У дома
Пречистване на водата
Обща идея за цели числа. Най-голямо общо кратно и най-малко общо делител

Обща идея за цели числа. Най-голямо общо кратно и най-малко общо делител

Какво означава цяло число

И така, помислете кои числа се наричат ​​цели числа.

По този начин цели числа ще означават такива числа: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ и т.н.

Множеството от естествени числа е подмножество от множество цели числа, т.е. всяко естествено число ще бъде цяло число, но не всяко цяло число е естествено число.

Целочислени положителни и цели отрицателни числа

Определение 2

плюс.

Числата $3, 78, 569, 10450 $ са цели положителни числа.

Определение 3

са цели числа със знак минус.

Числата $−3, −78, −569, -10450$ са цели отрицателни числа.

Забележка 1

Числото нула не се отнася нито за положителни, нито за отрицателни цели числа.

Цели положителни числаса цели числа, по-големи от нула.

Цели отрицателни числаса цели числа по-малки от нула.

Множеството от естествени числа е множеството от всички положителни числа, а множеството от всички противоположности на естествените числа е множеството от всички отрицателни цели числа.

Целочислени неположителни и цели неотрицателни числа

Всички положителни числа и числото нула се извикват цели неотрицателни числа.

Целочислени неположителни числаса всички цели отрицателни числа и числото $0$.

Забележка 2

По този начин, цяло неотрицателно числоса цели числа, по-големи от нула или равни на нула, и неположително цяло числоса цели числа, по-малки от нула или равни на нула.

Например, неположителни цели числа: $−32, −123, 0, −5$ и неотрицателни цели числа: $54, 123, 0,856 342.$

Описание на променящите се стойности с цели числа

Цели числа се използват за описване на промените в броя на всякакви елементи.

Помислете за примери.

Пример 1

Да предположим, че магазин продава определен брой артикули. Когато магазинът получи $520$ артикули, броят на артикулите в магазина ще се увеличи, а числото $520$ показва положителна промяна в броя. Когато магазинът продава артикули за $50 $, броят на артикулите в магазина ще намалее, а числото $50 $ ще изрази отрицателна промяна в броя. Ако магазинът няма нито да донесе, нито да продаде стоките, тогава броят на стоките ще остане непроменен (т.е. можем да говорим за нулева промяна в броя).

В горния пример промяната в броя на стоките е описана с помощта на цели числа $520$, $−50$ и $0$, съответно. Положителна стойност на цялото число $520$ показва положителна промяна в числото. Отрицателна стойност на цялото число $−50$ показва отрицателна промяна в числото. Цялото число $0$ показва неизменността на числото.

Целите числа са удобни за използване, т.к няма нужда от изрична индикация за увеличаване на числото или за намаляване - знакът на цялото число показва посоката на промяната, а стойността показва количествена промяна.

Използвайки цели числа, можете да изразите не само промяна в количеството, но и промяна във всяка стойност.

Помислете за пример за промяна в цената на даден продукт.

Пример 2

Увеличението на цената, например, с $20$ рубли се изразява с положително цяло число $20$. Намаляването на цената, например, с $5$ рубли се описва с помощта на отрицателно цяло число $−5$. Ако няма промени в цената, тогава такава промяна се определя с цялото число $0$.

Отделно, разгледайте стойността на отрицателните цели числа като размера на дълга.

Пример 3

Например, човек има $5000 рубли. След това, като използвате положително цяло число $5000$, можете да покажете броя на рублите, които той има. Човек трябва да плати наем в размер на $7 000 рубли, но той няма такива пари; в този случай такава ситуация се описва с отрицателно цяло число $−7 000 $. В този случай лицето има $−7,000$ рубли, където "-" показва дълг, а числото $7,000$ показва размера на дълга.


Информацията в тази статия формира обща представа за цели числа. Първо се дава определението за цели числа и са дадени примери. След това се разглеждат целите числа на числовата права, от които става ясно кои числа се наричат ​​положителни числа и кои са отрицателни. След това е показано как промените в количествата се описват с цели числа, а отрицателните цели числа се разглеждат в смисъл на дълг.

Навигация в страницата.

Цели числа - определение и примери

Определение.

Цели числаса естествени числа, числото нула, както и числата, противоположни на естествените.

Дефиницията на цели числа гласи, че всяко от числата 1, 2, 3, …, числото 0, както и всяко от числата −1, −2, −3, … е цяло число. Сега можем лесно да донесем примери за цели числа. Например числото 38 е цяло число, числото 70 040 също е цяло число, нулата е цяло число (припомнете си, че нулата НЕ е естествено число, нулата е цяло число), числата −999 , −1 , −8 934 832 също са примери за цели числа.

