У дома

кладенци

Основите са в еднаква степен, за да се приравнят. експоненциални уравнения и неравенства

Лекция: "Методи за решаване на експоненциални уравнения."

1 . експоненциални уравнения.

Уравнения, съдържащи неизвестни в експонентата, се наричат експоненциални уравнения. Най-простото от тях е уравнението ax = b, където a > 0 и a ≠ 1.

1) За б< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) За b > 0, използвайки монотонността на функцията и коренната теорема, уравнението има един корен. За да го намерим, b трябва да се представи като b = aс, ax = bс ó x = c или x = logab.

Експоненциалните уравнения чрез алгебрични трансформации водят до стандартни уравнения, които се решават по следните методи:

1) метод за намаляване на една база;

2) метод на оценка;

3) графичен метод;

4) методът за въвеждане на нови променливи;

5) метод на факторизация;

6) експоненциални - степенни уравнения;

7) експоненциална с параметър.

2 . Метод на редукция до една основа.

Методът се основава на следното свойство на степените: ако две степени са равни и техните основи са равни, тогава техните експоненти са равни, т.е., уравнението трябва да се опита да се сведе до вида

Примери. Решете уравнението:

1 . 3x=81;

Нека представим дясната страна на уравнението във формата 81 = 34 и напишем уравнението, еквивалентно на оригиналното 3 x = 34; x = 4. Отговор: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> и преминете към уравнението за експоненти 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Отговор: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Обърнете внимание, че числата 0,2, 0,04, √5 и 25 са степени на 5. Нека се възползваме от това и трансформираме оригиналното уравнение, както следва:

, откъдето 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, от което намираме решението x = -1. Отговор: -1.

5. 3x = 5. По дефиниция на логаритъма, x = log35. Отговор: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Нека пренапишем уравнението като 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, т.е.png" width="181" height="49 src="> Оттук x - 4 =0, x = 4. Отговор: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Използвайки свойствата на степените, записваме уравнението във вида e. x+1 = 2, x =1. Отговор: 1.

Банка със задачи No1.

Решете уравнението:

Тест номер 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) без корени
	1) 7;1 2) без корени 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Тест №2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) без корени 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Метод за оценка.

Теорема за корена: ако функцията f (x) се увеличава (намалява) на интервала I, числото a е всяка стойност, взета от f на този интервал, тогава уравнението f (x) = a има един корен на интервала I.

При решаване на уравнения по метода на оценка се използва тази теорема и свойствата на монотонността на функцията.

Примери. Решаване на уравнения: 1. 4x = 5 - x.

Решение. Нека пренапишем уравнението като 4x + x = 5.

1. ако x = 1, тогава 41 + 1 = 5, 5 \u003d 5 е вярно, тогава 1 е коренът на уравнението.

Функцията f(x) = 4x се увеличава на R и g(x) = x се увеличава на R => h(x)= f(x)+g(x) се увеличава на R като сума от нарастващи функции, така че x = 1 е единственият корен на уравнението 4x = 5 – x. Отговор: 1.

Решение. Пренаписваме уравнението във формата .

1. ако x = -1, тогава , 3 = 3-вярно, така че x = -1 е коренът на уравнението.

2. докаже, че е уникален.

3. Функцията f(x) = - намалява на R, а g(x) = - x - намалява на R => h(x) = f(x) + g(x) - намалява на R, като сумата на намаляващи функции. Така че според коренната теорема x = -1 е единственият корен на уравнението. Отговор: -1.

Банка от задачи No2. реши уравнението

а) 4x + 1 = 6 - x;

б)

в) 2x – 2 =1 – x;

4. Метод за въвеждане на нови променливи.

Методът е описан в раздел 2.1. Въвеждането на нова променлива (заместване) обикновено се извършва след трансформации (опростяване) на членовете на уравнението. Помислете за примери.

Примери. Ряж уравнение: 1. .

Нека пренапишем уравнението по различен начин: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> т.е.png" width="210" височина = "45">

Решение. Нека пренапишем уравнението по различен начин:

Обозначете https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - не е подходящо.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> е ирационално уравнение. Имайте предвид, че

Решението на уравнението е x = 2,5 ≤ 4, така че 2,5 е коренът на уравнението. Отговор: 2.5.

Решение. Нека пренапишем уравнението във формата и разделим двете страни на 56x+6 ≠ 0. Получаваме уравнението

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, така че..png" width="118" height="56">

Корените на квадратното уравнение - t1 = 1 и t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Решение . Пренаписваме уравнението във формата

и имайте предвид, че това е хомогенно уравнение от втора степен.

Разделете уравнението на 42x, получаваме

Заменете https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Отговор: 0; 0,5

Банка със задачи №3. реши уравнението

б)

ж)

Тест №3 с избор на отговори. Минимално ниво.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) няма корени 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) няма корени 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Тест №4 с избор на отговори. Общо ниво.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) без корени

5. Метод на факторизация.

1. Решете уравнението: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Решение..png" width="169" height="69"> , откъде

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Решение. Нека извадим 6x от лявата страна на уравнението и 2x от дясната страна. Получаваме уравнението 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Тъй като 2x >0 за всички x, можем да разделим двете страни на това уравнение на 2x, без да се страхуваме, че ще загубим решения. Получаваме 3x = 1ó x = 0.

Решение. Решаваме уравнението чрез разлагане на множители.

Избираме квадрата на бинома

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 е коренът на уравнението.

