У дома

кладенци

Онлайн калкулатор на площта на плоска фигура, ограничена от линии. Онлайн калкулатор. Изчислете определен интеграл (площ на криволинеен трапец)

Онлайн калкулатор на площта на плоска фигура, ограничена от линии. Онлайн калкулатор. Изчислете определен интеграл (площ на криволинеен трапец)

Всъщност, за да намерите площта на фигурата, не са ви необходими толкова много познания за неопределения и определен интеграл. Задачата "изчисляване на площта с помощта на определен интеграл" винаги включва изграждането на чертеж, така че вашите знания и умения за рисуване ще бъдат много по-актуален въпрос. В тази връзка е полезно да се опресни паметта на графиките на основните елементарни функции и като минимум да може да се изгради права линия и хипербола.

Криволинеен трапец е плоска фигура, ограничена от ос, прави линии и графика на непрекъсната функция върху сегмент, който не променя знака на този интервал. Нека тази фигура се намира не по-малкоабциса:

Тогава площта на криволинеен трапец е числено равна на определен интеграл. Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение.

По отношение на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩАТА.

т.е.определеният интеграл (ако съществува) съответства геометрично на площта на дадена фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Интегралната функция определя крива на равнината, която се намира над оста (желаещите могат да завършат чертежа), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Това е типично изявление за задача. Първият и най-важен момент от решението е изграждането на чертеж. Освен това чертежът трябва да бъде изграден НАД.

В този проблем решението може да изглежда така.
Нека направим чертеж (обърнете внимание, че уравнението дефинира оста):

На сегмента се намира графиката на функцията над ос, Ето защо:

Отговор:

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете чертежа и да разберете дали отговорът е реален. В този случай "на око" преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, ще бъдат въведени около 9, изглежда е вярно. Съвсем ясно е, че ако имахме, да речем, отговора: 20 квадратни единици, тогава, очевидно, някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът се окаже отрицателен, тогава задачата също е решена неправилно.

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим рисунка:

Ако криволинейният трапец е разположен под ос(или поне не по-високодадена ос), тогава неговата площ може да се намери по формулата:

В такъв случай:

Внимание! Не бъркайте двата вида задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите само определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура с помощта на определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що разгледаната формула.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и затова от най-простите училищни задачи преминаваме към по-смислени примери.

Пример 4

Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии, .

Решение: Първо трябва да завършите чертежа. Най-общо казано, когато се конструира чертеж в проблеми с площи, ние се интересуваме най-много от пресечните точки на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият начин е аналитичен. Решаваме уравнението:

Следователно долната граница на интеграция, горната граница на интеграция.

Най-добре е да не използвате този метод, ако е възможно..

Много по-изгодно и по-бързо е изграждането на линиите точка по точка, докато границите на интеграция се откриват сякаш „от само себе си“. Въпреки това, аналитичният метод за намиране на границите все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или конструкцията с резба не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Връщаме се към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Нека направим рисунка:

И сега работната формула: Ако има някаква непрекъсната функция на интервала по-голям или равеннякаква непрекъсната функция, тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и прави линии, може да се намери по формулата:

Тук вече не е необходимо да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста и, грубо казано, има значение коя графика е НАГОРЕ(спрямо друга графика), и коя е ПОДОЛУ.

В разглеждания пример е очевидно, че на отсечката параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършването на решението може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.
На сегмента, съгласно съответната формула:

Отговор:

Пример 4

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Решение: Нека първо направим рисунка:

Фигурата, чиято област трябва да намерим, е засенчена в синьо.(внимателно погледнете състоянието - как фигурата е ограничена!). Но на практика, поради невнимание, често се появява „бъг“, че трябва да намерите площта на фигурата, която е засенчена в зелено!

Този пример е полезен и с това, че в него площта на фигурата се изчислява с помощта на два определени интеграла.