Удобно е всички цели числа да се представят като последователност от цели числа, която има следния вид: 0, ±1, ±2, ±3, ... Последователността от цели числа може да се запише и по следния начин: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

От определението за цели числа следва, че множеството от естествени числа е подмножество на множеството от цели числа. Следователно всяко естествено число е цяло число, но не всяко цяло число е естествено число.

Цели числа на координатната права

Определение.

Целочислени положителни числаса цели числа, които са по-големи от нула.

Определение.

Целочислени отрицателни числаса цели числа, които са по-малки от нула.

Целочислените положителни и отрицателни числа могат да се определят и от позицията им върху координатната права. На хоризонтална координатна права точките, чиито координати са положителни числа, лежат вдясно от началото. От своя страна точките с отрицателни цели координати са разположени вляво от точката O.

Ясно е, че множеството от всички положителни числа е множество от естествени числа. От своя страна множеството от всички отрицателни цели числа е множеството от всички числа, противоположни на естествените числа.

Отделно, обръщаме внимание на факта, че можем спокойно да наречем всяко естествено число цяло число и НЕ можем да наречем никое цяло число естествено число. Можем да наречем естествено само всяко положително цяло число, тъй като отрицателните цели числа и нулата не са естествени.

Целочислени неположителни и цели неотрицателни числа

Нека дадем дефиниции на неположителни цели числа и неотрицателни цели числа.

Определение.

Всички положителни числа заедно с нула се извикват цели неотрицателни числа.

Определение.

Целочислени неположителни числаса всички цели отрицателни числа заедно с числото 0 .

С други думи, неотрицателно цяло число е цяло число, което е по-голямо или равно на нула, а неположително цяло число е цяло число, което е по-малко или равно на нула.

Примери за неположителни цели числа са числата -511, -10 030, 0, -2, а като примери за неотрицателни цели числа, нека дадем числа 45, 506, 0, 900 321.

Най-често термините "неположителни цели числа" и "неотрицателни цели числа" се използват за краткост. Например, вместо фразата "числото a е цяло число, а a е по-голямо от нула или равно на нула", можете да кажете "a е неотрицателно цяло число".

Описание на променящите се стойности с цели числа

Време е да поговорим за това за какво са целите числа.

Основната цел на целите числа е, че с тяхна помощ е удобно да се опише промяната в броя на всякакви елементи. Нека се справим с това с примери.

Да предположим, че има определено количество части на склад. Ако например в склада бъдат докарани още 400 части, тогава броят на частите в склада ще се увеличи, а числото 400 изразява тази промяна в количеството в положителна посока (в посока на увеличение). Ако например 100 части се вземат от склада, тогава броят на частите в склада ще намалее, а числото 100 ще изрази промяната на количеството в отрицателна посока (в посока на намаляване). Никакви части няма да бъдат внасяни в склада и никакви части няма да бъдат отнети от склада, тогава можем да говорим за инвариантност на броя на частите (тоест можем да говорим за нулева промяна в количеството).

В дадените примери промяната в броя на частите може да бъде описана с помощта на цели числа 400 , −100 и 0, съответно. Положително цяло число 400 показва положителна промяна в количеството (увеличение). Отрицателното цяло число −100 изразява отрицателна промяна в количеството (намаляване). Цялото число 0 показва, че количеството не се е променило.

Удобството при използването на цели числа в сравнение с използването на естествени числа е, че няма нужда да се посочва изрично дали количеството се увеличава или намалява - цялото число определя промяната количествено, а знакът на цялото число показва посоката на промяната.

Целите числа също могат да изразяват не само промяна в количеството, но и промяна в някаква стойност. Нека се справим с това, като използваме примера за промяна на температурата.

Повишаването на температурата с, да речем, 4 градуса се изразява като цяло положително число 4. Намаляването на температурата, например, с 12 градуса може да се опише с отрицателно цяло число -12. А инвариантността на температурата е нейната промяна, определена от цялото число 0.

Отделно трябва да се каже за тълкуването на отрицателните цели числа като размера на дълга. Например, ако имаме 3 ябълки, тогава положителното цяло число 3 представлява броя на ябълките, които притежаваме. От друга страна, ако трябва да дадем 5 ябълки на някого и не разполагаме с тях, тогава тази ситуация може да се опише с отрицателно цяло число −5. В този случай ние „притежаваме“ −5 ябълки, знакът минус показва дълг, а числото 5 определя дълга.

Разбирането на отрицателно цяло число като дълг позволява например да се обоснове правилото за добавяне на отрицателни цели числа. Да вземем пример. Ако някой дължи 2 ябълки на едно лице и една ябълка на друго, тогава общият дълг е 2+1=3 ябълки, така че −2+(−1)=−3 .

Библиография.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.

Да се цели числавключват естествени числа, нула и числа, противоположни на естествените числа.

Цели числаса цели положителни числа.

Например: 1, 3, 7, 19, 23 и т.н. Използваме такива числа за броене (има 5 ябълки на масата, колата има 4 колела и т.н.)

