Как да изчислим векторни проекции върху координатни оси. Онлайн калкулатор Изчисляване на проекцията на вектор върху вектор

В чертежите изображенията на геометрични тела се изграждат по метода на проекцията. Но за това едно изображение не е достатъчно, необходими са поне две проекции. С тяхна помощ се определят точки в пространството. Следователно, трябва да знаете как да намерите проекцията на точка.

Точкова проекция

За да направите това, трябва да вземете предвид пространството на двустранен ъгъл, с точка (A), разположена вътре. Тук се използват хоризонтални P1 и вертикални P2 проекционни равнини. Точка (A) се проектира върху проекционните равнини ортогонално. Що се отнася до перпендикулярно издаващите лъчи, те се комбинират в проекционна равнина, перпендикулярна на проекционните равнини. По този начин, когато комбинираме хоризонталните равнини P1 и челните P2 чрез завъртане по оста P2 / P1, получаваме плосък чертеж.

След това перпендикулярно на оста се показва линия с проекционни точки, разположени върху нея. Това води до сложен чертеж. Благодарение на изградените сегменти върху него и вертикалната комуникационна линия е лесно да се определи позицията на точка спрямо проекционните равнини.

За да улесните разбирането как да намерите проекцията, трябва да вземете предвид правоъгълен триъгълник. Късата му страна е катета, а дългата страна е хипотенузата. Ако извършите проекция на крака върху хипотенузата, тогава той ще бъде разделен на два сегмента. За да определите тяхната стойност, трябва да изчислите набор от първоначални данни. Помислете за този триъгълник, методите за изчисляване на основните проекции.

По правило в тази задача са посочени дължината на катета N и дължината на хипотенузата D, чиято проекция трябва да се намери. За да направим това, се научаваме как да намерим проекцията на крака.

Помислете за метод за намиране на дължината на крака (A). Като се има предвид, че средната геометрична на проекцията на катета и дължината на хипотенузата е равна на стойността на търсения катет: N = √(D*Nd).

Как да намерите дължината на проекцията

Коренът на произведението може да бъде намерен като се възведе на квадрат дължината на желания крак (N) и след това се раздели на дължината на хипотенузата: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Когато са само D и N посочени в изходните данни, проекциите на дължината трябва да се намерят с помощта на Питагоровата теорема.
Намерете дължината на хипотенузата D. За да направите това, използвайте стойностите на краката √ (N² + T²) и след това заменете получената стойност със следната формула за намиране на проекцията: Nd = N² / √ (N² + T²).

Когато изходните данни съдържат данни за дължината на проекцията на крака RD, както и данни за стойността на хипотенузата D, дължината на проекцията на втория крак ND трябва да се изчисли с помощта на проста формула за изваждане: ND = D - RD.

Проекция на скоростта

Нека разгледаме как да намерим проекцията на скоростта. За да може даден вектор да представлява описание на движението, той трябва да бъде поставен в проекцията върху координатните оси. Има една координатна ос (лъч), две координатни оси (равнина) и три координатни оси (пространство). При намиране на проекцията е необходимо да се свалят перпендикулярите на оста от краищата на вектора.

За да разберете значението на проекцията, трябва да знаете как да намерите проекцията на вектор.

Векторна проекция

Когато тялото се движи перпендикулярно на оста, проекцията ще бъде представена като точка и ще има стойност нула. Ако движението е успоредно на координатната ос, тогава проекцията ще съвпадне с модула на вектора. В случай, когато тялото се движи по такъв начин, че векторът на скоростта е насочен под ъгъл φ спрямо оста (x), проекцията към тази ос ще бъде сегмент: V(x) = V cos(φ), където V е моделът на вектора на скоростта Когато посоките на вектора на скоростта и координатната ос съвпадат, тогава проекцията е положителна и обратно.

Да вземем следното координатно уравнение: x = x(t), y = y(t), z = z(t). В този случай скоростната функция ще бъде проектирана върху три оси и ще изглежда така: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V (z) \u003d dz / dt \u003d z "(t). От това следва, че за намиране на скоростта е необходимо да се вземат производни. Самият вектор на скоростта се изразява с уравнение от тази форма: V = V (x) i + V (y) j + V (z) k където i, j, k са единичните вектори на координатните оси x, y, z, съответно. Така модулът на скоростта се изчислява по следната формула: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

Нека два вектора и са дадени в пространството. Отделете от произволна точка Овектори и . ъгълмежду векторите и се нарича най-малкият от ъглите. Обозначава се .

