Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус. Метод на Гаус за манекени: лесно решаване на замърсяване

Нека разгледаме точните методи за решаване на системата; тук е матрицата на размерите

Метод за решаване на задача се класифицира като точен, ако при предположението, че няма закръгляване, дава точно решение на задачата след краен брой аритметични и логически операции. Ако броят на ненулевите елементи на матрицата на системата е от порядъка на , то за повечето от използваните в момента точни методи за решаване на такива системи, необходимият брой операции е от порядъка на . Следователно, за приложимостта на точните методи е необходимо такъв ред на броя на операциите да бъде приемлив за даден компютър; други ограничения се налагат от обема и структурата на компютърната памет.

Клаузата за „използваните в момента методи“ има следното значение. Има методи за решаване на такива системи с по-малък брой операции, но те не се използват активно поради силната чувствителност на резултата към изчислителната грешка.

Най-известният от точните методи за решаване на системи от линейни уравнения е методът на елиминиране на Гаус. Нека разгледаме едно от възможните му реализации. Ако приемем, че , първото уравнение на системата

разделим на коефициента , в резултат получаваме уравнението

След това, от всяко от останалите уравнения, първото уравнение се изважда, умножено по съответния коефициент. В резултат на това тези уравнения се трансформират във формата

Първото неизвестно се оказа изключено от всички уравнения с изключение на първото. Освен това, при допускането, че , разделяме второто уравнение на коефициента и изключваме неизвестното от всички уравнения, започвайки от второто и т. н. В резултат на последователно елиминиране на неизвестните, системата от уравнения се трансформира в система на уравнения с триъгълна матрица

Наборът от извършени изчисления, по време на които първоначалната задача е трансформирана във вида (2), се нарича директен ход на метода на Гаус.

От уравнението на системата (2) определяме , от и т.н. до . Съвкупността от такива изчисления се нарича обратен ход на метода на Гаус.

Лесно е да се провери, че изпълнението на преместването напред на метода на Гаус изисква аритметични операции, а обратното изпълнение изисква аритметични операции.

Изключението възниква в резултат на следните операции: 1) разделяне на уравнението с , 2) изваждане на уравнението, получено след такова деление, умножено по , от уравнения с числа k . Първата операция е еквивалентна на умножаване на системата от уравнения вляво по диагоналната матрица

втората операция е еквивалентна на умножение отляво по матрицата

Така получената в резултат на тези трансформации система (2) може да се запише като

Произведението на лявата (дясна) триъгълна матрица е лява (дясна) триъгълна матрица, така че C е лява триъгълна матрица. От формулата за елементите на обратната матрица

от това следва, че матрицата, обратна на ляв (десен) триъгълен, е ляв (десен) триъгълен. Следователно матрицата е лява триъгълна.

Нека представим нотацията. Според конструкцията всичко и матрицата D са право триъгълни. От тук получаваме представянето на матрицата A като продукт на лявата и дясната триъгълни матрици:

Равенството, заедно с условието , образува система от уравнения по отношение на елементите на триъгълните матрици B и : . Тъй като за и за , тази система може да се запише като

(3)

или, което е същото,

Използвайки условието, че всичко получаваме система от рекурентни отношения за определяне на елементите и :

Изчисленията се извършват последователно за набори. Тук и по-долу, в случай, че горната граница на сумиране е по-малка от долната, се приема, че цялата сума е равна на нула.

По този начин вместо последователни трансформации на системата (1) към вида (2), могат да се изчислят директно матриците B и да се използват формули (4). Тези изчисления могат да се извършват само ако всички елементи са различни от нула. Позволявам е матрици от главни минорни от порядъка на матрици A, B, D. Съгласно (3) . Защото тогава. следователно,

Така че, за да се извършат изчисления по формули (4), е необходимо и достатъчно да се изпълнят условията

В някои случаи е известно предварително, че условието (5) е изпълнено. Например много проблеми на математическата физика се свеждат до решаване на системи с положително определена матрица A. В общия случай обаче това не може да се каже предварително. Възможен е и такъв случай: всичко, но сред количествата има много малки и при разделяне на тях ще се получат големи числа с големи абсолютни грешки. В резултат на това решението ще бъде силно изкривено.

Да обозначим . Тъй като и , Тогава равенствата са в сила. По този начин, след разлагане на матрицата на оригиналната система в произведението на лявата и дясната триъгълни матрици, решението на оригиналната система се свежда до последователно решение на две системи с триъгълни матрици; това ще изисква аритметични операции.

Често е удобно да се комбинира последователността от операции за разлагане на матрицата A в произведението на триъгълни матрици и за определяне на вектора d. Уравнения

системите могат да бъдат записани като

Следователно стойностите могат да бъдат изчислени едновременно с останалите стойности с помощта на формули (4).

При решаване на практически задачи често се налага решаването на системи от уравнения с матрица, съдържаща голям брой нулеви елементи.

Обикновено тези матрици имат така наречената лентова структура. По-точно, матрицата A се нарича -диагонална или има лентова структура, ако е при . Числото се нарича ширина на лентата. Оказва се, че при решаване на система от уравнения с лентова матрица по метода на Гаус броят на аритметичните операции и необходимото количество компютърна памет могат да бъдат значително намалени.

Задача 1. Изследване на характеристиките на метода на Гаус и метода за решаване на системата с помощта на разлагането на лентовата матрица A в произведението на лявата и дясната триъгълни матрици. Покажете, че са необходими аритметични операции за намиране на решението (за ). Намерете водещия член на броя на операциите при условието .

Задача 2. Оценете обема на заредената компютърна памет по метода на Гаус за лентови матрици.

При изчисляване без помощта на компютър вероятността от случайни грешки е висока. За да се елиминират такива грешки, понякога се въвежда система за управление, състояща се от контролни елементи на уравненията на системата

При преобразуване на уравнения се извършват същите операции върху управляващите елементи, както и върху свободните членове на уравненията. В резултат на това контролният елемент на всяко ново уравнение трябва да бъде равен на сумата от коефициентите на това уравнение. Голямото несъответствие между тях показва грешки в изчисленията или нестабилност на алгоритъма за изчисление по отношение на изчислителната грешка.

Например, в случай на привеждане на системата от уравнения до формата с помощта на формули (4), управляващият елемент на всяко от уравненията на системата се изчислява по същите формули (4). След изчисляване на всички елементи при фиксиран контрол се извършва чрез проверка на равенството

Обратният ход на метода на Гаус също е придружен от изчисляване на управляващите елементи на системните редове.

За да се избегне катастрофалното влияние на изчислителната грешка, се използва методът на Гаус с избора на основния елемент.

