Opća ideja cijelih brojeva. Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički djelitelj

Dom

Tretman vode

Šta znači cijeli broj

Dakle, razmotrite koji se brojevi nazivaju cijeli brojevi.

Dakle, cijeli brojevi će označavati takve brojeve: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, itd.

Skup prirodnih brojeva je podskup skupa cijelih brojeva, tj. bilo koji prirodan će biti cijeli broj, ali ni jedan cijeli broj nije prirodan broj.

Cjelobrojni pozitivni i cjelobrojni negativni brojevi

Definicija 2

plus.

Brojevi $3, 78, 569, 10450 $ su pozitivni cijeli brojevi.

Definicija 3

su predpisani cijeli brojevi oduzeti.

Brojevi $−3, −78, −569, -10450$ su negativni cijeli brojevi.

Napomena 1

Broj nula se ne odnosi ni na pozitivne ni na negativne cijele brojeve.

Cijeli pozitivni brojevi su cijeli brojevi veći od nule.

Cijeli negativni brojevi su cijeli brojevi manji od nule.

Skup prirodnih cijelih brojeva je skup svih pozitivnih cijelih brojeva, a skup svih suprotnosti prirodnih brojeva je skup svih negativnih cijelih brojeva.

Cjelobrojni nepozitivni i cjelobrojni nenegativni brojevi

Pozivaju se svi pozitivni cijeli brojevi i broj nula cijelih nenegativnih brojeva.

Cjelobrojni nepozitivni brojevi su svi negativni cijeli brojevi i broj $0$.

Napomena 2

Na ovaj način, cijeli nenegativan broj su cijeli brojevi veći od nule ili jednaki nuli, i nepozitivan cijeli broj su cijeli brojevi manji od nule ili jednaki nuli.

Na primjer, nepozitivni cijeli brojevi: $−32, −123, 0, −5$ i nenegativni cijeli brojevi: $54, 123, 0.856 342.$

Opis promjene vrijednosti pomoću cijelih brojeva

Cijeli brojevi se koriste za opisivanje promjena u broju bilo koje stavke.

Razmotrite primjere.

Primjer 1

Pretpostavimo da prodavnica prodaje određeni broj artikala. Kada prodavnica primi $520$ artikala, broj artikala u radnji će se povećati, a broj $520$ pokazuje pozitivnu promjenu u broju. Kada prodavnica proda artikle od 50$, broj artikala u prodavnici će se smanjiti, a broj od 50$ će izraziti negativnu promenu u broju. Ako radnja neće ni donijeti ni prodati robu, tada će broj robe ostati nepromijenjen (tj. možemo govoriti o nultoj promjeni broja).

U gornjem primjeru, promjena u broju robe je opisana pomoću cijelih brojeva $520$, $−50$ i $0$, respektivno. Pozitivna vrijednost cijelog broja $520$ ukazuje na pozitivnu promjenu broja. Negativna vrijednost cijelog broja $−50$ ukazuje na negativnu promjenu broja. Cijeli broj $0$ označava nepromjenjivost broja.

Cijeli brojevi su zgodni za korištenje, jer nije potrebna eksplicitna indikacija povećanja ili smanjenja - predznak cijelog broja ukazuje na smjer promjene, a vrijednost označava kvantitativnu promjenu.

Koristeći cijele brojeve, možete izraziti ne samo promjenu količine, već i promjenu bilo koje vrijednosti.

Razmotrite primjer promjene cijene proizvoda.

Primjer 2

Povećanje cijene, na primjer, za 20$ rubalja izražava se pozitivnim cijelim brojem 20$. Smanjenje cijene, na primjer, za 5$ rubalja opisuje se negativnim cijelim brojem $−5$. Ako nema promjena troškova, tada se takva promjena utvrđuje korištenjem cijelog broja $0$.

Odvojeno, razmotrite vrijednost negativnih cijelih brojeva kao veličinu duga.

Primjer 3

Na primjer, osoba ima 5.000 dolara. Zatim, koristeći pozitivan cijeli broj $5,000$, možete pokazati broj rubalja koje on ima. Osoba mora platiti stanarinu u iznosu od 7.000 dolara, ali nema tu vrstu novca; u ovom slučaju takva situacija se opisuje negativnim cijelim brojem $−7.000 $. U ovom slučaju, osoba ima -7.000$ rubalja, gdje "-" označava dug, a broj 7.000$ pokazuje iznos duga.

