Kako izračunati površinu trapeza na četiri strane. Područje trapeza

Postoji mnogo načina da pronađete površinu trapeza. Obično nastavnik matematike zna nekoliko metoda za njegovo izračunavanje, hajde da se zadržimo na njima detaljnije:
1) , gdje su AD i BC osnove, a BH je visina trapeza. Dokaz: nacrtajte dijagonalu BD i izrazite površine trokuta ABD i CDB u smislu poluproizvoda njihovih osnova i visine:

, gdje je DP vanjska visina u

Te jednakosti zbrajamo pojam po član i, s obzirom da su visine BH i DP jednake, dobijamo:

Izvadimo to iz zagrade

Q.E.D.

Posljedica iz formule za površinu trapeza:
Pošto je polovični zbir baza jednak MN - srednja linija trapeza, onda

2) Primjena opće formule za površinu četverokuta.
Površina četverokuta je polovina proizvoda dijagonala pomnoženog sa sinusom ugla između njih
Da biste to dokazali, dovoljno je podijeliti trapez na 4 trokuta, izraziti površinu svakog u terminima "polovina proizvoda dijagonala i sinusa ugla između njih" (uzima se kao kut , dodajte rezultirajuće izraze, izvucite ih iz zagrade i rastavite ovu zagradu na faktore koristeći metodu grupisanja da dobijete njegovu jednakost s izrazom. Odavde

3) Metoda dijagonalnog pomaka
Ovo je moja titula. U školskim udžbenicima nastavnik matematike neće naći takav naslov. Opis tehnike se može naći samo u dodatnim tutorijalima kao primjer rješavanja problema. Napominjem da predavači matematike studentima otkrivaju većinu zanimljivosti i korisnih činjenica planimetrije u procesu izvođenja praktičnog rada. Ovo je krajnje neoptimalno, jer student treba da ih razdvoji u zasebne teoreme i nazove ih "velikim imenima". Jedan od njih je „dijagonalni pomak“. o čemu se radi? Povucimo pravu liniju paralelnu sa AC kroz vrh B sve dok se ne sece sa donjom bazom u tacki E. U ovom slucaju cetvorougao EBCA ce biti paralelogram (po definiciji) i prema tome BC=EA i EB=AC. Sada nas zanima prva jednakost. Imamo:

Imajte na umu da trokut BED, čija je površina jednaka površini trapeza, ima još nekoliko izvanrednih svojstava:
1) Njegova površina je jednaka površini trapeza
2) Njegov jednakokraki se javlja istovremeno sa jednakokrakom samog trapeza
3) Njegov gornji ugao na vrhu B jednak je uglu između dijagonala trapeza (što se vrlo često koristi u problemima)
4) Njegova medijana BK jednaka je udaljenosti QS između sredina osnova trapeza. Nedavno sam naišao na upotrebu ovog svojstva kada sam pripremao studenta za Mehmat Moskovskog državnog univerziteta koristeći Tkachukov udžbenik, verzija iz 1973. (zadatak je dat na dnu stranice).

Specijalci za nastavnike matematike.

Ponekad predlažem zadatke na vrlo lukav način pronalaženja kvadrata trapeza. Pripisujem to posebnim potezima, jer ih u praksi učitelj rijetko koristi. Ako se za ispit iz matematike treba pripremiti samo u dijelu B, ne možete čitati o njima. Za ostale, reći ću vam više. Ispada da je površina trapeza dvostruko veća od površine trokuta sa vrhovima na krajevima jedne strane i sredinom druge, odnosno ABS trokuta na slici:
Dokaz: nacrtajte visine SM i SN u trouglovima BCS i ADS i izrazite zbir površina ovih trouglova:

Pošto je tačka S središte CD-a, onda (dokažite sami) Hajde da nađemo zbir površina trouglova:

Pošto se pokazalo da je ovaj iznos jednak polovini površine trapeza, onda - njegovoj drugoj polovini. Ch.t.d.

Formu za izračunavanje površine jednakokračnog trapeza duž njegovih strana uključio bih u riznicu posebnih poteza nastavnika: gdje je p poluperimetar trapeza. Neću davati dokaze. U suprotnom, vaš profesor matematike će ostati bez posla :). Dodjite na cas!

Zadaci za područje trapeza:

Napomena nastavnika matematike: Lista u nastavku nije metodološka podrška temi, to je samo mali izbor zanimljivih zadataka za gore navedene metode.