Разликата му от описаната по-горе схема на метода на Гаус е както следва. Нека, в хода на елиминирането на неизвестните, системата от уравнения

Нека намерим такова, че и отново означаваме и ; тогава ще елиминираме неизвестното от всички уравнения, започвайки с . Такова преназначаване води до промяна в реда на елиминиране на неизвестните и в много случаи значително намалява чувствителността на решението към грешки при закръгляването при изчисленията.

Често се изисква да се решат няколко системи от уравнения с една и съща матрица A. Удобно е да се процедира по следния начин: чрез въвеждане на нотацията

Нека извършим изчисления с помощта на формули (4) и изчислим елементите при . В резултат на това ще бъдат получени p системи от уравнения с триъгълна матрица, съответстващи на първоначалния проблем

Ние решаваме тези системи всяка поотделно. Оказва се, че общият брой на аритметичните операции при решаването на p системи от уравнения по този начин е .

Описаната по-горе техника понякога се използва, за да се получи преценка за грешката на решението, която е следствие от грешки при закръгляването в изчисленията, без значителни допълнителни разходи. Те са дадени от вектора z с компоненти, имащи, ако е възможно, същия ред и знак като компонентите на желаното решение; често поради липса на достатъчно информация, която приемат. Векторът се изчислява и заедно с оригиналната система от уравнения се решава и системата.

Нека и z са действително получени решения на тези системи. Преценка за грешката на желаното решение може да се получи въз основа на хипотезата: относителните грешки при решаването по метода на елиминиране на системи с една и съща матрица и различни десни страни, които са съответно стойностите и , се различават не много голям брой пъти.

Друг метод за получаване на преценка за реалната стойност на грешката, която възниква поради закръгляването в изчисленията, е промяната на мащаба, което променя картината на натрупването на изчислителната грешка.

Заедно с оригиналната система, системата се решава по същия метод

За и , които не са цели степени на две, сравнението на векторите и дава представа за големината на изчислителната грешка. Например, можете да вземете.

Изучаването на много проблеми води до необходимостта от решаване на системи от линейни уравнения със симетрична положително определена матрица. Такива системи възникват например при решаване на диференциални уравнения по метода на крайните елементи или чрез методите на крайните разлики. В тези случаи матрицата на системата също има лентова структура.

За решаване на такива системи, както и на системи от уравнения в по-общ вид с ермитова матрица, която не е непременно положително определена, се използва методът на квадратния корен (методът на Холески). Матрица А е представена като

където S е права триъгълна матрица, е нейният конюгат, т.е.

като всички са диагонална матрица с елементи, равни на или -1. Матричното равенство (6) образува система от уравнения

Подобни уравнения за се отхвърлят, тъй като уравненията, съответстващи на двойките и са еквивалентни. От тук получаваме повтарящи се формули за определяне на елементите и :

Матрицата S е дясно триъгълна и по този начин, след получаване на представяне (6), решението на оригиналната система също се свежда до последователното решение на две системи с триъгълни матрици. Имайте предвид, че в случай на всички и .

Задача 3. Оценете броя на аритметичните операции и натоварването на паметта на компютъра (като приемем, че количеството памет, необходима за съхраняване на матрицата A, намалява) при решаване на система с реално положително определена матрица A по метода на квадратния корен.

Много пакети приложения за решаване на гранични задачи на математическата физика по метода на крайните елементи са организирани по следната схема. След като матрицата на система А се формира чрез пермутиране на редове и колони (и редовете, и колоните се пермутират едновременно), системата се преобразува във формата с най-малка ширина на лентата. След това се прилага методът на квадратния корен. В същото време, за да се намали количеството на изчисленията при решаване на система с други десни страни, матрицата S се запаметява.

В тази статия методът се разглежда като начин за решаване на системи от линейни уравнения (SLAE). Методът е аналитичен, тоест ви позволява да напишете алгоритъм за решение в общ вид и след това да замените стойности от конкретни примери там. За разлика от матричния метод или формулите на Крамер, когато решавате система от линейни уравнения по метода на Гаус, можете да работите и с тези, които имат безкрайно много решения. Или изобщо го нямат.

Какво означава Гаус?

Първо трябва да запишете нашата система от уравнения в Изглежда така. Системата се приема:

Коефициентите се записват под формата на таблица, а вдясно в отделна колона - свободни членове. Колоната със свободни членове е отделена за удобство.Матрицата, която включва тази колона, се нарича разширена.

Освен това основната матрица с коефициенти трябва да бъде намалена до горната триъгълна форма. Това е основният момент при решаването на системата по метода на Гаус. Просто казано, след определени манипулации, матрицата трябва да изглежда така, така че да има само нули в долната лява част:

След това, ако напишете новата матрица отново като система от уравнения, ще забележите, че последният ред вече съдържа стойността на един от корените, който след това се замества в уравнението по-горе, намира се друг корен и т.н.

Това е най-общо описание на решението по метода на Гаус. И какво се случва, ако изведнъж системата няма решение? Или има безкраен брой от тях? За да се отговори на тези и много други въпроси, е необходимо да се разгледат отделно всички елементи, използвани в решението по метода на Гаус.

Матрици, техните свойства

В матрицата няма скрит смисъл. Това е просто удобен начин за запис на данни за по-късни операции. Дори и учениците не трябва да се страхуват от тях.

Матрицата винаги е правоъгълна, защото е по-удобна. Дори в метода на Гаус, където всичко се свежда до изграждането на триъгълна матрица, в записа се появява правоъгълник, само с нули на мястото, където няма числа. Нулите могат да бъдат пропуснати, но се подразбират.

Матрицата има размер. Неговата "широчина" е броят на редовете (m), нейната "дължина" е броят на колоните (n). Тогава размерът на матрицата A (за обозначаването им обикновено се използват главни латински букви) ще бъде обозначен като A m×n . Ако m=n, тогава тази матрица е квадратна, а m=n е нейният ред. Съответно всеки елемент от матрицата A може да бъде обозначен с номера на неговия ред и колона: a xy ; x - номер на ред, промени, y - номер на колона, промени.

B не е основната точка на решението. По принцип всички операции могат да се извършват директно със самите уравнения, но нотацията ще се окаже много по-тромава и ще бъде много по-лесно да се объркате в нея.

Определящо

Матрицата също има детерминанта. Това е много важна характеристика. Да разберете значението му сега не си струва, можете просто да покажете как се изчислява и след това да кажете какви свойства на матрицата определя. Най-лесният начин за намиране на детерминанта е чрез диагонали. В матрицата се чертаят въображаеми диагонали; елементите, разположени върху всеки от тях, се умножават и след това се добавят получените продукти: диагонали с наклон надясно - със знак "плюс", с наклон наляво - със знак "минус".

