Еквипотенциални повърхности и линии на електростатично поле.

Бих искал да мога да визуализирам електростатичното поле. Полето на скаларен потенциал може да бъде геометрично представено като колекция еквипотенциални повърхности (в плоския случай - линии), или равнини, както ги наричат ​​математиците:

За всяка такава повърхност важи следното условие (по дефиниция!):

(*)

Представяме това условие в еквивалентна нотация:

Тук принадлежи на разглежданата повърхност, векторът е перпендикулярен на елемента на повърхността (скаларното произведение на ненулевите вектори е равно на нула точно при това условие). Имаме възможност да определим единичния нормален вектор към разглеждания повърхностен елемент:

Връщайки се към физиката, стигаме до това векторът на силата на електростатичното поле е перпендикулярен на еквипотенциалната повърхност на това поле!

Математическо съдържание на понятието "градиент на скаларен поле":

Посоката на вектора е посоката, в която функцията нараства най-бързо;

Това е увеличението на функцията на единица дължина по посока на максимално увеличение.

Как да изградим еквипотенциална повърхност?

Нека еквипотенциалната повърхност, дадена от уравнението (*), преминава през точка в пространството с координати ( x,y,z). Нека зададем произволно малки премествания на две координати, например x=>x+dxи y=>y+dy.От уравнението (*) определяме необходимото отместване дз, така че крайната точка да остане на разглежданата еквипотенциална повърхност. По този начин можете да "стигнете" до желаната точка на повърхността.

Силова линия на векторното поле.

Определение. Допирателната към силовата линия съвпада по посока с вектора, който определя разглежданото векторно поле.

Векторът и векторът са в една и съща посока (т.е. успоредни един на друг), ако

В координатната нотация имаме:

Лесно е да се види, че отношенията са валидни:

Можете да стигнете до същия резултат, ако запишете условието за паралелизъм на два вектора, като използвате тяхното кръстосано произведение:

И така, имаме векторно поле. Помислете за елементарния вектор като елемент от полевата линия на векторното поле.

В съответствие с дефиницията на полевата линия трябва да бъдат изпълнени следните отношения:

(**)

Ето как изглеждат диференциалните уравнения на полевата линия. Възможно е да се получи аналитично решение на тази система от уравнения в много редки случаи (поле на точков заряд, постоянно поле и др.). Но не е трудно да се начертае графично семейство от силови линии.

Нека силовата линия преминава през точката с координати ( x,y,z). Стойностите на проекциите на вектора на напрежението върху координатните посоки в тази точка са ни известни. Избираме произволно малко смесване, напр. x=>x+dx. Съгласно уравненията (**) определяме необходимите премествания dyи дз. И така се преместихме в съседната точка на полевата линия.Процесът на строителството може да бъде продължен.

NB! (Nota Bene!). Силовата линия не определя напълно вектора на напрежението. Ако е зададена положителна посока на полевата линия, векторът на напрежението може да бъде насочен в положителна или отрицателна посока (но по линията!). Линията на полето не определя модула на вектора (т.е. неговата стойност) на разглежданото векторно поле.

Свойства на въведените геометрични обекти:

Еквипотенциална повърхност еквипотенциална повърхност

повърхност, чиито точки имат еднакъв потенциал. Еквипотенциалната повърхност е ортогонална на силовите линии. Повърхността на проводник в електростатиката е еквипотенциална повърхност.