1) Donja osnova jednakokračnog trapeza je 13, a gornja 5. Nađite površinu trapeza ako je njegova dijagonala okomita na stranu.
2) Nađite površinu trapeza ako su njegove osnove 2cm i 5cm, a stranice 2cm i 3cm.
3) U jednakokračnom trapezu, veća baza je 11, stranica je 5, a dijagonala je Nađite površinu trapeza.
4) Dijagonala jednakokračnog trapeza je 5, a srednja linija 4. Pronađite površinu.
5) U jednakokrakom trapezu osnove su 12 i 20, a dijagonale su međusobno okomite. Izračunajte površinu trapeza
6) Dijagonala jednakokrakog trapeza čini ugao sa njegovom donjom osnovom. Nađite površinu trapeza ako je njegova visina 6 cm.
7) Površina trapeza je 20, a jedna od njegovih stranica je 4 cm. Nađite udaljenost do njega od sredine suprotne strane.
8) Dijagonala jednakokrakog trapeza dijeli ga na trouglove površine 6 i 14. Nađi visinu ako je stranica 4.
9) U trapezu, dijagonale su 3 i 5, a segment koji povezuje sredine osnova je 2. Nađite površinu trapeza (Mekhmat Moskovskog državnog univerziteta, 1970).

Odabrao sam ne najteže zadatke (ne bojte se mekhmata!) s očekivanjem mogućnosti njihovog samostalnog rješenja. Odlučite se za zdravlje! Ako se trebate pripremiti za ispit iz matematike, onda bez sudjelovanja formule trapeznog područja u ovom procesu, mogu nastati ozbiljni problemi čak i sa zadatkom B6, a još više sa C4. Ne započinjite temu i u slučaju bilo kakvih poteškoća zatražite pomoć. Tutor matematike vam uvijek rado pomogne.

Kolpakov A.N.
Tutor matematike u Moskvi, priprema za ispit u Stroginu.

Trapez naziva se četvorougao samo dva strane su paralelne jedna s drugom.

Zovu se baze figure, ostalo - strane. Paralelogram se smatra posebnim slučajem figure. Postoji i krivolinijski trapez, koji uključuje graf funkcije. Formule za površinu trapeza uključuju gotovo sve njegove elemente, a najbolje rješenje se bira ovisno o datim vrijednostima.
Glavne uloge u trapezu su dodijeljene visini i srednjoj liniji. srednja linija- ovo je linija koja povezuje sredine strana. Visina trapez je nacrtan pod pravim uglom od gornjeg ugla do osnove.
Površina trapeza kroz visinu jednaka je umnošku polovine zbira dužina baza, pomnoženog s visinom:

Ako je srednja linija poznata prema uvjetima, onda je ova formula uvelike pojednostavljena, jer je jednaka polovini zbroja dužina baza:

Ako su, prema uslovima, date dužine svih stranica, onda možemo uzeti u obzir primjer izračunavanja površine trapeza kroz ove podatke:

Pretpostavimo da je dat trapez sa osnovama a = 3 cm, b = 7 cm i stranicama c = 5 cm, d = 4 cm. Nađite površinu figure:

Područje jednakokračnog trapeza

Poseban slučaj je jednakokraki ili, kako se još naziva, jednakokraki trapez.
Poseban slučaj je i pronalaženje površine jednakokračnog (jednakokračnog) trapeza. Formula se izvodi na različite načine - kroz dijagonale, kroz uglove koji su susedni osnovici i poluprečnik upisane kružnice.
Ako je dužina dijagonala određena uvjetima i ugao između njih je poznat, možete koristiti sljedeću formulu:

Zapamtite da su dijagonale jednakokračnog trapeza jednake jedna drugoj!

To jest, znajući jednu od njihovih baza, stranu i ugao, lako možete izračunati površinu.

Područje krivolinijskog trapeza

Poseban slučaj je krivolinijski trapez. Nalazi se na koordinatnoj osi i ograničen je na graf kontinuirane pozitivne funkcije.

Njegova baza se nalazi na X osi i ograničena je na dvije točke:
Integrali pomažu u izračunavanju površine krivolinijskog trapeza.
Formula je napisana ovako:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine krivolinijskog trapeza. Formula zahtijeva određeno znanje za rad s određenim integralima. Prvo, analizirajmo vrijednost određenog integrala:

Ovdje je F(a) vrijednost antiderivativne funkcije f(x) u tački a, F(b) je vrijednost iste funkcije f(x) u tački b.