Изключително важно е да се отбележи, че детерминантата може да се изчисли само за квадратна матрица. За правоъгълна матрица можете да направите следното: изберете най-малкия от броя на редовете и броя на колоните (нека е k) и след това произволно маркирайте k колони и k реда в матрицата. Елементите, разположени в пресечната точка на избраните колони и редове, ще образуват нова квадратна матрица. Ако детерминантата на такава матрица е число, различно от нула, тогава тя се нарича основен минор на оригиналната правоъгълна матрица.

Преди да продължите с решаването на системата от уравнения по метода на Гаус, не пречи да изчислите детерминанта. Ако се окаже нула, тогава веднага можем да кажем, че матрицата има или безкраен брой решения, или изобщо няма такива. В такъв тъжен случай трябва да отидете по-далеч и да разберете за ранга на матрицата.

Класификация на системата

Има такова нещо като ранг на матрица. Това е максималният ред на нейния детерминант, който е различен от нула (ако си спомним основния минор, можем да кажем, че рангът на матрицата е редът на основния минор).

Според това как стоят нещата с ранга, SLAE могат да бъдат разделени на:

• Става. Вна ставни системи, рангът на основната матрица (състояща се само от коефициенти) съвпада с ранга на разширената (с колона от свободни членове). Такива системи имат решение, но не непременно такова, следователно ставните системи се разделят допълнително на:
• - сигурен- с уникално решение. В определени системи рангът на матрицата и броят на неизвестните (или броят на колоните, което е едно и също нещо) са равни;
• - неопределено -с безкраен брой решения. Рангът на матриците за такива системи е по-малък от броя на неизвестните.
• Несъвместими. Втакива системи, ранговете на основната и разширените матрици не съвпадат. Несъвместимите системи нямат решение.

Методът на Гаус е добър с това, че позволява да се получи или недвусмислено доказателство за несъответствието на системата (без да се изчисляват детерминантите на големите матрици), или общо решение за система с безкраен брой решения.

Елементарни трансформации

Преди да преминете директно към решението на системата, е възможно да я направите по-малко тромава и по-удобна за изчисления. Това се постига чрез елементарни трансформации - такива, че тяхното изпълнение не променя по никакъв начин крайния отговор. Трябва да се отбележи, че някои от горните елементарни трансформации са валидни само за матрици, чийто източник е именно SLAE. Ето списък на тези трансформации:

1. Пермутация на низове. Очевидно е, че ако променим реда на уравненията в системния запис, това по никакъв начин няма да повлияе на решението. Следователно е възможно също да се разменят редове в матрицата на тази система, като не се забравя, разбира се, колоната със свободни членове.
2. Умножаване на всички елементи на низ по някакъв фактор. Много полезно! С него можете да намалите големи числа в матрицата или да премахнете нули. Наборът от решения, както обикновено, няма да се промени и ще стане по-удобно да се извършват допълнителни операции. Основното е, че коефициентът не е равен на нула.
3. Изтрийте редове с пропорционални коефициенти. Това отчасти следва от предишния параграф. Ако два или повече реда в матрицата имат пропорционални коефициенти, тогава при умножаване / разделяне на един от редовете с коефициента на пропорционалност се получават два (или, отново, повече) абсолютно идентични реда и можете да премахнете допълнителните, оставяйки само един.
4. Премахване на нулевия ред. Ако в хода на трансформациите някъде се получи низ, в който всички елементи, включително свободния член, са нула, тогава такъв низ може да бъде наречен нула и изхвърлен от матрицата.
5. Добавяне към елементите на един ред елементите на друг (в съответните колони), умножено по определен коефициент. Най-неясната и най-важната трансформация от всички. Струва си да се спрем на него по-подробно.

Добавяне на низ, умножен по коефициент

За по-лесно разбиране си струва да разглобите този процес стъпка по стъпка. Два реда са взети от матрицата:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | б 2

Да предположим, че трябва да добавите първото към второто, умножено по коефициента "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

След това в матрицата вторият ред се заменя с нов, а първият остава непроменен.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Трябва да се отбележи, че коефициентът на умножение може да бъде избран по такъв начин, че в резултат на добавянето на два низа един от елементите на новия низ е равен на нула. Следователно е възможно да се получи уравнение в системата, където ще има едно по-малко неизвестно. И ако получите две такива уравнения, тогава операцията може да се извърши отново и да се получи уравнение, което вече ще съдържа две по-малко неизвестни. И ако всеки път обръщаме към нула един коефициент за всички редове, които са по-ниски от оригиналния, тогава можем като стъпки да слезем до самото дъно на матрицата и да получим уравнение с едно неизвестно. Това се нарича решаване на системата по метода на Гаус.

Общо взето

Нека има система. Има m уравнения и n неизвестни корени. Можете да го запишете така:

Основната матрица се съставя от коефициентите на системата. Колона от свободни членове се добавя към разширената матрица и се разделя с лента за удобство.

• първият ред на матрицата се умножава по коефициента k = (-a 21 / a 11);
• добавят се първият модифициран ред и вторият ред на матрицата;
• вместо втория ред, резултатът от добавянето от предишния параграф се вмъква в матрицата;
• сега първият коефициент в новия втори ред е a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Сега се извършва същата серия от трансформации, само първият и третият ред са включени. Съответно, във всяка стъпка от алгоритъма елементът a 21 се заменя с 31 . След това всичко се повтаря за 41 , ... a m1 . Резултатът е матрица, където първият елемент в редовете е равен на нула. Сега трябва да забравим за ред номер едно и да изпълним същия алгоритъм, започвайки от втория ред:

• коефициент k \u003d (-a 32 / a 22);
• вторият модифициран ред се добавя към "текущия" ред;
• резултатът от събирането се заменя в третия, четвъртия и т.н. ред, докато първият и вторият остават непроменени;
• в редовете на матрицата първите два елемента вече са равни на нула.

Алгоритъмът трябва да се повтаря, докато се появи коефициентът k = (-a m,m-1 /a mm). Това означава, че алгоритъмът последно е стартиран само за долното уравнение. Сега матрицата изглежда като триъгълник или има стъпаловидна форма. Долният ред съдържа равенството a mn × x n = b m . Коефициентът и свободният член са известни, а коренът се изразява чрез тях: x n = b m /a mn. Полученият корен се замества в горния ред, за да се намери x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . И така нататък по аналогия: във всеки следващ ред има нов корен и, стигайки до „върха“ на системата, можете да намерите много решения. Ще бъде единствената.

Когато няма решения

Ако в един от редовете на матрицата всички елементи, с изключение на свободния член, са равни на нула, тогава уравнението, съответстващо на този ред, изглежда като 0 = b. То няма решение. И тъй като такова уравнение е включено в системата, тогава наборът от решения на цялата система е празен, тоест е изроден.

Когато има безкраен брой решения

Може да се окаже, че в редуцираната триъгълна матрица няма редове с един елемент - коефициентът на уравнението, и един - свободен член. Има само низове, които при пренаписване биха изглеждали като уравнение с две или повече променливи. Това означава, че системата има безкраен брой решения. В този случай отговорът може да бъде даден под формата на общо решение. Как да го направя?

