Апотемът е равен на височината на пирамидата. Апотем на дясната пирамида
Определение. Странично лице- това е триъгълник, в който единият ъгъл лежи на върха на пирамидата, а противоположната му страна съвпада със страната на основата (многоъгълника).
Определение. Странични ребраса общите страни на страничните повърхности. Една пирамида има толкова ръбове, колкото има ъгли в многоъгълника.
Определение. височина на пирамидатае перпендикуляр, спуснат от върха към основата на пирамидата.
Определение. апотема- това е перпендикулярът на страничната повърхност на пирамидата, спуснат от върха на пирамидата към страната на основата.
Определение. Диагонален разрез- това е разрез на пирамидата от равнина, минаваща през върха на пирамидата и диагонала на основата.
Определение. Правилна пирамида- Това е пирамида, в която основата е правилен многоъгълник, а височината се спуска до центъра на основата.
Обем и повърхност на пирамидата
Формула. обем на пирамидатачрез основна площ и височина:
пирамидални свойства
Ако всички странични ръбове са равни, тогава около основата на пирамидата може да бъде описана окръжност, а центърът на основата съвпада с центъра на окръжността. Също така перпендикулярът, изпуснат от върха, минава през центъра на основата (кръг).
Ако всички странични ребра са равни, тогава те са наклонени към основната равнина под еднакви ъгли.
Страничните ребра са равни, когато образуват равни ъгли с основната равнина или ако може да се опише кръг около основата на пирамидата.
Ако страничните лица са наклонени към равнината на основата под един ъгъл, тогава в основата на пирамидата може да бъде вписан кръг, а върхът на пирамидата се проектира в нейния център.
Ако страничните лица са наклонени към основната равнина под един ъгъл, тогава апотемите на страничните лица са равни.
Свойства на правилна пирамида
1. Върхът на пирамидата е на еднакво разстояние от всички ъгли на основата.
2. Всички странични ръбове са равни.
3. Всички странични ребра са наклонени под еднакви ъгли спрямо основата.
4. Апотемите на всички странични лица са равни.
5. Площите на всички странични лица са равни.
6. Всички лица имат еднакви двугранни (плоски) ъгли.
7. Около пирамидата може да се опише сфера. Центърът на описаната сфера ще бъде пресечната точка на перпендикулярите, които минават през средата на ръбовете.
8. В пирамида може да се впише сфера. Центърът на вписаната сфера ще бъде пресечната точка на ъглополовящите, излизащи от ъгъла между ръба и основата.
9. Ако центърът на вписаната сфера съвпада с центъра на описаната сфера, тогава сумата от плоските ъгли при върха е равна на π или обратно, единият ъгъл е равен на π / n, където n е числото на ъглите в основата на пирамидата.
Връзката на пирамидата със сферата
Сфера може да бъде описана около пирамидата, когато в основата на пирамидата лежи полиедър, около който може да се опише кръг (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнини, минаващи перпендикулярно през средните точки на страничните ръбове на пирамидата.
Сфера винаги може да бъде описана около всяка триъгълна или правилна пирамида.
Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако ъглополовящите равнини на вътрешните двугранни ъгли на пирамидата се пресичат в една точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще бъде центърът на сферата.
Връзката на пирамидата с конуса
Конусът се нарича вписан в пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е вписана в основата на пирамидата.
Конус може да бъде вписан в пирамида, ако апотемите на пирамидата са равни.
Конусът се нарича описан около пирамида, ако върховете им съвпадат и основата на конуса е описана около основата на пирамидата.
Конус може да бъде описан около пирамида, ако всички странични ръбове на пирамидата са равни един на друг.
Свързване на пирамида с цилиндър
За пирамидата се казва, че е вписана в цилиндър, ако върхът на пирамидата лежи върху една основа на цилиндъра, а основата на пирамидата е вписана в друга основа на цилиндъра.
