Онлайн калкулатор. Опростяване на полином. Тема на урока: Разгъване на скоби

Основната функция на скобите е да променят реда на действията при изчисляване на стойности. Например, в числовия израз \(5·3+7\) първо ще се изчисли умножението, а след това събирането: \(5·3+7 =15+7=22\). Но в израза \(5·(3+7)\) първо ще се изчисли събирането в скоби и едва след това умножението: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Разгънете скобата: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Отворете скобата и дайте подобни членове \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Разгънете скобите \(5(3-x)\).
Решение : В скобата имаме \(3\) и \(-x\), а преди скобата има петица. Това означава, че всеки член на скобата се умножава по \(5\) - напомням ви това Знакът за умножение между число и скоба не се пише в математиката, за да се намали размера на записите.

Пример. Разгънете скобите \(-2(-3x+5)\).
Решение : Както в предишния пример, \(-3x\) и \(5\) в скобите се умножават по \(-2\).

Пример. Опростете израза: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Остава да разгледаме последната ситуация.

При умножаване на скоба по скоба, всеки член на първата скоба се умножава с всеки член на втората:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Разгънете скобите \((2-x)(3x-1)\).
Решение : Имаме продукт от скоби и той може да бъде разширен веднага с помощта на горната формула. Но за да не се объркаме, нека направим всичко стъпка по стъпка.
Стъпка 1. Премахнете първата скоба - умножете всеки от членовете й по втората скоба:

Стъпка 2. Разгънете продуктите на скобите и фактора, както е описано по-горе:
- Първо най-важното...

После второто.

Стъпка 3. Сега умножаваме и представяме подобни термини:

Не е необходимо да описвате всички трансформации толкова подробно, можете да ги умножите веднага. Но ако просто се учите как да отваряте скоби, пишете подробно, ще има по-малък шанс да направите грешки.

Забележка към целия раздел.Всъщност не е нужно да помните всичките четири правила, трябва да запомните само едно, това: \(c(a-b)=ca-cb\) . Защо? Защото, ако замените едно вместо c, получавате правилото \((a-b)=a-b\) . И ако заместим минус едно, получаваме правилото \(-(a-b)=-a+b\) . Е, ако замените друга скоба вместо c, можете да получите последното правило.

Скоба в скоба

Понякога на практика има проблеми със скоби, вложени в други скоби. Ето пример за такава задача: опростете израза \(7x+2(5-(3x+y))\).

За успешно решаване на такива задачи е необходимо:
- внимателно разбирайте влагането на скоби - коя в коя е;
- отворете скобите последователно, като започнете например от най-вътрешната.

Важно е при отваряне на една от скобите не докосвайте останалата част от изражението, просто го пренаписвам както е.
Нека да разгледаме задачата, написана по-горе, като пример.

Пример. Отворете скобите и дайте подобни членове \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

Пример. Отворете скобите и дайте подобни членове \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение :

Разгъването на скоби е основно умение в математиката. Без това умение е невъзможно да имате оценка над C в 8 и 9 клас. Затова ви препоръчвам да разберете добре тази тема.

Инструкции

Преди да приведете подобни термини в полином, често се налага да извършите междинни действия: отворете всички скоби, повдигнете и приведете самите термини в стандартна форма. Тоест, запишете ги като произведение на числен фактор и променливи. Например изразът 3xy(–1,5)y², намален до стандартна форма, ще изглежда така: –4,5xy³.

Отворете всички скоби. Пропуснете скобите в изрази като A+B+C. Ако има знак плюс отпред, всички условия се запазват. Ако има знак минус пред скобите, променете знаците на всички термини на противоположни. Например (x³–2x)–(11x²–5ax)=x³–2x–11x²+5ax.

Ако трябва да умножите полином по полином, умножете всички членове заедно и добавете получените мономи. Когато повдигате полинома A+B на степен, използвайте съкратено умножение. Например (2ax–3y)(4y+5a)=2ax∙4y–3y∙4y+2ax∙5a–3y∙5a.

Намалете мономите до стандартна форма. За да направите това, групирайте числата и степените с основи. След това ги умножете заедно. Повдигнете монома на степен, ако е необходимо. Например 2ax∙5a–3y∙5a+(2xa)³=10a²x–15ay+8a³x³.

Намерете членове в израза, които имат една и съща буквена част. Маркирайте ги със специално подчертаване за яснота: една права линия, една вълнообразна линия, две прости линии и т.н.

