Hajde da napravimo crtež

U našem problemu funkcija U(x) ima poseban, diskontinuirani oblik: jednaka je nuli između zidova, a na rubovima bunara (na zidovima) postaje beskonačna:

Napišimo Schrödingerovu jednačinu za stacionarna stanja čestica u tačkama koje se nalaze između zidova:

ili, ako uzmemo u obzir formulu (1.1)

Jednačina (1.3) mora biti dopunjena graničnim uslovima na zidovima bunara. Uzmimo u obzir da je valna funkcija povezana s vjerovatnoćom pronalaženja čestica. Osim toga, prema uslovima problema, čestica se ne može detektovati izvan zidova. Tada valna funkcija na zidovima i dalje mora nestati, a granični uvjeti problema poprimaju jednostavan oblik:

Sada krenimo s rješavanjem jednačine (1.3) . Posebno se može uzeti u obzir da su njegovo rješenje de Broljevi valovi. Ali jedan de Broglieov val kao rješenje očito se ne odnosi na naš problem, jer svakako opisuje slobodnu česticu koja „trči“ u jednom smjeru. U našem slučaju, čestica se kreće "naprijed-nazad" između zidova. U ovom slučaju, na osnovu principa superpozicije, željeno rješenje se može predstaviti kao dva de Broljeva talasa koji se kreću jedan prema drugom momentima p i -p, odnosno u obliku:

Konstante i mogu se naći iz jednog od graničnih uslova i uslova normalizacije. Ovo posljednje sugerira da ako zbrojite sve vjerovatnoće, odnosno nađete vjerovatnoću pronalaska elektrona između zidova općenito na (bilo kojem mjestu), onda ćete dobiti jednu (vjerovatnoća pouzdanog događaja je 1), tj.:

Prema prvom graničnom uslovu imamo:

Tako dobijamo rešenje našeg problema:

Kao što je poznato,. Stoga se pronađeno rješenje može prepisati kao:

Konstanta A je određena iz uslova normalizacije. Ali ovdje to nije od posebnog interesa. Drugi granični uvjet ostaje neiskorišten. Kakav rezultat daje? Primijenjeno na pronađeno rješenje (1.5) dovodi do jednačine:

Iz toga vidimo da u našem zadatku impuls p može uzeti ne bilo koju vrijednost, već samo vrijednosti

Inače, n ne može biti jednako nuli, jer bi tada valna funkcija bila jednaka nuli svuda u intervalu (0…l)! To znači da čestica između zidova ne može mirovati! Mora da se kreće. Elektroni provodljivosti nalaze se u sličnim uslovima u metalu. Dobijeni zaključak se odnosi i na njih: elektroni u metalu ne mogu biti stacionarni.

Najmanji mogući impuls elektrona koji se kreće je

Pokazali smo da impuls elektrona mijenja predznak kada se reflektira od zidova. Stoga se na pitanje koliki je impuls elektrona kada je zaključan između zidova ne može definitivno odgovoriti: ili +p, ili -p. Zamah je neodređen. Njegov stepen nesigurnosti je očigledno definisan na sledeći način: =p-(-p)=2p. Nesigurnost koordinate jednaka je l; ako pokušate da "ulovite" elektron, onda će se on naći unutar granica između zidova, ali gdje tačno nije poznato. Pošto je najmanja vrijednost p , dobijamo:

Hajzenbergovu relaciju smo potvrdili pod uslovima našeg problema, odnosno pod uslovom da postoji najmanja vrednost p. Ako imamo na umu proizvoljno moguću vrijednost zamaha, tada relacija nesigurnosti poprima sljedeći oblik:

To znači da originalni Heisenberg-Bohrov postulat o nesigurnosti postavlja samo donju granicu nesigurnosti mogućih u mjerenjima. Ako je na početku kretanja sistem bio obdaren minimalnom nesigurnošću, onda s vremenom one mogu rasti.

Međutim, formula (1.6) upućuje na još jedan izuzetno zanimljiv zaključak: ispada da se impuls sistema u kvantnoj mehanici ne može uvijek mijenjati kontinuirano (kao što je to uvijek slučaj u klasičnoj mehanici). Spektar impulsa čestice u našem primjeru je diskretan; impuls čestice između zidova može se mijenjati samo u skokovima (kvantima). Vrijednost skoka u razmatranom problemu je konstantna i jednaka .