Всички променливи в матрицата са разделени на основни и свободни. Основни - това са тези, които стоят "на ръба" на редовете в стъпаловидна матрица. Останалите са безплатни. В общото решение основните променливи се записват в термините на свободните.

За удобство матрицата първо се пренаписва обратно в система от уравнения. Тогава в последния от тях, където е останала само една основна променлива, тя остава от едната страна, а всичко останало се прехвърля в другата. Това се прави за всяко уравнение с една основна променлива. След това в останалите уравнения, където е възможно, вместо основната променлива, се заменя полученият за нея израз. Ако резултатът отново е израз, съдържащ само една основна променлива, той се изразява от там отново и така нататък, докато всяка основна променлива се запише като израз със свободни променливи. Това е общото решение на SLAE.

Можете също да намерите основното решение на системата - дайте на свободните променливи произволни стойности и след това за този конкретен случай изчислете стойностите на основните променливи. Има безкрайно много конкретни решения.

Решение с конкретни примери

Ето системата от уравнения.

За удобство е по-добре незабавно да създадете неговата матрица

Известно е, че при решаване по метода на Гаус, уравнението, съответстващо на първия ред, ще остане непроменено в края на трансформациите. Следователно ще бъде по-изгодно, ако горният ляв елемент на матрицата е най-малкият - тогава първите елементи от останалите редове след операциите ще се превърнат в нула. Това означава, че в компилираната матрица ще бъде изгодно да поставите втория на мястото на първия ред.

втори ред: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

трети ред: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Сега, за да не се объркате, е необходимо да запишете матрицата с междинните резултати от трансформациите.

Очевидно е, че такава матрица може да се направи по-удобна за възприемане с помощта на някои операции. Например, можете да премахнете всички "минуси" от втория ред, като умножите всеки елемент по "-1".

Също така си струва да се отбележи, че в третия ред всички елементи са кратни на три. След това можете да намалите низа с това число, като умножите всеки елемент по "-1/3" (минус - едновременно за премахване на отрицателни стойности).

Изглежда много по-хубав. Сега трябва да оставим на мира първия ред и да работим с втория и третия. Задачата е да добавите втория ред към третия ред, умножен по такъв коефициент, че елементът a 32 да стане равен на нула.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 дроби и едва след това, когато бъдат получени отговорите, решете дали да закръглите и да преведете в друга форма на нотация)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Матрицата се записва отново с нови стойности.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Както можете да видите, получената матрица вече има стъпаловидна форма. Следователно не са необходими допълнителни трансформации на системата по метода на Гаус. Това, което може да се направи тук, е да се премахне общият коефициент "-1/7" от третия ред.

Сега всичко е красиво. Точката е малка - напишете отново матрицата под формата на система от уравнения и изчислете корените

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Алгоритъмът, по който сега ще бъдат намерени корените, се нарича обратно движение в метода на Гаус. Уравнение (3) съдържа стойността на z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

И първото уравнение ви позволява да намерите x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Имаме право да наречем такава система съвместна и дори определена, тоест с уникално решение. Отговорът е написан в следната форма:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z \u003d 61/9.

Пример за неопределена система

Анализиран е вариантът за решаване на определена система по метода на Гаус, сега е необходимо да се разгледа случай, ако системата е неопределена, тоест за нея могат да се намерят безкрайно много решения.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Самата форма на системата вече е тревожна, тъй като броят на неизвестните е n = 5, а рангът на матрицата на системата вече е точно по-малък от това число, тъй като броят на редовете е m = 4, т.е. най-големият ред на квадратния детерминант е 4. Това означава, че има безкраен брой решения и е необходимо да се търси неговата обща форма. Методът на Гаус за линейни уравнения прави възможно това.

Първо, както обикновено, се компилира разширената матрица.

Втори ред: коефициент k = (-a 21 / a 11) = -3. В третия ред първият елемент е преди трансформациите, така че не е нужно да докосвате нищо, трябва да го оставите както е. Четвърти ред: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Умножавайки елементите от първия ред по всеки от техните коефициенти на свой ред и ги добавяйки към желаните редове, получаваме матрица от следния вид:

Както можете да видите, вторият, третият и четвъртият ред се състоят от елементи, които са пропорционални един на друг. Вторият и четвъртият обикновено са едни и същи, така че единият от тях може да бъде премахнат веднага, а останалите се умножават по коефициента "-1" и се получава ред номер 3. И отново, оставете един от два еднакви реда.

Получи се такава матрица. Системата все още не е записана, тук е необходимо да се определят основните променливи - стоящи при коефициентите a 11 \u003d 1 и a 22 \u003d 1, и безплатно - всички останали.

Второто уравнение има само една основна променлива - x 2 . Следователно, той може да бъде изразен от там, записвайки чрез променливите x 3 , x 4 , x 5 , които са безплатни.

Заместваме получения израз в първото уравнение.

Оказа се уравнение, в което единствената основна променлива е x 1. Нека направим с него същото като с x 2 .

Всички основни променливи, от които има две, се изразяват в три свободни, сега можете да напишете отговора в общ вид.

Можете също да посочите едно от конкретните решения на системата. За такива случаи, като правило, нулите се избират като стойности за безплатни променливи. Тогава отговорът ще бъде:

16, 23, 0, 0, 0.

Пример за несъвместима система

Най-бързо е решението на непоследователни системи от уравнения по метода на Гаус. Приключва веднага щом на един от етапите се получи уравнение, което няма решение. Тоест етапът с изчисляването на корените, който е доста дълъг и тъжен, изчезва. Разглежда се следната система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Както обикновено, матрицата се компилира:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

И се свежда до стъпаловидна форма:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

След първото преобразуване третият ред съдържа уравнение от вида

без решение. Следователно системата е непоследователна и отговорът е празното множество.

Предимства и недостатъци на метода

Ако изберете кой метод да решите SLAE на хартия с химикал, тогава методът, който беше разгледан в тази статия, изглежда най-привлекателен. При елементарните трансформации е много по-трудно да се объркате, отколкото се случва, ако трябва ръчно да търсите детерминанта или някаква сложна обратна матрица. Ако обаче използвате програми за работа с данни от този тип, например електронни таблици, тогава се оказва, че такива програми вече съдържат алгоритми за изчисляване на основните параметри на матриците - детерминанта, минорни, обратни и т.н. И ако сте сигурни, че машината сама ще изчисли тези стойности и няма да направи грешка, по-целесъобразно е да използвате матричния метод или формулите на Крамер, тъй като тяхното приложение започва и завършва с изчисляване на детерминанти и обратни матрици.

