Най-малко общо кратно на три цифри. Как да намерим най-малкото общо кратно на числа

Как да намерим най-малкото общо кратно?

Необходимо е да се намери всеки фактор на всяко от двете числа, за които намираме най-малкото общо кратно, и след това да се умножат факторите, които съвпадат с първото и второто число един по друг. Резултатът от продукта ще бъде желаното кратно.

Например, имаме числата 3 и 5 и трябва да намерим LCM (най-малкото общо кратно). Нас трябва да се умножии три и пет за всички числа, започващи от 1 2 3 ...и така нататък, докато видим едно и също число и там, и там.

Умножаваме трите и получаваме: 3, 6, 9, 12, 15

Умножете пет и получете: 5, 10, 15

Методът на разлагане на прости множители е най-класическият за намиране на най-малкото общо кратно (LCM) на множество числа. Този метод е ясно и просто демонстриран в следния видеоклип:

Събиране, умножение, деление, привеждане до общ знаменател и други аритметични операции е много вълнуващо занимание, примерите, които заемат цял ​​лист, са особено възхитени.

Така че намерете общото кратно на две числа, което ще бъде най-малкото число, на което се делят две числа. Искам да отбележа, че не е необходимо да прибягвате до формули в бъдеще, за да намерите това, което търсите, ако можете да броите наум (и това може да се тренира), тогава самите числа изскачат в главата ви и след това фракциите щракат като ядки.

Като начало научаваме, че можем да умножим две числа едно срещу друго и след това да намалим тази цифра и да я разделим последователно на тези две числа, така че ще намерим най-малкото кратно.

Например две числа 15 и 6. Умножаваме и получаваме 90. Това очевидно е по-голямо число. Освен това 15 се дели на 3 и 6 се дели на 3, което означава, че също делим 90 на 3. Получаваме 30. Опитваме се да разделим 30 на 15 е 2. И 30 дели 6 е 5. Тъй като 2 е границата, оказва се, че най-малкото кратно на числата 15 и 6 ще бъде 30.

С повече цифри ще е малко по-трудно. но ако знаете кои числа дават нулев остатък при деление или умножение, тогава по принцип няма големи трудности.

• Как да намерите NOC

  Ето видео, което ще ви покаже два начина за намиране на най-малкото общо кратно (LCM). Като се упражнявате да използвате първия от предложените методи, можете по-добре да разберете какво е най-малкото общо кратно.

Ето още един начин да намерите най-малкото общо кратно. Нека да разгледаме един илюстративен пример.

Необходимо е да се намери LCM на три числа наведнъж: 16, 20 и 28.

• Представяме всяко число като произведение на неговите прости множители:
• Записваме степените на всички прости множители:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Избираме всички прости делители (множители) с най-големи степени, умножаваме ги и намираме LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Така в резултат на изчислението се получава числото 560. То е най-малкото общо кратно, тоест дели се на всяко от трите числа без остатък.

Най-малкото общо кратно е числото, което може да се раздели на няколко дадени числа без остатък. За да изчислите такава цифра, трябва да вземете всяко число и да го разложите на прости фактори. Тези числа, които съвпадат, се премахват. Оставя всеки един по един, умножава ги помежду си на свой ред и получава желаното - най-малкото общо кратно.

NOC, или най-малко общо кратно, е най-малкото естествено число от две или повече числа, което се дели на всяко от дадените числа без остатък.

Ето пример как да намерите най-малкото общо кратно на 30 и 42.

• Първата стъпка е да разложим тези числа на прости множители.

За 30 е 2 х 3 х 5.

За 42 това е 2 х 3 х 7. Тъй като 2 и 3 са в разширението на числото 30, ние ги задраскваме.

• Изписваме факторите, които са включени в разширяването на числото 30. Това е 2 x 3 x 5.
• Сега трябва да ги умножите по липсващия фактор, който имаме, когато разлагаме 42, и това е 7. Получаваме 2 x 3 x 5 x 7.
• Намираме какво е равно на 2 x 3 x 5 x 7 и получаваме 210.

В резултат на това получаваме, че LCM на числата 30 и 42 е 210.