Na sl. 2. Jasno je prikazan spektar mogućih vrijednosti impulsa čestice. Dakle, diskretnost promjene mehaničkih veličina, koja je potpuno tuđa klasičnoj mehanici, u kvantnoj mehanici proizlazi iz njenog matematičkog aparata. Na pitanje zašto se zamah mijenja u skokovima, nemoguće je pronaći jasan. Takvi su zakoni kvantne mehanike; naš zaključak logično proizlazi iz njih - to je cijelo objašnjenje.

Okrenimo se sada energiji čestice. Energija je povezana sa zamahom formulom (1). Ako je spektar impulsa diskretan, onda se automatski ispostavlja da je i spektar vrijednosti energije čestica između zidova također diskretan. A on je elementaran. Ako se moguće vrijednosti prema formuli (1.6) zamijene u formulu (1.1), dobićemo:

gdje je n = 1, 2,…, i naziva se kvantni broj.

Tako smo dobili nivoe energije.

pirinač. 3.

Rice. 3 prikazuje raspored energetskih nivoa koji odgovara uslovima našeg problema. Jasno je da će za drugi problem raspored energetskih nivoa biti drugačiji. Ako je čestica nabijena (na primjer, to je elektron), tada će, budući da nije na najnižem energetskom nivou, moći spontano emitovati svjetlost (u obliku fotona). Istovremeno će ići na niži energetski nivo u skladu sa uslovom:

Valne funkcije za svako stacionarno stanje u našem problemu su sinusoidi, čije nulte vrijednosti nužno padaju na zidove. Dvije takve valne funkcije za n = 1,2 prikazane su na Sl. jedan.

Potreba za probabilističkim pristupom opisu mikročestica je najvažnija odlika kvantne teorije. Da li se de Broljevi talasi mogu tumačiti kao talasi verovatnoće, tj. smatrati da vjerovatnoća detekcije mikročestice u različitim tačkama u prostoru varira u skladu sa talasnim zakonom? Takva interpretacija de Broljevih talasa je već netačna, makar samo zato što tada verovatnoća pronalaska čestice u nekim tačkama u prostoru može biti negativna, što nema smisla.

Da bi otklonio ove poteškoće, njemački fizičar M. Born 1926. godine predložio je da se, prema zakonu valova, ne mijenja sama vjerovatnoća, već veličina tzv. amplituda vjerovatnoće i označeno ψ(x,y,z,t). Ova vrijednost se zove valna funkcija(ili ψ-funkcija). Amplituda vjerovatnoće može biti složena, a vjerovatnoća W proporcionalno kvadratu njegovog modula:

(|Y| 2 =YY*, Y * - kompleksna konjugirana funkcija Y). Dakle, opis stanja mikroobjekta uz pomoć valne funkcije ima statistički, vjerovatnosti karakter: Kvadrat modula valne funkcije (kvadrat modula amplitude de Broglieovih valova) određuje vjerovatnoću pronalaženja čestice u datom trenutku t u oblasti sa koordinatama X i x+dx, y i y+dy, z i z+dz.

U kvantnoj mehanici stanje mikročestica se opisuje na fundamentalno nov način - uz pomoć valne funkcije, koja je glavni nosilac informacija o njihova korpuskularna i talasna svojstva. Vjerovatnoća pronalaženja čestice u elementu zapremine d V je jednako sa

Vrijednost

(kvadrat modula Y-funkcije) ima smisla gustina vjerovatnoće, tj. određuje vjerovatnoću pronalaženja čestice u jediničnoj zapremini u blizini tačke sa koordinatama x, y, z. Dakle, nije sama Y-funkcija ono što ima fizičko značenje, već kvadrat njenog modula |Y| 2, koji je dat intenzitet de Broljevih talasa.

Vjerovatnoća pronalaženja čestice u isto vrijeme t u završnoj svesci V, prema teoremi zbrajanja vjerovatnoće, jednako je

Od |Y| 2d V je definirana kao vjerovatnoća, onda je potrebno normalizirati valovnu funkciju Y tako da se vjerovatnoća određenog događaja pretvori u jedinicu, ako je volumen V uzeti beskonačan volumen cijelog prostora. To znači da pod ovim uslovom čestica mora biti negdje u prostoru. Dakle, uslov za normalizaciju verovatnoće

gdje se ovaj integral izračunava po cijelom beskonačnom prostoru, odnosno po koordinatama x, y, z od –¥ do ¥. Dakle, uslov ukazuje na objektivno postojanje čestice u prostoru.

