Dom
Vodomjeri
Kvadratni korijen. Detaljna teorija sa primjerima

Kvadratni korijen. Detaljna teorija sa primjerima


U ovom članku analizirat ćemo glavne svojstva korijena. Počnimo sa svojstvima aritmetičkog kvadratnog korijena, dajmo njihove formulacije i dajmo dokaze. Nakon toga ćemo se pozabaviti osobinama aritmetičkog korijena n-tog stepena.

Navigacija po stranici.

Svojstva kvadratnog korijena

U ovom dijelu ćemo se pozabaviti sljedećim glavnim svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena:

U svakoj od napisanih jednakosti, lijevi i desni dio se mogu zamijeniti, na primjer, jednakost se može prepisati kao . U ovom "obrnutom" obliku, svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena se primjenjuju kada pojednostavljenje izraza jednako često kao iu "direktnom" obliku.

Dokaz prva dva svojstva zasniva se na definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena i na . A da biste opravdali posljednje svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena, morate zapamtiti.

Pa počnimo sa dokaz svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena proizvoda dva nenegativna broja: . Da bismo to učinili, prema definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena, dovoljno je pokazati da je to nenegativan broj čiji je kvadrat jednak a b. Hajde da to uradimo. Vrijednost izraza je nenegativna kao proizvod nenegativnih brojeva. Svojstvo stepena proizvoda dva broja omogućava nam da zapišemo jednakost , i budući da je po definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena i , tada .

Slično, dokazano je da je aritmetički kvadratni korijen proizvoda k nenegativnih faktora a 1 , a 2 , …, a k jednak proizvodu aritmetičkih kvadratnih korijena ovih faktora. Zaista, . Iz ove jednakosti slijedi da .

Evo nekoliko primjera: i .

Sada dokažimo svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena količnika: . Svojstvo prirodnog kvocijenta snage nam omogućava da zapišemo jednakost , a , dok postoji nenegativan broj. Ovo je dokaz.

Na primjer, i .

Vrijeme je za rastavljanje svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena kvadrata broja, u obliku jednakosti piše se kao . Da bismo to dokazali, razmotrimo dva slučaja: za a≥0 i za a<0 .

Očigledno je da je za a≥0 jednakost tačna. Takođe je lako vidjeti da za a<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 i (−a) 2 =a 2 . dakle, , što je trebalo dokazati.

Evo nekoliko primjera: i .

Svojstvo kvadratnog korijena upravo dokazanog omogućava nam da opravdamo sljedeći rezultat, gdje je a bilo koji realan broj, a m bilo koji. Zaista, svojstvo eksponencijacije nam omogućava da zamijenimo stepen a 2 m izrazom (a m) 2 , tada .

Na primjer, i .

Svojstva n-tog korijena

Hajde da prvo navedemo glavne svojstva n-tog korijena:

Sve napisane jednakosti ostaju važeće ako se u njima zamijene lijeva i desna strana. U ovom obliku, oni se također često koriste, uglavnom kada se pojednostavljuju i transformiraju izrazi.

Dokaz svih zvučnih svojstava korena zasniva se na definiciji aritmetičkog korena n-tog stepena, na svojstvima stepena i na definiciji modula broja. Dokažimo ih po prioritetu.

    Počnimo s dokazom svojstva n-tog korijena proizvoda . Za nenegativne a i b, vrijednost izraza je također nenegativna, kao i proizvod nenegativnih brojeva. Svojstvo proizvoda prirodnih snaga omogućava nam da zapišemo jednakost . Po definiciji aritmetičkog korijena n-tog stepena i, prema tome, . Ovo dokazuje razmatrano svojstvo korijena.

    Ovo svojstvo se dokazuje na sličan način za proizvod k faktora: za nenegativne brojeve a 1 , a 2 , …, a n i .

    Evo primjera korištenja svojstva korijena n-tog stupnja proizvoda: i .

    Hajde da dokažemo korijensko svojstvo količnika. Za a≥0 i b>0, uslov je zadovoljen, i .

    Pokažimo primjere: i .

    Idemo dalje. Hajde da dokažemo svojstvo n-tog korijena broja na stepen n. Odnosno, mi ćemo to dokazati za bilo koje realno a i prirodno m . Za a≥0 imamo i , što dokazuje jednakost , i jednakost očigledno. Za<0 имеем и (posljednji prijelaz vrijedi zbog svojstva snage s parnim eksponentom), što dokazuje jednakost , i je tačno zbog činjenice da kada se govori o korijenu neparnog stepena, uzeli smo za bilo koji nenegativan broj c .