За намиране на най-малкото общо кратно, трябва да следвате последователно няколко прости стъпки. Помислете за това, като използвате примера на две числа: 8 и 12

1. Разлагаме и двете числа на прости множители: 8=2*2*2 и 12=3*2*2
2. Намаляваме същите множители за едно от числата. В нашия случай 2 * 2 съвпадат, намаляваме ги за числото 12, тогава 12 ще има един фактор: 3.
3. Намерете произведението на всички останали множители: 2*2*2*3=24

Проверявайки, се уверяваме, че 24 се дели и на 8, и на 12 и това е най-малкото естествено число, което се дели на всяко от тези числа. Тук сме намерете най-малкото общо кратно.

Ще се опитам да обясня на примера на числата 6 и 8. Най-малкото общо кратно е числото, което може да бъде разделено на тези числа (в нашия случай 6 и 8) и няма да има остатък.

И така, започваме да умножаваме първо 6 по 1, 2, 3 и т.н. и 8 по 1, 2, 3 и т.н.

Темата "Множество числа" се изучава в 5. клас на общообразователно училище. Целта му е да подобри писмените и устните умения за математически изчисления. В този урок се въвеждат нови понятия - "множество числа" и "делители", техниката за намиране на делители и кратни на естествено число, отработва се способността да се намира LCM по различни начини.

Тази тема е много важна. Знанията по него могат да се прилагат при решаване на примери с дроби. За да направите това, трябва да намерите общия знаменател, като изчислите най-малкото общо кратно (LCM).

Кратно на A е цяло число, което се дели на A без остатък.

Всяко естествено число има безкраен брой кратни на него. Смята се, че е най-малко. Кратното не може да бъде по-малко от самото число.

Необходимо е да се докаже, че числото 125 е кратно на числото 5. За да направите това, трябва да разделите първото число на второто. Ако 125 се дели на 5 без остатък, тогава отговорът е да.

Този метод е приложим за малки числа.

При изчисляване на LCM има специални случаи.

1. Ако трябва да намерите общо кратно на 2 числа (например 80 и 20), като едното от тях (80) се дели без остатък на другото (20), то това число (80) е най-малкото кратно на тези две числа.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ако две нямат общ делител, тогава можем да кажем, че техният LCM е произведението на тези две числа.

LCM (6, 7) = 42.

Помислете за последния пример. 6 и 7 спрямо 42 са делители. Те делят кратно без остатък.

В този пример 6 и 7 са двойки делители. Тяхното произведение е равно на най-кратното число (42).

Едно число се нарича просто, ако се дели само на себе си или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Останалите се наричат ​​композитни.

В друг пример трябва да определите дали 9 е делител по отношение на 42.

42:9=4 (остатък 6)

Отговор: 9 не е делител на 42, защото отговорът има остатък.

Делителят се различава от кратното по това, че делителят е числото, на което се делят естествените числа, а самото кратно се дели на това число.

Най-голям общ делител на числата аи b, умножено по най-малкото им кратно, ще даде произведението на самите числа аи b.

А именно: НОД (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Общи кратни за по-сложни числа се намират по следния начин.

Например, намерете LCM за 168, 180, 3024.

Разлагаме тези числа на прости множители, записваме ги като произведение на степени:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Определение.Нарича се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ делител (gcd)тези числа.

Нека намерим най-големия общ делител на числата 24 и 35.
Делителите на 24 ще бъдат числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 ще бъдат числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно приме.

Определение.Естествените числа се наричат взаимно примеако техният най-голям общ делител (gcd) е 1.

Най-голям общ делител (НОД)може да се намери, без да се изписват всички делители на дадените числа.

Разлагайки числата 48 и 36 на множители, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разширяването на първото от тези числа, изтриваме онези, които не са включени в разширяването на второто число (т.е. две двойки).
Остават множителите 2 * 2 * 3. Тяхното произведение е 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Намерен е и най-големият общ делител на три или повече числа.

Да намеря най-голям общ делител

2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете онези, които не са включени в разширяването на други числа;
3) намерете произведението на останалите множители.

