Корен квадратен. Подробна теория с примери
В тази статия ще анализираме основните коренови свойства. Нека започнем със свойствата на аритметичния квадратен корен, да дадем техните формулировки и да дадем доказателства. След това ще се заемем със свойствата на аритметичния корен от n-та степен.
Навигация в страницата.
Свойства квадратен корен
В този раздел ще разгледаме следните основни свойства на аритметичния квадратен корен:
Във всяко от написаните равенства лявата и дясната част могат да се разменят, например равенството може да се пренапише като 
. В тази "обратна" форма свойствата на аритметичния квадратен корен се прилагат, когато опростяване на изразитесъщо толкова често, колкото и в "пряката" форма.
Доказателството на първите две свойства се основава на дефиницията на аритметичния квадратен корен и на . И за да оправдаете последното свойство на аритметичния квадратен корен, трябва да запомните.
Така че нека започнем с доказателство за свойството на аритметичния квадратен корен от произведението на две неотрицателни числа: . За да направите това, според дефиницията на аритметичния квадратен корен, е достатъчно да се покаже, че е неотрицателно число, чийто квадрат е равен на a b . Хайде да го направим. Стойността на израза е неотрицателна като произведение на неотрицателни числа. Свойството на степента на произведението на две числа ни позволява да запишем равенството 
, И тъй като по дефиницията на аритметичния квадратен корен и , Тогава .
По същия начин е доказано, че аритметичният квадратен корен от произведението на k неотрицателни фактори a 1 , a 2 , …, a k е равен на произведението на аритметичните квадратни корени на тези фактори. Наистина ли, . От това равенство следва, че .
Ето няколко примера: и .
Сега да докажем свойство на аритметичния квадратен корен от частно: . Свойството на естествения коефициент на степен ни позволява да запишем равенството 
, а 
, докато има неотрицателно число. Това е доказателството.
Например и 
.
Време е за разглобяване свойство на аритметичния квадратен корен от квадрата на число, под формата на равенство се записва като . За да го докажете, разгледайте два случая: за a≥0 и за a<0 .
Очевидно е, че за a≥0 равенството е вярно. Също така е лесно да се види, че за a<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 и (−a) 2 =a 2 . По този начин, 
, което трябваше да се докаже.
Ето няколко примера: 
и 
.
Свойството на току-що доказаното квадратен корен ни позволява да обосновем следния резултат, където a е всяко реално число, а m е произволно. Всъщност свойството на степенуване ни позволява да заменим степента a 2 m с израза (a m) 2 , тогава 
.
Например, 
и 
.
Свойства на n-тия корен
Нека първо изброим основните свойства на n-ти корени:
Всички написани равенства остават валидни, ако лявата и дясната страна се разменят в тях. В тази форма те също се използват често, главно при опростяване и трансформиране на изрази.
Доказателството за всички звукови свойства на корена се основава на дефиницията на аритметичния корен от n-та степен, на свойствата на степента и на дефиницията на модула на числото. Нека ги докажем по приоритет.
Да започнем с доказателството свойства на n-тия корен на продукт . За неотрицателни a и b стойността на израза също е неотрицателна, както и произведението от неотрицателни числа. Свойството на продукта на природните сили ни позволява да запишем равенството 
. По дефиниция на аритметичния корен от n-та степен и следователно, 
. Това доказва разглежданото свойство на корена.
Това свойство се доказва по подобен начин за произведението на k фактора: за неотрицателни числа a 1 , a 2 , ..., a n 
и .
Ето примери за използване на свойството на корен от n-та степен на произведението: 
и .
Да докажем коренно свойство на коефициент. За a≥0 и b>0 условието е изпълнено и 
.
Нека покажем примери: 
и 
.
Продължаваме напред. Да докажем свойство на n-тия корен от число на степен n. Тоест ще го докажем 
за всяко реално a и естествено m . За a≥0 имаме и , което доказва равенството , и равенството очевидно. За<0
имеем и 
(последният преход е валиден поради свойството на степента с четен показател), което доказва равенството , и е вярно поради факта, че когато говорим за корен от нечетна степен, ние взехме 
за всяко неотрицателно число c .
Ето примери за използване на анализираното коренно свойство: and 
.