    Evo primjera korištenja raščlanjenog korijenskog svojstva: i .

    Dokaz svojstva korijena nastavljamo od korijena. Zamijenimo desni i lijevi dio, odnosno dokazat ćemo valjanost jednakosti , što će značiti valjanost originalne jednakosti. Za nenegativan broj a, kvadratni korijen forme je nenegativan broj. Sjećajući se svojstva podizanja stepena na stepen i koristeći definiciju korijena, možemo napisati lanac jednakosti oblika . Ovo dokazuje razmatrano svojstvo korijena iz korijena.

    Svojstvo korijena iz korijena iz korijena se dokazuje na sličan način, i tako dalje. stvarno, .

    Na primjer, i .

    Dokažimo sljedeće svojstvo redukcije korijenskog eksponenta. Da bismo to učinili, na osnovu definicije korijena, dovoljno je pokazati da postoji nenegativan broj koji je, kada se podigne na stepen od n m, jednak a m ​​. Hajde da to uradimo. Jasno je da ako je broj a nenegativan, onda je n-ti korijen broja a nenegativan broj. Gde , čime je dokaz završen.

    Evo primjera korištenja raščlanjenog korijenskog svojstva: .

    Dokažimo sljedeće svojstvo, svojstvo korijena stepena oblika . Očigledno je da je za a≥0 stepen nenegativan broj. Štaviše, njegov n-ti stepen jednak je a m , zaista, . Ovo dokazuje razmatrano svojstvo stepena.

    Na primjer, .

    Idemo dalje. Dokažimo da za bilo koje pozitivne brojeve a i b za koje je uvjet a , odnosno a≥b . A ovo je u suprotnosti sa uslovom a

    Na primjer, dajemo ispravnu nejednakost .

    Konačno, ostaje dokazati posljednje svojstvo n-tog korijena. Dokažimo prvo prvi dio ovog svojstva, odnosno dokazaćemo da je za m>n i 0 . Zatim, zbog svojstava stepena sa prirodnim eksponentom, nejednakost , odnosno a n ≤ a m . I rezultirajuća nejednakost za m>n i 0

    Slično, kontradiktorno, dokazano je da je za m>n i a>1 uslov zadovoljen.

    Navedimo primjere primjene dokazanog svojstva korijena u konkretnim brojevima. Na primjer, nejednakosti i su tačne.

Bibliografija.

  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne institucije.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
  • Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).

Pogledao sam ponovo u tanjir... I, idemo!

Počnimo s jednostavnim:

Sačekaj minutu. ovo, što znači da to možemo napisati ovako:

Jasno? Evo sljedećeg za vas:

Korijeni rezultirajućih brojeva nisu točno izvučeni? Ne brinite, evo nekoliko primjera:

Ali šta ako ne postoje dva množitelja, već više? Isto! Formula za množenje korijena radi s bilo kojim brojem faktora:

Sada potpuno nezavisni:

odgovori: Dobro urađeno! Slažem se, sve je vrlo lako, glavna stvar je znati tablicu množenja!

Podjela korijena

Shvatili smo množenje korijena, a sada idemo na svojstvo dijeljenja.

Da vas podsjetim da formula općenito izgleda ovako:

A to znači da korijen količnika jednak je količniku korijena.

Pa, pogledajmo primjere:

To je sve nauka. A evo primjera:

Nije sve tako glatko kao u prvom primjeru, ali kao što vidite, nema ništa komplikovano.

Šta ako izraz izgleda ovako:

Vi samo trebate primijeniti formulu u obrnutom smjeru:

A evo primjera:

Možete vidjeti i ovaj izraz:

Sve je isto, samo ovdje morate zapamtiti kako prevesti razlomke (ako se ne sjećate, pogledajte temu i vratite se!). Zapamtite? Sada odlučujemo!

Siguran sam da ste se snašli sa svime, sa svime, a sada da pokušamo da malo ukorijenimo.

Eksponencijacija

Šta se događa ako se kvadratni korijen stavi na kvadrat? Jednostavno je, zapamtite značenje kvadratnog korijena broja - ovo je broj čiji je kvadratni korijen jednak.

Dakle, ako kvadriramo broj čiji je kvadratni korijen jednak, šta ćemo onda dobiti?

Pa, naravno!

Pogledajmo primjere:

Sve je jednostavno, zar ne? A ako je korijen u drugom stepenu? Uredu je!

Držite se iste logike i zapamtite svojstva i moguće radnje s moćima.

Pročitajte teoriju na temu "" i sve će vam postati krajnje jasno.

