Площта на основата на призмата. Повърхност на призмата

У дома

Дъждовна канализация

Това са най-често срещаните обемни фигури сред други подобни, които се срещат в ежедневието и природата. Изследването на техните свойства се занимава със стереометрия или пространствена геометрия. В тази статия ще разкрием въпроса как можете да намерите страничната повърхност на правилна триъгълна призма, както и четириъгълна и шестоъгълна.

Какво е призма?

Преди да изчислите страничната повърхност на обикновена триъгълна призма и други видове на тази фигура, трябва да разберете какви са те. След това ще се научим как да определяме количествата, които ни интересуват.

Призма, от гледна точка на геометрията, е триизмерно тяло, което е ограничено от два произволни еднакви многоъгълника и n успоредника, където n е броят на страните на един многоъгълник. Лесно е да нарисувате такава фигура, за това трябва да нарисувате някакъв многоъгълник. След това начертайте сегмент от всеки от неговите върхове, който ще бъде равен по дължина и успореден на всички останали. След това трябва да свържете краищата на тези линии един с друг, така че да получите друг многоъгълник, равен на оригиналния.

По-горе може да се види, че фигурата е ограничена от два петоъгълника (те се наричат долна и горна основа на фигурата) и пет успоредника, които съответстват на правоъгълници във фигурата.

Всички призми се различават една от друга по два основни параметъра:

вида на многоъгълника, който лежи в основата на фигурата;
ъгли между успоредници и основи.

Броят на страните на правоъгълника дава името на призмата. Оттук получаваме гореспоменатите триъгълни, шестоъгълни и четириъгълни фигури.

Те също се различават по наклона. Що се отнася до маркираните ъгли, ако те са равни на 90 o, тогава такава призма се нарича права или правоъгълна (ъгълът на наклон е нула). Ако някои от ъглите не са прави, тогава фигурата се нарича наклонена. Разликата между тях може да се види с един поглед. Фигурата по-долу показва тези сортове.

Както се вижда, височината h съвпада с дължината на страничния му ръб. В случай на косо, този параметър винаги е по-малък.

Коя е правилната призма?

Тъй като трябва да отговорим на въпроса как да намерим площта на страничната повърхност на правилна призма (триъгълна, четириъгълна и т.н.), трябва да дефинираме този тип триизмерна фигура. Нека анализираме материала по-подробно.

Правилната призма е правоъгълна фигура, в която правилен многоъгълник образува еднакви основи. Тази фигура може да бъде равностранен триъгълник, квадрат и други. Всеки n-ъгълник, чиито дължини на всички страни и ъгли са еднакви, ще бъде правилен.

Няколко такива призми са показани схематично на фигурата по-долу.

Странична повърхност на призмата

Както бе споменато на тази фигура, тази фигура се състои от n + 2 равнини, които, пресичайки се, образуват n + 2 лица. Две от тях принадлежат на основите, останалите са образувани от успоредници. Площта на цялата повърхност се състои от сумата от площите на посочените лица. Ако не включва стойностите на две основи, тогава получаваме отговора на въпроса как да намерим страничната повърхност на призмата. Така че е възможно да се определи неговото значение и основания отделно един от друг.

Следното е дадено, за което страничната повърхност е образувана от три четириъгълника.

Нека разгледаме допълнително процеса на изчисление. Очевидно площта на страничната повърхност на призмата е равна на сумата от n области на съответните паралелограми. Тук n е броят на страните на многоъгълника, който образува основата на фигурата. Площта на всеки паралелограм може да се намери, като се умножи дължината на страната му по височината, спусната върху нея. Това е за общия случай.

Ако изследваната призма е права, тогава процедурата за определяне на площта на нейната странична повърхност S b е значително улеснена, тъй като такава повърхност се състои от правоъгълници. В този случай можете да използвате следната формула:

Където h е височината на фигурата, P o е периметърът на нейната основа

Правилна призма и нейната странична повърхност

Формулата, дадена в параграфа по-горе, в случай на такава фигура приема много специфична форма. Тъй като периметърът на n-ъгълник е равен на произведението от броя на страните му и дължината на една, се получава следната формула:

Където a е дължината на страната на съответния n-ъгълник.