Помислете за оста ли начертайте единичен вектор върху него (тоест вектор, чиято дължина е равна на единица).

Ъгъл между вектор и ос лразберете ъгъла между векторите и .

Така че нека ле някаква ос и е вектор.

Означете с А 1и B1проекции на оста лточки Аи Б. Нека се преструваме А 1има координата х 1, а B1- координатна x2на ос л.

Тогава проекциявектор на ос лсе нарича разлика х 1 – x2между координатите на проекциите на края и началото на вектора върху тази ос.

Проекция на вектор върху ос лще означим .

Ясно е, че ако ъгълът между вектора и оста лостър тогава x2> х 1, и проекцията x2 – х 1> 0; ако този ъгъл е тъп, тогава x2< х 1и проекция x2 – х 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси л, тогава x2= х 1и x2– х 1=0.

По този начин проекцията на вектора върху оста ле дължината на сегмента А 1 Б 1взети с определен знак. Следователно проекцията на вектор върху ос е число или скалар.

По подобен начин се дефинира проекцията на един вектор върху друг. В този случай проекциите на краищата на този вектор се намират на линията, на която лежи 2-ри вектор.

Нека разгледаме някои от основните проекционни свойства.

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМИ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМИ СИСТЕМИ ОТ ВЕКТОРИ

Нека разгледаме няколко вектора.

Линейна комбинацияот тези вектори е всеки вектор от вида , където са някои числа. Числата се наричат ​​коефициенти на линейната комбинация. Казва се също, че в този случай е линейно изразено чрез дадени вектори, т.е. получени от тях чрез линейни операции.

Например, ако са дадени три вектора, тогава векторите могат да се разглеждат като тяхна линейна комбинация:

Ако векторът е представен като линейна комбинация от някои вектори, тогава се казва, че е разложенпо тези вектори.

Векторите се наричат линейно зависими, ако има такива числа, не всички равни на нула, това . Ясно е, че дадените вектори ще бъдат линейно зависими, ако някой от тези вектори е линейно изразен по отношение на останалите.

В противен случай, т.е. когато съотношението извършва само когато , тези вектори се наричат линейно независими.

Теорема 1.Всеки два вектора са линейно зависими, ако и само ако са колинеарни.

Доказателство:

По подобен начин може да се докаже следната теорема.

Теорема 2.Три вектора са линейно зависими, ако и само ако са компланарни.

Доказателство.

ОСНОВА

Основае колекция от ненулеви линейно независими вектори. Елементите на основата ще бъдат обозначени с .

В предишния подраздел видяхме, че два неколинеарни вектора в равнината са линейно независими. Следователно, съгласно теорема 1 от предишния параграф, база върху равнина е всеки два неколинеарни вектора на тази равнина.

По същия начин, всеки три некомпланарни вектора са линейно независими в пространството. Следователно три некомпланарни вектора се наричат ​​база в пространството.

Следното твърдение е вярно.

Теорема.Нека в пространството е дадена основа. Тогава всеки вектор може да бъде представен като линейна комбинация , където х, г, z- някои цифри. Такова разлагане е уникално.

Доказателство.

По този начин основата ви позволява уникално да асоциирате всеки вектор с тройка числа - коефициентите на разширение на този вектор по отношение на векторите на основата: . Обратното също е вярно, всяка тройка числа x, y, zкато използвате основата, можете да съпоставите вектора, ако направите линейна комбинация .

Ако основата и , след това числата x, y, zНаречен координативектори в дадена основа. Координатите на вектора означават .

КАРТЕЗОВА КООРДИНАТНА СИСТЕМА

Нека е дадена точка в пространството Ои три некомпланарни вектора.

Декартова координатна системав пространството (на равнина) се нарича множество от точка и основа, т.е. набор от точка и три некомпланарни вектора (2 неколинеарни вектора), изходящи от тази точка.

точка Онаречен произход; прави линии, минаващи през началото в посока на базисните вектори, се наричат ​​координатни оси - абсцисната, ординатна и апликатна ос. Равнините, минаващи през координатните оси, се наричат ​​координатни равнини.

