем.
Помислете за пример за изчисляване на обема на четириъгълна пирамида.

Нека е дадена четириъгълна пирамида, в основата на която лежи квадрат със страна a = 6 см. Страничното лице на пирамидата е b = 8 см. Намерете обема на пирамидата.

За да намерим обема на даден полиедър, ни трябва дължината на неговата височина. Следователно ще го намерим чрез прилагане на Питагоровата теорема. Първо, нека изчислим дължината на диагонала. В синия триъгълник това ще бъде хипотенузата. Също така си струва да запомните, че диагоналите на квадрата са равни един на друг и са разделени наполовина в пресечната точка:

Сега от червения триъгълник намираме височината, от която се нуждаем h. Тя ще бъде равна на:

Заменете необходимите стойности и намерете височината на пирамидата:

Сега, знаейки височината, можем да заменим всички стойности във формулата за обема на пирамидата и да изчислим необходимата стойност:

Ето как, знаейки няколко прости формули, успяхме да изчислим обема на правилна четириъгълна пирамида. Не забравяйте, че тази стойност се измерва в кубични единици.

Определение. Странично лице- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната му страна съвпада със страната на основата (многоъгълник).

Определение. Странични ребраса общите страни на страничните лица. Една пирамида има толкова ръбове, колкото има ъгли в многоъгълник.

Определение. височина на пирамидатае перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.

Определение. апотема- това е перпендикулярът на страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата до страната на основата.

Определение. Диагонално сечение- това е сечение на пирамидата с равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.

Определение. Правилна пирамида- Това е пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска към центъра на основата.

Обем и повърхност на пирамидата

Формула. обем на пирамидатапрез основна площ и височина:

свойства на пирамидата

Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да бъде описан кръг, а центърът на основата съвпада с центъра на кръга. Освен това перпендикулярът, пуснат от върха, минава през центъра на основата (окръжност).

Ако всички странични ребра са равни, тогава те са наклонени към основната равнина под същите ъгли.

Страничните ребра са равни, когато образуват равни ъгли с основната равнина или ако около основата на пирамидата може да се опише кръг.

Ако страничните стени са наклонени към равнината на основата под един ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да се впише кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.

Ако страничните лица са наклонени към основната равнина под един ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.

Свойства на правилната пирамида

1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.

2. Всички странични ръбове са равни.

3. Всички странични ребра са наклонени под еднакви ъгли спрямо основата.

4. Апотемите на всички странични лица са равни.

5. Площите на всички странични лица са равни.

6. Всички лица имат еднакви двустенни (плоски) ъгли.

7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.

8. В пирамида може да се впише сфера. Центърът на вписаната сфера ще бъде пресечната точка на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.

9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от плоските ъгли при върха е равна на π или обратно, един ъгъл е равен на π / n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.

Връзката на пирамидата със сферата

Сфера може да бъде описана около пирамидата, когато в основата на пирамидата лежи многостен, около който може да се опише окръжност (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.

Около всяка триъгълна или правилна пирамида винаги може да се опише сфера.

Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако симетралните равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.

Връзката на пирамидата с конуса

Конус се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.

В пирамида може да се впише конус, ако апотемите на пирамидата са равни.

Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.

Може да се опише конус около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са равни помежду си.

Връзка на пирамида с цилиндър

Пирамидата се нарича вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.

Цилиндър може да бъде описан около пирамида, ако около основата на пирамидата може да бъде описана окръжност.

Определение. Пресечена пирамида (пирамидална призма)- Това е многостен, който се намира между основата на пирамидата и секционна равнина, успоредна на основата. Така пирамидата има голяма основа и по-малка основа, която е подобна на по-голямата. Страничните лица са трапецовидни.

Определение. Триъгълна пирамида (тетраедър)- това е пирамида, в която три лица и основа са произволни триъгълници.

Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се докосват.

Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват тристенен ъгъл.

Сегментът, свързващ върха на тетраедъра с центъра на срещуположното лице, се нарича медиана на тетраедъра(GM).

Бимедиансе нарича сегмент, свързващ средите на противоположни ръбове, които не се допират (KL).

Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите се разделят наполовина, а медианите в съотношение 3:1, като се започне от върха.

Определение. наклонена пирамидае пирамида, в която един от ръбовете образува тъп ъгъл (β) с основата.

Определение. Правоъгълна пирамидае пирамида, в която едно от страничните лица е перпендикулярно на основата.

Определение. Остроъгълна пирамидае пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.

Определение. тъпа пирамидае пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.

Определение. правилен тетраедърТетраедър, чиито четири лица са равностранни триъгълници. Той е един от петте правилни многоъгълника. В правилен тетраедър всички двустенни ъгли (между лицата) и тристенни ъгли (при връх) са равни.

Определение. Правоъгълен тетраедъртетраедър се нарича, който има прав ъгъл между три ръба на върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен тристенен ъгъли лицата са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.

Определение. Изоедърен тетраедърТетраедър се нарича, в който страничните лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Лицата на такъв тетраедър са равнобедрени триъгълници.

Определение. Ортоцентричен тетраедъртетраедър се нарича, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха към противоположното лице, се пресичат в една точка.

Определение. звездна пирамидаПолиедър, чиято основа е звезда, се нарича.

Определение. Бипирамида- многостен, състоящ се от две различни пирамиди (пирамидите също могат да бъдат отрязани), имащи обща основа, а върховете лежат на противоположните страни на основната равнина.

Раздели