Латинската буква \mathbb(N) - обозначава се набор от естествени числа.

Естествените числа не могат да включват отрицателни (столът не може да има отрицателен брой крака) и дробни числа (Иван не може да продаде 3,5 велосипеда).

Числата, противоположни на естествените числа, са цели отрицателни числа: -8, -148, -981, ....

Аритметични операции с цели числа

Какво можете да правите с цели числа? Те могат да се умножават, събират и изваждат един от друг. Нека анализираме всяка операция на конкретен пример.

Събиране на цяло число

Две цели числа с еднакви знаци се добавят, както следва: модулите на тези числа се добавят и получената сума се предхожда от крайния знак:

(+11) + (+9) = +20

Изваждане на цели числа

Две цели числа с различни знаци се добавят, както следва: модулът на по-малкото число се изважда от модула на по-голямото число и знакът на по-голямото число по модул се поставя пред отговора:

(-7) + (+8) = +1

Целочислено умножение

За да умножите едно цяло число по друго, трябва да умножите модулите на тези числа и да поставите знака „+“ пред получения отговор, ако оригиналните числа са били със същите знаци, и знака „-“, ако оригиналните числа са били с различни знаци:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Трябва да запомните следното правило за умножение на цяло число:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Има правило за умножаване на няколко цели числа. Нека го запомним:

Знакът на произведението ще бъде "+", ако броят на факторите с отрицателен знак е четен и "-", ако броят на факторите с отрицателен знак е нечетен.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Деление на цели числа

Делението на две цели числа се извършва по следния начин: модулът на едно число се разделя на модула на другото и ако знаците на числата са еднакви, тогава пред получения частно се поставя знак „+“ , и ако знаците на оригиналните числа са различни, тогава се поставя знакът “−”.

(-25) : (+5) = -5

Свойства на събиране и умножение на цели числа

Нека анализираме основните свойства на събиране и умножение за всякакви цели числа a , b и c :

  1. a + b = b + a - комутативно свойство на събиране;
  2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - асоциативното свойство на събиране;
  3. a \cdot b = b \cdot a - комутативно свойство на умножението;
  4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- асоциативни свойства на умножението;
  5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot cе разпределителното свойство на умножението.
През V век пр. н. е. древногръцкият философ Зенон от Елея формулира своите известни апории, най-известната от които е апория „Ахил и костенурката“. Ето как звучи:

Да кажем, че Ахил бяга десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда крачки зад нея. През времето, през което Ахил изминава това разстояние, костенурката пълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил изтича стотина крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Гилберт... Всички те по един или друг начин са смятали апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават в момента, научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение за същността на парадоксите ... математически анализ, теория на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито едно от тях не се е превърнало в общоприето решение на проблема...„[Уикипедия“, „Апории на Зенон“]. Всички разбират, че са заблудени, но никой не разбира каква е измамата.

От гледна точка на математиката Зенон в своите апории ясно демонстрира прехода от стойността към. Този преход предполага прилагане вместо константи. Доколкото разбирам, математическият апарат за прилагане на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апорията на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни води в капан. Ние, по инерцията на мисленето, прилагаме постоянните единици време към реципрочните. От физическа гледна точка изглежда, че времето се забавя до пълно спиране в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако обърнем логиката, с която сме свикнали, всичко си идва на мястото. Ахил работи с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-къс от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да се каже „Ахил ще изпревари безкрайно бързо костенурката“.

Как да избегнем този логичен капан? Останете в постоянни единици време и не преминавайте към реципрочни стойности. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да избяга хиляда крачки, костенурката изпълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще избяга още хиляда крачки, а костенурката ще изпълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин крачки пред костенурката.

Този подход адекватно описва реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за непреодолимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката”. Тепърва предстои да проучим, преосмислим и решим този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от време тя е в покой и тъй като е в покой във всеки момент от време, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент от времето летящата стрела е в покой в ​​различни точки от пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на движението му, нито разстоянието до него. За да се определи фактът на движението на автомобила, са необходими две снимки, направени от една и съща точка в различни моменти от време, но те не могат да се използват за определяне на разстоянието. За да определите разстоянието до колата, имате нужда от две снимки, направени едновременно от различни точки в пространството, но не можете да определите факта на движение от тях (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне) . Това, което искам да отбележа по-специално, е, че две точки във времето и две точки в пространството са две различни неща, които не трябва да се бъркат, тъй като предоставят различни възможности за изследване.

сряда, 4 юли 2018 г

Много добре разликите между набор и мултинабор са описани в Wikipedia. Ние гледаме.