Da bi valna funkcija bila objektivna karakteristika stanja mikročestica, ona mora zadovoljiti niz restriktivnih uslova. Funkcija Y, koja karakterizira vjerovatnoću otkrivanja djelovanja mikročestice u elementu volumena, trebala bi biti krajnji(vjerovatnoća ne može biti veća od jedan), nedvosmisleno(vjerovatnoća ne može biti dvosmislena) i kontinuirano(vjerovatnoća se ne može naglo promijeniti).

Talasna funkcija zadovoljava princip superpozicije: ako sistem može biti u različitim stanjima opisanim valnim funkcijama Y 1 , Y 2 ,..., Y n,... onda može biti i u Y stanju opisanom linearnom kombinacijom ovih funkcija:

gdje je C n (n=1, 2, ...) su proizvoljni kompleksni brojevi. Dodatak valne funkcije(amplitude vjerovatnoće), ne vjerovatnoće(određen kvadratima modula valnih funkcija) suštinski razlikuje kvantnu teoriju od klasične statističke teorije, u kojoj za nezavisne događaje vrijedi sljedeće: teorema o dodavanju vjerovatnoće.

Valna funkcija Y, kao glavna karakteristika stanja mikro-objekata, omogućava u kvantnoj mehanici izračunavanje prosječnih vrijednosti fizičkih veličina koje karakteriziraju dati mikro-objekt. Na primjer, prosječna udaljenost á rñ elektrona iz jezgra izračunava se po formuli

Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja. Osnovnu jednačinu nerelativističke kvantne mehanike formulisao je 1926. E. Schrödinger. Schrödingerova jednadžba, kao i sve osnovne jednadžbe fizike (na primjer, Newtonove jednadžbe u klasičnoj mehanici i Maxwellove jednačine za elektromagnetno polje), nije izvedena, već postulirana. Ispravnost ove jednačine potvrđuje se slaganjem s iskustvom rezultata dobijenih uz njenu pomoć, što joj, pak, daje karakter zakona prirode. Schrödingerova jednadžba ima oblik

gdje je ć=h/(2p), m-masa čestice, D-Laplaceov operator i je imaginarna jedinica, U(x, y, z, t) je potencijalna funkcija čestice u polju sile u kojem se kreće, Y(x, y, z, t) je tražena valna funkcija čestice .

Jednačina vrijedi za bilo koju česticu (sa spinom " vlastiti neuništivi mehanički ugaoni moment elektrona" , nije u vezi sa kretanjem elektrona u svemiru, jednako 0;), kreće se malom (u poređenju sa brzinom svjetlosti) brzinom, tj. brzinom v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной 2) производные mora biti kontinuirana; 3) funkcija |Y| 2 mora biti integrabilan; ovaj uslov se u najjednostavnijim slučajevima svodi na uslov normalizacije verovatnoća.

Jednačina

je opća Schrödingerova jednačina. Naziva se i vremenski zavisna Schrödingerova jednačina. Za mnoge fizičke pojave koje se dešavaju u mikrokosmosu, njegova jednadžba se može pojednostaviti eliminacijom zavisnosti Y o vremenu, drugim riječima, pronaći Schrödingerovu jednačinu za stacionarna stanja - stanja sa fiksnim vrijednostima energije. Ovo je moguće ako je polje sila u kojem se čestica kreće stacionarno, odnosno funkcija U=U(x, y, z) ne zavisi eksplicitno o vremenu i ima značenje potencijalne energije. U ovom slučaju, rješenje Schrödingerove jednadžbe može se predstaviti kao proizvod dvije funkcije, od kojih je jedna funkcija samo koordinata, druga je samo funkcija vremena, a ovisnost o vremenu izražena je faktorom , tako da

gdje je E ukupna energija čestice, koja je konstantna u slučaju stacionarnog polja. Zamjenom u opću Schrödingerovu jednačinu dobijamo

odakle, nakon dijeljenja sa zajedničkim faktorom i odgovarajućim transformacijama, dolazimo do jednadžbe koja definira funkciju y:

Ova jednačina se zove Schrödingerova jednačina za stacionarna stanja. Ova jednadžba uključuje ukupnu energiju E čestice kao parametar. U teoriji diferencijalnih jednadžbi dokazano je da takve jednačine imaju beskonačan broj rješenja, od kojih se nametanjem graničnih uslova biraju rješenja koja imaju fizičko značenje. Za Schrödingerovu jednačinu takvi uvjeti su uvjeti pravilnosti valnih funkcija: valne funkcije moraju biti konačne, jednovrijedne i kontinuirane zajedno sa svojim prvim derivatima. Dakle, samo rješenja koja su izražena regularnim funkcijama od y imaju stvarno fizičko značenje. Ali regularna rješenja se ne odvijaju ni za jednu vrijednost parametra E, već samo za određeni skup njih, što je karakteristično za dati problem. Ove energetske vrijednosti se nazivaju vlastitim vrijednostima. Rješenja koja odgovaraju svojstvenim vrijednostima energije nazivaju se svojstvene funkcije. Svojstvene vrijednosti E mogu formirati ili kontinuirani ili diskretni niz. U prvom slučaju se govori o kontinuiranom, ili kontinuiranom, spektru, u drugom o diskretnom spektru.

U aproksimaciji idealnog gasa, Clausius-Clapeyronova jednačina ima oblik

Maxwellova druga jednadžba je generalizacija...: zakona elektromagnetne indukcije

Gdje je a koeficijent trenja. Ova jednačina se može prepisati kao

Hidrostatika. Osnovna svojstva hidrostatskog pritiska. Osnovna jednadžba hidrostatike.

Diferencijalna jednadžba. Karakteristični polinom.

U razvoju de Broglieove ideje o valnim svojstvima čestica, Schrödinger je 1926. godine dobio jednačinu

104. (20)

gdje je m masa čestice, imaginarna jedinica, U je potencijalna energija čestice, D je Laplaceov operator (vidi (1.10)).

Rješenje Schrödingerove jednadžbe omogućava da se pronađe valna funkcija Y(x, y, z, t) čestice, koja opisuje mikrostanje čestice i njena valna svojstva.

Ako je polje vanjskih sila konstantno u vremenu (tj. stacionarno), tada U ne ovisi eksplicitno od t. U ovom slučaju, rješenje jednačine (20) se dijeli na dva faktora

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z)exp[-i(E/ )t] (21)

U stacionarnom slučaju, Schrödingerova jednačina ima oblik

(22)

gdje je E, U - ukupna i potencijalna energija, m - masa čestice.

Treba napomenuti da je istorijski naziv "valna funkcija" nastao zbog činjenice da se jednadžba (20) ili (22), koja određuje ovu funkciju, odnosi na oblik valnih jednačina.

104. Atom vodonika i "atomi" slični vodoniku (He + , Li 2+ i drugi) kao najjednostavniji kvantnomehanički sistemi: kvantna stanja, radijalne i ugaone komponente talasne funkcije, orbitalna simetrija.

Na osnovu svog istraživanja, Rutherford je 1911. predložio nuklearnu (planetarni) atomski model. Prema ovom modelu, elektroni se kreću po zatvorenim orbitama oko pozitivnog jezgra, formirajući elektronsku ljusku atoma, u području s linearnim dimenzijama reda 10 -10 m. Naboj jezgra je Ze(Z-- serijski broj elementa u sistemu Mendeljejev, e -.elementarnog naboja), veličine 10 -15 - 10 -14 m, mase, skoro jednake masi atoma. Budući da su atomi neutralni, naboj jezgra je jednak ukupnom naboju elektrona, tj. mora se rotirati oko jezgra Z elektrona.

atom vodonika i sistemi nalik vodoniku- to su sistemi koji se sastoje od jezgra sa nabojem Ze i jednog elektrona (na primjer, He +, Li 2+ joni).

Rješenje problema energetskih nivoa elektrona za atom vodonika (kao i sistema sličnih vodiku: helijum ion He + , dvostruko ionizirani litijum Li + +, itd.) svodi se na problem kretanja elektrona u Kulonovo polje jezgra.

