Dom
Prečišćavanje i filtracija vode
Laboratorija za svemirska istraživanja. Šta su fraktali

Laboratorija za svemirska istraživanja. Šta su fraktali

Otkrio sam ovaj fraktal kada sam gledao interferenciju talasa na površini rijeke. Talas se kreće prema obali, reflektuje se i nanosi na sebe. Ima li reda u obrascima koje stvaraju valovi? Pokušajmo ga pronaći. Ne razmatrajte cijeli val, već samo vektor njegovog kretanja. “Obale” ćemo učiniti glatkim, radi jednostavnosti eksperimenta.

Eksperiment se može izvesti na običnom komadu papira u kutiji iz školske bilježnice.

Ili korištenjem JavaScript implementacije algoritma.

Uzmite pravougaonik sa stranicama q i p. Pošaljimo zrak (vektor) od ugla do ugla. Snop se pomiče na jednu od strana pravougaonika, reflektuje se i nastavlja da se kreće na sledeću stranu. Ovo se nastavlja sve dok snop ne udari u jedan od preostalih uglova. Ako su veličina stranice q i p međusobno prosti brojevi, onda se dobija uzorak (kao što ćemo kasnije vidjeti - fraktal).

Na slici jasno vidimo kako ovaj algoritam radi.

Gif animacija:

Najnevjerovatnije je da s različitim stranama pravokutnika - dobijamo različite uzorke.




Zašto ove obrasce nazivam fraktalima? Kao što znate, "fraktal" je geometrijska figura koja ima svojstva samosličnosti. Dio slike ponavlja cijelu sliku u cjelini. Ako značajno povećamo dimenzije stranica Q i P, jasno je da ovi obrasci imaju svojstva samosličnosti.

Pokušajmo povećati. Povećat ćemo se na lukav način. Uzmite, na primjer, uzorak 17x29. Sljedeći uzorci će biti: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Jedna strana: F(n);
Druga strana: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Kao i Fibonačijevi brojevi, samo sa različitim prvim i drugim članovima niza: F(0)=17, F(1)=29.

Ako je veća strana ravna, uzorak izgleda ovako:

Ako je manja strana parna:

Ako su obje strane neparne, dobijamo simetričan uzorak:

U zavisnosti od toga kako greda počinje:

ili

Pokušaću da objasnim šta se dešava u ovim pravougaonicima.

Odvojimo kvadrat od pravougaonika i vidimo šta se dešava na granici.

Zraka izlazi na istoj tački odakle je ušla.

U ovom slučaju, broj kvadrata kroz koje snop prolazi uvijek je paran broj.

Stoga, ako se kvadrat odsječe od pravokutnika, nemodificirani dio fraktala će ostati.

Ako odvojite kvadrate od fraktala što je više moguće, možete doći do "početka" fraktala.

Da li izgleda kao Fibonačijeva spirala?

Fraktali se takođe mogu dobiti iz Fibonačijevih brojeva.

U matematici se Fibonačijevi brojevi (Fibonačijev niz, Fibonačijev niz) nazivaju brojevima:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Po definiciji, prve dvije cifre u Fibonačijevom nizu su 0 i 1, a svaki sljedeći broj jednak je zbiru prethodna dva.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

idi:

Kao što vidimo, što se omjer širina i širina približava zlatnom omjeru, to je fraktal detaljniji.

U ovom slučaju, fraktal ponavlja dio fraktala, uvećan za .

Umjesto Fibonačijevih brojeva, možete koristiti iracionalne veličine stranica:

Dobijamo isti fraktal.

Isti fraktali se također mogu dobiti u kvadratu ako se snop ispali pod drugim kutom:

Šta se može reći u zaključku?
Haos je takođe red. Sa njihovim pravilima. Ovaj red se ne proučava, ali je prilično podložan proučavanju. A cijela težnja nauke je da otkrije ove pravilnosti. I na kraju spojite dijelove slagalice da vidite širu sliku.
Pogledajmo površinu rijeke. Ako bacite kamen na njega, talasi će otići. Krugovi prilično podložni proučavanju. Brzina, period, talasna dužina - sve se to može izračunati. Ali dok val ne stigne do obale, neće se reflektirati i neće se početi preklapati sam sa sobom. Dobijamo haos (smetnje), koji je već teško proučavati.
Šta ako se pomerimo unazad? Pojednostavite ponašanje talasa što je više moguće. Pojednostavite, pronađite obrazac, a zatim pokušajte da opišete punu sliku onoga što se dešava.
Šta se može pojednostaviti? Očigledno, da bi reflektirajuća površina bila ravna, bez savijanja. Nadalje, umjesto samog vala, koristite samo vektor kretanja vala. U principu, ovo je dovoljno za izgradnju jednostavnog algoritma i simulaciju procesa na računaru. Pa čak i sasvim dovoljno da se napravi "model" ponašanja talasa na običnom komadu papira u kutiji.
Šta dobijamo kao rezultat? Kao rezultat, vidimo da u talasnim procesima (isto talasanje na površini rijeke) nemamo haos, već nametanje fraktala (samosličnih struktura) jedan na drugi.

Hajde da razmotrimo drugu vrstu talasa. Kao što znate, elektromagnetski val se sastoji od tri vektora - valnog vektora i vektora električnih i magnetskih polja. Kao što vidite, ako "uhvatimo" takav val u zatvorenom području - gdje se ti vektori ukrštaju, dobijamo sasvim jasne zatvorene strukture. Možda su elementarne čestice isti fraktali?

Svi fraktali u pravokutnicima od 1 do 80 (6723x6723 px):

Zatvorene oblasti u fraktalima (6723x6723 px):

Samo prekrasan fraktal (4078x2518 px):

fraktal

Fraktal (lat. fractus- zdrobljena, slomljena, slomljena) - geometrijska figura koja ima svojstvo samosličnosti, odnosno sastavljena od više dijelova od kojih je svaki sličan cijeloj figuri u cjelini. U matematici se fraktali podrazumijevaju kao skupovi tačke u euklidskom prostoru koje imaju frakcionu metričku dimenziju (u smislu Minkowskog ili Hausdorffa), ili metričku dimenziju koja nije topološka. Fraktazam je nezavisna egzaktna nauka o proučavanju i sastavljanju fraktala.

Drugim riječima, fraktali su geometrijski objekti s frakcijskom dimenzijom. Na primjer, dimenzija linije je 1, površina je 2, a volumen je 3. Za fraktal, vrijednost dimenzije može biti između 1 i 2 ili između 2 i 3. Na primjer, fraktalna dimenzija zgužvanog papirna kuglica je otprilike 2,5. U matematici postoji posebna složena formula za izračunavanje dimenzije fraktala. Grananja trahealnih cijevi, lišće na drveću, vene u ruci, rijeka su fraktali. Jednostavno rečeno, fraktal je geometrijska figura, čiji se određeni dio ponavlja iznova i iznova, mijenjajući veličinu - to je princip samosličnosti. Fraktali su slični sebi, slični su sebi na svim nivoima (tj. na bilo kojoj skali). Postoji mnogo različitih vrsta fraktala. U principu, može se tvrditi da je sve što postoji u stvarnom svijetu fraktal, bilo da je u pitanju oblak ili molekul kisika.

Riječ "haos" sugerira nešto nepredvidivo, ali u stvari, haos je prilično uređen i pokorava se određenim zakonima. Svrha proučavanja haosa i fraktala je predviđanje obrazaca koji na prvi pogled mogu izgledati nepredvidljivi i potpuno haotični.

Pionir u ovoj oblasti znanja bio je francusko-američki matematičar, profesor Benoit B. Mandelbrot. Sredinom 1960-ih razvio je fraktalnu geometriju, čija je svrha bila da analizira izlomljene, naborane i nejasne oblike. Mandelbrotov skup (prikazan na slici) je prva asocijacija koju osoba ima kada čuje riječ "fraktal". Inače, Mandelbrot je utvrdio da je fraktalna dimenzija obale Engleske 1,25.

Fraktali se sve više koriste u nauci. Oni opisuju stvarni svijet čak i bolje od tradicionalne fizike ili matematike. Brownovo kretanje je, na primjer, nasumično i haotično kretanje čestica prašine suspendiranih u vodi. Ova vrsta kretanja je možda najpraktičniji aspekt fraktalne geometrije. Nasumično Brownovo kretanje ima frekvencijski odziv koji se može koristiti za predviđanje pojava koje uključuju velike količine podataka i statistike. Na primjer, Mandelbrot je predvidio promjene u cijeni vune koristeći Brownovo kretanje.