Както можете да видите, "множеството не може да има два еднакви елемента", но ако в множеството има идентични елементи, такъв набор се нарича "мултимножество". Разумните същества никога няма да разберат подобна логика на абсурда. Това е нивото на говорещи папагали и обучени маймуни, при които умът отсъства от думата „напълно“. Математиците действат като обикновени обучители, проповядвайки ни своите абсурдни идеи.

Едно време инженерите, които са построили моста, са били в лодка под моста по време на изпитанията на моста. Ако мостът се срути, посредственият инженер загива под развалините на своето творение. Ако мостът можеше да издържи натоварването, талантливият инженер построи други мостове.

Колкото и да се крият математиците зад фразата „внимавайте, аз съм в къщата“, или по-скоро „математика изучава абстрактни понятия“, има една пъпна връв, която неразривно ги свързва с реалността. Тази пъпна връв е пари. Нека приложим математическата теория на множествата към самите математици.

Много добре учихме математика и сега седим на касата и плащаме заплати. Тук един математик идва при нас за парите си. Преброяваме му цялата сума и я подреждаме на масата си на различни купчини, в които поставяме банкноти с еднакъв номинал. След това вземаме по една сметка от всяка купчина и даваме на математика неговия „математически комплект заплата“. Обясняваме математиката, че той ще получи останалите сметки само когато докаже, че множеството без еднакви елементи не е равно на множеството с еднакви елементи. Тук започва забавлението.

Най-напред ще работи депутатската логика: „можете да я приложите към другите, но не и към мен!“ По-нататък ще започнат уверения, че има различни номера на банкноти на банкноти с еднакъв номинал, което означава, че те не могат да се считат за идентични елементи. Е, броим заплатата в монети - на монетите няма цифри. Тук математикът трескаво ще си припомни физиката: различните монети имат различно количество мръсотия, кристалната структура и подредбата на атомите за всяка монета е уникална...

И сега имам най-интересния въпрос: къде е границата, отвъд която елементите на мултимножество се превръщат в елементи от множество и обратно? Такава линия не съществува - всичко се решава от шаманите, науката тук не е дори и близо.

Вижте тук. Избираме футболни стадиони със същата площ на терена. Площта на полетата е една и съща, което означава, че имаме мултинабор. Но ако разгледаме имената на едни и същи стадиони, получаваме много, защото имената са различни. Както можете да видите, един и същи набор от елементи е едновременно набор и мултинабор. Колко правилно? И тук математикът-шаман-шулер вади козово асо от ръкава си и започва да ни разказва или за набор, или за мултисет. Във всеки случай той ще ни убеди, че е прав.

За да разберем как съвременните шамани оперират с теорията на множеството, обвързвайки я с реалността, е достатъчно да отговорим на един въпрос: как елементите на едно множество се различават от елементите на друго множество? Ще ви покажа, без никакво „мислимо като не едно цяло“ или „немислимо като едно цяло“.

Неделя, 18 март 2018 г

Сборът от цифрите на числото е танц на шамани с тамбура, който няма нищо общо с математиката. Да, в уроците по математика ни учат да намираме сбора от цифрите на числото и да го използваме, но те са шамани за това, за да учат своите потомци на своите умения и мъдрост, иначе шаманите просто ще измрат.

Имате ли нужда от доказателство? Отворете Уикипедия и опитайте да намерите страницата "Сбор от цифри на число". Тя не съществува. В математиката няма формула, по която можете да намерите сумата от цифрите на произволно число. В крайна сметка числата са графични символи, с които пишем числа, а на езика на математиката задачата звучи така: „Намерете сбора от графични символи, представляващи произволно число“. Математиците не могат да решат този проблем, но шаманите могат да го направят елементарно.

Нека да разберем какво и как правим, за да намерим сбора от цифрите на дадено число. И така, да кажем, че имаме числото 12345. Какво трябва да се направи, за да се намери сборът от цифрите на това число? Нека разгледаме всички стъпки по ред.

1. Запишете числото на лист хартия. какво направихме? Преобразувахме числото в числов графичен символ. Това не е математическа операция.

2. Разрязваме една получена снимка на няколко картинки, съдържащи отделни числа. Изрязването на картина не е математическа операция.

3. Преобразувайте отделни графични знаци в числа. Това не е математическа операция.

4. Съберете получените числа. Сега това е математика.

Сборът от цифрите на числото 12345 е 15. Това са "курсовете по кроене и шиене" от шаманите, използвани от математиците. Но това не е всичко.

От гледна точка на математиката няма значение в коя бройна система ще запишем числото. Така че в различни бройни системи сумата от цифрите на едно и също число ще бъде различна. В математиката числовата система се обозначава като индекс отдясно на числото. С голямо число 12345 не искам да заблуждавам главата си, помислете за числото 26 от статията за. Нека запишем това число в двоична, осмична, десетична и шестнадесетична бройна система. Няма да разглеждаме всяка стъпка под микроскоп, вече го направихме. Нека да разгледаме резултата.