Informacije u ovom članku formiraju opću ideju o cijeli brojevi. Prvo se daje definicija cijelih brojeva i daju se primjeri. Zatim se razmatraju cijeli brojevi na brojevnoj liniji, iz kojih postaje jasno koji se brojevi nazivaju pozitivnim cijelim brojevima, a koji negativnim cijelim brojevima. Nakon toga je prikazano kako se promjene u količinama opisuju cijelim brojevima, a negativni cijeli brojevi razmatraju u smislu duga.

Navigacija po stranici.

Cijeli brojevi - definicija i primjeri

Definicija.

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, broj nula, kao i brojevi suprotni prirodnim.

Definicija cijelih brojeva kaže da je bilo koji od brojeva 1, 2, 3, …, broj 0, kao i bilo koji od brojeva −1, −2, −3, … cijeli broj. Sada možemo lako dovesti cjelobrojni primjeri. Na primjer, broj 38 je cijeli broj, broj 70 040 je također cijeli broj, nula je cijeli broj (sjetite se da nula NIJE prirodan broj, nula je cijeli broj), brojevi −999 , −1 , −8 934 832 su također primjeri cijelih brojeva.

Pogodno je sve cijele brojeve predstaviti kao niz cijelih brojeva, koji ima sljedeći oblik: 0, ±1, ±2, ±3, ... Niz cijelih brojeva se može napisati i na sljedeći način: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Iz definicije cijelih brojeva slijedi da je skup prirodnih brojeva podskup skupa cijelih brojeva. Dakle, svaki prirodni broj je cijeli broj, ali nije svaki cijeli broj prirodan broj.

Cijeli brojevi na koordinatnoj liniji

Definicija.

Cjelobrojni pozitivni brojevi su cijeli brojevi koji su veći od nule.

Definicija.

Cjelobrojni negativni brojevi su cijeli brojevi manji od nule.

Cjelobrojni pozitivni i negativni brojevi također se mogu odrediti njihovim položajem na koordinatnoj liniji. Na horizontalnoj koordinatnoj liniji, tačke čije su koordinate pozitivni cijeli brojevi leže desno od početka. Zauzvrat, tačke sa negativnim celobrojnim koordinatama nalaze se levo od tačke O.

Jasno je da je skup svih pozitivnih cijelih brojeva skup prirodnih brojeva. Zauzvrat, skup svih negativnih cijelih brojeva je skup svih brojeva suprotnih prirodnim brojevima.

Zasebno, skrećemo vam pažnju na činjenicu da bilo koji prirodan broj možemo sa sigurnošću nazvati cijelim brojem, a nijedan cijeli broj NE možemo nazvati prirodnim brojem. Prirodnim možemo nazvati samo svaki pozitivan cijeli broj, budući da negativni cijeli brojevi i nula nisu prirodni.

Cjelobrojni nepozitivni i cjelobrojni nenegativni brojevi

Hajde da damo definicije nepozitivnih celih brojeva i nenegativnih celih brojeva.

Definicija.

Pozivaju se svi pozitivni cijeli brojevi zajedno sa nulom cijelih nenegativnih brojeva.

Definicija.

Cjelobrojni nepozitivni brojevi su svi negativni cijeli brojevi zajedno sa brojem 0 .

Drugim riječima, nenegativni cijeli broj je cijeli broj koji je veći ili jednak nuli, a nepozitivan cijeli broj je cijeli broj koji je manji ili jednak nuli.

Primjeri nepozitivnih cijelih brojeva su brojevi -511, -10 030, 0, -2, a kao primjeri nenegativnih cijelih brojeva navedimo brojeve 45, 506, 0, 900 321.

Najčešće se termini "ne-pozitivni cijeli brojevi" i "ne-negativni cijeli brojevi" koriste radi sažetosti. Na primjer, umjesto izraza "broj a je cijeli broj, a a je veći od nule ili jednak nuli", možete reći "a je nenegativan cijeli broj".

Opis promjene vrijednosti pomoću cijelih brojeva

Vrijeme je da razgovaramo o tome čemu služe cijeli brojevi.

Glavna svrha cijelih brojeva je da je uz njihovu pomoć prikladno opisati promjenu broja bilo koje stavke. Hajde da se pozabavimo ovim primerima.

Pretpostavimo da postoji određena količina dijelova na zalihama. Ako se, na primjer, u skladište unese još 400 dijelova, tada će se broj dijelova u skladištu povećati, a broj 400 izražava ovu promjenu količine u pozitivnom smjeru (rast). Ako se na primjer uzme 100 dijelova iz skladišta, tada će se broj dijelova u skladištu smanjiti, a broj 100 će iskazati promjenu količine u negativnom smjeru (u smjeru smanjenja). U skladište se neće unositi dijelovi, niti se dijelovi oduzimati iz skladišta, tada možemo govoriti o nepromjenjivosti broja dijelova (tj. možemo govoriti o nultoj promjeni količine).