Уравнение x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Тест №6 Общо ниво.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Експоненциално – степенни уравнения.

Към експоненциалните уравнения се присъединяват т. нар. уравнения с експоненциална степен, т.е. уравнения от вида (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ако е известно, че f(x)>0 и f(x) ≠ 1, то уравнението, подобно на експоненциалното, се решава чрез уравнение на експонентите g(x) = f(x).

Ако условието не изключва възможността за f(x)=0 и f(x)=1, тогава трябва да вземем предвид тези случаи при решаването на уравнението на експоненциалната степен.

1..png" width="182" height="116 src=">

Решение. x2 +2x-8 - има смисъл за всяко x, тъй като е полином, така че уравнението е еквивалентно на множеството

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

б)

7. Експоненциални уравнения с параметри.

1. За какви стойности на параметъра p уравнение 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) има еднозначно решение?

Решение. Нека въведем промяната 2x = t, t > 0, тогава уравнение (1) ще приеме формата t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Дискриминантът на уравнение (2) е D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Уравнение (1) има уникално решение, ако уравнение (2) има един положителен корен. Това е възможно в следните случаи.

1. Ако D = 0, тоест p = 1, тогава уравнение (2) ще приеме формата t2 – 2t + 1 = 0, следователно t = 1, следователно, уравнение (1) има еднозначно решение x = 0.

2. Ако p1, тогава 9(p – 1)2 > 0, тогава уравнение (2) има два различни корена t1 = p, t2 = 4p – 3. Множеството от системи удовлетворява условието на задачата

Замествайки t1 и t2 в системите, имаме

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Решение. Нека бъде тогава уравнение (3) ще приеме формата t2 – 6t – a = 0. (4)

Нека намерим стойностите на параметъра a, за които поне един корен от уравнение (4) удовлетворява условието t > 0.

Нека представим функцията f(t) = t2 – 6t – a. Възможни са следните случаи.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Случай 2. Уравнение (4) има уникално положително решение, ако

D = 0, ако a = – 9, тогава уравнение (4) ще приеме вида (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Случай 3. Уравнение (4) има два корена, но единият от тях не отговаря на неравенството t > 0. Това е възможно, ако

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Така при a 0 уравнението (4) има единичен положителен корен . Тогава уравнение (3) има уникално решение

За< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

ако< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ако a = – 9, тогава x = – 1;

ако a  0, тогава

Нека сравним методите за решаване на уравнения (1) и (3). Забележете, че при решаването на уравнение (1) то е сведено до квадратно уравнение, чийто дискриминант е пълен квадрат; по този начин корените на уравнение (2) бяха незабавно изчислени по формулата на корените на квадратното уравнение и след това бяха направени заключения относно тези корени. Уравнение (3) е сведено до квадратно уравнение (4), чийто дискриминант не е перфектен квадрат, следователно при решаване на уравнение (3) е препоръчително да се използват теореми за местоположението на корените на квадратен тричлен и графичен модел. Забележете, че уравнение (4) може да бъде решено с помощта на теоремата на Виета.

Нека решаваме по-сложни уравнения.

Задача 3. Решете уравнението

Решение. ODZ: x1, x2.

Нека представим заместител. Нека 2x = t, t > 0, тогава в резултат на трансформации уравнението ще приеме формата t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Намерете стойностите на a, за които поне един корен от уравнението (*) удовлетворява условието t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Отговор: ако a > - 13, a  11, a  5, тогава ако a - 13,

a = 11, a = 5, тогава няма корени.

Библиография.

1. Гузеев основи на образователната технология.

2. Технология на Гузеев: от рецепция до философия.

М. „Ръководител” No4, 1996г

3. Гузеев и организационни форми на обучение.

4. Гузеев и практиката на интегралната образователна технология.

М. "Народно образование", 2001г

5. Гузеев от формите на урока - семинар.

Математика в ОУ No2, 1987 г., с. 9 - 11.

6. Селевко образователни технологии.

М. "Народно образование", 1998г

7. Епишива ученици учат математика.

М. "Просвещение", 1990г

8. Иванов да подготви уроци – работилници.

Математика в ОУ No6, 1990 г., с. 37-40.

9. Смирнов модел на обучение по математика.

Математика в ОУ No1, 1997 г., с. 32-36.

10. Тарасенко начини за организиране на практическа работа.

Математика в ОУ No1, 1993 г., с. 27 - 28.

11. За един от видовете индивидуална работа.

Математика в ОУ No2, 1994, с. 63 - 64.

12. Хазанкин творчески способности на учениците.

Математика в ОУ No2, 1989 г., с. десет.

13. Сканави. Издател, 1997 г

14. и др. Алгебра и началото на анализа. Дидактически материали за

15. Кривоногов задачи по математика.

М. "Първи септември", 2002г

16. Черкасов. Наръчник за гимназисти и

влизане в университети. "A S T - пресшкола", 2002г

17. Жевняк за кандидатстващи в университети.

Минск и RF "Преглед", 1996 г

18. Писмено Г. Подготовка за изпита по математика. М. Ролф, 1999 г

19. и др.Учене за решаване на уравнения и неравенства.

М. "Интелект - център", 2003г

20. и др. Образователни и обучителни материали за подготовка за ЕГЕ.

М. "Интелект - център", 2003 и 2004г

21 и др. Варианти на CMM. Изпитателен център на Министерството на отбраната на Руската федерация, 2002, 2003 г

22. Уравнения на Голдберг. „Квант” No3, 1971г

23. Волович М. Как успешно се преподава математика.

