Движението на тяло, хвърлено хоризонтално и под ъгъл спрямо хоризонта. Движение на тела, хвърлени хоризонтално

Помислете за движението на тяло, хвърлено хоризонтално и движещо се само под действието на гравитацията (пренебрегвайки съпротивлението на въздуха). Например, представете си, че топката, лежаща на маса, получава тласък и тя се търкаля до ръба на масата и започва да пада свободно, като има начална скорост, насочена хоризонтално (фиг. 174).

Нека проектираме движението на топката по вертикалната ос и по хоризонталната ос. Движението на проекцията на топката върху оста е движение без ускорение със скорост ; движението на проекцията на топката върху оста е свободно падане с ускорение извън началната скорост под действието на гравитацията. Ние знаем законите и на двете движения. Компонентът на скоростта остава постоянен и равен на . Компонентът нараства пропорционално на времето: . Получената скорост може лесно да бъде намерена с помощта на правилото на паралелограма, както е показано на фиг. 175. Ще се наклони надолу и наклонът му ще се увеличава с времето.

Ориз. 174. Движение на топка, търкаляща се от маса

Ориз. 175. Топка, хвърлена хоризонтално със скорост, има скорост в момента

Намерете траекторията на тялото, хвърлено хоризонтално. Координатите на тялото в момента имат значение

За да намерим уравнението на траекторията, изразяваме от (112.1) времето през и заместваме този израз в (112.2). В резултат получаваме

Графиката на тази функция е показана на фиг. 176. Ординатите на точките на траекторията се оказват пропорционални на квадратите на абсцисите. Знаем, че такива криви се наричат ​​параболи. Парабола изобразява графика на пътя на равномерно ускореното движение (§ 22). По този начин свободно падащо тяло, чиято начална скорост е хоризонтална, се движи по парабола.

Пътят, изминат във вертикална посока, не зависи от началната скорост. Но пътят, изминат в хоризонтална посока, е пропорционален на първоначалната скорост. Следователно при голяма хоризонтална начална скорост параболата, по която пада тялото, е по-издължена в хоризонтална посока. Ако струя вода бъде изстреляна от хоризонтално разположена тръба (фиг. 177), то отделни частици вода, подобно на топката, ще се движат по парабола. Колкото по-отворен е кранът, през който водата влиза в тръбата, толкова по-голяма е началната скорост на водата и толкова по-далеч от крана струята стига до дъното на кюветата. Чрез поставяне на екран с предварително начертани параболи върху него зад струята, може да се провери дали водната струя наистина има формата на парабола.

112.1. Каква ще бъде скоростта на тяло, хвърлено хоризонтално със скорост 15 m/s след 2 секунди полет? В кой момент скоростта ще бъде насочена под ъгъл от 45° спрямо хоризонталата? Игнорирайте съпротивлението на въздуха.

112.2. Топка, търкаляна от маса с височина 1 m, падна на разстояние 2 m от ръба на масата. Каква беше хоризонталната скорост на топката? Игнорирайте съпротивлението на въздуха.

теория

Ако тялото е хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, тогава по време на полет то се влияе от гравитацията и въздушното съпротивление. Ако съпротивителната сила се пренебрегне, тогава единствената останала сила е силата на гравитацията. Следователно, поради 2-ия закон на Нютон, тялото се движи с ускорение, равно на ускорението на свободното падане; проекциите на ускорение по координатните оси са а х = 0, и при= -g.

Всяко сложно движение на материална точка може да бъде представено като налагане на независими движения по координатните оси, а в посоката на различните оси видът на движение може да се различава. В нашия случай движението на летящо тяло може да се представи като суперпозиция на две независими движения: равномерно движение по хоризонталната ос (ос X) и равномерно ускорено движение по вертикалната ос (ос Y) (фиг. 1) .

Следователно проекциите на скоростта на тялото се променят с времето, както следва:

,

където е началната скорост, α е ъгълът на хвърляне.

Следователно координатите на тялото се променят по следния начин:

С нашия избор на началото на координатите, началните координати (фиг. 1) Тогава

Втората стойност на времето, в което височината е равна на нула, е равна на нула, което съответства на момента на хвърляне, т.е. тази стойност има и физическо значение.