Както можете да видите, в различните бройни системи сборът от цифрите на едно и също число е различен. Този резултат няма нищо общо с математиката. Все едно намирането на площта на правоъгълник в метри и сантиметри ще ви даде напълно различни резултати.

Нулата във всички бройни системи изглежда еднакво и няма сбор от цифри. Това е още един аргумент в полза на факта, че . Въпрос към математиците: как се обозначава в математиката това, което не е число? Какво за математиците не съществува нищо друго освен числа? За шаманите мога да позволя това, но за учените не. Реалността не е само в числата.

Полученият резултат трябва да се разглежда като доказателство, че бройните системи са мерни единици за числа. В крайна сметка не можем да сравняваме числа с различни мерни единици. Ако едни и същи действия с различни мерни единици на една и съща величина водят до различни резултати след сравняването им, тогава това няма нищо общо с математиката.

Какво е истинска математика? Това е, когато резултатът от математическо действие не зависи от стойността на числото, използваната мерна единица и от това кой извършва това действие.

Надпис на вратата Отваря вратата и казва:

Оу! Това не е ли женската тоалетна?
- Млада жена! Това е лаборатория за изучаване на безкрайната святост на душите при издигане на небето! Нимбус отгоре и стрелка нагоре. Каква друга тоалетна?

Женски... Ореол отгоре и стрелка надолу е мъжки.

Ако такова произведение на дизайнерското изкуство мига пред очите ви няколко пъти на ден,

Тогава не е изненадващо, че изведнъж откривате странна икона в колата си:

Лично аз полагам усилия върху себе си да видя минус четири градуса в какащ човек (една снимка) (композиция от няколко картини: знак минус, номер четири, обозначение на градусите). И аз не смятам това момиче за глупачка, която не знае физика. Тя просто има дъгов стереотип на възприемане на графични изображения. И математиците ни учат на това през цялото време. Ето един пример.

1А не е "минус четири градуса" или "едно а". Това е "какащ човек" или числото "двадесет и шест" в шестнадесетичната бройна система. Тези хора, които постоянно работят в тази числова система, автоматично възприемат числото и буквата като един графичен символ.

Важни бележки!
1. Ако вместо формули видите абракадабра, изчистете кеша си. Как да го направите във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор за най-полезния ресурс за

За да опростите много живота си, когато трябва да изчислите нещо, да спечелите ценно време в OGE или USE, за да правите по-малко глупави грешки - прочетете този раздел!

Ето какво ще научите:

  • как да изчислим по-бързо, по-лесно и по-точно използвайкигрупиране на числапри събиране и изваждане,
  • как бързо да умножите и разделите без грешки с помощта правила за умножение и критерии за делимост,
  • как значително да ускорите изчисленията с помощта на най-малко общо кратно(NOC) и най-голям общ делител(GCD).

Притежанието на техниките от този раздел може да наклони везните в една или друга посока... независимо дали влизате в университета на мечтите си или не, вие или вашите родители ще трябва да платите много пари за образование или ще влезете в бюджета .

Да се ​​потопим направо в... (Да тръгваме!)

P.S. ПОСЛЕДЕН ЦЕНЕН СЪВЕТ...

Няколко цели числасе състои от 3 части:

  1. цели числа(ще ги разгледаме по-подробно по-долу);
  2. числа, противоположни на естествените числа(всичко ще си дойде на мястото веднага щом разберете какви са естествените числа);
  3. нула - " " (къде без него?)

буква Z.

Цели числа

„Бог е създал естествените числа, всичко останало е дело на човешки ръце“ (в) немският математик Кронекер.

Естествените числа сачислата, които използваме за броене на обекти и именно на това се основава тяхната история на възникване - необходимостта от броене на стрели, кожи и т.н.

1, 2, 3, 4...n

буква Н.

Съответно, това определение не включва (не можете ли да преброите това, което го няма?) и още повече не включва отрицателни стойности (има ли ябълка?).

Освен това не са включени всички дробни числа (също не можем да кажем „Имам лаптоп“ или „Продадох автомобили“)

Всякакви естествено числоможе да се запише с помощта на 10 цифри:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Така че 14 не е число. Това е число. От какви числа се състои? Точно така, от числа и.

Добавяне. Групиране при добавяне за по-бързо броене и по-малко грешки

Какви интересни неща можете да кажете за тази процедура? Разбира се, сега ще отговорите „стойността на сумата не се променя от пренареждането на термините“. Изглежда, че примитивно правило, познато от първия клас, обаче, когато се решават големи примери, то моментално забравен!

Не забравяйте за негоизползвайте групиране, с цел улесняване на процеса на броене и намаляване на вероятността от грешки, защото няма да имате калкулатор за изпита.

Вижте сами кой израз е по-лесен за добавяне?