Наистина ли:

1) На отсечката над оста има права линия;

2) На отсечката над оста е графика с хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да се добавят, следователно:

Назад напред

Внимание! Предварителният преглед на слайда е само за информационни цели и може да не представлява пълния обхват на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Ключови думи:интегрален, криволинеен трапец, площ от фигури, ограничена от лилии

Оборудване: бяла дъска, компютър, мултимедиен проектор

Тип урок: урок-лекция

Цели на урока:

образователен:да формира култура на умствен труд, да създаде ситуация на успех за всеки ученик, да формира положителна мотивация за учене; развиват способността да говорят и да слушат другите.
развиващи се:формиране на независимост на мисленето на ученика при прилагане на знания в различни ситуации, способност за анализиране и извеждане на изводи, развитие на логиката, развитие на способността за правилно поставяне на въпроси и намиране на отговори на тях. Подобряване формирането на изчислителни, изчислителни умения, развиване на мисленето на учениците в хода на изпълнение на предложените задачи, развиване на алгоритмична култура.
образователен: да формира понятия за криволинеен трапец, за интеграл, да овладее уменията за изчисляване на площите на плоски фигури

Метод на преподаване:обяснителен и илюстративен.

По време на занятията

В предишните класове се научихме как да изчисляваме площите на фигури, чиито граници са прекъснати линии. В математиката има методи, които ви позволяват да изчислите площта на фигурите, ограничени от криви. Такива фигури се наричат криволинейни трапеци и тяхната площ се изчислява с помощта на антипроизводни.

Криволинеен трапец ( слайд 1)

Криволинейният трапец е фигура, ограничена от графиката на функцията, ( w.m), прав х = аи x = bи абциса

Различни видове криволинейни трапеци ( слайд 2)

Разглеждаме различни видове криволинейни трапеци и забелязваме: една от линиите е изродена в точка, ролята на ограничаващата функция играе правата

Площ на криволинеен трапец (слайд 3)

Фиксирайте левия край на интервала а,и право хще променим, т.е. преместваме дясната стена на криволинейния трапец и получаваме променяща се фигура. Площта на променлив криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията, е антипроизводната Фза функция е

И на сегмента [ а; б] площта на криволинейния трапец, образуван от функцията е,е равно на нарастването на първообразната на тази функция:

Упражнение 1:

Намерете площта на криволинеен трапец, ограничен от графиката на функция: f(x) = x 2и директно y=0, x=1, x=2.

Решение: ( според алгоритъма на слайд 3)

Начертайте графика на функцията и линиите

Намерете една от първопроизводните на функцията f(x) = x 2 :

Самопроверка на слайд

Интегрална

Да разгледаме криволинеен трапец, даден от функцията ена сегмента [ а; б]. Нека разделим този сегмент на няколко части. Площта на целия трапец ще бъде разделена на сумата от площите на по-малките криволинейни трапеци. ( слайд 5). Всеки такъв трапец може приблизително да се счита за правоъгълник. Сборът от площите на тези правоъгълници дава приблизителна представа за цялата площ на криволинейния трапец. Колкото по-малък разбиваме сегмента [ а; б], толкова по-точно изчисляваме площта.

Записваме тези съображения под формата на формули.

Разделете сегмента [ а; б] на n части с точки x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b.Дължина к-ти означават с xk = xk - xk-1. Нека обобщим

Геометрично тази сума е площта на фигурата, защрихована на фигурата ( ш.м.)

Сумите от формата се наричат интегрални суми за функцията е. (ш.м.)

Интегралните суми дават приблизителна стойност на площта. Точната стойност се получава чрез преминаване към границата. Представете си, че прецизираме разделянето на сегмента [ а; б], така че дължините на всички малки сегменти клонят към нула. Тогава площта на съставената фигура ще се доближи до областта на криволинейния трапец. Можем да кажем, че площта на криволинеен трапец е равна на границата на интегралните суми, Sk.t. (ш.м.)или интегрална, т.е.

определение:

функционален интеграл f(x)от апреди бсе нарича граница на интегралните суми

= (ш.м.)

Формула на Нютон-Лайбниц.

Не забравяйте, че границата на интегралните суми е равна на площта на криволинеен трапец, така че можем да напишем:

Sk.t. = (ш.м.)

От друга страна, площта на криволинеен трапец се изчислява по формулата

С до. т. (ш.м.)

