За да разберете как да изчислите LCM, първо трябва да определите значението на термина "множество".

Кратното на A е естествено число, което се дели на A без остатък. По този начин 15, 20, 25 и т.н. могат да се считат за кратни на 5.

Може да има ограничен брой делители на определено число, но има безкраен брой кратни.

Общото кратно на естествените числа е число, което се дели на тях без остатък.

Как да намерим най-малкото общо кратно на числата

Най-малкото общо кратно (LCM) на числа (две, три или повече) е най-малкото естествено число, което се дели равномерно на всички тези числа.

За да намерите NOC, можете да използвате няколко метода.

За малки числа е удобно да се изпишат на ред всички кратни на тези числа, докато се намери общо сред тях. Множествата се обозначават в записа с главна буква K.

Например, кратни на 4 могат да се запишат така:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

И така, можете да видите, че най-малкото общо кратно на числата 4 и 6 е числото 24. Това вписване се извършва по следния начин:

LCM(4, 6) = 24

Ако числата са големи, намерете общото кратно на три или повече числа, тогава е по-добре да използвате друг начин за изчисляване на LCM.

За да се изпълни задачата, е необходимо да се разложат предложените числа на прости множители.

Първо трябва да напишете разширението на най-голямото от числата в ред, а под него - останалите.

При разширяването на всяко число може да има различен брой фактори.

Например, нека разложим числата 50 и 20 на прости фактори.

При разгръщането на по-малкото число трябва да се подчертаят факторите, които липсват при разширението на първото най-голямо число, и след това да се добавят към него. В представения пример липсва двойка.

Сега можем да изчислим най-малкото общо кратно на 20 и 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Така произведението на простите множители на по-голямото число и на факторите на второто число, които не са включени в разлагането на по-голямото число, ще бъде най-малкото общо кратно.

За да се намери LCM от три или повече числа, всички те трябва да бъдат разложени на прости множители, както в предишния случай.

Като пример можете да намерите най-малкото общо кратно на числата 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Така само две двойки от разлагането на шестнадесет не бяха включени в разлагането на по-голямо число (едно е в разлагането на двадесет и четири).

По този начин те трябва да се добавят към разлагането на по-голямо число.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Има специални случаи на определяне на най-малкото общо кратно. Така че, ако едно от числата може да бъде разделено без остатък на друго, тогава по-голямото от тези числа ще бъде най-малкото общо кратно.

Например, NOC от дванадесет и двадесет и четири биха били двадесет и четири.

Ако е необходимо да се намери най-малкото общо кратно на взаимно прости числа, които нямат еднакви делители, тогава тяхното LCM ще бъде равно на тяхното произведение.

Например LCM(10, 11) = 110.

Но много естествени числа се делят равномерно на други естествени числа.

например:

Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числата, на които числото се дели (за 12 е 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числа. Делител на естествено число ае естественото число, което дели даденото число абез следа. Нарича се естествено число, което има повече от два фактора композитен .

Обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи делители. Това са числата: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общият делител на тези две числа аи бе числото, на което и двете дадени числа се делят без остатък аи б.

общо кратноняколко числа се нарича числото, което се дели на всяко от тези числа. например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 също са техните общи кратни. Сред всички jcommon кратни винаги има най-малкото, в този случай е 90. Това число се нарича най-малкотообщо кратно (LCM).

LCM винаги е естествено число, което трябва да бъде по-голямо от най-голямото от числата, за които е определено.

Най-малко общо кратно (LCM). Имоти.

комутативност:

асоциативност:

По-специално, ако и са взаимно прости числа , тогава:

Най-малко общо кратно на две цели числа ми не делител на всички други общи кратни ми н. Освен това наборът от общи кратни m,nсъвпада с набора от кратни за LCM( m,n).

Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретико-числови функции.

Така, функция на Чебишев. Както и:

Това следва от определението и свойствата на функцията Ландау g(n).

Какво следва от закона за разпределението на простите числа.

Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

NOC( а, б) може да се изчисли по няколко начина:

1. Ако е известен най-големият общ делител, можете да използвате връзката му с LCM:

2. Нека е известно каноничното разлагане на двете числа в прости множители:

където p 1 ,...,p kса различни прости числа и d 1 ,...,dkи e 1 ,...,ekса неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нула, ако съответното просто число не е в разширението).