Sada da riješimo problem. Na slici je prikazan krivolinijski trapez omeđen funkcijom. Funkcija
Moramo pronaći površinu odabrane figure, koja je krivolinijski trapez, omeđen odozgo grafom, na desnoj strani je prava linija x = (-8), na lijevoj strani je prava linija x = ( -10) a osa OX je ispod.
Izračunat ćemo površinu ove figure koristeći formulu:

Funkcija nam je data uslovima problema. Koristeći ga, pronaći ćemo vrijednosti antiderivata u svakoj od naših tačaka:


Sad
odgovor: površina datog krivolinijskog trapeza je 4.

Nema ništa teško u izračunavanju ove vrijednosti. Važna je samo najveća pažnja u proračunima.

I . Sada možemo početi razmatrati pitanje kako pronaći površinu trapeza. Ovaj zadatak u svakodnevnom životu javlja se vrlo rijetko, ali ponekad se pokaže da je potrebno, na primjer, pronaći površinu sobe u obliku trapeza, koji se sve više koristi u izgradnji modernih stanova, ili u projektima renoviranja.

Trapez je geometrijska figura koju čine četiri segmenta koji se ukrštaju, od kojih su dva paralelna jedan s drugim i nazivaju se bazama trapeza. Druga dva segmenta nazivaju se stranicama trapeza. Osim toga, kasnije će nam trebati još jedna definicija. Ovo je srednja linija trapeza, koja je segment koji povezuje sredine stranica i visina trapeza, koja je jednaka udaljenosti između baza.
Kao i trouglovi, i trapez ima posebne tipove u obliku jednakokrakog (jednakokrakog) trapeza, kod kojeg su dužine stranica iste, i pravougaonog trapeza, u kojem jedna od stranica tvori pravi ugao sa osnovama.

Trapezi imaju nekoliko zanimljivih svojstava:

1. Srednja linija trapeza je polovina zbira baza i paralelna je s njima.
   
2. Jednakokraki trapezi imaju jednake stranice i uglove koje formiraju sa osnovama.
   
3. Sredina dijagonala trapeza i tačka presjeka njegovih dijagonala nalaze se na istoj pravoj liniji.
   
4. Ako je zbir stranica trapeza jednak zbiru osnova, tada se u njega može upisati kružnica
   
5. Ako je zbir uglova koje formiraju stranice trapeza na bilo kojoj od njegovih osnova 90, tada je dužina segmenta koji povezuje sredine baza jednaka njihovoj polurazlici.
   
6. Jednakokraki trapez se može opisati kružnicom. I obrnuto. Ako je trapez upisan u krug, onda je jednakokračan.
   
7. Segment koji prolazi kroz sredine osnova jednakokračnog trapeza bit će okomit na njegove osnove i predstavlja os simetrije.
   

Kako pronaći površinu trapeza.

Površina trapeza bit će polovina zbroja njegovih osnova pomnožene njegovom visinom. U obliku formule, ovo je zapisano kao izraz:

gdje je S površina trapeza, a,b je dužina svake od osnova trapeza, h je visina trapeza.

Ovu formulu možete razumjeti i zapamtiti na sljedeći način. Kao što slijedi iz donje slike, trapez pomoću srednje linije može se pretvoriti u pravougaonik, čija će dužina biti jednaka polovini zbira baza.

Također možete rastaviti bilo koji trapez u jednostavnije oblike: pravougaonik i jedan ili dva trokuta, a ako vam je lakše, nađite površinu trapeza kao zbroj površina njegovih sastavnih figura.

Postoji još jedna jednostavna formula za izračunavanje njegove površine. Prema njemu, površina trapeza je jednaka umnošku njegove srednje linije i visine trapeza i zapisuje se kao: S = m * h, gdje je S površina, m dužina trapeza srednja linija, h je visina trapeza. Ova formula je pogodnija za matematičke probleme nego za svakodnevne probleme, jer u realnim uslovima nećete znati dužinu srednje linije bez preliminarnih proračuna. I znaćete samo dužine baza i stranica.

U ovom slučaju, površina trapeza se može pronaći pomoću formule:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

gdje je S površina, a,b su osnove, c,d su stranice trapeza.

Postoji još nekoliko načina za pronalaženje površine trapeza. Ali, one su jednako nezgodne kao i posljednja formula, što znači da nema smisla zadržavati se na njima. Stoga preporučujemo da koristite prvu formulu iz članka i želimo da uvijek dobijete točne rezultate.

Trapez je posebna vrsta četverokuta u kojem su dvije suprotne strane paralelne jedna s drugom, a druge dvije nisu. Razni stvarni objekti imaju trapezoidni oblik, tako da ćete možda morati izračunati obim takve geometrijske figure za rješavanje svakodnevnih ili školskih problema.

