Zapremina piramide sa pravougaonom osnovom. Volumen pravilne piramide

Dom

Oborinska kanalizacija

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci se odnose na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na web stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i poruke.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Poliedar čija je osnova pravilan trokut, a druge strane jednakokraki trougao naziva se trouglasta piramida.Još jedna takva piramida se zove tetraedar.

Pravilna piramida ima mnoga svojstva koja su izvedena iz njenih sastavnih figura:

Sve strane baze su jednake jedna drugoj, jer je predstavljena pravilnim trouglom;
Sve ivice piramide su takođe jednake jedna drugoj;
Jer svako lice tvori jednakokraki trokut u kojem su ivice jednake, a baze jednake, tada možemo reći da je površina svakog lica ista;
Svi diedarski uglovi u osnovi su jednaki.

Izračunava se kao zbir površina baze i bočnog skeniranja. Također se može pronaći izračunavanjem površine jedne od bočnih strana i baze. Formula za zapreminu trokutaste piramide takođe je izvedena iz svojstava trouglova od kojih se sastoji:

Osnovna površina se izračunava iz formule:

Razmotrimo primjer izračunavanja volumena trokutaste piramide.

Neka je data trouglasta piramida. Stranica osnove je a = 2 cm, a visina h = 2√3. Odrediti zapreminu datog poliedra.
Prvo, pronađimo površinu baze. Da bismo to učinili, zamjenjujemo poznate podatke u gornju formulu:

Sada koristimo pronađenu vrijednost za izračunavanje volumena trokutaste piramide:

Za izračunavanje površine trokutaste piramide može se koristiti i skraćena formula. Kombinira osnovnu površinu i visinu i čita formulu kao trećinu proizvoda površine baze i visine piramide:

Koristeći ovu formulu, važno je striktno pratiti proračune i smanjenja. Jedna mala greška može dovesti do pogrešnog rezultata. Općenito, pronalaženje volumena pravilne trouglaste piramide je vrlo jednostavno.

Definicija piramide

Piramida je poliedar čija je osnova poligon, a lica trouglovi.

Online kalkulator

Piramida ima rebra. Možemo reći da su privučeni tački tzv samit ovu piramidu. Ona osnovu može biti proizvoljan poligon. rub- ovo je lik koji nastaje kao rezultat spajanja dva najbliža ruba sa stranom baze. Lice piramide je trougao. Udaljenost od vrha piramide do sredine stranice baze naziva se apothema. Visina Piramidom se naziva dužina okomice od vrha do centra njene osnove.

Vrste piramida

Postoje sljedeće vrste piramida.

Pravougaona- njegova ivica formira ugao od 90 stepeni sa bazom.
tacno- njegova osnova je neki pravilan poligon, a vrh je projektovan u centar ove baze.
Tetrahedron Piramida sa trouglom u osnovi.

Formule zapremine piramide

Volumen piramide se nalazi na nekoliko načina.

Prema površini osnove i visini piramide

Jednostavno množenje jedne trećine površine baze visinom piramide je njen volumen.

Zapremina piramide prema površini osnove i visini

V = 1 3 ⋅ S glavni ⋅ h V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(main))\cdot hV =3 1 ⋅ S main ⋅ h

S glavni S_(\text(main)) S main - površina osnove piramide;
h h h je visina piramide.

Zadatak 1

Površina osnove piramide je 100 cm 2 100\text( cm)^2 1 0 0 cm2 , a njegova visina je 30 cm 30\tekst( cm) 3 0 cm. Pronađite zapreminu tela.

Odluka

S glavni = 100 S_(\text(main))=100S main = 1 0 0
h=30 h=30 h =3 0

Znamo sve količine, zamjenjujemo njihove numeričke vrijednosti u formulu i nalazimo:

V = 1 3 ⋅ S glavni ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1000 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(main))\cdot h=\frac(1)( 3)\cdot 100\cdot 30=1000\text(cm)^3V =3 1 ⋅ S main ⋅ h =3 1 ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 cm3

Odgovori

1000 cm3. 1000\tekst(cm)^3.1 0 0 0 cm3 .

Formula za zapreminu pravilne trouglaste piramide

Ova metoda je prikladna ako je piramida pravilna i trokutasta.

Volumen pravilne trouglaste piramide

V = h ⋅ a 2 4 3 V=\frac(h\cdot a^2)(4\sqrt(3))V =4 3 h ⋅ a 2

H h h- visina piramide;
aa a

Zadatak 2

Izračunajte zapreminu pravilne trouglaste piramide ako je njena osnova jednakostraničan trokut u kojem je stranica jednaka 5 cm 5\tekst (cm) 5 cm, a visina piramide je 19 cm 19\tekst( cm) 1 9 cm.

Odluka

A=5 a=5 a =5
h=19 h=19 h =1 9

Samo zamijenite ove vrijednosti u formulu za volumen:

V = h ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68,6 cm 3 (4\sqrt(3))\cca 68,6\text( cm)^3V =4 3 h ⋅ a 2 = 4 3 1 9 ⋅ 5 2 ≈ 6 8 . 6 cm3

Odgovori

68,6 cm3. 68,6\tekst(cm)^3.6 8 . 6 cm3 .