Potencijalna energija interakcije elektrona sa jezgrom sa nabojem Ze(za atom vodonika Z=1),

gdje r je udaljenost između elektrona i jezgra. Grafička funkcija U(r) prikazan je podebljanom krivom na Sl. 6, beskonačno opadajući (rastući. po modulu) kada se smanjuje r, tj. kada se elektron približi jezgru.

Stanje elektrona u atomu vodika opisuje se talasnom funkcijom Ψ, koja zadovoljava stacionarnu Schrödingerovu jednačinu, uzimajući u obzir vrijednost (1):"

, (2)

gdje m je masa elektrona, E je ukupna energija elektrona u atomu.

Ovo je takozvana stacionarna Schrödingerova jednadžba za elektron atoma koji je sličan vodoniku u VDPA.

1. Energija. U teoriji diferencijalnih jednadžbi dokazano je da jednadžbe tipa (2) imaju rješenja koja zadovoljavaju zahtjeve jedinstvenosti, konačnosti i kontinuiteta valne funkcije Ψ samo za vlastite vrijednosti energije

(n= 1, 2, 3,…), (3)

tj. za diskretni skup negativnih energetskih vrijednosti.

Dakle, kao iu slučaju "potencijalne bušotine" sa beskonačno visokim "zidovima", rješenje Schrödingerove jednadžbe za atom vodonika dovodi do pojave diskretnih energetskih nivoa. Moguće vrijednosti E 1 , E 2 , E 3, ... prikazani su na sl. 6 kao horizontalne linije. Najniži nivo E 1 odgovara minimalnoj mogućoj energiji, - osnovni, ostalo ( E n >E 1 , n = 2, 3,…) – uzbuđen. At E < 0 движение электрона является povezani nalazi se unutar hiperboličkog "potencijalnog bunara". Iz slike slijedi da kako se glavni kvantni broj povećava P nivoi energije su bliže raspoređeni n=∞ E ∞ = 0. Kada E> 0 kretanje elektrona je besplatno; continuum region E >0(osenčeno na slici 6) odgovara jonizovani atom. Energija jonizacije atoma vodika je

E i = - E 1 = ja 4 / (8h 2 ε 0 2) = 13,55 eV.

2. Kvantni brojevi. U kvantnoj mehanici je dokazano da je Schrödingerova jednadžba (2) zadovoljena vlastitim funkcijama , određuju tri kvantna broja: glavni P, orbitalni l i magnetna m l .

Glavni kvantni broj n, prema (3), određuje nivoe energije elektrona u atomu i može uzeti bilo koje cjelobrojne vrijednosti, počevši od jedan:

Schrödingerova jednačina je dobila ime po austrijskom fizičaru Erwinu Schrödingeru. To je glavni teorijski alat kvantne mehanike. U kvantnoj mehanici, Schrödingerova jednačina igra istu ulogu kao i jednačina kretanja (Njutnov drugi zakon) u klasičnoj mehanici. Schrödingerova jednačina je napisana za tzv y- funkcije (psi - funkcije). U općem slučaju, psi - funkcija je funkcija koordinata i vremena: y = y (x,y,z,t). Ako je mikročestica u stacionarnom stanju, tada psi - funkcija ne ovisi o vremenu: y= y (x,y,z).

U najjednostavnijem slučaju jednodimenzionalnog kretanja mikročestice (na primjer, samo duž ose x ) Schrödingerova jednadžba ima oblik:

gdje y(x)– psi - funkcija ovisno o samo jednoj koordinati x ; m – masa čestica; - Plankova konstanta (= h/2π); E je ukupna energija čestice, U - potencijalna energija. U klasičnoj fizici, količina (EU ) bila bi jednaka kinetičkoj energiji čestice. U kvantnoj mehanici, zbog odnosima neizvesnosti koncept kinetičke energije je besmislen. Imajte na umu da potencijalna energija U je karakteristika spoljašnje polje sile u kojoj se čestica kreće. Ova vrijednost je sasvim određena. To je također funkcija koordinata, u ovom slučaju U = U (x,y,z).

U trodimenzionalnom slučaju, kada y = y (x,y,z) umjesto prvog člana u Schrödingerovoj jednadžbi, treba napisati zbir tri parcijalne derivacije psi-funkcije u odnosu na tri koordinate.