Страничната повърхност е четириъгълна и шестоъгълна

Нека използваме формулата по-горе, за да определим необходимите стойности за маркираните три вида фигури. Изчисленията ще изглеждат така.

За триъгълна формула тя ще приеме формата:

Например, страната на триъгълник е 10 см, а височината на фигурата е 7 см, тогава:

S 3 b \u003d 3 * 10 * 7 \u003d 210 cm 2

В случай на четириъгълна призма желаният израз приема формата:

Ако вземем същите стойности на дължината, както в предишния пример, тогава получаваме:

S 4 b \u003d 4 * 10 * 7 \u003d 280 cm 2

Площта на страничната повърхност на шестоъгълна призма се изчислява по формулата:

Замествайки същите числа, както в предишните случаи, имаме:

S 6 b \u003d 6 * 10 * 7 \u003d 420 cm 2

Имайте предвид, че в случай на правилна призма от всякакъв тип, нейната странична повърхност е оформена от еднакви правоъгълници. В горните примери площта на всеки от тях е a*h = 70 cm 2 .

Изчисление за наклонена призма

Определянето на стойността на страничната повърхност за дадена фигура е малко по-трудно, отколкото за правоъгълна. Независимо от това, горната формула остава същата, само че вместо периметъра на основата трябва да се вземе периметърът на перпендикулярния разрез, а вместо височината, дължината на страничния ръб.

Фигурата по-горе показва четириъгълна наклонена призма. Защрихованият успоредник е перпендикулярният разрез, чийто периметър P sr трябва да се изчисли. Дължината на страничния ръб на фигурата е обозначена с буквата C. Тогава получаваме формулата:

Периметърът на среза може да се намери, ако са известни ъглите на успоредниците, които образуват страничната повърхност.

Видео курсът "Get an A" включва всички теми, необходими за успешното полагане на изпита по математика с 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профила USE по математика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.

Цялата необходима теория. Бързи решения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.

Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.

Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. Теория, справочни материали, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.

Определение. Призма- това е многостен, чиито върхове са разположени в две успоредни равнини, а в същите две равнини има две лица на призмата, които са равни многоъгълници със съответно успоредни страни, и всички ръбове, които не лежат в тях равнините са успоредни.

Две равни лица се наричат призмени основи(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всички останали лица на призмата се наричат странични лица(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Всички странични лица се образуват странична повърхност на призмата .

Всички странични стени на призмата са успоредници .

Ръбовете, които не лежат в основите, се наричат странични ръбове на призмата ( АА 1, Б.Б. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Диагонал на призмата се нарича сегмент, чиито краища са два върха на призмата, които не лежат на едно от лицата й (AD 1).

Дължината на отсечката, свързваща основите на призмата и перпендикулярна едновременно на двете основи, се нарича височина на призмата .

Обозначаване:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Първо, в реда на заобикаляне, се посочват върховете на едната основа, а след това, в същия ред, върховете на другата; краищата на всеки страничен ръб се обозначават със същите букви, само върховете, лежащи в една основа се означават с букви без индекс, а в другия - с индекс)

Името на призмата е свързано с броя на ъглите във фигурата, лежаща в основата й, например на фигура 1 основата е петоъгълник, така че призмата се нарича петоъгълна призма. Но тъй като такава призма има 7 лица, тогава тя седмостен(2 лица са основите на призмата, 5 лица са успоредници, са нейните странични лица)

Сред правите призми се откроява определен тип: правилни призми.

Права призма се нарича правилно,ако основите му са правилни многоъгълници.

Правилната призма има всички странични лица равни правоъгълници. Специален случай на призма е паралелепипед.

паралелепипед

паралелепипед- Това е четириъгълна призма, в основата на която лежи паралелограм (кос паралелепипед). Прав паралелепипед- паралелепипед, чиито странични ръбове са перпендикулярни на равнините на основата.

кубоид- прав паралелепипед, чиято основа е правоъгълник.

Свойства и теореми:

Някои свойства на паралелепипеда са подобни на добре познатите свойства на успоредника Правоъгълен паралелепипед с равни размери се нарича куб .Всички страни на куба са равни квадрати.Квадратът на диагонала е равен на сбора от квадратите на трите му измерения

където d е диагоналът на квадрата;
а - страна на квадрата.