еквипотенциална повърхност, повърхност, във всички точки на която потенциалът (см.ПОТЕНЦИАЛ (по физика))електрическото поле има същата стойност j= const. В равнина тези повърхности са еквипотенциални силови линии. Използва се за графично показване на потенциалното разпределение.
Еквипотенциалните повърхности са затворени и не се пресичат. Изображението на еквипотенциалните повърхности се извършва по такъв начин, че потенциалните разлики между съседните еквипотенциални повърхности да са еднакви. В този случай, в тези области, където линиите на еквипотенциалните повърхности са по-плътни, силата на полето е по-голяма.
Между произволни две точки на еквипотенциалната повърхност потенциалната разлика е нула. Това означава, че векторът на силата във всяка точка от траекторията на заряда по еквипотенциалната повърхност е перпендикулярен на вектора на скоростта. Следователно линиите на напрежение (см.СИЛА НА ЕЛЕКТРИЧЕСКОТО ПОЛЕ)електростатичните полета са перпендикулярни на еквипотенциалната повърхност. С други думи: еквипотенциалната повърхност е ортогонална на силовите линии (см.ЕЛЕКТРИЧЕСКИ ЛИНИИ)поле, а векторът на силата на електрическото поле E винаги е перпендикулярен на еквипотенциалните повърхности и винаги е насочен в посока на намаляващия потенциал. Работата на силите на електрическото поле за всяко движение на заряда по еквипотенциалната повърхност е нула, тъй като?j = 0.
Еквипотенциалните повърхности на полето на точков електрически заряд са сфери, в центъра на които е разположен зарядът. Еквипотенциалните повърхности на еднородно електрическо поле са равнини, перпендикулярни на линиите на напрежение. Повърхността на проводник в електростатично поле е еквипотенциална повърхност.

енциклопедичен речник. 2009 .

Вижте какво е "еквипотенциална повърхност" в други речници:

Повърхнина, чиито точки имат еднакъв потенциал. Еквипотенциалната повърхност е ортогонална на силовите линии. Повърхността на проводник в електростатиката е еквипотенциална повърхност... Голям енциклопедичен речник

На повърхността, всички точки към рояка имат същия потенциал. Например повърхността на проводник в електростатиката Е. стр. Физически енциклопедичен речник. Москва: Съветска енциклопедия. Главен редактор А. М. Прохоров. 1983... Физическа енциклопедия

еквипотенциална повърхност- — [Я. Н. Лугински, М. С. Фези Жилинская, Ю. С. Кабиров. Английско-руски речник по електротехника и енергетика, Москва, 1999 г.] Теми в електротехниката, основни понятия EN повърхност с равен потенциал, равна енергийна повърхност, еквипотенциална ... ... Наръчник за технически преводач

Еквипотенциалните повърхности на електрически дипол (изобразени в тъмно са техните напречни сечения от равнината на фигурата; потенциалната стойност в различни точки се предава условно в цвят; най-високите стойности са лилаво и червено, n ... Wikipedia

еквипотенциална повърхност- vienodo potencijalo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. еквипотенциална повърхност вок. Äquipotentialfläche, f rus. еквипотенциална повърхност, fpranc. повърхностна депотенциална константа, f; повърхностен d'égal potentiel, f; повърхност… … Fizikos terminų žodynas

Повърхнина с равен потенциал, повърхност, чиито точки имат един и същ потенциал. Например, повърхността на проводник в електростатиката E. p. В силово поле силовите линии са нормални (перпендикулярни) на E. p ... Голяма съветска енциклопедия

- (от лат. aequus равен и потенциален) геом. мястото на точките в полето, за окото отговаря на същата стойност на потенциала. Е. п. са перпендикулярни на силовите линии. Еквипотенциалът е например повърхността на проводник в електростатичен ... ... Голям енциклопедичен политехнически речник

ТЕОРЕТИЧНИ ОСНОВИ НА РАБОТАТА.

Съществува интегрална и диференциална връзка между силата на електрическата фракция и електрическия потенциал:

j 1 - j 2 = ∫ Е дл (1)

E=-град j (2)

Електрическото поле може да бъде представено графично по два начина, взаимно допълващи се: с помощта на еквипотенциални повърхности и линии на напрежение (линии на сила).

Повърхнина, чиито точки имат еднакъв потенциал, се нарича еквипотенциална повърхност. Линията на нейното пресичане с равнината на чертежа се нарича еквипотенциал. Силови линии - линии, допирателни към които във всяка точка съвпадат с посоката на вектора Е . На фигура 1 пунктираните линии показват еквипотенциалите, плътните линии показват силовите линии на електрическото поле.