Математика, 1997 No3.

24 Окунев за урока, деца! М. Просвещение, 1988

25. Якиманска - ориентирано обучение в училище.

26. Liimets работа на урока. М. Знание, 1975

Примери:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

Как да решаваме експоненциални уравнения

Когато решаваме всяко експоненциално уравнение, ние се стремим да го приведем до вида $a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $, а след това правим преход към равенство на индикаторите, тоест:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

Например:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

Важно! От същата логика следват две изисквания за такъв преход:
- номер в ляво и дясно трябва да са еднакви;
- градуси наляво и надясно трябва да са "чисти", тоест не трябва да има, умножения, деления и т.н.

Например:

За да приведем уравнението до вида $a^(f(x))=a^(g(x))$ и се използват.

Пример . Решете експоненциалното уравнение $\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$
решение:

$\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

Знаем, че $27 = 3^3$. Имайки предвид това, преобразуваме уравнението.

$\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

Чрез свойството на корена $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ получаваме, че $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. Освен това, използвайки свойството степен $(a^b)^c=a^(bc)$, получаваме $((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$.

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

Знаем също, че $a^b a^c=a^(b+c)$. Прилагайки това към лявата страна, получаваме: $3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)$.

$3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

Сега запомнете това: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$. Тази формула може да се използва и в обратна посока: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$. Тогава $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$.

$3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)$

Прилагайки свойството $(a^b)^c=a^(bc)$ към дясната страна, получаваме: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$.

$3^(x+0,5)=3^(-2x)$

И сега имаме равни основи и няма интерфериращи коефициенти и т.н. Така че можем да направим прехода.

Пример . Решете експоненциалното уравнение $4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$
решение:

$4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$		Отново използваме свойството степен $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ в обратната посока.
$4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0$		Сега запомнете, че $4=2^2$.
$(2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0$		Използвайки свойствата на степента, ние трансформираме: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.$
$2 (2^x)^2-5 2^x+2=0$		Разглеждаме внимателно уравнението и виждаме, че заместването $t=2^x$ се предлага тук.

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		Въпреки това намерихме стойностите $t$ и ни трябва $x$. Връщаме се към X, като правим обратното заместване.
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		Преобразувайте второто уравнение, използвайки свойството отрицателна мощност...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		...и решавайте до отговора.
$x_1=1$ $x_2=-1$

Отговор : $-1; 1$.

Остава въпросът - как да разберем кога да приложим кой метод? Идва с опит. Междувременно не сте го разработили, използвайте общата препоръка за решаване на сложни проблеми – „ако не знаете какво да правите – направете каквото можете“. Тоест, потърсете как можете да трансформирате уравнението по принцип и се опитайте да го направите - ами ако излезе? Основното нещо е да се правят само математически обосновани трансформации.

експоненциални уравнения без решения

Нека разгледаме още две ситуации, които често озадачават учениците:
- положително число на степен е равно на нула, например $2^x=0$;
- положително число на степен е равно на отрицателно число, например $2^x=-4$.

Нека се опитаме да го решим с груба сила. Ако x е положително число, тогава с нарастването на x цялата мощност $2^x$ ще нараства само:

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$.

$x=0$; $2^0=1$

Също минало. Има отрицателни х. Запомняйки свойството $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$, проверяваме:

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1)=\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

Въпреки факта, че числото става по-малко с всяка стъпка, то никога няма да достигне нула. Така че и отрицателната степен не ни спаси. Стигаме до логичен извод:

Положително число на всяка степен ще остане положително число.

Следователно и двете уравнения по-горе нямат решения.

експоненциални уравнения с различни основи

На практика понякога има експоненциални уравнения с различни основи, които не са сводими една към друга, и в същото време с еднакви експоненти. Те изглеждат така: $a^(f(x))=b^(f(x))$, където $a$ и $b$ са положителни числа.

Например:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

Такива уравнения могат лесно да бъдат решени чрез разделяне на която и да е от частите на уравнението (обикновено се разделя на дясната страна, тоест на \ (b ^ (f (x)) \). Можете да разделите по този начин, тъй като положително числото е положително до произволна степен (тоест не делим на нула.) Получаваме:

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

Пример . Решете експоненциалното уравнение $5^(x+7)=3^(x+7)$
решение:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		Тук не можем да превърнем петица в тройка или обратно (поне без да използваме). Така че не можем да стигнем до формата $a^(f(x))=a^(g(x))$. В същото време показателите са еднакви. Нека разделим уравнението на дясната страна, тоест на $3^(x+7)$ (можем да направим това, защото знаем, че тройката няма да бъде нула в нито една степен).
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		Сега запомнете свойството $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ и го използвайте отляво в обратната посока. Вдясно просто намаляваме дроба.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		Изглежда не ставаше по-добре. Но запомнете друго свойство на степента: $a^0=1$, с други думи: "всяко число с нулева степен е равно на $1$". Обратното също е вярно: „единица може да бъде представена като произволно число, повдигнато на степен нула“. Използваме това, като правим основата отдясно същата като тази отляво.
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		Вуаля! Отърваваме се от основите.
		Пишем отговора.

Отговор : $-7$.

Понякога "еднаквостта" на степените не е очевидна, но умелото използване на свойствата на степента решава този проблем.