Идеята за призма е дадена от:

различни архитектурни структури;
Детски играчки;
опаковъчни кутии;
дизайнерски артикули и др.

Обща и странична повърхност на призмата

Обща повърхност на призматае сумата от площите на всички негови лица Площ на страничната повърхностсе нарича сумата от площите на неговите странични лица. основите на призмата са равни многоъгълници, тогава техните площи са равни. Ето защо

S пълен \u003d S страна + 2S основен,

където S пълен- обща площ, S страна- площ на страничната повърхност, S основен- основна площ

Площта на страничната повърхност на права призма е равна на произведението на периметъра на основата и височината на призмата.

S страна\u003d P основен * h,

където S странае площта на страничната повърхност на права призма,

P main - периметърът на основата на права призма,

h е височината на правата призма, равна на страничния ръб.

Обем на призмата

Обемът на призмата е равен на произведението на площта на основата и височината.

В училищната програма за курса на твърда геометрия изучаването на триизмерни фигури обикновено започва с просто геометрично тяло - призмен полиедър. Ролята на неговите основи се изпълняват от 2 равни многоъгълника, лежащи в успоредни равнини. Специален случай е правилната четириъгълна призма. Основите му са 2 еднакви правилни четириъгълника, на които страните са перпендикулярни, имащи формата на успоредници (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).

Как изглежда призмата

Правилната четириъгълна призма е шестоъгълник, в основите на който има 2 квадрата, а страничните стени са представени от правоъгълници. Друго име за тази геометрична фигура е прав паралелепипед.

Фигурата, която изобразява четириъгълна призма, е показана по-долу.

Виждате и на снимката най-важните елементи, които изграждат едно геометрично тяло. Те обикновено се наричат:

Понякога в задачи по геометрия можете да намерите понятието сечение. Дефиницията ще звучи така: разрезът е всички точки на обемно тяло, които принадлежат на режещата равнина. Разрезът е перпендикулярен (пресича краищата на фигурата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призма се разглежда и диагонално сечение (максималния брой сечения, които могат да бъдат построени е 2), минаващо през 2 ребра и диагоналите на основата.

Ако сечението е начертано по такъв начин, че режещата равнина не е успоредна нито на основите, нито на страничните повърхности, резултатът е пресечена призма.

Използват се различни съотношения и формули за намиране на редуцирани призматични елементи. Някои от тях са известни от курса на планиметрията (например, за да намерите площта на основата на призмата, достатъчно е да си припомните формулата за площта на квадрат).

Площ и обем

За да определите обема на призмата с помощта на формулата, трябва да знаете площта на нейната основа и височина:

V = Sprim h

Тъй като основата на правилната тетраедрична призма е квадрат със страна а,Можете да напишете формулата в по-подробна форма:

V = a² h

Ако говорим за куб - правилна призма с равни дължина, ширина и височина, обемът се изчислява по следния начин:

За да разберете как да намерите страничната повърхност на призмата, трябва да си представите нейния размах.

От чертежа се вижда, че страничната повърхност е изградена от 4 еднакви правоъгълника. Площта му се изчислява като произведение от периметъра на основата и височината на фигурата:

Sстрана = Поз h

Тъй като периметърът на квадрат е P = 4a,формулата приема формата:

Sстрана = 4a h

За куб:

Sстрана = 4a²

За да изчислите общата повърхност на призма, добавете 2 основни площи към страничната площ:

Пълна = Sстрана + 2Sоснова

Приложена към четириъгълна правилна призма, формулата има формата:

Пълен = 4a h + 2a²

За повърхността на куб:

Пълен = 6a²

Познавайки обема или повърхността, можете да изчислите отделните елементи на геометрично тяло.

Намиране на призмени елементи

Често има задачи, при които е даден обемът или е известна стойността на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на страната на основата или височината. В такива случаи могат да се изведат формули:

дължина на основната страна: a = Sside / 4h = √(V / h);
височина или дължина на странично ребро: h = Sстрана / 4a = V / a²;
основна площ: Sprim = V / h;
странична лицева зона: отстрани gr = Sстрана / 4.