Обхватът на полета се получава от първата формула (1). Обхватът на полета е стойността на координатата хв края на полета, т.е. в момент от време, равен на t0. Замествайки стойността (2) в първата формула (1), получаваме:

.

(3)

От тази формула се вижда, че най-големият обхват на полета се постига при ъгъл на хвърляне от 45 градуса.

Най-високата височина на повдигане на хвърленото тяло може да се получи от втората формула (1). За да направите това, трябва да замените в тази формула стойността на времето, равна на половината от полетното време (2), т.к именно в средата на траекторията височината на полета е максимална. Извършвайки изчисления, получаваме

Актуализирано:

Използвайки няколко примера (които първоначално реших, както обикновено, на otvet.mail.ru), нека разгледаме клас задачи от елементарна балистика: полетът на тяло, изстрелян под ъгъл спрямо хоризонта с определена начална скорост, без да взема отчита съпротивлението на въздуха и кривината на земната повърхност (тоест, векторът на ускорение на посоката на свободно падане g се приема за непроменен).

Задача 1.Обхватът на полета на тялото е равен на височината на неговия полет над земната повърхност. Под какъв ъгъл е хвърлено тялото? (в някои източници по някаква причина се дава грешен отговор - 63 градуса).

Нека означим времето за полет като 2*t (тогава по време на t тялото се издига, а през следващия интервал t се спуска надолу). Нека хоризонталната компонента на скоростта е V1, а вертикалната компонента V2. Тогава обхватът на полета S = V1*2*t. Височина на полета H \u003d g * t * t / 2 \u003d V2 * t / 2. Приравнявайте
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Съотношението на вертикалните и хоризонталните скорости е тангенсът на необходимия ъгъл α, откъдето α = arctan(4) = 76 градуса.

Задача 2.Тяло се изхвърля от земната повърхност със скорост V0 под ъгъл α спрямо хоризонта. Намерете радиуса на кривината на траекторията на тялото: а) в началото на движението; б) в горната част на траекторията.

И в двата случая източникът на криволинейното движение е гравитацията, тоест ускорението на свободното падане g, насочено вертикално надолу. Всичко, което се изисква тук, е да се намери проекцията g, перпендикулярна на текущата скорост V, и да се приравни на центростремителното ускорение V^2/R, където R е желаният радиус на кривина.

Както се вижда от фигурата, за да започнем движението, можем да напишем
gn = g*cos(a) = V0^2/R
откъдето желаният радиус R = V0^2/(g*cos(a))

За горната точка на траекторията (виж фигурата) имаме
g = (V0*cos(a))^2/R
откъдето R = (V0*cos(a))^2/g

Задача 3. (вариация по тема)Снарядът се движи хоризонтално на височина h и се взривява на два еднакви фрагмента, единият от които пада на земята във време t1 след експлозията. Колко време след падането на първото парче ще падне второто?

Каквато и вертикална скорост V да придобие първият фрагмент, вторият ще придобие същата вертикална скорост по абсолютна стойност, но насочена в обратна посока (това следва от еднаква маса на фрагментите и запазване на импулса). Освен това V е насочен надолу, защото в противен случай вторият фрагмент ще пристигне на земята ПРЕДИ първия.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Вторият ще лети нагоре, губи вертикална скорост след времето V/g и след това след същото време ще лети надолу до първоначалната височина h и времето t2 на неговото закъснение спрямо първия фрагмент (не времето на полета от моментът на експлозия) ще бъде
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

актуализиран на 2018-06-03

цитат:
Камък се хвърля със скорост 10 m/s под ъгъл 60° спрямо хоризонталата. Определете тангенциалното и нормалното ускорение на тялото 1,0 s след началото на движението, радиуса на кривината на траекторията в този момент от време, продължителността и обхвата на полета. Какъв ъгъл образува векторът на общото ускорение с вектора на скоростта при t = 1,0 s

Началната хоризонтална скорост Vg = V*cos(60°) = 10*0,5 = 5 m/s и не се променя по време на целия полет. Начална вертикална скорост Vв = V*sin(60°) = 8,66 m/s. Времето за полет до най-високата точка е t1 = Vv/g = 8,66/9,8 = 0,884 сек, което означава, че продължителността на целия полет е 2*t1 = 1,767 сек. През това време тялото ще лети хоризонтално Vg * 2 * t1 = 8,84 m (обхват на полета).