U navedenim primjerima, promjena u broju dijelova može se opisati cijelim brojevima 400 , −100 i 0, redom. Pozitivan cijeli broj 400 označava pozitivnu promjenu količine (povećanje). Negativni cijeli broj −100 izražava negativnu promjenu količine (smanjenje). Cijeli broj 0 označava da se količina nije promijenila.

Pogodnost korištenja cijelih brojeva u odnosu na korištenje prirodnih brojeva je u tome što nema potrebe eksplicitno naznačiti da li se količina povećava ili smanjuje – cijeli broj kvantitativno specificira promjenu, a predznak cijelog broja ukazuje na smjer promjene.

Cijeli brojevi također mogu izraziti ne samo promjenu količine, već i promjenu neke vrijednosti. Pozabavimo se ovim na primjeru promjene temperature.

Povećanje temperature za, recimo, 4 stepena izražava se kao pozitivan cijeli broj 4. Smanjenje temperature, na primjer, za 12 stepeni može se opisati negativnim cijelim brojem -12. A invarijantnost temperature je njena promjena, određena cijelim brojem 0.

Odvojeno, mora se reći o tumačenju negativnih cijelih brojeva kao iznosa duga. Na primjer, ako imamo 3 jabuke, tada pozitivni cijeli broj 3 predstavlja broj jabuka koje posjedujemo. S druge strane, ako nekome moramo dati 5 jabuka, a nemamo ih na raspolaganju, onda se ova situacija može opisati negativnim cijelim brojem −5. U ovom slučaju „posjedujemo“ −5 jabuka, znak minus označava dug, a broj 5 kvantificira dug.

Razumijevanje negativnog cijelog broja kao duga omogućava, na primjer, opravdanje pravila za dodavanje negativnih cijelih brojeva. Uzmimo primjer. Ako neko duguje 2 jabuke jednoj osobi i jednu jabuku drugoj, onda je ukupan dug 2+1=3 jabuke, dakle −2+(−1)=−3 .

Bibliografija.

Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.

To cijeli brojevi uključuju prirodne brojeve, nulu i brojeve suprotne prirodnim brojevima.

Integers su pozitivni cijeli brojevi.

Na primjer: 1, 3, 7, 19, 23, itd. Takve brojeve koristimo za brojanje (na stolu je 5 jabuka, auto ima 4 točka, itd.)

Latinsko slovo \mathbb(N) - označeno skup prirodnih brojeva.

Prirodni brojevi ne mogu sadržavati negativne (stolica ne može imati negativan broj nogu) i razlomke (Ivan nije mogao prodati 3,5 bicikla).

Brojevi suprotni prirodnim brojevima su negativni cijeli brojevi: -8, -148, -981, ....

Aritmetičke operacije s cijelim brojevima

Šta možete učiniti s cijelim brojevima? Mogu se međusobno množiti, sabirati i oduzimati. Analizirajmo svaku operaciju na konkretnom primjeru.

Cjelobrojno sabiranje

Dva cijela broja sa istim predznacima se sabiraju na sljedeći način: moduli ovih brojeva se sabiraju i rezultirajućem zbroju prethodi konačni predznak:

(+11) + (+9) = +20

Oduzimanje cijelih brojeva

Dva cijela broja s različitim predznacima dodaju se na sljedeći način: modul manjeg broja oduzima se od modula većeg broja, a ispred odgovora se stavlja predznak većeg broja po modulu:

(-7) + (+8) = +1

Cjelobrojno množenje

Da biste pomnožili jedan cijeli broj drugim, potrebno je pomnožiti module ovih brojeva i staviti znak “+” ispred primljenog odgovora ako su originalni brojevi bili sa istim predznacima i znak “-” ako su originalni brojevi bili sa različitim znakovima:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Trebalo bi zapamtiti sljedeće pravilo množenja cijelog broja:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Postoji pravilo za množenje nekoliko cijelih brojeva. Prisjetimo se:

Znak proizvoda će biti “+” ako je broj faktora sa negativnim predznakom paran i “-” ako je broj faktora sa negativnim predznakom neparan.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Dijeljenje cijelih brojeva

Dijeljenje dva cijela broja vrši se na sljedeći način: modul jednog broja dijeli se s modulom drugog, a ako su predznaci brojeva isti, onda se ispred rezultirajućeg količnika stavlja znak "+". , a ako su predznaci originalnih brojeva različiti, onda se stavlja znak “−”.