За да определите колко площ има диагоналното сечение, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d = a√2.Следователно:

Sdiag = ah√2

За изчисляване на диагонала на призмата се използва формулата:

dprize = √(2a² + h²)

За да разберете как да приложите горните съотношения, можете да практикувате и да решите няколко прости задачи.

Примери за задачи с решения

Ето част от задачите, които се явяват на държавните зрелостни изпити по математика.

Упражнение 1.

Пясъкът се изсипва в кутия с форма на правилна четириъгълна призма. Височината на нивото му е 10 см. Какво ще бъде нивото на пясъка, ако го преместите в съд със същата форма, но с дължина на основата 2 пъти по-голяма?

Трябва да се аргументира по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се е променило, т.е. обемът му в тях е същият. Можете да определите дължината на основата като а. В този случай за първата кутия обемът на веществото ще бъде:

V₁ = ha² = 10a²

За втората кутия дължината на основата е 2а, но височината на нивото на пясъка е неизвестна:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Тъй като V₁ = V₂, изразите могат да бъдат приравнени:

10a² = 4ha²

След като намалим двете страни на уравнението с a², получаваме:

В резултат на това новото ниво на пясък ще бъде h = 10 / 4 = 2,5см.

Задача 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна призма. Известно е, че BD = AB₁ = 6√2. Намерете общата повърхност на тялото.

За да улесните разбирането кои елементи са известни, можете да нарисувате фигура.

Тъй като говорим за правилна призма, можем да заключим, че основата е квадрат с диагонал 6√2. Диагоналът на страничната повърхност има същата стойност, следователно страничната страна също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че и трите измерения - дължина, ширина и височина са равни. Можем да заключим, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е куб.

Дължината на всеки ръб се определя чрез известния диагонал:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Общата повърхност се намира по формулата за куба:

Пълно = 6a² = 6 6² = 216

Задача 3.

Стаята е в ремонт. Известно е, че подът му има формата на квадрат с площ от 9 m². Височината на стаята е 2,5 м. Каква е най-ниската цена за тапетиране на стая, ако 1 м² струва 50 рубли?

Тъй като подът и таванът са квадрати, тоест правилни четириъгълници, а стените му са перпендикулярни на хоризонтални повърхности, можем да заключим, че това е правилна призма. Необходимо е да се определи площта на страничната му повърхност.

Дължината на стаята е a = √9 = 3м.

Площадът ще бъде облепен с тапети Sстрана = 4 3 2,5 = 30 m².

Най-ниската цена на тапетите за тази стая ще бъде 50 30 = 1500рубли.

По този начин, за да решите задачи върху правоъгълна призма, е достатъчно да можете да изчислите площта и периметъра на квадрат и правоъгълник, както и да знаете формулите за намиране на обема и повърхността.

Как да намерите площта на куб

Различните призми са различни една от друга. В същото време те имат много общи неща. За да намерите площта на основата на призмата, трябва да разберете какъв вид изглежда.

Обща теория

Призма е всеки многостен, чиито страни имат формата на успоредник. Освен това всеки многостен може да бъде в основата му - от триъгълник до n-ъгълник. Освен това основите на призмата винаги са равни една на друга. Какво не важи за страничните лица - те могат да варират значително по размер.

При решаването на проблеми се среща не само площта на основата на призмата. Може да е необходимо да се знае страничната повърхност, тоест всички лица, които не са основи. Пълната повърхност вече ще бъде обединението на всички лица, които съставят призмата.

Понякога в задачите се появяват височини. Тя е перпендикулярна на основите. Диагоналът на полиедър е сегмент, който свързва по двойки всеки два върха, които не принадлежат на едно и също лице.

Трябва да се отбележи, че площта на основата на права или наклонена призма не зависи от ъгъла между тях и страничните повърхности. Ако те имат еднакви фигури в горната и долната страна, тогава техните площи ще бъдат равни.

триъгълна призма

В основата му има фигура с три върха, тоест триъгълник. Известно е, че е различно. Ако тогава е достатъчно да си припомним, че неговата площ се определя от половината от произведението на краката.

Математическата нотация изглежда така: S = ½ av.

За да разберете площта на основата в обща форма, формулите са полезни: Heron и тази, в която половината от страната е взета до височината, начертана към нея.

Първата формула трябва да бъде написана така: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Този запис съдържа полупериметър (p), тоест сумата от три страни, разделена на две.