Фиг. 1

Потенциалната разлика между точки 1 и 2 е 0, тъй като те са на един и същ еквипотенциал. В този случай от (1):

∫E дл = 0 или ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Тъй като Е и дл в израз (3) не са равни на 0, тогава cos ( Edl ) = 0 . Следователно ъгълът между еквипотенциала и линията на полето е p/2.

От диференциалното съотношение (2) следва, че силовите линии винаги са насочени в посока на намаляващ потенциал.

Големината на силата на електрическото поле се определя от "дебелината" на силовите линии. Колкото по-дебели са силовите линии, толкова по-малко е разстоянието между еквипотенциалите, така че силовите линии и еквипотенциалите образуват "криволинейни квадрати". Въз основа на тези принципи е възможно да се изгради картина на силови линии, имаща картина на еквипотенциали и обратно.

Достатъчно пълна картина на еквипотенциалите на полето ни позволява да изчислим в различни точки стойността на проекцията на вектора на интензитета Е към избраната посока х , осреднено за определен интервал от координатата ∆х :

Д вж. ∆х = - ∆ j /∆х,

където ∆х - нарастване на координатите при преминаване от един еквипотенциал към друг,

∆ j - съответното увеличение на потенциала,

Д вж. ∆х - означава E x между два потенциала.

ОПИСАНИЕ НА ТЕХНИКАТА НА МОНТАЖ И ИЗМЕРВАНЕ.

За моделиране на електрическото поле е удобно да се използва аналогията, която съществува между електрическото поле, създадено от заредени тела, и електрическото поле на постоянен ток, протичащ през проводящ филм с еднаква проводимост. В този случай местоположението на силовите линии на електрическото поле се оказва подобно на местоположението на линиите на електрически токове.

Същото твърдение е вярно и за потенциалите. Разпределението на потенциалите на полето в проводящ филм е същото като в електрическо поле във вакуум.

Като проводящ филм в работата се използва електропроводима хартия с еднаква проводимост във всички посоки.

Електродите се поставят върху хартията, така че да има добър контакт между всеки електрод и проводимата хартия.

Работната схема на инсталацията е показана на Фигура 2. Инсталацията се състои от модул II, външен елемент I, индикатор III, захранване IV. Модулът служи за свързване на всички използвани устройства. Отдалеченият елемент е диелектрично табло 1, върху което се поставя лист бяла хартия 2, върху него се поставя лист въглеродна хартия 3, след това лист проводяща хартия 4, върху който са прикрепени електроди 5. Напрежението е подава се към електродите от модул II с помощта на свързващи проводници. Индикатор III и сонда 6 се използват за определяне на потенциалите на точките върху повърхността на електропроводима хартия.

Като сонда се използва проводник с щепсел в края. Потенциал j сондата е равна на потенциала на точката от повърхността на електропроводимата хартия, която докосва. Множеството от точки на полето със същия потенциал е образът на еквипотенциала на полето. Захранващият блок IV се използва като захранващ блок TES - 42, който се свързва към модула чрез щепсел конектор на задната стена на модула. Като индикатор W се използва волтметър V7-38.

РЕД ЗА ИЗПЪЛНЕНИЕ НА РАБОТАТА.

1. Поставете лист бяла хартия върху панела 1 2. Поставете въглеродна хартия 3 и лист проводяща хартия 4 върху него (фиг. 2).

2. Инсталирайте електродите 5 върху електропроводима хартия и ги закрепете с гайки.

3. Свържете захранващия блок IV (TEC-42) към модула, като използвате щепсела на задната стена на модула.

4. С помощта на два проводника свържете индикатор III (V7-38 волтметър) към контактите "PV" на предния панел на модула. Натиснете съответния бутон на волтметъра, за да измерите постояннотоковото напрежение (фиг. 2).

5. С помощта на два проводника свържете електродите 5 към модул P.

6. Свържете сондата (проводник с два щепсела) към гнездото на предния панел на модула.

7. Свържете стойката към мрежата 220 V. Включете общото захранване на стойката.