Да разгледаме произволна точка в избраната координатна система М. Нека представим концепцията за координатна точка М. Векторът, който свързва началото с точката М. Наречен радиус векторточки М.

Вектор в избраната основа може да бъде свързан с тройка числа - неговите координати: .

Координати на радиус вектор на точката М. Наречен координати на точка М. в разглежданата координатна система. M(x,y,z). Първата координата се нарича абциса, втората е ордината, а третата е апликата.

Декартовите координати на равнината се дефинират по подобен начин. Тук точката има само две координати - абсцисата и ординатата.

Лесно е да се види, че за дадена координатна система всяка точка има определени координати. От друга страна, за всяка тройка числа има една точка, която има тези числа като координати.

Ако векторите, взети за основа в избраната координатна система, имат единична дължина и са по двойки перпендикулярни, тогава координатната система се нарича Декартов правоъгълник.

Лесно е да се покаже това.

Косинусите на посоката на вектора напълно определят неговата посока, но не казват нищо за дължината му.

Алгебрична векторна проекцияна всяка ос е равно на произведението от дължината на вектора и косинуса на ъгъла между оста и вектора:

Вдясно a b = |b|cos(a,b) или

Където a b е скаларното произведение на векторите , |a| - модул на вектор a .

Инструкция. За да намерите онлайн проекцията на вектора Пp a b, трябва да посочите координатите на векторите a и b. В този случай векторът може да бъде даден в равнината (две координати) и в пространството (три координати). Полученото решение се записва в Word файл. Ако векторите са дадени чрез координатите на точките, тогава трябва да използвате този калкулатор.

дадено :
две векторни координати
три координатни вектора
а: ; ;
б: ; ;

Класификация на векторни проекции

Видове проекции по дефиниция векторна проекция

Видове проекции по координатна система

Свойства на векторна проекция

1. Геометричната проекция на вектор е вектор (има посока).
2. Алгебричната проекция на вектор е число.

Теореми за векторна проекция

Теорема 1. Проекцията на сумата от вектори върху която и да е ос е равна на проекцията на членовете на векторите върху същата ос.

Теорема 2. Алгебричната проекция на вектор върху която и да е ос е равна на произведението от дължината на вектора и косинуса на ъгъла между оста и вектора:

Вдясно a b = |b|cos(a,b)

Видове векторни проекции

1. проекция върху оста OX.
2. проекция върху оста OY.
3. проекция върху вектор.

Проекция върху оста OX	Проекция върху оста OY	Проекция към вектор
Ако посоката на вектора A'B' съвпада с посоката на оста OX, тогава проекцията на вектор A'B' има положителен знак.	Ако посоката на вектора A'B' съвпада с посоката на оста OY, тогава проекцията на вектор A'B' има положителен знак.	Ако посоката на вектора A'B' съвпада с посоката на вектора NM, тогава проекцията на вектор A'B' има положителен знак.
Ако посоката на вектора е противоположна на посоката на оста OX, тогава проекцията на вектор A'B' има отрицателен знак.	Ако посоката на вектора A'B' е противоположна на посоката на оста OY, тогава проекцията на вектор A'B' има отрицателен знак.	Ако посоката на вектора A'B' е противоположна на посоката на вектора NM, тогава проекцията на вектор A'B' има отрицателен знак.
Ако векторът AB е успореден на оста OX, тогава проекцията на вектора A'B' е равна на модула на вектора AB.	Ако векторът AB е успореден на оста OY, тогава проекцията на вектора A'B' е равна на модула на вектора AB.	Ако векторът AB е успореден на вектора NM, тогава проекцията на вектора A'B' е равна на модула на вектора AB.
Ако векторът AB е перпендикулярен на оста OX, тогава проекцията на A'B' е равна на нула (нулев вектор).	Ако векторът AB е перпендикулярен на оста OY, тогава проекцията на A'B' е равна на нула (нулев вектор).	Ако векторът AB е перпендикулярен на вектора NM, тогава проекцията на A'B' е равна на нула (нулев вектор).

1. Въпрос: Може ли проекцията на вектор да има отрицателен знак. Отговор: Да, векторните проекции могат да бъдат отрицателни. В този случай векторът има обратна посока (вижте как са насочени оста OX и вектора AB)
2. Въпрос: Може ли проекцията на вектор да съвпада с модула на вектора. Отговор: Да, може. В този случай векторите са успоредни (или лежат на една и съща права).
3. Въпрос: Може ли проекцията на вектор да бъде равна на нула (нулев вектор). Отговор: Да, може. В този случай векторът е перпендикулярен на съответната ос (вектор).