Пример . Решете експоненциалното уравнение $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
решение:

$7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Уравнението изглежда доста тъжно... Не само, че основите не могат да се сведат до едно и също число (седем няма да са равни на $\frac(1)(3)$), но и показателите са различни... Нека обаче използваме двойката на лявата степен.
$7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Имайки предвид свойството $(a^b)^c=a^(b c)$ , трансформирайте вляво: $7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$.
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		Сега, запомняйки свойството за отрицателна мощност $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$, трансформираме вдясно: $(\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		Алилуя! Резултатите са еднакви! Действайки по вече познатата ни схема, ние решаваме преди отговора.

Отговор : $2$.

Оборудване:

компютър,
мултимедиен проектор,
екран,
Приложение 1(слайд презентация в PowerPoint) „Методи за решаване на експоненциални уравнения“
Приложение 2(Решение на уравнение като „Три различни основи на степени“ в Word)
Приложение 3(разпечатка в Word за практическа работа).
Приложение 4(раздаване в Word за домашна работа).

По време на занятията

1. Организационен етап

съобщение на темата на урока (написано на дъската),
необходимостта от обобщаващ урок в 10-11 клас:

Етапът на подготовка на учениците за активно усвояване на знания

Повторение

Определение.

Експоненциалното уравнение е уравнение, съдържащо променлива в експонента (ученикът отговаря).

Бележка на учителя. Експоненциалните уравнения принадлежат към класа на трансцендентните уравнения. Това трудно за произнасяне име подсказва, че такива уравнения, най-общо казано, не могат да бъдат решени под формата на формули.

Те могат да бъдат решени само с приблизително числени методи на компютри. Но какво да кажем за изпитните въпроси? Целият трик е, че проверяващият съставя проблема по такъв начин, че той просто допуска аналитично решение. С други думи, можете (и трябва!) да правите такива идентични трансформации, които редуцират даденото експоненциално уравнение до най-простото експоненциално уравнение. Това е най-простото уравнение и се нарича: най-простото експоненциално уравнение. Решено е логаритъм.

Ситуацията с решението на експоненциално уравнение наподобява пътуване през лабиринт, което е специално измислено от компилатора на задачата. От тези много общи съображения следват доста конкретни препоръки.

За да решите успешно експоненциални уравнения, трябва:

1. Не само активно познавайте всички експоненциални идентичности, но и намирайте набори от стойности на променливата, върху която са дефинирани тези идентичности, така че при използването на тези идентичности човек да не придобива ненужни корени и още повече да не губи решения на уравнението.

2. Познавайте активно всички експоненциални идентичности.

3. Ясно, подробно и без грешки, извършвайте математически трансформации на уравнения (прехвърляйте членове от една част на уравнението в друга, без да забравяте да промените знака, да намалите дроба до общ знаменател и т.н.). Това се нарича математическа култура. В същото време самите изчисления трябва да се извършват автоматично с ръце, а главата трябва да мисли за общата водеща нишка на решението. Необходимо е трансформациите да се правят възможно най-внимателно и подробно. Само това ще гарантира правилно решение без грешки. И запомнете: малка аритметична грешка може просто да създаде трансцендентно уравнение, което по принцип не може да бъде решено аналитично. Оказва се, че сте загубили пътя си и сте се натъкнали на стената на лабиринта.

4. Познайте методите за решаване на проблеми (тоест познайте всички пътища през лабиринта на решението). За правилна ориентация на всеки етап ще трябва (съзнателно или интуитивно!):

дефинирай тип уравнение;
запомнете съответния тип метод на решениезадачи.

Етапът на обобщаване и систематизиране на изучавания материал.

Учителят, заедно с учениците, с участието на компютър провежда обзорно повторение на всички видове експоненциални уравнения и методи за тяхното решаване и съставя обща схема. (Използва се учебната компютърна програма на Л. Я. Боревски „Курс по математика – 2000 г.“, автор на презентацията на PowerPoint е Т. Н. Купцова.)

Ориз. един.Фигурата показва обща схема на всички видове експоненциални уравнения.

Както може да се види от тази диаграма, стратегията за решаване на експоненциални уравнения е да се сведе това експоненциално уравнение до уравнението, преди всичко, със същите основи , а след това - и със същите показатели.

След като сте получили уравнение със същите бази и експоненти, вие заменяте тази степен с нова променлива и получавате просто алгебрично уравнение (обикновено дробно рационално или квадратно) по отношение на тази нова променлива.

Чрез решаване на това уравнение и извършване на обратна замяна, вие получавате набор от прости експоненциални уравнения, които могат да бъдат решени като цяло с помощта на логаритъм.

Отделно се открояват уравненията, в които се срещат само продукти на (частни) правомощия. Използвайки експоненциални тъждества, е възможно тези уравнения незабавно да се приведат в една база, по-специално към най-простото експоненциално уравнение.

Помислете как се решава експоненциално уравнение с три различни основи на степените.

(Ако учителят има учебна компютърна програма от Л. Я. Боревски "Курс по математика - 2000 г.", тогава естествено работим с диска, ако не, можете да разпечатате този тип уравнение за всяка бюро от него, представено по-долу .)

Ориз. 2.План за решение на уравнение.

Ориз. 3.Започваме да решаваме уравнението

Ориз. 4.Краят на решението на уравнението.

Извършване на практическа работа

Определете вида на уравнението и го решете.

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Обобщаване на урока

Оценяване на урок.

края на урока

За учителя

Схема на практическите отговори на работата.

