Кинетична енергия на въртящо се тяло. Кинетична енергия при въртеливо движение

Кинетичната енергия е адитивна величина. Следователно кинетичната енергия на тяло, движещо се по произволен начин, е равна на сумата от кинетичните енергии на всички n материални точки, на които това тяло може да бъде разделено мислено:

Ако тялото се върти около неподвижна ос z с ъглова скорост, тогава линейната скорост на i-тата точка , Ri – разстояние до оста на въртене. следователно

За сравнение можем да видим, че инерционният момент на тяло I е мярка за инерция по време на въртеливо движение, точно както масата m е мярка за инерция по време на транслационно движение.

В общия случай движението на твърдо тяло може да се представи като сума от две движения - постъпателно със скорост vc и въртеливо с ъглова скорост ω около моментната ос, минаваща през центъра на инерцията. Тогава общата кинетична енергия на това тяло

Тук Ic е инерционният момент около моментната ос на въртене, минаваща през центъра на инерцията.

Основният закон на динамиката на въртеливото движение.

Динамика на въртеливото движение

Основният закон на динамиката на ротационното движение:

или M=Je, където M е моментът на силата M=[r · F], J -инерционният момент е моментът на импулса на тялото.

ако M(external)=0 - законът за запазване на ъгловия момент. - кинетична енергия на въртящо се тяло.

работят във въртеливо движение.

Закон за запазване на ъгловия момент.

Ъгловият импулс (импулсът на движение) на материална точка A спрямо фиксирана точка O е физическа величина, определена от векторния продукт:

където r е радиус-векторът, прекаран от точка O до точка A, p=mv е импулсът на материалната точка (фиг. 1); L е псевдовектор, чиято посока съвпада с посоката на транслационното движение на дясното витло при въртенето му от r към r.

Модул на вектора на ъгловия момент

където α е ъгълът между векторите r и p, l е рамото на вектор p спрямо точка O.

Ъгловият импулс спрямо фиксирана ос z е скаларната величина Lz, равна на проекцията върху тази ос на вектора на ъгловия момент, определен спрямо произволна точка O на тази ос. Ъгловият импулс Lz не зависи от положението на точка O върху оста z.

Когато абсолютно твърдо тяло се върти около фиксирана ос z, всяка точка от тялото се движи по окръжност с постоянен радиус ri със скорост vi. Скоростта vi и импулсът mivi са перпендикулярни на този радиус, т.е. радиусът е рамо на вектора mivi. Това означава, че можем да запишем, че ъгловият импулс на отделна частица е равен на

и е насочен по оста в посоката, определена от правилото на десния винт.

Импулсът на твърдо тяло спрямо ос е сумата от ъгловия импулс на отделните частици:

Използвайки формулата vi = ωri, получаваме

По този начин ъгловият момент на твърдо тяло спрямо ос е равен на инерционния момент на тялото спрямо същата ос, умножен по ъгловата скорост. Нека диференцираме уравнение (2) по отношение на времето:

Тази формула е друга форма на уравнението за динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло спрямо неподвижна ос: производната на ъгловия момент на твърдо тяло спрямо оста е равна на момента на силата спрямо същата ос.

Може да се покаже, че има векторно равенство

В затворена система моментът на външните сили M = 0 и откъде

Израз (4) представлява закона за запазване на ъгловия импулс: ъгловият импулс на затворена система се запазва, т.е. не се променя с времето.

Законът за запазване на ъгловия момент, както и законът за запазване на енергията, е основен закон на природата. Свързва се със свойството на симетрия на пространството - неговата изотропия, т.е. с инвариантността на физическите закони по отношение на избора на посоката на координатните оси на референтната система (спрямо въртенето на затворена система в пространството при всяка ъгъл).

Тук ще демонстрираме закона за запазване на ъгловия импулс с помощта на пейка Жуковски. Човек, седнал на въртяща се около вертикална ос пейка и държащ дъмбели в протегнати ръце (фиг. 2), се върти от външен механизъм с ъглова скорост ω1. Ако човек притисне дъмбелите към тялото си, инерционният момент на системата ще намалее. Но моментът на външните сили е нула, ъгловият момент на системата се запазва и ъгловата скорост на въртене ω2 се увеличава. По същия начин, по време на скок отгоре, гимнастичката притиска ръцете и краката си към тялото си, за да намали своя инерционен момент и по този начин да увеличи ъгловата скорост на въртене.

