Намерете наклона на допирателната, начертана към графиката. Уравнение на допирателната към графиката на функция
Нека е дадена функция f, която в дадена точка x 0 има крайна производна f (x 0). Тогава правата линия, минаваща през точката (x 0 ; f (x 0)), имаща ъглов коефициент f ’(x 0), се нарича допирателна.
Какво се случва, ако производната не съществува в точката x 0? Има две възможности:
- Няма и допирателна към графиката. Класически пример е функцията y = |x | в точка (0; 0).
- Допирателната става вертикална. Това е вярно, например, за функцията y = arcsin x в точката (1; π /2).
Уравнение на тангенс
Всяка невертикална права линия се дава от уравнение от вида y = kx + b, където k е наклонът. Тангенсът не е изключение и за да се създаде неговото уравнение в дадена точка x 0, е достатъчно да се знае стойността на функцията и производната в тази точка.
И така, нека е дадена функция y = f (x), която има производна y = f ’(x) на сегмента. Тогава във всяка точка x 0 ∈ (a; b) може да се начертае допирателна към графиката на тази функция, която е дадена от уравнението:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Тук f ’(x 0) е стойността на производната в точка x 0, а f (x 0) е стойността на самата функция.
Задача. Дадена е функцията y = x 3 . Напишете уравнение за допирателната към графиката на тази функция в точката x 0 = 2.
Уравнение на допирателната: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Точката x 0 = 2 ни е дадена, но стойностите f (x 0) и f ’(x 0) ще трябва да бъдат изчислени.
Първо, нека намерим стойността на функцията. Тук всичко е лесно: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Сега нека намерим производната: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Заместваме x 0 = 2 в производната: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Общо получаваме: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Това е уравнението на допирателната.
Задача. Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията f (x) = 2sin x + 5 в точка x 0 = π /2.
Този път няма да описваме подробно всяко действие - ще посочим само ключовите стъпки. Ние имаме:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Допирателно уравнение:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
В последния случай правата линия се оказа хоризонтална, т.к неговият ъглов коефициент k = 0. В това няма нищо лошо - просто се натъкнахме на екстремна точка.
В математиката един от параметрите, който описва позицията на линия в декартовата координатна равнина, е ъгловият коефициент на тази линия. Този параметър характеризира наклона на правата спрямо абсцисната ос. За да разберете как да намерите наклона, първо си припомнете общата форма на уравнението на права линия в координатната система XY.
Като цяло всяка права може да бъде представена чрез израза ax+by=c, където a, b и c са произволни реални числа, но a 2 + b 2 ≠ 0.
С помощта на прости трансформации такова уравнение може да се доведе до формата y=kx+d, в която k и d са реални числа. Числото k е наклонът и уравнението на линия от този тип се нарича уравнение с наклон. Оказва се, че за да намерите наклона, просто трябва да намалите първоначалното уравнение до формата, посочен по-горе. За по-пълно разбиране разгледайте конкретен пример:
Задача: Намерете наклона на правата, дадена от уравнението 36x - 18y = 108
Решение: Нека трансформираме първоначалното уравнение.
Отговор: Необходимият наклон на тази линия е 2.
Ако по време на преобразуването на уравнението сме получили израз като x = const и в резултат на това не можем да представим y като функция на x, тогава имаме работа с права линия, успоредна на оста X. Ъгловият коефициент на такъв права линия е равна на безкрайност.
За линии, изразени с уравнение като y = const, наклонът е нула. Това е типично за прави линии, успоредни на абсцисната ос. Например:
Задача: Намерете наклона на правата, дадена от уравнението 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Решение: Нека приведем първоначалното уравнение в неговия общ вид
24x + 12y - 12y + 28 = 4
Невъзможно е да се изрази y от получения израз, следователно ъгловият коефициент на тази линия е равен на безкрайност, а самата линия ще бъде успоредна на оста Y.
Геометрично значение
За по-добро разбиране, нека разгледаме снимката:
На фигурата виждаме графика на функция като y = kx. За да опростим, нека вземем коефициента c = 0. В триъгълника OAB съотношението на страната BA към AO ще бъде равно на ъгловия коефициент k. В същото време съотношението BA/AO е тангенса на острия ъгъл α в правоъгълния триъгълник OAB. Оказва се, че ъгловият коефициент на правата е равен на тангенса на ъгъла, който тази права сключва с абсцисната ос на координатната мрежа.
Решавайки проблема как да намерим ъгловия коефициент на права линия, намираме тангенса на ъгъла между нея и оста X на координатната мрежа. Граничните случаи, когато въпросната права е успоредна на координатните оси, потвърждават горното. Наистина, за права линия, описана с уравнението y=const, ъгълът между нея и абсцисната ос е нула. Тангенсът на нулевия ъгъл също е нула и наклонът също е нула.
За прави линии, перпендикулярни на оста x и описани с уравнението x=const, ъгълът между тях и оста X е 90 градуса. Тангенсът на прав ъгъл е равен на безкрайност, а ъгловият коефициент на подобни прави също е равен на безкрайност, което потвърждава написаното по-горе.