Пример 1 . Векторът (фиг. 1) образува ъгъл от 60 o с оста OX (тя се дава от вектор а). Ако OE е мащабна единица, тогава |b|=4, така че .

Всъщност дължината на вектора (геометрична проекция b) е равна на 2, а посоката съвпада с посоката на оста OX.

Пример 2. Векторът (фиг. 2) образува ъгъл с оста OX (с вектора a) (a,b) = 120 o . Дължина |b| вектор b е равен на 4, така че pr a b=4 cos120 o = -2.

Всъщност дължината на вектора е равна на 2, а посоката е противоположна на посоката на оста.

Прожектирането на различни линии и повърхности върху равнина ви позволява да изградите визуално представяне на обекти под формата на чертеж. Ще разгледаме правоъгълна проекция, в която излъчените лъчи са перпендикулярни на проекционната равнина. ПРОЕКЦИЯ НА ВЕКТОР ВЪРХУ РАВНИНА разгледайте вектора \u003d (фиг. 3.22), затворен между перпендикулярите, изпуснати от началото и края му.

Ориз. 3.22. Векторна проекция на вектор върху равнина.

Ориз. 3.23. Векторна проекция на вектор върху ос.

Във векторната алгебра често е необходимо да се проектира вектор върху ОС, тоест върху права линия, която има определена ориентация. Такъв дизайн е лесен, ако векторът и оста L лежат в една и съща равнина (фиг. 3.23). Задачата обаче става по-трудна, когато това условие не е изпълнено. Нека построим проекцията на вектора върху оста, когато векторът и оста не лежат в една и съща равнина (фиг. 3.24).

Ориз. 3.24. Проектиране на вектор към ос
общо взето.

През краищата на вектора рисуваме равнини, перпендикулярни на правата L. В пресечната точка с тази права тези равнини определят две точки A1 и B1 - вектора, който ще наречем векторна проекция на този вектор. Проблемът с намирането на векторна проекция може да бъде решен по-просто, ако векторът се постави в една и съща равнина с оста, което е възможно, тъй като свободните вектори се разглеждат във векторната алгебра.

Заедно с векторната проекция има и СКАЛАРНА ПРОЕКЦИЯ, която е равна на модула на векторната проекция, ако векторната проекция съвпада с ориентацията на оста L, и е равна на стойността, противоположна на нея, ако векторната проекция и оста L има противоположна ориентация. Скаларната проекция ще бъде обозначена с:

На практика векторните и скаларните проекции не винаги са терминологично разделени строго. Обикновено се използва терминът "векторна проекция", което означава скаларна проекция на вектор. При вземане на решение е необходимо ясно да се разграничат тези понятия. Следвайки установената традиция, ще използваме термините „векторна проекция”, подразбираща скаларна проекция, и „векторна проекция” – в съответствие с установеното значение.

Нека докажем една теорема, която ни позволява да изчислим скаларната проекция на даден вектор.

ТЕОРЕМА 5. Проекцията на вектор върху оста L е равна на произведението на неговия модул и косинуса на ъгъла между вектора и оста, т.е.

(3.5)

Ориз. 3.25. Намиране на вектор и скалар
Векторни проекции по оста L
(и оста L са еднакво ориентирани).

ДОКАЗАТЕЛСТВО. Нека направим предварителни конструкции, които ни позволяват да намерим ъгъла гМежду вектора и оста L. За целта построяваме права линия MN, успоредна на оста L и минаваща през точката O - началото на вектора (фиг. 3.25). Ъгълът ще бъде желаният ъгъл. Нека начертаем през точки A и O две равнини, перпендикулярни на оста L. Получаваме:

Тъй като оста L и правата MN са успоредни.

Отделяме два случая на взаимно подреждане на вектора и ос L.

1. Нека векторната проекция и оста L са еднакво ориентирани (фиг. 3.25). Тогава съответната скаларна проекция .

2. Нека и L са ориентирани в различни посоки (фиг. 3.26).

Ориз. 3.26. Намиране на векторни и скаларни проекции на вектор по оста L (и оста L са ориентирани в противоположни посоки).