Налягане в течност и газ.

Газовите молекули, извършващи хаотично, хаотично движение, не са свързани или са доста слабо свързани със сили на взаимодействие, поради което се движат почти свободно и в резултат на сблъсъци се разпръскват във всички посоки, като същевременно запълват целия предоставен им обем , т.е. обемът на газа се определя от обема на контейнера, зает от газ.

И течността, имайки определен обем, приема формата на съда, в който е затворена. Но за разлика от газовете в течностите, средното разстояние между молекулите остава средно постоянно, така че течността има практически непроменен обем.

Свойствата на течностите и газовете са много различни по много начини, но при няколко механични явления техните свойства се определят от едни и същи параметри и идентични уравнения. Поради тази причина хидроаеромеханиката е дял от механиката, който изучава равновесието и движението на газове и течности, взаимодействието между тях и между обтичащите ги твърди тела, т.е. прилага се единен подход при изследване на течности и газове.

В механиката течностите и газовете се разглеждат с висока степен на точност като твърди, непрекъснато разпределени в частта от пространството, която заемат. При газовете плътността зависи значително от налягането. Установено е от опит. че свиваемостта на течността и газа често може да се пренебрегне и е препоръчително да се използва едно-единствено понятие - несвиваемостта на течността - течност с еднаква плътност навсякъде, която не се променя с времето.

Нека поставим тънка плоча в покой, в резултат на това части от течността, разположени от различни страни на плочата, ще действат върху всеки от нейните елементи ΔS със сили ΔF, които ще бъдат равни по големина и насочени перпендикулярно на платформата ΔS, независимо от ориентацията на платформата, в противен случай наличието на тангенциални сили би задвижило течните частици в движение (фиг. 1)

Физическа величина, определена от нормалната сила, действаща от страна на течност (или газ) на единица площ, се нарича налягане p/ на течността (или газа): p=ΔF/ΔS.

Единицата за налягане е паскал (Pa): 1 Pa е равен на налягането, създадено от сила от 1 N, която е равномерно разпределена върху нормална към нея повърхност с площ от 1 m2 (1 Pa = 1 N/ m2).

Налягането в равновесието на течности (газове) се подчинява на закона на Паскал: налягането във всяко място на течност в покой е еднакво във всички посоки и налягането се предава равномерно в целия обем, зает от течността в покой.

Нека проучим влиянието на теглото на течността върху разпределението на налягането вътре в неподвижна несвиваема течност. Когато една течност е в равновесие, налягането по всяка хоризонтална линия е винаги еднакво, в противен случай няма да има равновесие. Това означава, че свободната повърхност на течността в покой винаги е хоризонтална (не вземаме предвид привличането на течността от стените на съда). Ако течността е несвиваема, тогава плътността на течността не зависи от налягането. Тогава, с напречно сечение S на течния стълб, неговата височина h и плътност ρ, теглото P=ρgSh, докато налягането върху долната основа: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

това означава, че налягането варира линейно с надморската височина. Налягането ρgh се нарича хидростатично налягане.

Съгласно формула (1), силата на натиск върху долните слоеве на течността ще бъде по-голяма, отколкото върху горните слоеве, следователно върху тяло, потопено в течност, действа сила, определена от закона на Архимед: тяло, потопено в течност (газ) се въздейства от насочена сила от страната на тази течност нагоре плаваща сила, равна на теглото на течността (газа), изместена от тялото: FA = ρgV, където ρ е плътността на течността, V е обемът на тялото, потопено в течността.

« Физика - 10 клас"

Защо скейтърът се разтяга по оста на въртене, за да увеличи ъгловата скорост на въртене?
Трябва ли хеликоптерът да се върти, когато роторът му се върти?

Зададените въпроси предполагат, че ако външните сили не действат върху тялото или тяхното действие е компенсирано и една част от тялото започне да се върти в една посока, то другата част трябва да се върти в другата посока, точно както при изхвърляне на гориво от ракета, самата ракета се движи в обратна посока.

Момент на импулс.

Ако разгледаме въртящ се диск, става очевидно, че общият импулс на диска е нула, тъй като всяка частица от тялото съответства на частица, движеща се с еднаква скорост, но в обратна посока (фиг. 6.9).

Но дискът се движи, ъгловата скорост на въртене на всички частици е една и съща. Ясно е обаче, че колкото по-далеч е една частица от оста на въртене, толкова по-голям е нейният импулс. Следователно за въртеливото движение е необходимо да се въведе друга характеристика, подобна на импулса - ъглов момент.