За визуално представяне на векторни полета се използва модел на силови линии. Силовата линия е въображаема математическа крива в пространството, посоката на допирателната към която във всяка точката, през която минава, съвпада с посоката на вектора полета в една и съща точка(фиг. 1.17).
Ориз. 1.17:
Условието за паралелизъм на вектора E → и допирателната може да се запише като равенство на нула на векторното произведение E → и елемента на дъгата d r → на полевата линия:

Еквипотенциалът е повърхността което е постоянна стойност на електрическия потенциалφ . В полето на точков заряд, както е показано на фиг. , сферични повърхности с центрове на мястото на заряда са еквипотенциални; това може да се види от уравнението ϕ = q ∕ r = const .

Анализирайки геометрията на електрическите линии на силата и еквипотенциалните повърхности, могат да се посочат редица общи свойства на геометрията на електростатичното поле.

Първо, силовите линии започват от заряди. Те или отиват до безкрайност, или завършват с други заряди, както е на фиг. .

Второ, в потенциално поле силовите линии не могат да бъдат затворени. В противен случай би било възможно да се посочи такъв затворен контур, че работата на електрическото поле при преместване на заряда по този контур да не е равна на нула.

Трето, силовите линии пресичат всеки еквипотенциал по нормалата към него. Действително електрическото поле е насочено навсякъде в посока на най-бързото намаляване на потенциала, а на еквипотенциалната повърхност потенциалът е постоянен по дефиниция (фиг. ).
Ориз. 1.20 :
И накрая, силовите линии не се пресичат никъде, освен в точките, където E → = 0. Пресичането на силовите линии означава, че полето в пресечната точка е двусмислена функция от координати, а векторът E → няма определена посока. Единственият вектор, който има това свойство, е нулевият вектор. Структурата на електрическото поле близо до нулевата точка ще бъде анализирана в задачи към ?? .

Методът на силовите линии, разбира се, е приложим за графичното представяне на всякакви векторни полета. И така, в гл ще срещнем концепцията за магнитните силови линии. Въпреки това, геометрията на магнитното поле е напълно различна от геометрията на електрическото поле.

Ориз. 1.21:
Концепцията за силовите линии е тясно свързана с концепцията за силова тръба. Нека вземем произволен затворен контур L и начертаем електрическа силова линия през всяка негова точка (фиг. ). Тези линии образуват силовата тръба. Да разгледаме произволно сечение на тръбата от повърхността S. Начертаваме положителна нормал в същата посока, в която са насочени силовите линии. Нека N е потокът на вектора E → през сечението S . Лесно е да се види, че ако вътре в тръбата няма електрически заряди, тогава потокът N остава същият по цялата дължина на тръбата. За да го докажем, трябва да вземем друго напречно сечение S ′. Съгласно теоремата на Гаус, потокът на електрическото поле през затворена повърхност, ограничена от страничната повърхност на тръбата и сеченията S , S ′ е равен на нула, тъй като вътре в силовата тръба няма електрически заряди. Потокът през страничната повърхност е нула, тъй като векторът E → докосва тази повърхност. Следователно, потокът през участъка S ′ е числено равен на N, но противоположен по знак. Външната нормала към затворената повърхност на този участък е насочена противоположно n → . Ако насочим нормалата в една и съща посока, тогава потоците през участъците S и S ′ ще съвпадат както по големина, така и по знак. По-специално, ако тръбата е безкрайно тънка и сеченията S и S′ са нормални към нея, тогава

E S = E′ S′ .

Оказва се пълна аналогия с потока на несвиваема течност. Където тръбата е по-тънка, полето E → е по-силно. На местата, където е по-широко, полето E → по-силно. Следователно силата на електрическото поле може да се прецени от плътността на силовите линии.

Преди изобретяването на компютрите, за експериментално възпроизвеждане на полеви линии се взема стъклен съд с плоско дъно и в него се излива непроводима течност, като рициново масло или глицерин. Прахообразни кристали от гипс, азбест или всякакви други продълговати частици се смесват равномерно в течността. Металните електроди бяха потопени в течността. Когато са свързани към източници на електричество, електродите възбуждат електрическо поле. В това поле частиците се наелектризират и, като се привличат един към друг от противоположно наелектризирани краища, се подреждат под формата на вериги по силовите линии. Картината на силовите линии се изкривява от флуидни потоци, причинени от силите, действащи върху него в нехомогенно електрическо поле.