Наклон на допирателната
Често срещана задача в практиката е намирането на наклона на допирателната към графиката на функция в определена точка. Тангентата е права линия, следователно концепцията за наклон е приложима и към нея.
За да разберем как да намерим наклона на допирателната, ще трябва да си припомним понятието производна. Производната на всяка функция в определена точка е константа, числено равна на тангенса на ъгъла, образуван между допирателната в определена точка към графиката на тази функция и абсцисната ос. Оказва се, че за да определим ъгловия коефициент на тангентата в точката x 0, трябва да изчислим стойността на производната на оригиналната функция в тази точка k = f"(x 0). Нека да разгледаме примера:
Задача: Намерете наклона на правата, допирателна към функцията y = 12x 2 + 2xe x при x = 0,1.
Решение: Намерете производната на оригиналната функция в общ вид
y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1
Отговор: Необходимият наклон в точка x = 0,1 е 4,831
Помислете за следната фигура:
Той изобразява определена функция y = f(x), която е диференцируема в точка a. Отбелязана е точка M с координати (a; f(a)). Секанс MR е начертан през произволна точка P(a + ∆x; f(a + ∆x)) на графиката.
Ако сега точка P се премести по графиката към точка M, тогава правата линия MR ще се върти около точка M. В този случай ∆x ще клони към нула. От тук можем да формулираме определението за допирателна към графиката на функция.
Тангента към графиката на функция
Допирателната към графиката на функция е граничната позиция на секанса, тъй като нарастването на аргумента клони към нула. Трябва да се разбере, че съществуването на производната на функцията f в точката x0 означава, че в тази точка на графиката има допирателнана него.
В този случай ъгловият коефициент на тангенса ще бъде равен на производната на тази функция в тази точка f’(x0). Това е геометричното значение на производната. Допирателната към графиката на диференцируема в точка x0 функция f е определена права линия, минаваща през точката (x0;f(x0)) и имаща ъглов коефициент f’(x0).
Уравнение на тангенс
Нека се опитаме да получим уравнението на допирателната към графиката на някаква функция f в точка A(x0; f(x0)). Уравнението на права линия с наклон k има следната форма:
Тъй като нашият коефициент на наклон е равен на производната f’(x0), тогава уравнението ще приеме следната форма: y = f’(x0)*x + b.
Сега нека изчислим стойността на b. За целта използваме факта, че функцията минава през точка А.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, от тук изразяваме b и получаваме b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Заместваме получената стойност в уравнението на допирателната:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Разгледайте следния пример: намерете уравнението на допирателната към графиката на функцията f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 в точка x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Заместете получените стойности във формулата на допирателната, получаваме: y = 1 + 4*(x - 2). Отваряйки скобите и привеждайки подобни членове, получаваме: y = 4*x - 7.
Отговор: y = 4*x - 7.
Обща схема за съставяне на уравнението на допирателнатакъм графиката на функцията y = f(x):
1. Определете x0.
2. Изчислете f(x0).
3. Изчислете f’(x)
Към темата „Ъгловият коефициент на тангенс като тангенс на ъгъла на наклона” се задават няколко задачи на сертификационния изпит. В зависимост от тяхното състояние, от завършилия може да се изисква да даде пълен или кратък отговор. Когато се подготвя за полагане на Единния държавен изпит по математика, ученикът определено трябва да повтори задачите, които изискват изчисляване на наклона на допирателната.
Образователният портал Школково ще ви помогне да направите това. Нашите специалисти подготвиха и представиха теоретичен и практически материал по възможно най-достъпния начин. След като се запознаят с него, завършилите с всякакво ниво на подготовка ще могат успешно да решават задачи, свързани с производни, в които е необходимо да се намери тангенсът на допирателния ъгъл.
Основни моменти
За да намерите правилното и рационално решение на такива задачи в Единния държавен изпит, е необходимо да запомните основната дефиниция: производната представлява скоростта на промяна на функция; той е равен на тангенса на допирателния ъгъл, начертан към графиката на функцията в определена точка. Също толкова важно е да завършите чертежа. Това ще ви позволи да намерите правилното решение на USE задачи върху производната, в които трябва да изчислите тангенса на допирателния ъгъл. За по-голяма яснота е най-добре да начертаете графиката върху равнината OXY.
Ако вече сте се запознали с основния материал по темата за производните и сте готови да започнете да решавате задачи за изчисляване на тангенса на допирателния ъгъл, подобно на задачите от Единния държавен изпит, можете да направите това онлайн. За всяка задача, например задачи по темата „Връзка на производна със скоростта и ускорението на тяло“, записахме верния отговор и алгоритъма за решение. В същото време учениците могат да се упражняват да изпълняват задачи с различна степен на сложност. Ако е необходимо, упражнението може да бъде запазено в секцията „Любими“, за да можете по-късно да обсъдите решението с учителя.