Сравнявайки тези формули, получаваме:

= (ш.м.)

Това равенство се нарича формула на Нютон-Лайбниц.

За удобство на изчисленията, формулата се записва като:

= = (ш.м.)

Задачи: (сч.м.)

1. Изчислете интеграла по формулата на Нютон-Лайбниц: ( проверете слайд 5)

2. Съставете интеграли според чертежа ( проверете на слайд 6)

3. Намерете площта на фигура, ограничена от линии: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Слайд 7)

Намиране на площите на плоските фигури ( слайд 8)

Как да намерим площта на фигурите, които не са криволинейни трапеци?

Нека са дадени две функции, чиито графики виждате на слайда . (ш.м.)Намерете площта на засенчената фигура . (ш.м.). Въпросната фигура криволинеен трапец ли е? И как можете да намерите неговата площ, като използвате свойството адитивност на областта? Помислете за два криволинейни трапеца и извадете площта на другия от площта на единия от тях ( w.m.)

Нека направим алгоритъм за намиране на областта от анимацията на слайда:

Функции на сюжета
Проектирайте пресечните точки на графиките върху оста x
Засенчвайте фигурата, получена чрез пресичане на графиките
Намерете криволинейни трапеци, чието пресичане или съединение е дадената фигура.
Изчислете площта на всеки
Намерете разлика или сбор от площи

Устна задача: Как да получите площта на засенчена фигура (кажете с помощта на анимация, слайд 8 и 9)

Домашна работа:Изработете резюмето, № 353 (а), № 364 (а).

Библиография

Алгебра и началото на анализа: учебник за 9-11 клас на вечерното (сменно) училище / изд. Г.Д. Глейзър. - М: Просвещение, 1983.
Башмаков М.И. Алгебра и началото на анализа: учебник за 10-11 клас на средното училище / Башмаков М.И. - М: Просвещение, 1991.
Башмаков М.И. Математика: учебник за институции нач. и средно проф. образование / М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010.
Колмогоров A.N. Алгебра и началото на анализа: учебник за 10-11 клетки. образователни институции / А. Н. Колмогоров. - М: Просвещение, 2010.
Островски С.Л. Как да направите презентация за урока? / S.L. Островски. – М.: Първи септември, 2010 г.

Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура

Сега се обръщаме към разглеждането на приложенията на интегралното смятане. В този урок ще анализираме една типична и най-често срещана задача. Как да използваме определен интеграл за изчисляване на площта на равна фигура. И накрая, тези, които търсят смисъл във висшата математика - дано го намерят. Никога не знаеш. В реалния живот ще трябва да приближите лятна вила с елементарни функции и да намерите нейната площ с помощта на определен интеграл.

За да овладеете успешно материала, трябва:

1) Разберете неопределения интеграл поне на междинно ниво. Така че манекените трябва първо да прочетат урока Не.

2) Умеете да прилагате формулата на Нютон-Лайбниц и да изчислявате определения интеграл. Можете да установите топли приятелски отношения с определени интеграли на страницата Определен интеграл. Примери за решение.

Всъщност всеки е запознат с проблема за намиране на площта с помощта на определен интеграл още от училище и ще отидем малко по-напред от училищната програма. Тази статия може да не съществува изобщо, но факт е, че проблемът се появява в 99 случая от 100, когато ученик се измъчва от омразна кула с ентусиазъм, овладявайки курс по висша математика.

Материалите на този семинар са представени просто, подробно и с минимум теория.

Нека започнем с криволинеен трапец.

Криволинеен трапецсе нарича плоска фигура, ограничена от оста , прави линии и графиката на функция, непрекъсната върху сегмент, който не променя знака на този интервал. Нека тази фигура се намира не по-малкоабциса:

Тогава площта на криволинеен трапец е числено равна на определен интеграл. Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. На урока Определен интеграл. Примери за решениеКазах, че определен интеграл е число. И сега е време да посочим още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩАТА.