Ако всички дадени числа се делят на едно от тях, то това число е най-голям общ делителдадени числа.
Например най-големият общ делител на 15, 45, 75 и 180 е 15, тъй като той дели всички останали числа: 45, 75 и 180.

Най-малко общо кратно (LCM)

Определение. Най-малко общо кратно (LCM)естествените числа a и b са най-малкото естествено число, което е кратно на a и b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се записват кратни на тези числа подред. За да направим това, разлагаме 75 и 60 на прости множители: 75 \u003d 3 * 5 * 5 и 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Изписваме факторите, включени в разширението на първото от тези числа, и добавяме към тях липсващите фактори 2 и 2 от разширението на второто число (т.е. комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чийто продукт е 300. Това число е най-малкото общо кратно на числата 75 и 60.

Също така намерете най-малкото общо кратно на три или повече числа.

Да се намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) разложи ги на прости множители;
2) напишете факторите, включени в разширяването на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.

Обърнете внимание, че ако едно от тези числа се дели на всички други числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например най-малкото общо кратно на 12, 15, 20 и 60 би било 60, тъй като се дели на всички дадени числа.

Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. Число, равно на сумата от всичките му делители (без самото число), те наричат ​​перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. д. Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 съвършени числа. Но досега учените не знаят дали има нечетни съвършени числа, дали има най-голямото съвършено число.
Интересът на древните математици към простите числа се дължи на факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като произведение на прости числа, тоест простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в редицата от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части на редицата са повече, в други - по-малко. Но колкото по-нататък се движим по редицата от числа, толкова по-редки са простите числа. Възниква въпросът: съществува ли последното (най-голямото) просто число? Древногръцкият математик Евклид (3 век пр. н. е.) в книгата си „Начала“, която в продължение на две хиляди години е основният учебник по математика, доказва, че има безкрайно много прости числа, тоест зад всяко просто число стои четно число. по-голямо просто число.
За намиране на прости числа друг гръцки математик от същото време, Ератостен, измисли такъв метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това задраска единицата, която не е нито просто, нито съставно число, след това задраска през едно всички числа след 2 (числа, кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и т.н.). Първото останало число след 2 беше 3. След това, след две, всички числа след 3 бяха задраскани (числа, кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.). накрая само простите числа останаха незадраскани.

Но много естествени числа се делят равномерно на други естествени числа.

Например:

Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Числото 36 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числата, на които се дели числото (за 12 е 1, 2, 3, 4, 6 и 12) се наричат делители на числа. Делител на естествено число ае естественото число, което дели даденото число абез следа. Нарича се естествено число, което има повече от два множителя композитен .

Забележете, че числата 12 и 36 имат общи делители. Това са числата: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общият делител на тези две числа аи bе числото, на което и двете дадени числа се делят без остатък аи b.

общо кратноняколко числа се нарича числото, което се дели на всяко от тези числа. Например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 също са техните общи кратни. Сред всички jcommon кратни винаги има най-малкото, в този случай то е 90. Това число се нарича най-малкообщо кратно (LCM).

LCM винаги е естествено число, което трябва да е по-голямо от най-голямото от числата, за които е дефинирано.

Най-малко общо кратно (LCM). Имоти.

Комутативност:

Асоциативност:

По-специално, ако и са взаимно прости числа, тогава:

Най-малкото общо кратно на две цели числа ми не делител на всички други общи кратни ми н. Освен това, набор от общи кратни м,нсъвпада с набора от кратни за LCM( м,н).

Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретични функции.

Така, Функция на Чебишев. Както и:

Това следва от определението и свойствата на функцията на Ландау g(n).

Какво следва от закона за разпределение на простите числа.

Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

НОК( а, б) може да се изчисли по няколко начина:

1. Ако най-големият общ делител е известен, можете да използвате връзката му с LCM:

2. Нека е известно каноничното разлагане на двете числа на прости множители:

където p 1 ,...,p kса различни прости числа и d 1 ,...,dkи e 1 ,...,ekса неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нула, ако съответното просто число не е в разлагането).

Тогава LCM ( а,b) се изчислява по формулата:

С други думи, LCM разширението съдържа всички прости множители, които са включени в поне едно от числовите разширения а, б, и се взема най-големият от двата показателя на този фактор.