  • 4 + 5 + 3 + 6
  • 4 + 6 + 5 + 3

Разбира се второто! Въпреки че резултатът е същият. Но! Имайки предвид втория начин, е по-малко вероятно да направите грешка и ще направите всичко по-бързо!

Така че в ума си мислите така:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Изваждане. Групиране при изваждане за по-бързо броене и по-малко грешки

При изваждане можем също да групираме извадените числа, например:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Ами ако в примера изваждането се преплита със събиране? Можете също да групирате, ще отговаряте и с право. Просто моля, не забравяйте за знаците пред числата, например: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Запомнете: неправилно поставените знаци ще доведат до грешен резултат.

Умножение. Как да се размножава в ума си

Очевидно е, че стойността на продукта също няма да се промени от промяна на местата на факторите:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Няма да ви казвам да „използвате това, когато решавате проблеми“ (самите разбирате, нали?), а по-скоро ще ви кажа как бързо да умножите някои числа в главата си. Така че, погледнете внимателно таблицата:

И още малко за умножението. Разбира се, помните два специални случая... Познайте какво имам предвид? Ето за това:

О, да, нека да разгледаме признаци на делимост. Общо има 7 правила за знаците за делимост, от които вече знаете първите 3 със сигурност!

Но останалото изобщо не е трудно да се запомни.

7 знака за делимост на числата, които ще ви помогнат бързо да броите в главата си!

  • Вие, разбира се, знаете първите три правила.
  • Четвъртата и петата са лесни за запомняне – при деление на и гледаме дали сборът от цифрите, които съставляват числото, се дели на това.
  • Когато делим на, обръщаме внимание на последните две цифри на числото – дели ли се числото, което те съставят?
  • Когато се дели с число, то трябва да се дели на и на едновременно. Това е цялата мъдрост.

Сега си мислите - "защо ми трябва всичко това"?

Първо, изпитът е без калкулатори тези правила ще ви помогнат да се ориентирате в примерите.

И второ, чухте задачите за GCDи НОК? Познато съкращение? Нека започнем да помним и разбираме.

Най-голям общ делител (gcd) - необходим за намаляване на дроби и бързи изчисления

Да приемем, че имате две числа: и. Кое е най-голямото число, делимо се на двете числа? Ще отговорите без колебание, защото знаете, че:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Кои числа в разширението са често срещани? Точно така, 2 * 2 = 4. Това беше вашият отговор. Имайки предвид този прост пример, няма да забравите алгоритъма за намиране GCD. Опитайте се да го „изградите“ в главата си. Се случи?

За да намерите NOD, ви трябва:

  1. Разлагайте числата на прости множители (на числа, които не могат да бъдат разделени с нищо друго освен себе си или например с 3, 7, 11, 13 и т.н.).
  2. Умножете ги.

Разбирате ли защо имахме нужда от знаци за делимост? Така че да погледнете числото и да започнете да делите без остатък.

Например, нека намерим GCD на числа 290 и 485

Първо число - .

Гледайки го, веднага можете да разберете на какво се дели, нека напишем:

не можете да го разделите на нищо друго, но можете - и получаваме:

290 = 29 * 5 * 2

Да вземем друго число - 485.

Според признаците на делимост то трябва да се дели на без остатък, тъй като завършва с. Споделяме:

Нека анализираме оригиналното число.

  • Не може да се раздели на (последната цифра е нечетна),
  • - не се дели на, така че числото също не се дели на,
  • също не се дели на и (сумата от цифрите в числото не се дели на и на)
  • също не се дели, защото не се дели на и,
  • също не се дели на и, тъй като не се дели на и.
  • не могат да бъдат напълно разделени

Така числото може да се разложи само на и.

А сега да намерим GCDтези числа (и). Какво е това число? Правилно, .

Ще практикуваме ли?

Задача номер 1. Намерете GCD на числа 6240 и 6800

1) Разделям веднага на, тъй като и двете числа се делят на 100% на:

Задача номер 2. Намерете GCD на числа 345 и 324

Не мога бързо да намеря поне един общ делител тук, така че просто разлагам на прости множители (възможно по-малко):

Най-малко общо кратно (LCM) - спестява време, помага за решаване на проблеми извън кутията

Да приемем, че имате две числа - и. На кое е най-малкото число, което се дели без следа(т.е. напълно)? Трудно ли е да си представим? Ето една визуална улика за вас:

Спомняте ли си какво означава буквата? Точно така, просто цели числа.И така, кое е най-малкото число, което отговаря на x? :

В такъв случай.

От този прост пример следват няколко правила.

Правила за бързо намиране на НОК

Правило 1. Ако едно от двете естествени числа се дели на друго число, тогава по-голямото от тези две числа е тяхното най-малко общо кратно.