т.е. определеният интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на дадена фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Интегралната функция определя крива на равнината, която се намира над оста (желаещите могат да завършат чертежа), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Когато изграждате чертеж, препоръчвам следния ред: първопо-добре е да се конструират всички линии (ако има такива) и само след- параболи, хиперболи, графики на други функции. Графиките на функциите са по-изгодни за изграждане точка по точка, с техниката на точково изграждане може да се намери в справочния материал Графики и свойства на елементарни функции. Там можете да намерите и материал, който е много полезен във връзка с нашия урок - как бързо да построите парабола.

Няма да излюпвам криволинеен трапец, ясно е за каква област става дума тук. Решението продължава така:

На сегмента се намира графиката на функцията над ос, Ето защо:

Отговор:

Който изпитва затруднения да изчисли определения интеграл и да приложи формулата на Нютон-Лайбниц , вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решение.

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете чертежа и да разберете дали отговорът е реален. В този случай „на око“ броим броя на клетките в чертежа - добре, ще бъдат въведени около 9, изглежда е вярно. Съвсем ясно е, че ако имахме, да речем, отговора: 20 квадратни единици, тогава, очевидно, някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът се окаже отрицателен, тогава задачата също е решена неправилно.

Пример 2

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , и оста

Това е пример "направи си сам". Пълно решение и отговор в края на урока.

Какво да направите, ако е разположен криволинейният трапец под оста?

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Да направим рисунка:

Ако криволинейният трапец е разположен под ос(или поне не по-високодадена ос), тогава неговата площ може да се намери по формулата:
В такъв случай:

Внимание! Не бъркайте двата вида задачи:

Пример 4

Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии, .

Следователно долната граница на интеграция, горната граница на интеграция.
Най-добре е да не използвате този метод, ако е възможно..

Много по-изгодно и по-бързо е изграждането на линиите точка по точка, докато границите на интеграция се откриват сякаш „от само себе си“. Техниката за изграждане точка по точка за различни диаграми е разгледана подробно в помощта Графики и свойства на елементарни функции. Въпреки това, аналитичният метод за намиране на границите все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или конструкцията с резба не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални). И ние също ще разгледаме такъв пример.

Връщаме се към нашата задача: по-рационално е първо да построим права линия и едва след това парабола. Нека направим рисунка:

Повтарям, че при точковото изграждане границите на интеграция най-често се откриват „автоматично“.

Завършването на решението може да изглежда така:

Отговор:

Всъщност училищната формула за площта на криволинеен трапец в долната полуравнина (вижте прост пример № 3) е специален случай на формулата . Тъй като оста е дадена от уравнението , и графиката на функцията е разположена не по-високооси, тогава

И сега няколко примера за независимо решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигурата, оградена от линиите, .

В хода на решаването на задачи за изчисляване на площта с помощта на определен интеграл понякога се случва забавен инцидент. Чертежът е направен правилно, изчисленията бяха правилни, но поради невнимание ... намери площта на грешната фигура, така се прецака покорният ти слуга няколко пъти. Ето един случай от реалния живот:

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Решение: Нека първо направим рисунка:

...Ех, чертежът излезе глупав, но всичко изглежда е четливо.

Този пример е полезен и с това, че в него площта на фигурата се изчислява с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:

1) На отсечката над оста има права линия;

2) На отсечката над оста е графика с хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да се добавят, следователно:

Отговор:

Нека да преминем към една по-смислена задача.

Пример 8

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии,
Нека представим уравненията в "училищна" форма и да направим чертеж точка по точка:

От чертежа се вижда, че горната ни граница е „добра“: .
Но каква е долната граница? Ясно е, че това не е цяло число, но какво? Може би ? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може да се окаже, че. Или root. Ами ако изобщо не сме получили графиката правилно?

В такива случаи човек трябва да отдели допълнително време и да прецизира границите на интеграцията аналитично.

Нека намерим пресечните точки на правата и параболата.
За да направим това, решаваме уравнението:

,

Наистина ли, .

По-нататъшното решение е тривиално, основното е да не се бъркате в замествания и знаци, изчисленията тук не са най-лесните.

На сегмента , съгласно съответната формула:

Отговор:

Е, в заключение на урока ще разгледаме две по-трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии, ,

Решение: Начертайте тази фигура на чертежа.