След 1 секунда вертикалната скорост ще бъде 8,66 - 9,8*1 = -1,14 m/s (надолу). Това означава, че ъгълът на скоростта спрямо хоризонта ще бъде arctan(1.14/5) = 12.8° (надолу). Тъй като общото ускорение тук е уникално и непроменено (това е ускорението на свободното падане жнасочени вертикално надолу), след това ъгълът между скоростта на тялото и жв този момент ще бъде 90-12,8 = 77,2°.

Тангенциалното ускорение е проекция жспрямо посоката на вектора на скоростта, което означава, че е g*sin(12.8) = 2.2 m/s2. Нормалното ускорение е проекция, перпендикулярна на вектора на скоростта ж, то е равно на g*cos(12.8) = 9.56 m/s2. И тъй като последното е свързано със скоростта и радиуса на кривината чрез израза V^2/R, имаме 9,56 = (5*5 + 1,14*1,14)/R, откъдето и необходимият радиус R = 2,75 m.

Ако съпротивлението на въздуха може да се пренебрегне, тогава хвърлено произволно тяло се движи с ускорение на свободно падане.

Да разгледаме първо движението на тяло, хвърлено хоризонтално със скорост v_vec0 от височина h над земната повърхност (фиг. 11.1).

Във векторна форма зависимостта на скоростта на тялото от времето t се изразява с формулата

В проекции върху координатните оси:

v x = v 0 , (2)
vy = -gt. (3)

1. Обяснете как се получават формули от (2) и (3)

x = v 0 t, (4)
y \u003d h - gt 2 / 2. (5)

Виждаме, че тялото като че ли извършва два вида движение едновременно: движи се равномерно по оста x и равномерно ускорено по оста y без начална скорост.

Фигура 11.2 показва положението на тялото на равни интервали. Положението в едни и същи моменти от време на тяло, движещо се по права линия равномерно със същата начална скорост, е показано по-долу, а положението на свободно падащо тяло е показано вляво.

Виждаме, че хоризонтално хвърленото тяло винаги е на една и съща вертикала с равномерно движещо се тяло и на една и съща хоризонтала със свободно падащо тяло.

2. Обяснете как се използват формули (4) и (5) за получаване на изрази за времето tpol и обхвата на полета на тялото l:

Улика. Възползвайте се от факта, че в момента на падането y = 0.

3. Тяло се хвърля хоризонтално от определена височина. В кой случай обхватът на полета на тялото ще бъде по-голям: с 4-кратно увеличение на началната скорост или с увеличаване на първоначалната височина със същия фактор? Колко пъти повече?

Траектории

На фигура 11.2 траекторията на тялото, хвърлено хоризонтално, е показана с червена пунктирана линия. Прилича на клон на парабола. Нека проверим това предположение.

4. Докажете, че за тяло, хвърлено хоризонтално, уравнението на траекторията на движение, тоест зависимостта y(x), се изразява с формулата

Улика. Използвайки формула (4), изразете t чрез x и заменете намерения израз във формула (5).

Формула (8) наистина е параболно уравнение. Неговият връх съвпада с началното положение на тялото, тоест има координати x = 0; y \u003d h, а клонът на параболата е насочен надолу (това е обозначено с отрицателен коефициент пред x 2).

5. Зависимостта y(x) се изразява в SI единици по формулата y = 45 - 0,05x 2 .
а) Каква е началната височина и началната скорост на тялото?
б) Какво е времето и разстоянието на полета?

6. Тяло се хвърля хоризонтално от височина 20 m с начална скорост 5 m/s.
а) Колко време ще продължи полетът на тялото?
б) Какво е разстоянието на полета?
в) Каква е скоростта на тялото непосредствено преди да се удари в земята?
г) Под какъв ъгъл спрямо хоризонта ще бъде насочена скоростта на тялото непосредствено преди да се удари в земята?
д) Коя формула в SI единици изразява зависимостта на модула на скоростта на тялото от времето?