Приложение

Тъй като решението на Гаус е алгоритъм, а матрицата всъщност е двуизмерен масив, то може да се използва в програмирането. Но тъй като статията се позиционира като ръководство „за манекени“, трябва да се каже, че най-лесното място за вкарване на метода са електронните таблици, например Excel. Отново, всеки SLAE, въведен в таблица под формата на матрица, ще се разглежда от Excel като двуизмерен масив. А за операциите с тях има много хубави команди: събиране (можете да добавяте само матрици с еднакъв размер!), Умножение по число, умножение на матрица (също с определени ограничения), намиране на обратни и транспонирани матрици и най-важното , изчисляване на детерминанта. Ако тази отнемаща време задача се замени с една команда, е много по-бързо да се определи ранга на матрица и следователно да се установи нейната съвместимост или несъответствие.

Продължаваме да разглеждаме системи от линейни уравнения. Този урок е трети по темата. Ако имате неясна представа какво представлява системата от линейни уравнения като цяло, чувствате се като чайник, тогава препоръчвам да започнете с основите на следващата страница, полезно е да изучите урока.

Методът на Гаус е лесен!Защо? Известният немски математик Йохан Карл Фридрих Гаус приживе получава признание за най-великия математик на всички времена, гений и дори прозвището "Крал на математиката". И всичко гениално, както знаете, е просто!Между другото, в парите влизат не само гадове, но и гении – портретът на Гаус се фука на банкнота от 10 германски марки (преди въвеждането на еврото), а Гаус все още мистериозно се усмихва на германците от обикновени пощенски марки.

Методът на Гаус е прост с това, че СА ДОСТАТЪЧНИ ЗНАНИЯТА НА ПЕТОКЛАСНИК, за да го овладеят. Трябва да може да събира и умножава!Неслучайно методът за последователно елиминиране на неизвестните често се разглежда от учителите в училищните факултети по математика. Парадоксално е, но методът на Гаус създава най-големи затруднения за учениците. Нищо изненадващо - всичко е за методологията и ще се опитам да разкажа в достъпна форма за алгоритъма на метода.

Първо, систематизираме малко знанията за системите от линейни уравнения. Система от линейни уравнения може:

1) Имате уникално решение. 2) Имат безкрайно много решения. 3) Нямат решения (бъде несъвместими).

Методът на Гаус е най-мощният и универсален инструмент за намиране на решение всякаквисистеми от линейни уравнения. Както си спомняме Правило на Крамер и матричен методса неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. Метод за последователно елиминиране на неизвестни така или иначедоведе ни до отговора! В този урок отново ще разгледаме метода на Гаус за случай № 1 (единственото решение на системата), като статия е запазена за ситуациите на точки № 2-3. Отбелязвам, че самият алгоритъм на метода работи по същия начин и в трите случая.

Нека се върнем към най-простата система от урока Как да решим система от линейни уравнения?и го реши по метода на Гаус.

Първата стъпка е да напишете разширена матрична система: . По какъв принцип се записват коефициентите, мисля, че всеки може да види. Вертикалната линия вътре в матрицата не носи никакво математическо значение - това е просто зачертаване за улесняване на дизайна.

Справка : Препоръчвам да запомните термини линейна алгебра. Системна матрица е матрица, съставена само от коефициенти за неизвестни, в този пример матрицата на системата: . Разширена системна матрица е същата матрица на системата плюс колона от свободни членове, в този случай: . Всяка от матриците може да се нарече просто матрица за краткост.

След като е написана разширената матрица на системата, е необходимо да се извършат някои действия с нея, които също се наричат елементарни трансформации.

Има следните елементарни трансформации:

1) Струниматрици мога пренареждамместа. Например, в разглежданата матрица можете безопасно да пренаредите първия и втория ред:

2) Ако има (или се появиха) пропорционални (като специален случай - идентични) редове в матрицата, тогава следва Изтрийот матрицата, всички тези редове с изключение на един. Помислете например за матрицата . В тази матрица последните три реда са пропорционални, така че е достатъчно да оставите само един от тях: .

3) Ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, той също следва Изтрий. Няма да чертая, разбира се, нулевата линия е линията, в която само нули.

4) Редът на матрицата може да бъде умножавам (делим)за произволно число различен от нула. Да разгледаме, например, матрицата. Тук е препоръчително да разделите първия ред на -3 и да умножите втория ред по 2: . Това действие е много полезно, тъй като опростява по-нататъшните трансформации на матрицата.

5) Тази трансформация създава най-много трудности, но всъщност няма нищо сложно. До реда на матрицата, можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула. Разгледайте нашата матрица от практически пример: . Първо, ще опиша много подробно трансформацията. Умножете първия ред по -2: , и към втория ред добавяме първия ред, умножен по -2: . Сега първият ред може да бъде разделен "назад" с -2: . Както можете да видите, линията, която е ДОБАВЕНА LI – не се е променило. Винагиреда е променен, КЪМ КОЯТО ДОБАВЕНО UT.

На практика, разбира се, те не рисуват толкова подробно, а пишат по-кратко: Още веднъж: към втория ред добави първия ред, умножен по -2. Редът обикновено се умножава устно или на чернова, докато умственият ход на изчисленията е нещо подобно:

„Пренаписвам матрицата и пренаписвам първия ред: »

Първо първата колона. По-долу трябва да получа нула. Следователно умножавам горната единица по -2: и добавям първата към втория ред: 2 + (-2) = 0. Записвам резултата във втория ред: »

„Сега втората колона. Над -1 пъти -2: . Добавям първия към втория ред: 1 + 2 = 3. Записвам резултата на втория ред: »

„И третата колона. Над -5 пъти -2: . Добавям първия ред към втория ред: -7 + 10 = 3. Пиша резултата във втория ред: »

Моля, помислете внимателно за този пример и разберете алгоритъма за последователно изчисление, ако разбирате това, тогава методът на Гаус е практически "в джоба ви". Но, разбира се, ние все още работим върху тази трансформация.

Елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения

! ВНИМАНИЕ: разглеждани манипулации не може да използва, ако ви бъде предложена задача, при която матриците са дадени "от само себе си". Например с "класически" матрицив никакъв случай не трябва да пренареждате нещо вътре в матриците! Да се ​​върнем към нашата система. Тя практически е разбита на парчета.

Нека напишем увеличената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, да я намалим до стъпаловиден изглед:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. И отново: защо умножаваме първия ред по -2? За да получите нула на дъното, което означава да се отървете от една променлива във втория ред.

(2) Разделете втория ред на 3.

Целта на елементарните трансформации – преобразуване на матрицата в стъпка форма: . При проектирането на задачата те директно изтеглят „стълбата“ с обикновен молив, а също така ограждат числата, които се намират на „стъпките“. Самият термин "стъпаловиден изглед" не е изцяло теоретичен; в научната и образователната литература често се нарича трапецовиден изгледили триъгълен изглед.