Цилиндър може да бъде описан около пирамида, ако около основата на пирамидата може да бъде описана окръжност.
Тетраедърът има четири лица и четири върха и шест ръба, където всеки два ръба нямат общи върхове, но не се допират.
Всеки връх се състои от три лица и ръбове, които се образуват триъгълен ъгъл.
Сегментът, свързващ върха на тетраедъра с центъра на противоположната страна, се нарича медиана на тетраедъра(GM).
Бимедиансе нарича сегмент, свързващ средните точки на противоположни ръбове, които не се допират (KL).
Всички бимедиани и медиани на тетраедър се пресичат в една точка (S). В този случай бимедианите са разделени наполовина, а медианите в съотношение 3: 1, като се започне от върха.
Определение. Пирамида с остра ъгъле пирамида, в която апотемата е повече от половината от дължината на страната на основата.
Определение. тъпа пирамидае пирамида, в която апотемата е по-малка от половината от дължината на страната на основата.
Определение. правилен тетраедърТетраедър, чиито четири лица са равностранни триъгълници. Това е един от петте правилни многоъгълника. В правилния тетраедър всички двугранни ъгли (между лицата) и триедрични ъгли (при връх) са равни.
Определение. Правоъгълен тетраедърТетраедър се нарича с прав ъгъл между три ръба във върха (ръбовете са перпендикулярни). Оформят се три лица правоъгълен триъгълен ъгъли лицата са правоъгълни триъгълници, а основата е произволен триъгълник. Апотемата на всяко лице е равна на половината от страната на основата, върху която пада апотемата.
Определение. Изоедрален тетраедърНарича се тетраедър, в който страничните лица са равни една на друга, а основата е правилен триъгълник. Лицата на такъв тетраедър са равнобедрени триъгълници.
Определение. Ортоцентричен тетраедъртетраедър се нарича, в който всички височини (перпендикуляри), които са спуснати от върха до противоположната страна, се пресичат в една точка.
Определение. звездна пирамидаНарича се полиедър, чиято основа е звезда.
За успешно решаване на задачи по геометрия е необходимо ясно да се разбират термините, които тази наука използва. Например, това са "права линия", "равнина", "многоедър", "пирамида" и много други. В тази статия ще отговорим на въпроса какво е апотема.
Двойна употреба на термина "апотема"
В геометрията значението на думата "апотема" или "апотема", както се нарича още, зависи от това към какъв обект се прилага. Има два принципно различни класа фигури, в които това е една от техните характеристики.
На първо място, това са плоски многоъгълници. Какъв е апотемът за многоъгълник? Това е височината, изтеглена от геометричния център на фигурата до всяка от нейните страни.
За да стане по-ясно какво е заложено, разгледайте конкретен пример. Да предположим, че има правилен шестоъгълник, показан на фигурата по-долу.
Символът l обозначава дължината на неговата страна, буквата a обозначава апотема. За маркирания триъгълник това е не само височината, но и ъглополовящата и медианата. Лесно е да се покаже, че по отношение на страната l може да се изчисли, както следва:
По същия начин, апотемът е дефиниран за всеки n-ъгъл.
Втората е пирамидите. Какво е апотема за такава фигура? Този въпрос изисква по-подробно разглеждане.
По тази тема: Как да направите миглите си дълги и гъсти само за един месец?
Пирамидите и техните апотеми
Първо, нека дефинираме пирамида от гледна точка на геометрията. Тази фигура е триизмерно тяло, образувано от един n-ъгъл (основа) и n триъгълника (страни). Последните са свързани в една точка, която се нарича връх. Разстоянието от него до основата е височината на фигурата. Ако пада върху геометричния център на n-ъгълника, тогава пирамидата се нарича права. Ако в допълнение n-ъгълникът има равни ъгли и страни, тогава фигурата се нарича правилна. По-долу е даден пример за пирамида.