(-25) : (+5) = -5

Svojstva sabiranja i množenja cijelih brojeva

Analizirajmo osnovna svojstva sabiranja i množenja za bilo koje cijele brojeve a, b i c:

a + b = b + a - komutativno svojstvo sabiranja;
(a + b) + c \u003d a + (b + c) - asocijativno svojstvo sabiranja;
a \cdot b = b \cdot a - komutativno svojstvo množenja;
(a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- asocijativna svojstva množenja;
a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c je distributivno svojstvo množenja.

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo rezonovanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i sada, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskonačno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je savladan vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u isto vrijeme, ali ne možete utvrditi činjenicu kretanja iz njih (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, pomoći će vam trigonometrija). Ono što želim posebno da istaknem je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Vrlo dobro su razlike između skupa i multiskupa opisane na Wikipediji. Gledamo.

Kao što vidite, "skup ne može imati dva identična elementa", ali ako u skupu postoje identični elementi, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu logiku apsurda. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, u kojem um nema riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta tokom ispitivanja mosta. Ako bi se most srušio, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Koliko god se matematičari krili iza fraze "pamet, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na blagajni i isplaćujemo plate. Ovdje nam dolazi matematičar po svoj novac. Prebrojimo mu cijeli iznos i izložimo ga na našem stolu u različite gomile, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov "matematički skup plata". Objašnjavamo matematiku da će ostatak računa dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, proradiće poslanička logika: "možete to primijeniti na druge, ali ne i na mene!" Dalje će početi uvjeravanja da na novčanicama istog apoena postoje različiti brojevi novčanica, što znači da se ne mogu smatrati identičnim elementima. Pa, računamo platu u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar mahnito prisjetiti fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma za svaki novčić je jedinstven...

A sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je granica iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu.

Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površina polja je ista, što znači da imamo višestruki skup. Ali ako uzmemo u obzir imena istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što možete vidjeti, isti skup elemenata je i skup i višestruki skup u isto vrijeme. Koliko tačno? I ovdje matematičar-šaman-šuler vadi adutskog asa iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna cjelina" ili "nezamislivog kao jedinstvene cjeline".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i koristimo ga, ali oni su šamani za to, da uče svoje potomke svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja". Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula po kojoj možete pronaći zbir cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: "Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj." Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu elementarno.

Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, recimo da imamo broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo sve korake po redu.

1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Konvertovali smo broj u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu primljenu sliku isječemo na nekoliko slika koje sadrže odvojene brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke znakove u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Zbrojite rezultirajuće brojeve. To je matematika.

Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" od šamana koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa stanovišta matematike, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislite o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak razmatrati pod mikroskopom, već smo to uradili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima, zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je kao da bi pronalaženje površine pravokutnika u metrima i centimetrima dalo potpuno drugačije rezultate.

Nula u svim brojevnim sistemima izgleda isto i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da . Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava ono što nije broj? Šta za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Za šamane to mogu dozvoliti, ali za naučnike ne. Realnost nije samo u brojevima.

Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice brojeva. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke radnje ne ovisi o vrijednosti broja, korišćenoj mjernoj jedinici i o tome ko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

Jao! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje neodređene svetosti duša nakon uzašašća na nebo! Nimbus na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole je muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne smatram ovu djevojku budalom koja ne zna fiziku. Ona samo ima lučni stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom brojevnom sistemu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

Važne napomene!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, obrišite keš memoriju. Kako to učiniti u vašem pretraživaču piše ovdje:
2. Prije nego počnete čitati članak, obratite pažnju na naš navigator za najkorisniji resurs za

Da biste MNOGO pojednostavili svoj život kada trebate nešto da izračunate, da osvojite dragocjeno vrijeme na OGE ili USE, da napravite manje glupih grešaka - pročitajte ovaj odjeljak!

Evo šta ćete naučiti:

kako izračunati brže, lakše i preciznije koristećigrupisanje brojevapri sabiranju i oduzimanju,
kako brzo pomnožiti i podijeliti bez grešaka koristeći pravila množenja i kriterije djeljivosti,
kako značajno ubrzati proračune koristeći najmanji zajednički višekratnik(NOC) i najveći zajednički djelitelj(GCD).