Все още предстои
Ориз. 1.22:
Най-добри резултати се получават по метода, използван от Robert W. Pohl (1884-1976). Стоманените електроди се залепват върху стъклена плоча, между които се създава електрическо напрежение. След това върху плочата се изсипват удължени частици, например гипсови кристали, като леко се потупва върху нея. Те са разположени по него по силовите линии. На фиг. ?? е изобразена картината на силовите линии, получена по този начин между два противоположно заредени кръга на рамката.

▸ Задача 9.1

Напишете уравнението на силовите линии в произволен ортогоналенкоординати.

▸ Задача 9.2

Запишете уравнението на силовите линии в сферични координати.

Еквипотенциални повърхнини са такива повърхности, всяка от точките на които има еднакъв потенциал. Тоест на еквипотенциалната повърхност електрическият потенциал има постоянна стойност. Такава повърхност е повърхността на проводниците, тъй като потенциалът им е еднакъв.

Представете си такава повърхност, за две точки на която потенциалната разлика ще бъде равна на нула. Това ще бъде еквипотенциалната повърхност. Защото има същия потенциал. Ако разгледаме еквипотенциалната повърхност в двуизмерно пространство, да кажем на чертежа, тогава тя ще има формата на линия. Работата на силите на електрическото поле за преместване на електрическия заряд по тази линия ще бъде равна на нула.

Едно от свойствата на еквипотенциалните повърхности е, че те винаги са перпендикулярни на силовите линии. Това свойство може да бъде формулирано и обратно. Всяка повърхност, която е перпендикулярна във всички точки на линиите на електрическото поле, се нарича еквипотенциална повърхност.

Освен това такива повърхности никога не се пресичат една с друга. Тъй като това би означавало разлика в потенциала в рамките на една и съща повърхност, което противоречи на определението. Те също са винаги затворени. Повърхностите с равен потенциал не могат да започват и да отиват в безкрайност, без да имат ясни граници.

Като правило, чертежите не трябва да изобразяват цялата повърхност. По-често изобразявайте перпендикулярно сечение на еквипотенциални повърхности. Така те се израждат в линии. Това се оказва напълно достатъчно за оценка на разпространението на това поле. Когато са изобразени графично, повърхностите са разположени на същия интервал. Тоест между две съседни повърхности се наблюдава една и съща стъпка, да кажем един волт. След това, според плътността на линиите, образувани от сечението на еквипотенциалните повърхности, може да се прецени силата на електрическото поле.

Например, помислете за полето, създадено от точков електрически заряд. Силовите линии на такова поле са радиални. Тоест те започват от центъра на заряда и отиват до безкрайност, ако зарядът е положителен. Или насочени към заряда, ако е отрицателен. Еквипотенциалните повърхности на такова поле ще имат формата на сфери, центрирани в заряда и отклоняващи се от него. Ако изобразим двуизмерен разрез, тогава еквипотенциалните линии ще бъдат под формата на концентрични кръгове, чийто център също се намира в заряда.

Фигура 1 - еквипотенциални линии на точков заряд

За еднородно поле, като например полето между плочите на електрически кондензатор, повърхностите с равен потенциал ще имат формата на равнини. Тези равнини са успоредни една на друга на същото разстояние. Вярно е, че по краищата на плочите моделът на полето ще бъде изкривен поради ефекта на ръба. Но си представяме, че плочите са безкрайно дълги.

Фигура 2 - равномерни полеви еквипотенциални линии

За да се изобразят еквипотенциалните линии за поле, създадено от два заряда, равни по големина и противоположни по знак, не е достатъчно да се приложи принципът на суперпозицията. Тъй като в този случай, когато се наслагват две изображения на точкови заряди, ще има точки на пресичане на силовите линии. Но това не може да бъде, тъй като полето не може да бъде насочено в две различни посоки едновременно. В този случай проблемът трябва да бъде решен аналитично.

Фигура 3 - Изображение на полето на два електрически заряда