Пристъпваме към доказването на свойството на корена от корена. Нека разменим дясната и лявата част, тоест ще докажем валидността на равенството , което ще означава валидността на оригиналното равенство. За неотрицателно число a коренът квадратен от формата е неотрицателно число. Спомняйки си свойството да повишаваме степен до степен и използвайки дефиницията на корена, можем да напишем верига от равенства във формата 
. Това доказва разглежданото свойство на корен от корен.
Свойството на корен от корен от корен се доказва по подобен начин и т.н. Наистина ли, 
.
Например, 
и .
Нека докажем следното свойство за намаляване на коренната степен. За да направите това, по силата на дефиницията на корена, е достатъчно да се покаже, че има неотрицателно число, което, когато се изведе на степен n m, е равно на a m . Хайде да го направим. Ясно е, че ако числото a е неотрицателно, то коренът n от числото a е неотрицателно число. При което 
, което завършва доказателството.
Ето пример за използване на анализираното коренно свойство: .
Нека докажем следното свойство, свойството на корена на степента на формата 
. Очевидно е, че за a≥0 степента е неотрицателно число. Освен това неговата n-та степен е равна на a m , наистина, . Това доказва разглежданото свойство на степента.
Например, 
.
Да продължим напред. Нека докажем, че за всякакви положителни числа a и b, за които условието a , тоест a≥b . И това противоречи на условието a
Например даваме правилното неравенство 
.
И накрая, остава да се докаже последното свойство на n-тия корен. Нека първо докажем първата част от това свойство, тоест ще докажем, че за m>n и 0 По същия начин, от противоречие, се доказва, че за m>n и a>1 условието е изпълнено. Нека дадем примери за прилагане на доказаното свойство на корена в конкретни числа. Например, неравенствата и са верни.
, тоест a n ≤ a m . И полученото неравенство за m>n и 0
Библиография.
- Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др. Алгебрата и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати в техникуми).
Погледнах отново чинията... И, да тръгваме!
Нека започнем с едно просто:
Чакай малко. това, което означава, че можем да го напишем така:
Схванах го? Ето следващия за вас:
Корените на получените числа не са точно извлечени? Не се притеснявайте, ето няколко примера:
Но какво ще стане, ако има не два множителя, а повече? Един и същ! Формулата за коренно умножение работи с произволен брой фактори:
Сега напълно независимо:
Отговори:Много добре! Съгласете се, всичко е много лесно, основното е да знаете таблицата за умножение!
Деление на корена
Разбрахме умножението на корените, сега нека преминем към свойството на деление.
Нека ви напомня, че формулата като цяло изглежда така:
И това означава, че коренът на частното е равен на частното от корените.
Е, нека да разгледаме примери:
Това е цялата наука. И ето един пример:
Всичко не е толкова гладко, както в първия пример, но както виждате, няма нищо сложно.
Ами ако изразът изглежда така:
Просто трябва да приложите формулата в обратен ред:
И ето един пример:
Можете също да видите този израз:
Всичко е същото, само тук трябва да запомните как да превеждате дроби (ако не помните, погледнете темата и се върнете!). Запомни ли си? Сега решаваме!
Сигурен съм, че сте се справили с всичко, с всичко, сега нека се опитаме да изградим корени в степен.
Експоненция
Какво се случва, ако коренът квадратен се постави на квадрат? Това е просто, запомнете значението на квадратния корен от число - това е число, чийто квадратен корен е равен.
И така, ако квадратираме число, чийто квадратен корен е равен, тогава какво получаваме?
Добре, разбира се, !
Нека разгледаме примери:
Всичко е просто, нали? А ако коренът е в различна степен? ОК е!
Придържайте се към същата логика и запомнете свойствата и възможните действия с правомощия.
Прочетете теорията по темата "" и всичко ще ви стане пределно ясно.
Например, ето един израз:
В този пример степента е четна, но какво ще стане, ако е нечетна? Отново приложете свойствата на мощността и вземете предвид всичко:
С това всичко изглежда е ясно, но как да извлечем корена от число в степен? Ето, например, това:
Доста просто, нали? Ами ако степента е по-голяма от две? Следваме същата логика, използвайки свойствата на градусите:
Е, всичко ясно ли е? След това решете свои собствени примери:
А ето и отговорите:
Въведение под знака на корена
Какво просто не сме се научили да правим с корените! Остава само да се практикува въвеждането на числото под основния знак!