Posjedovanje tehnika iz ovog odjeljka može prevrnuti vagu u jednom ili drugom smjeru... bilo da upišete fakultet svojih snova ili ne, vi ili vaši roditelji ćete morati platiti mnogo novca za obrazovanje ili ćete ući u budžet .

Zaronimo odmah u... (Idemo!)

P.S. POSLJEDNJI VRIJEDNI SAVJET...

Mnogo cijeli brojevi sastoji se od 3 dijela:

cijeli brojevi(u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti);
brojevi suprotni prirodnim brojevima(sve će doći na svoje mjesto čim saznate šta su prirodni brojevi);
nula - " " (kuda bez toga?)

slovo Z.

Integers

“Bog je stvorio prirodne brojeve, sve ostalo je djelo ljudskih ruku” (c) njemački matematičar Kronecker.

Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo za brojanje objekata i na tome se zasniva njihova istorija nastanka - potreba za brojanjem strelica, skinova itd.

1, 2, 3, 4...n

slovo N.

Shodno tome, ova definicija ne uključuje (zar ne možete računati čega nema?), a još više ne uključuje negativne vrijednosti (ima li jabuke?).

Osim toga, nisu uključeni svi razlomci (takođe ne možemo reći "imam laptop" ili "Prodao sam automobile")

Bilo koji prirodni broj može se napisati pomoću 10 cifara:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Dakle, 14 nije broj. Ovo je broj. Od kojih se brojeva sastoji? Tako je, od brojeva i.

Dodatak. Grupiranje prilikom zbrajanja radi bržeg brojanja i manje grešaka

Šta zanimljivo možete reći o ovoj proceduri? Naravno, sada ćete odgovoriti "vrijednost sume se ne mijenja preuređivanjem pojmova." Čini se da je primitivno pravilo poznato iz prve klase, međutim, kada se rješavaju veliki primjeri, to odmah zaboravljen!

Ne zaboravi na njegakoristite grupisanje, kako biste olakšali proces brojanja i smanjili vjerovatnoću grešaka, jer nećete imati kalkulator za ispit.

Pogledajte sami koji izraz je lakše dodati?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

Naravno drugi! Iako je rezultat isti. Ali! Uzimajući u obzir drugi način, manje je vjerovatno da ćete pogriješiti i sve ćete uraditi brže!

Dakle, u svom umu razmišljate ovako:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Oduzimanje. Grupisanje prilikom oduzimanja radi bržeg brojanja i manje greške

Prilikom oduzimanja možemo grupirati oduzete brojeve, na primjer:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Što ako se oduzimanje isprepliće sa sabiranjem u primjeru? Možete i grupisati, odgovorit ćete i s pravom. Samo vas molim, ne zaboravite na znakove ispred brojeva, na primjer: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Zapamtite: pogrešno postavljeni znakovi dovest će do pogrešnog rezultata.

Množenje. Kako se umnožiti u svom umu

Očigledno je da se vrijednost proizvoda također neće promijeniti promjenom mjesta faktora:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Neću vam reći da “koristite ovo prilikom rješavanja problema” (i sami ste dobili nagovještaj, zar ne?), već ću vam reći kako da brzo pomnožite neke brojeve u svojoj glavi. Dakle, pažljivo pogledajte tabelu:

I još malo o množenju. Naravno, sećate se dve posebne prilike... Pogodite na šta mislim? Evo o tome:

Oh da, hajde da pogledamo znakove djeljivosti. Ukupno postoji 7 pravila za znakove djeljivosti, od kojih prva 3 već sigurno znate!

Ali ostalo nije nimalo teško zapamtiti.

7 znakova djeljivosti brojeva koji će vam pomoći da brzo prebrojite u svojoj glavi!

Vi, naravno, znate prva tri pravila.
Četvrtu i petu je lako zapamtiti – kada dijelimo sa i gledamo da li je zbir cifara koje čine broj djeljiv sa ovim.
Prilikom dijeljenja obraćamo pažnju na posljednje dvije cifre broja - da li je broj koji oni čine djeljiv?
Kada se dijeli brojem, on mora biti djeljiv sa i sa u isto vrijeme. To je sva mudrost.

Da li sada razmišljate - "zašto mi sve ovo treba"?

Prvo, ispit je bez kalkulatora a ova pravila će vam pomoći da se snađete u primjerima.

I drugo, čuli ste o zadacima GCD i NOC? Poznata skraćenica? Počnimo da pamtimo i razumemo.