Съберете коефициентите на подобни членове. Умножете полученото число по буквения израз. Дадени са подобни термини. Например x²–2x–3x+6+x²+6x–5x–30–2x²+14x–26=x²+x²–2x²–2x–3x+6x–5x+14x+6–30–26=10x–50 .

източници:

• Моном и полином
• Измийте моля: запишете: а) сумата, където е първият член

Дори най-сложното уравнение престава да изглежда плашещо, ако го сведете до форма, която вече сте срещали. Най-простият начин, който помага във всяка ситуация, е да се намалят полиномите до стандартна форма. Това е отправна точка, от която можете да продължите напред към решение.

Ще имаш нужда

• хартия
• цветни химикалки

Инструкции

Запомнете стандартния формуляр, за да знаете какво трябва да получите в резултат. Дори редът на писане е важен: членовете с най-голям трябва да са първи. Освен това е обичайно първо да се записват неизвестните, обозначени с буквите в началото на азбуката.

Запишете оригиналния полином и започнете да търсите подобни термини. Това са членовете на даденото ви уравнение, една и съща буквена част и/или цифрова част. За по-голяма яснота маркирайте намерените двойки. Моля, имайте предвид, че сходството не означава идентичност - основното е, че един член на двойката съдържа втория. И така, ще има членове xy, xy2z и xyz - те имат обща част под формата на произведението на x и y. Същото важи и за успокоените.

Етикетирайте различни подобни членове по различен начин. За да направите това, по-добре е да подчертаете с единични, двойни и тройни линии, използвайте цвят и други форми на линии.

След като намерите всички подобни членове, започнете да ги комбинирате. За да направите това, премахнете подобни термини от намерените извън скоби. Не забравяйте, че в стандартна форма полиномът няма такива членове.

Проверете дали нямате дублирани елементи във вашия запис. В някои случаи може да имате отново подобни членове. Повторете операцията, като ги комбинирате.

Уверете се, че е изпълнено второто условие, необходимо за записване на полином в стандартна форма: всеки от неговите участници трябва да бъде изобразен като моном в стандартна форма: на първо място е числов фактор, на второ място е променлива или променливи, следващи във вече посочения ред. В този случай той има последователност от букви, зададена от азбуката. Намаляващите градуси се вземат предвид вторично. Така стандартната форма на монома е нотацията 7xy2, докато y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 не са задължителни.

Видео по темата

Зодиите са основният елемент на астрологията. Това са 12 сектора (според броя на месеците в годината), на които е разделена зодиакалната зона, според астрологичната традиция на Европа. Всеки от тях има име, в зависимост от зодиакалното съзвездие, разположено в тази област. Има версия, според която имената на знаците се основават на древногръцките митове.

Инструкции

Овенът е овен със златна вълна. Името на този знак е свързано с мита за Златното руно. Хората, родени под знака на Овен, са привидно кротки, като това животно, но в решителен момент са способни на смели действия.

Телецът е мило и в същото време жестоко животно. Произходът на името на този знак се свързва с легендата за Юпитер и Европа. Любящият бог се влюбил в красиво момиче и за да я спечели, той се превърнал в красив снежнобял бик. Европа започна да гали животното и се качи на гърба му. И коварният Юпитер я отвел на остров Крит.

Близнаците са олицетворение на мита за братската любов на Полукс и Кастор, които били готови да умрат един за друг. Според легендата по време на битката Кастор бил ранен и починал в ръцете на брат си, Полукс бил безсмъртен и се обърнал към баща си Зевс, за да му позволи да умре заедно с брат си.

Гигантски рак заби ноктите си в крака на Херкулес по време на битката му с Хидра. Той смаза рака и продължи битката със змията, но Юнона (по нейна заповед ракът нападна Херкулес) му беше благодарна и постави образа на рака редом с други герои.

Немейският лъв е ужасно и страховито животно, което дълго време атакува хората в името на запазването на мира на властта. Херкулес го победи. От гледна точка на митологията лъвът е атрибут на властта. Хората, родени под този знак, имат чувство на гордост и голямо самочувствие.

Девата се споменава в древногръцкия мит за сътворението на света. Легендата разказва, че Пандора (първата жена) донесла на земята кутия, която й било забранено да отваря, но тя не устояла на изкушението и отворила капака. Всички нещастия, трудности, скръб и човешки пороци, разпръснати от кутията. След това боговете напуснали земята, последна отлетяла богинята на невинността и чистотата Астрея (Дева), на което съзвездието било кръстено.