Ъгловият импулс на частица, движеща се в кръг, е произведението на импулса на частицата и разстоянието от нея до оста на въртене (фиг. 6.10):

Линейната и ъгловата скорости са свързани с връзката v = ωr, тогава

Всички точки на твърд обект се движат спрямо фиксирана ос на въртене с еднаква ъглова скорост. Твърдото тяло може да бъде представено като колекция от материални точки.

Ъгловият импулс на твърдо тяло е равен на произведението на инерционния момент и ъгловата скорост на въртене:

Ъгловият импулс е векторно количество; съгласно формула (6.3) ъгловият импулс е насочен по същия начин като ъгловата скорост.

Основното уравнение за динамиката на въртеливото движение в импулсна форма.

Ъгловото ускорение на тялото е равно на промяната в ъгловата скорост, разделена на периода от време, през който е настъпила тази промяна: Заместете този израз в основното уравнение на динамиката на въртеливото движение следователно I(ω 2 - ω 1) = MΔt, или IΔω = MΔt.

По този начин,

ΔL = MΔt. (6.4)

Промяната на ъгловия момент е равна на произведението от общия момент на силите, действащи върху тялото или системата, и продължителността на действие на тези сили.

Закон за запазване на ъгловия момент:

Ако общият момент на силите, действащи върху тяло или система от тела с фиксирана ос на въртене, е равен на нула, тогава промяната в ъгловия момент също е нула, т.е. ъгловият момент на системата остава постоянен.

ΔL = 0, L = const.

Промяната в импулса на системата е равна на общия импулс на силите, действащи върху системата.

Въртящ се скейтър разперва ръцете си отстрани, като по този начин увеличава инерционния момент, за да намали ъгловата скорост на въртене.

Законът за запазване на ъгловия импулс може да бъде демонстриран с помощта на следния експеримент, наречен „експеримент на Жуковски. Човек стои на пейка, която има вертикална ос на въртене, минаваща през центъра. Мъж държи дъмбели в ръцете си. Ако пейката е направена да се върти, човекът може да промени скоростта на въртене, като притисне дъмбелите към гърдите или спусне ръцете и след това ги повдигне. Разпръсквайки ръцете си, той увеличава инерционния момент и ъгловата скорост на въртене намалява (фиг. 6.11, а), спускайки ръцете си, той намалява инерционния момент и ъгловата скорост на въртене на пейката се увеличава (фиг. 6.11, а). 6.11, б).

Човек може също да накара пейка да се върти, като върви по ръба й. В този случай пейката ще се върти в обратна посока, тъй като общият ъглов момент трябва да остане равен на нула.

Принципът на действие на устройствата, наречени жироскопи, се основава на закона за запазване на ъгловия момент. Основното свойство на жироскопа е запазването на посоката на оста на въртене, ако външни сили не действат върху тази ос. През 19 век Жироскопите са били използвани от моряците за ориентация в морето.

Кинетична енергия на въртящо се твърдо тяло.

Кинетичната енергия на въртящо се твърдо тяло е равна на сумата от кинетичните енергии на отделните му частици. Нека разделим тялото на малки елементи, всеки от които може да се счита за материална точка. Тогава кинетичната енергия на тялото е равна на сумата от кинетичните енергии на материалните точки, от които то се състои:

Ъгловата скорост на въртене на всички точки на тялото е еднаква, следователно,

Стойността в скобите, както вече знаем, е инерционният момент на твърдото тяло. И накрая, формулата за кинетичната енергия на твърдо тяло с фиксирана ос на въртене има формата

В общия случай на движение на твърдо тяло, когато оста на въртене е свободна, неговата кинетична енергия е равна на сумата от енергиите на постъпателно и въртеливо движение. Така кинетичната енергия на колело, чиято маса е концентрирана в джантата, търкалящо се по пътя с постоянна скорост, е равна на

Таблицата сравнява формулите за механиката на постъпателното движение на материална точка с подобни формули за въртеливото движение на твърдо тяло.

Задачи

1. Определете колко пъти ефективната маса е по-голяма от гравитационната маса на влак с тегло 4000 тона, ако масата на колелата е 15% от масата на влака. Считайте, че колелата са дискове с диаметър 1,02 м. Как ще се промени отговорът, ако диаметърът на колелата е наполовина по-голям?

