Обикновени и десетични дроби и действия върху тях. Безкрайни периодични дроби

У дома

кладенци

Случва се, че за удобство на изчисленията е необходимо да преобразувате обикновена дроб в десетична и обратно. Ще говорим как да направите това в тази статия. Ще анализираме правилата за преобразуване на обикновени дроби в десетични и обратно, а също така ще дадем примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ще разгледаме преобразуването на обикновени дроби в десетични, като се придържаме към определена последователност. Първо, помислете как обикновените дроби със знаменател, кратен на 10, се преобразуват в десетични числа: 10, 100, 1000 и т.н. Дроби с такива знаменатели всъщност са по-тромаво записване на десетични дроби.

След това ще разгледаме как да преобразуваме обикновени дроби в десетични дроби с произволен знаменател, не само кратен на 10. Имайте предвид, че при преобразуване на обикновени дроби в десетични дроби се получават не само крайни десетични дроби, но и безкрайни периодични десетични дроби.

Да започваме!

Превод на обикновени дроби със знаменател 10, 100, 1000 и др. до десетични знаци

Първо, нека кажем, че някои дроби се нуждаят от известна подготовка, преди да бъдат преобразувани в десетична форма. Какво е? Преди числото в числителя е необходимо да добавите толкова много нули, че броят на цифрите в числителя да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например за дробта 3100 числото 0 трябва да се добави веднъж отляво на 3 в числителя. Фракция 610, съгласно горното правило, не е необходимо да се подобрява.

Помислете за още един пример, след което формулираме правило, което е особено удобно за използване в началото, докато няма толкова много опит в работата с дроби. И така, дробта 1610000 след добавяне на нули в числителя ще изглежда като 001510000.

Как да преведем обикновена дроб със знаменател 10, 100, 1000 и т.н. до десетична?

Правилото за преобразуване на обикновени правилни дроби в десетични

Напишете 0 и поставете запетая след него.
Записваме числото от числителя, което се получи след добавяне на нули.

Сега да преминем към примерите.

Пример 1. Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Преобразувайте обикновената дроб 39100 в десетична.

Първо, разглеждаме фракцията и виждаме, че не са необходими подготвителни действия - броят на цифрите в числителя съвпада с броя на нулите в знаменателя.

Следвайки правилото, запишете 0, поставете след него десетична запетая и запишете числото от числителя. Получаваме десетичната дроб 0, 39.

Нека анализираме решението на друг пример по тази тема.

Пример 2. Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Нека запишем дробта 105 10000000 като десетична дроб.

Броят на нулите в знаменателя е 7, а числителят има само три цифри. Нека добавим още 4 нули пред числото в числителя:

0000105 10000000

Сега записваме 0, поставяме десетична запетая след него и записваме числото от числителя. Получаваме десетичната дроб 0, 0000105.

Дробите, разглеждани във всички примери, са обикновени правилни дроби. Но как да конвертирате неправилна обикновена дроб в десетична? Нека кажем веднага, че няма нужда от подготовка с добавяне на нули за такива дроби. Нека формулираме правило.

Правилото за преобразуване на обикновени неправилни дроби в десетични

Записваме числото, което е в числителя.
С десетична запетая отделяме толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на оригиналната обикновена дроб.

По-долу е даден пример за използване на това правило.

Пример 3. Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Нека преобразуваме дробта 56888038009 100000 от обикновена неправилна в десетична.

Първо напишете числото от числителя:

Сега отдясно разделяме пет цифри с десетична запетая (броят на нулите в знаменателя е пет). Получаваме:

Следващият въпрос, който естествено възниква, е как да преобразуваме смесено число в десетична дроб, ако знаменателят на дробната му част е числото 10, 100, 1000 и т.н. За да преобразувате в десетична дроб от такова число, можете да използвате следното правило.

Правило за преобразуване на смесени числа в десетични

Подготвяме дробната част на числото, ако е необходимо.
Записваме цялата част на оригиналното число и поставяме запетая след нея.
Записваме числото от числителя на дробната част заедно с добавените нули.

Нека разгледаме един пример.

Пример 4. Преобразуване на смесени числа в десетични

Преобразувайте смесеното число 23 17 10000 в десетично.

В дробната част имаме израза 17 10000. Нека го подготвим и добавим още две нули отляво на числителя. Получаваме: 0017 10000 .

Сега записваме цялата част на числото и поставяме запетая след нея: 23,. .

След запетаята записваме числото от числителя заедно с нули. Получаваме резултата:

23 17 10000 = 23 , 0017

Преобразуване на обикновени дроби в крайни и безкрайни периодични дроби

Разбира се, можете да конвертирате в десетични дроби и обикновени дроби със знаменател, различен от 10, 100, 1000 и т.н.

Често една дроб може лесно да бъде намалена до нов знаменател и след това да се използва правилото, описано в първия параграф на тази статия. Например, достатъчно е да умножим числителя и знаменателя на дробта 25 по 2 и получаваме дробта 410, която лесно се редуцира до десетичната форма 0,4.

Въпреки това, този метод за преобразуване на обикновена дроб в десетична не винаги може да се използва. По-долу ще разгледаме какво да правим, ако е невъзможно да приложим разглеждания метод.

Фундаментално нов начин за преобразуване на обикновена дроб в десетична е числителят да се раздели на знаменателя с колона. Тази операция е много подобна на разделянето на естествени числа с колона, но има свои собствени характеристики.

При деление числителят се представя като десетична дроб - отдясно на последната цифра на числителя се поставя запетая и се добавят нули. В полученото частно десетичната запетая се поставя, когато приключи делението на цялата част от числителя. Как точно работи този метод ще стане ясно след разглеждане на примерите.

Пример 5. Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Нека преведем обикновената дроб 621 4 в десетична форма.

Нека представим числото 621 от числителя като десетична дроб, като добавим няколко нули след десетичната запетая. 621 = 621 00

Сега ще разделим колоната 621, 00 на 4. Първите три стъпки на делене ще бъдат същите като при делене на естествени числа и получаваме.

Когато стигнем до десетичната запетая в делимото и остатъкът е различен от нула, поставяме десетичната запетая в частното и продължаваме да делим, без да обръщаме внимание на запетаята в делимото.

В резултат на това получаваме десетичната дроб 155 , 25 , която е резултат от инверсията на обикновената дроб 621 4

621 4 = 155 , 25

Помислете за решаване на друг пример, за да коригирате материала.

Пример 6. Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Нека обърнем обикновената дроб 21 800 .

За да направите това, разделете фракцията 21 000 на 800 в колона. Делението на цялата част ще приключи на първата стъпка, така че веднага след нея поставяме десетична запетая в частното и продължаваме делението, като игнорираме запетаята в делимото, докато получим остатъка равен на нула.

В резултат на това получихме: 21 800 = 0 .02625 .

Но какво ще стане, ако при деление никога не получим остатък 0. В такива случаи делението може да продължи безкрайно дълго. Въпреки това, започвайки от определена стъпка, остатъците ще се повтарят периодично. Съответно числата в частното също ще се повтарят. Това означава, че обикновена дроб се превежда в десетична безкрайна периодична дроб. Нека илюстрираме казаното с пример.

Пример 7. Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Нека превърнем обикновената дроб 1944 в десетична. За да направите това, извършваме разделяне по колона.