Упражнение:от списъка с уравнения изберете уравненията от посочения тип (поставете номера на отговора в таблицата):

Три различни бази
Две различни основи - различни степени
Основи на степените - степени на едно число
Едни и същи основи, различни експоненти
Същите експонентни основи - същите експоненти
Продукт на правомощията
Две различни основи на градусите - едни и същи показатели
Най-простите експоненциални уравнения

1. (продукт на силите)

2. (същите основи - различни експоненти)

Този урок е предназначен за тези, които тепърва започват да учат експоненциални уравнения. Както винаги, нека започнем с определение и прости примери.

Ако четете този урок, тогава подозирам, че вече имате поне минимално разбиране на най-простите уравнения – линейни и квадратни: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ и т.н. Да може да се решават подобни конструкции е абсолютно необходимо, за да не се „виси“ в темата, която ще бъде обсъдена сега.

И така, експоненциални уравнения. Нека ви дам няколко примера:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Някои от тях може да ви се сторят по-сложни, някои от тях, напротив, са твърде прости. Но всички те са обединени от една важна характеристика: съдържат експоненциална функция $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Така въвеждаме дефиницията:

Експоненциално уравнение е всяко уравнение, което съдържа експоненциална функция, т.е. израз от формата $((a)^(x))$. В допълнение към посочената функция, такива уравнения могат да съдържат всякакви други алгебрични конструкции - полиноми, корени, тригонометрия, логаритми и др.

Добре тогава. Разбрах определението. Сега въпросът е: как да решим всички тези глупости? Отговорът е едновременно прост и сложен.

Нека започнем с добрата новина: от моя опит с много ученици мога да кажа, че за повечето от тях експоненциалните уравнения са много по-лесни от същите логаритми и още повече тригонометрията.

Но има и лоши новини: понякога съставителите на задачи за всякакви учебници и изпити са посещавани от „вдъхновение“ и техният възпален от наркотици мозък започва да произвежда толкова брутални уравнения, че става проблематично не само студентите да ги решат - дори много учители се забиват в подобни проблеми.

Все пак да не говорим за тъжни неща. И нека се върнем към онези три уравнения, които бяха дадени в самото начало на историята. Нека се опитаме да решим всеки един от тях.

Първо уравнение: $((2)^(x))=4$. Е, до каква степен трябва да се повиши числото 2, за да се получи числото 4? Може би вторият? В крайна сметка, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — и получихме правилното числово равенство, т.е. наистина $x=2$. Е, благодаря, шапка, но това уравнение беше толкова просто, че дори моята котка можеше да го реши. :)

Нека да разгледаме следното уравнение:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Но тук е малко по-трудно. Много ученици знаят, че $((5)^(2))=25$ е таблицата за умножение. Някои също така подозират, че $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ по същество е дефиницията на отрицателни експоненти (подобно на формулата $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

И накрая, само няколко избрани предполагат, че тези факти могат да бъдат комбинирани и резултатът е следният резултат:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

По този начин нашето първоначално уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Стрелка надясно ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

И сега това вече е напълно решено! От лявата страна на уравнението има експоненциална функция, от дясната страна на уравнението има експоненциална функция, никъде другаде няма нищо освен тях. Следователно е възможно да се „изхвърлят“ основите и глупаво да се приравнят индикаторите:

Получихме най-простото линейно уравнение, което всеки ученик може да реши само с няколко реда. Добре, в четири реда:

\[\ начало(подравняване)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(подравняване)\]

Ако не разбирате какво се случи в последните четири реда, не забравяйте да се върнете към темата „линейни уравнения“ и да я повторите. Защото без ясно усвояване на тази тема е твърде рано да се захващате с експоненциални уравнения.

\[((9)^(x))=-3\]

Е, как решаваш? Първа мисъл: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, така че оригиналното уравнение може да бъде пренаписано по следния начин:

\[((\ляво(((3)^(2)) \вдясно))^(x))=-3\]

След това припомняме, че при повишаване на степен на степен показателите се умножават:

\[((\left((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Стрелка надясно ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\ начало(подравняване)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(подравняване)\]

И за такова решение получаваме честно заслужена двойка. Защото ние, с хладнокръвие на покемон, изпратихме знака минус пред трите в силата на точно тази тройка. И не можете да направите това. И ето защо. Разгледайте различните сили на тройката:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

Когато компилирах тази таблетка, не се извратих веднага щом го направих: разгледах положителни степени и отрицателни, и дори дробни ... добре, къде има поне едно отрицателно число тук? Той не е! И не може да бъде, защото експоненциалната функция $y=((a)^(x))$, първо, винаги приема само положителни стойности (без значение колко умножите едно или разделите на две, тя пак ще бъде положително число), и второ, основата на такава функция, числото $a$, по дефиниция е положително число!

Е, как тогава да решим уравнението $((9)^(x))=-3$? Не, няма корени. И в този смисъл експоненциалните уравнения са много подобни на квадратните - също може да няма корени. Но ако в квадратните уравнения броят на корените се определя от дискриминанта (дискриминантът е положителен - 2 корена, отрицателен - няма корени), то в експоненциалните уравнения всичко зависи от това какво е вдясно от знака за равенство.

Така формулираме ключовия извод: най-простото експоненциално уравнение от вида $((a)^(x))=b$ има корен само ако $b>0$. Знаейки този прост факт, можете лесно да определите дали предложеното ви уравнение има корени или не. Тези. струва ли си изобщо да го решаваш или веднага да запишеш, че няма корени.