След това LCM ( а,б) се изчислява по формулата:

С други думи, LCM разширението съдържа всички прости фактори, които са включени в поне едно от разширенията на числата а, б, като се взема най-големият от двата показателя на този фактор.

Пример:

Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да се сведе до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:

Правило.За да намерите LCM на серия от числа, трябва:

- разлагат числата на прости множители;

- прехвърлете най-голямото разширение към факторите на желания продукт (продуктът на факторите на най-големия брой от дадените) и след това добавете фактори от разширението на други числа, които не се срещат в първото число или са в него по-малък брой пъти;

- полученият продукт от прости множители ще бъде LCM на дадените числа.

Всякакви две или повече естествени числа имат свой собствен LCM. Ако числата не са кратни едно на друго или нямат едни и същи множители в разширението, тогава тяхното LCM е равно на произведението на тези числа.

Простите множители на числото 28 (2, 2, 7) бяха допълнени с коефициент 3 (числото 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28.

Простите множители на най-голямото число 30 бяха допълнени с коефициент 5 на числото 25, полученият продукт 150 е по-голям от най-голямото число 30 и се дели на всички дадени числа без остатък. Това е възможно най-малкото произведение (150, 250, 300...), на което всички дадени числа са кратни.

Числата 2,3,11,37 са прости, така че тяхното LCM е равно на произведението на дадените числа.

правило. За да изчислите LCM на простите числа, трябва да умножите всички тези числа заедно.

Друг вариант:

За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, ви трябва:

1) представят всяко число като произведение на неговите прости множители, например:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) запишете мощностите на всички прости множители:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) запишете всички прости делители (множители) на всяко от тези числа;

4) изберете най-голямата степен на всяко от тях, намираща се във всички разложения на тези числа;

5) умножете тези мощности.

Пример. Намерете LCM на числа: 168, 180 и 3024.

Решение. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Изписваме най-големите степени на всички прости делители и ги умножаваме:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Определение.Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител (gcd)тези числа.

Нека намерим най-големия общ делител на числата 24 и 35.
Делите на 24 ще бъдат числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 ще бъдат числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно проста.

Определение.Естествените числа се наричат взаимно простаако техният най-голям общ делител (gcd) е 1.

Най-голям общ делител (GCD)може да се намери без изписване на всички делители на дадените числа.

Разлагайки числата 48 и 36 на множители, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, изтриваме тези, които не са включени в разширението на второто число (т.е. две двойки).
Остават множителите 2 * 2 * 3. Техният продукт е 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Открива се и най-големият общ делител на три или повече числа.

Да намеря най-голям общ делител

2) от факторите, включени в разширението на едно от тези числа, зачеркнете тези, които не са включени в разширението на други числа;
3) намерете произведението на останалите фактори.

Ако всички дадени числа се делят на едно от тях, то това число е най-голям общ делителдадени числа.
Например, най-големият общ делител на 15, 45, 75 и 180 е 15, тъй като дели всички останали числа: 45, 75 и 180.

Най-малко общо кратно (LCM)

Определение. Най-малко общо кратно (LCM)естествените числа a и b са най-малкото естествено число, което е кратно както на a, така и на b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се изписват кратни на тези числа в ред. За да направите това, разлагаме 75 и 60 на прости фактори: 75 = 3 * 5 * 5 и 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Нека напишем коефициентите, включени в разширението на първото от тези числа, и да добавим към тях липсващите фактори 2 и 2 от разширението на второто число (т.е. комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чието произведение е 300. Това число е най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Намерете също най-малкото общо кратно на три или повече числа.

Да се намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) да ги разложи на прости множители;
2) напишете коефициентите, включени в разширението на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите фактори от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.

Имайте предвид, че ако едно от тези числа се дели на всички останали числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например, най-малкото общо кратно на 12, 15, 20 и 60 би било 60, тъй като се дели на всички дадени числа.

Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. Число, равно на сбора от всички негови делители (без самото число), те наричат ​​перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. д. Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 перфектни числа. Но досега учените не знаят дали има нечетни съвършени числа, дали има най-голямото перфектно число.
Интересът на древните математици към простите числа се дължи на факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като продукт на прости числа, тоест простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редицата от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части от редицата има повече от тях, в други - по-малко. Но колкото повече се движим по редицата от числа, толкова по-редки са простите числа. Възниква въпросът: съществува ли последното (най-голямо) просто число? Древногръцкият математик Евклид (3 век пр.н.е.) в книгата си „Началата“, която в продължение на две хиляди години е основният учебник по математика, доказва, че има безкрайно много прости числа, тоест зад всяко просто число има четно число по-голямо просто число.
За да намери прости числа, друг гръцки математик от същото време, Ератостен, измисли такъв метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това зачеркна единицата, която не е нито просто, нито съставно число, след това зачеркна през едно всички числа след 2 (числа, които са кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и др.). Първото оставащо число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа след 3 бяха зачертани (числа, които са кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.). в крайна сметка само простите числа останаха незачертани.