Виждаме, че при деление остатъците 8 и 36 се повтарят. В същото време числата 1 и 8 се повтарят в частното. Това е периодът в десетичната система. При писане тези числа се вземат в скоби.

Така оригиналната обикновена дроб се превежда в безкрайна периодична десетична дроб.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Нека имаме несъкратима обикновена дроб. Каква форма ще приеме? Кои обикновени дроби се преобразуват в крайни десетични дроби и кои в безкрайни периодични?

Първо, да кажем, че ако една дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000 .., тогава тя ще изглежда като последна десетична дроб. За да може една дроб да се сведе до един от тези знаменатели, нейният знаменател трябва да е делител на поне едно от числата 10, 100, 1000 и т.н. От правилата за разлагане на числата на прости множители следва, че делителя на числата 10, 100, 1000 и т.н. трябва, когато се разложи на прости множители, да съдържа само числата 2 и 5.

Нека обобщим казаното:

Една обикновена дроб може да бъде сведена до формата на крайна десетична дроб, ако нейният знаменател може да се разложи на прости множители от 2 и 5.
Ако в допълнение към числата 2 и 5 има други прости числа в разширението на знаменателя, дробта се свежда до формата на безкрайна периодична десетична дроб.

Да вземем пример.

Пример 8. Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Коя от дадените дроби 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 се превръща в крайна десетична дроб и коя - само в периодична. Ще дадем отговор на този въпрос, без директно да преобразуваме обикновена дроб в десетична.

Дробта 47 20 , както можете лесно да видите, чрез умножаване на числителя и знаменателя по 5 се редуцира до нов знаменател 100 .

4720 = 235100. От това заключаваме, че тази дроб се превежда в крайна десетична дроб.

Разлагането на знаменателя на дробта 7 12 дава 12 = 2 2 3 . Тъй като простият множител 3 е различен от 2 и от 5, тази дроб не може да бъде представена като крайна десетична дроб, а ще има формата на безкрайна периодична дроб.

Дроб 21 56, първо, трябва да намалиш. След намаляване със 7 получаваме несъкратима дроб 3 8 , разлагането на чийто знаменател на множители дава 8 = 2 · 2 · 2 . Следователно това е краен десетичен знак.

В случая на дробта 31 17 разлагането на знаменателя е самото просто число 17. Съответно тази дроб може да се преобразува в безкрайна периодична десетична дроб.

Една обикновена дроб не може да се преобразува в безкрайна и неповтаряща се десетична дроб

По-горе говорихме само за крайни и безкрайни периодични дроби. Но може ли всяка обикновена дроб да бъде превърната в безкрайна непериодична дроб?

Ние отговаряме: не!

важно!

Когато преобразувате безкрайна дроб в десетична дроб, получавате или крайна десетична дроб, или безкрайна периодична десетична дроб.

Остатъкът от деление винаги е по-малък от делителя. С други думи, според теоремата за делимост, ако разделим някакво естествено число на числото q, тогава остатъкът от делението в никакъв случай не може да бъде по-голям от q-1. След края на разделението е възможна една от следните ситуации:

Получаваме остатък от 0 и това е мястото, където делението свършва.
Получаваме остатък, който се повтаря при следващо деление, в резултат на което имаме безкрайна периодична дроб.

Не може да има други опции при преобразуване на обикновена дроб в десетична. Да кажем също, че дължината на периода (броят на цифрите) в една безкрайна периодична дроб винаги е по-малка от броя на цифрите в знаменателя на съответната обикновена дроб.

Преобразувайте десетични числа в обикновени дроби

Сега е време да разгледаме обратния процес на преобразуване на десетична дроб в обикновена. Нека формулираме правило за превод, което включва три етапа. Как да преобразувам десетична дроб в обикновена дроб?

Правило за преобразуване на десетични дроби в обикновени дроби

В числителя записваме числото от първоначалната десетична дроб, като изхвърляме запетаята и всички нули отляво, ако има такива.
В знаменателя записваме единица и след нея толкова нули, колкото цифри има в оригиналната десетична дроб след десетичната запетая.
Ако е необходимо, намалете получената обикновена фракция.

Разгледайте приложението на това правило с примери.

Пример 8. Преобразуване на десетични числа в обикновени

Нека представим числото 3, 025 като обикновена дроб.

В числителя записваме самата десетична дроб, като изхвърляме запетаята: 3025.
В знаменателя записваме единица, а след нея три нули - толкова цифри се съдържат в оригиналната дроб след десетичната запетая: 3025 1000.
Получената дроб 3025 1000 може да се намали с 25 , като резултат получаваме: 3025 1000 = 121 40 .

Пример 9. Преобразуване на десетични числа в обикновени

Нека преобразуваме дробта 0, 0017 от десетична в обикновена.

В числителя записваме дробта 0, 0017, като изхвърляме запетаята и нулите отляво. Вземете 17.
Записваме единица в знаменателя, а след нея четири нули: 17 10000. Тази дроб е несъкратима.

Ако в десетична дроб има цяла част, тогава такава дроб може незабавно да се преобразува в смесено число. Как да го направя?

Нека формулираме още едно правило.

Правилото за преобразуване на десетични дроби в смесени числа.

Числото до десетичната запетая се записва като цяла част от смесеното число.
В числителя записваме числото, което е в дробта след десетичната запетая, като изхвърляме нули отляво, ако има такива.
В знаменателя на дробната част добавяме една и толкова нули, колкото цифри има в дробната част след десетичната запетая.

Нека разгледаме един пример

Пример 10: Преобразуване на десетична дроб в смесено число

Нека представим дробта 155, 06005 като смесено число.

Записваме числото 155 като цяло число.
В числителя записваме числата след десетичната запетая, като изхвърляме нулата.
В знаменателя записваме едно и пет нули

Преподаване на смесен номер: 155 6005 100000

Дробната част може да се намали с 5 . Намаляваме и получаваме крайния резултат:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Преобразуване на безкрайни повтарящи се десетични числа в обикновени дроби

Нека да разгледаме примери как да преведем периодични десетични дроби в обикновени. Преди да започнем, нека изясним: всяка периодична десетична дроб може да бъде преобразувана в обикновена.

Най-простият случай е, че периодът на дробта е нула. Периодична дроб с период нула се заменя с крайна десетична дроб и процесът на обръщане на такава дроб се свежда до обръщане на крайна десетична дроб.

Пример 11. Преобразуване на периодичен десетичен знак в обикновена дроб

Нека обърнем периодичната дроб 3, 75 (0) .

Изпускайки нулите отдясно, получаваме крайната десетична дроб 3, 75.

Превръщайки тази дроб в обикновена според алгоритъма, обсъден в предишните параграфи, получаваме:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Ами ако периодът на една дроб е различен от нула? Периодичната част трябва да се разглежда като сума от членовете на една геометрична прогресия, която е намаляваща. Нека обясним това с пример:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Има формула за сумата от членовете на безкрайна намаляваща геометрична прогресия. Ако първият член на прогресията е b и знаменателят на q е такъв, че 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Нека да разгледаме няколко примера с помощта на тази формула.

Пример 12. Преобразуване на периодичен десетичен знак в обикновена дроб

Да предположим, че имаме периодична дроб 0, (8) и трябва да я преобразуваме в обикновена.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Тук имаме безкрайна намаляваща геометрична прогресия с първи член 0, 8 и знаменател 0, 1.