Какво е апотема за такава фигура? Това е перпендикулярът, който свързва страните на n-ъгълника с горната част на фигурата. Очевидно той представлява височината на триъгълника, който е страната на пирамидата.
Апотемът е удобен за използване при решаване на геометрични задачи с правилни пирамиди. Факт е, че за тях всички странични лица са равни една на друга равнобедрени триъгълници. Последният факт означава, че всички n апотеми са равни, така че за правилна пирамида можем да говорим за една такава права линия.
Правилен апотем на четириъгълна пирамида
Може би най-очевидният пример за тази фигура ще бъде прочутото първо чудо на света - Хеопсовата пирамида. Тя е в Египет.
За всяка такава фигура с правилна n-ъгълна основа могат да се дадат формули, които позволяват да се определи нейният апотем по отношение на дължината a на страната на многоъгълника, по отношение на страничния ръб b и височината h. Тук пишем съответните формули за права пирамида с квадратна основа. Апотемът h b за него ще бъде равен на:
По тази тема: Знаме на Башкирия - описание, символика и история
h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4);
h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)
Първият от тези изрази е валиден за всяка правилна пирамида, вторият - само за четириъгълна.
Нека покажем как тези формули могат да се използват за решаване на проблема.
геометричен проблем
Нека е дадена права пирамида с квадратна основа. Необходимо е да се изчисли основната му площ. Апотемата на пирамидата е 16 см, а височината й е 2 пъти по-голяма от страната на основата.
Всеки ученик знае: за да намерите площта на квадрата, който е основата на разглежданата пирамида, трябва да знаете неговата страна а. За да го намерим, използваме следната формула за апотемата:
h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)
Значението на апотема е известно от условието на задачата. Тъй като височината h е два пъти по-голяма от дължината на страната a, този израз може да се преобразува по следния начин:
h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>
a = 2*h b /√17
Площта на квадрат е равна на произведението на неговите страни. Замествайки получения израз за a, имаме:
S \u003d a 2 \u003d 4/17 * h b 2
Остава да заменим стойността на апотема от условието на задачата във формулата и да запишем отговора: S ≈ 60,2 cm 2.
Прочетете също:
Пирамидата е пространствен полиедър или полиедър, който се среща в геометрични задачи. Основните свойства на тази фигура са нейният обем и повърхност, които се изчисляват от познаването на кои да е две от нейните линейни характеристики. Една от тези характеристики е апотемът на пирамидата. Ще бъде обсъдено в статията.
фигурна пирамида
Преди да дадем определението за апотема на пирамидата, нека се запознаем със самата фигура. Пирамидата е полиедър, който се образува от една n-ъгълна основа и n триъгълника, които съставляват страничната повърхност на фигурата.
Всяка пирамида има връх - точката на свързване на всички триъгълници. Перпендикулярът, изтеглен от този връх към основата, се нарича височина. Ако височината пресича основата в геометричния център, тогава фигурата се нарича права линия. Права пирамида с равностранна основа се нарича правилна пирамида. Фигурата показва пирамида с шестоъгълна основа, която се гледа от страната на лицето и ръба.
Апотем на дясната пирамида
Нарича се още апотема. Тя се разбира като перпендикуляр, изтеглен от върха на пирамидата към страната на основата на фигурата. По дефиниция този перпендикуляр съответства на височината на триъгълника, който образува страничната повърхност на пирамидата.
Тъй като разглеждаме правилна пирамида с n-ъгълна основа, тогава всички n апотеми за нея ще бъдат еднакви, тъй като такива са равнобедрените триъгълници на страничната повърхност на фигурата. Имайте предвид, че еднакви апотеми са свойство на правилна пирамида. За фигура от общ тип (наклонена с неправилен n-ъгълник) всички n апотеми ще бъдат различни.
Друго свойство на апотема на правилна пирамида е, че той е едновременно височина, медиана и ъглополовяща на съответния триъгълник. Това означава, че тя го разделя на два еднакви правоъгълни триъгълника.