Това е доста лесно!
Да кажем, че имаме номер
Какво можем да направим с него? Е, разбира се, скрийте тройното под корена, като същевременно не забравяйте, че тройното е корен квадратен от!
Защо ни трябва? Да, само за да разширим възможностите си при решаване на примери:
Как ви харесва това свойство на корените? Прави ли живота много по-лесен? За мен така е! Само трябва да помним, че можем да въвеждаме само положителни числа под знака квадратен корен.
Опитайте сами този пример:
Справихте ли се? Нека видим какво трябва да получите:
Много добре! Успяхте да въведете число под основния знак! Нека да преминем към нещо също толкова важно – помислете как да сравнявате числа, съдържащи квадратен корен!
Сравнение на корените
Защо трябва да се научим да сравняваме числа, съдържащи квадратен корен?
Много просто. Често с големи и дълги изрази, срещани на изпита, получаваме ирационален отговор (помните ли какво е това? Вече говорихме за това днес!)
Трябва да поставим получените отговори на координатната права, например, за да определим кой интервал е подходящ за решаване на уравнението. И тук възниква проблемът: на изпита няма калкулатор и без него как да си представим кое число е по-голямо и кое по-малко? Това е!
Например, определете кое е по-голямо: или?
Няма да кажеш веднага. Е, нека използваме анализираното свойство за добавяне на число под основния знак?
След това напред:
Е, очевидно, колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен!
Тези. ако означава .
От това твърдо заключаваме, че И никой няма да ни убеди в противното!
Извличане на корени от големи числа
Преди това въведохме фактор под знака на корена, но как да го извадим? Просто трябва да го отделите и да извлечете извлеченото!
Възможно е да се отиде по друг път и да се разложи на други фактори:
Не е лошо, нали? Всеки от тези подходи е правилен, решете как се чувствате комфортно.
Факторингът е много полезен при решаване на такива нестандартни задачи като тази:
Ние не се страхуваме, ние действаме! Разлагаме всеки фактор под корена на отделни фактори:
А сега опитайте сами (без калкулатор! Няма да е на изпита):
Това ли е краят? Ние не спираме на половината път!
Това е всичко, не е толкова страшно, нали?
Се случи? Браво, прав си!
Сега опитайте този пример:
И пример е твърд орех за разбиване, така че не можете веднага да разберете как да подходите към него. Но ние, разбира се, сме в зъбите.
Е, нека започнем да разчитаме, нали? Веднага отбелязваме, че можете да разделите число на (припомнете си признаците на делимост):
А сега опитайте сами (отново без калкулатор!):
Е, проработи ли? Браво, прав си!
Обобщаване
- Квадратният корен (аритметичен квадратен корен) на неотрицателно число е неотрицателно число, чийто квадрат е равен.
. - Ако просто вземем корен квадратен от нещо, винаги получаваме един неотрицателен резултат.
- Свойства на аритметичния корен:
- Когато сравнявате квадратни корени, трябва да се помни, че колкото по-голямо е числото под знака на корена, толкова по-голям е самият корен.
Как ви харесва корен квадратен? Всичко е ясно?
Опитахме се да ви обясним без вода всичко, което трябва да знаете на изпита за корен квадратен.
Твой ред е. Пишете ни дали тази тема ви е трудна или не.
Научихте ли нещо ново или всичко вече беше толкова ясно.
Пишете в коментарите и успех на изпитите!
Заглавие: Самостоятелна и контролна работа по алгебра и геометрия за 8 клас.
Помагалото съдържа самостоятелна и контролна работа по всички най-важни теми от курса по алгебра и геометрия за 8. клас.
Работите се състоят от 6 варианта с три нива на трудност. Дидактическите материали са предназначени за организиране на диференцирана самостоятелна работа на учениците.