Trapezoidna geometrija

Trapez (od grčkog "trapezion" - stol) je lik na ravni, ograničen sa četiri segmenta, od kojih su dva paralelna, a dva nisu. Paralelni segmenti se nazivaju osnovama trapeza, a neparalelni segmenti se nazivaju stranicama figure. Stranice i njihovi uglovi nagiba određuju vrstu trapeza, koji može biti svestran, jednakokraki ili pravokutni. Osim baza i stranica, trapez ima još dva elementa:

• visina - udaljenost između paralelnih baza figure;
• srednja linija - segment koji povezuje sredine strana.

Ova geometrijska figura je široko rasprostranjena u stvarnom životu.

Trapez u stvarnosti

U svakodnevnom životu mnogi stvarni predmeti poprimaju trapezoidni oblik. Trapezije možete lako pronaći u sljedećim područjima ljudske aktivnosti:

• dizajn interijera i dekoracija - sofe, radne ploče, zidovi, tepisi, spušteni stropovi;
• pejzažni dizajn - granice travnjaka i umjetnih rezervoara, oblici ukrasnih elemenata;
• moda - oblik odjeće, obuće i pribora;
• arhitektura - prozori, zidovi, temelji zgrada;
• proizvodnja - razni proizvodi i detalji.

Uz tako široku upotrebu trapeza, stručnjaci često moraju izračunati perimetar geometrijske figure.

Perimetar trapeza

Opseg figure je numerička karakteristika, koja se izračunava kao zbir dužina svih strana n-ugla. Trapez je četvorougao i u opštem slučaju sve njegove stranice imaju različite dužine, pa se obim izračunava po formuli:

P = a + b + c + d,

gdje su a i c osnove figure, b i d su njene stranice.

Iako ne moramo znati visinu kada računamo obim trapeza, kod kalkulatora zahtijeva da se ova varijabla unese. Budući da visina ni na koji način ne utiče na izračun, kada koristite naš online kalkulator, možete unijeti bilo koju vrijednost visine koja je veća od nule. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Maramica

Recimo da imate šal A kroja i želite ga podšišati resama. Morat ćete znati obim šala kako ne biste kupovali dodatni materijal ili dvaput odlazili u trgovinu. Neka vaš jednakokraki šal ima sljedeće parametre: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm. Ove podatke ubacujemo u online formu i dobijamo odgovor u formi:

Dakle, obod marame iznosi 340 cm, a upravo to je dužina pletenice za rese za njen ukras.

padinama

Na primjer, odlučili ste napraviti kosine za nestandardne metalno-plastične prozore koji imaju trapezni oblik. Takvi prozori se široko koriste u dizajnu zgrada, stvarajući kompoziciju od nekoliko kapaka. Najčešće se takvi prozori izrađuju u obliku pravokutnog trapeza. Hajde da saznamo koliko je materijala potrebno za završetak kosina takvog prozora. Standardni prozor ima sljedeće parametre a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Koristimo ove podatke i dobijemo rezultat u obliku

Dakle, opseg trapeznog prozora je 390 cm, a toliko će vam trebati kupiti plastične ploče za formiranje kosina.

Zaključak

Trapez je figura popularna u svakodnevnom životu, čija bi definicija parametara mogla biti potrebna u najneočekivanijim situacijama. Proračun perimetara trapezom neophodan je za mnoge profesionalce: od inženjera i arhitekata do dizajnera i mehaničara. Naš katalog online kalkulatora će vam omogućiti da izvršite proračune za bilo koje geometrijske oblike i tijela.

Ovaj kalkulator je izračunao 2192 problema na temu "Površina trapeza"

TRAPEZO TRG

Odaberite formulu za izračunavanje površine trapeza koju planirate primijeniti da biste riješili svoj problem:

Opća teorija za izračunavanje površine trapeza.

trapez - ovo je ravna figura koja se sastoji od četiri tačke, od kojih tri ne leže na jednoj pravoj liniji, i četiri segmenta (stranice) koje povezuju ove četiri tačke u paru, u kojima su dve suprotne strane paralelne (leže na paralelnim linijama), a druga dva nisu paralelna.

Tačke se zovu vrhovi trapeza i označeni su velikim latiničnim slovima.

Segmenti se zovu strane trapeza i označeni su parom velikih latiničnih slova koja odgovaraju vrhovima koje spajaju segmenti.

Zovu se dvije paralelne stranice trapeza osnovice trapeza .