2. Определете ускорението, с което двойка колела с тегло 1200 kg се търкаля по хълм с наклон 0,08. Считайте колелата за дискове. Коефициент на съпротивление при търкаляне 0,004. Определете силата на сцепление между колелата и релсите.

3. Определете ускорението, с което двойка колела с тегло 1400 kg се търкаля по хълм с наклон 0,05. Коефициент на съпротивление 0,002. Какъв трябва да бъде коефициентът на сцепление, за да не се плъзгат колелата? Считайте колелата за дискове.

4. Определете с какво ускорение се търкаля автомобил с тегло 40 тона по хълм с наклон 0,020, ако има осем колела с тегло 1200 kg и диаметър 1,02 м. Определете силата на сцепление на колелата с релсите. Коефициент на съпротивление 0,003.

5. Определете силата на натиск на спирачните накладки върху гумите, ако влак с тегло 4000 тона спира с ускорение 0,3 m/s 2 . Инерционният момент на една двойка колела е 600 kg m 2, броят на осите е 400, коефициентът на триене при плъзгане на подложката е 0,18, а коефициентът на съпротивление при търкаляне е 0,004.

6. Определете спирачната сила, действаща върху четириосна кола с тегло 60 тона върху спирачната платформа на гърбица, ако скоростта на коловоз от 30 m намаля от 2 m/s до 1,5 m/s. Инерционният момент на една двойка колела е 500 kg m 2.

7. Скоростомерът на локомотива показа увеличение на скоростта на влака в рамките на една минута от 10 m/s на 60 m/s. Вероятно двойката задвижващи колела се е приплъзнала. Определете момента на силите, действащи върху арматурата на електродвигателя. Инерционният момент на колоосите е 600 kg m 2, арматурата е 120 kg m 2. Предавателното отношение е 4,2. Силата на натиск върху релсите е 200 kN, коефициентът на триене при плъзгане на колелата върху релсата е 0,10.

11. КИНЕТИЧНА ЕНЕРГИЯ НА ВЪРТЕНЕ

ДВИЖЕНИЯ

Нека изведем формулата за кинетичната енергия на въртеливото движение. Нека тялото се върти с ъглова скорост ω спрямо фиксирана ос. Всяка малка частица от тяло претърпява постъпателно движение в кръг със скорост където r i –разстояние до оста на въртене, радиус на орбитата. Кинетична енергия на частиците маси m iравна на . Общата кинетична енергия на система от частици е равна на сумата от техните кинетични енергии. Нека обобщим формулите за кинетичната енергия на частиците на едно тяло и извадим половината от квадрата на ъгловата скорост, която е еднаква за всички частици, като знак за сумата, . Сумата от произведенията на масите на частиците по квадратите на техните разстояния до оста на въртене е инерционният момент на тялото спрямо оста на въртене . Така, кинетичната енергия на тяло, въртящо се спрямо неподвижна ос, е равна на половината от произведението на инерционния момент на тялото спрямо оста и квадрата на ъгловата скорост на въртене:

С помощта на въртящи се тела може да се съхранява механична енергия. Такива тела се наричат ​​маховици. Обикновено това са тела на революция. Използването на маховици в грънчарското колело е известно от древни времена. При двигателите с вътрешно горене по време на силовия такт буталото предава механична енергия на маховика, който след това извършва работа по въртене на вала на двигателя за три последователни такта. При щампове и преси маховикът се задвижва във въртене от електрически мотор с относително ниска мощност, акумулира механична енергия по време на почти пълен оборот и в кратък момент на удар я освобождава към щамповащата работа.

Има много опити да се използват въртящи се маховици за задвижване на превозни средства: автомобили, автобуси. Наричат ​​се махомобили, жиромобили. Създадени са много такива експериментални машини. Би било обещаващо да се използват маховици за акумулиране на енергия по време на спиране на електрически влакове, за да се използва натрупаната енергия при последващо ускорение. Известно е, че съхранението на енергия с маховик се използва във влаковете на метрото в Ню Йорк.

Механика.

Въпрос No1

Справочна система. Инерциални референтни системи. Принципът на относителността на Галилей - Айнщайн.

Референтна рамка- това е набор от тела, по отношение на които се описва движението на дадено тяло и свързаната с него координатна система.

Инерциална референтна система (IRS)е система, в която свободно движещо се тяло е в състояние на покой или равномерно праволинейно движение.