Нека приложим формулата:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Това е желаната обикновена дроб.

За да консолидирате материала, разгледайте друг пример.

Пример 13. Преобразуване на периодичен десетичен знак в обикновен

Обърнете дробта 0 , 43 (18) .

Първо записваме дробта като безкрайна сума:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Разгледайте термините в скоби. Тази геометрична прогресия може да бъде представена по следния начин:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Добавяме получената фракция към крайната фракция 0, 43 \u003d 43 100 и получаваме резултата:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

След като добавим тези дроби и намалим, получаваме крайния отговор:

0 , 43 (18) = 19 44

В края на тази статия ще кажем, че непериодичните безкрайни десетични дроби не могат да бъдат преобразувани в обикновени дроби.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

§ 114. Превръщане на обикновена дроб в десетична.

Преобразуването на обикновена дроб в десетична означава намиране на десетична дроб, която би била равна на дадената обикновена дроб. Когато преобразуваме обикновени дроби в десетични, ще срещнем два случая:

1), когато обикновените дроби могат да бъдат преобразувани в десетични точно;

2) когато обикновените дроби могат да се преобразуват само в десетични приблизително. Нека разгледаме тези случаи последователно.

1. Как да преобразуваме обикновена несъкратима дроб в десетична или, с други думи, как да заменим обикновена дроб с равен на нея десетичен дроб?

В случай, че обикновените дроби могат да бъдат точнопреобразуван в десетичен знак, има два начинатакова обжалване.

Нека си припомним как да заменим една дроб с друга, равна на първата, или как да преминем от една дроб към друга, без да променяме стойността на първата. Това направихме, когато сведохме дробите към общ знаменател (§86). Когато редуцираме дроби до общ знаменател, процедираме по следния начин: намираме общ знаменател за тези дроби, изчисляваме допълнителен коефициент за всяка дроб и след това умножаваме числителя и знаменателя на всяка дроб по този коефициент.

След като забелязахме това, нека вземем несъкратимата дроб 3/20 и се опитаме да я превърнем в десетична. Знаменателят на тази дроб е 20 и трябва да го доведете до друг знаменател, който ще бъде представен от единица с нули. Ще търсим най-малкия от знаменателите, изразен с единица, последвана от нули.

Първи начинпревръщането на обикновена дроб в десетична се основава на разлагането на знаменателя на прости множители.

Необходимо е да се установи по какво число трябва да се умножи 20, така че произведението да се изрази с единица с нули. За да разберете, първо трябва да запомните на какви прости множители се разлагат числата, представени с единица с нули. Ето разбивките:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

Виждаме, че числото, представено от единица с нули, се разлага само на две и пет и няма други фактори в разлагането. Освен това двойки и петици влизат в разширението в същия брой. И накрая, броят на тези и други фактори поотделно е равен на броя на нулите след единица в изображението на дадено число.

Сега нека видим как 20 се разлага на прости множители: 20 \u003d 2 2 5. Това показва, че има две двойки в разгръщането на числото 20 и една петици. Така че, ако добавим една петица към тези множители, ще получим число, представено от единица с нули. С други думи, за да може знаменателят да получи число, представено с единица с нули вместо числото 20, трябва да умножите 20 по 5 и за да не се промени стойността на дробта, трябва да умножите по 5 и числителя му, т.е.

По този начин, за да превърнете обикновена дроб в десетична, трябва да разложите знаменателя на тази обикновена дроб на прости множители и след това да изравните броя на двойките и петиците в него, като въведете в него (и, разбира се, в числителя ) липсващите фактори в необходимия брой.

Нека приложим това извеждане към някои дроби.

Преобразувайте в десетична 3/50. Знаменателят на тази дроб се разширява, както следва:

Това означава, че му липсва една двойка. Нека го добавим:

Преобразувайте в десетична 7/40.

Знаменателят на тази дроб се разлага по следния начин: 40 \u003d 2 2 2 5, т.е. в него липсват две петици. Въвеждаме ги в числителя и знаменателя като фактори:

От изложеното не е трудно да се заключи кои точно обикновени дроби се превръщат в десетични. Съвсем очевидно е, че несъкратима обикновена дроб, чийто знаменател не съдържа други прости множители освен 2 и 5, се превръща точно в десетична. Десетична дроб, която се получава от инверсия на някаква обикновена, ще има толкова знака след десетичната запетая, колкото пъти знаменателят на обикновена дроб след редуцирането й включва числено преобладаващ коефициент от 2 или 5.

Ако вземем дроб 9/40, тогава, първо, тя ще се превърне в десетична, тъй като нейният знаменател включва фактори 2 2 2 5, и второ, получената десетична дроб ще има 3 знака след десетичната запетая, тъй като числено преобладаващият фактор 2 влиза разширение три пъти. Наистина:

Втори начин(чрез разделяне на числителя на знаменателя).

Нека е необходимо да се преобразува в десетична дроб 3/4. Знаем, че 3/4 е частното от 3, делено на 4. Можем да намерим това частно, като разделим 3 на 4. Нека направим това:

Така че 3/4 = 0,75.

Друг пример: преобразувайте 5/8 в десетичен знак.

Така че 5/8 = 0,625.

Така че, за да преобразувате обикновена дроб в десетична, е достатъчно да разделите числителя на обикновена дроб на знаменателя.

2. Нека сега разгледаме втория от случаите, посочени в началото на параграфа, т.е. случаят, когато обикновена дроб не може да бъде преобразувана в точен десетичен знак.

Обикновена несъкратима дроб, чийто знаменател съдържа прости множители, различни от 2 и 5, не може да се превърне точно в десетична дроб. Наистина, например дробта 8/15 не може да бъде десетична, тъй като нейният знаменател 15 се разлага на два фактора: 3 и 5.

Не можем да изключим тройката от знаменателя и не можем да изберем такова цяло число, че след умножаване на дадения знаменател по него произведението да се изрази като единица с нули.

В такива случаи може да се говори само за приблизително преобразуванеобикновени дроби до десетични.

Как се прави? Това става чрез разделяне на числителя на обикновена дроб на знаменателя, т.е. в този случай се използва вторият метод за преобразуване на обикновена дроб в десетична. Това означава, че този метод се използва както за точна, така и за приблизителна инверсия.

Ако една обикновена дроб се преобразува точно в десетична, тогава крайната десетична дроб се получава от деленето.

Ако обикновената дроб не се превърне в точна десетична, тогава от деленето се получава безкрайна десетична дроб.

Тъй като не можем да извършим безкраен процес на делене, трябва да спрем делението на някакъв десетичен знак, т.е. да направим приблизително делене. Можем например да спрем делението на първия знак след десетичната запетая, тоест да се ограничим до десети; ако е необходимо, можем да спрем на втория десетичен знак, получавайки стотни и т.н. В тези случаи казваме, че закръгляме безкрайна десетична дроб. Закръгляването се извършва с точността, необходима за решаване на този проблем.

§ 115. Концепцията за периодична дроб.

Безкрайна десетична дроб, в която една или повече цифри неизменно се повтарят в една и съща последователност, се нарича периодична десетична дроб. Например:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

Извиква се колекция от повтарящи се цифри месечен цикълтази фракция. Периодът на първата от записаните по-горе дроби е 3, периодът на втората дроб е 12, периодът на третата дроб е 234. Това означава, че периодът може да се състои от няколко цифри - една, две, три и т.н. Първият набор от повтарящи се числа се нарича първи период, вторият съвкупността - втори период и т.н., т.е.