и формули за определяне на неговия апотем
Във всяка правилна пирамида важни линейни характеристики са дължината на страната на основата й, страничния ръб b, височината h и апотемата h b. Тези количества са свързани помежду си чрез съответните формули, които могат да бъдат получени чрез начертаване на пирамида и разглеждане на необходимите правоъгълни триъгълници.
Правилната триъгълна пирамида се състои от 4 триъгълни лица, като едната от тях (основата) трябва да е равностранна. Останалите са равнобедрени в общия случай. Апотемата на триъгълна пирамида може да бъде определена по отношение на други величини, като се използват следните формули:
h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4);
h b \u003d √ (a 2 / 12 + h 2)
Първият от тези изрази е валиден за пирамида с всяка правилна основа. Вторият израз е характерен само за триъгълна пирамида. Показва, че апотемът винаги е по-голям от височината на фигурата.
Апотемата на пирамидата не трябва да се бърка с тази на полиедъра. В последния случай апотемът е перпендикулярен сегмент, изтеглен към страната на полиедъра от центъра му. Например, апотемът на равностранен триъгълник е √3/6*a.
Задача с апотеми
Нека е дадена правилна пирамида с триъгълник в основата. Необходимо е да се изчисли неговият апотем, ако е известно, че площта на този триъгълник е 34 см 2, а самата пирамида се състои от 4 еднакви лица.
В съответствие с условието на задачата имаме работа с тетраедър, състоящ се от равностранни триъгълници. Формулата за площта на едно лице е:
Откъде получаваме дължината на страната a:
За да определим апотема h b, използваме формулата, съдържаща страничния ръб b. В разглеждания случай дължината му е равна на дължината на основата, имаме:
h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4) = √ 3 / 2 * a
Замествайки стойността от a до S, получаваме крайната формула:
h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)
Получихме проста формула, в която апотемът на пирамида зависи само от площта на нейната основа. Ако заместим стойността S от условието на задачата, получаваме отговора: h b ≈ 7,674 cm.
апотема апотема
(от гръцки apotíthēmi - отлагам), 1) сегмент (както и дължината му) на перпендикуляр а, пуснат от центъра на правилен многоъгълник до всяка от неговите страни. 2) В правилната пирамида апотемът е височината астраничен ръб.
АПОТЕМААПОПЕМА (на гръцки апотема - нещо отложено),
1) сегмент (както и дължината му) на перпендикуляра a, изпуснат от центъра на правилен многоъгълник към някоя от неговите страни.
2) В правилна пирамида апотемата е височината на страничната повърхност.
енциклопедичен речник. 2009 .
Синоними:Вижте какво е "apothem" в други речници:
Вижте АПОТЕМ. Речник на чужди думи, включени в руския език. Чудинов А.Н., 1910 г. АПОТЕМА, виж АПОТЕМА. Речник на чужди думи, включени в руския език. Павленков Ф., 1907 г. ... Речник на чужди думи на руския език
- (от гръцки apotithemi отлагам) ..1) сегмент (както и дължината му) от перпендикуляр а, спуснат от центъра на правилен многоъгълник до която и да е от страните му2)] В правилна пирамида апотемът е височината на страничното лице... Голям енциклопедичен речник
Съществуват., брой синоними: 3 апотема (2) дължина (10) перпендикуляр (4) Речник ... Синонимен речник
АПОТЕМА- (1) дължината на перпендикуляра, изпуснат от центъра на окръжност, описана около правилен многоъгълник, до която и да е от неговите страни; (2) височината на страничната повърхност на правилна пирамида; (3) височината на трапеца, който е страничната страна на правилен пресечен ... ... Голяма политехническа енциклопедия
- (от гръцки apotithçmi оставям настрана) 1) дължината на перпендикуляра, спуснат от центъра на правилен многоъгълник до някоя от неговите страни (фиг. 1); 2) в правилна пирамида A. височината a на нейната странична повърхност (фиг. 2). Ориз. 1 до…… Голяма съветска енциклопедия