СЪДЪРЖАНИЕ
АЛГЕБРА 4
C-1 Рационален израз. Намаляване на фракцията 4
C-2 Добавяне и изваждане на дроби 5
K-1 Рационални дроби. Събиране и изваждане на дроби 7
C-3 Умножение и деление на дроби. Повишаване на дроб на степен 10
C-4 Преобразуване на рационални изрази 12
C-5 Обратна пропорционалност и нейната диаграма 14
K-2 Рационални дроби 16
C-6 Аритметичен корен квадратен 18
C-7 Уравнение x2 = a. Функция y = y[x 20
C-8 Корен квадратен от произведение, дроб, степен 22
K-3 Аритметичен квадратен корен и неговите свойства 24
C-9 Вмъкване и умножение в квадратен корен 27
C-10 Преобразуващи изрази, съдържащи квадратни корени 28
K-4 Приложение на свойствата на аритметичния квадратен корен 30
C-11 Непълни квадратни уравнения 32
C-12 Формула за квадратичен корен 33
С-13 Решаване на задачи с квадратни уравнения. Теорема на Виета 34
K-5 Квадратни уравнения 36
C-14 Дробни рационални уравнения 38
C-15 Приложение на дробни рационални уравнения. Решаване на проблеми 39
K-6 Дробни рационални уравнения 40
C-16 Свойства на числовите неравенства 43
К-7 Числени неравенства и техните свойства 44
С-17 Линейни неравенства с една променлива 47
С-18 Системи на линейни неравенства 48
K-8 Линейни неравенства и системи от неравенства с една променлива 50
C-19 Степен с отрицателен индикатор 52
K-9 Степен с целочислена степен 54
K-10 Годишен тест 56
ГЕОМЕТРИЯ (Според Погорелов) 58
C-1 Свойства и характеристики на паралелограма". 58
C-2 Правоъгълник. ромб. Квадрат 60
K-1 Паралелограм 62
C-3 Теорема на Талес. Средна линия на триъгълник 63
C-4 трапец. Средна линия на трапеца 66
К-2 трапец. Средни линии на триъгълник и трапец .... 68
C-5 Питагорова теорема 70
С-6 Теорема, обратна на Питагоровата теорема. Перпендикулярно и наклонено 71
C-7 Неравенство на триъгълник 73
K-3 Питагорова теорема 74
C-8 Решаване на правоъгълни триъгълници 76
C-9 Свойства на тригонометричните функции 78
K-4 Правоъгълен триъгълник (обобщен тест) 80
С-10 Координати на средата на отсечката. Разстояние между точките. Уравнение на окръжност 82
C-11 Уравнение на права линия 84
K-5 декартови координати 86
С-12 Движение и неговите свойства. Централна и аксиална симетрия. навърши 88
C-13. Паралелен трансфер 90
C-14 Концепцията за вектор. Векторно равенство 92
C-15 Операции с вектори в координатна форма. Колинеарни вектори 94
C-16 Операции с вектори в геометрична форма 95
C-17 Точков продукт 98
К-6 вектори 99
K-7 Годишен тест 102
ГЕОМЕТРИЯ (По Атанасян) 104
C-1 Свойства и характеристики на паралелограма 104
C-2 Правоъгълник. ромб. Квадрат 106
К-1 Четириъгълници 108
C-3 Площ на правоъгълник, квадрат 109
C-4 Площ на успоредник, ромб, триъгълник 111
C-5 Площ на трапец 113
C-6 Питагорова теорема 114
К-2 квадратчета. Питагорова теорема 116
C-7 Определение на подобни триъгълници. Свойство на ъглополовящия ъгъл на триъгълник 118
С-8 Признаци за подобие на триъгълници 120
K-3 Сходство на триъгълници 122
C-9 Прилагане на сходство при решаване на проблеми 124
C-10 Отношения между страните и ъглите на правоъгълен триъгълник 126
K-4 Приложение на сходството при решаване на проблеми. Отношения между страните и ъглите на правоъгълен триъгълник 128
C-11 Допирателна към окръжност 130
C-12 Централен и вписан ъгъл 132
C-13 Теорема за произведението на отсечки от пресичащи се хорди. Забележителни триъгълни точки 134
C-14 Вписани и описани окръжности 136
К-5 Кръг 137
C-15 Векторно събиране и изваждане 139
C-16 Векторно умножение по числото 141
C-17 Средна линия на трапеца 142
К-6 вектори. Прилагане на вектори при решаване на задачи 144
K-7 Годишен тест 146
ОТГОВОРИ 148
ЛИТЕРАТУРА 157
ПРЕДГОВОР
.