Това знание ще ни помогне многократно, когато трябва да решаваме по-сложни проблеми. Междувременно достатъчно текстове - време е да проучим основния алгоритъм за решаване на експоненциални уравнения.

Как да решаваме експоненциални уравнения

И така, нека формулираме проблема. Необходимо е да се реши експоненциалното уравнение:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Според "наивния" алгоритъм, който използвахме по-рано, е необходимо числото $b$ да се представи като степен на числото $a$:

Освен това, ако вместо променливата $x$ има някакъв израз, ще получим ново уравнение, което вече може да бъде решено. Например:

\[\begin(подравняване)& ((2)^(x))=8\Стрелка надясно ((2)^(x))=((2)^(3))\Стрелка надясно x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Стрелка надясно ((3)^(-x))=((3)^(4))\Стрелка надясно -x=4\Стрелка надясно x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Стрелка надясно ((5)^(2x))=((5)^(3))\Стрелка надясно 2x=3\Стрелка надясно x=\frac(3)( 2). \\\край (подравняване)\]

И колкото и да е странно, тази схема работи в около 90% от случаите. Ами останалите 10% тогава? Останалите 10% са леко "шизофренични" експоненциални уравнения от вида:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

На каква степен трябва да вдигнете 2, за да получите 3? В първия? Но не: $((2)^(1))=2$ не е достатъчно. Във втория? Нито едно: $((2)^(2))=4$ е твърде много. Какво тогава?

Знаещите студенти вероятно вече са се досетили: в такива случаи, когато е невъзможно да се реши „красиво“, „тежка артилерия“ е свързана със случая - логаритми. Нека ви напомня, че с помощта на логаритми всяко положително число може да бъде представено като степен на всяко друго положително число (с изключение на едно):

Помните ли тази формула? Когато разказвам на учениците си за логаритмите, винаги ви предупреждавам: тази формула (тя е и основната логаритмична идентичност или, ако искате, дефиницията на логаритъма) ще ви преследва много дълго време и ще „изплува“ в най-много неочаквани места. Е, тя изплува. Нека разгледаме нашето уравнение и тази формула:

\[\begin(подравняване)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(подравняване) \]

Ако приемем, че $a=3$ е нашето първоначално число отдясно, а $b=2$ е самата основа на експоненциалната функция, към която толкова искаме да намалим дясната страна, получаваме следното:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Стрелка надясно 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Стрелка надясно ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Стрелка надясно x=( (\log )_(2))3. \\\край (подравняване)\]

Получихме малко странен отговор: $x=((\log )_(2))3$. В някоя друга задача, с такъв отговор, мнозина биха се усъмнили и започнали да проверяват отново своето решение: ами ако някъде има грешка? Бързам да ви зарадвам: тук няма грешка, а логаритмите в корените на експоненциалните уравнения са доста типична ситуация. Така че свиквайте. :)

Сега решаваме по аналогия останалите две уравнения:

\[\begin(подравняване)& ((5)^(x))=15\Стрелка надясно ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Стрелка надясно x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Стрелка надясно ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Стрелка надясно 2x=( (\log )_(4))11\Стрелка надясно x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Между другото, последният отговор може да бъде написан по различен начин:

Ние въведохме множителя в аргумента на логаритъма. Но никой не ни пречи да добавим този фактор към базата:

Освен това и трите варианта са правилни - те са просто различни форми на изписване на едно и също число. Кое да изберете и запишете в това решение зависи от вас.

Така се научихме да решаваме всякакви експоненциални уравнения от вида $((a)^(x))=b$, където числата $a$ и $b$ са строго положителни. Суровата реалност на нашия свят обаче е, че подобни прости задачи ще ви срещнат много, много рядко. По-често ще срещнете нещо подобно:

\[\begin(подравняване)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\край (подравняване)\]

Е, как решаваш? Може ли това изобщо да бъде решено? И ако да, как?

Без паника. Всички тези уравнения бързо и просто се свеждат до онези прости формули, които вече разгледахме. Просто трябва да знаете, за да запомните няколко трика от курса по алгебра. И разбира се, тук няма правила за работа с дипломи. Сега ще говоря за всичко това. :)

Преобразуване на експоненциални уравнения

Първото нещо, което трябва да запомните, е, че всяко експоненциално уравнение, колкото и сложно да е то, по един или друг начин трябва да се сведе до най-простите уравнения - точно тези, които вече разгледахме и които знаем как да решаваме. С други думи, схемата за решаване на всяко експоненциално уравнение изглежда така:

Запишете оригиналното уравнение. Например: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Прави глупости. Или дори някакви глупости, наречени "преобразуване на уравнението";
На изхода вземете най-простите изрази като $((4)^(x))=4$ или нещо друго подобно. Освен това едно първоначално уравнение може да даде няколко такива израза наведнъж.

С първата точка всичко е ясно - дори моята котка може да напише уравнението на лист. С третата точка също, изглежда, е повече или по-малко ясно - вече сме решили цял куп такива уравнения по-горе.

Но какво да кажем за втората точка? Какви са трансформациите? Какво да преобразувам в какво? И как?

Е, нека го разберем. Преди всичко бих искал да отбележа следното. Всички експоненциални уравнения са разделени на два вида:

Уравнението е съставено от експоненциални функции със същата основа. Пример: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
Формулата съдържа експоненциални функции с различни бази. Примери: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ и $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Нека започнем с уравнения от първия тип – те са най-лесни за решаване. И в тяхното решение ще ни помогне такава техника като подбора на стабилни изрази.