Za šta se koristi Schrödingerova jednačina? Kao što je već napomenuto, ovo je osnovna jednačina kvantne mehanike. Ako to zapišemo i riješimo (što nije nimalo lak zadatak) za određenu mikročesticu, tada ćemo dobiti vrijednost psi-funkcije u bilo kojoj tački prostora u kojem se čestica kreće. Šta to daje? Kvadrat modula psi funkcije karakterizira vjerovatnoća detekcija čestice u određenoj oblasti prostora. Uzmite neku tačku u prostoru sa koordinatama x , y , z (Sl. 6). Kolika je vjerovatnoća pronalaska čestice u ovoj tački? Odgovor: ova vjerovatnoća je nula! (tačka nema dimenzije, čestica jednostavno ne može fizički da udari u tačku). Dakle, pitanje je pogrešno postavljeno. Recimo to drugačije: kolika je vjerovatnoća da se nađe čestica u malom području prostora zapremine dV = dx dy dz centriran u datoj tački? odgovor:

gdje dP je elementarna vjerovatnoća detekcije čestice u elementarnom volumenu dV . Jednadžba (22) vrijedi za realnu psi-funkciju (može biti i kompleksna, u kom slučaju kvadrat modula psi-funkcije treba zamijeniti jednadžbom (22). Ako područje prostora ima konačan volumen V , zatim vjerovatnoća P za detekciju čestice u ovoj zapremini nalazi se integrisanjem izraza (22) preko zapremine V :

Prisjetite se toga probabilistički opis kretanja mikročestica je osnovna ideja kvantne mehanike. Tako je uz pomoć Schrödingerove jednačine riješen glavni problem kvantne mehanike: opis kretanja predmeta koji se proučava, u ovom slučaju kvantno mehaničke čestice.

Uočavamo niz drugih važnih činjenica. Kao što se može vidjeti iz formule (21), Schrödingerova jednačina je diferencijalna jednačina drugog reda. Shodno tome, u procesu njegovog rješavanja pojavit će se dvije proizvoljne konstante. Kako ih pronaći? Da biste to učinili, koristite tzv granični uslovi: iz specifičnog sadržaja fizičkog problema treba znati vrijednost psi-funkcije na granicama područja kretanja mikročestice. Osim toga, tzv stanje normalizacije, koje psi-funkcija mora zadovoljiti:

Značenje ovog uslova je jednostavno: verovatnoća detekcije čestice barem negde u oblasti njenog kretanja je određeni događaj čija je verovatnoća jednaka jedan.

Granični uslovi su ti koji ispunjavaju rješenje Schrödingerove jednadžbe fizičkim značenjem. Bez ovih uslova, rešenje jednačine je čisto matematički problem, lišen fizičkog značenja. U sljedećem dijelu, na konkretnom primjeru, razmatramo primjenu graničnih uvjeta i uvjeta normalizacije u rješavanju Schrödingerove jednadžbe.

psi funkcija

valna funkcija (državna funkcija, psi funkcija, amplituda vjerovatnoće) - funkcija kompleksne vrijednosti koristi se u kvantna mehanika za probabilistički opis države kvantno mehanički sistem. U širem smislu, isto kao vektor stanja.

Povezana je varijanta naziva "amplituda vjerovatnoće". statistička interpretacija valna funkcija: gustoća vjerovatnoće pronalaženja čestice u datoj tački prostora u datom trenutku jednaka je kvadratu apsolutne vrijednosti valne funkcije ovog stanja.

Fizičko značenje kvadrata modula valne funkcije

Talasna funkcija ovisi o koordinatama (ili generaliziranim koordinatama) sistema i općenito o vremenu, a formira se na način da kvadrat ona modul bila je gustina vjerovatnoće(za diskretne spektre - samo vjerovatnoća) da detektuje sistem na poziciji opisanoj koordinatama u trenutku:

Zatim, u datom kvantnom stanju sistema, opisanom talasnom funkcijom, može se izračunati verovatnoća da će čestica biti otkrivena u bilo kojoj oblasti prostora konačnog volumena: .