По дяволите, забравих да подпиша графика и преправям снимката, съжалявам, не hotz. Не е рисунка, накратко, днес е денят =)

За конструиране точка по точка е необходимо да знаете външния вид на синусоидата (и като цяло е полезно да знаете графики на всички елементарни функции), както и някои стойности на синусите, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. В някои случаи (както в този случай) е позволено да се построи схематичен чертеж, върху който по принцип трябва да се изобразят правилно графиките и границите на интегриране.

Тук няма проблеми с границите на интегриране, те следват директно от условието: - "x" се променя от нула на "pi". Взимаме допълнително решение:

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно:

Площта на криволинеен трапец е числено равна на определен интеграл

Всеки определен интеграл (който съществува) има много добро геометрично значение. В клас казах, че определен интеграл е число. И сега е време да посочим още един полезен факт. От гледна точка на геометрията, определеният интеграл е ПЛОЩАТА.

т.е. определеният интеграл (ако съществува) геометрично съответства на площта на дадена фигура. Например, разгледайте определения интеграл. Интегралната функция определя определена крива на равнината (тя винаги може да бъде начертана, ако желаете), а самият определен интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1

Там можете да намерите и материал, който е много полезен във връзка с нашия урок - как бързо да построите парабола.

Няма да излюпвам криволинеен трапец, ясно е за каква област става дума тук. Решението продължава така:

На сегмента се намира графиката на функцията над ос, Ето защо:

Отговор:

Пример 2

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , и оста

Това е пример "направи си сам". Пълно решение и отговор в края на урока.

Какво да направите, ако е разположен криволинейният трапец под оста?

Пример 3

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: Нека направим чертеж:

Ако криволинеен трапец напълно под оста, тогава неговата площ може да се намери по формулата:
В такъв случай:

Внимание! Двата типа задачи не трябва да се бъркат:

Пример 4

Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии, .

Решение: Първо трябва да направите чертеж. Най-общо казано, когато се конструира чертеж в проблеми с площи, ние се интересуваме най-много от пресечните точки на линиите. Нека намерим пресечните точки на параболата и правата. Това може да стане по два начина. Първият начин е аналитичен. Решаваме уравнението:

Следователно долната граница на интеграция, горната граница на интеграция.
По-добре е да не използвате този метод, ако е възможно.

И сега работната формула:Ако на сегмент е някаква непрекъсната функция по-голям или равеннякаква непрекъсната функция, тогава площта на съответната фигура може да се намери по формулата:

Завършването на решението може да изглежда така:

Отговор:

Всъщност училищната формула за площта на криволинеен трапец в долната полуравнина (вижте прост пример № 3) е специален случай на формулата . Тъй като оста е дадена от уравнението, а графиката на функцията е разположена под оста, тогава

И сега няколко примера за независимо решение

Пример 5

Пример 6

Намерете площта на фигурата, оградена от линиите, .

Пример 7

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите , , , .

Нека първо нарисуваме:

Фигурата, чиято област трябва да намерим, е засенчена в синьо.(внимателно погледнете състоянието - как фигурата е ограничена!). Но на практика, поради невнимание, често се случва, че трябва да намерите площта на фигурата, която е засенчена в зелено!

1) На отсечката над оста има права линия;

2) На отсечката над оста е графика с хипербола.

Съвсем очевидно е, че областите могат (и трябва) да се добавят, следователно:

Отговор:

Пример 8

Нека намерим пресечните точки на правата и параболата.
За да направим това, решаваме уравнението:

Следователно, .

На сегмента , съгласно съответната формула:

Отговор:

Е, в заключение на урока ще разгледаме две по-трудни задачи.

Пример 9

Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии, ,

Решение: Начертайте тази фигура на чертежа.

За изграждането на чертеж точка по точка е необходимо да се знае външният вид на синусоидата (и като цяло е полезно да се знае графики на всички елементарни функции), както и някои стойности на синусите, те могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. В някои случаи (както в този случай) е позволено да се построи схематичен чертеж, върху който по принцип трябва да се изобразят правилно графиките и границите на интегриране.