Принципът на относителността на Галилео-Айнщайн- Всички природни явления във всяка инерционна отправна система се случват по един и същи начин и имат еднаква математическа форма. С други думи, всички ISO са равни.

Въпрос No2

Уравнение на движението. Видове движение на твърдо тяло. Основната задача на кинематиката.

Уравнения на движение на материална точка:

- кинематично уравнение на движението

Видове движение на твърдо тяло:

1) Постъпателно движение - всяка права линия, начертана в тялото, се движи успоредно на себе си.

2) Ротационно движение - всяка точка от тялото се движи в кръг.

φ = φ(t)

Основната задача на кинематиката- това е получаване на времевата зависимост на скоростта V = V(t) и координатите (или радиус вектора) r = r(t) на материална точка от известната времева зависимост на нейното ускорение a = a(t) и известни начални условия V 0 и r 0 .

Въпрос No7

Пулс (Количество движение) е векторна физическа величина, характеризираща мярката на механичното движение на тялото. В класическата механика импулсът на тялото е равен на произведението на масата мтази точка от нейната скорост v, посоката на импулса съвпада с посоката на вектора на скоростта:

В теоретичната механика генерализиран импулсе частната производна на лагранжиана на системата по отношение на обобщената скорост

Ако лагранжианът на системата не зависи от някои обобщени координати, то поради Уравнения на Лагранж .

За свободна частица функцията на Лагранж има формата: , следователно:

Независимостта на лагранжиана на затворена система от нейното положение в пространството следва от свойството хомогенност на пространството: за една добре изолирана система нейното поведение не зависи от това къде в пространството я поставяме. от Теорема на НьотерОт тази хомогенност следва запазването на някаква физична величина. Това количество се нарича импулс (обикновен, не обобщен).

В класическата механика, пълно импулссистема от материални точки се нарича векторно количество, равно на сумата от произведенията на масите на материалните точки и тяхната скорост:

съответно количеството се нарича импулс на една материална точка. Това е векторна величина, насочена в същата посока като скоростта на частицата. Международната система от единици (SI) единица импулс е килограм-метър в секунда(kg m/s)

Ако имаме работа с тяло с краен размер, за да определим неговия импулс, е необходимо тялото да се раздели на малки части, които могат да се считат за материални точки и да се сумират върху тях, като резултат получаваме:

Импулсът на система, която не се влияе от външни сили (или те са компенсирани) запазенина време:

Запазването на импулса в този случай следва от втория и третия закон на Нютон: като напишем втория закон на Нютон за всяка от материалните точки, съставляващи системата, и сумирайки всички материални точки, съставляващи системата, по силата на третия закон на Нютон получаваме равенство (* ).

В релативистката механика триизмерният импулс на система от невзаимодействащи си материални точки е количеството

,

Където m i- тегло азта материална точка.

За затворена система от невзаимодействащи материални точки тази стойност се запазва. Въпреки това, триизмерният импулс не е релативистично инвариантно количество, тъй като зависи от референтната система. По-смислено количество ще бъде четириизмерният импулс, който за една материална точка се определя като

На практика често се използват следните зависимости между масата, импулса и енергията на една частица:

По принцип за система от невзаимодействащи си материални точки техните 4-момента се сумират. Въпреки това, за взаимодействащи частици в релативистката механика е необходимо да се вземе предвид не само импулсът на частиците, които изграждат системата, но и импулсът на полето на взаимодействие между тях. Следователно, много по-значима величина в релативистката механика е тензорът енергия-импулс, който напълно удовлетворява законите за запазване.

Въпрос #8

Момент на инерция- скаларна физическа величина, мярка за инерцията на тялото при въртеливо движение около ос, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при транслационно движение. Характеризира се с разпределението на масите в тялото: инерционният момент е равен на сумата от продуктите на елементарните маси по квадрата на техните разстояния до базовия набор

Аксиален инерционен момент

Осови моменти на инерция на някои тела.

Инерционен момент на механична системапо отношение на фиксирана ос („аксиален момент на инерция“) е количеството Я а, равна на сумата от произведенията на масите на всички нматериални точки на системата чрез квадратите на техните разстояния до оста:

,

• m i- тегло азта точка,
• r i- разстояние от азта точка спрямо оста.

Аксиален момент на инерциятяло Я ае мярка за инерцията на тяло при въртеливо движение около ос, точно както масата на тялото е мярка за неговата инерция при транслационно движение.