Zovu se dvije neparalelne stranice trapeza strane trapeza .

Slika #1: Trapez ABCD

Na slici 1 prikazan je trapez ABCD sa vrhovima A, B, C, D i stranicama AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - osnovice trapeza ABCD.

AD, BC su stranice trapeza ABCD.

Ugao koji formiraju zrake AB i AD naziva se ugao na vrhu A. Označava se kao ÐA ili ÐBAD, ili ÐDAB.

Ugao koji formiraju zrake BA i BC naziva se ugao na vrhu B. Označava se kao ÐB ili ÐABC, ili ÐCBA.

Ugao koji formiraju zrake CB i CD naziva se vršni ugao C. Označava se kao ÐC ili ÐDCB ili ÐBCD.

Ugao koji formiraju zrake AD i CD naziva se vršni ugao D. Označava se kao ÐD ili ÐADC ili ÐCDA.

Slika #2: Trapez ABCD

Na slici 2 se naziva segment MN koji povezuje sredine stranica srednja linija trapeza.

Srednja linija trapeza paralelno sa bazama i jednako njihovom poluzbiru. tj. .

Slika #3: Jednakokraki trapez ABCD

Na slici #3, AD=BC.

Trapez se zove jednakokraki (jednakokraki) ako su njegove strane jednake.

Slika #4: Pravougaoni trapez ABCD

Na slici br. 4, ugao D je ravan (jednak 90°).

Trapez se zove pravougaoni, ako je ugao na bočnoj strani ravan.

Kvadrat S stan figure, kojima pripada i trapez, naziva se omeđeni zatvoreni prostor na ravni. Područje ravne figure pokazuje veličinu ove figure.

Područje ima nekoliko nekretnina:

1. Ne može biti negativan.

2. Ako je data neka zatvorena površina na ravni, koja se sastoji od nekoliko figura koje se međusobno ne seku (tj. figure nemaju zajedničke unutrašnje tačke, ali se mogu dobro dodirivati), tada je površina Takva površina jednaka je zbiru površina njenih sastavnih figura.

3. Ako su dvije figure jednake, onda su njihove površine jednake.

4. Površina kvadrata izgrađenog na jediničnom segmentu jednaka je jedan.

Iza jedinica mjerenja području uzmite površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedinica mjerenja segmentima.

Prilikom rješavanja problema često se koriste sljedeće formule za izračunavanje površine trapeza:

1. Površina trapeza je polovina zbira njegovih osnova pomnoženog njegovom visinom:

2. Površina trapeza jednaka je umnošku njegove srednje linije i visine:

3. Uz poznate dužine baza i stranica trapeza, njegova površina se može izračunati po formuli:

4. Moguće je izračunati površinu jednakokrakog trapeza sa poznatom dužinom polumjera kružnice upisane u trapez i poznatom vrijednošću ugla u osnovi koristeći sljedeću formulu:

Primjer 1: Izračunajte površinu trapeza sa osnovama a=7, b=3 i visinom h=15.

Odluka:

odgovor:

Primjer 2: Naći stranicu osnove trapeza površine S=35 cm 2, visine h=7 cm i druge osnove b = 2 cm.

Odluka:

Da bismo pronašli stranu osnove trapeza, koristimo formulu za izračunavanje površine:

Iz ove formule izražavamo stranu osnove trapeza:

Dakle, imamo sljedeće:

odgovor:

Primjer 3: Odredite visinu trapeza površine S=17 cm2 i osnovice a=30 cm, b=4 cm.

Odluka:

Da bismo pronašli visinu trapeza, koristimo formulu za izračunavanje površine:

Dakle, imamo sljedeće:

odgovor:

Primjer 4: Izračunajte površinu trapeza visine h=24 i srednje linije m=5.

Odluka:

Da biste pronašli površinu trapeza, koristite sljedeću formulu za izračunavanje površine:

Dakle, imamo sljedeće:

odgovor:

Primjer 5: Odredite visinu trapeza površine S = 48 cm 2 i srednje linije m = 6 cm.

Odluka:

Da bismo pronašli visinu trapeza, koristimo formulu za izračunavanje površine trapeza:

Visinu trapeza izražavamo iz ove formule:

Dakle, imamo sljedeće:

odgovor:

Primjer 6: Naći srednju liniju trapeza površine S = 56 i visine h=4.

Odluka:

Da bismo pronašli srednju liniju trapeza, koristimo formulu za izračunavanje površine trapeza:

Iz ove formule izražavamo srednju liniju trapeza:

Dakle, imamo sljedeće.