На сегмента графиката на функцията е разположена над оста, следователно:

(1) Как синусите и косинусите се интегрират в нечетни степени може да се види в урока Интеграли от тригонометрични функции. Това е типична техника, отщипваме един синус.

(2) Използваме основната тригонометрична идентичност във формата

(3) Нека променим променливата , след което:

Нови преразпределения на интеграцията:

Кой наистина е лош бизнес със замени, моля, отидете на урока Метод на заместване в неопределен интеграл. За тези, които не са много наясно с алгоритъма за заместване в определен интеграл, посетете страницата Определен интеграл. Примери за решение.

Пример1 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 и x = 2

Нека построим фигура (виж фиг.) Изграждаме права линия x + 2y - 4 \u003d 0 по две точки A (4; 0) и B (0; 2). Изразявайки y по отношение на x, получаваме y = -0,5x + 2. Съгласно формула (1), където f (x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, ние намирам

S \u003d \u003d [-0,25 = 11,25 кв. единици

Пример 2 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 и y = 0.

Решение. Нека изградим фигура.

Нека построим права линия x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Нека построим права линия x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Намерете пресечната точка на правите, като решите системата от уравнения:

x = 2, y = 3; М(2; 3).

За да изчислим необходимата площ, разделяме триъгълника AMC на два триъгълника AMN и NMC, тъй като когато x се промени от A на N, площта е ограничена от права линия, а когато x се промени от N до C, това е права линия

За триъгълник AMN имаме: ; y = 0,5x + 2, т.е. f (x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

За триъгълника NMC имаме: y = - x + 5, т.е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Изчислявайки площта на всеки от триъгълниците и добавяйки резултатите, намираме:

кв. единици

9 + 4, 5 = 13,5 кв. единици Проверка: = 0,5AC = 0,5 кв. единици

Пример 3 Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

В този случай е необходимо да се изчисли площта на криволинеен трапец, ограничен от парабола y = x 2 , прави линии x \u003d 2 и x \u003d 3 и оста Ox (виж фиг.) Използвайки формула (1), намираме площта на криволинеен трапец

= = 6kv. единици

Пример 4 Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y \u003d - x 2 + 4 и y = 0

Нека изградим фигура. Желаната област е затворена между параболата y \u003d - x 2 + 4 и ос О.

Намерете пресечните точки на параболата с оста x. Ако приемем, че y = 0, намираме x = Тъй като тази фигура е симетрична спрямо оста Oy, изчисляваме площта на фигурата, разположена вдясно от оста Oy, и удвояваме резултата: \u003d + 4x] кв. единици 2 = 2 кв. единици

Пример 5 Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Тук се изисква да се изчисли площта на криволинейния трапец, ограничен от горния клон на параболата y 2 \u003d x, оста Ox и прави линии x \u003d 1x \u003d 4 (виж фиг.)

Съгласно формула (1), където f(x) = a = 1 и b = 4, имаме = (= кв. единици

Пример 6 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Желаната област е ограничена от полувълнова синусоида и оста Ox (виж фиг.).

Имаме - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 квадратни метра. единици

Пример 7 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: y = 6x, y = 0 и x = 4.

Фигурата е разположена под оста Ox (виж фиг.).

Следователно неговата площ се намира по формулата (3)

= =

Пример 8 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y \u003d и x \u003d 2. Ще изградим кривата y = по точки (виж фиг.). По този начин площта на фигурата се намира по формулата (4)

Пример 9 .

х 2 + y 2 = r 2 .

Тук трябва да изчислите площта, ограничена от окръжността x 2 + y 2 = r 2 , тоест площта на окръжност с радиус r с център в началото. Нека намерим четвъртата част от тази област, като вземем границите на интегриране от 0

дор; ние имаме: 1 = = [

следователно, 1 =

Пример 10 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: y \u003d x 2 и y = 2x

Тази цифра е ограничена от параболата y \u003d x 2 и права линия y = 2x (виж фиг.) За да определим пресечните точки на дадените линии, решаваме системата от уравнения: x 2 – 2x = 0 x = 0 и x = 2

Използвайки формула (5) за намиране на площта, получаваме

= }

Секции