Riječ "fraktal" može se koristiti ne samo kao matematički termin. Fraktalom u štampi i popularnoj naučnoj literaturi mogu se nazvati figure koje imaju bilo koje od sljedećih svojstava:

    Ima netrivijalnu strukturu na svim skalama. Ovo je razlika od regularnih figura (kao što su krug, elipsa, graf glatke funkcije): ako uzmemo u obzir mali fragment pravilne figure u vrlo velikoj mjeri, izgledat će kao fragment prave linije . Za fraktal, zumiranje ne dovodi do pojednostavljenja strukture, na svim skalama ćemo vidjeti jednako složenu sliku.

    On je sam sebi sličan ili približno sebi sličan.

    Ima frakcijsku metričku dimenziju ili metričku dimenziju koja je superiornija od topološke.

Najkorisnija upotreba fraktala u računarstvu je fraktalna kompresija podataka. Istovremeno, slike se kompresuju mnogo bolje nego što se to radi konvencionalnim metodama - do 600:1. Još jedna prednost fraktalne kompresije je da kada zumirate, nema efekta pikselizacije koji drastično pogoršava sliku. Štaviše, fraktalno komprimirana slika nakon povećanja često izgleda čak i bolje nego prije. Kompjuterski naučnici takođe znaju da se fraktali beskonačne složenosti i lepote mogu generisati jednostavnim formulama. Filmska industrija uveliko koristi tehnologiju fraktalne grafike kako bi stvorila realistične elemente pejzaža (oblake, stijene i sjene).

Proučavanje turbulencije u tokovima se vrlo dobro prilagođava fraktalima. Ovo omogućava bolje razumijevanje dinamike složenih tokova. Plamen se također može modelirati korištenjem fraktala. Porozni materijali su dobro zastupljeni u fraktalnom obliku zbog činjenice da imaju vrlo složenu geometriju. Za prijenos podataka na udaljenosti koriste se antene fraktalnog oblika, što uvelike smanjuje njihovu veličinu i težinu. Fraktali se koriste za opisivanje zakrivljenosti površina. Neravnu površinu karakterizira kombinacija dva različita fraktala.

Mnogi objekti u prirodi imaju fraktalna svojstva, kao što su obale, oblaci, krošnje drveća, snježne pahulje, cirkulatorni sistem i alveolarni sistem ljudi ili životinja.

Fraktali, posebno u avionu, popularni su zbog kombinacije ljepote i lakoće konstrukcije s kompjuterom.

Prvi primjeri samosličnih skupova sa neobičnim svojstvima pojavili su se u 19. stoljeću (na primjer, Bolzano funkcija, Weierstrassova funkcija, Cantorov skup). Termin "fraktal" uveo je Benoit Mandelbrot 1975. godine i stekao je široku popularnost objavljivanjem njegove knjige "Fraktalna geometrija prirode" 1977. godine.

Slika na lijevoj strani prikazuje fraktal Darer Pentagona kao jednostavan primjer, koji izgleda kao gomila pentagona stisnutih zajedno. Zapravo, formira se korištenjem petougla kao pokretača i jednakokračnih trokuta, omjer najveće i najmanje strane u kojem je tačno jednak takozvanom zlatnom rezu (1,618033989 ili 1/(2cos72°)) kao generator. Ovi trokuti su izrezani od sredine svakog petougla, što rezultira oblikom koji izgleda kao 5 malih peterokuta zalijepljenih na jedan veliki.

Teorija haosa kaže da su složeni nelinearni sistemi nasledno nepredvidivi, ali istovremeno tvrdi da se način izražavanja takvih nepredvidivih sistema ispostavlja tačnim ne u tačnim jednakostima, već u prikazima ponašanja sistema - u grafovima čudnih atraktora koji izgledaju kao fraktali. Tako se teorija haosa, koju mnogi smatraju nepredvidljivošću, pokazuje kao nauka o predvidljivosti čak iu najnestabilnijim sistemima. Doktrina dinamičkih sistema pokazuje da jednostavne jednadžbe mogu generirati takvo haotično ponašanje u kojem se sistem nikada ne vraća u stabilno stanje i da se u isto vrijeme ne pojavljuje pravilnost. Često se takvi sistemi ponašaju sasvim normalno do određene vrijednosti ključnog parametra, zatim doživljavaju tranziciju u kojoj postoje dvije mogućnosti daljeg razvoja, zatim četiri i na kraju haotičan skup mogućnosti.

Šeme procesa koji se odvijaju u tehničkim objektima imaju jasno definisanu fraktalnu strukturu. Struktura minimalnog tehničkog sistema (TS) podrazumeva tok unutar TS dve vrste procesa – glavnog i pratećeg, a ova podela je uslovna i relativna. Svaki proces može biti glavni u odnosu na prateće, a bilo koji od pratećih procesa može se smatrati glavnim u odnosu na „njihove“ prateće procese. Krugovi na dijagramu označavaju fizičke efekte koji osiguravaju tok tih procesa, za koje nije potrebno posebno kreirati „vlastiti“ TS. Ovi procesi su rezultat interakcije između supstanci, polja, supstanci i polja. Da budemo precizniji, fizički efekat je sredstvo na čiji princip ne možemo uticati i ne želimo ili nemamo priliku da se mešamo u njegovu strukturu.

Tok glavnog procesa prikazanog na dijagramu je osiguran postojanjem tri prateća procesa koji su glavni za TS koji ih generiše. Iskrenosti radi, napominjemo da za funkcioniranje čak i minimalnog TS-a tri procesa očito nisu dovoljna, tj. shema je vrlo, vrlo pretjerana.

Nije sve tako jednostavno kao što je prikazano na dijagramu. Koristan (potreban osobi) proces ne može se izvesti sa 100% efikasnošću. Rasipana energija se troši na stvaranje štetnih procesa - zagrijavanje, vibracije itd. Kao rezultat toga, paralelno s korisnim procesom, nastaju i štetni. Nije uvijek moguće zamijeniti „loš“ proces „dobrim“, pa se moraju organizirati novi procesi kako bi se nadoknadile posljedice koje su štetne po sistem. Tipičan primjer je potreba za borbom protiv trenja, koja prisiljava da organiziramo genijalne sheme podmazivanja, koristimo skupe antifrikcione materijale ili trošimo vrijeme na podmazivanje komponenti i dijelova ili njihovu povremenu zamjenu.

U vezi sa postojanjem neizbežnog uticaja promenljivog okruženja, možda će biti potrebno kontrolisati koristan proces. Upravljanje se može vršiti kako uz pomoć automatskih uređaja, tako i direktno od strane osobe. Procesni dijagram je zapravo skup posebnih naredbi, tj. algoritam. Suština (opis) svake naredbe je kombinacija jednog korisnog procesa, koji prati štetne procese i skupa neophodnih kontrolnih procesa. U takvom algoritmu, skup pratećih procesa je običan potprogram - a ovdje nalazimo i fraktal. Metoda R. Kolera, stvorena pre četvrt veka, omogućava kreiranje sistema sa prilično ograničenim skupom od samo 12 parova funkcija (procesa).

Samoslični skupovi sa neobičnim svojstvima u matematici

Počevši od kraja 19. stoljeća u matematici se pojavljuju primjeri sebi sličnih objekata sa patološkim svojstvima sa stanovišta klasične analize. To uključuje sljedeće:

    Cantorov skup je nigdje gust nebrojiv savršen skup. Modifikacijom procedure, takođe se može dobiti nigde gust skup pozitivne dužine.

    trougao Sierpinskog („stolnjak“) i tepih Sierpinskog analogi su Cantoru postavljenom na ravni.

    Mengerov sunđer - analog Cantorovog skupa u trodimenzionalnom prostoru;

    primjeri Weierstrassa i van der Waerdena nigdje diferencibilne kontinuirane funkcije.

    Kochova kriva - neprekidna kriva beskonačne dužine koja se ne siječe i nema tangentu ni u jednoj tački;

    Peano kriva je neprekidna kriva koja prolazi kroz sve tačke kvadrata.

    putanja Braunove čestice se takođe nigde ne može razlikovati sa verovatnoćom 1. Njegova Hausdorfova dimenzija je dva

Rekurzivni postupak za dobijanje fraktalnih krivulja

Konstrukcija Kochove krive

Postoji jednostavan rekurzivni postupak za dobijanje fraktalnih krivulja u ravni. Definiramo proizvoljnu izlomljenu liniju sa konačnim brojem veza, koja se naziva generator. Zatim svaki segment u njemu zamjenjujemo generatorom (tačnije, isprekidanom linijom sličnom generatoru). U rezultirajućoj isprekidanoj liniji svaki segment ponovo zamjenjujemo generatorom. Nastavljajući u beskonačnost, u granici dobijamo fraktalnu krivu. Slika desno prikazuje prva četiri koraka ove procedure za Kochovu krivu.