Пример:

Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да се сведе до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:

правило.За да намерите LCM на поредица от числа, трябва:

- разлагат числата на прости множители;

- прехвърлете най-голямото разширение към факторите на желания продукт (произведението на факторите на най-големия брой от дадените) и след това добавете фактори от разширението на други числа, които не се срещат в първото число или са в него по-малък брой пъти;

- полученото произведение от прости множители ще бъде LCM на дадените числа.

Всеки две или повече естествени числа имат свой собствен LCM. Ако числата не са кратни едно на друго или нямат еднакви множители в разширението, тогава техният LCM е равен на произведението на тези числа.

Простите множители на числото 28 (2, 2, 7) бяха допълнени с множител 3 (числото 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28.

Простите множители на най-голямото число 30 бяха допълнени с множител 5 на числото 25, полученото произведение 150 е по-голямо от най-голямото число 30 и се дели на всички дадени числа без остатък. Това е най-малкият възможен продукт (150, 250, 300...), на който всички дадени числа са кратни.

Числата 2,3,11,37 са прости, така че техният LCM е равен на произведението на дадените числа.

правило. За да изчислите LCM на прости числа, трябва да умножите всички тези числа заедно.

Друг вариант:

За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, трябва:

1) представя всяко число като произведение на неговите прости множители, например:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) запишете степените на всички прости множители:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) запишете всички прости делители (множители) на всяко от тези числа;

4) изберете най-голямата степен на всяко от тях, намираща се във всички разширения на тези числа;

5) умножете тези правомощия.

Пример. Намерете LCM на числата: 168, 180 и 3024.

Решение. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Изписваме най-големите степени на всички прости делители и ги умножаваме:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Най-малкото общо кратно на две числа е пряко свързано с най-големия общ делител на тези числа. Това връзка между GCD и NOCсе определя от следната теорема.

Теорема.

Най-малкото общо кратно на две цели положителни числа a и b е равно на произведението от a и b, делено на най-големия общ делител на a и b, т.е. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Доказателство.

Позволявам M е някакво кратно на числата a и b. Тоест, M се дели на a и според определението за делимост има някакво цяло число k, така че равенството M=a·k да е вярно. Но M също се дели на b, тогава a k се дели на b.

Означете gcd(a, b) като d. Тогава можем да запишем равенствата a=a 1 ·d и b=b 1 ·d, и a 1 =a:d и b 1 =b:d ще бъдат взаимно прости числа. Следователно условието, получено в предходния параграф, че a k се дели на b, може да бъде преформулирано по следния начин: a 1 d k се дели на b 1 d и това, поради свойствата на делимост, е еквивалентно на условието, че a 1 k се дели на b едно.

Трябва да запишем и две важни следствия от разглежданата теорема.

Общи кратни на две числа са същите като кратни на тяхното най-малко общо кратно.

Това е вярно, тъй като всяко общо кратно на M числа a и b се определя от равенството M=LCM(a, b) t за някаква цяло число t.

Най-малкото общо кратно на взаимно прости положителни числа a и b е равно на тяхното произведение.

Обосновката на този факт е съвсем очевидна. Тъй като a и b са взаимно прости, тогава gcd(a, b)=1, следователно, LCM(a, b)=a b: НОД(a, b)=a b:1=a b.

Най-малко общо кратно на три или повече числа

Намирането на най-малкото общо кратно на три или повече числа може да се сведе до последователно намиране на LCM на две числа. Как се прави това е показано в следната теорема: a 1 , a 2 , …, a k съвпадат с общи кратни на числата m k-1 и a k следователно съвпадат с кратни на m k . И тъй като най-малкото положително кратно на числото m k е самото число m k, тогава най-малкото общо кратно на числата a 1 , a 2 , …, a k е m k .

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.
• Виноградов I.M. Основи на теорията на числата.
• Михелович Ш.Х. Теория на числата.
• Куликов Л.Я. и др.Сборник задачи по алгебра и теория на числата: Учебник за студенти по физ.-мат. специалности на педагогически институти.