Кинетична енергия на въртящо се твърдо тяло. Кинетична енергия на въртящо се тяло

Нека започнем, като разгледаме въртенето на тялото около фиксирана ос, която ще наречем z-ос (фиг. 41.1). Линейната скорост на елементарната маса е къде е разстоянието на масата от оста. Следователно за кинетичната енергия на елементарна маса се получава изразът

Кинетичната енергия на тялото се състои от кинетичните енергии на неговите части:

Сборът от дясната страна на това съотношение е моментът на инерция на тялото 1 спрямо оста на въртене. По този начин кинетичната енергия на тяло, въртящо се около фиксирана ос, е

Нека върху масата действат вътрешна сила и външна сила (виж фиг. 41.1). Според (20.5) тези сили ще вършат работа през времето

Извършвайки циклична пермутация на фактори в смесени произведения на вектори (виж (2.34)), получаваме:

където N е моментът на вътрешната сила спрямо точката O, N е аналогичният момент на външната сила.

Сумирайки израз (41.2) върху всички елементарни маси, получаваме елементарната работа, извършена върху тялото за времето dt:

Сумата от моментите на вътрешните сили е равна на нула (виж (29.12)). Следователно, обозначавайки общия момент на външните сили през N, стигаме до израза

(използвахме формула (2.21)).

И накрая, като вземем предвид, че има ъгъл, през който тялото се върти във времето, получаваме:

Знакът на работата зависи от знака, т.е. от знака на проекцията на вектора N върху посоката на вектора

Така че, когато тялото се върти, вътрешните сили не извършват работа, докато работата на външните сили се определя по формула (41.4).

Формула (41.4) може да бъде достигната, като се използва фактът, че работата, извършена от всички сили, приложени към тялото, отива за увеличаване на кинетичната му енергия (виж (19.11)). Като вземем диференциала на двете страни на равенството (41.1), стигаме до съотношението

Съгласно уравнението (38.8) така, замествайки чрез, ще стигнем до формулата (41.4).

Таблица 41.1

В табл. 41.1, формулите на механиката на ротационните движения се сравняват с подобни формули на механиката на транслационното движение (механика на точка). От това сравнение е лесно да се заключи, че във всички случаи ролята на масата играе моментът на инерция, ролята на силата е моментът на силата, ролята на инерцията играе моментът на инерцията и т.н.

Формула. (41.1) получихме за случая, когато тялото се върти около фиксирана ос, фиксирана в тялото. Сега да приемем, че тялото се върти произволно около неподвижна точка, съвпадаща с центъра на масата му.

Нека свържем твърдо декартовата координатна система с тялото, чийто произход ще бъде поставен в центъра на масата на тялото. Скоростта на i-тата елементарна маса е Следователно за кинетичната енергия на тялото можем да запишем израза

къде е ъгълът между векторите Замяна на проход и като се вземе предвид това, което получаваме:

Пишем скаларните произведения по отношение на проекциите на вектори върху осите на координатната система, свързана с тялото:

Накрая, като комбинираме членовете със същите произведения на компонентите на ъгловата скорост и изваждаме тези произведения от знаците на сумите, получаваме: така че формулата (41.7) приема формата (сравнете с (41.1)). Когато произволно тяло се върти около една от главните оси на инерция, да кажем, че осите и формулата (41.7) влиза в (41.10.

По този начин. кинетичната енергия на въртящо се тяло е равна на половината от произведението на момента на инерция и квадрата на ъгловата скорост в три случая: 1) за тяло, въртящо се около фиксирана ос; 2) за тяло, въртящо се около една от главните оси на инерция; 3) за топче. В други случаи кинетичната енергия се определя от по-сложните формули (41.5) или (41.7).

механика.

Въпрос 1

Референтна система. Инерционни референтни системи. Принципът на относителността на Галилео-Айнщайн.

референтна система- това е съвкупност от тела, по отношение на които се описва движението на дадено тяло и свързаната с него координатна система.

Инерционна референтна система (ISO)- система, в която свободно движещо се тяло е в покой или равномерно праволинейно движение.

Принципът на относителността на Галилео-Айнщайн- Всички природни явления във всяка инерционна референтна система се случват по един и същи начин и имат една и съща математическа форма. С други думи, всички ISO са равни.