В резултат на елементарни трансформации получихме еквивалентеноригинална система от уравнения:

Сега системата трябва да бъде "развита" в обратна посока - отдолу нагоре този процес се нарича обратен метод на Гаус.

В долното уравнение вече имаме готовия резултат: .

Помислете за първото уравнение на системата и заменете вече известната стойност на "y" в него:

Нека разгледаме най-често срещаната ситуация, когато методът на Гаус е необходим за решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.

Пример 1

Решете системата от уравнения по метода на Гаус:

Нека напишем разширената матрица на системата:

Сега веднага ще начертая резултата, до който ще стигнем в хода на решението: И повтарям, нашата цел е да приведем матрицата в стъпаловидна форма, използвайки елементарни трансформации. Откъде да започнете да предприемате действия?

Първо погледнете горния ляв номер: Почти винаги трябва да е тук мерна единица. Най-общо казано, -1 (а понякога и други числа) също са подходящи, но някак си традиционно се случва, че там обикновено се поставя единица. Как да организираме единица? Гледаме първата колона - имаме готова единица! Трансформация първа: разменете първия и третия ред:

Сега първият ред ще остане непроменен до края на решението. Сега добре.

Звеното в горния ляв ъгъл е организирано. Сега трябва да получите нули на тези места:

Нулите се получават само с помощта на "трудна" трансформация. Първо, ние се занимаваме с втория ред (2, -1, 3, 13). Какво трябва да се направи, за да се получи нула на първа позиция? Трябва към втория ред добавете първия ред, умножен по -2. Мислено или на чернова, умножаваме първия ред по -2: (-2, -4, 2, -18). И ние последователно извършваме (отново мислено или на чернова) добавяне, към втория ред добавяме първия ред, вече умножен по -2:

Резултатът се записва на втория ред:

По същия начин се справяме с третия ред (3, 2, -5, -1). За да получите нула на първа позиция, трябва към третия ред добавете първия ред, умножен по -3. Мислено или на чернова, умножаваме първия ред по -3: (-3, -6, 3, -27). И към третия ред добавяме първия ред, умножен по -3:

Резултатът е написан на третия ред:

На практика тези действия обикновено се извършват устно и се записват в една стъпка:

Няма нужда да броите всичко наведнъж и по едно и също време. Редът на изчисленията и "вмъкването" на резултатите последователени обикновено така: първо пренаписваме първия ред и се надуваме тихо - ПОСЛЕДОВАТЕЛНО и ВНИМАТЕЛНО:
И вече разгледах мисловния ход на самите изчисления по-горе.

В този пример това е лесно да се направи, разделяме втория ред на -5 (тъй като всички числа там се делят на 5 без остатък). В същото време разделяме третия ред на -2, защото колкото по-малко е числото, толкова по-просто е решението:

На последния етап на елементарните трансформации тук трябва да се получи още една нула:

За това към третия ред добавяме втория ред, умножен по -2:
Опитайте сами да анализирате това действие - мислено умножете втория ред по -2 и извършете събирането.

Последното извършено действие е прическата на резултата, разделете третия ред на 3.

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна начална система от линейни уравнения: Готино.

Сега влиза в действие обратният ход на метода на Гаус. Уравненията се „развиват“ отдолу нагоре.

В третото уравнение вече имаме готовия резултат:

Нека разгледаме второто уравнение: . Значението на "z" вече е известно, така:

И накрая, първото уравнение: . "Y" и "Z" са известни, въпросът е малък:

Отговор:

Както многократно беше отбелязано, за всяка система от уравнения е възможно и необходимо да се провери намереното решение, за щастие, това не е трудно и бързо.

Пример 2

Това е пример за самостоятелно решаване, пример за довършване и отговор в края на урока.

Трябва да се отбележи, че вашият начин на действиеможе да не съвпада с моя начин на действие, и това е особеност на метода на Гаус. Но отговорите трябва да са едни и същи!

Пример 3

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Разглеждаме горната лява "стъпка". Там трябва да имаме единица. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма такива, така че нищо не може да се реши с пренареждане на редовете. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана с помощта на елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Направих това: (1) Към първия ред добавяме втория ред, умножен по -1. Тоест, мислено умножихме втория ред по -1 и извършихме добавянето на първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво "минус едно", което ни устройва идеално. Който иска да получи +1, може да извърши допълнителен жест: умножете първия ред по -1 (променете знака му).

(2) Първият ред, умножен по 5, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по 3, се добавя към третия ред.

(3) Първият ред беше умножен по -1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и преместен на второ място, така че на втората „стъпка“ имахме желаната единица.

(4) Вторият ред, умножен по 2, се добавя към третия ред.

(5) Третият ред беше разделен на 3.

Лош знак, който показва грешка в изчислението (по-рядко печатна грешка), е „лошият“ край. Тоест, ако получим нещо като по-долу и, съответно, , то с голяма степен на вероятност може да се твърди, че е допусната грешка в хода на елементарни трансформации.

Ние зареждаме обратния ход, при проектирането на примери самата система често не се пренаписва и уравненията са „взети директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням, работи отдолу нагоре. Да, ето подарък:

Отговор: .

Пример 4

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Това е пример за независимо решение, малко по-сложно е. Няма проблем, ако някой се обърка. Пълно решение и примерен дизайн в края на урока. Вашето решение може да се различава от моето.

В последната част ще разгледаме някои характеристики на алгоритъма на Гаус. Първата особеност е, че понякога някои променливи липсват в уравненията на системата, например: Как правилно да напишем разширената матрица на системата? Вече говорих за този момент в урока. Правилото на Крамер. Матричен метод. В разширената матрица на системата поставяме нули на мястото на липсващите променливи: Между другото, това е доста лесен пример, тъй като вече има една нула в първата колона и има по-малко елементарни трансформации за изпълнение.

Втората особеност е тази. Във всички разгледани примери поставихме или –1, или +1 на „стъпките“. Може ли да има други числа? В някои случаи могат. Помислете за системата: .

Тук на горната лява "стъпка" имаме двойка. Но забелязваме факта, че всички числа в първата колона се делят на 2 без остатък - и още две и шест. И двойката горе вляво ще ни подхожда! На първата стъпка трябва да извършите следните трансформации: добавете първия ред, умножен по -1, към втория ред; към третия ред добавете първия ред, умножен по -3. Така ще получим желаните нули в първата колона.

Или друг хипотетичен пример: . Тук тройката на второто „стъпало“ също ни подхожда, тъй като 12 (мястото, където трябва да получим нула) се дели на 3 без остатък. Необходимо е да се извърши следната трансформация: към третия ред добавете втория ред, умножен по -4, в резултат на което ще се получи нулата, от която се нуждаем.