Na primjer, evo jednog izraza:

U ovom primjeru, stepen je paran, ali šta ako je neparan? Opet, primijenite svojstva snage i faktorirajte sve:

S ovim se čini da je sve jasno, ali kako izvući korijen iz broja u stepenu? Evo, na primjer, ovo:

Prilično jednostavno, zar ne? Šta ako je stepen veći od dva? Slijedimo istu logiku koristeći svojstva stupnjeva:

Pa, je li sve jasno? Zatim riješite svoje primjere:

A evo i odgovora:

Uvod u znak korena

Šta samo nismo naučili da radimo sa korenima! Ostaje samo vježbati unos broja ispod znaka korijena!

Prilično je lako!

Recimo da imamo broj

Šta možemo s tim? Pa, naravno, sakrijte trojku ispod korijena, a zapamtite da je trojka kvadratni korijen!

Zašto nam treba? Da, samo da proširimo naše mogućnosti prilikom rješavanja primjera:

Kako vam se sviđa ovo svojstvo korijena? Olakšava život? Za mene je to tačno! Samo moramo zapamtiti da možemo unijeti samo pozitivne brojeve ispod predznaka kvadratnog korijena.

Isprobajte i sami ovaj primjer:
Jeste li uspjeli? Hajde da vidimo šta bi trebalo da dobijete:

Dobro urađeno! Uspjeli ste unijeti broj ispod korijenskog znaka! Pređimo na nešto jednako važno - razmislite kako uporediti brojeve koji sadrže kvadratni korijen!

Root Comparison

Zašto bismo trebali naučiti upoređivati ​​brojeve koji sadrže kvadratni korijen?

Veoma jednostavno. Često, u velikim i dugim izrazima na koje se susrećemo na ispitu, dobijemo iracionalan odgovor (sjećate li se šta je to? Danas smo već pričali o tome!)

Primljene odgovore moramo postaviti na koordinatnu liniju, na primjer, da odredimo koji je interval pogodan za rješavanje jednadžbe. I tu nastaje zamka: na ispitu nema kalkulatora, a bez njega, kako zamisliti koji je broj veći, a koji manji? To je to!

Na primjer, odredite što je veće: ili?

Nećete reći odmah. Pa, hajde da koristimo raščlanjeno svojstvo dodavanja broja ispod predznaka korena?

Zatim naprijed:

Pa, očito, što je veći broj pod znakom korijena, veći je i sam korijen!

One. ako znači .

Iz ovoga čvrsto zaključujemo da I niko nas neće ubediti u suprotno!

Izdvajanje korijena iz velikih brojeva

Prije toga smo uveli faktor pod znakom korijena, ali kako ga izbaciti? Vi samo trebate to izdvojiti i izdvojiti ono što je izvučeno!

Bilo je moguće ići drugim putem i razložiti se na druge faktore:

Nije loše, zar ne? Bilo koji od ovih pristupa je ispravan, odlučite kako se osjećate ugodno.

Faktoring je vrlo koristan kada se rješavaju takvi nestandardni zadaci kao što je ovaj:

Ne plašimo se, mi delujemo! Svaki faktor pod korijenom rastavljamo na zasebne faktore:

A sada probajte sami (bez kalkulatora! Neće biti na ispitu):

Je li ovo kraj? Ne stajemo na pola puta!

To je sve, nije sve tako strašno, zar ne?

Desilo se? Bravo, u pravu si!

Sada probajte ovaj primjer:

A primjer je tvrd orah, tako da ne možete odmah shvatiti kako da mu pristupite. Ali mi smo, naravno, u zubima.

Pa, hajde da počnemo sa faktorima, hoćemo li? Odmah napominjemo da broj možete podijeliti sa (sjetite se znakova djeljivosti):

A sada, probajte sami (opet, bez kalkulatora!):

Pa, je li uspjelo? Bravo, u pravu si!

Sažimanje

  1. Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) nenegativnog broja je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak.
    .
  2. Ako samo uzmemo kvadratni korijen nečega, uvijek ćemo dobiti jedan nenegativan rezultat.
  3. Svojstva aritmetičkog korijena:
  4. Kada uspoređujete kvadratne korijene, treba imati na umu da što je veći broj pod znakom korijena, veći je i sam korijen.

Kako vam se sviđa kvadratni korijen? Sve jasno?

Pokušali smo da vam bez vode objasnimo sve što trebate znati na ispitu o kvadratnom korijenu.

Tvoj je red. Pišite nam da li vam je ova tema teška ili ne.

Jeste li naučili nešto novo ili je sve već bilo tako jasno.

Pisite u komentare i sretno na ispitima!

Naslov: Samostalni i kontrolni rad iz algebre i geometrije za 8. razred.