2. Движение на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта

Фигура 11.3 схематично показва първоначалното положение на тялото, неговата начална скорост 0 (при t = 0) и ускорение (ускорение при свободно падане).

Първоначални скоростни проекции

v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (десет)

За да се съкратят следващите записи и да се изясни тяхното физическо значение, е удобно да се запази обозначението v 0x и v 0y, докато се получат окончателните формули.

Скоростта на тялото във векторна форма в момент t и в този случай се изразява с формулата

Въпреки това, сега в проекции на координатните оси

vx = v0x , (11)
vy = v 0y - gt. (12)

7. Обяснете как се получават следните уравнения:

x = v 0x t, (13)
y \u003d v 0y t - gt 2 /2. (четиринадесет)

Виждаме, че и в този случай хвърленото тяло като че ли участва едновременно в два вида движение: то се движи равномерно по оста x и равномерно ускорено по оста y с начална скорост, като тяло, хвърлено вертикално нагоре.

Траектория

Фигура 11.4 схематично показва положението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта на равни интервали. Вертикалните линии подчертават, че тялото се движи равномерно по оста x: съседните линии са на еднакво разстояние една от друга.

8. Обяснете как да получите следното уравнение за траекторията на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта:

Формула (15) е уравнението на парабола, чиито клони са насочени надолу.

Уравнението на траекторията може да ни разкаже много за движението на хвърлено тяло!

9. Зависимостта y(x) се изразява в SI единици с формулата y = √3 * x - 1,25x 2 .
а) Каква е хоризонталната проекция на началната скорост?
б) Каква е вертикалната проекция на началната скорост?
в) Под какъв ъгъл спрямо хоризонталата е хвърлено тялото?
г) Каква е началната скорост на тялото?

Параболичната форма на траекторията на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, се демонстрира ясно от водна струя (фиг. 11.5).

Време за нарастване и общо време на полета

10. Използвайки формули (12) и (14), покажете, че времето на повдигане на тялото t под и времето на целия полет t под се изразяват с формулите

Улика. В горната точка на траекторията v y = 0 и в момента на падане на тялото, неговата координата y = 0.

Виждаме, че в този случай (точно както при тяло, хвърлено вертикално нагоре) цялото време на полет t floor е 2 пъти повече от времето на издигане t по-долу. И в този случай, когато гледате видеото на заден ход, издигането на тялото ще изглежда точно като спускането му, а спускането ще изглежда като изкачване.

Надморска височина и обхват

11. Докажете, че височината на повдигане h и обхвата на полета l се изразяват с формулите

Улика. За да изведете формула (18), използвайте формули (14) и (16) или формула (10) от § 6. Преместване при праволинейно равномерно ускорено движение; за да извлечете формула (19), използвайте формули (13) и (17).

Моля, обърнете внимание: тундерът на времето за повдигане на тялото, цялото време на полет tfloor и височината на повдигане h зависят само от вертикалната проекция на първоначалната скорост.

12. На каква височина се е издигнала футболната топка след удара, ако падне на земята 4 s след удара?

13. Докажете това

Улика. Използвайте формули (9), (10), (18), (19).

14. Обяснете защо при една и съща начална скорост v 0 обхватът на полета l ще бъде еднакъв при два ъгъла α 1 и α 2, свързани с отношението α 1 + α 2 = 90º (фиг. 11.6).

Улика. Използвайте първото равенство във формула (21) и факта, че sin α = cos(90º - α).

15. Две тела, хвърлени по едно и също време и със същото модулно начално око една точка. Ъгълът между началните скорости е 20º. Под какви ъгли спрямо хоризонта са хвърлени телата?

Максимален обхват и височина на полета

При същия модул на началната скорост, обхватът на полета и височината се определят само от ъгъла α. Как да изберем този ъгъл, така че обхватът или височината на полета да са максимални?

