пирамида. Пресечена пирамида

пирамидасе нарича полиедър, едната от чиито лица е многоъгълник ( база ), а всички останали лица са триъгълници с общ връх ( странични лица ) (фиг. 15). Пирамидата се нарича правилно , ако основата му е правилен многоъгълник и върхът на пирамидата е проектиран в центъра на основата (фиг. 16). Нарича се триъгълна пирамида, в която всички ръбове са равни тетраедър .

Странично ребропирамида се нарича страната на страничната повърхност, която не принадлежи на основата Височина пирамидата е разстоянието от върха й до равнината на основата. Всички странични ръбове на правилната пирамида са равни една на друга, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници. Височината на страничната повърхност на правилна пирамида, изтеглена от върха, се нарича апотема . диагонално сечение Разрез на пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на една и съща повърхност.

Площ на страничната повърхностпирамида се нарича сбор от площите на всички странични лица. Пълна площ е сборът от площите на всички странични лица и основата.

Теореми

1. Ако в пирамидата всички странични ръбове са еднакво наклонени спрямо равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

2. Ако в пирамидата всички странични ръбове имат еднакви дължини, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на описаната окръжност близо до основата.

3. Ако в пирамидата всички лица са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът на пирамидата се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата.

За да се изчисли обемът на произволна пирамида, формулата е правилна:

където V- сила на звука;

S основно- основна площ;

Хе височината на пирамидата.

За обикновена пирамида следните формули са верни:

където стр- периметърът на основата;

з а- апотема;

Х- височина;

S пълен

S страна

S основно- основна площ;

Vе обемът на правилна пирамида.

пресечена пирамиданарича се частта от пирамидата, затворена между основата и сечещата равнина, успоредна на основата на пирамидата (фиг. 17). Правилна пресечена пирамида нарича се частта от правилна пирамида, затворена между основата и режещата равнина, успоредна на основата на пирамидата.

Основипресечена пирамида - подобни многоъгълници. Странични лица - трапец. Височина пресечена пирамида се нарича разстоянието между нейните основи. Диагонал Пресечена пирамида е сегмент, свързващ нейните върхове, които не лежат на едно лице. диагонално сечение Секция от пресечена пирамида се нарича равнина, минаваща през два странични ръба, които не принадлежат на една и съща повърхност.

За пресечена пирамида формулите са валидни:

(4)

където С 1 , С 2 - области на горната и долната основа;

S пълене общата повърхност;

S странае страничната повърхност;

Х- височина;

Vе обемът на пресечена пирамида.

За обикновена пресечена пирамида е вярна следната формула:

където стр 1 , стр 2 - периметри на основата;

з а- апотема на правилна пресечена пирамида.

Пример 1В правилна триъгълна пирамида двугранният ъгъл в основата е 60º. Намерете тангенса на ъгъла на наклон на страничния ръб към равнината на основата.

Решение.Нека направим чертеж (фиг. 18).

Пирамидата е правилна, което означава, че основата е равностранен триъгълник и всички странични страни са равни равнобедрени триъгълници. Двугранният ъгъл в основата е ъгълът на наклон на страничната повърхност на пирамидата спрямо равнината на основата. Линейният ъгъл ще бъде ъгълът амежду два перпендикуляра: т.е. Върхът на пирамидата е проектиран в центъра на триъгълника (центърът на описаната окръжност и вписаната окръжност в триъгълника ABC). Ъгълът на наклон на страничното ребро (напр SB) е ъгълът между самия ръб и неговата проекция върху основната равнина. За ребро SBтози ъгъл ще бъде ъгълът SBD. За да намерите допирателната, трябва да знаете краката ТАКАи OB. Нека дължината на сегмента BDе 3 а. точка Олинеен сегмент BDсе разделя на части: и От намираме ТАКА: От намираме:

Отговор:

Пример 2Намерете обема на правилна пресечена четириъгълна пирамида, ако диагоналите на основите й са cm и cm, а височината е 4 cm.

Решение.За да намерим обема на пресечена пирамида, използваме формула (4). За да намерите площите на основите, трябва да намерите страните на основните квадрати, като знаете техните диагонали. Страните на основите са съответно 2 см и 8 см. Това означава площите на основите и Замествайки всички данни във формулата, изчисляваме обема на пресечена пирамида:

Отговор: 112 см3.

Пример 3Намерете площта на страничната повърхност на правилна триъгълна пресечена пирамида, чиито страни на основите са 10 cm и 4 cm, а височината на пирамидата е 2 cm.

Решение.Нека направим чертеж (фиг. 19).

Страничната страна на тази пирамида е равнобедрен трапец. За да изчислите площта на трапец, трябва да знаете основите и височината. Основите са дадени по условие, само височината остава неизвестна. Намерете го от къде НО 1 Еперпендикулярно от точка НО 1 в равнината на долната основа, А 1 д- перпендикулярно от НО 1 на AC. НО 1 Е\u003d 2 см, тъй като това е височината на пирамидата. За намиране DEще направим допълнителен чертеж, в който ще изобразим изглед отгоре (фиг. 20). точка О- проекция на центровете на горната и долната основа. тъй като (виж фиг. 20) и От друга страна Добрее радиусът на вписаната окръжност и ОМе радиусът на вписаната окръжност:

MK=DE.

Според питагоровата теорема от

Странична лицева област:

Отговор:

Пример 4В основата на пирамидата лежи равнобедрен трапец, чиито основи аи б (а> б). Всяка странична повърхност образува ъгъл, равен на равнината на основата на пирамидата j. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.Нека направим чертеж (фиг. 21). Обща площ на пирамидата SABCDе равно на сбора от площите и площта на трапеца ABCD.

Нека използваме твърдението, че ако всички лица на пирамидата са еднакво наклонени към равнината на основата, тогава върхът се проектира в центъра на окръжността, вписана в основата. точка О- проекция на върха Св основата на пирамидата. триъгълник СОДе ортогоналната проекция на триъгълника CSDкъм базовата равнина. Съгласно теоремата за площта на ортогоналната проекция на плоска фигура получаваме:

По същия начин това означава Така проблемът се свежда до намиране на площта на трапеца ABCD. Начертайте трапец ABCDотделно (фиг. 22). точка Ое центърът на окръжност, вписана в трапец.

Тъй като окръжността може да бъде вписана в трапец, тогава или По теоремата на Питагор имаме

В този урок ще разгледаме пресечена пирамида, ще се запознаем с правилната пресечена пирамида и ще изучим техните свойства.

Нека си припомним концепцията за n-ъгълна пирамида, използвайки примера на триъгълна пирамида. Даден е триъгълник ABC. Извън равнината на триъгълника се взема точка P, свързана с върховете на триъгълника. Получената полиедрична повърхност се нарича пирамида (фиг. 1).

Ориз. 1. Триъгълна пирамида

Нека отрежем пирамидата с равнина, успоредна на равнината на основата на пирамидата. Фигурата, получена между тези равнини, се нарича пресечена пирамида (фиг. 2).

Ориз. 2. Пресечена пирамида

Основни елементи:

Горна основа;

Долна база ABC;

Странично лице;

Ако PH е височината на оригиналната пирамида, тогава е височината на пресечената пирамида.

Свойствата на пресечена пирамида произтичат от метода на нейното изграждане, а именно от паралелизма на равнините на основите:

Всички странични лица на пресечена пирамида са трапецоиди. Помислете например за лице. Той има свойството на успоредни равнини (тъй като равнините са успоредни, те режат страничната повърхност на оригиналната пирамида ABP по успоредни линии), в същото време те не са успоредни. Очевидно четириъгълникът е трапец, както всички странични лица на пресечена пирамида.

Съотношението на основите е еднакво за всички трапеци:

Имаме няколко двойки подобни триъгълници със същия коефициент на подобие. Например, триъгълниците и RAB са сходни поради паралелизма на равнините и , коефициента на подобие:

В същото време триъгълниците и RCS са подобни с коефициент на подобие:

Очевидно коефициентите на подобие и за трите двойки подобни триъгълници са равни, така че съотношението на основите е еднакво за всички трапеци.

Правилна пресечена пирамида е пресечена пирамида, получена чрез разрязване на правилна пирамида с равнина, успоредна на основата (фиг. 3).

Ориз. 3. Правилна пресечена пирамида

Определение.

Правилна пирамида се нарича пирамида, в основата на която лежи правилен n-ъгълник, а върхът е проектиран в центъра на този n-ъгъл (центърът на вписаната и описана окръжност).

В този случай квадратът лежи в основата на пирамидата, а върхът се проектира до точката на пресичане на неговите диагонали. Получената правилна четириъгълна пресечена пирамида има ABCD - долната основа, - горната основа. Височината на оригиналната пирамида - RO, пресечена пирамида - (фиг. 4).

Ориз. 4. Правилна четириъгълна пресечена пирамида

Определение.

Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на втората основа.

Апотемата на оригиналната пирамида е RM (M е средата на AB), апотемата на пресечената пирамида е (фиг. 4).

Определение.

Апотемата на пресечена пирамида е височината на всяка странична повърхност.

Ясно е, че всички странични ръбове на пресечената пирамида са равни една на друга, тоест страничните повърхности са равни равнобедрени трапеци.

Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида е равна на произведението на половината от сбора на периметрите на основите и апотема.

Доказателство (за правилна четириъгълна пресечена пирамида - фиг. 4):

И така, трябва да докажем:

Площта на страничната повърхност тук ще се състои от сбора от площите на страничните повърхности - трапеци. Тъй като трапецоидите са еднакви, имаме:

Площта на равнобедрен трапец е произведението на половината от сбора на основите и височината, апотемата е височината на трапеца. Ние имаме:

Q.E.D.

За n-ъгълна пирамида:

Където n е броят на страничните лица на пирамидата, a и b са основите на трапеца, е апотемът.

Страни на основата на правилна пресечена четириъгълна пирамида са равни на 3 см и 9 см, височина - 4 см. Намерете площта на страничната повърхност.

Ориз. 5. Илюстрация за проблем 1

Решение. Нека илюстрираме условието:

Като се има предвид: , ,

Начертайте права линия MN през точка O, успоредна на двете страни на долната основа, по същия начин начертайте права линия през точката (фиг. 6). Тъй като квадратите и конструкциите са успоредни в основите на пресечената пирамида, получаваме трапец, равен на страничните повърхности. Освен това страничната му страна ще преминава през средата на горния и долния ръб на страничните повърхности и ще бъде олицетворение на пресечена пирамида.

Ориз. 6. Допълнителни конструкции

Помислете за получения трапец (фиг. 6). В този трапец са известни горната основа, долната основа и височината. Необходимо е да се намери страничната страна, която е апотема на дадената пресечена пирамида. Начертайте перпендикулярно на MN. Нека пуснем перпендикуляра NQ от точката. Получаваме, че по-голямата основа е разделена на сегменти от три сантиметра (). Помислете за правоъгълен триъгълник, краката в него са известни, това е египетски триъгълник, по теоремата на Питагор определяме дължината на хипотенузата: 5 cm.

Сега има всички елементи за определяне на площта на страничната повърхност на пирамидата:

Пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата. Като използвате примера на триъгълна пирамида, докажете, че страничните ръбове и височината на пирамидата са разделени от тази равнина на пропорционални части.

Доказателство. Нека илюстрираме:

Ориз. 7. Илюстрация за проблем 2

Дадена е пирамидата RABC. RO е височината на пирамидата. Пирамидата се разчленява от равнина, освен това се получава пресечена пирамида. Точка - точката на пресичане на височината на RO с равнината на основата на пресечена пирамида. Необходимо е да се докаже:

Ключът към решението е свойството на успоредните равнини. Две успоредни равнини пресичат всяка трета равнина, така че пресечните линии да са успоредни. Оттук: . Паралелизмът на съответните линии предполага наличието на четири двойки подобни триъгълници:

От сходството на триъгълниците следва пропорционалността на съответните страни. Важна характеристика е, че коефициентите на подобие за тези триъгълници са еднакви:

Q.E.D.

Правилна триъгълна пирамида RABC с височина и страна на основата се разчленява от равнина, минаваща през средата на височината PH, успоредна на основата на ABC. Намерете площта на страничната повърхност на получената пресечена пирамида.

Решение. Нека илюстрираме:

Ориз. 8. Илюстрация за проблем 3

DIA е правилен триъгълник, H е центърът на този триъгълник (центърът на вписаната и описаната окръжност). RM е апотема на дадената пирамида. - апотема на пресечена пирамида. Според свойството на успоредни равнини (две успоредни равнини режат всяка трета равнина, така че линиите на пресичане да са успоредни), имаме няколко двойки подобни триъгълници с еднакъв коефициент на подобие. По-специално, ние се интересуваме от връзката:

Да намерим NM. Това е радиусът на окръжност, вписана в основата, знаем съответната формула:

Сега, от правоъгълния триъгълник РНМ, по Питагоровата теорема, намираме РМ - апотема на оригиналната пирамида:

От първоначалното съотношение:

Сега знаем всички елементи за намиране на страничната повърхност на пресечена пирамида:

И така, ние се запознахме с понятията за пресечена пирамида и правилна пресечена пирамида, дадохме основни дефиниции, разгледахме свойствата и доказахме теоремата за страничната повърхност. Следващият урок ще се фокусира върху решаването на проблеми.

Библиография

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то изд., преп. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Шаригин И. Ф. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователни институции / Шаригин И. Ф. - М .: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователни институции със задълбочено и профилно изучаване на математика / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 2008. - 233 с.: ил.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Домашна работа

Този урок ще ви помогне да получите представа за темата „Пирамида. Правилна и пресечена пирамида. В този урок ще се запознаем с концепцията за правилна пирамида, ще й дадем определение. След това доказваме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида и теоремата за страничната повърхност на правилната пресечена пирамида.

Тема: Пирамида

Урок: Правилни и пресечени пирамиди

определение:правилна n-ъгълна пирамида е пирамида, чиято основа е правилен n-ъгълник, а височината е проектирана в центъра на този n-ъгъл (фиг. 1).

Ориз. един

Правилна триъгълна пирамида

За начало разгледайте ∆ABC (фиг. 2), в която AB=BC=CA (тоест правилен триъгълник лежи в основата на пирамидата). В правилния триъгълник центърът на вписаната и описаната окръжност съвпадат и са център на самия триъгълник. В този случай центърът се намира, както следва: намираме средата на AB - C 1, начертаваме отсечката SS 1, което е медиана, ъглополовяща и височина; по подобен начин намираме средната точка AC-B 1 и начертаваме отсечката BB 1 . Пресечната точка на BB 1 и CC 1 ще бъде точка O, която е центърът на ∆ABC.

Ако свържем центъра на триъгълника O с върха на пирамидата S, тогава получаваме височината на пирамидата SO ⊥ ABC, SO = h.

Свързвайки точка S с точки A, B и C, получаваме страничните ръбове на пирамидата.

Получихме правилна триъгълна пирамида SABC (фиг. 2).

- Това е полиедър, който се образува от основата на пирамидата и успоредно на нея сечение. Можем да кажем, че пресечена пирамида е пирамида с отрязан връх. Тази фигура има много уникални свойства:

• Страничните лица на пирамидата са трапецоиди;
• Страничните ребра на правилната пресечена пирамида са с еднаква дължина и са наклонени към основата под същия ъгъл;
• Основите са подобни многоъгълници;
• В правилна пресечена пирамида лицата са идентични равнобедрени трапеци, чиято площ е равна. Те също са наклонени към основата под един ъгъл.

Формулата за площта на страничната повърхност на пресечена пирамида е сумата от площите на нейните страни:

Тъй като страните на пресечена пирамида са трапецоиди, ще трябва да използвате формулата, за да изчислите параметрите трапецовидна област. За обикновена пресечена пирамида може да се приложи друга формула за изчисляване на площта. Тъй като всичките му страни, лица и ъгли в основата са равни, е възможно да се прилагат периметрите на основата и апотема, както и да се изведе площта чрез ъгъла в основата.

Ако според условията в правилна пресечена пирамида са дадени апотемата (височина на страната) и дължините на страните на основата, тогава площта може да се изчисли чрез полупроизведението на сумата от периметрите на основите и апотемата:

Нека да разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност на пресечена пирамида.
Дадена е правилна петоъгълна пирамида. апотема л\u003d 5 см, дължината на лицето в голямата основа е а\u003d 6 см, а лицето е в по-малката основа б\u003d 4 см. Изчислете площта на пресечената пирамида.

Първо, нека намерим периметрите на основите. Тъй като ни е дадена петоъгълна пирамида, разбираме, че основите са петоъгълници. Това означава, че основите са фигура с пет еднакви страни. Намерете периметъра на по-голямата основа:

По същия начин намираме периметъра на по-малката основа:

Сега можем да изчислим площта на обикновена пресечена пирамида. Заместваме данните във формулата:

Така изчислихме площта на правилна пресечена пирамида през периметрите и апотема.

Друг начин за изчисляване на страничната повърхност на обикновена пирамида е формулата през ъглите в основата и площта на самите тези основи.

Нека разгледаме примерно изчисление. Не забравяйте, че тази формула се прилага само за обикновена пресечена пирамида.

Нека е дадена правилна четириъгълна пирамида. Лицето на долната основа е a = 6 см, а лицето на горната b = 4 см. Двугранният ъгъл при основата е β = 60°. Намерете страничната повърхност на правилна пресечена пирамида.

Първо, нека изчислим площта на основите. Тъй като пирамидата е правилна, всички лица на основите са равни една на друга. Като се има предвид, че основата е четириъгълник, разбираме, че ще е необходимо да се изчисли квадратна площ. Това е произведението на ширината и дължината, но на квадрат, тези стойности са еднакви. Намерете площта на по-голямата основа:


Сега използваме намерените стойности, за да изчислим страничната повърхност.

Познавайки няколко прости формули, лесно изчислихме площта на страничния трапец на пресечена пирамида чрез различни стойности.

В този урок ще разгледаме пресечена пирамида, ще се запознаем с правилната пресечена пирамида и ще изучим техните свойства.

Нека си припомним концепцията за n-ъгълна пирамида, използвайки примера на триъгълна пирамида. Даден е триъгълник ABC. Извън равнината на триъгълника се взема точка P, свързана с върховете на триъгълника. Получената полиедрична повърхност се нарича пирамида (фиг. 1).

Ориз. 1. Триъгълна пирамида

Нека отрежем пирамидата с равнина, успоредна на равнината на основата на пирамидата. Фигурата, получена между тези равнини, се нарича пресечена пирамида (фиг. 2).

Ориз. 2. Пресечена пирамида

Основни елементи:

Горна основа;

Долна база ABC;

Странично лице;

Ако PH е височината на оригиналната пирамида, тогава е височината на пресечената пирамида.

Свойствата на пресечена пирамида произтичат от метода на нейното изграждане, а именно от паралелизма на равнините на основите:

Всички странични лица на пресечена пирамида са трапецоиди. Помислете например за лице. Той има свойството на успоредни равнини (тъй като равнините са успоредни, те режат страничната повърхност на оригиналната пирамида ABP по успоредни линии), в същото време те не са успоредни. Очевидно четириъгълникът е трапец, както всички странични лица на пресечена пирамида.

Съотношението на основите е еднакво за всички трапеци:

Имаме няколко двойки подобни триъгълници със същия коефициент на подобие. Например, триъгълниците и RAB са сходни поради паралелизма на равнините и , коефициента на подобие:

В същото време триъгълниците и RCS са подобни с коефициент на подобие:

Очевидно коефициентите на подобие и за трите двойки подобни триъгълници са равни, така че съотношението на основите е еднакво за всички трапеци.

Правилна пресечена пирамида е пресечена пирамида, получена чрез разрязване на правилна пирамида с равнина, успоредна на основата (фиг. 3).

Ориз. 3. Правилна пресечена пирамида

Определение.

Правилна пирамида се нарича пирамида, в основата на която лежи правилен n-ъгълник, а върхът е проектиран в центъра на този n-ъгъл (центърът на вписаната и описана окръжност).

В този случай квадратът лежи в основата на пирамидата, а върхът се проектира до точката на пресичане на неговите диагонали. Получената правилна четириъгълна пресечена пирамида има ABCD - долната основа, - горната основа. Височината на оригиналната пирамида - RO, пресечена пирамида - (фиг. 4).

Ориз. 4. Правилна четириъгълна пресечена пирамида

Определение.

Височината на пресечена пирамида е перпендикуляр, изтеглен от всяка точка на една основа към равнината на втората основа.

Апотемата на оригиналната пирамида е RM (M е средата на AB), апотемата на пресечената пирамида е (фиг. 4).

Определение.

Апотемата на пресечена пирамида е височината на всяка странична повърхност.

Ясно е, че всички странични ръбове на пресечената пирамида са равни една на друга, тоест страничните повърхности са равни равнобедрени трапеци.

Площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида е равна на произведението на половината от сбора на периметрите на основите и апотема.

Доказателство (за правилна четириъгълна пресечена пирамида - фиг. 4):

И така, трябва да докажем:

Площта на страничната повърхност тук ще се състои от сбора от площите на страничните повърхности - трапеци. Тъй като трапецоидите са еднакви, имаме:

Площта на равнобедрен трапец е произведението на половината от сбора на основите и височината, апотемата е височината на трапеца. Ние имаме:

Q.E.D.