Следователно, твърдението на теоремата е валидно и в двата случая.

ТЕОРЕМА 6. Ако началото на вектора се сведе до определена точка от оста L и тази ос е разположена в равнината s, векторът образува ъгъл с векторната проекция върху равнината s и ъгъл с вектора проекция върху оста L, освен това самите векторни проекции образуват ъгъл помежду си, тогава

Въведение……………………………………………………………………………………………………3

1. Стойността на вектор и скалар………………………………………………………….4

2. Определяне на проекция, ос и координата на точка……………………………5

3. Векторна проекция върху оста…………………………………………………………….6

4. Основната формула на векторната алгебра………………………………………..8

5. Изчисляване на модула на вектора от неговите проекции…………………...9

Заключение…………………………………………………………………………………...11

Литература……………………………………………………………………………………12

Въведение:

Физиката е неразривно свързана с математиката. Математиката дава на физиката средствата и техниките за общ и точен израз на връзката между физическите величини, които се откриват в резултат на експеримент или теоретично изследване.В края на краищата основният метод на изследване във физиката е експерименталният. Това означава, че ученият разкрива изчисленията с помощта на измервания. Означава връзката между различните физически величини. След това всичко се превежда на езика на математиката. Формира се математически модел. Физиката е наука, която изучава най-простите и в същото време най-общите закони. Задачата на физиката е да създаде в съзнанието ни такава картина на физическия свят, която най-пълно отразява неговите свойства и осигурява такива взаимоотношения между елементите на модела, които съществуват между елементите.

И така, физиката създава модел на света около нас и изучава неговите свойства. Но всеки модел е ограничен. При създаването на модели на конкретно явление се вземат предвид само свойства и връзки, които са съществени за дадена гама от явления. Това е изкуството на учения - от цялото разнообразие да изберете основното.

Физическите модели са математически, но математиката не е тяхната основа. Количествените връзки между физическите величини се изясняват в резултат на измервания, наблюдения и експериментални изследвания и се изразяват само на езика на математиката. Няма обаче друг език за изграждане на физически теории.

1. Стойността на вектор и скалар.

Във физиката и математиката векторът е величина, която се характеризира със своята числена стойност и посока. Във физиката има много важни величини, които са вектори, като сила, позиция, скорост, ускорение, въртящ момент, импулс, електрически и магнитни полета. Те могат да се противопоставят на други величини, като маса, обем, налягане, температура и плътност, които могат да бъдат описани с обикновено число и се наричат ​​" скалари" .

Пишат се или с букви от обикновен шрифт, или с цифри (a, b, t, G, 5, -7 ....). Скаларите могат да бъдат положителни или отрицателни. В същото време някои обекти на изследване могат да имат такива свойства, за пълното описание на които познаването само на числова мярка е недостатъчно, също така е необходимо тези свойства да се характеризират с посока в пространството. Такива свойства се характеризират с векторни количества (вектори). Векторите, за разлика от скаларите, се обозначават с удебелен шрифт: a, b, g, F, C ....
Често векторът се обозначава с обикновена (не удебелена) буква, но със стрелка над нея:

В допълнение, векторът често се обозначава с двойка букви (обикновено с главни букви), като първата буква показва началото на вектора, а втората - края му.

Модулът на вектора, тоест дължината на насочената права отсечка, се обозначава със същите букви като самия вектор, но с обичайно (не удебелено) изписване и без стрелка над тях, или точно като вектор (тоест удебелен или правилен, но със стрелка), но тогава обозначението на вектора е затворено във вертикални тирета.
Векторът е сложен обект, който се характеризира едновременно с големина и посока.

Също така няма положителни и отрицателни вектори. Но векторите могат да бъдат равни един на друг. Това е когато например a и b имат еднакви модули и са насочени в една и съща посока. В този случай записът а= b. Трябва също да се има предвид, че векторният символ може да бъде предшестван от знак минус, например -c, но този знак символично показва, че векторът -c има същия модул като вектора c, но е насочен в противоположна посока.

Векторът -c се нарича противоположен (или обратен) на вектора c.
Във физиката обаче всеки вектор е изпълнен със специфично съдържание и при сравняване на вектори от един и същи тип (например сили) точките на тяхното приложение също могат да бъдат от съществено значение.

2.Определяне на проекцията, оста и координатата на точката.