Периодичните дроби са чисти и смесени. Периодична дроб се нарича чиста, ако нейният период започва непосредствено след десетичната запетая. Това означава, че записаните по-горе периодични дроби ще бъдат чисти. Напротив, периодична дроб се нарича смесена, ако има една или повече неповтарящи се цифри между десетичната запетая и първата точка, например:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

За да съкратите буквата, можете да напишете номерата на периода веднъж в скоби и да не поставяте многоточие след скобите, тоест вместо 0,33 ... можете да напишете 0, (3); вместо 2.515151... можете да напишете 2,(51); вместо 0,2333... можете да напишете 0,2(3); вместо 0,8333... можете да напишете 0,8(3).

Периодичните дроби се четат така:

0,(3) - 0 цели числа, 3 в периода.

7,2(3) - 7 цели числа, 2 преди точката, 3 в точката.

5.00(17) - 5 цели числа, две нули преди точката, 17 в точката.

Как възникват периодичните дроби? Вече видяхме, че при преобразуването на обикновени дроби в десетични може да има два случая.

Първо, знаменателят на обикновена несъкратима дроб не съдържа други множители освен 2 и 5; в този случай обикновената дроб се превръща в крайна десетична дроб.

второ,знаменателят на обикновена несъкратима дроб съдържа всякакви прости множители, различни от 2 и 5; в този случай обикновената дроб не се превръща в крайна десетична дроб. В последния случай, когато се опитате да преобразувате обикновена дроб в десетична, като разделите числителя на знаменателя, получавате безкрайна дроб, която винаги ще бъде периодична.

За да видим това, нека да разгледаме един пример. Нека се опитаме да преобразуваме дробта - 18/7 в десетична запетая.

Разбира се, знаем предварително, че дроб с такъв знаменател не може да се превърне в краен десетичен знак и говорим само за приблизително преобразуване. Разделете числителя 18 на знаменателя 7.

Имаме осем знака след десетичната запетая в частното. Няма нужда да продължавате разделението, защото така или иначе няма да свърши. Но от това става ясно, че делението може да продължи безкрайно и по този начин да се получат нови числа в частното. Тези нови числа ще се появят, защото ще продължаваме да получаваме остатъци през цялото време; но никой остатък не може да бъде по-голям от делителя, който имаме е 7.

Да видим какви остатъци имаме: 4; 5; един; 3; 2; b, т.е. това бяха числа, по-малки от 7. Очевидно не може да има повече от шест от тях и при по-нататъшно продължаване на делението те ще трябва да се повторят, а след тях ще се повторят числата на частното. Горният пример потвърждава тази идея: десетичните знаци в private вървят в следния ред: 571428 и след това отново се появяват числата 57. И така, завършихме първия период и започва вторият.

По този начин, безкрайният десетичен дроб, получен в резултат на обръщане на обикновена дроб, винаги ще бъде периодичен.

Ако при решаване на задача се появи периодична дроб, тогава тя се взема с точността, изисквана от условието на задачата (до десета, до стотна, до хилядна и т.н.).

§ 116. Съвместни операции с обикновени и десетични дроби.

При решаването на различни задачи ще се срещнем с такива случаи, когато задачата включва както обикновени, така и десетични дроби.

В тези случаи можете да отидете по различни начини.

1. Преобразувайте всички дроби в десетични знаци.Това е удобно, защото изчисленията с десетични знаци са по-лесни, отколкото с обикновени. Например,

Преобразувайте дробите 3/4 и 1 1/5 в десетични знаци:

2. Преобразувайте всички дроби в обикновени дроби.Най-често това се прави в случаите, когато има обикновени дроби, които не се превръщат в крайни десетични знаци.

Например,

Преобразуване на десетични числа в обикновени дроби:

3. Изчисленията се извършват без преобразуване на някои дроби в други.

Това е особено полезно, когато примерът включва само умножение и деление. Например,

Нека пренапишем примера така:

4. В някои случаи преобразувайте всички обикновени дроби в десетични(дори тези, които стават периодични) и намират приблизителен резултат. Например,

Нека превърнем 2/3 в десетична дроб, ограничена до хилядни.

Периодична дроб

безкрайна десетична дроб, в която, започвайки от определено място, има само периодично повтаряща се определена група цифри. Например 1,3181818...; накратко, тази фракция е написана така: 1,3 (18), тоест те поставят периода в скоби (и казват: „18 в периода“). P.D. се нарича чист, ако точката започва веднага след десетичната запетая, например 2(71) = 2,7171..., и смесена, ако има цифри след десетичната запетая, предхождаща точката, например 1,3(18). Ролята на P. d. в аритметиката се дължи на факта, че при представяне на рационални числа, т.е. обикновени (прости) дроби, чрез десетични дроби винаги се получават крайни или периодични дроби. По-точно: крайната десетична дроб се получава, когато знаменателят на несъкратима проста дроб не съдържа други прости множители освен 2 и 5; във всички останали случаи се получава P.D., и освен това чист, ако знаменателят на дадената несъкратима дроб изобщо не съдържа факторите 2 и 5, и смесен, ако поне един от тези фактори се съдържа в знаменателя. Всеки P. d. може да бъде преобразуван в проста дроб (т.е. равен на някакво рационално число). Чистата P. d. е равна на проста дроб, чийто числител е периодът, а знаменателят е представен от числото 9, написано толкова пъти, колкото има цифри в периода; когато се преобразува в проста дроб от смесен P. d., числителят е разликата между числото, представено от числата, предхождащи втория период, и числото, представено от числата, предхождащи първия период; за да съставите знаменателя, трябва да напишете числото 9 толкова пъти, колкото има цифри в периода, и да зададете толкова нули вдясно, колкото цифри има пред периода. Тези правила предполагат, че дадената P. d. е правилна, тоест не съдържа цели единици; в противен случай цялата част се взема предвид отделно.

Известни са и правила за определяне на продължителността на периода на P.D., съответстваща на дадена обикновена дроб. Например за дроб а/стр, където R -просто число и 1 ≤ а ≤ п- 1, дължината на периода е делител R - 1. И така, за известни приближения на число (вижте Pi) 22/7 и 355/113 периодът е съответно 6 и 112.

Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Синоними:

Вижте какво е "периодична дроб" в други речници:

Безкрайна десетична дроб, в която, започвайки от определено място, периодично се повтаря определена група цифри (точка), напр. 0,373737... чиста периодична дроб или 0,253737... смесена периодична дроб... Голям енциклопедичен речник

Дроб, безкрайна дроб Речник на руските синоними. периодична дроб n., брой синоними: 2 безкрайна дроб (2) ... Речник на синонимите

Десетичен знак, чийто брой цифри се повтаря в същия ред. Например 0,135135135… е p.p., чийто период е 135 и който е равен на простата дроб 135/999 = 5/37. Речник на чуждите думи, включени в руския език. Павленков Ф ... Речник на чуждите думи на руския език

Десетичната дроб е дроб със знаменател 10n, където n е естествено число. Има специална нотация: цялата част в десетичната бройна система, след това запетаята и след това дробната част в десетичната бройна система и броят на цифрите на дробната част ... Wikipedia

Безкрайна десетична дроб, в която, започвайки от определено място, периодично се повтаря определена група цифри (точка); например 0,373737... чиста периодична дроб или 0,253737... смесена периодична дроб. * * * ПЕРИОДИЧНО… … енциклопедичен речник

Безкрайна десетична дроб, в която, започвайки от определено място, определението периодично се повтаря. група числа (точка); например 0,373737 ... чист P. d. или 0,253737 ... смесен P. d ... Естествени науки. енциклопедичен речник

Вижте част ... Речник на руски синоними и изрази, подобни по значение. под. изд. Н. Абрамова, М .: Руски речници, 1999. фракция, малко нещо, част; дънст, топка, брашно, сачма; дробно число Речник на руските синоними ... Речник на синонимите

периодичен десетичен знак- - [Л. Г. Суменко. Английско-руски речник на информационните технологии. M .: GP TsNIIS, 2003.] Теми информационни технологии като цяло EN циркулираща десетична повтаряща се десетична периодична десетична периодична десетична периодична десетична периодична десетична ... Наръчник за технически преводач

Ако някое цяло число a се дели на друго цяло b, т.е. търси се число x, което да отговаря на условието bx = a, тогава могат да възникнат два случая: или в редицата от цели числа има число x, което удовлетворява това условие, или се оказва,..... Енциклопедичен речник F.A. Brockhaus и I.A. Ефрон

Дроб, чийто знаменател е цяла степен на 10. D.d. се записва без знаменател, като се разделят със запетая толкова цифри в числителя вдясно, колкото нули има в знаменателя. Например, в такъв запис частта отляво ... ... Велика съветска енциклопедия

Още в началното училище учениците се сблъскват с дроби. И тогава се появяват във всяка тема. Невъзможно е да забравите действия с тези числа. Следователно трябва да знаете цялата информация за обикновените и десетичните дроби. Тези концепции са прости, основното е да разберете всичко в ред.

Защо са необходими дроби?

Светът около нас се състои от цели обекти. Следователно няма нужда от акции. Но ежедневието постоянно тласка хората да работят с части от предмети и неща.

Например, шоколадът се състои от няколко резена. Помислете за ситуацията, в която неговата плочка е образувана от дванадесет правоъгълника. Ако го разделите на две, получавате 6 части. Ще бъде добре разделена на три. Но петимата няма да могат да дадат цял брой резени шоколад.

Между другото, тези резени вече са дроби. И по-нататъшното им разделяне води до появата на по-сложни числа.

Какво е "фракция"?

Това е число, състоящо се от части на едно. Външно изглежда като две числа, разделени с хоризонтална или наклонена черта. Тази характеристика се нарича фракционна. Числото, написано отгоре (вляво), се нарича числител. Този отдолу (вдясно) е знаменателят.

Всъщност дробната черта се оказва знак за деление. Тоест числителят може да се нарече дивидент, а знаменателят - делител.

Какво представляват дробите?

В математиката има само два вида от тях: обикновени и десетични дроби. Учениците се запознават с първите в началните класове, наричайки ги просто „дроби“. Вторите учат в 5 клас. Тогава се появяват тези имена.

Обикновени дроби са всички тези, които са записани като две числа, разделени с черта. Например 4/7. Десетично е число, в което дробната част има позиционен запис и е отделена със запетая от цялото число. Например 4.7. Учениците трябва да са наясно, че двата дадени примера са напълно различни числа.

Всяка проста дроб може да бъде записана като десетична дроб. Това твърдение почти винаги е вярно и обратното. Има правила, които ви позволяват да запишете десетична дроб като обикновена дроб.

Какви подвидове имат тези видове дроби?

По-добре е да започнете в хронологичен ред, тъй като те се изучават. На първо място са обикновените дроби. Сред тях могат да се разграничат 5 подвида.

Правилно. Числителят му винаги е по-малък от знаменателя.

погрешно Числителят му е по-голям или равен на знаменателя.

Редуцируем/нередуцируем. Може да е както правилно, така и грешно. Друго нещо е важно дали числителят и знаменателят имат общи множители. Ако има, тогава те трябва да разделят двете части на дробта, тоест да я намалят.

Смесени. Цяло число се присвоява на обичайната му правилна (неправилна) дробна част. И винаги стои отляво.

Композитен. Образува се от две фракции, разделени една на друга. Тоест, той има три дробни характеристики наведнъж.

Десетичните числа имат само два подвида:

окончателен, т.е. този, в който дробната част е ограничена (има край);

infinite - число, чиито цифри след десетичната запетая не завършват (могат да се пишат безкрайно).

Как да преобразувам десетични числа в обикновени?

Ако това е крайно число, тогава се прилага асоциация по правилото - както чувам, така и пиша. Тоест, трябва да го прочетете правилно и да го запишете, но без запетая, но с дробна черта.

Като намек за необходимия знаменател, не забравяйте, че той винаги е една и няколко нули. Последните трябва да бъдат записани толкова, колкото са цифрите в дробната част на въпросното число.

Как да конвертирате десетични дроби в обикновени, ако цялата им част липсва, тоест е равна на нула? Например 0,9 или 0,05. След прилагане на посоченото правило се оказва, че трябва да напишете нула цели числа. Но не е посочено. Остава да запишем само дробните части. За първото число знаменателят ще бъде 10, за второто - 100. Тоест посочените примери ще имат числа като отговори: 9/10, 5/100. Освен това последното се оказва възможно да се намали с 5. Следователно резултатът за него трябва да бъде записан 1/20.

Как да направим обикновена дроб от десетична, ако цялата й част е различна от нула? Например 5,23 или 13,00108. И двата примера четат цялата част и записват нейната стойност. В първия случай това е 5, във втория 13. След това трябва да преминете към дробната част. С тях е необходимо да се извърши същата операция. Първото число има 23/100, второто има 108/100000. Втората стойност трябва да се намали отново. Отговорът е смесени дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как да преобразувам безкраен десетичен знак в обикновена дроб?

Ако е непериодично, тогава такава операция не може да се извърши. Този факт се дължи на факта, че всяка десетична дроб винаги се преобразува или в крайна, или в периодична.

Единственото нещо, което е позволено да се направи с такава дроб е да се закръгли. Но тогава десетичната запетая ще бъде приблизително равна на тази безкрайност. Вече може да се превърне в обикновен. Но обратният процес: преобразуване в десетична - никога няма да даде първоначалната стойност. Тоест безкрайните непериодични дроби не се превеждат в обикновени дроби. Това трябва да се помни.

Как да напишем безкрайна периодична дроб под формата на обикновена?

В тези числа след десетичната запетая винаги се появяват една или повече цифри, които се повтарят. Те се наричат периоди. Например 0,3(3). Тук "3" в периода. Те се класифицират като рационални, тъй като могат да бъдат превърнати в обикновени дроби.

Тези, които са се сблъсквали с периодични фракции, знаят, че те могат да бъдат чисти или смесени. В първия случай точката започва веднага от запетаята. Във втория дробната част започва с произволни числа и след това започва повторението.

Правилото, по което трябва да напишете безкраен десетичен знак под формата на обикновена дроб, ще бъде различно за тези два вида числа. Доста лесно е да напишете чисти периодични дроби като обикновени дроби. Както при последните, те трябва да бъдат преобразувани: запишете точката в числителя, а числото 9 ще бъде знаменателят, като се повтаря толкова пъти, колкото цифри има в периода.