,

• dm = ρ dV- маса на малък елемент от обема на тялото dV,
• ρ - плътност,
• r- разстояние от елемента dVкъм ос а.

Ако тялото е хомогенно, тоест неговата плътност е еднаква навсякъде, тогава

Извеждане на формулата

dmи моменти на инерция dJ i. Тогава

Тънкостенен цилиндър (пръстен, обръч)

Извеждане на формулата

Инерционният момент на тялото е равен на сумата от инерционните моменти на съставните му части. Разделете тънкостенен цилиндър на елементи с маса dmи моменти на инерция dJ i. Тогава

Тъй като всички елементи на тънкостенен цилиндър са на едно и също разстояние от оста на въртене, формула (1) се трансформира във формата

Теорема на Щайнер

Момент на инерцияна твърдо тяло спрямо която и да е ос зависи не само от масата, формата и размера на тялото, но и от положението на тялото спрямо тази ос. Според теоремата на Щайнер (теорема на Хюйгенс-Щайнер), момент на инерциятяло Джспрямо произволна ос е равно на сумата момент на инерциятова тяло Jcспрямо ос, минаваща през центъра на масата на тялото, успоредна на разглежданата ос, и произведението на масата на тялото мна квадрат разстояние дмежду осите:

Ако е инерционният момент на тяло спрямо ос, минаваща през центъра на масата на тялото, тогава инерционният момент спрямо успоредна ос, разположена на разстояние от нея, е равен на

,

където е общата маса на тялото.

Например инерционният момент на прът спрямо ос, минаваща през края му, е равен на:

Ротационна енергия

Кинетична енергия на въртеливото движение- енергията на тялото, свързана с неговото въртене.

Основните кинематични характеристики на въртеливото движение на тялото са неговата ъглова скорост (ω) и ъглово ускорение. Основните динамични характеристики на въртеливото движение - ъглов момент спрямо оста на въртене z:

K z = Изω

и кинетична енергия

където I z е инерционният момент на тялото спрямо оста на въртене.

Подобен пример може да се намери, когато се разглежда въртяща се молекула с главни оси на инерция аз 1, аз 2И аз 3. Ротационната енергия на такава молекула се дава от израза

Където ω 1, ω 2, И ω 3- основните компоненти на ъгловата скорост.

Най-общо енергията при въртене с ъглова скорост се намира по формулата:

, Където аз- тензор на инерцията.

Въпрос No9

Момент на импулс (ъглов момент, ъглов момент, орбитален импулс, ъглов момент) характеризира количеството на въртеливото движение. Количество, което зависи от това колко маса се върти, как е разпределена спрямо оста на въртене и с каква скорост се извършва въртенето.

Трябва да се отбележи, че въртенето тук се разбира в широк смисъл, а не само като редовно въртене около ос. Например, дори когато едно тяло се движи по права линия покрай произволна въображаема точка, която не лежи на линията на движение, то също има ъглов момент. Може би най-голяма роля играе ъгловият импулс при описване на действителното въртеливо движение. Той обаче е изключително важен за много по-широк клас проблеми (особено ако проблемът има централна или аксиална симетрия, но не само в тези случаи).

Закон за запазване на ъгловия момент(закон за запазване на ъгловия момент) - векторната сума на всички ъглови моменти спрямо която и да е ос за затворена система остава постоянна в случай на равновесие на системата. В съответствие с това ъгловият импулс на затворена система спрямо всяка непроизводна на ъгловия импулс по отношение на времето е моментът на силата:

По този начин изискването системата да бъде затворена може да бъде отслабено до изискването основният (общ) момент на външните сили да бъде равен на нула:

където е моментът на една от силите, приложени към системата от частици. (Но разбира се, ако изобщо няма външни сили, това изискване също е изпълнено).

Математически, законът за запазване на ъгловия момент следва от изотропията на пространството, тоест от инвариантността на пространството по отношение на завъртането през произволен ъгъл. При завъртане на произволен безкрайно малък ъгъл радиус-векторът на частицата с номер ще се промени с , а скоростта - . Функцията на Лагранж на системата няма да се промени при такова завъртане, поради изотропията на пространството. Ето защо

1. Помислете за въртенето на тялото наоколо неподвиженос Z. Нека разделим цялото тяло на набор от елементарни маси m аз. Линейна скорост на елементарна маса m аз– v i = w R аз, където Р аз– масово разстояние m азот оста на въртене. Следователно кинетичната енергия азта елементарна маса ще бъде равна на . Обща кинетична енергия на тялото: , тук е инерционният момент на тялото спрямо оста на въртене.