16. Обяснете защо максималният обхват на полета се постига при α = 45º и се изразява с формулата

l max \u003d v 0 2 / g. (22)

17. Докажете, че максималната височина на полета се изразява с формулата

h max = v 0 2 /(2g) (23)

18. Тяло, хвърлено под ъгъл от 15º спрямо хоризонта, падна на разстояние 5 m от началната точка.
а) Каква е началната скорост на тялото?
б) На каква височина се е издигнало тялото?
в) Какъв е максималният обхват на полета за същата начална скорост по модул?
г) До каква максимална височина би могло да се издигне това тяло със същата начална скорост по абсолютна стойност?

Скорост спрямо време

При изкачване скоростта на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, намалява по абсолютна стойност, а при спускане се увеличава.

19. Тяло се хвърля под ъгъл 30º спрямо хоризонта с начална скорост 10 m/s.
а) Как се изразява зависимостта vy(t) в SI единици?
b) Как се изразява v(t) в SI единици?
в) Каква е минималната скорост на тялото по време на полет?
Улика. Използвайте формули (13) и (14), както и теоремата на Питагор.

Допълнителни въпроси и задачи

20. Хвърляйки камъчета под различни ъгли, Саша откри, че не може да хвърли камъче по-далеч от 40 м. На каква максимална височина Саша може да хвърли камъче?

21. Камъче е забито между двойните гуми на задното колело на камиона. На какво разстояние от камиона трябва да се движи автомобилът, който го следва, за да не го нарани това камъче, като падна? И двата автомобила се движат със скорост 90 км/ч.
Улика. Отидете до референтната рамка, свързана с някоя от колите.

22. Под какъв ъгъл спрямо хоризонта трябва да се хвърли тялото, за да:
а) равна ли беше височината на полета на обхвата?
б) височината на полета е била 3 ​​пъти по-голяма от обхвата?
в) обхватът на полета е бил 4 пъти по-голяма от височината?

23. Тяло се хвърля с начална скорост 20 m/s под ъгъл 60º спрямо хоризонта. През какви интервали от време след хвърлянето скоростта на тялото ще бъде насочена под ъгъл от 45º спрямо хоризонталата?

Тук е началната скорост на тялото, е скоростта на тялото в момента т, с- хоризонтална дистанция на полет, зе височината над земята, от която тялото се хвърля хоризонтално със скорост .

1.1.33. Кинематични уравнения на проекцията на скоростта:

1.1.34. Кинематични координатни уравнения:

1.1.35. скорост на тялотопо времето т:

В момента падане на земята y=h, х = s(фиг. 1.9).

1.1.36. Максимален хоризонтален обхват на полета:

1.1.37. Височина над земятаот която е изхвърлено тялото

хоризонтално:

Движение на тяло, хвърлено под ъгъл α спрямо хоризонта
с начална скорост

1.1.38. Траекторията е парабола(фиг. 1.10). Криволинейното движение по парабола се дължи на добавянето на две праволинейни движения: равномерно движение по хоризонталната ос и еднакво променливо движение по вертикалната ос.

Ориз. 1.10

( е началната скорост на тялото, са проекциите на скоростта върху координатните оси в момента т, е времето за полет на тялото, hmax- максималната височина на тялото, максе максималното хоризонтално разстояние на полет на тялото).

1.1.39. Кинематични проекционни уравнения:

;

1.1.40. Кинематични координатни уравнения:

;

1.1.41. Височината на повдигане на тялото до горната точка на траекторията:

В момента на времето , (Фигура 1.11).

1.1.42. Максимална височина на тялото:

1.1.43. Време за полет на тялото:

В момента във времето , (фиг. 1.11).

1.1.44. Максимален хоризонтален обхват на полета на тялото:

1.2. Основни уравнения на класическата динамика

Динамика(от гръцки. динамичен- сила) - клон на механиката, посветен на изучаването на движението на материалните тела под действието на приложените към тях сили. Класическата динамика се основава на законите на Нютон . От тях се получават всички уравнения и теореми, необходими за решаване на задачи на динамиката.

1.2.1. Инерционна система за докладване –това е референтна система, в която тялото е в покой или се движи равномерно и праволинейно.