Например 0,(5). Числото няма цяло число, така че трябва незабавно да преминете към дробната част. В числителя напишете 5, а в знаменателя - 9. Тоест отговорът ще бъде дробта 5/9.

Правило как да напишете обикновена десетична дроб, която е смесена дроб.

Вижте продължителността на периода. Толкова 9 ще има знаменател.

Запишете знаменателя: първо деветки, след това нули.

За да определите числителя, трябва да напишете разликата на две числа. Всички цифри след десетичната запетая ще бъдат намалени, заедно с точката. Изважда се - без точка е.

Например 0,5(8) - запишете периодичната десетична дроб като обикновена дроб. Дробната част преди точката е една цифра. Така че нула ще бъде едно. В периода също има само една цифра - 8. Тоест има само една деветка. Тоест трябва да напишете 90 в знаменателя.

За да определите числителя от 58, трябва да извадите 5. Получава се 53. Например ще трябва да напишете 53/90 като отговор.

Как се преобразуват обикновените дроби в десетични?

Най-простият вариант е число, чийто знаменател е числото 10, 100 и т.н. Тогава знаменателят просто се изхвърля и се поставя запетая между дробната и целочислената част.

Има ситуации, когато знаменателят лесно се превръща в 10, 100 и т.н. Например числата 5, 20, 25. Достатъчно е да ги умножите съответно по 2, 5 и 4. Само е необходимо да се умножи не само знаменателят, но и числителят с едно и също число.

За всички останали случаи ще ви бъде полезно едно просто правило: разделете числителя на знаменателя. В този случай можете да получите два отговора: крайна или периодична десетична дроб.

Действия с обикновени дроби

Събиране и изваждане

Учениците ги опознават по-рано от останалите. И отначало дробите имат еднакви знаменатели, а след това различни. Общите правила могат да бъдат сведени до такъв план.

Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.

Напишете допълнителни множители към всички обикновени дроби.

Умножете числителите и знаменателите по факторите, дефинирани за тях.

Добавете (извадете) числителите на дробите и оставете общия знаменател непроменен.

Ако числителят на умаляваното е по-малък от изваждаемото, тогава трябва да разберете дали имаме смесено число или правилна дроб.

В първия случай целочислената част трябва да вземе единица. Добавете знаменател към числителя на дроб. И след това направете изваждането.

Във втория - е необходимо да се приложи правилото за изваждане от по-малко число към по-голямо. Тоест, извадете модула на умаляваното от модула на изважданото и поставете знака „-“ в отговор.

Погледнете внимателно резултата от събирането (изваждането). Ако получите неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част. Тоест, разделете числителя на знаменателя.

Умножение и деление

За тяхното прилагане не е необходимо дробите да се свеждат до общ знаменател. Това улеснява предприемането на действия. Но все пак трябва да спазват правилата.

Когато умножавате обикновени дроби, е необходимо да вземете предвид числата в числителите и знаменателите. Ако някой числител и знаменател имат общ множител, тогава те могат да бъдат намалени.

Умножете числителите.

Умножете знаменателите.

Ако получите редуцируема дроб, тогава тя трябва да бъде опростена отново.

Когато делите, първо трябва да замените делението с умножение, а делителя (втора дроб) с реципрочна (разменете числителя и знаменателя).

След това продължете както при умножението (започвайки от точка 1).

В задачи, в които трябва да умножите (делите) с цяло число, последното се предполага, че се записва като неправилна дроб. Тоест със знаменател 1. След това продължете както е описано по-горе.

Операции с десетични знаци

Събиране и изваждане

Разбира се, винаги можете да превърнете десетичната дроб в обикновена дроб. И действайте според вече описания план. Но понякога е по-удобно да се действа без този превод. Тогава правилата за тяхното събиране и изваждане ще бъдат абсолютно еднакви.

Изравнете броя на цифрите в дробната част на числото, тоест след десетичната запетая. Задайте липсващия брой нули в него.

Напишете дробите така, че запетаята да е под запетаята.

Добавяне (изваждане) като естествени числа.

Махнете запетаята.

Умножение и деление

Важно е, че не е необходимо да добавяте нули тук. Предполага се, че дробите се оставят така, както са дадени в примера. И след това вървете по план.

За умножение трябва да напишете дроби една под друга, без да обръщате внимание на запетаите.

Умножете като естествени числа.

Поставете запетая в отговора, като преброите от десния край на отговора толкова цифри, колкото са в дробните части на двата фактора.

За да разделите, първо трябва да преобразувате делителя: направете го естествено число. Тоест, умножете го по 10, 100 и т.н., в зависимост от това колко цифри има в дробната част на делителя.

Умножете дивидента по същото число.

Разделете десетичната запетая на естествено число.

Поставете запетая в отговора в момента, в който приключи разделянето на цялата част.

Ами ако в един пример има и двата вида дроби?

Да, в математиката често има примери, в които трябва да извършвате операции с обикновени и десетични дроби. Има две възможни решения на тези проблеми. Трябва обективно да претеглите числата и да изберете най-доброто.

Първи начин: представя обикновени десетични знаци

Подходящо е, ако при разделяне или преобразуване се получат крайни фракции. Ако поне едно число дава периодична част, тогава тази техника е забранена. Следователно, дори и да не обичате да работите с обикновени дроби, ще трябва да ги преброите.

Вторият начин: напишете десетичните дроби като обикновени

Тази техника е удобна, ако има 1-2 цифри в частта след десетичната запетая. Ако има повече от тях, може да се получи много голяма обикновена дроб и десетичните записи ще ви позволят да изчислите задачата по-бързо и по-лесно. Следователно винаги е необходимо трезво да се оцени задачата и да се избере най-простият метод за решение.

В тази статия ще анализираме как преобразуване на обикновени дроби в десетични, а също така разгледайте обратния процес - преобразуването на десетични дроби в обикновени дроби. Тук ще изразим правилата за обръщане на дроби и ще дадем подробни решения на типични примери.

Навигация в страницата.

Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Нека обозначим последователността, в която ще се занимаваме с преобразуване на обикновени дроби в десетични.

Първо, ще разгледаме как да представим обикновени дроби със знаменател 10, 100, 1000, ... като десетични дроби. Това е така, защото десетичните дроби по същество са компактна форма на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ....

След това ще продължим и ще покажем как всяка обикновена дроб (не само със знаменатели 10, 100, ...) може да бъде записана като десетична дроб. При това преобразуване на обикновени дроби се получават както крайни десетични дроби, така и безкрайни периодични десетични дроби.

Сега за всичко по ред.

Преобразуване на обикновени дроби със знаменател 10, 100, ... в десетични дроби

Някои редовни дроби се нуждаят от "предварителна подготовка", преди да се превърнат в десетични дроби. Това важи за обикновените дроби, чийто брой цифри в числителя е по-малък от броя на нулите в знаменателя. Например обикновената дроб 2/100 трябва първо да бъде подготвена за преобразуване в десетична дроб, но дробта 9/10 не е необходимо да се подготвя.

„Предварителната подготовка“ на правилните обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби се състои в добавяне на толкова много нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например дроб след добавяне на нули ще изглежда като .