Priručnik sadrži samostalni i kontrolni rad na svim najvažnijim temama predmeta algebra i geometrija 8. razreda.

Radovi se sastoje od 6 varijanti po tri nivoa težine. Didaktički materijali su dizajnirani da organizuju diferencirani samostalni rad učenika.

SADRŽAJ
ALGEBRA 4
C-1 Racionalni izraz. Smanjenje frakcija 4
C-2 Sabiranje i oduzimanje razlomaka 5
K-1 Racionalni razlomci. Sabiranje i oduzimanje razlomaka 7
C-3 Množenje i dijeljenje razlomaka. Dizanje razlomka na stepen 10
C-4 Transformacija racionalnih izraza 12
C-5 Inverzna proporcionalnost i njen dijagram 14
K-2 Racionalni razlomci 16
C-6 Aritmetički kvadratni korijen 18
C-7 Jednačina x2 = a. Funkcija y = y[x 20
C-8 Kvadratni korijen proizvoda, razlomak, snaga 22
K-3 Aritmetički kvadratni korijen i njegova svojstva 24
C-9 Umetanje i množenje u kvadratnim korijenima 27
C-10 Pretvaranje izraza koji sadrže kvadratne korijene 28
K-4 Primjena svojstava aritmetičkog kvadratnog korijena 30
C-11 Nepotpune kvadratne jednadžbe 32
C-12 Formula kvadratnog korijena 33
S-13 Rješavanje problema pomoću kvadratnih jednačina. Vietina teorema 34
K-5 Kvadratne jednadžbe 36
C-14 Frakcijske racionalne jednadžbe 38
C-15 Primjena frakcionih racionalnih jednačina. Rješavanje problema 39
K-6 Frakcionalne racionalne jednadžbe 40
C-16 Svojstva numeričkih nejednačina 43
K-7 Numeričke nejednačine i njihova svojstva 44
S-17 Linearne nejednačine sa jednom varijablom 47
S-18 Sistemi linearnih nejednačina 48
K-8 Linearne nejednačine i sistemi nejednačina sa jednom varijablom 50
C-19 Stepen sa negativnim indikatorom 52
K-9 Stepen sa cijelim eksponentom 54
K-10 Godišnji test 56
GEOMETRIJA (Prema Pogorelovu) 58
C-1 Svojstva i karakteristike paralelograma". 58
C-2 Pravougaonik. Rhombus. Kvadrat 60
K-1 paralelogram 62
C-3 Talesova teorema. Srednja linija trougla 63
C-4 Trapez. Srednja linija trapeza 66
K-2 Trapez. Srednje linije trougla i trapeza .... 68
C-5 Pitagorina teorema 70
S-6 Teorema, suprotna Pitagorinoj teoremi. Okomito i koso 71
C-7 Nejednakost trokuta 73
K-3 Pitagorina teorema 74
C-8 Rješavanje pravokutnih trougla 76
C-9 Svojstva trigonometrijskih funkcija 78
K-4 Pravokutni trokut (zbirni test) 80
S-10 Koordinate sredine segmenta. Udaljenost između tačaka. Jednačina kružnice 82
C-11 Jednačina prave linije 84
K-5 Kartezijanske koordinate 86
S-12 Pokret i njegova svojstva. Centralna i aksijalna simetrija. okrenuti 88
C-13. Paralelni prijenos 90
C-14 Koncept vektora. Jednakost vektora 92
C-15 Operacije sa vektorima u koordinatnom obliku. Kolinearni vektori 94
C-16 Operacije sa vektorima u geometrijskom obliku 95
C-17 Tačkasti proizvod 98
K-6 Vektori 99
K-7 Godišnji test 102
GEOMETRIJA (Prema Atanasyanu) 104
C-1 Svojstva i karakteristike paralelograma 104
C-2 Pravougaonik. Rhombus. Kvadrat 106
K-1 četvorouglovi 108
C-3 Površina pravougaonika, kvadrat 109
C-4 Površina paralelograma, romba, trougla 111
C-5 Područje trapeza 113
C-6 Pitagorina teorema 114
K-2 kvadrata. Pitagorina teorema 116
C-7 Definicija sličnih trouglova. Svojstvo simetrale ugla trougla 118
S-8 Znakovi sličnosti trouglova 120
K-3 Sličnost trouglova 122
C-9 Primjena sličnosti na rješavanje problema 124
C-10 Odnosi između stranica i uglova pravouglog trokuta 126
K-4 Primjena sličnosti u rješavanju problema. Odnosi između stranica i uglova pravouglog trougla 128
C-11 Tangenta na kružnicu 130
C-12 Centralni i upisani uglovi 132
C-13 Teorema o proizvodu segmenata tetiva koje se sijeku. Izuzetne tačke trougla 134
C-14 Upisane i opisane kružnice 136
K-5 krug 137
C-15 Vektorsko sabiranje i oduzimanje 139
C-16 Vektorsko množenje brojem 141
C-17 Srednja linija trapeza 142
K-6 Vektori. Primjena vektora na rješavanje problema 144
K-7 Godišnji test 146
ODGOVORI 148
LITERATURA 157