По този начин кинетичната енергия на тяло, въртящо се около фиксирана ос, е равна на:

2. Сега оставете тялото върти сеспрямо някаква ос и себе си оста се движипрогресивно, оставайки успореден на себе си.

НАПРИМЕР: Топка, която се търкаля без плъзгане, извършва въртеливо движение, а нейният център на тежестта, през който минава оста на въртене (точка “О”), се движи постъпателно (фиг. 4.17).

Скорост аз-тази маса на елементарното тяло е равна на , където е скоростта на някаква точка “О” на тялото; – радиус-вектор, който определя положението на елементарната маса спрямо точка „О“.

Кинетичната енергия на елементарна маса е равна на:

ЗАБЕЛЕЖКА: векторното произведение съвпада по посока с вектора и има модул, равен на (фиг. 4.18).

Като вземем предвид тази забележка, можем да напишем това , където е разстоянието на масата от оста на въртене. Във втория член правим циклично пренареждане на факторите, след което получаваме

За да получим общата кинетична енергия на тялото, ние сумираме този израз върху всички елементарни маси, като вземаме постоянните множители отвъд знака на сумата. Получаваме

Сумата от елементарните маси е масата на тялото “m”. Изразът е равен на произведението на масата на тялото от радиус вектора на инерционния център на тялото (по дефиниция на инерционния център). И накрая, инерционният момент на тялото спрямо оста, минаваща през точка "О". Следователно можем да пишем

.

Ако приемем инерционния център на тялото “C” за точка “O”, радиус векторът ще бъде равен на нула и вторият член ще изчезне. След това, обозначавайки през – скоростта на инерционния център и чрез – инерционния момент на тялото спрямо оста, минаваща през точка „С“, получаваме:

(4.6)

По този начин кинетичната енергия на тялото при равнинно движение се състои от енергията на транслационното движение със скорост, равна на скоростта на центъра на инерцията, и енергията на въртене около ос, минаваща през центъра на инерцията на тялото.

Работа на външни сили при въртеливо движение на твърдо тяло.

Нека намерим работата, извършена от силите, когато тялото се върти около неподвижната ос Z.

Нека вътрешна сила и външна сила действат върху масата (резултантната сила лежи в равнина, перпендикулярна на оста на въртене) (фиг. 4.19). Тези сили действат във времето дтработа:

След като извършихме циклично пренареждане на фактори в смесени продукти на вектори, намираме:

където , са съответно моментите на вътрешните и външните сили спрямо точка „О“.

Сумирайки всички елементарни маси, получаваме елементарната работа, извършена върху тялото във времето дт:

Сумата от моментите на вътрешните сили е нула. Тогава, означавайки общия момент на външните сили чрез , стигаме до израза:

.

Известно е, че скаларното произведение на два вектора е скалар, равен на произведението на модула на един от векторите, умножен по проекцията на втория към посоката на първия, като се има предвид, че , (посоките на оста Z съвпадат), получаваме

,

но w дт=д j, т.е. ъгълът, под който тялото се завърта във времето дт. Ето защо

.

Знакът на произведението зависи от знака на M z, т.е. от знака на проекцията на вектора върху посоката на вектора.

И така, когато тялото се върти, вътрешните сили не извършват работа, а работата на външните сили се определя по формулата .

Работата, извършена за краен период от време, се намира чрез интегриране

.

Ако проекцията на резултантния момент на външните сили върху посоката остане постоянна, тогава тя може да бъде извадена от интегралния знак:

, т.е. .

Тези. работата, извършена от външна сила по време на въртеливо движение на тялото, е равна на произведението на проекцията на момента на външната сила върху посоката и ъгъла на въртене.

От друга страна, работата на външна сила, действаща върху тялото, отива за увеличаване на кинетичната енергия на тялото (или е равна на промяната в кинетичната енергия на въртящото се тяло). Нека покажем това:

;

следователно

. (4.7)

сам:

Еластични сили;

Закон на Хук.

ЛЕКЦИЯ 7

Хидродинамика

Токопроводи и тръби.