След като подготвите правилната обикновена дроб, можете да започнете да я преобразувате в десетична дроб.

Да дадем правило за преобразуване на правилна обикновена дроб със знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетична дроб. Състои се от три стъпки:

запишете 0;
поставете десетична точка след него;
записваме числото от числителя (заедно с добавените нули, ако сме ги добавили).

Обмислете приложението на това правило при решаване на примери.

Пример.

Преобразувайте правилната дроб 37/100 в десетична.

Решение.

Знаменателят съдържа числото 100, което има две нули в своя запис. Числителят съдържа числото 37, в неговия запис има две цифри, следователно тази фракция не трябва да се подготвя за преобразуване в десетична дроб.

Сега пишем 0, поставяме десетична запетая и записваме числото 37 от числителя, докато получаваме десетичната дроб 0,37.

Отговор:

0,37 .

За да консолидираме уменията за превод на редовни обикновени дроби с числители 10, 100, ... в десетични дроби, ще анализираме решението на друг пример.

Пример.

Запишете правилната дроб 107/10 000 000 като десетичен знак.

Решение.

Броят на цифрите в числителя е 3, а броят на нулите в знаменателя е 7, така че тази обикновена дроб трябва да бъде подготвена за преобразуване в десетична. Трябва да добавим 7-3=4 нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Получаваме .

Остава да образуваме желаната десетична дроб. За да направите това, първо, записваме 0, второ, поставяме запетая, трето, записваме числото от числителя заедно с нули 0000107 , като резултат имаме десетична дроб 0,0000107 .

Отговор:

0,0000107 .

Неправилните обикновени дроби не се нуждаят от подготовка при преобразуване в десетични дроби. Трябва да се спазва следното правила за преобразуване на неправилни обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични дроби:

запишете числото от числителя;
разделяме с десетична запетая толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на първоначалната дроб.

Нека анализираме приложението на това правило при решаване на пример.

Пример.

Преобразувайте неправилна обикновена дроб 56 888 038 009/100 000 в десетична.

Решение.

Първо записваме числото от числителя 56888038009 и второ отделяме 5 цифри отдясно с десетична запетая, тъй като в знаменателя на оригиналната дроб има 5 нули. В резултат на това имаме десетична дроб 568 880.38009.

Отговор:

568 880,38009 .

За да преобразувате смесено число в десетична дроб, чийто знаменател на дробната част е числото 10, или 100, или 1000, ..., можете да преобразувате смесеното число в неправилна обикновена дроб, след което получената дроб може да се преобразува в десетична дроб. Но можете да използвате и следното правилото за преобразуване на смесени числа със знаменател на дробната част 10, или 100, или 1000, ... в десетични дроби:

ако е необходимо, извършваме „предварителна подготовка“ на дробната част от първоначалното смесено число, като добавяме необходимия брой нули отляво в числителя;
запишете цялата част от първоначалното смесено число;
поставете десетична точка;
записваме числото от числителя заедно с добавените нули.

Нека разгледаме пример, при решаването на който ще извършим всички необходими стъпки, за да представим смесено число като десетична дроб.

Пример.

Преобразувайте смесено число в десетично.

Решение.

Има 4 нули в знаменателя на дробната част и числото 17 в числителя, състоящ се от 2 цифри, следователно трябва да добавим две нули отляво в числителя, така че броят на знаците там да стане равен на брой нули в знаменателя. Като направите това, числителят ще бъде 0017.

Сега записваме цялата част от оригиналното число, тоест числото 23, поставяме десетична точка, след което записваме числото от числителя заедно с добавените нули, тоест 0017, докато получаваме желания десетичен знак дроб 23.0017.

Нека запишем накратко цялото решение: .

Несъмнено беше възможно смесеното число първо да се представи като неправилна дроб и след това да се преобразува в десетична дроб. С този подход решението изглежда така:

Отговор:

23,0017 .

Преобразуване на обикновени дроби в крайни и безкрайни периодични десетични дроби

В десетична дроб могат да се преобразуват не само обикновени дроби със знаменател 10, 100, ..., но и обикновени дроби с други знаменатели. Сега ще разберем как се прави това.

В някои случаи първоначалната обикновена дроб лесно се свежда до един от знаменателите 10, или 100, или 1000, ... (виж редуцирането на обикновена дроб до нов знаменател), след което не е трудно да се представи получената дроб като десетична дроб. Например, очевидно е, че дробта 2/5 може да се сведе до дроб със знаменател 10, за това трябва да умножите числителя и знаменателя по 2, което ще даде дроб 4/10, което според правилата, обсъдени в предишния параграф, могат лесно да бъдат преобразувани в десетична дроб 0, четири .

В други случаи трябва да използвате различен начин за преобразуване на обикновена дроб в десетична, което сега ще разгледаме.

За да преобразувате обикновена дроб в десетична дроб, числителят на дробта се разделя на знаменателя, числителят първо се заменя с равна десетична дроб с произволен брой нули след десетичната запетая (говорихме за това в раздела равно и неравни десетични дроби). В този случай делението се извършва по същия начин като деленето на колона от естествени числа, а десетичната запетая се поставя в частното, когато делението на цялата част от дивидента приключи. Всичко това ще стане ясно от решенията на дадените по-долу примери.

Пример.

Преобразувайте обикновената дроб 621/4 в десетична.

Решение.

Представяме числото в числителя 621 като десетична дроб, като добавяме десетична запетая и няколко нули след нея. Като начало ще добавим 2 цифри 0, по-късно, ако е необходимо, винаги можем да добавим още нули. И така, имаме 621,00.

Сега нека разделим числото 621 000 на 4 с колона. Първите три стъпки не се различават от деленето на колона от естествени числа, след което стигаме до следната картина:

Така стигнахме до десетичната запетая в дивидента и остатъкът е различен от нула. В този случай поставяме десетична запетая в частното и продължаваме делението по колона, като игнорираме запетаите:

Това деление е завършено и в резултат получаваме десетичната дроб 155,25, която съответства на оригиналната обикновена дроб.

Отговор:

155,25 .

За да консолидирате материала, помислете за решението на друг пример.

Пример.

Преобразувайте обикновената дроб 21/800 в десетична.

Решение.

За да преобразуваме тази обикновена дроб в десетична, нека разделим десетичната дроб 21 000 ... на 800 с колона. След първата стъпка ще трябва да поставим десетична запетая в частното и след това да продължим делението:

Накрая получихме остатъка 0, с това преобразуването на обикновената дроб 21/400 в десетичната дроб е завършено и стигнахме до десетичната дроб 0,02625.

Отговор:

0,02625 .

Може да се случи така, че при разделянето на числителя на знаменателя на обикновена дроб никога да не получим остатък 0. В тези случаи разделянето може да продължи колкото желаете. Въпреки това, започвайки от определена стъпка, остатъците започват да се повтарят периодично, докато цифрите в частното също се повтарят. Това означава, че оригиналната обикновена дроб се превръща в безкраен периодичен десетичен знак. Нека покажем това с пример.

Пример.

Запишете обикновената дроб 19/44 като десетичен знак.

Решение.

За да преобразуваме обикновена дроб в десетична, извършваме деление по колона:

Вече е ясно, че при деленето остатъците 8 и 36 са започнали да се повтарят, докато в частното числата 1 и 8 се повтарят. Така оригиналната обикновена дроб 19/44 се превежда в периодична десетична дроб 0,43181818…=0,43(18) .