1. Една сравнително малка книжка съдържа пълен набор от тестови работи (включително финални тестове) за целия курс по алгебра и геометрия от 8 клас, така че е достатъчно да закупите един комплект книги за клас.
Изпитите са предназначени за урок, самостоятелна работа - за 20-35 минути, в зависимост от темата. За удобство при използване на книгата заглавието на всяка самостоятелна и контролна работа отразява нейната тема.
2. Колекцията позволява диференциран контрол на знанията, тъй като задачите са разделени на три нива на сложност A, B и C. Ниво A отговаря на задължителните изисквания на програмата, B - на средно ниво на сложност, задачите от ниво C са предназначени за ученици, които проявяват повишен интерес към математиката, а също и за използване в класни стаи, училища, гимназии и лицеи със задълбочено изучаване на математика. За всяко ниво са дадени 2 еквивалентни опции една до друга (както обикновено се изписват на дъската), така че една книга на бюро е достатъчна за урока.
Безплатно изтегляне на електронна книга в удобен формат, гледайте и четете:
Изтеглете книгата Самостоятелна и контролна работа по алгебра и геометрия за 8 клас. Ершова А.П., Голобородько В.В., 2004 - fileskachat.com, бързо и безплатно изтегляне.
- Самостоятелна и контролна работа по геометрия за 11 клас. Голобородько В.В., Ершова А.П., 2004
- Самостоятелна и контролна работа по алгебра и геометрия за 9 клас. Ершова А.П., Голобородько В.В., 2004г
- Самостоятелна и контролна работа по алгебра и геометрия, 8 клас, Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С., 2013 г.
\(\sqrt(a)=b\), ако \(b^2=a\), където \(a≥0,b≥0\)
Примери:
\(\sqrt(49)=7\), защото \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\),защото \(0.2^2=0.04\)
Как да извлечем корен квадратен от число?
За да извлечете квадратния корен от число, трябва да си зададете въпроса: кое число на квадрат ще даде израза под корена?
Например. Извлечете корена: a)\(\sqrt(2500)\); б) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); в) \(\sqrt(0,001)\); г) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)
а) Какво число на квадрат ще даде \(2500\)?
\(\sqrt(2500)=50\)
б) Какво число на квадрат ще даде \(\frac(4)(9)\) ?
\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)
в) Какво число на квадрат ще даде \(0,0001\)?
\(\sqrt(0,0001)=0,01\)
г) Какво число на квадрат ще даде \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? За да дадете отговор на въпроса, трябва да преведете на грешен.
\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)
Коментирайте: Въпреки че \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) също отговарят на дадените въпроси , но те не се вземат предвид, тъй като коренът квадратен винаги е положителен.
Основното свойство на корена
Както знаете, в математиката всяко действие има обратно. Събирането има изваждане, умножението има деление. Обратното на квадратурата е вземането на корен квадратен. Следователно тези действия се отменят взаимно:
\((\sqrt(a))^2=a\)
Това е основното свойство на корена, което се използва най-често (включително в OGE)
Пример . (задача от OGE). Намерете стойността на израза \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)
Решение :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)
Пример . (задача от OGE). Намерете стойността на израза \((\sqrt(85)-1)^2\)
Решение:
Отговор: \(86-2\sqrt(85)\)Разбира се, когато работите с квадратен корен, трябва да използвате други.
Пример
. (задача от OGE). Намерете стойността на израза \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Решение:
Отговор: \(220\)
4 правила, които винаги се забравят
Коренът не винаги се извлича
Пример: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) и т.н. - извличането на корен от число не винаги е възможно и това е нормално!
Корен от число, също и число
Няма нужда да третирате \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) по някакъв специален начин. Това са числа, но не цели числа, да, но не всичко в нашия свят се измерва с цели числа.
Коренът се взема само от неотрицателни числа
Следователно в учебниците няма да видите такива записи \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) и т.н.