Въпрос №2

Уравнението на движението. Видове движение на твърдо тяло. Основната задача на кинематиката.

Уравнения на движението на материална точка:

- кинематично уравнение на движението

Видове движение на твърдо тяло:

1) Транслационно движение - всяка права линия, начертана в тялото, се движи успоредно на себе си.

2) Ротационно движение – всяка точка от тялото се движи в кръг.

φ = φ(t)

Основната задача на кинематиката- това е получаване на времевите зависимости на скоростта V= V(t) и координатите (или радиус вектор) r = r(t) на материална точка от известната зависимост от времето на нейното ускорение a = a(t) и известни начални условия V 0 и r 0 .

Въпрос №7

Пулс (Брой на движението) е векторна физическа величина, която характеризира мярката за механичното движение на тялото. В класическата механика импулсът на тялото е равен на произведението на масата мтази точка към неговата скорост v, посоката на импулса съвпада с посоката на вектора на скоростта:

В теоретичната механика обобщен импулсе частната производна на лагранжиана на системата по отношение на обобщената скорост

Ако лагранжианът на системата не зависи от някои обобщена координата, след това поради Уравнения на Лагранж .

За свободна частица функцията на Лагранж има формата: , следователно:

Независимостта на лагранжиана на затворена система от позицията му в пространството следва от свойството хомогенност на пространството: за добре изолирана система, нейното поведение не зависи от това къде в пространството я поставяме. от Теорема на Ньотертази хомогенност предполага запазване на някаква физическа величина. Това количество се нарича импулс (обикновен, а не обобщен).

В класическата механика, пълна импулсСистемата от материални точки се нарича векторна величина, равна на сумата от произведенията на масите на материалните точки при тяхната скорост:

съответно количеството се нарича импулс на една материална точка. Това е векторна величина, насочена в същата посока като скоростта на частицата. Единицата за импулс в Международната система от единици (SI) е килограм метър в секунда(kg m/s)

Ако имаме работа с тяло с краен размер, за да определим неговия импулс, е необходимо тялото да се раздели на малки части, които могат да се считат за материални точки и да се сумират върху тях, в резултат на което получаваме:

Инерцията на система, която не се влияе от никакви външни сили (или те са компенсирани), запазенна време:

Запазването на импулса в този случай следва от втория и третия закон на Нютон: като напише втория закон на Нютон за всяка от материалните точки, които съставляват системата и го сумира върху всички материални точки, които съставляват системата, по силата на третия закон на Нютон закон получаваме равенството (*).

В релативистката механика триизмерният импулс на система от невзаимодействащи материални точки е количеството

,

където м и- тегло и-та материална точка.

За затворена система от невзаимодействащи материални точки тази стойност се запазва. Въпреки това, триизмерният импулс не е релативистично инвариантна величина, тъй като зависи от референтната система. По-смислена стойност ще бъде четириизмерният импулс, който за една материална точка се определя като

На практика често се използват следните връзки между масата, импулса и енергията на частица:

По принцип за система от невзаимодействащи материални точки техните 4-момента се сумират. Но за взаимодействащите частици в релативистката механика трябва да се вземе предвид импулсът не само на частиците, които изграждат системата, но и импулса на полето на взаимодействие между тях. Следователно, много по-смислена величина в релативистичната механика е тензорът енергия-импульс, който напълно удовлетворява законите за запазване.

Въпрос №8

Момент на инерция- скаларна физическа величина, мярка за инерцията на тяло при въртеливо движение около ос, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при транслационно движение. Характеризира се с разпределението на масите в тялото: инерционният момент е равен на сумата от произведенията на елементарните маси и квадрата на техните разстояния до основното множество

Аксиален момент на инерция

Аксиални инерционни моменти на някои тела.

Моментът на инерция на механична системаспрямо фиксирана ос ("аксиален момент на инерция") се нарича стойност J aравен на сбора от произведенията на масите на всички нматериални точки на системата в квадратите на техните разстояния до оста:

,

• м и- тегло и-та точка,
• r и- разстояние от и-та точка към оста.