PREDGOVOR .
1. Jedna relativno mala knjiga sadrži kompletan set testova (uključujući i završne testove) za cijeli kurs algebre i geometrije 8. razreda, tako da je dovoljno kupiti jedan komplet knjiga po razredu.
Ispiti su predviđeni za nastavu, samostalan rad - u trajanju od 20-35 minuta, ovisno o temi. Radi lakšeg korištenja knjige, naslov svakog samostalnog i kontrolnog rada odražava njegovu tematiku.

2. Zbirka omogućava diferenciranu kontrolu znanja, budući da su zadaci podeljeni na tri nivoa složenosti A, B i C. Nivo A odgovara obaveznim programskim zahtevima, B - prosečan nivo složenosti, zadaci C nivoa su namenjeni za učenike koji pokazuju povećano interesovanje za matematiku, a takođe i za upotrebu u učionicama, školama, gimnazijama i licejima sa detaljnim proučavanjem matematike. Za svaki nivo date su 2 ekvivalentne opcije jedna pored druge (kako su obično napisane na tabli), tako da je jedna knjiga po stolu dovoljna za lekciju.


Besplatno preuzmite e-knjigu u prikladnom formatu, gledajte i čitajte:
Preuzmite knjigu Samostalni i testni rad iz algebre i geometrije za 8. razred. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, brzo i besplatno preuzimanje.

  • Samostalni i kontrolni rad iz geometrije za 11. razred. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
  • Samostalni i kontrolni rad iz algebre i geometrije za 9. razred. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
  • Samostalni i kontrolni rad iz algebre i geometrije, 8. razred, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013.

\(\sqrt(a)=b\) ako je \(b^2=a\), gdje je \(a≥0,b≥0\)


primjeri:

\(\sqrt(49)=7\) jer \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\),jer \(0.2^2=0.04\)

Kako izvući kvadratni korijen broja?

Da biste izvukli kvadratni korijen broja, morate sebi postaviti pitanje: koji će broj na kvadrat dati izraz ispod korijena?

na primjer. Izdvoj korijen: a)\(\sqrt(2500)\); b) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); c) \(\sqrt(0,001)\); d) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

a) Koji će broj na kvadrat dati \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

b) Koji će broj na kvadrat dati \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

c) Koji će broj na kvadrat dati \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

d) Koji će broj na kvadrat dati \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? Da biste dali odgovor na pitanje, morate prevesti na pogrešan.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Komentar: Iako \(-50\), \(-\frac(2)(3)\) , \(-0,01\),\(- \frac(7)(6)\) također odgovaraju na data pitanja , ali se ne uzimaju u obzir, jer je kvadratni korijen uvijek pozitivan.

Glavno svojstvo korijena

Kao što znate, u matematici, svaka akcija ima inverznu vrijednost. Zbrajanje ima oduzimanje, množenje ima dijeljenje. Suprotno od kvadrature je uzimanje kvadratnog korijena. Stoga se ove radnje međusobno poništavaju:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Ovo je glavno svojstvo root-a, koje se najčešće koristi (uključujući i OGE)

Primjer . (zadatak OGE). Pronađite vrijednost izraza \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Odluka :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Primjer . (zadatak OGE). Pronađite vrijednost izraza \((\sqrt(85)-1)^2\)

Odluka:

odgovor: \(86-2\sqrt(85)\)

Naravno, kada radite s kvadratnim korijenom, morate koristiti druge.

Primjer . (zadatak OGE). Pronađite vrijednost izraza \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Odluka:

odgovor: \(220\)

4 pravila koja se uvijek zaboravljaju

Korijen se ne vadi uvijek


Primjer: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\) itd. - izdvajanje korijena iz broja nije uvijek moguće i to je normalno!


Korijen broja, također broj

Nema potrebe tretirati \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\) na bilo koji poseban način. To su brojevi, ali ne cijeli brojevi, da, ali ne mjeri se sve u našem svijetu cijelim brojevima.


Korijen se uzima samo iz nenegativnih brojeva

Stoga u udžbenicima nećete vidjeti takve stavke \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\) itd.



Sekcije