осе права линия, на която е дадена посока.
Оста се обозначава с произволна буква: X, Y, Z, s, t ... Обикновено на оста се избира (произволно) точка, която се нарича начало и като правило се обозначава с буквата O От тази точка се измерват разстоянията до други интересни за нас точки.

точкова проекциявърху оста се нарича основата на перпендикуляра, спуснат от тази точка към дадената ос. Тоест, проекцията на точка върху оста е точка.

координата на точкатана дадена ос се нарича число, чиято абсолютна стойност е равна на дължината на отсечката на оста (в избрания мащаб), затворена между началото на оста и проекцията на точката върху тази ос. Това число се взема със знак плюс, ако проекцията на точката е разположена в посока на оста от нейното начало и със знак минус, ако е в обратна посока.

3.Проекция на вектор върху ос.

Проекцията на вектор върху ос е вектор, който се получава чрез умножаване на скаларната проекция на вектор върху тази ос и единичния вектор на тази ос. Например, ако a x е скаларната проекция на вектор a върху оста X, тогава a x i е неговата векторна проекция върху тази ос.

Нека обозначим векторната проекция по същия начин като самия вектор, но с индекса на оста, върху която е проектиран векторът. И така, векторната проекция на вектора a върху оста X се обозначава с x (удебелена буква, обозначаваща вектора и индекса на името на оста) или

(не-удебелена буква, обозначаваща вектор, но със стрелка в горната част (!) и индекс на името на оста).

Скаларна проекциявектор на ос се нарича номер, чиято абсолютна стойност е равна на дължината на отсечката на оста (в избрания мащаб), затворена между проекциите на началната точка и крайната точка на вектора. Обикновено вместо израза скаларна проекцияпросто кажи - проекция. Проекцията се обозначава със същата буква като проектирания вектор (с нормално, не удебелено изписване), с индекс (обикновено) на името на оста, върху която се проектира този вектор. Например, ако вектор се проектира върху оста x а,тогава неговата проекция се обозначава с x . При прожектиране на същия вектор върху друга ос, ако оста е Y , неговата проекция ще бъде обозначена като y .

За изчисляване на проекцията векторна ос (например оста X) е необходимо да се извади координатата на началната точка от координатата на нейната крайна точка, т.е.

и x \u003d x k - x n.

Проекцията на вектор върху ос е число.Освен това, проекцията може да бъде положителна, ако стойността на x k е по-голяма от стойността на x n,

отрицателна, ако стойността на x k е по-малка от стойността на x n

и равно на нула, ако x k е равно на x n.

Проекцията на вектор върху ос може да се намери и като се знае модулът на вектора и ъгълът, който прави с тази ос.

От фигурата може да се види, че a x = a Cos α

Тоест, проекцията на вектора върху оста е равна на произведението от модула на вектора и косинуса на ъгъла между посоката на оста и векторна посока. Ако ъгълът е остър, тогава
Cos α > 0 и a x > 0, а ако е тъп, тогава косинусът на тъп ъгъл е отрицателен и проекцията на вектора върху оста също ще бъде отрицателна.

Ъглите, преброени от оста обратно на часовниковата стрелка, се считат за положителни, а в посоката - за отрицателни. Въпреки това, тъй като косинусът е четна функция, тоест Cos α = Cos (− α), при изчисляване на проекции ъглите могат да се броят както по посока на часовниковата стрелка, така и обратно.

За да се намери проекцията на вектор върху ос, модулът на този вектор трябва да се умножи по косинуса на ъгъла между посоката на оста и посоката на вектора.

4. Основна формула на векторната алгебра.

Проектираме вектор a върху осите X и Y на правоъгълна координатна система. Намерете векторните проекции на вектора a върху тези оси:

и x = a x i, и y = a y j.

Но според правилото за добавяне на вектори

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

По този начин ние изразихме вектор от гледна точка на неговите проекции и орти на правоъгълна координатна система (или по отношение на неговите векторни проекции).

Векторните проекции a x и a y се наричат ​​компоненти или компоненти на вектора a. Операцията, която извършихме, се нарича разлагане на вектора по осите на правоъгълна координатна система.

Ако векторът е даден в пространството, тогава

a = a x i + a y j + a z k.

Тази формула се нарича основна формула на векторната алгебра. Разбира се, може да се напише и така.