Primjeri takvih krivulja su:

    zmajeva kriva,

    Kochova kriva (Koch pahulja),

    Levy Curve,

    Minkowski kriva,

    Hilbertova kriva,

    Slomljeni (krivi) zmaj (Fractal Harter-Hateway),

    Peano kriva.

Sličnim postupkom dobija se pitagorino stablo.

Fraktali kao fiksne tačke kontrakcijskih preslikavanja

Svojstvo samosličnosti može se matematički rigorozno izraziti na sljedeći način. Neka biti karte kontrakcije ravnine. Razmotrimo sljedeće preslikavanje na skup svih kompaktnih (zatvorenih i ograničenih) podskupova ravnine:

Može se pokazati da je preslikavanje kontrakciono preslikavanje na skup kompaktnih skupova s ​​Hausdorffovom metrikom. Prema tome, prema Banachovoj teoremi, ovo preslikavanje ima jedinstvenu fiksnu tačku. Ova fiksna tačka će biti naš fraktal.

Gore opisani rekurzivni postupak za dobijanje fraktalnih krivulja poseban je slučaj ove konstrukcije. U njemu, sva preslikavanja su mapiranja sličnosti, a predstavlja broj generatorskih veza.

Za trokut Sierpinskog i preslikavanje , , su homotetije sa centrima na vrhovima pravilnog trokuta i koeficijentom 1/2. Lako je vidjeti da se trokut Sierpinskog transformira u sebe pod preslikavanjem .

U slučaju kada su preslikavanja transformacije sličnosti sa koeficijentima, dimenzija fraktala (pod nekim dodatnim tehničkim uslovima) može se izračunati kao rješenje jednačine. Dakle, za trougao Sierpinskog dobijamo .

Prema istoj Banahovoj teoremi, počevši od bilo kojeg kompaktnog skupa i primjenom na njega iteracija preslikavanja, dobivamo niz kompaktnih skupova koji konvergiraju (u smislu Hausdorffove metrike) našem fraktalu.

Fraktali u kompleksnoj dinamici

Julia set

Još jedan set Julije

Fraktali prirodno nastaju u proučavanju nelinearnih dinamičkih sistema. Najviše proučavan slučaj je kada je dinamički sistem definisan iteracijama polinoma ili holomorfne funkcije kompleksne varijable na ravni. Prve studije u ovoj oblasti datiraju s početka 20. stoljeća i povezuju se s imenima Fatou i Julia.

Neka bude F(z) - polinom, z 0 je kompleksan broj. Razmotrite sljedeći niz: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Zanima nas ponašanje ove sekvence kao što smo skloni n do beskonačnosti. Ova sekvenca može:

    težiti beskonačnosti

    težiti krajnjem

    pokazuju ciklično ponašanje u granicama, na primjer: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

    da se ponašaju haotično, odnosno da ne demonstriraju nijednu od tri pomenuta tipa ponašanja.

Skupovi vrijednosti z 0 , za koji sekvenca pokazuje jedan specifičan tip ponašanja, kao i skupovi tačaka bifurkacije između različitih tipova, često imaju fraktalna svojstva.

Dakle, Julia skup je skup tačaka bifurkacije za polinom F(z)=z 2 +c(ili druge slične funkcije), odnosno te vrijednosti z 0 , za koji je ponašanje niza ( z n) može se dramatično promijeniti sa proizvoljno malim promjenama z 0 .

Druga opcija za dobijanje fraktalnih skupova je uvođenje parametra u polinom F(z) i uzimajući u obzir skup onih vrijednosti parametara za koje je sekvenca ( z n) pokazuje određeno ponašanje za fiksni z 0 . Dakle, Mandelbrotov skup je skup svih za koje ( z n) za F(z)=z 2 +c i z 0 ne ide u beskonačnost.

Još jedan dobro poznati primjer ove vrste su Newtonovi bazeni.

Popularno je kreirati prelepe grafičke slike zasnovane na složenoj dinamici bojenjem ravnih tačaka u zavisnosti od ponašanja odgovarajućih dinamičkih sistema. Na primjer, da biste dopunili Mandelbrotov set, možete obojiti točke ovisno o brzini težnje ( z n) do beskonačnosti (definirano, recimo, kao najmanji broj n, gdje | z n| prelazi fiksnu veliku vrijednost A.

Biomorfi su fraktali izgrađeni na bazi složene dinamike i nalik živim organizmima.

Stohastički fraktali

Slučajni fraktal zasnovan na skupu Julia

Prirodni objekti često imaju fraktalni oblik. Za njihovo modeliranje mogu se koristiti stohastički (slučajni) fraktali. Primjeri stohastičkih fraktala:

    putanja Brownovog kretanja na ravni i u prostoru;

    granica putanje Brownovog kretanja na ravni. Lawler, Schramm i Werner su 2001. dokazali Mandelbrotovu pretpostavku da je njegova dimenzija 4/3.

    Schramm-Löwnerove evolucije su konformno invarijantne fraktalne krive koje nastaju u kritičnim dvodimenzionalnim modelima statističke mehanike, na primjer, u Izingovom modelu i perkolaciji.

    razne vrste randomiziranih fraktala, odnosno fraktala dobivenih rekurzivnom procedurom, u kojoj se u svakom koraku uvodi slučajni parametar. Plazma je primjer upotrebe takvog fraktala u kompjuterskoj grafici.

U prirodi

Pogled sprijeda na traheju i bronhije

    bronhijalno drvo

    mreža krvnih sudova

Aplikacija

Prirodne nauke

U fizici, fraktali se prirodno javljaju prilikom modeliranja nelinearnih procesa, kao što su turbulentni tok fluida, složeni procesi difuzije-adsorpcije, plamen, oblaci, itd. Fraktali se koriste prilikom modeliranja poroznih materijala, na primjer, u petrohemiji. U biologiji se koriste za modeliranje populacija i za opisivanje sistema unutrašnjih organa (sistem krvnih sudova).

Radiotehnika

fraktalne antene

Korištenje fraktalne geometrije u dizajnu antenskih uređaja prvi je primijenio američki inženjer Nathan Cohen, koji je tada živio u centru Bostona, gdje je bilo zabranjeno postavljanje vanjskih antena na zgrade. Nathan je iz aluminijske folije izrezao figuru u obliku Kochove krivulje i zalijepio je na list papira, a zatim je pričvrstio na prijemnik. Cohen je osnovao vlastitu kompaniju i pokrenuo njihovu serijsku proizvodnju.

Informatika

Kompresija slike

Glavni članak: Algoritam fraktalne kompresije

fraktalno drvo

Postoje algoritmi kompresije slike koji koriste fraktale. Oni su zasnovani na ideji da umjesto same slike možete pohraniti mapu kontrakcije za koju je ova slika (ili neka bliska) fiksna tačka. Korištena je jedna od varijanti ovog algoritma [ izvor neodređen 895 dana] od strane Microsofta prilikom objavljivanja svoje enciklopedije, ali ovi algoritmi nisu bili široko korišteni.

Kompjuterska grafika

Još jedno fraktalno drvo

Fraktali se široko koriste u kompjuterskoj grafici za pravljenje slika prirodnih objekata kao što su drveće, grmlje, planinski pejzaži, morske površine i tako dalje. Postoji mnogo programa koji se koriste za generisanje fraktalnih slika, pogledajte Fraktalni generator (program).

decentralizovane mreže

Netsukukuov sistem dodjeljivanja IP adresa koristi princip fraktalne kompresije informacija za kompaktno pohranjivanje informacija o mrežnim čvorovima. Svaki čvor na Netsukuku mreži pohranjuje samo 4 KB informacija o statusu susjednih čvorova, dok se svaki novi čvor povezuje na opću mrežu bez potrebe za centralnom regulacijom distribucije IP adresa, što je, na primjer, tipično za Internet. Dakle, princip fraktalne kompresije informacija garantuje potpuno decentralizovan, a samim tim i najstabilniji rad cele mreže.

Opštinska budžetska obrazovna ustanova

"Siverskaya srednja škola br. 3"

Istraživanja

matematike.

Uradio posao

Učenik 8. razreda

Emelin Pavel

supervizor

nastavnik matematike

Tupitsyna Natalya Alekseevna

str Siversky

godina 2014

Matematika je sva prožeta lepotom i harmonijom,

Samo treba da vidite ovu lepotu.

B. Mandelbrot

Uvod

Poglavlje 1. Istorija nastanka fraktala _______ 5-6 str.

Poglavlje 2. Klasifikacija fraktala.____________________6-10str.

geometrijski fraktali

Algebarski fraktali

Stohastički fraktali

Poglavlje 3. "Fraktalna geometrija prirode" ______ 11-13 str.

Poglavlje 4. Primjena fraktala _______________13-15str.

Poglavlje 5 Praktični rad __________________ 16-24 str.

Zaključak________________________________25.str

Spisak literature i Internet izvora _______ 26 str.

Uvod

matematika,

ako dobro pogledaš,

ne odražava samo istinu,

ali i neuporedivu lepotu.

Bertrand Russell


Riječ "fraktal" je nešto o čemu mnogi ljudi pričaju ovih dana, od naučnika do srednjoškolaca. Pojavljuje se na naslovnicama mnogih udžbenika matematike, naučnih časopisa i kutija sa kompjuterskim softverom. Slike fraktala u boji danas se mogu naći svuda: od razglednica, majica do slika na desktopu personalnog računara. Dakle, koji su to obojeni oblici koje vidimo okolo?

Matematika je najstarija nauka. Većini ljudi se činilo da je geometrija u prirodi ograničena na tako jednostavne oblike kao što su linija, krug, poligon, sfera i tako dalje. Kako se pokazalo, mnogi prirodni sistemi su toliko složeni da korištenje samo poznatih objekata obične geometrije za njihovo modeliranje izgleda beznadežno. Kako, na primjer, izgraditi model planinskog lanca ili krošnje drveća u smislu geometrije? Kako opisati raznolikost biološke raznolikosti koju opažamo u svijetu biljaka i životinja? Kako zamisliti svu složenost krvožilnog sistema, koji se sastoji od mnogih kapilara i sudova koji isporučuje krv u svaku ćeliju ljudskog tijela? Zamislite strukturu pluća i bubrega, nalik drveću sa granatom krošnjom?

Fraktali su pogodno sredstvo za istraživanje postavljenih pitanja. Često nas ono što vidimo u prirodi zaintrigira beskonačnim ponavljanjem istog obrasca, uvećanog ili smanjenog za nekoliko puta. Na primjer, drvo ima grane. Ove grane imaju manje grane i tako dalje. Teoretski, element "vilice" se ponavlja beskonačno mnogo puta, postajući sve manji i manji. Ista stvar se može vidjeti kada se pogleda fotografija planinskog terena. Pokušajte malo zumirati planinski lanac --- ponovo ćete vidjeti planine. Tako se manifestuje svojstvo samosličnosti karakteristično za fraktale.

Proučavanje fraktala otvara divne mogućnosti, kako u proučavanju beskonačnog broja primjena, tako i na polju matematike. Upotreba fraktala je veoma široka! Uostalom, ovi objekti su toliko lijepi da ih koriste dizajneri, umjetnici, uz pomoć njih se u grafiku crtaju mnogi elementi drveća, oblaka, planina itd. Ali fraktali se čak koriste i kao antene u mnogim mobilnim telefonima.

Za mnoge haologe (naučnike koji proučavaju fraktale i haos) ovo nije samo novo polje znanja koje kombinuje matematiku, teorijsku fiziku, umjetnost i kompjutersku tehnologiju – ovo je revolucija. Ovo je otkriće nove vrste geometrije, geometrije koja opisuje svijet oko nas i koja se može vidjeti ne samo u udžbenicima, već iu prirodi i svuda u bezgraničnom svemiru..

U svom radu odlučila sam i da „dodirnem“ svet lepote i opredelila sam se za sebe…

Cilj: stvaranje objekata koji su vrlo slični prirodi.

Metode istraživanja Ključne riječi: komparativna analiza, sinteza, modeliranje.

Zadaci:

    upoznavanje sa pojmom, istorijom nastanka i istraživanja B. Mandelbrota,

G. Koch, V. Sierpinsky i drugi;

    poznavanje različitih tipova fraktalnih skupova;

    proučavanje naučnopopularne literature o ovom pitanju, upoznavanje sa

naučne hipoteze;

    pronalaženje potvrde teorije fraktalnosti okolnog svijeta;

    proučavanje upotrebe fraktala u drugim naukama i praksi;

    provođenje eksperimenta za stvaranje vlastitih fraktalnih slika.

Osnovno pitanje posla:

Pokazati da matematika nije suhoparan predmet bez duše, da može izraziti duhovni svijet čovjeka pojedinačno i društva u cjelini.

Predmet studija: Fraktalna geometrija.

Predmet proučavanja: fraktali u matematici i stvarnom svijetu.

Hipoteza: Sve što postoji u stvarnom svijetu je fraktal.

Metode istraživanja: analitička, pretraga.

Relevantnost deklarisane teme određuje, prije svega, predmet istraživanja, a to je fraktalna geometrija.

Očekivani rezultati: U toku rada moći ću da proširim svoja znanja iz oblasti matematike, uvidim ljepotu fraktalne geometrije i počnem raditi na stvaranju vlastitih fraktala.

Rezultat rada će biti izrada kompjuterske prezentacije, biltena i knjižice.

Poglavlje 1

B Enua Mandelbrot

Termin "fraktal" skovao je Benoit Mandelbrot. Riječ dolazi od latinskog fractus, što znači "slomljen, razbijen".

Fraktal (lat. fractus - zgnječen, slomljen, slomljen) - pojam koji označava složenu geometrijsku figuru sa svojstvom samosličnosti, odnosno sastavljenu od više dijelova, od kojih je svaki sličan cijeloj figuri u cjelini.

Matematički objekti na koje se odnosi odlikuju se izuzetno zanimljivim svojstvima. U običnoj geometriji, linija ima jednu dimenziju, površina ima dvije dimenzije, a prostorna figura je trodimenzionalna. Fraktali, s druge strane, nisu linije ili površine, već, ako možete zamisliti, nešto između. S povećanjem veličine, volumen fraktala se također povećava, ali njegova dimenzija (eksponent) nije cijeli broj, već razlomka, pa stoga granica fraktalne figure nije linija: pri velikom povećanju postaje jasna da je zamućen i sastoji se od spirala i kovrča, ponavljajući u malom razmjeru same figure. Takva geometrijska pravilnost naziva se invarijantnost skale ili samosličnost. Ona je ta koja određuje frakcijsku dimenziju fraktalnih figura.

Prije pojave fraktalne geometrije, nauka se bavila sistemima sadržanim u tri prostorne dimenzije. Zahvaljujući Ajnštajnu, postalo je jasno da je trodimenzionalni prostor samo model stvarnosti, a ne sama stvarnost. U stvari, naš svijet se nalazi u četverodimenzionalnom prostor-vremenskom kontinuumu.
Zahvaljujući Mandelbrotu, postalo je jasno kako izgleda četverodimenzionalni prostor, figurativno rečeno, fraktalno lice Haosa. Benoit Mandelbrot je otkrio da četvrta dimenzija uključuje ne samo prve tri dimenzije, već i (ovo je vrlo važno!) intervale između njih.

Rekurzivna (ili fraktalna) geometrija zamjenjuje Euklidsku. Nova nauka je u stanju da opiše pravu prirodu tela i pojava. Euklidska geometrija se bavila samo vještačkim, imaginarnim objektima koji pripadaju tri dimenzije. Samo ih četvrta dimenzija može pretvoriti u stvarnost.

Tečnost, gas, čvrsta su tri uobičajena fizička stanja materije koja postoje u trodimenzionalnom svetu. Ali koja je dimenzija oblačića dima, oblaka, odnosno njihovih granica, neprestano zamagljenih turbulentnim kretanjem zraka?

U osnovi, fraktali se dijele u tri grupe:

    Algebarski fraktali

    Stohastički fraktali

    geometrijski fraktali

Pogledajmo pobliže svaki od njih.

Poglavlje 2. Klasifikacija fraktala

geometrijski fraktali

Benoit Mandelbrot je predložio fraktalni model, koji je već postao klasičan i često se koristi za demonstriranje i tipičnog primjera samog fraktala i za demonstraciju ljepote fraktala, što također privlači istraživače, umjetnike i ljude koji su jednostavno zainteresirani.

Sa njima je započela istorija fraktala. Ova vrsta fraktala se dobija jednostavnim geometrijskim konstrukcijama. Obično se pri konstruisanju ovih fraktala postupi na sledeći način: uzima se "seme" - aksiom - skup segmenata, na osnovu kojih će se graditi fraktal. Dalje, skup pravila se primjenjuje na ovo "sjeme", koje ga pretvara u neku geometrijsku figuru. Nadalje, isti skup pravila se ponovo primjenjuje na svaki dio ove figure. Svakim korakom figura će postajati sve složenija, a ako izvršimo (barem u umu) beskonačan broj transformacija, dobit ćemo geometrijski fraktal.

Fraktali ove klase su najvizuelniji, jer im je odmah vidljiva samosličnost na bilo kojoj skali posmatranja. U dvodimenzionalnom slučaju, takvi se fraktali mogu dobiti specificiranjem neke izlomljene linije, koja se zove generator. U jednom koraku algoritma, svaki od segmenata koji čine isprekidanu liniju zamjenjuje se izlomljenom linijom-generatorom, u odgovarajućoj mjeri. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka (ili, preciznije, pri prelasku do granice), dobija se fraktalna kriva. Uz prividnu složenost rezultirajuće krive, njen opći oblik daje samo oblik generatora. Primjeri takvih krivulja su: Kochova kriva (Sl.7), Peano kriva (Sl.8), kriva Minkowskog.

Početkom 20. veka matematičari su tražili krivulje koje ni u jednoj tački nisu imale tangentu. To je značilo da je kriva naglo promenila svoj pravac, i štaviše, enormno velikom brzinom (izvod je jednak beskonačnosti). Potraga za ovim krivuljama nije bila uzrokovana samo praznim zanimanjem matematičara. Činjenica je da se početkom 20. vijeka kvantna mehanika razvijala vrlo brzo. Istraživač M. Brown je skicirao putanju suspendiranih čestica u vodi i objasnio ovu pojavu na sljedeći način: nasumično pokretni tečni atomi udaraju u suspendirane čestice i time ih pokreću. Nakon takvog objašnjenja Brownovog kretanja, naučnici su se suočili sa zadatkom pronalaženja krive koja bi najbolje prikazala kretanje Brownovih čestica. Da bi se to postiglo, kriva je morala zadovoljiti sljedeća svojstva: da nema tangentu ni u jednoj tački. Matematičar Koch je predložio jednu takvu krivu.

To Kochova kriva je tipičan geometrijski fraktal. Proces njegove konstrukcije je sljedeći: uzmemo jedan segment, podijelimo ga na tri jednaka dijela i zamijenimo srednji interval jednakostraničnim trouglom bez ovog segmenta. Kao rezultat, formira se isprekidana linija koja se sastoji od četiri karike dužine 1/3. U sljedećem koraku ponavljamo operaciju za svaku od četiri rezultirajuće veze, i tako dalje...

Granična kriva je Kochova kriva.


Snowflake Koch. Izvođenjem slične transformacije na stranicama jednakostraničnog trokuta, možete dobiti fraktalnu sliku Kochove pahulje.

T
Još jedan jednostavan predstavnik geometrijskog fraktala je Sierpinski trg. Izgrađen je prilično jednostavno: kvadrat je podijeljen pravim linijama paralelnim sa njegovim stranicama na 9 jednakih kvadrata. Centralni trg je uklonjen sa trga. Ispada set koji se sastoji od 8 preostalih kvadrata "prvog ranga". Učinivši isto sa svakim od kvadrata prvog ranga, dobijamo skup koji se sastoji od 64 polja drugog ranga. Nastavljajući ovaj proces beskonačno, dobijamo beskonačan niz ili kvadrat Sierpinskog.

Algebarski fraktali

Ovo je najveća grupa fraktala. Algebarski fraktali su dobili ime jer su izgrađeni pomoću jednostavnih algebarskih formula.

Dobijaju se nelinearnim procesima u n-dimenzionalni prostori. Poznato je da nelinearni dinamički sistemi imaju nekoliko stabilnih stanja. Stanje u kojem se dinamički sistem nalazi nakon određenog broja iteracija zavisi od njegovog početnog stanja. Dakle, svako stabilno stanje (ili, kako kažu, atraktor) ima određeno područje početnih stanja, iz kojih će sistem nužno pasti u razmatrana konačna stanja. Tako je fazni prostor sistema podijeljen na područja privlačnosti atraktori. Ako je fazni prostor dvodimenzionalan, tada se bojanjem privlačnih područja različitim bojama može dobiti fazni portret u boji ovaj sistem (iterativni proces). Promjenom algoritma odabira boja, možete dobiti složene fraktalne uzorke s otmjenim višebojnim uzorcima. Iznenađenje za matematičare bila je mogućnost generiranja vrlo složenih struktura korištenjem primitivnih algoritama.



Kao primjer, razmotrite Mandelbrotov skup. Izgrađen je korištenjem kompleksnih brojeva.

Dio granice Mandelbrotovog skupa, uvećan 200 puta.

Mandelbrotov skup sadrži tačke koje tokombeskrajno broj iteracija ne ide u beskonačnost (tačke koje su crne). Tačke koje pripadaju granici skupa(tu nastaju složene strukture) idu u beskonačnost u konačnom broju iteracija, a tačke koje leže izvan skupa idu u beskonačnost nakon nekoliko iteracija (bijela pozadina).

P



Primjer drugog algebarskog fraktala je Julia skup. Postoje 2 varijante ovog fraktala. Iznenađujuće, Julijini skupovi se formiraju prema istoj formuli kao i Mandelbrotov skup. Julia set je izumio francuski matematičar Gaston Julia, po kome je skup i dobio ime.

I
zanimljiva činjenica, neki algebarski fraktali upadljivo podsjećaju na slike životinja, biljaka i drugih bioloških objekata, zbog čega se nazivaju biomorfi.

Stohastički fraktali

Druga dobro poznata klasa fraktala su stohastički fraktali, koji se dobijaju ako se bilo koji od njegovih parametara nasumično promijeni u iterativnom procesu. To rezultira objektima vrlo sličnim prirodnim - asimetrično drveće, razvedene obale itd.

Tipičan predstavnik ove grupe fraktala je "plazma".

D
Za njegovu konstrukciju uzima se pravougaonik i određuje se boja za svaki njegov kut. Zatim se pronađe središnja tačka pravougaonika i oboji u boju koja je jednaka aritmetičkoj sredini boja na uglovima pravougaonika plus neki slučajni broj. Što je veći slučajni broj, slika će biti više "pocepana". Ako pretpostavimo da je boja tačke visina iznad nivoa mora, umjesto plazme dobićemo planinski lanac. Na ovom principu su planine modelirane u većini programa. Koristeći algoritam sličan plazmi, gradi se visinska karta, na nju se primjenjuju različiti filteri, nanosi se tekstura i fotorealistične planine su spremne.

E
Ako pogledamo ovaj fraktal u odeljku, videćemo da je ovaj fraktal obiman, i ima „hrapavost“, upravo zbog te „hrapavosti“ postoji veoma važna primena ovog fraktala.

Recimo da želite da opišete oblik planine. Obične figure iz euklidske geometrije ovdje neće pomoći, jer ne uzimaju u obzir topografiju površine. Ali kada kombinujete konvencionalnu geometriju sa fraktalnom geometrijom, možete dobiti samu "hrapavost" planine. Plazma se mora nanijeti na običan konus i dobićemo reljef planine. Takve operacije se mogu izvoditi sa mnogim drugim objektima u prirodi, zahvaljujući stohastičkim fraktalima, sama priroda se može opisati.

Hajde sada da pričamo o geometrijskim fraktalima.

.

Poglavlje 3 "Fraktalna geometrija prirode"

Zašto se geometrija često naziva "hladna" i "suva"? Jedan od razloga je njena nesposobnost da opiše oblik oblaka, planine, obale ili drveta. Oblaci nisu kugle, planine nisu stošci, obale nisu krugovi, drvo kora nije glatka, već kompleksnost potpuno drugog nivoa. Broj različitih dužinskih skala prirodnih objekata za sve praktične svrhe je beskonačan.

(Benoit Mandelbrot "Fraktalna geometrija prirode" ).

To Ljepota fraktala je dvostruka: oduševljava oko, o čemu svjedoči barem svjetska izložba fraktalnih slika, koju je organizirala grupa bremenskih matematičara pod vodstvom Peitgena i Richtera. Kasnije su eksponati ove grandiozne izložbe uslikani u ilustracijama za knjigu "Ljepota fraktala" istih autora. Ali postoji još jedan, apstraktniji ili uzvišeniji, aspekt ljepote fraktala, otvoren, prema R. Feynmanu, samo mentalnom pogledu teoretičara, u tom smislu, fraktali su lijepi ljepotom teškog matematičkog problema. Benoit Mandelbrot je svojim savremenicima (a valjda i potomcima) ukazao na nesrećnu prazninu u Euklidovim elementima, prema kojima je, ne primjećujući izostavljanje, skoro dva milenijuma čovječanstvo poimalo geometriju okolnog svijeta i naučilo matematičku strogost prezentacija. Naravno, oba aspekta ljepote fraktala su usko povezana i ne isključuju, već se međusobno nadopunjuju, iako je svaki od njih sam sebi dovoljan.