Методът на Гаус е универсален, но има една особеност. Можете уверено да се научите как да решавате системи по други методи (метод на Крамер, матричен метод) буквално от първия път - има много твърд алгоритъм. Но за да се чувствате уверени в метода на Гаус, трябва да „напълните ръката си“ и да решите поне 5-10 десет системи. Следователно в началото може да има объркване, грешки в изчисленията и в това няма нищо необичайно или трагично.

Дъждовно есенно време извън прозореца .... Следователно, за всеки, по-сложен пример за независимо решение:

Пример 5

Решете система от 4 линейни уравнения с четири неизвестни по метода на Гаус.

Подобна задача на практика не е толкова рядка. Мисля, че дори чайник, който е проучил тази страница подробно, разбира алгоритъма за решаване на такава система интуитивно. По принцип същото - само повече действие.

В урока се разглеждат случаите, когато системата няма решения (непоследователни) или има безкрайно много решения. Несъвместими системи и системи с общо решение. Там можете да коригирате разглеждания алгоритъм на метода на Гаус.

Желая ти късмет!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение : Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации да я приведем в стъпаловидна форма.
Извършени елементарни трансформации: (1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по -1. Внимание! Тук може да е изкушаващо да извадите първия от третия ред, силно не препоръчвам да изваждате - рискът от грешка се увеличава значително. Просто сгъваме! (2) Знакът на втория ред е променен (умножен по -1). Вторият и третият ред са разменени. Забележка че на „стъпките“ се задоволяваме не само с една, но и с -1, което е още по-удобно. (3) Към третия ред добавете втория ред, умножен по 5. (4) Знакът на втория ред е променен (умножен по -1). Третият ред беше разделен на 14.

Обратно движение:

Отговор : .

Пример 4: Решение : Пишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в стъпаловидна форма:

Извършени реализации: (1) Вторият ред беше добавен към първия ред. По този начин желаната единица е организирана в горната лява „стъпка“. (2) Първият ред, умножен по 7, се добавя към втория ред. Първият ред, умножен по 6, се добавя към третия ред.

С втората "стъпка" всичко е по-лошо , "кандидатите" за него са числата 17 и 23, като ни трябва или едно, или -1. Трансформациите (3) и (4) ще бъдат насочени към получаване на желаната единица (3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по -1. (4) Третият ред, умножен по -3, се добавя към втория ред. Получава се необходимото на втората стъпка . (5) Към третия ред се добавя вторият, умножен по 6. (6) Вторият ред беше умножен по -1, третият ред беше разделен на -83.

Обратно движение:

Отговор :

Пример 5: Решение : Нека запишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я приведем в стъпаловидна форма:

Извършени реализации: (1) Първият и вторият ред са разменени. (2) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по -3. (3) Вторият ред, умножен по 4, се добавя към третия ред. Вторият ред, умножен по -1, се добавя към четвъртия ред. (4) Знакът на втория ред е променен. Четвъртият ред беше разделен на 3 и поставен вместо третия ред. (5) Третият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по -5.

Обратно движение:

Отговор :

Днес се занимаваме с метода на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения. Можете да прочетете какво представляват тези системи в предишната статия, посветена на решаването на същата SLAE по метода на Cramer. Методът на Гаус не изисква никакви специфични познания, необходими са само внимание и последователност. Въпреки факта, че от гледна точка на математиката училищната подготовка е достатъчна за нейното прилагане, овладяването на този метод често създава трудности за учениците. В тази статия ще се опитаме да ги сведем до нищо!

Метод на Гаус

М Метод на Гаусе най-универсалният метод за решаване на SLAE (с изключение на много големи системи). За разлика от разгледания по-рано, той е подходящ не само за системи, които имат уникално решение, но и за системи, които имат безкраен брой решения. Тук има три варианта.

1. Системата има уникално решение (детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула);
2. Системата има безкраен брой решения;
3. Няма решения, системата е непоследователна.

И така, имаме система (нека има едно решение) и ще я решим по метода на Гаус. Как работи?

Методът на Гаус се състои от два етапа - пряк и обратен.

Директен метод на Гаус

Първо, пишем разширената матрица на системата. За да направите това, добавяме колона със свободни членове към основната матрица.

Цялата същност на метода на Гаус е да доведе дадена матрица до стъпаловидна (или, както се казва, триъгълна) форма чрез елементарни трансформации. В тази форма трябва да има само нули под (или над) главния диагонал на матрицата.

Какво може да се направи:

1. Можете да пренаредите редовете на матрицата;
2. Ако има идентични (или пропорционални) редове в матрицата, можете да изтриете всички, освен един от тях;
3. Можете да умножите или разделите низ с произволно число (освен нула);
4. Премахват се нулеви линии;
5. Можете да добавите низ, умножен по ненулево число към низ.

Обратен метод на Гаус

След като трансформираме системата по този начин, една неизвестна xn става известно и е възможно да се намерят всички останали неизвестни в обратен ред, като се заменят вече известните x в уравненията на системата, до първото.

Когато интернет е винаги под ръка, можете да решите системата от уравнения по метода на Гаус на линия .Всичко, което трябва да направите, е да въведете коефициентите в онлайн калкулатора. Но трябва да признаете, че е много по-приятно да осъзнаете, че примерът е решен не от компютърна програма, а от вашия собствен мозък.

Пример за решаване на система от уравнения по метода на Гаус

А сега - пример, така че всичко да стане ясно и разбираемо. Нека е дадена система от линейни уравнения и е необходимо да се реши по метода на Гаус:

Първо, нека напишем разширената матрица:

Сега нека да разгледаме трансформациите. Не забравяйте, че трябва да постигнем триъгълна форма на матрицата. Умножете 1-вия ред по (3). Умножете 2-рия ред по (-1). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви и получаваме:

След това умножете третия ред по (-1). Нека добавим 3-ия ред към 2-рия:

Умножете 1-вия ред по (6). Умножете 2-рия ред по (13). Нека добавим 2-ри ред към 1-ви:

Voila - системата е приведена в подходяща форма. Остава да се намерят неизвестните:

Системата в този пример има уникално решение. Ще разгледаме решението на системи с безкраен набор от решения в отделна статия. Може би отначало няма да знаете откъде да започнете с матричните трансформации, но след подходяща практика ще се сдобиете с това и ще щракнете върху гаусовата SLAE като ядки. И ако изведнъж попаднете на SLAU, който се окаже твърде твърд орех, свържете се с нашите автори! можете като оставите заявление в Кореспонденцията. Заедно ще решим всеки проблем!