Skup koordinata koje djeluju kao argumenti funkcije, predstavlja kompletan set fizičkih veličina koji se može meriti u sistemu. U kvantnoj mehanici moguće je izabrati nekoliko kompletnih skupova veličina, tako da se talasna funkcija istog stanja može napisati iz različitih argumenata. Određuje kompletan skup veličina odabranih za snimanje valne funkcije reprezentacija talasne funkcije. Da, moguće koordinata performanse, impulsivno prezentacija, u kvantna teorija polja korišteno druga kvantizacija i popunjavanje broja reprezentacije ili Fock reprezentacija i sl.

Ako je valna funkcija, na primjer, elektrona u atomu, data u koordinatnom prikazu, tada je kvadrat modula valne funkcije gustoća vjerovatnoće pronalaženja elektrona u određenoj tački u prostoru. Ako je ista valna funkcija data u prikazu momenta, tada je kvadrat njenog modula gustoća vjerovatnoće pronalaženja jednog ili drugog zamahWith.

Uvod

Poznato je da je kurs kvantne mehanike jedan od najtežih za razumevanje. To je povezano ne toliko s novim i "neobičnim" matematičkim aparatom, koliko prvenstveno s teškoćom razumijevanja revolucionarnih, sa stanovišta klasične fizike, ideja koje su u osnovi kvantne mehanike i složenosti interpretacije rezultata.

U većini udžbenika kvantne mehanike prezentacija gradiva se po pravilu zasniva na analizi rješenja stacionarne Schrödingerove jednačine. Međutim, stacionarni pristup ne dozvoljava direktno poređenje rezultata rješavanja kvantnomehaničkog problema sa analognim klasičnim rezultatima. Osim toga, mnogi procesi koji se proučavaju u toku kvantne mehanike (kao što je prolazak čestice kroz potencijalnu barijeru, raspad kvazistacionarnog stanja, itd.) su u principu nestacionarni po prirodi i stoga mogu shvatiti u potpunosti samo na osnovu rješenja nestacionarne Schrödingerove jednačine. Budući da je broj analitički rješivih problema mali, posebno je relevantna upotreba kompjutera u procesu proučavanja kvantne mehanike.

Schrödingerova jednadžba i fizičko značenje njenih rješenja

Schrödingerova valna jednačina

Jedna od osnovnih jednačina kvantne mehanike je Schrödingerova jednačina, koja određuje promjenu stanja kvantnih sistema tokom vremena. Napisano je u formi

gdje je H Hamiltonijan sistema, koji se poklapa sa operatorom energije ako ne zavisi od vremena. Tip operatora je određen svojstvima sistema. Za nerelativističko kretanje čestice mase u potencijalnom polju U(r), operator je realan i predstavljen je zbirom operatora kinetičke i potencijalne energije čestice

Ako se čestica kreće u elektromagnetnom polju, tada će Hamiltonov operator biti složen.

Iako je jednadžba (1.1) jednačina prvog reda po vremenu, zbog imaginarnog jedinstva ima i periodična rješenja. Stoga se Schrödingerova jednačina (1.1) često naziva Schrödingerova valna jednačina, a njeno rješenje se naziva vremenski zavisna valna funkcija. Jednačina (1.1) sa poznatim oblikom operatora H omogućava vam da odredite vrijednost valne funkcije u bilo kojem sljedećem trenutku vremena, ako je ta vrijednost poznata u početnom trenutku vremena. Dakle, Schrödingerova valna jednačina izražava princip kauzalnosti u kvantnoj mehanici.

Schrödingerova talasna jednačina može se dobiti na osnovu sljedećih formalnih razmatranja. U klasičnoj mehanici je poznato da ako je energija data kao funkcija koordinata i impulsa

zatim prijelaz na klasičnu Hamilton--Jacobijevu jednadžbu za akcijsku funkciju S

može se dobiti iz (1.3) formalnom transformacijom

Na isti način, jednadžba (1.1) se dobija iz (1.3) prelaskom sa (1.3) na jednačinu operatora formalnom transformacijom

ako (1.3) ne sadrži produkte koordinata i impulsa, ili sadrži takve njihove proizvode koji, nakon prelaska na operatore (1.4), komutiraju jedan s drugim. Izjednačavajući nakon ove transformacije rezultate djelovanja na funkciju operatora desnog i lijevog dijela rezultirajuće operatorske jednakosti, dolazimo do valne jednačine (1.1). Međutim, ne treba uzimati ove formalne transformacije kao izvod Schrödingerove jednačine. Schrödingerova jednačina je generalizacija eksperimentalnih podataka. Ne izvodi se u kvantnoj mehanici, kao što se Maxwellove jednačine ne izvode u elektrodinamici, principu najmanjeg djelovanja (ili Newtonovim jednačinama) u klasičnoj mehanici.