1.2.2. Силае резултат от взаимодействието на тялото с околната среда. Едно от най-простите определения на силата: влиянието на едно тяло (или поле), което причинява ускорение. Понастоящем се разграничават четири типа сили или взаимодействия:

· гравитационен(проявява се под формата на сили на универсалната гравитация);

· електромагнитни(съществуване на атоми, молекули и макротела);

· силен(отговорен за свързването на частици в ядрата);

· слаб(отговорен за разпадането на частиците).

1.2.3. Принципът на суперпозиция на силите:ако няколко сили действат върху материална точка, тогава получената сила може да бъде намерена по правилото за добавяне на вектори:

.

Масата на тялото е мярка за инерцията на тялото. Всяко тяло се съпротивлява, когато се опитва да го приведе в движение или да промени модула или посоката на неговата скорост. Това свойство се нарича инерция.

1.2.5. Пулс(импульсът) е произведението на масата ттялото по неговата скорост v:

1.2.6. Първият закон на Нютон: Всяка материална точка (тяло) поддържа състояние на покой или равномерно праволинейно движение, докато ударът от други тела не я накара (го) да промени това състояние.

1.2.7. Вторият закон на Нютон(основно уравнение на динамиката на материална точка): скоростта на изменение на импулса на тялото е равна на силата, действаща върху него (фиг. 1.11):

Ориз. 1.11	Ориз. 1.12

Същото уравнение в проекции върху допирателната и нормалната към точката траектория:

и .

1.2.8. Трети закон на Нютон: силите, с които две тела действат едно върху друго, са равни по големина и противоположни по посока (фиг. 1.12):

1.2.9. Закон за запазване на импулсаза затворена система: импулсът на затворена система не се променя във времето (фиг. 1.13):

,

където Пе броят на материалните точки (или тела), включени в системата.

Ориз. 1.13

Законът за запазване на импулса не е следствие от законите на Нютон, но е основен закон на природата, което не познава изключения и е следствие от хомогенността на пространството.

1.2.10. Основното уравнение на динамиката на транслационното движение на система от тела:

където е ускорението на центъра на инерцията на системата; е общата маса на системата от Пматериални точки.

1.2.11. Център на масата на систематаматериални точки (фиг. 1.14, 1.15):

.

Законът за движението на центъра на масата: центърът на масата на системата се движи като материална точка, чиято маса е равна на масата на цялата система и която се влияе от сила, равна на векторната сума на всички сили, действащи върху системата.

1.2.12. Импулс на телесната система:

където е скоростта на центъра на инерцията на системата.

Ориз. 1.14	Ориз. 1.15

1.2.13. Теорема за движението на центъра на масата: ако системата е във външно стационарно еднородно силово поле, тогава никакви действия вътре в системата не могат да променят движението на центъра на масата на системата:

.

1.3. Силите в механиката

1.3.1. Връзка с телесното теглос гравитация и опорна реакция:

Ускорение на свободно падане (фиг. 1.16).

Ориз. 1.16

Безтегловността е състояние, при което теглото на тялото е нула. В гравитационно поле безтегловност възниква, когато тялото се движи само под действието на гравитацията. Ако а = g, тогава р=0.

1.3.2. Връзка между тегло, гравитация и ускорение:

1.3.3. сила на триене на плъзгане(фиг. 1.17):

където е коефициентът на триене при плъзгане; не силата на нормалното налягане.

1.3.5. Основни съотношения за тяло в наклонена равнина(фиг. 1.19). :

· сила на триене: ;

· резултантна сила: ;

· сила на търкаляне: ;

· ускорение:

Ориз. 1.19

1.3.6. Законът на Хук за пружината: пружинно удължение хпропорционална на еластичната сила или външната сила:

където к- твърдост на пружината.

1.3.7. Потенциална енергия на еластична пружина:

1.3.8. Работата, извършена от пролетта:

1.3.9. Волтаж- мярка за вътрешни сили, възникващи в деформируемо тяло под въздействието на външни влияния (фиг. 1.20):

където е площта на напречното сечение на пръта, де неговият диаметър, е началната дължина на пръта, е нарастването на дължината на пръта.