Хидродинамиката изучава движението на течности, но нейните закони важат и за движението на газовете. В стационарен флуиден поток скоростта на неговите частици във всяка точка на пространството е величина, независима от времето и е функция на координатите. При постоянен поток траекториите на флуидните частици образуват линия на потока. Комбинацията от токови линии образува токова тръба (фиг. 5.1). Приемаме, че течността е несвиваема, тогава обемът на течността, протичаща през секциите С 1 и С 2 ще бъде същото. За секунда през тези секции ще премине обем течност, равен на

, (5.1)

където и са скоростите на течността в сечения С 1 и С 2 , а векторите и са определени като и , където и са нормалите към сеченията С 1 и С 2. Уравнение (5.1) се нарича уравнение за непрекъснатост на струята. От това следва, че скоростта на течността е обратно пропорционална на напречното сечение на текущата тръба.

Уравнение на Бернули.

Ще разгледаме идеална несвиваема течност, в която няма вътрешно триене (вискозитет). Нека изберем тънка токова тръба в неподвижно течаща течност (фиг. 5.2) със секции S 1И S 2, перпендикулярно на токовите линии. В напречно сечение 1 за кратко време Tчастиците ще се преместят на разстояние l 1, и в раздел 2 - от разстояние l 2. През двата участъка във времето Tще преминат равни малки обеми течност V= V 1 = V 2и прехвърлете много течност m=rV, Където r- плътност на течността. Като цяло, промяната в механичната енергия на цялата течност в тръбата за потока между секциите S 1И S 2което се случи по време на T, може да бъде заменен чрез промяна на обемната енергия Vкоето се случи, когато се премести от раздел 1 в раздел 2. При такова движение кинетичната и потенциалната енергия на този обем ще се променят, както и общата промяна в неговата енергия

, (5.2)

където v 1 и v 2 - скорости на флуидните частици в сечения S 1И S 2съответно; ж- ускорение на гравитацията; з 1И ч 2- височина на центъра на секциите.

В идеална течност няма загуби от триене, така че нарастването на енергията е DEтрябва да бъде равна на работата, извършена от силите на натиск върху определения обем. При липса на сили на триене тази работа:

Приравнявайки десните части на равенства (5.2) и (5.3) и прехвърляйки членове със същите индекси към едната страна на равенството, получаваме

. (5.4)

Тръбни секции S 1И S 2са взети произволно, следователно може да се твърди, че във всеки участък от текущата тръба изразът е валиден

. (5.5)

Уравнение (5.5) се нарича уравнение на Бернули. За хоризонтална рационализация ч = консти равенството (5.4) приема формата

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

тези. налягането е по-малко в онези точки, където скоростта е по-голяма.

Сили на вътрешно триене.

Истинската течност се характеризира с вискозитет, който се проявява във факта, че всяко движение на течност и газ спонтанно спира при липса на причините, които са го причинили. Нека разгледаме експеримент, при който слой течност е разположен над неподвижна повърхност, а върху него се движи със скорост плоча, плаваща върху него с повърхност С(фиг. 5.3). Опитът показва, че за да се движи една плоча с постоянна скорост, е необходимо върху нея да действа сила. Тъй като плочата не получава ускорение, това означава, че действието на тази сила се уравновесява от друга, равна по големина и противоположно насочена сила, която е силата на триене . Нютон показа, че силата на триене

, (5.7)

Където д- дебелина на слоя течност, h - коефициент на вискозитет или коефициент на триене на течността, знакът минус отчита различните посоки на векторите F trИ vо. Ако изследвате скоростта на течните частици в различни места на слоя, се оказва, че тя се променя според линейния закон (фиг. 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Диференцирайки това равенство, получаваме dv/dz= v 0 /д. Имайки това предвид

формула (5.7) ще приеме формата

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Където ч- динамичен коефициент на вискозитет. величина dv/dzнаречен градиент на скоростта. Той показва колко бързо се променя скоростта в посоката на оста z. При dv/dz= const градиентът на скоростта е числено равен на промяната в скоростта vкогато се промени zза единица. Нека поставим числено във формула (5.8) dv/dz =-1 и С= 1, получаваме ч = Е. това предполага физическо значение h: коефициентът на вискозитет е числено равен на силата, която действа върху слой течност с единица площ с градиент на скоростта, равен на единица. SI единицата за вискозитет се нарича паскал секунда (означава се Pa s). В системата CGS единицата за вискозитет е 1 поаз (P), като 1 Pa s = 10P.