Подчертаване на стабилен израз

Нека отново да разгледаме това уравнение:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

какво виждаме? Четирите са повдигнати в различни степени. Но всички тези степени са прости суми от променливата $x$ с други числа. Ето защо е необходимо да запомните правилата за работа със степени:

\[\begin(подравняване)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a )^(y))). \\\край (подравняване)\]

Най-просто казано, събирането на степените може да се преобразува в продукт на степени, а изваждането лесно се преобразува в деление. Нека се опитаме да приложим тези формули към степените от нашето уравнение:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\край (подравняване)\]

Пренаписваме оригиналното уравнение, като вземем предвид този факт и след това събираме всички термини отляво:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -единадесет; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\край (подравняване)\]

Първите четири термина съдържат елемента $((4)^(x))$ — нека го извадим от скобата:

\[\begin(подравняване)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\край (подравняване)\]

Остава да разделим двете части на уравнението на дроб $-\frac(11)(4)$, т.е. по същество умножете по обърнатата дроб - $-\frac(4)(11)$. Получаваме:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Ние намалихме първоначалното уравнение до най-простото и получихме крайния отговор.

В същото време в процеса на решаване открихме (и дори извадихме от скобата) общия фактор $((4)^(x))$ - това е стабилният израз. Тя може да бъде обозначена като нова променлива или можете просто да я изразите точно и да получите отговор. Във всеки случай основният принцип на решението е както следва:

Намерете в оригиналното уравнение стабилен израз, съдържащ променлива, която лесно се различава от всички експоненциални функции.

Добрата новина е, че почти всяко експоненциално уравнение допуска такъв стабилен израз.

Но има и лоша новина: подобни изрази могат да бъдат много трудни и може да е доста трудно да ги различим. Така че нека разгледаме друг проблем:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Може би сега някой ще има въпрос: „Паша, убит ли си с камъни? Ето различни бази - 5 и 0,2. Но нека се опитаме да преобразуваме мощност с база 0.2. Например, нека се отървем от десетичната дроб, като я доведем до обичайното:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \вдясно))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Както можете да видите, числото 5 все още се появи, макар и в знаменателя. В същото време индикаторът беше пренаписан като отрицателен. И сега си припомняме едно от най-важните правила за работа с степени:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Стрелка надясно ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Тук, разбира се, изневерих малко. Тъй като за пълно разбиране, формулата за премахване на отрицателните показатели трябваше да бъде написана, както следва:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Стрелка надясно ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ вдясно))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

От друга страна, нищо не ни попречи да работим само с една дроб:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left((5)^(-1)) \ дясно))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Но в този случай трябва да можете да повишите степен до друга степен (напомням ви: в този случай показателите се сумират). Но не трябваше да „преобръщам“ дробите - може би за някой ще бъде по-лесно. :)

Във всеки случай, оригиналното експоненциално уравнение ще бъде пренаписано като:

\[\begin(подравняване)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\край (подравняване)\]

Така се оказва, че първоначалното уравнение е дори по-лесно за решаване от разглежданото по-рано: тук дори не е нужно да отделяте стабилен израз - всичко е намалено от само себе си. Остава само да запомним, че $1=((5)^(0))$, откъдето получаваме:

\[\begin(подравняване)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\край (подравняване)\]

Това е цялото решение! Получихме окончателния отговор: $x=-2$. В същото време бих искал да отбележа един трик, който значително опрости всички изчисления за нас:

В експоненциалните уравнения не забравяйте да се отървете от десетичните дроби, да ги преведете в обикновени. Това ще ви позволи да видите същите основи на градусите и значително ще опростите решението.

Сега нека преминем към по-сложни уравнения, в които има различни бази, които по принцип не са сводими една към друга с помощта на степени.

Използване на свойството експонента

Нека ви напомня, че имаме две по-строги уравнения:

\[\begin(подравняване)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\край (подравняване)\]

Основната трудност тук е, че не е ясно какво и до какво основание да се доведе. Къде са фиксираните изрази? Къде са общите основания? Няма нищо от това.

Но нека се опитаме да вървим по другия път. Ако няма готови идентични бази, можете да опитате да ги намерите, като разложите наличните бази.

Нека започнем с първото уравнение:

\[\begin(подравняване)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Стрелка надясно ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\край (подравняване)\]

Но в края на краищата можете да направите обратното - съставете числото 21 от числата 7 и 3. Особено лесно е да направите това отляво, тъй като индикаторите и на двете степени са еднакви:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\край (подравняване)\]

Това е всичко! Извадихте експонентата от продукта и веднага получихте красиво уравнение, което може да бъде решено в няколко реда.

Сега нека се заемем с второто уравнение. Тук всичко е много по-сложно:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

В този случай дробите се оказаха неприводими, но ако нещо може да се намали, не забравяйте да го намалите. Това често води до интересни основания, с които вече можете да работите.

За съжаление не сме измислили нищо. Но виждаме, че експонентите отляво в произведението са противоположни:

Позволете ми да ви напомня: за да се отървете от знака минус в степента, просто трябва да „превърнете“ дроба. Така че нека пренапишем оригиналното уравнение:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\край (подравняване)\]

Във втория ред просто поставихме в скоби общата сума от продукта според правилото $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) ))^ (x))$, а в последния просто умножиха числото 100 с дроб.