Ориз. 1.20	Ориз. 1.21

1.3.10. Диаграма на напрежението -графика на нормалното напрежение σ = Ф/Сна относително удължение ε = Δ л/лпри разтягане на тялото (фиг. 1.21).

1.3.11. Модул на Янге стойността, характеризираща еластичните свойства на материала на пръта:

1.3.12. Увеличение на дължината на лентатапропорционално на напрежението:

1.3.13. Относително надлъжно напрежение (компресия):

1.3.14. Относително напречно напрежение (компресия):

където е началният напречен размер на пръта.

1.3.15. Коефициент на Поасон- съотношението на относителното напречно напрежение на пръта към относителното надлъжно напрежение:

1.3.16. Законът на Хук за пръчка: относителното увеличение на дължината на пръта е право пропорционално на напрежението и обратно пропорционално на модула на Янг:

1.3.17. Обемна плътност на потенциалната енергия:

1.3.18. Относителна смяна (снимка 1.22, 1.23 ):

където е абсолютното изместване.

Ориз. 1.22	Фиг.1.23

1.3.19. Модул на срязванег- стойност, която зависи от свойствата на материала и е равна на такова тангенциално напрежение, при което (ако са възможни такива огромни еластични сили).

1.3.20. Тангенциално еластично напрежение:

1.3.21. Законът на Хук за срязване:

1.3.22. Специфична потенциална енергиятела в срязване:

1.4. Неинерционни референтни системи

Неинерционна отправна системае произволна референтна система, която не е инерционна. Примери за неинерционни системи: система, движеща се по права линия с постоянно ускорение, както и въртяща се система.

Силите на инерцията се дължат не на взаимодействието на телата, а на свойствата на самите неинерционни референтни системи. Законите на Нютон не важат за инерционните сили. Силите на инерцията не са инвариантни по отношение на прехода от една референтна система към друга.

В неинерционна система можете да използвате и законите на Нютон, ако въведете инерционни сили. Те са фиктивни. Те са въведени специално за използване на уравненията на Нютон.

1.4.1. уравнението на Нютонза неинерционна отправна система

където е ускорението на тяло с маса тспрямо неинерциалната система; – силата на инерцията е фиктивна сила поради свойствата на референтната система.

1.4.2. Центробежна сила- инерционна сила от втори вид, приложена към въртящо се тяло и насочена по радиуса към центъра на въртене (фиг. 1.24):

,

където е центростремителното ускорение.

1.4.3. Центробежна сила- силата на инерция от първи вид, приложена към връзката и насочена по радиуса от центъра на въртене (фиг. 1.24, 1.25):

,

където е центробежното ускорение.

Ориз. 1.24	Ориз. 1.25

1.4.4. Зависимост от ускорението на гравитацията жот географската ширина на областта е показано на фиг. 1.25.

Гравитацията е резултат от добавянето на две сили: и; по този начин, ж(и следователно mg) зависи от географската ширина:

,

където ω е ъгловата скорост на въртене на Земята.

1.4.5. Кориолисова сила- една от силите на инерцията, която съществува в неинерциална отправна система поради въртене и законите на инерцията, която се проявява при движение в посока под ъгъл спрямо оста на въртене (фиг. 1.26, 1.27).

където е ъгловата скорост на въртене.

Ориз. 1.26	Ориз. 1.27

1.4.6. уравнението на Нютонза неинерциални референтни системи, като се вземат предвид всички сили, приема формата

където е силата на инерцията, дължаща се на транслационното движение на неинерциална референтна система; и – две инерционни сили, дължащи се на въртеливото движение на референтната система; е ускорението на тялото спрямо неинерциалната отправна система.

1.5. Енергия. работа. Мощност.
Закони за опазване

1.5.1. Енергия- универсална мярка за различни форми на движение и взаимодействие на всички видове материя.

1.5.2. Кинетична енергияе функцията на състоянието на системата, определена само от скоростта на нейното движение:

Кинетичната енергия на тялото е скаларна физическа величина, равна на половината от произведението на масата мтяло на квадрат от неговата скорост.

1.5.3. Теорема за промяната в кинетичната енергия.Работата на резултантните сили, приложени към тялото, е равна на промяната в кинетичната енергия на тялото, или, с други думи, изменението на кинетичната енергия на тялото е равно на работата А на всички сили, действащи върху тялото.