Fraktalna geometrija prirode, prema Mandelbrotu, je prava geometrija koja zadovoljava definiciju geometrije predloženu u "Erlangenskom programu" F. Kleina. Činjenica je da je prije pojave neeuklidske geometrije, N.I. Lobačevskog – L. Boljaja, postojala je samo jedna geometrija – ona koja je izložena u „Počecima“, a pitanje šta je geometrija, a koja od geometrija geometrija stvarnog sveta nije se postavljalo, niti moglo nastati. Ali sa pojavom još jedne geometrije, postavilo se pitanje šta je geometrija uopšte i koja od mnogih geometrija odgovara stvarnom svetu. Prema F. Kleinu, geometrija proučava takva svojstva objekata koja su invarijantna prema transformacijama: Euklidske - invarijante grupe kretanja (transformacije koje ne mijenjaju udaljenost između bilo koje dvije tačke, tj. predstavljaju superpoziciju paralelnih translacija i rotacija sa ili bez promjene orijentacije), geometrija Lobačevskog-Boljaja - invarijante Lorencove grupe. Fraktalna geometrija se bavi proučavanjem invarijanti grupe samoafinih transformacija, tj. svojstva izražena zakonima moći.

Što se tiče korespondencije sa realnim svijetom, fraktalna geometrija opisuje vrlo široku klasu prirodnih procesa i pojava, te stoga možemo, slijedeći B. Mandelbrota, s pravom govoriti o fraktalnoj geometriji prirode. Novi - fraktalni objekti imaju neobična svojstva. Dužine, površine i zapremine nekih fraktala jednaki su nuli, drugi se okreću u beskonačnost.

Priroda često stvara nevjerovatne i lijepe fraktale, savršene geometrije i takvog sklada da se jednostavno smrznete od divljenja. A evo i njihovih primjera:


morske školjke


Munja diveći se njihovoj lepoti. Fraktali stvoreni munjom nisu slučajni ili pravilni.


fraktalni oblik podvrste karfiola(Brassica cauliflora). Ova posebna vrsta je posebno simetričan fraktal.

P paprat je također dobar primjer fraktala među florom.


Paunovi svi su poznati po svom šarenom perju, u kojem se kriju čvrsti fraktali.


Led, mraza na prozorima su i to fraktali


O
t uvećana slika letak, prije grane drveća- fraktale možete pronaći u svemu

Fraktali su svuda i svuda u prirodi oko nas. Čitav Univerzum izgrađen je prema nevjerovatno skladnim zakonima s matematičkom preciznošću. Da li je nakon toga moguće misliti da je naša planeta nasumična gomila čestica? Teško.

Poglavlje 4

Fraktali nalaze sve više primjena u nauci. Glavni razlog za to je što oni opisuju stvarni svijet ponekad čak i bolje od tradicionalne fizike ili matematike. Evo nekoliko primjera:

O
leže dani najmoćnijih primjena fraktala kompjuterska grafika. Ovo je fraktalna kompresija slika. Moderna fizika i mehanika tek počinju proučavati ponašanje fraktalnih objekata.

Prednosti algoritama fraktalne kompresije slike su vrlo mala veličina upakovane datoteke i kratko vrijeme oporavka slike. Fraktalno upakovane slike mogu se skalirati bez pojave pikselizacije (loš kvalitet slike - veliki kvadrati). Ali proces kompresije traje dugo i ponekad traje satima. Algoritam fraktalnog pakovanja sa gubicima omogućava vam da postavite nivo kompresije, slično jpeg formatu. Algoritam se temelji na traženju velikih dijelova slike sličnih nekim malim dijelovima. I samo koji komad je sličan kojem se upisuje u izlaznu datoteku. Prilikom sažimanja obično se koristi kvadratna mreža (komadi su kvadrati), što dovodi do blagog ugla prilikom vraćanja slike; heksagonalna mreža nema takvog nedostatka.

Iterated je razvio novi format slike, "Sting", koji kombinuje fraktalnu i "talasnu" (kao što je jpeg) kompresiju bez gubitaka. Novi format omogućava kreiranje slika s mogućnošću naknadnog visokokvalitetnog skaliranja, a volumen grafičkih datoteka je 15-20% volumena nekomprimiranih slika.

U mehanici i fizici fraktali se koriste zbog jedinstvenog svojstva da ponavljaju obrise mnogih prirodnih objekata. Fraktali vam omogućavaju da aproksimirate drveće, planinske površine i pukotine sa većom preciznošću od aproksimacija sa segmentima linija ili poligonima (sa istom količinom pohranjenih podataka). Fraktalni modeli, kao i prirodni objekti, imaju "hrapavost", a ovo svojstvo je očuvano pri proizvoljno velikom povećanju modela. Prisustvo uniformne mjere na fraktalima omogućava primjenu integracije, teorije potencijala, da se oni koriste umjesto standardnih objekata u već proučavanim jednačinama.

T
Fraktalna geometrija se takođe koristi dizajn antenskih uređaja. Ovo je prvi koristio američki inženjer Nathan Cohen, koji je tada živio u centru Bostona, gdje je ugradnja vanjskih antena na zgrade bila zabranjena. Cohen je izrezao oblik Kochove krivulje od aluminijske folije i zatim ga zalijepio na komad papira prije nego što ga je pričvrstio na prijemnik. Ispostavilo se da takva antena ne radi ništa gore od konvencionalne. I iako fizički principi takve antene do sada nisu proučavani, to nije spriječilo Cohena da osnuje vlastitu kompaniju i pokrene njihovu serijsku proizvodnju. Trenutno je američka kompanija “Fractal Antenna System” razvila novi tip antene. Sada možete prestati koristiti isturene vanjske antene u mobilnim telefonima. Takozvana fraktalna antena nalazi se direktno na glavnoj ploči unutar uređaja.

Postoje i mnoge hipoteze o upotrebi fraktala - na primjer, limfni i cirkulatorni sistemi, pluća i još mnogo toga također imaju fraktalna svojstva.

Poglavlje 5. Praktični rad.

Prvo, fokusirajmo se na fraktale "Ogrlica", "Pobjeda" i "Kvadrat".

Prvo - "Ogrlica"(Sl. 7). Krug je pokretač ovog fraktala. Ovaj krug se sastoji od određenog broja istih krugova, ali manjih veličina, a sam je jedan od nekoliko istih krugova, ali većih veličina. Dakle, proces obrazovanja je beskrajan i može se odvijati i u jednom i u suprotnom smjeru. One. lik se može povećati uzimanjem samo jednog malog luka, ili se može smanjiti razmatranjem njegove konstrukcije od manjih.


pirinač. 7.

Fraktal "Ogrlica"

Drugi fraktal je "pobjeda"(Sl. 8). Ovo ime je dobio jer spolja podsjeća na latinično slovo "V", odnosno "pobjeda"-pobjeda. Ovaj fraktal se sastoji od određenog broja malih "v", koji čine jedno veliko "V", au lijevu polovinu, u kojoj su male smještene tako da njihove lijeve polovine čine jednu pravu liniju, ugrađuje se desni dio na isti način. Svaki od ovih "v" je izgrađen na isti način i nastavlja to do beskonačnosti.


Fig.8. Fraktal "Pobjeda"

Treći fraktal je "Kvadrat" (sl. 9). Svaka njegova stranica sastoji se od jednog reda ćelija, u obliku kvadrata, čije stranice također predstavljaju redove ćelija itd.


Slika 9. Fraktal "Kvadrat"

Fraktal je nazvan "Ruža" (slika 10), zbog vanjske sličnosti sa ovim cvijetom. Konstrukcija fraktala povezana je sa konstrukcijom niza koncentričnih krugova čiji se polumjer mijenja proporcionalno datom omjeru (u ovom slučaju R m / R b = ¾ = 0,75.). Nakon toga, u svaki krug je upisan pravilan šesterokut čija je stranica jednaka polumjeru kruga opisanog oko njega.



Rice. 11. Fraktal "Ruža*"

Zatim se okrećemo pravilnom pentagonu, u kojem crtamo njegove dijagonale. Zatim, u pentagonu dobijenom na sjecištu odgovarajućih segmenata, ponovo crtamo dijagonale. Nastavimo ovaj proces do beskonačnosti i dobijemo fraktal "Pentagram" (slika 12).

Hajde da uvedemo element kreativnosti i naš fraktal će poprimiti oblik vizuelnijeg objekta (slika 13).


R
je. 12. Fraktal "Pentagram".

Rice. 13. Fraktal "Pentagram *"


Rice. 14 fraktal "Crna rupa"

Eksperiment br. 1 "Drvo"

Sada kada sam shvatio šta je fraktal i kako da ga izgradim, pokušao sam da kreiram sopstvene fraktalne slike. U Adobe Photoshopu sam napravio mali potprogram ili akciju, posebnost ove akcije je u tome što ponavlja radnje koje ja radim i tako dobijam fraktal.


Za početak, napravio sam pozadinu za naš budući fraktal sa rezolucijom 600 x 600. Zatim sam nacrtao 3 linije na ovoj pozadini - osnovu našeg budućeg fraktala.




With Sljedeći korak je pisanje skripte.

dupli sloj ( sloj > duplikat) i promijenite vrstu mješavine u " Ekran" .

nazovimo ga" fr1". Duplirajte ovaj sloj (" fr1") još 2 puta.

Sada se moramo prebaciti na posljednji sloj (fr3) i spoji ga dvaput sa prethodnim ( ctrl+e). Smanjite svjetlinu sloja ( Slika > Podešavanja > Svjetlina/kontrast , podešena svjetlina 50% ). Ponovo spojite s prethodnim slojem i odrežite rubove cijelog crteža kako biste uklonili nevidljive dijelove.

Kao posljednji korak, kopirao sam ovu sliku i zalijepio je smanjenu veličinu i rotirao. Evo krajnjeg rezultata.


Zaključak

Ovaj rad predstavlja uvod u svijet fraktala. Razmotrili smo samo najmanji dio onoga što su fraktali, na osnovu kojih principa se grade.

Fraktalna grafika nije samo skup slika koje se samoponavljaju, ona je model strukture i principa svakog bića. Cijeli naš život predstavljen je fraktalima. Sva priroda oko nas sastoji se od njih. Treba napomenuti da se fraktali široko koriste u kompjuterskim igrama, gdje su tereni često fraktalne slike zasnovane na trodimenzionalnim modelima složenih skupova. Fraktali uvelike olakšavaju crtanje kompjuterske grafike, uz pomoć fraktala nastaju mnogi specijalni efekti, razne fantastične i nevjerovatne slike itd. Također, uz pomoć fraktalne geometrije crtaju se drveće, oblaci, obale i sva druga priroda. Fraktalna grafika je svuda potrebna, a razvoj "fraktalnih tehnologija" jedan je od najvažnijih zadataka današnjice.

U budućnosti planiram naučiti kako graditi algebarske fraktale kada detaljnije proučavam kompleksne brojeve. Takođe želim da pokušam da izgradim svoju fraktalnu sliku u programskom jeziku Pascal koristeći cikluse.

Treba napomenuti upotrebu fraktala u kompjuterskoj tehnologiji, pored jednostavnog građenja prelepih slika na ekranu računara. Fraktali u računarskoj tehnologiji koriste se u sledećim oblastima:

1. Komprimirajte slike i informacije

2. Skrivanje informacija u slici, u zvuku, ...

3. Šifriranje podataka korištenjem fraktalnih algoritama

4. Kreiranje fraktalne muzike

5. Modeliranje sistema

U našem radu nisu date sve oblasti ljudskog znanja u kojima je teorija fraktala našla svoju primenu. Želimo samo reći da nije prošlo više od trećine stoljeća od nastanka teorije, ali su za to vrijeme fraktali za mnoge istraživače postali iznenadna jarka svjetlost u noći, koja je rasvijetlila do sada nepoznate činjenice i obrasce u konkretnim oblasti podataka. Uz pomoć teorije fraktala, počeli su da objašnjavaju evoluciju galaksija i razvoj ćelije, pojavu planina i formiranje oblaka, kretanje cena na berzi i razvoj društva i porodice. . Možda je u početku ta strast za fraktalima bila čak i previše burna i pokušaji da se sve objasni korištenjem teorije fraktala bili su neopravdani. Ali, bez sumnje, ova teorija ima pravo na postojanje i žalimo što je u posljednje vrijeme nekako zaboravljena i ostala na sudu elite. U pripremi ovog rada bilo nam je veoma interesantno pronaći primjenu TEORIJE u PRAKSI. Jer vrlo često postoji osjećaj da teorijsko znanje stoji odvojeno od realnosti života.

Dakle, koncept fraktala postaje ne samo dio "čiste" nauke, već i element ljudske kulture. Fraktalna nauka je još uvek veoma mlada i pred njom je velika budućnost. Ljepota fraktala još nije iscrpljena i još će nam dati mnoga remek-djela – ona koja oduševljavaju oko, i ona koja donose istinsko zadovoljstvo umu.

10. Reference

    Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fraktali i multifraktali. RHD 2001 .

    Vitolin D. Upotreba fraktala u kompjuterskoj grafici. // Computerworld-Russia.-1995

    Mandelbrot B. Samoafini fraktalni skupovi, "Fraktali u fizici". M.: Mir 1988

    Mandelbrot B. Fraktalna geometrija prirode. - M.: "Institut za kompjuterska istraživanja", 2002.

    Morozov A.D. Uvod u teoriju fraktala. Nižnji Novgorod: Izdavačka kuća Nižegorod. univerzitet 1999

    Paytgen H.-O., Richter P. H. Ljepota fraktala. - M.: "Mir", 1993.

Internet resursi

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html


Fraktali su poznati skoro jedan vek, dobro su proučavani i imaju brojne primene u životu. Ovaj fenomen se temelji na vrlo jednostavnoj ideji: beskonačan broj figura u ljepoti i raznolikosti može se dobiti iz relativno jednostavnih struktura koristeći samo dvije operacije - kopiranje i skaliranje.

Ovaj koncept nema strogu definiciju. Dakle, riječ "fraktal" nije matematički pojam. Ovo se obično naziva geometrijska figura koja zadovoljava jedno ili više od sljedećih svojstava:

  • ima složenu strukturu pri svakom povećanju;
  • je (približno) sebi sličan;
  • ima frakcijsku Hausdorffovu (fraktalnu) dimenziju, koja je veća od topološke;
  • mogu se izgraditi rekurzivnim procedurama.

Na prelazu iz 19. u 20. vek, proučavanje fraktala bilo je više epizodično nego sistematično, jer su raniji matematičari uglavnom proučavali „dobre“ objekte koji su se mogli proučavati korišćenjem opštih metoda i teorija. Godine 1872. njemački matematičar Karl Weierstrass napravio je primjer kontinuirane funkcije koja se nigdje ne može razlikovati. Međutim, njegova konstrukcija je bila potpuno apstraktna i teško razumljiva. Stoga je 1904. godine Šveđanin Helge von Koch osmislio kontinuiranu krivu koja nema nigdje tangente i prilično ju je jednostavno nacrtati. Ispostavilo se da ima svojstva fraktala. Jedna varijacija ove krive se zove Koch pahulja.

Ideje o samosličnosti figura preuzeo je Francuz Paul Pierre Levy, budući mentor Benoita Mandelbrota. Godine 1938. objavljen je njegov članak "Ravne i prostorne krive i površine koje se sastoje od dijelova sličnih cjelini", u kojem je opisan još jedan fraktal - Lévyjeva C-kriva. Svi gore navedeni fraktali mogu se uslovno pripisati jednoj klasi konstruktivnih (geometrijskih) fraktala.

Druga klasa su dinamički (algebarski) fraktali, koji uključuju Mandelbrotov skup. Prve studije u ovom pravcu datiraju s početka 20. stoljeća i povezuju se s imenima francuskih matematičara Gastona Julia i Pierre Fatoua. Godine 1918. objavljeno je gotovo dvije stotine stranica Julijinog rada, posvećenih iteracijama složenih racionalnih funkcija, u kojima su opisani Julijini skupovi - cijela porodica fraktala usko povezana sa Mandelbrotovim skupom. Ovo djelo je nagrađeno nagradom Francuske akademije, ali nije sadržavalo niti jednu ilustraciju, pa je bilo nemoguće cijeniti ljepotu otkrivenih predmeta. Uprkos činjenici da je ovo djelo učinilo Juliju poznatom među matematičarima tog vremena, brzo je zaboravljeno.