Името на зодия Везни се свързва с мита за богинята на правосъдието Темида, която имала дъщеря Дика. Момичето претегляше действията на хората и нейните везни станаха символ на знака.

Според една легенда Скорпион е ужилил Орион, който се опитал да изнасили богинята Диана. След смъртта на Орион Юпитер го поставя сред звездите.

Стрелецът е кентавър. Според древногръцките митове това е наполовина кон, наполовина човек. В мита за кентавъра Хирон главният герой знаеше всичко и за всичко, научи боговете на спорт, изкуството на лечението и други знания и умения, които те трябва да имат.

Козирогът е животно с мощни копита, което е способно да се изкачва по планинските склонове, придържайки се към первази. В Древна Гърция се свързва с Пан (бога на природата), който е наполовина човек и наполовина козел.

Знакът Водолей е кръстен на млад мъж на име Ганимед, който работел като виночерпец и лекувал земните хора на празници и тържества. Младият мъж имаше отлични човешки качества, беше отличен приятел, събеседник и просто достоен човек. За това Зевс го направи виночерпец на боговете.

Последният знак от зодиакалния кръг е Риби. Появата на името му се свързва с мита за Ерос и Афродита. Богинята се разхождала със сина си по брега и те били нападнати от чудовището Тифон. За да ги спаси, Юпитер превърна Ерос и Афродита в риби, които скочиха във водата и изчезнаха в морето.

Привеждане дробинай-малкото знаменателиначе се нарича съкращение дроби. Ако математиката ви доведе до дроб с големи числа в числителя и знаменателя, проверете дали може да бъде намалена.

За да добавите алгебрична сума към израз, трябва да добавите всеки член на тази сума отделно към този израз. За да извадите алгебрична сума от определен израз, трябва да добавите към нея поотделно всеки член от тази сума, като го вземете с обратен знак.

321. Учениците изпълниха упражнения на дъската, за да донесат подобни термини и след това изтриха знаците между термините. Възстановете записа: 7 a 5b За a b 4 b 4a = 10 b; 7 a 5b За a b 4 b 4a = 6a. 323. Подредете скобите така, че чрез преобразуване на лявата страна на равенството да получите дясната страна: а)2k - a - k - a = k; в) ab ab + 1 = 0; 324. Отворете скобите: b)a - (2x - (2a - x)); d) b - (2c - (3b + (4c - 5b))).

Изследователска задача 305 1) Установете дали сумата от: а) всеки три последователни естествени числа се дели на 3; б) произволни четири последователни естествени числа с 4; в) всеки пет последователни естествени числа с 5 г) всеки шест последователни естествени числа с 6 2) Установете модел и формулирайте правило.

Сред различните изрази, които се разглеждат в алгебрата, сумите от мономи заемат важно място. Ето примери за такива изрази:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Сумата от мономи се нарича полином. Членовете в полинома се наричат ​​членове на полинома. Мономите също се класифицират като полиноми, като се счита, че мономът е полином, състоящ се от един член.

Например полином
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
може да бъде опростен.

Нека представим всички членове под формата на мономи от стандартната форма:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Нека представим подобни членове в получения полином:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Резултатът е полином, всички членове на който са мономи от стандартната форма и сред тях няма подобни. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартна форма.

Отзад степен на полиномот стандартна форма поемат най-високите правомощия на своите членове. Така биномът \(12a^2b - 7b\) има трета степен, а триномът \(2b^2 -7b + 6\) има втора.

Обикновено членовете на полиноми със стандартна форма, съдържащи една променлива, са подредени в низходящ ред на показатели. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Сумата от няколко полинома може да се трансформира (опрости) в полином със стандартна форма.

Понякога членовете на полином трябва да бъдат разделени на групи, затваряйки всяка група в скоби. Тъй като затварянето на скоби е обратното преобразуване на отварящите скоби, е лесно да се формулира правила за отваряне на скоби:

Ако пред скобите е поставен знак „+“, то термините, поставени в скоби, се изписват със същите знаци.

Ако пред скобите е поставен знак „-“, то термините, поставени в скоби, се изписват с противоположни знаци.

Трансформация (опростяване) на произведението на моном и полином

Използвайки разпределителното свойство на умножението, можете да трансформирате (опростите) произведението на моном и полином в полином. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведението на моном и полином е идентично равно на сумата от продуктите на този моном и всеки от членовете на полинома.