1.5.4. Връзка между кинетичната енергия и импулса:

1.5.5. Принудителна работае количествена характеристика на процеса на обмен на енергия между взаимодействащи тела. Работа в механиката .

1.5.6. Работа на постоянна сила:

Ако едно тяло се движи праволинейно и върху него действа постоянна сила Ф, което прави определен ъгъл α с посоката на движение (фиг. 1.28), то работата на тази сила се определя по формулата:

,

където Фе модулът на силата, ∆rе модулът на преместване на точката на приложение на силата, е ъгълът между посоката на силата и преместването.

Ако< /2, то работа силы положительна. Если >/2, тогава извършената от силата работа е отрицателна. При = /2 (силата е насочена перпендикулярно на преместването), тогава работата на силата е нула.

Ориз. 1.28	Ориз. 1.29

Работа на постоянна сила Фпри движение по оста хот разстояние (фиг. 1.29) е равна на проекцията на силата по тази ос, умножено по преместване:

.

На фиг. 1.27 показва случая, когато А < 0, т.к. >/2 - тъп ъгъл.

1.5.7. елементарна работад Асила Фвърху елементарно изместване d rсе нарича скаларна физическа величина, равна на скаларния продукт на силата и преместването:

1.5.8. Работа с променлива силана участък от траектория 1 - 2 (фиг. 1.30):

Ориз. 1.30

1.5.9. Незабавна мощносте равно на извършената работа за единица време:

.

1.5.10. Средна мощностза определен период от време:

1.5.11. Потенциална енергиятялото в дадена точка е скаларно физическо количество, равна на работата, извършена от потенциалната сила при преместване на тялото от тази точка в другавзето като нула на референтната потенциална енергия.

Потенциалната енергия се определя до произволна константа. Това не е отразено във физическите закони, тъй като те включват или разликата в потенциалните енергии в две позиции на тялото, или производната на потенциалната енергия по отношение на координатите.

Следователно потенциалната енергия в определено положение се счита за равна на нула, а енергията на тялото се измерва спрямо това положение (нулево референтно ниво).

1.5.12. Принципът на минималната потенциална енергия. Всяка затворена система има тенденция да се придвижи до състояние, в което нейната потенциална енергия е минимална.

1.5.13. Работата на консервативните силие равно на промяната в потенциалната енергия

.

1.5.14. Теорема за векторната циркулация: ако циркулацията на всеки вектор на сила е нула, тогава тази сила е консервативна.

Работата на консервативните силипо затворен цикъл L е нула(фиг. 1.31):

Ориз. 1.31

1.5.15. Потенциална енергия на гравитационно взаимодействиемежду масите ми М(фиг. 1.32):

1.5.16. Потенциална енергия на компресирана пружина(фиг. 1.33):

Ориз. 1.32	Ориз. 1.33

1.5.17. Обща механична енергия на систематае равна на сумата от кинетичната и потенциалната енергия:

Е = Едо + ЕП.

1.5.18. Потенциална енергия на тялотона високо знад земята

Е n = mgh.

1.5.19. Връзка между потенциална енергия и сила:

Или или

1.5.20. Закон за запазване на механичната енергия(за затворена система): общата механична енергия на консервативна система от материални точки остава постоянна:

1.5.21. Закон за запазване на импулсаза затворена система от тела:

1.5.22. Закон за запазване на механичната енергия и импулсас абсолютно еластичен централен удар (фиг. 1.34):

където м 1 и м 2 - маси от тела; и са скоростите на телата преди удара.

Ориз. 1.34	Ориз. 1.35

1.5.23. Скорости на тялотослед идеално еластичен удар (фиг. 1.35):

.

1.5.24. Скорост на тялотослед напълно нееластичен централен удар (фиг. 1.36):

1.5.25. Закон за запазване на импулсакогато ракетата се движи (фиг. 1.37):

където и са масата и скоростта на ракетата; и масата и скоростта на изхвърлените газове.

Ориз. 1.36	Ориз. 1.37

1.5.26. уравнение на Мешчерскиза ракетата.