Сега имайте предвид, че числата отляво (в основата) и отдясно са донякъде сходни. Как? Да, очевидно: те са степени от едно и също число! Ние имаме:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \вдясно))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \вдясно))^(2)). \\\край (подравняване)\]

По този начин нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \вдясно))^(2))\]

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \вдясно))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

В същото време отдясно можете да получите и степен със същата основа, за която е достатъчно просто да „обърнете“ дроба:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Накрая нашето уравнение ще приеме вида:

\[\begin(подравняване)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\край (подравняване)\]

Това е цялото решение. Основната му идея се свежда до това, че дори и с различни причини, ние се опитваме да сведем тези причини до една и съща. В това ни помагат елементарни трансформации на уравнения и правилата за работа със степените.

Но какви правила и кога да използвате? Как да разберем, че в едно уравнение трябва да разделите двете страни на нещо, а в друго - да разложите основата на експоненциалната функция на фактори?

Отговорът на този въпрос ще дойде с опит. Опитайте ръката си първо с прости уравнения, а след това постепенно усложнявайте задачите - и много скоро вашите умения ще бъдат достатъчни, за да решите всяко експоненциално уравнение от същото USE или всяка независима / тестова работа.

И за да ви помогна в тази трудна задача, предлагам да изтеглите набор от уравнения на моя уебсайт за независимо решение. Всички уравнения имат отговори, така че винаги можете да проверите сами.

Към youtube канала на сайта ни, за да сте наясно с всички нови видео уроци.

Първо, нека си припомним основните формули за степени и техните свойства.

Продукт на число асе случва само по себе си n пъти, можем да запишем този израз като a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Степен или експоненциални уравнения- това са уравнения, в които променливите са в степени (или експоненти), а основата е число.

Примери за експоненциални уравнения:

В този пример числото 6 е основата, винаги е отдолу и променливата хстепен или мярка.

Нека дадем още примери за експоненциални уравнения.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Сега нека да разгледаме как се решават експоненциалните уравнения?

Да вземем едно просто уравнение:

2 х = 2 3

Такъв пример може да бъде решен дори в ума. Вижда се, че x=3. В крайна сметка, за да са равни лявата и дясната страна, трябва да поставите числото 3 вместо x.
Сега нека видим как трябва да се вземе това решение:

2 х = 2 3
х = 3

За да решим това уравнение, ние го премахнахме същите основания(тоест двойки) и написах каквото е останало, това са степени. Получихме отговора, който търсихме.

Сега нека обобщим нашето решение.

Алгоритъм за решаване на експоненциалното уравнение:
1. Трябва да се провери същотодали основите на уравнението отдясно и отляво. Ако основанията не са еднакви, търсим варианти за решаване на този пример.
2. След като основите са еднакви, приравнявамстепен и решете полученото ново уравнение.

Сега нека решим няколко примера:

Да започнем просто.

Основите от лявата и дясната страна са равни на числото 2, което означава, че можем да изхвърлим основата и да изравним техните степени.

x+2=4 Получи се най-простото уравнение.
х=4 - 2
х=2
Отговор: x=2

В следващия пример можете да видите, че основите са различни, това са 3 и 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Като начало прехвърляме деветката в дясната страна, получаваме:

Сега трябва да направите същите основи. Знаем, че 9=3 2 . Нека използваме формулата за мощност (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Получаваме 9 x + 8 = (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 сега е ясно, че основите от лявата и дясната страна са еднакви и равни на три, което означава, че можем да ги изхвърлим и да изравним градусите.

3x=2x+16 получава най-простото уравнение
3x-2x=16
х=16
Отговор: x=16.

Нека да разгледаме следния пример:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

На първо място, разглеждаме основите, основите са различни две и четири. И ние трябва да сме същите. Преобразуваме четворката по формулата (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

И ние също използваме една формула a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Добавете към уравнението:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Дадохме пример по същите причини. Но ни пречат други числа 10 и 24. Какво да правим с тях? Ако се вгледате внимателно, можете да видите, че от лявата страна повтаряме 2 2x, ето отговора - можем да поставим 2 2x извън скоби:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Нека изчислим израза в скоби:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Разделяме цялото уравнение на 6:

Представете си 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 основи са еднакви, изхвърлете ги и приравнете степените.
2x \u003d 2 се оказа най-простото уравнение. Разделяме го на 2, получаваме
х = 1
Отговор: х = 1.

Нека решим уравнението:

9 x - 12*3 x +27= 0

Нека трансформираме:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Получаваме уравнението:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Нашите основи са еднакви, равни на 3. В този пример е ясно, че първата тройка има степен два пъти (2x) от втората (само x). В този случай можете да решите метод на заместване. Числото с най-малка степен се заменя с:

Тогава 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Заменяме всички степени с x в уравнението с t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Получаваме квадратно уравнение. Решаваме чрез дискриминанта, получаваме:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Обратно към променлива х.

Взимаме t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Това е,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Един корен беше намерен. Търсим втория, от t 2:
t 2 \u003d 3 = 3 x
3 х = 3 1
х 2 = 1
Отговор: x 1 \u003d 2; х 2 = 1.

На сайта можете в секцията ПОМОГНЕТЕ ДА РЕШИТЕ да зададете въпроси, които ви интересуват, ние определено ще ви отговорим.

Присъединете се към група

Секции