1. Система от линейни алгебрични уравнения

1.1 Концепцията за система от линейни алгебрични уравнения

Система от уравнения е условие, състоящо се в едновременното изпълнение на няколко уравнения по отношение на няколко променливи. Система от линейни алгебрични уравнения (наричана по-долу SLAE), съдържаща m уравнения и n неизвестни, е система от вида:

където числата a ij се наричат ​​коефициенти на системата, числата b i са свободни членове, aijи b i(i=1,…, m; b=1,…, n) са някои известни числа и x 1 ,…, x n- неизвестен. В обозначението на коефициентите aijпървият индекс i обозначава номера на уравнението, а вторият индекс j е номерът на неизвестното, при което стои този коефициент. Подлежи на намиране на числото x n . Удобно е да се напише такава система в компактна матрична форма: AX=B.Тук A е матрицата на коефициентите на системата, наречена основна матрица;

е вектор колона с неизвестен xj.
е вектор колона от свободни членове bi.

Продуктът на матрици A * X е дефиниран, тъй като има толкова колони в матрица A, колкото има редове в матрица X (n броя).

Разширената матрица на системата е матрицата А на системата, допълнена от колона от свободни членове

1.2 Решение на система от линейни алгебрични уравнения

Решението на система от уравнения е подреден набор от числа (стойности на променливи), при замяната им вместо променливи, всяко от уравненията на системата се превръща в истинско равенство.

Решението на системата е n стойности на неизвестните x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, замествайки които всички уравнения на системата се превръщат в истински равенства. Всяко решение на системата може да бъде записано като колонна матрица

Система от уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение, и непоследователна, ако няма решения.

Съвместната система се нарича определена, ако има уникално решение, и неопределена, ако има повече от едно решение. В последния случай всяко негово решение се нарича конкретно решение на системата. Множеството от всички частни решения се нарича общо решение.

Решаването на система означава да разберете дали е съвместима или не. Ако системата е съвместима, намерете нейното общо решение.

Две системи се наричат ​​еквивалентни (еквивалентни), ако имат едно и също общо решение. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение на една от тях е решение на другата и обратно.

Трансформация, чието прилагане превръща системата в нова система, еквивалентна на оригиналната, се нарича еквивалентна или еквивалентна трансформация. Следните трансформации могат да служат като примери за еквивалентни трансформации: размяна на две уравнения на системата, размяна на две неизвестни заедно с коефициентите на всички уравнения, умножаване на двете части на всяко уравнение на системата с число, различно от нула.

Система от линейни уравнения се нарича хомогенна, ако всички свободни членове са равни на нула:

Хомогенната система винаги е последователна, тъй като x1=x2=x3=…=xn=0 е решение на системата. Това решение се нарича нулево или тривиално.

2. Метод на елиминиране на Гаус

2.1 Същността на метода за елиминиране на Гаус

Класическият метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения е методът на последователното елиминиране на неизвестните - Метод на Гаус(Нарича се още метод за елиминиране на Гаус). Това е метод за последователно елиминиране на променливи, когато с помощта на елементарни трансформации система от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма, от която всички останали променливи се намират последователно, започвайки от последни (по брой) променливи.

Процесът на решение на Гаус се състои от два етапа: движение напред и назад.

1. Директен ход.

На първия етап се извършва т. нар. директно преместване, когато чрез елементарни трансформации по редове системата се привежда в стъпаловидна или триъгълна форма или се установява, че системата е непоследователна. А именно, измежду елементите на първата колона на матрицата се избира ненулева единица, премества се в най-горната позиция чрез пермутиране на редовете, а първият ред, получен след пермутацията, се изважда от останалите редове, като се умножава със стойност, равна на съотношението на първия елемент от всеки от тези редове към първия елемент от първия ред, като по този начин се нулира колоната под него.

След като са направени посочените трансформации, първият ред и първата колона се зачертават мислено и продължават, докато остане матрица с нулев размер. Ако при някои от итерациите сред елементите на първата колона не се намери ненулева единица, тогава преминете към следващата колона и извършете подобна операция.

На първия етап (напред) системата се свежда до стъпаловидна (по-специално триъгълна) форма.

Следната система има стъпаловидна форма:

,

Коефициентите aii се наричат ​​главни (водещи) елементи на системата.

(ако a11=0, пренаредете редовете на матрицата, така че а 11 не е равно на 0. Това винаги е възможно, защото в противен случай матрицата съдържа нулева колона, детерминантата й е равна на нула и системата е непоследователна).

Преобразуваме системата, като елиминираме неизвестното x1 във всички уравнения с изключение на първото (използвайки елементарни трансформации на системата). За да направите това, умножете двете страни на първото уравнение по

и добавяме член по член с второто уравнение на системата (или от второто уравнение изваждаме член по член първото умножено по ). След това умножаваме и двете части на първото уравнение по и го добавяме към третото уравнение на системата (или изваждаме първото, умножено по третия член по член). Така последователно умножаваме първия ред по число и добавяме към и-ти ред, за i= 2, 3, …,н.

Продължавайки този процес, получаваме еквивалентната система:

- нови стойности на коефициентите за неизвестни и свободни членове в последните m-1 уравнения на системата, които се определят по формулите:

Така на първата стъпка всички коефициенти под първия водещ елемент a 11 се унищожават

0, втората стъпка унищожава елементите под втория водещ елемент a 22 (1) (ако a 22 (1) 0) и т.н. Продължавайки този процес по-нататък, най-накрая ще намалим оригиналната система до триъгълна система на стъпка (m-1).

Ако в процеса на редуциране на системата до стъпаловидна форма се появят нулеви уравнения, т.е. равенства от вида 0=0, те се отхвърлят. Ако има уравнение от формата

Това показва несъвместимост на системата.

Това завършва директния курс на метода на Гаус.

2. Обратно движение.

На втория етап се извършва така нареченото обратно движение, чиято същност е да се изразят всички получени основни променливи чрез неосновни и да се изгради фундаментална система от решения или, ако всички променливи са основни, след това се изразява числено единственото решение на системата от линейни уравнения.

Тази процедура започва с последното уравнение, от което се изразява съответната основна променлива (в нея има само една) и се заменя с предишните уравнения и т. н., вървейки нагоре по „стъпките“.

Всеки ред съответства точно на една основна променлива, така че на всяка стъпка, с изключение на последната (най-горната), ситуацията точно повтаря случая на последния ред.

Забележка: на практика е по-удобно да се работи не със системата, а с нейната разширена матрица, извършвайки всички елементарни трансформации на нейните редове. Удобно е коефициентът a11 да бъде равен на 1 (пренаредете уравненията или разделете двете страни на уравнението на a11).

2.2 Примери за решаване на SLAE по метода на Гаус

В този раздел, използвайки три различни примера, ще покажем как методът на Гаус може да се използва за решаване на SLAE.

Пример 1. Решете SLAE от 3-ти ред.

Задайте коефициентите на нула при

във втория и третия ред. За да направите това, умножете ги съответно по 2/3 и 1 и ги добавете към първия ред: