Прав кръгъл конус. Конус като геометрична фигура

Да разгледаме всяка права l (крива или прекъсната линия), лежаща в определена равнина (фиг. 386, a, b), и произволна точка M, която не лежи в тази равнина. Всички възможни прави линии, свързващи точка M с всички точки на правата, образуват повърхност a; такава повърхност се нарича конична повърхнина, точка е връх, права се нарича направляваща, правите са генератори. На фиг. 386 не ограничаваме повърхността до нейния връх, а си я представяме да се простира неограничено от двете страни на върха.

Ако коничната повърхност се отреже от някаква равнина, успоредна на равнината на водача, тогава в сечението получаваме линия (крива или прекъсната линия, в зависимост от това дали е била крива или прекъсната линия), хомотетична на правата l, с хомотетния център в горната част на коничната повърхност. Всъщност съотношението на всички съответни линейни сегменти ще бъде постоянно:

И така, участъци от конична повърхност от равнини, успоредни на равнината на водача, са сходни и сходно разположени, като центърът на подобието е в горната част на коничната повърхност; същото важи и за всички успоредни равнини, които не минават през повърхностен връх.

Сега нека водачът е затворена изпъкнала линия (крива на фиг. 387, а, прекъсната линия на фиг. 387, б). Тяло, ограничено странично от конична повърхност, взета между върха и равнината на водача, и плоска основа в равнината на водача, се нарича конус (ако е крива линия) или пирамида (ако е прекъсната линия).

Пирамидите се класифицират според броя на страните на многоъгълника, който лежи в основата им. Те говорят за триъгълни, четириъгълни и най-общо ъглови пирамиди. Обърнете внимание, че -въглищната пирамида има лице: странични лица и основа. В горната част на пирамидата имаме -хедрален ъгъл с плоски и двугранни ъгли.

Те се наричат ​​съответно плоски върхови ъгли и двугранни ъгли при страничните ръбове. В върховете на основата имаме тристранни ъгли; техните плоски ъгли, образувани от страните, ръбовете и страните на основата, се наричат ​​плоски ъгли в основата, двугранните ъгли между страничните повърхности и равнината на основата се наричат ​​двугранни ъгли в основата.

Триъгълната пирамида иначе се нарича тетраедър (тоест тетраедър). Всяко негово лице може да се вземе за основа.

Пирамида се нарича правилна, ако са изпълнени две условия: 1) правилен многоъгълник лежи в основата на пирамидата,

2) височината, спусната от върха на пирамидата до основата, я пресича в центъра на този многоъгълник (с други думи, върхът на пирамидата се проектира в центъра на основата).

Обърнете внимание, че правилната пирамида не е, най-общо казано, правилен полиедър!

Отбелязваме някои свойства на обикновена пирамида с въглища. Нека начертаем височината SO през върха на такава пирамида (фиг. 388).

Нека завъртим цялата пирамида като цяло около тази височина на ъгъл При такова завъртане основният многоъгълник ще се превърне в себе си: всеки негов върх ще заеме позицията на съседния. Върхът на пирамидата и нейната височина (ос на въртене!) ще останат на мястото си и следователно пирамидата като цяло ще се комбинира със себе си: всеки страничен ръб ще отиде до следващия, всяка странична повърхност ще бъде комбинирана с следващият, всеки двустранен ъгъл на страничния ръб също ще бъде комбиниран със следващия.

Оттук следва изводът: всички странични ръбове са равни помежду си, всички странични лица са равни равнобедрени триъгълници, всички двугранни ъгли в основата са равни, всички плоски ъгли в горната част са равни, всички плоски ъгли в основата са равни.

От броя на конусите в хода на елементарната геометрия изучаваме десен кръгъл конус, тоест конус, чиято основа е кръг и чийто връх е проектиран в центъра на тази окръжност.

Прав кръгъл конус е показан на фиг. 389. Ако изведем височина SO през върха на конус и завъртим конуса около тази височина на произволен ъгъл, тогава обиколката на основата ще се плъзне сама; височината и върхът ще останат на мястото си, така че когато се завърти под произволен ъгъл, конусът ще се изравни със себе си. От това може да се види по-специално, че всички генератори на конуса са равни един на друг и са еднакво наклонени към равнината на основата. Сеченията на конуса от равнини, минаващи през неговата височина, ще бъдат равнобедрени триъгълници, равни един на друг. Целият конус се получава чрез завъртане на правоъгълния триъгълник SOA около неговия крак (който става височината на конуса). Следователно десният кръгов конус е тяло на въртене и се нарича още конус на въртене. Освен ако не е посочено друго, за краткост по-нататък ще кажем просто "конус", което означава конус на революция.

Сеченията на конус от равнини, успоредни на равнината на основата му, са окръжности (макар и само защото са хомотетични на окръжността на основата).

Задача. Двугранните ъгли в основата на правилна триъгълна пирамида са a. Намерете двугранните ъгли при страничните ръбове.

Решение. Нека временно обозначим страната на основата на пирамидата като a. Нека начертаем сечение на пирамидата от равнина, съдържаща нейната височина SO и медиана на основата AM (фиг. 390).

В сечението на конична повърхност с равнина се получават криви от втори ред - окръжност, елипса, парабола и хипербола. В честия случай на определено място на секачната равнина и когато тя преминава през върха на конуса (S∈γ), окръжността и елипсата се израждат в точка или един или два генератора на конуса попадат в сечението.

Дава - окръжност, когато секащата равнина е перпендикулярна на оста й и пресича всички генериращи повърхности.

Дава - елипса, когато режещата равнина не е перпендикулярна на оста си и пресича всички генериращи повърхности.

Нека построим елипсовидна ω самолет α , което заема общо положение.

Решаването на проблема на сечение на десен кръгов конусравнината е значително опростена, ако режещата равнина заема прожектиращата позиция.

Използвайки метода за промяна на проекционните равнини, ние превеждаме равнината α от обща позиция към конкретна - фронтално изпъкнала. На равнината на фронталната проекция V 1построете следа от равнината α и проекцията на повърхността на конуса ω равнината дава елипса, тъй като режещата равнина пресича всички генератори на конуса. Елипсата се проектира върху проекционните равнини като крива от втори ред.
По следите на самолета α Vвземете произволна точка 3" измерете разстоянието му от проекционната равнина Хи го отложете по комуникационната линия, която вече е в самолета V 1, получаване на точка 3" 1 . През него ще мине следа αV 1. Линия на сечение на конуса ω - точки А" 1, Е" 1съвпада тук със следата на самолета. След това конструираме спомагателна секуща равнина γ3, като чертаем върху челната равнина на проекциите V 1нейния отпечатък γ 3V 1. Помощна равнина, пресичаща се с конична повърхност ω ще даде окръжност и пресичаща се с равнина α ще даде хоризонтална линия h3. На свой ред линията, пресичаща се с окръжността, дава желаните точки C`и K`пресичане на равнината α с конична повърхност ω . Фронтални проекции на желаните точки C" и K"конструирайте като точки, принадлежащи на сечещата равнина α .

За да намерите точка E(E`, E")линии на сечение, начертаваме хоризонтално издадена равнина през горната част на конуса γ 2 H, която пресича равнината α в права линия 1-2(1`-2`, 1"-2") . пресичане 1"-2" с линия на комуникация дава точка E"- най-високата точка на секционната линия.

За да намерим точката, указваща границите на видимост на челната проекция на линията на сечението, начертаваме хоризонтално издадена равнина през горната част на конуса γ 5 Hи намерете хоризонталната проекция F`желаната точка. Също и самолет γ 5 Hще пресече самолета α челен f(f`, f"). пресичане е"с линия на комуникация дава точка е". Свързваме точките на гладката крива, получена върху хоризонталната проекция, като маркираме най-лявата точка G върху нея - една от характерните точки на пресечната линия.
След това изграждаме проекциите G върху челните равнини на проекциите V1 и V. Свързваме всички конструирани точки от линията на сечението върху челната равнина на проекциите V с плавна линия.

Дава - парабола, когато секащата равнина е успоредна на едната образуваща на конуса.

Когато се конструират проекции на криви - конични сечения, е необходимо да се помни теоремата: ортогоналната проекция на равнинно сечение на конус на въртене върху равнина, перпендикулярна на неговата ос, е крива от втори ред и има един от фокусите си ортогонален проекция върху тази равнина на върха на конуса.

Помислете за изграждането на проекции на сечение, когато сече равнината α успоредно на една образуваща на конуса (SD).

Напречното сечение е парабола с връх в точката A(A`, A"). Според теоремата върхът на конуса Спроектирани във фокус S`. Според известните =R S`определете положението на директрисата на параболата. Впоследствие точките на кривата се конструират според уравнението p=R.

Изграждане на издатини на сечение при режеща равнина α успоредно на една образуваща на конуса, може да се извърши:

С помощта на спомагателни хоризонтално издаващи се равнини, минаващи през горната част на конуса γ 1 Hи γ 2 H.

Първо се определят фронталните проекции на точките F,G"- на пресечната точка на генераторите S"1", S"2"и следа от сечещата равнина α V. На пресечната точка на комуникационните линии с γ 1 Hи γ 2 Hопределени F', G'.

Други точки от линията на сечението могат да бъдат дефинирани по подобен начин, например D", E"и D', E'.

С помощта на спомагателни предно прожектиращи равнини ⊥ на оста на конуса γ 3 Vи γ 4 V.

Проекции на сечението на спомагателните равнини и конуса върху равнината Х, ще има кръгове. Линии на пресичане на спомагателни равнини с режеща равнина α ще има фронтално изпъкнали прави линии.

Дава - хипербола, когато секащата равнина е успоредна на двата генератора на конуса.

Назад напред

Внимание! Предварителният преглед на слайда е само за информационни цели и може да не представлява пълния обхват на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Цели на урока:

• образователен: запознаване с понятието конус, неговите елементи; помислете за изграждането на десен конус; помислете за намиране на пълната повърхност на конуса; за формиране на умение за решаване на задачи за намиране на елементите на конуса.
• Образователни: развиват компетентна математическа реч, логическо мислене.
• Образователни: култивиране на познавателна активност, култура на общуване, култура на диалог.

Форма на урока:урок за формиране на нови знания и умения.

Форма на образователна дейност:колективна форма на работа.

Използвани методи в урока:обяснителен и илюстративен, продуктивен.

Дидактически материал:тетрадка, учебник, химикал, молив, линийка, черна дъска, тебешир и пастели, проектор и презентация „Конус. Основни понятия. Площ на повърхността на конус.

План на урока:

1. Организационен момент (1 мин.).
2. Подготвителен етап (мотивация) (5 мин.).
3. Изучаване на нов материал (15 минути).
4. Решаване на задачи за намиране на елементи от конус (15 мин.).
5. Обобщаване на урока (2 мин.).
6. Домашна работа (2 мин.).

ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ

1. Организационен момент

Цел: подготовка за усвояване на нов материал.

2. Подготвителен етап

Форма: устна работа.

Цел: въведение в ново тяло на революцията.

Шишарка на гръцки "konos" означава "борова шишарка".

Има тела под формата на конус. Могат да се видят в различни предмети, от обикновен сладолед до уреди, както и в детски играчки (пирамида, крекер и др.), в природата (смърч, планини, вулкани, торнадо).

(Използват се слайдове 1-7)

Учителска дейност	Студентски дейности
3. Обяснение на нов материал Цел: запознаване с нови понятия и свойства на конус.
1. Конус може да се получи чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около един от неговите крака. (Слайд 8) Сега помислете как е изграден конусът. Първо начертаваме кръг с център O и права линия OP, перпендикулярна на равнината на тази окръжност. Свързваме всяка точка от окръжността със сегмент с точка P (учителят изгражда конус на етапи). Повърхността, образувана от тези сегменти, се нарича конична повърхност, и самите сегменти образувайки конична повърхност.	В тетрадки се вгражда конус.
(диктува определението) (Слайд 9) Тяло, ограничено от конична повърхност и окръжност с граница L, се нарича конус.	Запишете определението.
Коничната повърхност се нарича страничната повърхност на конуса, и кръгът конусна основа. Линията OP, минаваща през центъра на основата и върха, се нарича конус ос. Оста на конуса е перпендикулярна на равнината на основата. Сегментът OP се извиква височина на конуса. Точка P се нарича горната част на конуса, а генераторите на коничната повърхност са образуване на конус.	Елементите на конуса са подписани на чертежа.
Кои са двата генератора на конуса и ги сравнете?	PA и PB, те са равни.
Защо генераторите са равни?	Проекциите на наклонените са равни като радиусите на окръжност, което означава, че самите генератори са равни.
Запишете в бележника си: свойствата на конуса:	(Слайд 10)
1. Всички генератори на конус са равни. Какви са ъглите на наклон на генераторите към основата? Сравнете ги. Защо, докажи го?	Ъгли: PCO, PDO. Те са равни. Тъй като триъгълникът PAB е равнобедрен.
2. Ъглите на наклон на генераторите към основата са равни. Какви са ъглите между оста и генераторите? Какво може да се каже за тези ъгли?	SRO и DPO Те са равни.
3. Ъглите между оста и генераторите са равни. Какви са ъглите между оста и основата? Какви са тези ъгли?	POC и POD. 90 около
4. Ъглите между оста и основата са прави. Ще разгледаме само прав конус.
2. Разгледайте сечение на конус от различни равнини. Каква е секачната равнина, минаваща през оста на конуса?	триъгълник.
Какъв е този триъгълник?	Той е равностранен.
Защо?	Двете му страни са генератори и са равни.
Каква е основата на този триъгълник?	Диаметър на основата на конуса.
Такъв участък се нарича аксиален. (Слайд 11) Начертайте в тетрадки и подпишете този раздел. Каква е равнината на сечение, перпендикулярна на оста OP на конуса?	Кръг.
Къде е центърът на този кръг?	по оста на конуса.
Тази секция се нарича кръгла секция (Sdile 12) Начертайте в тетрадки и подпишете този раздел. Има и други видове конусни секции, които не са аксиални и не са успоредни на основата на конуса. Нека ги разгледаме с примери. (Слайд 13)	Рисуват в тетрадки.
3. Сега извеждаме формулата за общата повърхност на конуса. (Слайд 14) За да направите това, страничната повърхност на конуса, както и страничната повърхност на цилиндъра, могат да бъдат превърнати в равнина, като се изреже по протежение на един от генераторите.
Какво е развитието на страничната повърхност на конуса? (рисува на дъската)	кръгов сектор.
Какъв е радиусът на този сектор?	Генератор на конус.
Какво ще кажете за дължината на дъгата на сектора?	Обиколка.
Площта на неговото развитие се приема като площ на страничната повърхност на конуса. (Слайд 15)	, където е градусната мярка на дъгата.
Каква е площта на кръговия сектор?
И така, каква е площта на страничната повърхност на конуса? Изразете чрез и . (Слайд 16) Каква е дължината на дъгата?
От друга страна, същата тази дъга е обиколката на основата на конуса. На какво е равно?
Замествайки във формулата за страничната повърхност на конуса, получаваме, . Общата повърхност на конуса е сумата от площите на страничната повърхност и основата. . Запишете тези формули.	Записвам: .

Конус (от гръцки "konos")- Борова шишарка. Конусът е познат на хората от древни времена. През 1906 г. е открита книгата "За метода", написана от Архимед (287-212 г. пр. н. е.), в тази книга е дадено решение на проблема за обема на общата част на пресичащите се цилиндри. Архимед казва, че това откритие принадлежи на древногръцкия философ Демокрит (470-380 г. пр. н. е.), който, използвайки този принцип, получава формули за изчисляване на обема на пирамида и конус.

Конус (кръг конус) - тяло, което се състои от окръжност - основата на конуса, точка, която не принадлежи на равнината на тази окръжност - върха на конуса и всички сегменти, свързващи върха на конуса и основата кръгови точки. Сегментите, които свързват върха на конуса с точките на окръжността на основата, се наричат ​​генератори на конуса. Повърхността на конуса се състои от основа и странична повърхност.

Конусът се нарича прав, ако линията, която свързва върха на конуса с центъра на основата, е перпендикулярна на равнината на основата. Десен кръгов конус може да се разглежда като тяло, получено чрез завъртане на правоъгълен триъгълник около крака му като ос.

Височината на конуса е перпендикулярът, изтеглен от върха му към равнината на основата му. За десен конус основата на височината съвпада с центъра на основата. Оста на десния конус е права линия, съдържаща неговата височина.

Сечението на конус от равнина, минаваща през образуващата на конуса и перпендикулярна на аксиалното сечение, изтеглено през тази образуваща, се нарича допирателна равнина на конуса.

Равнина, перпендикулярна на оста на конуса, пресича конуса в окръжност, а страничната повърхност в окръжност, центрирана върху оста на конуса.

Равнина, перпендикулярна на оста на конуса, отрязва по-малък конус от него. Останалото се нарича пресечен конус.

Обемът на конуса е равен на една трета от произведението на височината и площта на основата. По този начин всички конуси, почиващи върху дадена основа и имащи връх, разположен в дадена равнина, успоредна на основата, имат еднакъв обем, тъй като височините им са равни.

Площта на страничната повърхност на конуса може да се намери по формулата:

S страна \u003d πRl,

Общата повърхност на конуса се намира по формулата:

S con \u003d πRl + πR 2,

където R е радиусът на основата, l е дължината на образуващата.

Обемът на кръгов конус е

V = 1/3 πR 2 H,

където R е радиусът на основата, H е височината на конуса

Площта на страничната повърхност на пресечен конус може да се намери по формулата:

S страна = π(R + r)l,

Общата повърхност на пресечен конус може да се намери по формулата:

S con \u003d πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

където R е радиусът на долната основа, r е радиусът на горната основа, l е дължината на образуващата.

Обемът на пресечен конус може да се намери, както следва:

V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),

където R е радиусът на долната основа, r е радиусът на горната основа, H е височината на конуса.

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Оценка: 11 Урок #14 Дата: ____________

Тема на урока: Десен кръгов конус, неговите елементи. Аксиални сечения на конуса. Сечения на конус от равнина, успоредна на основата. Развитие на конус»

Целта на урока:

Въведете понятията конична повърхност, конус, конусни елементи (странична повърхност, основа, връх, образуваща, ос, височина), концепцията за пресечен конус;

Извличане на формули за изчисляване на площите на страничните и пълните повърхности на конус и пресечен конус;

Научете учениците да решават задачи по тази тема.

Насърчаване на творческото възприемане на образователния материал от учениците и желанието им да се усъвършенстват.

Да възпитават организираност, дисциплина, отговорност към работата си и работата на съучениците.

Тип урок: изучаване на нов материал.

Оборудване за урок: интерактивна дъска, маси, макети на конуси, материал за изработка на модели: игли за плетене, самолетен модел (полистирол), хартия, лепило, ножица, пергел, транспортир, линийка.

Форма на организация на ученическите дейности : Г група.

По време на занятията

1. Предна работа

Изберете конус от предложените геометрични фигури

Въведение в коничната повърхност

Определение №1 Конична повърхност е повърхност, образувана от движението на права линия, която минава през дадена точка и пресича дадена равна линия.

Права а - образуваща;

Плоска линия MN - водач.

Незатворена конична повърхност

Ако водачът е затворен, тогаваконичната повърхност е затворена.

Определение №2 конус Тяло, ограничено от затворена конична повърхност и пресичаща го равнина, се нарича.

Запознаване с конуса и неговите елементи

НО) конус

ТАКА а (SO=Х, SO=h)

SO - височина на конуса

SA - генератриса

S - конус връх

ABA крива -ръководство .

Б) Нека правоъгълният правоъгълник SOA се върти около крака SO; при пълен оборот хипотенузата AS описва конична повърхност, катета OA описва окръжност.

Такова тяло се наричаконус на революцията . (десен кръгъл конус).

Прав кръгъл конус

S - конус връх

SA - генератриса

SO=h - височина на конуса

(ос на конуса - a)

Основата на конуса е кръг (O; r)

O - центърът на основата,

AO=OB=r - радиус на основата на окръжността

D SAB-аксиален раздел

а||б ТАКА, а ТАКА

Кръг (o; r) ~ Кръг (o1; r1)

Концепцията за странична (пълна) повърхност.

II. Групова работа (3-5 човека)

(задачите се разпределят на всяка група на карта)

Задача на тема "Шишарка"

1) Начертайте конус. Определете всички елементи на конуса от чертежа.

2) Въз основа на дадения модел на конуса, изградете развитие на този конус. Определете съответствието между елементите на размаха на конуса, чертежа и модела на конуса.

3) Направете конус от лист дебела хартия, така че цялата му повърхност: S110 cm2 с радиус на основата r3,1 см

Определете какви инструменти ще ви трябват за това, какви изчисления трябва да се направят, какви формули трябва да се запомнят и кои да се извлекат нови?

4) Подредете работата на място според плана:

А) Какви отговорности сте имали в групата в процеса на изпълнение на задачите:

генератор на идеи;

конструктор;

калкулатор;

дизайнер;

производител.

Б) Опишете методите и подходите за решаване на проблема.

Необходими изчисления за производството на модел на конус. (Чертеж. Формули. Заключение)

Изработка на конус.

5) Конусният модел е готов.

6) Направете формула за изчисляване на площта на сечение, успоредно на основата на конуса и разделяне на височината на конуса в съотношение 1: 3, като се брои от върха

7) Направете формула за изчисляване на площта на секцията, минаваща през оста на конуса. Какъв е ъгълът при върха на този участък?

8) Как можете да получите пресечен конус от вашия модел? Изчислете общата му повърхност, като използвате задачи (6).

9) Напишете и решете още три задачи по тази тема.

коментар: учителят действа като консултант при решаването на проблеми, като използва навременни въпроси и разчита на ключови думи.

Една група получи по-лесни задачи:

№1. Попълнете празните места:

Права линия, която образува конична повърхност при движение се нарича ...;

Линията, която пресича образуващата, се нарича ... ..;

Конусът на въртене е специален случай... когато основата на конуса е .. и основата на височината е ..;

Сечението на конуса на въртене от равнина, успоредна на основата, е .... Намерете площта на сечението.

Ако аксиалното сечение на конуса е равностранен триъгълник, тогава конусът ... .. Направете чертеж:

№2. Решете проблема, като попълните пропуските.

При развитието на страничната повърхност на конуса централният ъгъл е 200 о. Намерете ъгъла между образуващата и основата на конуса.

дадено:SB=200 о, SA=L, OB=r

намирамSAO

Решение:

1) а =360 о…..| cosx=…

2) 200 о=…

3) cosх=… , х -

А) ... генератриса;

Б) ... водач;

В) ... конус, .... Кръг..., център на основата

Г) ... кръг, ... секционни разстояния от върха на конуса;

Г) ... се нарича равностранно

НО)

Б) 200 о= 360 о*cosx;

Домашна работа.

Проучете пресечения конус, решете задачи №.

Резюме на урока.

В резултат на работата студенти

Те сами са извели формули за изчисляване на страничната и пълната повърхност на конуса

Начертайте размах

Направени са необходимите изчисления

Групи

L(см)

9,2

3,1

21,1754

89,5528

110,7282

7,8

28,26

73,476

101,74

9,4

28,26

88,548

116,808

10,4

4,9

75,3914

160,0144

235,4058

Проведена изследователска работа

Решени задачите

Непрекъснато общувахме помежду си, научихме се да мислим и мотивираме колегите си.

Получихме не само необходимите знания, но и голямо удоволствие.

Разбрахме, че думата "конус" идва от гръцката дума "xwnos", което означаваконус.