Najveći zajednički djelitelj (gcd) - potreban za smanjenje razlomaka i brza izračunavanja

Recimo da imate dva broja: i. Koji je najveći broj djeljiv sa oba ova broja? Odgovorićete bez oklijevanja, jer znate da:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Koji su brojevi u proširenju uobičajeni? Tako je, 2 * 2 = 4. To je bio vaš odgovor. Imajući na umu ovaj jednostavan primjer, nećete zaboraviti algoritam za pronalaženje GCD. Pokušajte to "ugraditi" u svoju glavu. Desilo se?

Da biste pronašli NOD potrebno vam je:

Rastaviti brojeve na proste faktore (na brojeve koji se ne mogu podijeliti ničim drugim osim samim sobom ili, na primjer, 3, 7, 11, 13, itd.).
Pomnožite ih.

Shvaćate li zašto su nam bili potrebni znaci djeljivosti? Tako da pogledate broj i možete početi dijeljenje bez ostatka.

Na primjer, pronađimo GCD brojeva 290 i 485

Prvi broj - .

Gledajući ga, odmah možete reći čime je deljiv, napišimo:

ne možete ga podijeliti na bilo šta drugo, ali možete - i, dobijamo:

290 = 29 * 5 * 2

Uzmimo još jedan broj - 485.

Prema znakovima djeljivosti, mora biti djeljiv sa bez ostatka, jer se završava sa. Mi dijelimo:

Hajde da analiziramo originalni broj.

Ne može se podijeliti sa (zadnja cifra je neparna),
- nije djeljiv sa, tako da ni broj nije djeljiv sa,
također nije djeljiv sa i (zbir cifara u broju nije djeljiv sa i sa)
takođe nije deljiv, jer nije deljiv sa i,
također nije djeljiv sa i zato što nije djeljiv sa i.
ne može se u potpunosti podijeliti

Dakle, broj se može razložiti samo na i.

A sada hajde da nađemo GCD ovi brojevi (i). koji je ovo broj? Ispravno, .

Hoćemo li vježbati?

Zadatak broj 1. Pronađite GCD brojeva 6240 i 6800

1) Odmah dijelim sa, pošto su oba broja 100% djeljiva sa:

Zadatak broj 2. Pronađite GCD brojeva 345 i 324

Ovdje ne mogu brzo pronaći barem jedan zajednički djelitelj, pa samo razlažem na proste faktore (što je manje moguće):

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) - štedi vrijeme, pomaže u rješavanju problema izvan okvira

Recimo da imate dva broja - i. Koji je najmanji broj koji je djeljiv bez traga(tj. potpuno)? Teško je zamisliti? Evo vizuelnog traga za vas:

Sjećate li se šta to pismo znači? Tako je, samo cijeli brojevi. Dakle, koji je najmanji broj koji odgovara x? :

U ovom slučaju.

Iz ovog jednostavnog primjera slijedi nekoliko pravila.

Pravila za brzo pronalaženje NOC-a

Pravilo 1. Ako je jedan od dva prirodna broja djeljiv drugim brojem, tada je veći od ova dva broja njihov najmanji zajednički višekratnik.

Pronađite sljedeće brojeve:

NOK (7;21)
NOK (6;12)
NOK (5;15)
NOC (3;33)

Naravno, lako ste se nosili sa ovim zadatkom i dobili ste odgovore -, i.

Imajte na umu da u pravilu govorimo o DVA broja, ako ima više brojeva, onda pravilo ne funkcionira.

Na primjer, LCM (7;14;21) nije jednak 21, jer se ne može podijeliti bez ostatka sa.

Pravilo 2. Ako su dva (ili više od dva) broja međusobno prosta, tada je najmanji zajednički višekratnik jednak njihovom proizvodu.

naći NOC za sljedeće brojeve:

NOC (1;3;7)
NOC (3;7;11)
NOC (2;3;7)
NOC (3;5;2)

Jeste li brojali? Evo odgovora - , ; .

Kao što razumijete, nije uvijek tako lako uzeti i pokupiti ovaj isti x, tako da za malo složenije brojeve postoji sljedeći algoritam:

Hoćemo li vježbati?

Pronađite najmanji zajednički višekratnik - LCM (345; 234)

Pronađite najmanji zajednički višekratnik (LCM) sami

Koje ste odgovore dobili?

Evo šta mi se desilo:

Koliko vam je trebalo da pronađete NOC? Moje vrijeme je 2 minute, stvarno znam jedan trik, koji predlažem da otvorite odmah!

Ako ste veoma pažljivi, onda ste verovatno primetili da smo za date brojeve već tražili GCD i mogli biste uzeti faktorizaciju ovih brojeva iz tog primjera, čime biste pojednostavili svoj zadatak, ali to je daleko od svega.