Samo pola vijeka kasnije, s pojavom kompjutera, pažnja se okrenula radu Julije i Fatoua: upravo su oni učinili vidljivim bogatstvo i ljepotu svijeta fraktala. Na kraju krajeva, Fatou nikada nije mogao pogledati slike koje sada poznajemo kao slike Mandelbrotovog skupa, jer se potreban broj proračuna ne može izvršiti ručno. Prva osoba koja je koristila kompjuter za ovo bio je Benoit Mandelbrot.

Godine 1982. objavljena je Mandelbrotova knjiga "Fraktalna geometrija prirode" u kojoj je autor prikupio i sistematizovao gotovo sve informacije o fraktalima koje su tada bile dostupne i prikazao ih na jednostavan i pristupačan način. Mandelbrot je glavni naglasak u svom izlaganju stavio ne na teške formule i matematičke konstrukcije, već na geometrijsku intuiciju čitatelja. Zahvaljujući kompjuterski generisanim ilustracijama i istorijskim pričama, kojima je autor vešto razblažio naučnu komponentu monografije, knjiga je postala bestseler, a fraktali poznati široj javnosti. Njihov uspjeh među nematematičarima uvelike je rezultat činjenice da se uz pomoć vrlo jednostavnih konstrukcija i formula koje čak i srednjoškolac može razumjeti, dobijaju slike zadivljujuće složenosti i ljepote. Kada su personalni računari postali dovoljno moćni, pojavio se čak i čitav trend u umetnosti - fraktalno slikanje, a to je mogao da uradi skoro svaki vlasnik računara. Sada na Internetu možete lako pronaći mnoge stranice posvećene ovoj temi.

Zdravo svima! Moje ime je, Ribenek Valerija, Uljanovsk i danas ću objaviti nekoliko svojih naučnih članaka na web stranici LCI.

Moj prvi naučni članak na ovom blogu biće posvećen fraktali. Odmah ću reći da su moji članci namijenjeni gotovo svakoj publici. One. Nadam se da će biti zanimljivi i školarcima i studentima.

Nedavno sam saznao za tako zanimljive objekte matematičkog svijeta kao što su fraktali. Ali oni ne postoje samo u matematici. Oni nas svuda okružuju. Fraktali su prirodni. O tome šta su fraktali, o vrstama fraktala, o primjerima ovih objekata i njihovoj primjeni, reći ću u ovom članku. Za početak ću vam ukratko reći šta je fraktal.

Fraktal(lat. fractus - zgnječen, slomljen, slomljen) je složena geometrijska figura koja ima svojstvo samosličnosti, odnosno sastavljena je iz više dijelova od kojih je svaki sličan cijeloj figuri u cjelini. U širem smislu, fraktali se shvataju kao skupovi tačaka u euklidskom prostoru koji imaju frakcionu metričku dimenziju (u smislu Minkowskog ili Hausdorffa), ili metričku dimenziju koja nije topološka. Na primjer, umetnut ću sliku četiri različita fraktala.

Dozvolite mi da vam ispričam malo o istoriji fraktala. Koncepti fraktalne i fraktalne geometrije, koji su se pojavili kasnih 70-ih, čvrsto su ušli u svakodnevni život matematičara i programera od sredine 80-ih. Riječ "fraktal" uveo je Benoit Mandelbrot 1975. godine da se odnosi na nepravilne, ali sebi slične strukture koje je proučavao. Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje s objavljivanjem Mandelbrotove knjige Fraktalna geometrija prirode 1977. godine. U svojim radovima koristili su naučne rezultate drugih naučnika koji su radili u periodu 1875-1925 na istoj oblasti (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorf). Ali samo u naše vrijeme bilo je moguće spojiti njihov rad u jedinstven sistem.

Postoji mnogo primjera fraktala, jer, kao što sam rekao, oni nas svuda okružuju. Po mom mišljenju, čak je i cijeli naš svemir jedan ogroman fraktal. Uostalom, sve u njemu, od strukture atoma do strukture samog Univerzuma, tačno se ponavlja. Ali postoje, naravno, konkretniji primjeri fraktala iz različitih područja. Fraktali su, na primjer, prisutni u složenoj dinamici. Tamo se prirodno pojavljuju u proučavanju nelinearnog dinamički sistemi. Najviše proučavan slučaj je kada je dinamički sistem specificiran iteracijama polinom ili holomorfna funkcija kompleksa varijabli na površini. Neki od najpoznatijih fraktala ovog tipa su Julia skup, Mandelbrotov skup i Newtonov bazen. Ispod, redom, slike prikazuju svaki od gornjih fraktala.

Drugi primjer fraktala su fraktalne krive. Najbolje je objasniti kako se gradi fraktal na primjeru fraktalnih krivulja. Jedna takva krivulja je takozvana Kochova pahulja. Postoji jednostavan postupak za dobijanje fraktalnih krivulja na ravni. Definiramo proizvoljnu izlomljenu liniju sa konačnim brojem veza, koja se naziva generator. Zatim svaki segment u njemu zamjenjujemo generatorom (tačnije, isprekidanom linijom sličnom generatoru). U rezultirajućoj isprekidanoj liniji svaki segment ponovo zamjenjujemo generatorom. Nastavljajući u beskonačnost, u granici dobijamo fraktalnu krivu. Dole je prikazana Kochova pahulja (ili kriva).

Postoji i mnogo fraktalnih krivulja. Najpoznatije od njih su već pomenuta Kohova pahuljica, kao i Levyeva kriva, Minkowski kriva, Slomljeni Zmaj, Klavirska kriva i Pitagorino drvo. Sliku ovih fraktala i njihove istorije, mislim, ako želite, možete lako pronaći na Wikipediji.

Treći primjer ili vrsta fraktala su stohastički fraktali. Takvi fraktali uključuju putanju Brownovog kretanja u ravnini i prostoru, Schramm-Löwnerove evolucije, razne vrste randomiziranih fraktala, odnosno fraktale dobivene rekurzivnom procedurom, u kojoj se u svakom koraku uvodi slučajni parametar.

Postoje i čisto matematički fraktali. To su, na primjer, Cantorov set, Mengerov sunđer, trokut Sierpinskog i drugi.

Ali možda su najzanimljiviji fraktali prirodni. Prirodni fraktali su objekti u prirodi koji imaju fraktalna svojstva. I već postoji velika lista. Neću sve nabrajati, jer, vjerovatno, ne mogu sve nabrojati, ali ću reći o nekima. Na primjer, u živoj prirodi takvi fraktali uključuju naš cirkulatorni sistem i pluća. A također i krošnje i lišće drveća. Ovdje se također mogu pripisati morske zvijezde, morski ježevi, koralji, morske školjke, neke biljke poput kupusa ili brokule. U nastavku je jasno prikazano nekoliko takvih prirodnih fraktala iz divljih životinja.

Ako uzmemo u obzir neživu prirodu, onda ima mnogo zanimljivijih primjera nego u živoj prirodi. Munje, pahulje, oblaci, svima poznati, šare na prozorima u mraznim danima, kristali, planinski lanci - sve su to primjeri prirodnih fraktala iz nežive prirode.

Razmotrili smo primjere i vrste fraktala. Što se tiče upotrebe fraktala, oni se koriste u različitim oblastima znanja. U fizici, fraktali se prirodno javljaju prilikom modeliranja nelinearnih procesa, kao što su turbulentni tok fluida, složeni procesi difuzije-adsorpcije, plamen, oblaci, itd. Fraktali se koriste prilikom modeliranja poroznih materijala, na primjer, u petrohemiji. U biologiji se koriste za modeliranje populacija i za opisivanje sistema unutrašnjih organa (sistem krvnih sudova). Nakon kreiranja Kochove krivulje, predloženo je da se ona koristi za izračunavanje dužine obalne linije. Također, fraktali se aktivno koriste u radiotehnici, u informatici i kompjuterskoj tehnologiji, telekomunikacijama, pa čak i ekonomiji. I, naravno, fraktalna vizija se aktivno koristi u suvremenoj umjetnosti i arhitekturi. Evo jednog primjera fraktalnih slika:

I tako, ovim mislim da završim svoju priču o tako neobičnom matematičkom fenomenu kao što je fraktal. Danas smo naučili šta je fraktal, kako se pojavio, o vrstama i primjerima fraktala. Takođe sam govorio o njihovoj primeni i jasno pokazao neke od fraktala. Nadam se da ste uživali u ovom kratkom izletu u svijet nevjerovatnih i očaravajućih fraktalnih objekata.



Sekcije