Lako je provjeriti da je jednačina (1.1) zadovoljena za valnu funkciju

opisivanje slobodnog kretanja čestice sa određenom vrijednošću impulsa. U opštem slučaju, valjanost jednačine (1.1) dokazuje se slaganjem sa iskustvom svih zaključaka dobijenih uz pomoć ove jednačine.

Pokažimo da jednačina (1.1) implicira bitnu jednakost

što ukazuje na očuvanje normalizacije valne funkcije tokom vremena. Pomnožimo (1.1) na lijevoj strani sa funkcijom *, i pomnožimo kompleks jednačina konjugiran sa (1.1) sa funkcijom i oduzmimo drugu jednačinu od prve dobivene jednačine; onda nalazimo

Integrirajući ovu relaciju preko svih vrijednosti varijabli i uzimajući u obzir samo-adjuktaciju operatora, dobijamo (1.5).

Ako u odnosu (1.6) zamenimo eksplicitni izraz Hamiltonovog operatora (1.2) za kretanje čestice u potencijalnom polju, onda dolazimo do diferencijalne jednačine (jednačine kontinuiteta)

gdje je gustina vjerovatnoće i vektor

može se nazvati vektorom gustine struje vjerovatnoće.

Kompleksna valna funkcija se uvijek može predstaviti kao

gdje su i realne funkcije vremena i koordinata. Dakle, gustina vjerovatnoće

i gustina struje vjerovatnoće

Iz (1.9) slijedi da je j = 0 za sve funkcije čija funkcija Φ ne ovisi o koordinatama. Konkretno, j= 0 za sve realne funkcije.

Rješenja Schrödingerove jednadžbe (1.1) općenito su predstavljena složenim funkcijama. Korištenje složenih funkcija je vrlo zgodno, iako nije neophodno. Umjesto jedne složene funkcije, stanje sistema se može opisati sa dvije realne funkcije i zadovoljavanjem dvije spregnute jednačine. Na primjer, ako je operator H realan, onda, zamjenom funkcije u (1.1) i odvajanjem realnog i imaginarnog dijela, dobijamo sistem od dvije jednadžbe

u ovom slučaju, gustina verovatnoće i gustina struje verovatnoće imaju oblik

Valne funkcije u prikazu momenta.

Fourierova transformacija valne funkcije karakterizira distribuciju impulsa u kvantnom stanju. Potrebno je izvesti integralnu jednačinu za sa Fourierovom transformacijom potencijala kao jezgrom.

Rješenje. Postoje dvije međusobno inverzne relacije između funkcija i.

Ako se relacija (2.1) koristi kao definicija i na nju se primjenjuje operacija, tada, uzimajući u obzir definiciju 3-dimenzionalne funkcije,

kao rezultat, kao što je lako vidjeti, dobijamo inverznu relaciju (2.2). Slična razmatranja se koriste u nastavku za izvođenje relacije (2.8).

zatim za Fourierovu sliku potencijala koji imamo

Uz pretpostavku da valna funkcija zadovoljava Schrödingerovu jednačinu

Zamenivši ovde umesto i, respektivno, izraze (2.1) i (2.3), dobijamo

U dvostrukom integralu prelazimo sa integracije preko varijable na integraciju preko varijable, a zatim ponovo označavamo ovu novu varijablu sa. Integral preko nestaje pri bilo kojoj vrijednosti samo ako je sam integrand jednak nuli, ali tada

Ovo je željena integralna jednadžba sa Fourierovom transformacijom potencijala kao jezgra. Naravno, integralna jednačina (2.6) može se dobiti samo pod uslovom da postoji Fourierova transformacija potencijala (2.4); za ovo, na primjer, potencijal se mora smanjiti na velikim udaljenostima, barem koliko, gdje.

Treba napomenuti da iz uslova normalizacije

slijedi jednakost

Ovo se može pokazati zamjenom izraza (2.1) za funkciju u (2.7):

Ako ovdje prvo izvršimo integraciju preko, onda ćemo lako dobiti relaciju (2.8).