Как да намерим най-малкото общо кратно?

Необходимо е да се намери всеки множител на всяко от двете числа, за които намираме най-малкото общо кратно, и след това да се умножат помежду си факторите, които съвпадат с първото и второто число. Резултатът от продукта ще бъде желаният множител.

Например, имаме числата 3 и 5 и трябва да намерим LCM (най-малкото общо кратно). Нас трябва да се умножии три и пет за всички числа, започващи от 1 2 3 ...и така нататък, докато не видим едно и също число и там, и там.

Умножаваме трите и получаваме: 3, 6, 9, 12, 15

Умножете пет и вземете: 5, 10, 15

Методът за разлагане на прости фактори е най-класическият за намиране на най-малкото общо кратно (LCM) на множество числа. Този метод е ясно и просто демонстриран в следното видео:

Добавянето, умножаването, деленето, свеждането до общ знаменател и други аритметични операции е много вълнуващо занимание, примерите, които заемат цял ​​лист, са особено възхищени.

Така че намерете общото кратно за две числа, което ще бъде най-малкото число, на което две числа се делят. Искам да отбележа, че не е необходимо да прибягвате до формули в бъдеще, за да намерите това, което търсите, ако можете да преброите наум (и това може да се тренира), тогава самите числа изскачат в главата ви и след това дробите щракат като ядки.

Като начало научаваме, че можем да умножим две числа едно срещу друго и след това да намалим тази цифра и да я разделим последователно на тези две числа, така че ще намерим най-малкото кратно.

Например две числа 15 и 6. Умножаваме и получаваме 90. Това очевидно е по-голямо число. Освен това 15 се дели на 3 и 6 се дели на 3, което означава, че разделяме и 90 на 3. Получаваме 30. Опитваме се да разделим 30 на 15 е 2. И 30 дели 6 е 5. Тъй като 2 е границата, оказва се, че най-малкото кратно за числата 15 и 6 ще бъде 30.

С повече числа ще бъде малко по-трудно. но ако знаете кои числа дават нулев остатък при разделяне или умножение, тогава по принцип няма големи трудности.

• Как да намерите NOC

  Ето видео, което ще ви покаже два начина за намиране на най-малкото общо кратно (LCM). Практикувайки с помощта на първия от предложените методи, можете по-добре да разберете какво е най-малкото общо кратно.

Ето още един начин да намерите най-малкото общо кратно. Нека да разгледаме един илюстративен пример.

Необходимо е да се намери LCM от три числа наведнъж: 16, 20 и 28.

• Представяме всяко число като произведение на неговите прости множители:
• Записваме мощностите на всички прости фактори:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Избираме всички прости делители (множители) с най-големите градуси, умножаваме ги и намираме LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Така в резултат на изчислението се получи числото 560. То е най-малкото общо кратно, тоест дели се на всяко от трите числа без остатък.

Най-малкото общо кратно е числото, което може да бъде разделено на няколко дадени числа без остатък. За да изчислите такава цифра, трябва да вземете всяко число и да го разложите на прости фактори. Тези числа, които съвпадат, се премахват. Оставя всеки един по един, умножете ги помежду си на свой ред и получите желаното - най-малкото общо кратно.

NOC, или най-малко общо кратно, е най-малкото естествено число от две или повече числа, което се дели на всяко от дадените числа без остатък.

Ето пример за това как да намерите най-малкото общо кратно на 30 и 42.

• Първата стъпка е да разложим тези числа на прости множители.

За 30 е 2 x 3 x 5.

За 42 това е 2 x 3 x 7. Тъй като 2 и 3 са в разширението на числото 30, ние ги зачеркваме.

• Изписваме факторите, които са включени в разширението на числото 30. Това е 2 x 3 x 5.
• Сега трябва да ги умножите по липсващия коефициент, който имаме при разлагането на 42, а това е 7. Получаваме 2 x 3 x 5 x 7.
• Намираме какво е равно на 2 x 3 x 5 x 7 и получаваме 210.