- (от гръцки apotfthemi отлагам) 1) сегмент (както и дължината му) от перпендикуляр а, спуснат от центъра на правилен многоъгълник до някоя от неговите страни. 2) В правилна пирамида A., височината a на страничната повърхност (виж фигурата). Към чл. апотем... Голям енциклопедичен политехнически речник
Дължината на перпендикуляр, спуснат от центъра на правилен многоъгълник до една от неговите страни; апотемът е равен на радиуса на окръжността, вписана в дадения многоъгълник. А. се наричаше още наклонената страна на конуса ... Енциклопедичен речник F.A. Брокхаус и И.А. Ефрон
- (от гръцкия apotithemi отлагам), 1) сегмент (както и дължината му) на перпендикуляр а, спуснат от центъра на правилен многоъгълник до която и да е от страните му. 2) В правилна пирамида A. височината a на страничната повърхност ... Естествени науки. енциклопедичен речник
Апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема, апотема (
- апотема- височината на страничната страна на правилна пирамида, която е изтеглена от нейния връх (в допълнение, апотемата е дължината на перпендикуляра, който се спуска от средата на правилен многоъгълник до 1 от неговите страни);
- странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триъгълници, които се събират в горната част;
- странични ребра ( КАТО , BS , CS , Д.С. ) - общи страни на страничните повърхности;
- върха на пирамидата (срещу) - точка, която свързва страничните ръбове и която не лежи в равнината на основата;
- височина ( ТАКА ) - сегмент от перпендикуляра, който се изтегля през върха на пирамидата до равнината на нейната основа (краищата на такъв сегмент ще бъдат върхът на пирамидата и основата на перпендикуляра);
- диагонално сечение на пирамида- сечение на пирамидата, което минава през върха и диагонала на основата;
- база (ABCD) е многоъгълник, на който върхът на пирамидата не принадлежи.
пирамидални свойства.
1. Когато всички странични ръбове са с еднакъв размер, тогава:
- близо до основата на пирамидата е лесно да се опише кръг, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
- страничните ребра образуват равни ъгли с основната равнина;
- освен това е вярно и обратното, т.е. когато страничните ръбове образуват равни ъгли с основната равнина или когато може да се опише кръг близо до основата на пирамидата и върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на тази окръжност, тогава всички странични ръбове на пирамидата имат същия размер.
2. Когато страничните повърхности имат ъгъл на наклон спрямо равнината на основата със същата стойност, тогава:
- близо до основата на пирамидата е лесно да се опише кръг, докато върхът на пирамидата ще бъде проектиран в центъра на този кръг;
- височините на страничните повърхности са с еднаква дължина;
- площта на страничната повърхност е ½ произведението на периметъра на основата и височината на страничната повърхност.
3. В близост до пирамидата може да се опише сфера, ако основата на пирамидата е многоъгълник, около който може да се опише кръг (необходимо и достатъчно условие). Центърът на сферата ще бъде точката на пресичане на равнините, които минават през средните точки на ръбовете на пирамидата, перпендикулярни на тях. От тази теорема заключаваме, че една сфера може да бъде описана както около всяка триъгълна, така и около всяка правилна пирамида.
4. Сфера може да бъде вписана в пирамида, ако ъглополовящите равнини на вътрешните двустранни ъгли на пирамидата се пресичат в 1-ва точка (необходимо и достатъчно условие). Тази точка ще стане център на сферата.
Най-простата пирамида.
Според броя на ъглите на основата на пирамидата те се делят на триъгълни, четириъгълни и т.н.
Пирамидата ще триъгълна, четириъгълен, и така нататък, когато основата на пирамидата е триъгълник, четириъгълник и т.н. Триъгълна пирамида е тетраедър - тетраедър. Четириъгълен - петоедър и така нататък.