Намерете следните числа:

  • НОК (7;21)
  • НОК (6;12)
  • NOC (5;15)
  • НОК (3;33)

Разбира се, лесно се справихте с тази задача и получихте отговорите -, и.

Имайте предвид, че в правилото говорим за ДВЕ числа, ако има повече числа, тогава правилото не работи.

Например LCM (7;14;21) не е равно на 21, тъй като не може да бъде разделено без остатък на.

Правило 2. Ако две (или повече от две) числа са взаимно прости, тогава най-малкото общо кратно е равно на тяхното произведение.

намирам НОКза следните числа:

  • NOC (1;3;7)
  • NOC (3;7;11)
  • NOC (2;3;7)
  • NOC (3;5;2)

Преброихте ли? Ето отговорите - , ; .

Както разбирате, не винаги е толкова лесно да вземете и вземете същото това x, така че за малко по-сложни числа има следния алгоритъм:

Ще практикуваме ли?

Намерете най-малкото общо кратно - LCM (345; 234)

Намерете сами най-малкото общо кратно (LCM).

Какви отговори получихте?

Ето какво ми се случи:

Колко време ти отне да намериш НОК? Времето ми е 2 минути, наистина знам един трик, който предлагам да отворите веднага!

Ако сте много внимателни, вероятно сте забелязали, че за дадените числа вече сме търсили GCDи бихте могли да вземете факторизацията на тези числа от този пример, като по този начин опростите задачата си, но това далеч не е всичко.

Вижте снимката, може би ще ви дойдат други мисли:

Добре? Ще ви дам съвет: опитайте се да умножите НОКи GCDпомежду си и запишете всички фактори, които ще бъдат при умножаване. Справихте ли се? В крайна сметка трябва да получите верига като тази:

Разгледайте го по-отблизо: сравнете факторите с това как и са разложени.

Какъв извод можете да направите от това? Правилно! Ако умножим стойностите НОКи GCDпомежду си, тогава получаваме произведението на тези числа.

Съответно с числа и значение GCD(или НОК), можем да намерим НОК(или GCD) по следния начин:

1. Намерете произведението на числата:

2. Разделяме получения продукт на нашия GCD (6240; 6800) = 80:

Това е всичко.

Нека напишем правилото в общ вид:

Опитай да намериш GCDако е известно, че:

Справихте ли се? .

Отрицателни числа - "фалшиви числа" и тяхното разпознаване от човечеството.

Както вече разбрахте, това са числа, противоположни на естествените, тоест:

Отрицателните числа могат да се добавят, изваждат, умножават и разделят - точно както естествените числа. Изглежда, че са толкова специални? Но факт е, че отрицателните числа „спечелиха“ своето достойно място в математиката чак до 19 век (до този момент имаше огромно количество противоречия дали съществуват или не).

Самото отрицателно число е възникнало поради такава операция с естествени числа като "изваждане". Наистина, извадете от - това е отрицателно число. Ето защо множеството от отрицателни числа често се нарича „разширение на множеството естествени числа».

Отрицателните числа не се разпознаваха от хората дълго време. И така, Древен Египет, Вавилон и Древна Гърция - светлините на своето време, не разпознаваха отрицателни числа, а в случай на получаване на отрицателни корени в уравнението (например, както имаме), корените бяха отхвърлени като невъзможни.

За първи път отрицателните числа получават правото си да съществуват в Китай, а след това през 7 век в Индия. Какво мислите за това признание? Точно така, отрицателните числа започнаха да означават дългове (в противен случай - липси). Смяташе се, че отрицателните числа са временна стойност, която в резултат ще се промени в положителна (тоест парите все още ще бъдат върнати на кредитора). Въпреки това, индийският математик Брахмагупта още тогава разглежда отрицателните числа наравно с положителните.

В Европа полезността на отрицателните числа, както и фактът, че те могат да означават дълг, дойде много по-късно, тоест едно хилядолетие. Първото споменаване е видяно през 1202 г. в „Книгата на Abacus“ от Леонард от Пиза (веднага казвам, че авторът на книгата няма нищо общо с Наклонената кула в Пиза, но числата на Фибоначи са негово дело ( прякорът на Леонардо от Пиза е Фибоначи)). Освен това европейците стигнаха до заключението, че отрицателните числа могат да означават не само дългове, но и липса на нещо, но не всички признаха това.

И така, през XVII век Паскал вярваше в това. Как мислите, че го е оправдал? Точно така, "нищо не може да бъде по-малко от НИЩО". Ехо от онези времена остава фактът, че отрицателното число и операцията на изваждане се обозначават с един и същи символ - минус "-". И вярно:. Положително ли е числото " ", което се изважда от, или отрицателно, което се добавя? ... Нещо от поредицата "което е първо: пилето или яйцето?" Ето един вид тази математическа философия.

Отрицателните числа осигуриха правото си на съществуване с появата на аналитичната геометрия, с други думи, когато математиците въведоха такова нещо като реална ос.