Pogledajte sliku, možda vam padne na pamet još neka razmišljanja:

Pa? Dat ću vam savjet: pokušajte umnožiti NOC i GCD između sebe i zapišite sve faktore koji će biti pri množenju. Jeste li uspjeli? Trebali biste završiti s ovakvim lancem:

Pogledajte to izbliza: uporedite faktore sa načinom na koji se i razlažu.

Kakav zaključak možete izvući iz ovoga? Ispravno! Ako pomnožimo vrijednosti NOC i GCD između sebe, onda dobijamo proizvod ovih brojeva.

Shodno tome, imaju brojeve i značenje GCD(ili NOC), možemo pronaći NOC(ili GCD) na sljedeći način:

1. Pronađite proizvod brojeva:

2. Dobiveni proizvod podijelimo našim GCD (6240; 6800) = 80:

To je sve.

Napišimo pravilo u opštem obliku:

Pokusaj naci GCD ako se zna da:

Jeste li uspjeli? .

Negativni brojevi - "lažni brojevi" i njihovo prepoznavanje od strane čovječanstva.

Kao što ste već shvatili, ovo su brojevi suprotni prirodnim, odnosno:

Negativni brojevi se mogu sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti – baš kao prirodni brojevi. Čini se da su tako posebni? Ali činjenica je da su negativni brojevi “osvojili” svoje pravo mjesto u matematici sve do 19. vijeka (do tog trenutka je postojala ogromna kontroverza da li postoje ili ne).

Sam negativan broj nastao je zbog takve operacije s prirodnim brojevima kao što je "oduzimanje". Zaista, oduzmite od - to je negativan broj. Zato se skup negativnih brojeva često naziva „produženjem skupa prirodni brojevi».

Negativne brojeve ljudi dugo nisu prepoznavali. Dakle, Stari Egipat, Babilon i Stara Grčka - svjetla svog vremena, nisu prepoznavali negativne brojeve, a u slučaju dobivanja negativnih korijena u jednadžbi (na primjer, kao što imamo), korijeni su odbačeni kao nemogući.

Prvi put negativni brojevi su dobili pravo na postojanje u Kini, a potom u 7. veku u Indiji. Šta mislite o ovom priznanju? Tako je, negativni brojevi počeli su označavati dugove (inače - nestašice). Vjerovalo se da su negativni brojevi privremena vrijednost, koja će se kao rezultat promijeniti u pozitivnu (to jest, novac će se i dalje vraćati kreditoru). Međutim, indijski matematičar Brahmagupta je već tada smatrao negativne brojeve ravnopravno s pozitivnim.

U Evropi je korisnost negativnih brojeva, kao i činjenica da oni mogu označiti dug, došla mnogo kasnije, odnosno milenijumom. Prvi pomen je viđen 1202. godine u „Knjizi o abakusu“ Leonarda iz Pize (odmah kažem da autor knjige nema nikakve veze sa Krivim tornjem u Pizi, ali su Fibonačijevi brojevi njegovo delo ( nadimak Leonarda iz Pize je Fibonači)). Nadalje, Evropljani su došli do zaključka da negativni brojevi mogu značiti ne samo dugove, već i nedostatak nečega, međutim, nisu svi to prepoznali.

Dakle, u XVII veku, Paskal je to verovao. Šta mislite kako je to opravdao? Tako je, "ništa ne može biti manje od NIŠTA". Odjek tih vremena ostaje činjenica da su negativni broj i operacija oduzimanja označeni istim simbolom - minus "-". I istina: . Da li je broj " " pozitivan, koji se oduzima, ili negativan, koji se dodaje? ... Nešto iz serije "šta je prvo: kokoška ili jaje?" Evo takve vrste ove matematičke filozofije.

Negativni brojevi su osigurali svoje pravo na postojanje pojavom analitičke geometrije, drugim riječima, kada su matematičari uveli nešto poput realne ose.

Od tog trenutka je došla jednakost. Međutim, i dalje je bilo više pitanja nego odgovora, na primjer:

proporcija

Ova proporcija se naziva Arnoov paradoks. Razmislite o tome, šta je tu sumnjivo?

Hajde da razgovaramo zajedno " " više od " " zar ne? Dakle, po logici, lijeva strana proporcije bi trebala biti veća od desne, ali su jednake... Ovdje je paradoks.