Аксиална момент на инерциятяло J aе мярка за инерцията на тяло при въртеливо движение около ос, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при транслационно движение.

,

• дм = ρ dV- маса на малък обемен елемент на тялото dV,
• ρ - плътност,
• r- разстояние от елемента dVкъм ос а.

Ако тялото е хомогенно, тоест плътността му е еднаква навсякъде, тогава

Извличане на формула

дми моменти на инерция DJ и. Тогава

Тънкостенен цилиндър (пръстен, обръч)

Извличане на формула

Инерционният момент на тялото е равен на сбора от моментите на инерция на съставните му части. Разделяне на тънкостенен цилиндър на елементи с маса дми моменти на инерция DJ и. Тогава

Тъй като всички елементи на тънкостенен цилиндър са на еднакво разстояние от оста на въртене, формула (1) се преобразува във формата

Теорема на Щайнер

Момент на инерцияна твърдо тяло спрямо която и да е ос зависи не само от масата, формата и размерите на тялото, но и от положението на тялото спрямо тази ос. Според теоремата на Щайнер (теоремата на Хюйгенс-Щайнер), момент на инерциятяло Джспрямо произволна ос е равно на сумата момент на инерциятова тяло Jcспрямо оста, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на разглежданата ос, и произведението на телесната маса мна квадратно разстояние дмежду осите:

Ако е моментът на инерция на тялото около ос, минаваща през центъра на масата на тялото, тогава моментът на инерция около паралелна ос, разположена на разстояние от него, е равен на

,

където е общата маса на тялото.

Например моментът на инерция на прът около ос, минаваща през неговия край, е:

Ротационна енергия

Кинетична енергия на въртеливо движение- енергията на тялото, свързана с неговото въртене.

Основните кинематични характеристики на въртеливото движение на тялото са неговата ъглова скорост (ω) и ъглово ускорение. Основните динамични характеристики на въртеливото движение са ъгловият импулс около оста на въртене z:

Kz = Изω

и кинетична енергия

където I z е моментът на инерция на тялото спрямо оста на въртене.

Подобен пример може да се намери при разглеждане на въртяща се молекула с главни оси на инерция аз 1, аз 2и аз 3. Енергията на въртене на такава молекула се дава от израза

където ω 1, ω 2, и ω 3са основните компоненти на ъгловата скорост.

В общия случай енергията по време на въртене с ъглова скорост се намира по формулата:

, където азе тензорът на инерцията.

Въпрос №9

момент на импулс (ъглов импулс, ъглов импулс, орбитален импулс, ъглов момент) характеризира количеството на въртеливото движение. Количество, което зависи от това колко маса се върти, как е разпределена около оста на въртене и колко бързо се случва въртенето.

Трябва да се отбележи, че въртенето тук се разбира в широк смисъл, а не само като редовно завъртане около ос. Например, дори при праволинейно движение на тяло покрай произволна въображаема точка, която не лежи на линията на движение, то също има ъглов импулс. Може би най-голяма роля играе ъгловият импулс при описването на действителното въртеливо движение. Той обаче е изключително важен за много по-широк клас проблеми (особено ако проблемът има централна или аксиална симетрия, но не само в тези случаи).

Закон за запазване на импулса(закон за запазване на ъгловия импулс) - векторната сума на всички ъглови импулси около която и да е ос за затворена система остава постоянна в случай на равновесие на системата. В съответствие с това ъгловият импулс на затворена система по отношение на произволна производна на импулса извън времето е моментът на силата:

По този начин изискването за затваряне на системата може да бъде отслабено до изискването основният (общ) момент на външните сили да бъде равен на нула:

където е моментът на една от силите, приложени към системата от частици. (Но, разбира се, ако изобщо няма външни сили, това изискване също е изпълнено).

Математически законът за запазване на ъгловия импулс следва от изотропията на пространството, тоест от инвариантността на пространството по отношение на въртене през произволен ъгъл. При завъртане през произволен безкрайно малък ъгъл радиус векторът на частицата с числото ще се промени с , а скоростите - . Функцията на Лагранж на системата няма да се промени по време на такова въртене, поради изотропията на пространството. Така

Задачи

1. Определете колко пъти ефективната маса е по-голяма от гравитиращата маса на влак с маса 4000 тона, ако масата на колелата е 15% от масата на влака. Разгледайте колелата като дискове с диаметър 1,02 м. Как ще се промени отговорът, ако диаметърът на колелата е наполовина по-малък?