Отговор:

0,43(18) .

В заключение на този параграф ще разберем кои обикновени дроби могат да бъдат преобразувани в крайни десетични дроби и кои могат да бъдат преобразувани само в периодични.

Нека имаме нередуцируема обикновена дроб пред нас (ако дробта е редуцируема, тогава първо извършваме редукцията на дробта) и трябва да разберем в каква десетична дроб може да бъде преобразувана - крайна или периодична.

Ясно е, че ако една обикновена дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ..., тогава получената дроб може лесно да бъде преобразувана в последна десетична дроб съгласно правилата, разгледани в предишния параграф. Но към знаменателите 10, 100, 1000 и т.н. не са дадени всички обикновени дроби. До такива знаменатели могат да се сведат само дроби, чиито знаменатели са поне едно от числата 10, 100, ... А кои числа могат да бъдат делители на 10, 100, ...? Числата 10, 100, … ще ни позволят да отговорим на този въпрос, а те са както следва: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . От това следва, че делителите на 10, 100, 1000 и т.н. може да има само числа, чиито разложения на прости множители съдържат само числата 2 и (или) 5 .

Сега можем да направим общо заключение за преобразуването на обикновени дроби в десетични дроби:

ако само числата 2 и (или) 5 присъстват в разлагането на знаменателя на прости множители, тогава тази дроб може да бъде преобразувана в последна десетична дроб;
ако в допълнение към две и петици има други прости числа в разширението на знаменателя, тогава тази дроб се превежда в безкрайна десетична периодична дроб.

Пример.

Без да преобразувате обикновените дроби в десетични, кажете ми коя от дробите 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 може да се преобразува в крайна десетична дроб и коя може да се преобразува само в периодична.

Решение.

Разлагането на прости множители на знаменателя на дробта 47/20 има формата 20=2 2 5 . В това разширение има само двойки и петици, така че тази дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ... (в този пример до знаменателя 100), следователно може да бъде преобразувана в краен десетичен знак фракция.

Разлагането на прости множители на знаменателя на дробта 7/12 има формата 12=2 2 3 . Тъй като съдържа прост фактор 3, различен от 2 и 5, тази дроб не може да бъде представена като крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в периодична десетична дроб.

Фракция 21/56 - свиваем, след редукция приема формата 3/8. Разлагането на знаменателя на прости множители съдържа три множителя, равни на 2, следователно обикновената дроб 3/8, а оттам и дробта, равна на нея 21/56, могат да бъдат преведени в крайна десетична дроб.

И накрая, разширението на знаменателя на дробта 31/17 само по себе си е 17, следователно тази дроб не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в безкрайна периодична дроб.

Отговор:

47/20 и 21/56 могат да бъдат преобразувани в краен десетичен знак, докато 7/12 и 31/17 могат да бъдат преобразувани само в периодичен десетичен знак.

Обикновените дроби не се преобразуват в безкрайни неповтарящи се десетични знаци

Информацията от предишния параграф повдига въпроса: „Може ли да се получи безкрайна непериодична дроб при разделяне на числителя на дроб на знаменателя“?

Отговор: не. При превод на обикновена дроб може да се получи или крайна десетична дроб, или безкрайна периодична десетична дроб. Нека обясним защо това е така.

От теоремата за делимост с остатък става ясно, че остатъкът винаги е по-малък от делителя, т.е. ако разделим някакво цяло число на цяло число q, тогава само едно от числата 0, 1, 2, ..., q −1 може да бъде остатъкът. От това следва, че след приключване на делението на цялата част от числителя на обикновена дроб на знаменателя q, след не повече от q стъпки, ще възникне една от следните две ситуации:

или получаваме остатъка 0, това ще приключи делението и ще получим последната десетична дроб;
или ще получим остатък, който вече се е появил преди, след което остатъците ще започнат да се повтарят както в предишния пример (тъй като при деление на равни числа на q се получават равни остатъци, което следва от вече споменатата теорема за делимост), така че ще се получи безкрайна периодична десетична дроб.

Не може да има други опции, следователно при преобразуване на обикновена дроб в десетична дроб не може да се получи безкрайна непериодична десетична дроб.

От разсъжденията, дадени в този параграф, също следва, че дължината на периода на десетична дроб винаги е по-малка от стойността на знаменателя на съответната обикновена дроб.

Преобразувайте десетични числа в обикновени дроби

Сега нека да разберем как да преобразуваме десетична дроб в обикновена. Нека започнем с преобразуване на крайните десетични числа в обикновени дроби. След това разгледайте метода за обръщане на безкрайни периодични десетични дроби. В заключение, нека кажем за невъзможността за преобразуване на безкрайни непериодични десетични дроби в обикновени дроби.

Преобразуване на крайните десетични числа в обикновени дроби

Получаването на обикновена дроб, която се записва като последна десетична дроб, е доста проста. Правилото за преобразуване на крайна десетична дроб в обикновена дробсе състои от три стъпки:

първо, запишете дадената десетична дроб в числителя, като преди това сте изхвърлили десетичната запетая и всички нули отляво, ако има такива;
второ, напишете едно в знаменателя и добавете към него толкова нули, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
трето, ако е необходимо, намалете получената фракция.

Нека разгледаме примери.

Пример.

Преобразувайте десетичната запетая 3,025 в обикновена дроб.

Решение.

Ако премахнем десетичната запетая в оригиналната десетична дроб, тогава получаваме числото 3025. Няма нули отляво, които бихме изхвърлили. И така, в числителя на търсената дроб записваме 3025.

Записваме числото 1 в знаменателя и добавяме 3 нули вдясно от него, тъй като в оригиналната десетична дроб има 3 цифри след десетичната запетая.

Така че имаме обикновена дроб 3 025/1 000. Тази дроб може да се намали с 25, получаваме .

Отговор:

Пример.

Преобразувайте десетичната дроб 0,0017 в обикновена дроб.

Решение.

Без десетична запетая оригиналната десетична дроб изглежда като 00017, като изхвърлим нулите отляво, получаваме числото 17, което е числителят на желаната обикновена дроб.

В знаменателя записваме единица с четири нули, тъй като в оригиналната десетична дроб има 4 цифри след десетичната запетая.

В резултат на това имаме обикновена дроб 17/10 000. Тази дроб е несъкратима и преобразуването на десетична дроб в обикновена е завършено.

Отговор:

Когато цялата част от оригиналната крайна десетична дроб е различна от нула, тогава тя може незабавно да бъде преобразувана в смесено число, заобикаляйки обикновената дроб. Да дадем правило за преобразуване на последен десетичен знак в смесено число:

числото преди десетичната запетая трябва да бъде записано като цяла част от желаното смесено число;
в числителя на дробната част трябва да напишете числото, получено от дробната част на оригиналната десетична дроб, след като изхвърлите всички нули отляво в нея;
в знаменателя на дробната част трябва да напишете числото 1, към което отдясно добавете толкова нули, колкото има цифри в записа на първоначалната десетична дроб след десетичната точка;
ако е необходимо, намалете дробната част на полученото смесено число.

Помислете за пример за преобразуване на десетична дроб в смесено число.

Пример.

Изразете десетичната запетая 152,06005 като смесено число

Раздели