Този резултат обикновено се формулира като правило.

За да умножите моном по полином, трябва да умножите този моном по всеки от членовете на полинома.

Вече сме използвали това правило няколко пъти, за да умножим по сума.

Произведение на полиноми. Трансформация (опростяване) на произведението на два полинома

Като цяло произведението на два полинома е идентично равно на сумата от произведението на всеки член на един полином и всеки член на другия.

Обикновено се използва следното правило.

За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия и да добавите получените продукти.

Формули за съкратено умножение. Сбор на квадрати, разлики и разлика на квадрати

Трябва да се справяте с някои изрази в алгебричните трансформации по-често от други. Може би най-често срещаните изрази са \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т.е. квадратът на сумата, квадратът на разликата и разликата на квадратите. Забелязахте, че имената на тези изрази изглеждат непълни, например \((a + b)^2 \) е, разбира се, не просто квадрат на сбора, а квадрат на сбора на a и b . Квадратът на сумата от a и b обаче не се среща много често, вместо буквите a и b той съдържа различни, понякога доста сложни изрази.

Изразите \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) могат лесно да бъдат преобразувани (опростени) в полиноми от стандартната форма, всъщност вече сте срещали тази задача при умножаване на полиноми:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Полезно е да запомните получените идентичности и да ги приложите без междинни изчисления. Кратките словесни формулировки помагат за това.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадратът на сбора е равен на сбора от квадратите и двойното произведение.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадратът на разликата е равен на сумата от квадратите без удвоеното произведение.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разликата на квадратите е равна на произведението на разликата и сбора.

Тези три идентичности позволяват при трансформации да се заменят левите им части с десни и обратно - десните части с леви. Най-трудното е да видите съответните изрази и да разберете как променливите a и b са заменени в тях. Нека да разгледаме няколко примера за използване на формули за съкратено умножение.

Завършени работи

ДИПЛОМНИ РАБОТИ

Много вече е минало и сега сте дипломиран, ако, разбира се, напишете дипломната си работа навреме. Но животът е такова нещо, че едва сега ви става ясно, че след като сте престанали да бъдете студент, ще загубите всички студентски радости, много от които никога не сте опитвали, отлагайки всичко и го отлагайки за по-късно. И сега, вместо да наваксваш, работиш върху дипломната си работа? Има отлично решение: изтеглете дисертацията, от която се нуждаете, от нашия уебсайт - и веднага ще имате много свободно време!
Тези дисертации са успешно защитени във водещи университети на Република Казахстан.
Цената на работата от 20 000 тенге

КУРСОВИ РАБОТИ

Курсовият проект е първата сериозна практическа работа. Именно с писането на курсова работа започва подготовката за разработване на дипломни проекти. Ако студентът се научи правилно да представя съдържанието на дадена тема в курсов проект и да го форматира компетентно, тогава в бъдеще той няма да има проблеми с писането на доклади, съставянето на тезиси или изпълнението на други практически задачи. За да подпомогне студентите при писането на този тип студентски работи и да изясни въпросите, които възникват по време на подготовката им, всъщност беше създадена тази информационна секция.
Разходи за работа от 2500 тенге

МАГИСТЪРСКИ ДИСЕРТАЦИИ

В момента във висшите учебни заведения на Казахстан и страните от ОНД нивото на висше професионално образование, което следва след бакалавърската степен, е много често - магистърска степен. В магистърската програма студентите учат с цел получаване на магистърска степен, която се признава в повечето страни по света повече от бакалавърска степен, а също така се признава от чуждестранни работодатели. Резултатът от магистърското обучение е защитата на магистърска теза.
Ще ви предоставим актуални аналитични и текстови материали, като цената включва 2 научни статии и резюме.
Разходи за работа от 35 000 тенге

ДОКЛАДИ ОТ ПРАКТИКАТА

След завършване на всякакъв вид студентски стаж (образователен, индустриален, преддипломен) се изисква отчет. Този документ ще бъде потвърждение за практическата работа на студента и основа за формиране на оценка за практиката. Обикновено, за да съставите отчет за стаж, трябва да съберете и анализирате информация за предприятието, да разгледате структурата и режима на работа на организацията, в която се провежда стажът, да съставите календарен план и да опишете практическите си дейности.
Ще ви помогнем да напишете доклад за вашия стаж, като вземете предвид спецификата на дейността на конкретно предприятие.