Formula za zapreminu pravilne četvorougaone piramide

Zapremina pravilne četvorougaone piramide

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2V =3 1 ⋅ h ⋅a 2

H h h- visina piramide;
aa a strana osnove piramide.

Zadatak 3

Zadata je pravilna četvorougaona piramida. Izračunajte njegovu zapreminu ako je visina 7cm 7\tekst(cm) 7 cm, a strana baze je - 2 cm 2\tekst (cm) 2 cm.

Odluka

A=2 a=2 a =2
h=7 h=7 h =7

Izračunaj prema formuli:

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9,3 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2=\frac(1)(3)\cdot 7\cdot 2^2\približno 9.3\text(cm)^3V =3 1 ⋅ h ⋅a 2 = 3 1 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 cm3

Odgovori

9,3 cm3. 9,3\tekst(cm)^3.9 . 3 cm3 .

Formula zapremine za tetraedar

Zapremina tetraedra

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)V =1 2 2 ⋅ a 3

Aa a je dužina ivice tetraedra.

Zadatak 4

Dužina ivice tetraedra je 13 cm 13\tekst( cm) 1 3 cm. Pronađite njen volumen.

Odluka

A=13 a=13 a =1 3

Zamena aa a u formulu za zapreminu tetraedra:

V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 cm 3 3)(12)\approx259\text(cm)^3V =1 2 2 ⋅ a 3 = 1 2 2 ⋅ 1 3 3 ≈ 2 5 9 cm3

Odgovori

$259\tekst(cm)^3.$

Formula zapremine piramide kao determinanta

Vjerovatno najegzotičniji način izračunavanja zapremine datog tijela.

Neka su vektori na kojima je izgrađena piramida dati kao na stranicama. Tada će njegov volumen biti jednak jednoj šestini mješovitog proizvoda vektora. Potonji je, pak, jednak determinanti sastavljenoj od koordinata ovih vektora. Dakle, ako je piramida izgrađena na tri vektora:

$\vec(a)=(a_x, a_y, a_z)$

tada je zapremina odgovarajuće piramide takva determinanta:

Zapremina piramide kroz determinantu

$V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_\ y )$

Zadatak 5

Odredite zapreminu piramide kroz mješoviti proizvod vektora čije su koordinate: $a = (2, 3, 5), b = (1, 4, 4), c = (3, 5, 7) .$

Odluka

$\vec(a)=(2,3,5)$

prema formuli:

$V=\frac(1)(6)\ cdot\begin(vmatrix) 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot(2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7) =\frac(1)(6)\cdot(56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21)=\frac(1)(6)\cdot(-4)=-\frac(2)(3)\cca-0,7$

Moramo uzeti modul ovog broja, pošto je volumen nenegativna vrijednost:

$V=0,7\text( cm)^3$

Odgovori

$0,7\tekst(cm)^3.$

četvorougaona piramida Poliedar se naziva poliedar čija je osnova kvadrat, a sve bočne strane su identični jednakokraki trouglovi.

Ovaj poliedar ima mnogo različitih svojstava:

Njegova bočna rebra i susedni diedarski uglovi su jednaki jedan drugom;
Područja bočnih strana su ista;
U osnovi pravilne četvorougaone piramide leži kvadrat;
Visina spuštena sa vrha piramide siječe se s točkom presjeka dijagonala baze.

Sva ova svojstva olakšavaju pronalaženje. Međutim, prilično često, pored njega, potrebno je izračunati volumen poliedra. Da biste to učinili, primijenite formulu za volumen četverokutne piramide:

Odnosno, volumen piramide jednak je jednoj trećini proizvoda visine piramide i površine baze. Pošto je jednak proizvodu njegovih jednakih stranica, odmah unosimo formulu kvadratne površine u izraz zapremine.
Razmotrimo primjer izračunavanja volumena četverokutne piramide.

Neka je data četvorougaona piramida u čijoj osnovi leži kvadrat sa stranicom a = 6 cm. Bočna strana piramide je b = 8 cm. Nađite zapreminu piramide.

Da bismo pronašli zapreminu datog poliedra, potrebna nam je dužina njegove visine. Stoga ćemo ga pronaći primjenom Pitagorine teoreme. Prvo izračunajmo dužinu dijagonale. U plavom trouglu to će biti hipotenuza. Također je vrijedno zapamtiti da su dijagonale kvadrata jednake jedna drugoj i podijeljene na pola u točki presjeka:

Sada iz crvenog trougla nalazimo visinu koja nam je potrebna h. Biće jednako:

Zamijenite tražene vrijednosti i pronađite visinu piramide:

Sada, znajući visinu, možemo zamijeniti sve vrijednosti u formuli za volumen piramide i izračunati potrebnu vrijednost:

Tako smo, poznavajući nekoliko jednostavnih formula, mogli izračunati zapreminu pravilne četvorougaone piramide. Ne zaboravite da se ova vrijednost mjeri u kubičnim jedinicama.

Definicija. Bočno lice- ovo je trokut u kojem jedan ugao leži na vrhu piramide, a njegova suprotna strana poklapa se sa stranom baze (poligona).