В резултат на това получаваме, че LCM на числата 30 и 42 е 210.

За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да следвате няколко прости стъпки последователно. Помислете за това, като използвате примера на две числа: 8 и 12

1. Разлагаме и двете числа на прости множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
2. Намаляваме същите множители за едно от числата. В нашия случай, съвпадение 2 * 2, ние ги намаляваме за числото 12, тогава 12 ще има един фактор: 3.
3. Намерете произведението на всички останали фактори: 2*2*2*3=24

Проверявайки, се уверяваме, че 24 се дели както на 8, така и на 12 и това е най-малкото естествено число, което се дели на всяко от тези числа. Тук сме намерете най-малкото общо кратно.

Ще се опитам да обясня с примера на числата 6 и 8. Най-малкото общо кратно е числото, което може да се раздели на тези числа (в нашия случай 6 и 8) и няма да има остатък.

И така, започваме да умножаваме първо 6 по 1, 2, 3 и т.н. и 8 по 1, 2, 3 и т.н.

Как да намерите LCM (най-малко общо кратно)

Най-малкото общо кратно на две цели числа е най-малкото от всички цели числа, което се дели равномерно и без остатък на двете дадени числа.

Метод 1. Можете да намерите LCM от своя страна за всяко от дадените числа, като изписвате във възходящ ред всички числа, които се получават чрез умножаването им по 1, 2, 3, 4 и т.н.

Примерза числа 6 и 9.
Умножаваме числото 6, последователно, по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаваме числото 9 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 9, 18 , 27, 36, 45
Както можете да видите, LCM за числата 6 и 9 ще бъде 18.

Този метод е удобен, когато и двете числа са малки и е лесно да ги умножите по поредица от цели числа. Има обаче случаи, когато трябва да намерите LCM за двуцифрени или трицифрени числа, а също и когато има три или дори повече начални числа.

Метод 2. Можете да намерите LCM, като разложите оригиналните числа на прости фактори.
След разлагането е необходимо да се задраскат същите числа от получената серия от прости множители. Останалите числа от първото число ще бъдат коефициент за второто, а останалите числа от второто число ще бъдат фактор за първото.

Примерза числата 75 и 60.
Най-малкото общо кратно на числата 75 и 60 може да се намери, без да се изписват кратни на тези числа в ред. За да направим това, ние разлагаме 75 и 60 на прости множители:
75 = 3 * 5 * 5 и
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Както можете да видите, факторите 3 и 5 се срещат и в двата реда. Мислено ги "зачеркваме".
Нека запишем останалите фактори, включени в разширението на всяко от тези числа. При разлагането на числото 75 оставихме числото 5, а при разлагането на числото 60 оставихме 2 * 2
И така, за да определим LCM за числата 75 и 60, трябва да умножим останалите числа от разширението на 75 (това е 5) по 60 и числата, останали от разширението на числото 60 (това е 2 * 2 ) умножете по 75. Тоест, за по-лесно разбиране, казваме, че умножаваме "на кръст".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ето как намерихме LCM за числата 60 и 75. Това е числото 300.

Пример. Определете LCM за числа 12, 16, 24
В този случай нашите действия ще бъдат малко по-сложни. Но първо, както винаги, разлагаме всички числа на прости множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
За да определим правилно LCM, ние избираме най-малкото от всички числа (това е числото 12) и последователно преминаваме през неговите множители, зачертавайки ги, ако поне един от другите редове числа има същия фактор, който все още не е пресечен навън.

Етап 1 . Виждаме, че 2 * 2 се среща във всички серии от числа. Зачеркваме ги.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Стъпка 2. В простите множители на числото 12 остава само числото 3. Но то присъства в простите множители на числото 24. Зачертаваме числото 3 от двата реда, докато за числото 16 не се очаква действие .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Както можете да видите, при разлагането на числото 12 ние "зачеркнахме" всички числа. Така констатацията на НОК е завършена. Остава само да се изчисли стойността му.
За числото 12 вземаме останалите фактори от числото 16 (най-близкият във възходящ ред)
12 * 2 * 2 = 48
Това е НОК

Както можете да видите, в този случай намирането на LCM беше малко по-трудно, но когато трябва да го намерите за три или повече числа, този метод ви позволява да го направите по-бързо. Въпреки това и двата начина за намиране на LCM са правилни.