Kao rezultat toga, matematičari su se složili da je Karl Gauss (da, da, to je onaj koji je razmatrao zbir (ili) brojeva) 1831. godine stavio tačku na to - rekao je da negativni brojevi imaju ista prava kao i pozitivni, a to što ne važe za sve stvari ne znači ništa, jer razlomci ne važe ni za mnoge stvari (ne dešava se da kopač iskopa rupu, ne možete kupiti kartu za bioskop itd.).

Matematičari su se smirili tek u 19. veku, kada su teoriju negativnih brojeva stvorili Vilijam Hamilton i Herman Grasman.

Eto koliko su oni kontroverzni, ti negativni brojevi.

Pojava "praznine", ili biografija nule.

U matematici, poseban broj. Na prvi pogled, ovo nije ništa: dodajte, oduzmite - ništa se neće promijeniti, ali samo morate to pripisati pravu na "", a rezultirajući broj će biti višestruko veći od originalnog. Množenjem sa nulom sve pretvaramo u ništa, ali ne možemo dijeliti s "ništa". Jednom riječju, magični broj)

Istorija nule je duga i komplikovana. Trag nule nalazi se u spisima Kineza 2000. godine nove ere. a još ranije kod Maja. Prva upotreba simbola nule, kakav je danas, viđena je među grčkim astronomima.

Postoji mnogo verzija zašto je odabrana takva oznaka "ništa". Neki istoričari su skloni vjerovanju da se radi o omikronu, tj. Prvo slovo grčke riječi za ništa je ouden. Prema drugoj verziji, riječ "obol" (kovanica gotovo bez vrijednosti) dala je život simbolu nule.

Nula (ili nula) kao matematički simbol se prvi put pojavljuje među Indijancima (imajte na umu da su se negativni brojevi tamo počeli „razvijati“). Prvi pouzdani dokazi o pisanju nule datiraju iz 876, a u njima je "" komponenta broja.

I nula je u Evropu došla sa zakašnjenjem - tek 1600. godine, i kao i negativni brojevi, naišla je na otpor (šta da se radi, oni su Evropljani).

„Nulu su često mrzili, plašili se ili čak zabranjivali od pamtivijeka“, piše američki matematičar Charles Seif. Dakle, turski sultan Abdul-Hamid II krajem 19. vijeka. naredio je svojim cenzorima da izbrišu formulu vode H2O iz svih udžbenika hemije, uzimajući slovo "O" za nulu i ne želeći da njegovi inicijali budu klevetani zbog blizine prezrene nule.

Na internetu možete pronaći frazu: „Nula je najmoćnija sila u svemiru, može sve! Nula stvara red u matematici, a unosi i haos u nju. Potpuno tačna poenta :)

Sažetak odjeljka i osnovne formule

Skup cijelih brojeva sastoji se od 3 dijela:

prirodni brojevi (u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti);
brojevi suprotni prirodnim;
nula - " "

Skup cijelih brojeva je označen slovo Z.

1. Prirodni brojevi

Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo za brojanje objekata.

Skup prirodnih brojeva je označen slovo N.

U operacijama s cijelim brojevima, trebat će vam sposobnost da pronađete GCD i LCM.

Najveći zajednički djelitelj (GCD)

Da biste pronašli NOD potrebno vam je:

Rastaviti brojeve na proste faktore (na brojeve koji se ne mogu podijeliti ničim drugim osim samim sobom ili, na primjer, itd.).
Zapišite faktore koji su dio oba broja.
Pomnožite ih.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Da biste pronašli NOC potrebno vam je:

Faktorizujte brojeve u proste faktore (to već znate vrlo dobro).
Napišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva (bolje je uzeti najduži lanac).
Dodajte im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva.
Pronađite proizvod rezultirajućih faktora.

2. Negativni brojevi

To su brojevi koji su suprotni prirodnim brojevima, odnosno:

Sada želim da čujem od tebe...

Nadam se da ste cijenili super-korisne "trikove" ovog odjeljka i shvatili kako će vam oni pomoći na ispitu.

I što je još važnije, u životu. Ne govorim o tome, ali vjerujte mi, ovaj jeste. Sposobnost brzog brojanja i bez grešaka spašava u mnogim životnim situacijama.

Sada je tvoj red!

Napišite, hoćete li u proračunima koristiti metode grupisanja, kriterije djeljivosti, GCD i LCM?

Možda ste ih već koristili? Gdje i kako?

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Napišite u komentarima kako vam se sviđa članak.

I sretno na ispitima!

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sada najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan položen ispit, za upis na institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se otvoriti odmah.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.

“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Sekcije