2. Определете ускорението, с което колесна двойка с маса 1200 kg се търкаля надолу по хълм с наклон 0,08. Считайте колелата като дискове. Коефициент на съпротивление при търкаляне 0,004. Определете силата на сцепление на колелата към релсите.

3. Определете ускорението, с което колесна двойка с маса 1400 kg се търкаля нагоре по хълм с наклон 0,05. Коефициент на съпротивление 0,002. Какъв трябва да бъде коефициентът на сцепление, за да не се плъзгат колелата. Считайте колелата като дискове.

4. Определете ускорението, с което вагон с тегло 40 тона се търкаля надолу по хълм с наклон 0,020, ако има осем колела с тегло 1200 kg и диаметър 1,02 м. Определете силата на сцепление на колелата с релсите. Коефициент на съпротивление 0,003.

5. Определете силата на натиск на спирачните челюсти върху гумите, ако влак с тегло 4000 тона се забави с ускорение 0,3 m/s 2 . Инерционният момент на една колела е 600 kg m 2, броят на осите е 400, коефициентът на триене на плъзгане на блока е 0,18, коефициентът на съпротивление при търкаляне е 0,004.

6. Определете спирачната сила, действаща на четириосен вагон с маса 60 тона върху спирачната накладка на разпределителна станция, ако скоростта на 30 m коловоз е намаляла от 2 m/s на 1,5 m/s. Инерционният момент на една колела е 500 kg m 2 .

7. Скоростомерът на локомотива показва увеличение на скоростта на влака в рамките на една минута от 10 m/s до 60 m/s. Вероятно е имало подхлъзване на водещата колела. Определете момента на силите, действащи върху котвата на електродвигателя. Инерционен момент на колела 600 kg m 2 , котви 120 kg m 2 . Предавателно отношение предавка 4.2. Силата на натиск върху релсите е 200 kN, коефициентът на триене на плъзгане на колелата по релсата е 0,10.

11. КИНЕТИЧНА ЕНЕРГИЯ НА РОТАТОРА

ДВИЖЕНИЯ

Извеждаме формулата за кинетичната енергия на въртеливото движение. Нека тялото да се върти с ъглова скорост ω около фиксираната ос. Всяка малка частица от тялото извършва транслационно движение в кръг със скорост , където r i -разстояние до оста на въртене, радиус на орбитата. Кинетична енергия на частица маси м ие равно на . Общата кинетична енергия на система от частици е равна на сумата от техните кинетични енергии. Нека обобщим формулите за кинетичната енергия на частиците на тялото и да извадим знака на сумата от половината квадрат на ъгловата скорост, който е еднакъв за всички частици, . Сборът от произведенията на масите на частиците и квадратите на техните разстояния до оста на въртене е инерционният момент на тялото спрямо оста на въртене . Така, кинетичната енергия на тяло, въртящо се около фиксирана ос, е равна на половината от произведението на инерционния момент на тялото около оста и квадрата на ъгловата скорост на въртене:

Въртящите се тела могат да съхраняват механична енергия. Такива тела се наричат ​​маховик. Обикновено това са тела на революция. Използването на маховик в грънчарското колело е известно още от древността. При двигателите с вътрешно горене, по време на хода, буталото предава механична енергия на маховика, който след това извършва работа по въртенето на вала на двигателя за следващите три цикъла. При печатите и пресите маховикът се задвижва от електродвигател с относително ниска мощност, натрупва механична енергия за почти пълен оборот и в кратък момент на удар я дава на работата по щамповане.

Има многобройни опити за използване на въртящи се маховици за задвижване на превозни средства: автомобили, автобуси. Наричат ​​се махомобили, жироскопи. Създадени са много такива експериментални машини. Обещаващо би било използването на маховик за съхранение на енергия при спиране на електрически влакове, за да се използва натрупаната енергия при последващо ускорение. Известно е, че съхранението на енергия на маховика се използва във влаковете на метрото в Ню Йорк.