Второ: S = ½ n a * a.

Ако искате да знаете площта на основата на триъгълна призма, която е правилна, тогава триъгълникът е равностранен. Има своя собствена формула: S = ¼ a 2 * √3.

четириъгълна призма

Неговата основа е някой от известните четириъгълници. Може да бъде правоъгълник или квадрат, паралелепипед или ромб. Във всеки случай, за да изчислите площта на основата на призмата, ще ви трябва ваша собствена формула.

Ако основата е правоъгълник, тогава неговата площ се определя, както следва: S = av, където a, b са страните на правоъгълника.

Когато става въпрос за четириъгълна призма, основната площ на обикновена призма се изчислява по формулата за квадрат. Защото именно той лежи в основата. S \u003d a 2.

В случай, че основата е паралелепипед, ще е необходимо следното равенство: S \u003d a * n a. Случва се да са дадени страна на паралелепипед и един от ъглите. След това, за да изчислите височината, ще трябва да използвате допълнителна формула: na \u003d b * sin A. Освен това ъгълът A е в съседство със страната "b", а височината е na противоположна на този ъгъл.

Ако в основата на призмата лежи ромб, тогава за определяне на площта му ще е необходима същата формула, както за успоредник (тъй като това е частен негов случай). Но можете да използвате и този: S = ½ d 1 d 2. Тук d 1 и d 2 са два диагонала на ромба.

Правилна петоъгълна призма

Този случай включва разделянето на многоъгълника на триъгълници, чиито площи са по-лесни за намиране. Въпреки че се случва фигурите да бъдат с различен брой върхове.

Тъй като основата на призмата е правилен петоъгълник, тя може да бъде разделена на пет равностранни триъгълника. Тогава площта на основата на призмата е равна на площта на един такъв триъгълник (формулата може да се види по-горе), умножена по пет.

Правилна шестоъгълна призма

Съгласно принципа, описан за петоъгълна призма, е възможно да се раздели основният шестоъгълник на 6 равностранни триъгълника. Формулата за площта на основата на такава призма е подобна на предишната. Само в него трябва да се умножи по шест.

Формулата ще изглежда така: S = 3/2 и 2 * √3.

Задачи

№ 1. Дадена е правилна линия.Нейният диагонал е 22 см, височината на полиедъра е 14 см. Изчислете площта на основата на призмата и цялата повърхност.

Решение.Основата на призмата е квадрат, но нейната страна не е известна. Можете да намерите стойността му от диагонала на квадрата (x), който е свързан с диагонала на призмата (d) и нейната височина (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. От друга страна, този сегмент "x" е хипотенузата в триъгълник, чиито катети са равни на страната на квадрата. Тоест x 2 \u003d a 2 + a 2. Така се оказва, че a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Заменете числото 22 вместо d и заменете „n“ с неговата стойност - 14, оказва се, че страната на квадрата е 12 см. Сега е лесно да разберете основната площ: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

За да разберете площта на цялата повърхност, трябва да добавите два пъти стойността на основната площ и да учетворите страната. Последното е лесно да се намери по формулата за правоъгълник: умножете височината на полиедъра и страната на основата. Тоест 14 и 12, това число ще бъде равно на 168 cm 2. Установено е, че общата повърхност на призмата е 960 cm 2.

Отговор.Основната площ на призмата е 144 cm2. Цялата повърхност - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основата лежи триъгълник със страна 6 см. В този случай диагоналът на страничната повърхност е 10 см. Изчислете площите: основата и страничната повърхност.

Решение.Тъй като призмата е правилна, нейната основа е равностранен триъгълник. Следователно неговата площ се оказва равна на 6 на квадрат по ¼ и корен квадратен от 3. Едно просто изчисление води до резултата: 9√3 cm 2. Това е площта на една основа на призмата.

Всички странични лица са еднакви и са правоъгълници със страни 6 и 10 см. За да изчислите техните площи, достатъчно е да умножите тези числа. След това ги умножете по три, защото призмата има точно толкова страни. След това площта на страничната повърхност се навива 180 cm 2.

Отговор.Области: основа - 9√3 cm 2, странична повърхност на призмата - 180 cm 2.

Раздели