Definicija. Bočna rebra su zajedničke strane bočnih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko ima uglova u poligonu.

Definicija. visina piramide je okomica spuštena od vrha do osnove piramide.

Definicija. Apothem- ovo je okomita bočna strana piramide, spuštena sa vrha piramide na stranu osnove.

Definicija. Dijagonalni presjek- ovo je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu baze.

Definicija. Ispravna piramida je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina se spušta do centra baze.

Zapremina i površina piramide

Formula. zapremina piramide kroz površinu osnove i visinu:

svojstva piramide

Ako su sve bočne ivice jednake, tada se krug može opisati oko osnove piramide, a središte baze se poklapa sa središtem kružnice. Također, okomica spuštena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).

Ako su sva bočna rebra jednaka, onda su nagnuta prema ravni osnove pod istim uglovima.

Bočna rebra su jednaka kada formiraju jednake uglove sa ravninom osnove ili ako se oko osnove piramide može opisati krug.

Ako su bočne strane nagnute prema ravni osnove pod jednim uglom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide se projektuje u njeno središte.

Ako su bočne strane nagnute u odnosu na osnovnu ravninu pod jednim uglom, onda su apoteme bočnih strana jednake.

Svojstva pravilne piramide

1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.

2. Sve bočne ivice su jednake.

3. Sva bočna rebra su nagnuta pod istim uglovima u odnosu na bazu.

4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.

5. Površine svih bočnih strana su jednake.

6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.

7. Oko piramide se može opisati sfera. Središte opisane sfere bit će presječna tačka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.

8. Sfera se može upisati u piramidu. Središte upisane sfere bit će presječna tačka simetrala koje izlaze iz ugla između ivice i baze.

9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak π ili obrnuto, jedan ugao je jednak π / n, gde je n broj uglova u osnovi piramide.

Veza piramide sa sferom

Sfera se može opisati oko piramide kada u osnovi piramide leži poliedar oko kojeg se može opisati krug (nužan i dovoljan uslov). Centar sfere će biti tačka preseka ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bočnih ivica piramide.

Sfera se uvijek može opisati oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.

Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.

Veza piramide sa konusom

Konus se naziva upisanim u piramidu ako se njihovi vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa upisana u bazu piramide.

Konus se može upisati u piramidu ako su apotemi piramide jednaki.

Za konus se kaže da je opisan oko piramide ako im se vrhovi poklapaju i ako je osnova konusa opisana oko osnove piramide.

Konus se može opisati oko piramide ako su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj.

Veza piramide sa cilindrom

Za piramidu se kaže da je upisana u cilindar ako vrh piramide leži na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana u drugu bazu cilindra.

Cilindar se može opisati oko piramide ako se krug može opisati oko osnove piramide.

Definicija. Krnja piramida (piramidalna prizma)- Ovo je poliedar koji se nalazi između osnove piramide i ravni preseka paralelne bazi. Dakle, piramida ima veliku osnovu i manju bazu koja je slična većoj. Bočne strane su trapezoidne.

Definicija. Trouglasta piramida (tetraedar)- ovo je piramida u kojoj su tri lica i osnova proizvoljni trouglovi.

Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest ivica, pri čemu bilo koje dvije ivice nemaju zajednički vrh ali se ne dodiruju.

Svaki vrh se sastoji od tri lica i ivica koje se formiraju triedarski ugao.

Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se medijana tetraedra(GM).

Bimedijan naziva se segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje se ne dodiruju (KL).

Sve bimedijane i medijane tetraedra seku se u jednoj tački (S). U ovom slučaju, bimedijane su podijeljene na pola, a medijane u omjeru 3:1 počevši od vrha.

Definicija. nagnuta piramida je piramida u kojoj jedna od ivica formira tupi ugao (β) sa bazom.

Definicija. Pravougaona piramida je piramida u kojoj je jedna od bočnih strana okomita na osnovu.

Definicija. Piramida sa oštrim uglom je piramida u kojoj je apotema više od polovine dužine stranice baze.

Definicija. tupa piramida je piramida u kojoj je apotema manja od polovine dužine stranice baze.

Definicija. pravilni tetraedar Tetraedar čija su četiri lica jednakostranični trouglovi. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (između lica) i triedarski uglovi (u vrhu) su jednaki.

Definicija. Pravougaoni tetraedar naziva se tetraedar koji ima pravi ugao između tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trougao a lica su pravougli trougao, a osnova je proizvoljan trougao. Apotema bilo kojeg lica jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.

Definicija. Izoedarski tetraedar Tetraedar se naziva u kojem su bočne strane jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trokut. Lica takvog tetraedra su jednakokraki trouglovi.

Definicija. Ortocentrični tetraedar tetraedar se naziva u kojem se sve visine (okomice) koje se spuštaju od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj tački.

Definicija. zvezdana piramida Poliedar čija je osnova zvijezda naziva se.

Definicija. Bipiramida- poliedar koji se sastoji od dvije različite piramide (piramide se također mogu odsjeći), imaju zajedničku osnovu, a vrhovi leže na suprotnim stranama osnovne ravni.

Sekcije