От този момент дойде равенството. Все пак имаше повече въпроси, отколкото отговори, например:

пропорция

Тази пропорция се нарича парадокс на Арно. Помислете, какво е съмнително в това?

Нека поговорим заедно " " повече от " " нали? Така, според логиката, лявата страна на пропорцията трябва да е по-голяма от дясната, но те са равни... Ето това е парадоксът.

В резултат на това математиците се съгласиха, че Карл Гаус (да, да, това е този, който разглежда сбора (или) от числа) през 1831 г., сложи край на това - той каза, че отрицателните числа имат същите права като положителните, и фактът, че те не се отнасят за всички неща, не означава нищо, тъй като дробите не се отнасят и за много неща (не се случва копача да изкопае дупка, да не можеш да си купиш билет за кино и т.н.).

Математиците се успокояват едва през 19 век, когато теорията за отрицателните числа е създадена от Уилям Хамилтън и Херман Грасман.

Ето колко са противоречиви тези отрицателни числа.

Появата на "празнотата", или биографията на нулата.

В математиката, специално число. На пръв поглед това е нищо: добавяне, изваждане - нищо няма да се промени, но просто трябва да го припишете на правото на "", и полученото число ще бъде многократно по-голямо от първоначалното. Умножавайки по нула, превръщаме всичко в нищо, но не можем да разделим на „нищо“. С една дума, магическото число)

Историята на нулата е дълга и сложна. Следа от нула се намира в писанията на китайците през 2000 г. сл. Хр. и още по-рано с маите. Първото използване на символа нула, какъвто е днес, е наблюдавано сред гръцките астрономи.

Има много версии защо е избрано такова обозначение "нищо". Някои историци са склонни да вярват, че това е омикрон, т.е. Първата буква на гръцката дума за нищо е ouden. Според друга версия думата „обол“ (монета с почти никаква стойност) даде живот на символа на нулата.

Нулата (или нула) като математически символ се появява за първи път сред индианците (обърнете внимание, че отрицателните числа започнаха да се „развиват“ там). Първото надеждно доказателство за записване на нула датира от 876 г. и в тях "" е компонент на числото.

Нулата също дойде в Европа със закъснение - едва през 1600 г. и също като отрицателните числа се сблъска със съпротива (какво да правиш, те са европейци).

„Нулата често е била мразена, страхувана или дори забранявана от незапомнени времена“, пише американският математик Чарлз Сейф. И така, турският султан Абдул-Хамид II в края на 19 век. нареди на цензорите си да изтрият водната формула H2O от всички учебници по химия, като взеха буквата „О“ за нула и не искаха инициалите му да бъдат оклеветени от близостта до презряната нула.

В интернет можете да намерите фразата: „Нулата е най-мощната сила във Вселената, тя може всичко! Нулата създава ред в математиката и също така внася хаос в нея. Абсолютно правилна точка :)

Обобщение на раздела и основни формули

Наборът от цели числа се състои от 3 части:

  • естествени числа (ще ги разгледаме по-подробно по-долу);
  • числа, противоположни на естествените;
  • нула - " "

Наборът от цели числа е обозначен буква Z.

1. Естествени числа

Естествените числа са числата, които използваме за броене на обекти.

Означава се множеството от естествени числа буква Н.

При операции с цели числа ще ви е необходима възможността за намиране на GCD и LCM.

Най-голям общ делител (GCD)

За да намерите NOD, ви трябва:

  1. Разлагайте числата на прости множители (на числа, които не могат да бъдат разделени с нищо друго освен със себе си или например с т.н.).
  2. Запишете факторите, които са част от двете числа.
  3. Умножете ги.

Най-малко общо кратно (LCM)

За да намерите NOC, ви трябва:

  1. Разложете числата на прости фактори (вече знаете как да направите това много добре).
  2. Напишете факторите, включени в разширяването на едно от числата (по-добре е да вземете най-дългата верига).
  3. Добавете към тях липсващите фактори от разширенията на останалите числа.
  4. Намерете произведението на получените фактори.

2. Отрицателни числа

Това са числа, които са противоположни на естествените числа, тоест:

Сега искам да чуя от теб...

Надявам се, че сте оценили суперполезните "трикове" на този раздел и сте разбрали как те ще ви помогнат на изпита.

И по-важното в живота. Не говоря за това, но повярвайте ми, този е такъв. Способността да се брои бързо и без грешки спасява в много житейски ситуации.

Сега е твой ред!

Пишете, ще използвате ли методите за групиране, критериите за делимост, GCD и LCM в изчисленията?

Може би сте ги използвали преди? Къде и как?

Може би имате въпроси. Или предложения.

Напишете в коментарите как ви харесва статията.

И успех с изпитите!

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете за удължаването на живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

  1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
  2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!



Секции