За n-ъгълна пирамида:

Където n е броят на страничните лица на пирамидата, a и b са основите на трапеца, е апотемът.

Страни на основата на правилна пресечена четириъгълна пирамида са равни на 3 см и 9 см, височина - 4 см. Намерете площта на страничната повърхност.

Ориз. 5. Илюстрация за проблем 1

Решение. Нека илюстрираме условието:

Като се има предвид: , ,

Начертайте права линия MN през точка O, успоредна на двете страни на долната основа, по същия начин начертайте права линия през точката (фиг. 6). Тъй като квадратите и конструкциите са успоредни в основите на пресечената пирамида, получаваме трапец, равен на страничните повърхности. Освен това страничната му страна ще преминава през средата на горния и долния ръб на страничните повърхности и ще бъде олицетворение на пресечена пирамида.

Ориз. 6. Допълнителни конструкции

Помислете за получения трапец (фиг. 6). В този трапец са известни горната основа, долната основа и височината. Необходимо е да се намери страничната страна, която е апотема на дадената пресечена пирамида. Начертайте перпендикулярно на MN. Нека пуснем перпендикуляра NQ от точката. Получаваме, че по-голямата основа е разделена на сегменти от три сантиметра (). Помислете за правоъгълен триъгълник, краката в него са известни, това е египетски триъгълник, по теоремата на Питагор определяме дължината на хипотенузата: 5 cm.

Сега има всички елементи за определяне на площта на страничната повърхност на пирамидата:

Пирамидата се пресича от равнина, успоредна на основата. Като използвате примера на триъгълна пирамида, докажете, че страничните ръбове и височината на пирамидата са разделени от тази равнина на пропорционални части.

Доказателство. Нека илюстрираме:

Ориз. 7. Илюстрация за проблем 2

Дадена е пирамидата RABC. RO е височината на пирамидата. Пирамидата се разчленява от равнина, освен това се получава пресечена пирамида. Точка - точката на пресичане на височината на RO с равнината на основата на пресечена пирамида. Необходимо е да се докаже:

Ключът към решението е свойството на успоредните равнини. Две успоредни равнини пресичат всяка трета равнина, така че пресечните линии да са успоредни. Оттук: . Паралелизмът на съответните линии предполага наличието на четири двойки подобни триъгълници:

От сходството на триъгълниците следва пропорционалността на съответните страни. Важна характеристика е, че коефициентите на подобие за тези триъгълници са еднакви:

Q.E.D.

Правилна триъгълна пирамида RABC с височина и страна на основата се разчленява от равнина, минаваща през средата на височината PH, успоредна на основата на ABC. Намерете площта на страничната повърхност на получената пресечена пирамида.

Решение. Нека илюстрираме:

Ориз. 8. Илюстрация за проблем 3

DIA е правилен триъгълник, H е центърът на този триъгълник (центърът на вписаната и описаната окръжност). RM е апотема на дадената пирамида. - апотема на пресечена пирамида. Според свойството на успоредни равнини (две успоредни равнини режат всяка трета равнина, така че линиите на пресичане да са успоредни), имаме няколко двойки подобни триъгълници с еднакъв коефициент на подобие. По-специално, ние се интересуваме от връзката:

Да намерим NM. Това е радиусът на окръжност, вписана в основата, знаем съответната формула:

Сега, от правоъгълния триъгълник РНМ, по Питагоровата теорема, намираме РМ - апотема на оригиналната пирамида:

От първоначалното съотношение:

Сега знаем всички елементи за намиране на страничната повърхност на пресечена пирамида:

И така, ние се запознахме с понятията за пресечена пирамида и правилна пресечена пирамида, дадохме основни дефиниции, разгледахме свойствата и доказахме теоремата за страничната повърхност. Следващият урок ще се фокусира върху решаването на проблеми.

Библиография

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. Геометрия. 10-11 клас: учебник за ученици от образователни институции (основни и профилни нива) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-то изд., преп. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Шаригин И. Ф. Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователни институции / Шаригин И. Ф. - М .: Дропла, 1999. - 208 с.: ил.
3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователни институции със задълбочено и профилно изучаване на математика / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 2008. - 233 с.: ил.

1. Uztest.ru ().
2. Fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Домашна работа