Kinetička energija rotirajućeg tijela. Kinetička energija tokom rotacionog kretanja

Dom

bunari

Kinetička energija je aditivna veličina. Dakle, kinetička energija tijela koje se kreće na proizvoljan način jednaka je zbiru kinetičkih energija svih n materijalnih tačaka na koje se ovo tijelo može mentalno podijeliti:

Ako se tijelo rotira oko fiksne ose z ugaonom brzinom , tada je linearna brzina i-te tačke , Ri je udaljenost do ose rotacije. dakle,

Upoređujući i može se vidjeti da je moment inercije tijela I mjera inercije pri rotacionom kretanju, kao što je masa m mjera inercije pri translatornom kretanju.

U opštem slučaju, kretanje krutog tela može se predstaviti kao zbir dva kretanja - translacionog sa brzinom vc i rotacionog sa ugaonom brzinom ω oko trenutne ose koja prolazi kroz centar inercije. Zatim ukupna kinetička energija ovog tijela

Ovdje je Ic moment inercije oko trenutne ose rotacije koja prolazi kroz centar inercije.

Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja.

Dinamika rotacije

Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja:

ili M=Je, gdje je M moment sile M=[ r F ] , J - moment inercije je moment impulsa tijela.

ako je M(eksterno)=0 - zakon održanja ugaonog momenta. - kinetička energija rotirajućeg tijela.

rotacioni rad.

Zakon održanja ugaonog momenta.

Ugaoni moment (moment) materijalne tačke A u odnosu na fiksnu tačku O je fizička veličina određena vektorskim proizvodom:

gdje je r radijus vektor povučen od tačke O do tačke A, p=mv je impuls materijalne tačke (slika 1); L je pseudovektor čiji se smjer poklapa sa smjerom translacijskog kretanja desnog vijka tokom njegove rotacije od r do p.

Modul vektora momenta

gdje je α ugao između vektora r i p, l je rame vektora p u odnosu na tačku O.

Ugaoni moment u odnosu na fiksnu osu z je skalarna vrijednost Lz, koja je jednaka projekciji na ovu osu vektora ugaonog momenta, definiranog u odnosu na proizvoljnu tačku O ove ose. Ugaoni moment Lz ne zavisi od položaja tačke O na osi z.

Kada se apsolutno kruto tijelo rotira oko fiksne ose z, svaka tačka tijela kreće se duž kružnice konstantnog polumjera ri brzinom vi. Brzina vi i zamah mivi su okomiti na ovaj poluprečnik, tj. radijus je krak vektora mivi. Dakle, možemo napisati da je ugaoni moment pojedinačne čestice

a usmjeren je duž ose u smjeru određenom pravilom desnog vijka.

Moć kretanja krutog tijela u odnosu na osu je zbir impulsa pojedinih čestica:

Koristeći formulu vi = ωri, dobijamo

Dakle, ugaoni moment krutog tijela oko ose jednak je momentu inercije tijela oko iste ose, pomnoženom s ugaonom brzinom. Izdiferencirajmo jednačinu (2) s obzirom na vrijeme:

Ova formula je još jedan oblik jednadžbe dinamike rotacijskog kretanja krutog tijela oko fiksne ose: derivacija ugaonog momenta krutog tijela oko ose jednaka je momentu sila oko iste ose.

Može se pokazati da vrijedi vektorska jednakost

U zatvorenom sistemu, moment spoljnih sila je M = 0 i odakle

Izraz (4) je zakon održanja ugaonog momenta: ugaoni moment zatvorenog sistema je očuvan, tj. ne menja se tokom vremena.

Zakon održanja ugaonog momenta kao i zakon održanja energije je osnovni zakon prirode. Povezuje se sa svojstvom simetrije prostora - njegovom izotropijom, tj. sa invarijantnošću fizičkih zakona u odnosu na izbor pravca koordinatnih osa referentnog sistema (u odnosu na rotaciju zatvorenog sistema u prostoru za bilo koji ugao).

Ovdje ćemo demonstrirati zakon održanja ugaonog momenta koristeći klupu Žukovskog. Osoba koja sjedi na klupi, rotira oko vertikalne ose i drži bučice u ispruženim rukama (slika 2), rotira se vanjskim mehanizmom ugaonom brzinom ω1. Ako osoba pritisne bučice na tijelo, tada će se moment inercije sistema smanjiti. Ali moment vanjskih sila jednak je nuli, ugaoni moment sistema je očuvan, a ugaona brzina rotacije ω2 raste. Slično, gimnastičar, skačući preko glave, privlači ruke i noge uz tijelo kako bi smanjio svoj moment inercije i time povećao kutnu brzinu rotacije.

Pritisak u tečnosti i gasu.

Molekule plina, praveći kaotično, haotično kretanje, nisu vezane ili prilično slabo vezane silama interakcije, zbog čega se kreću gotovo slobodno i, kao rezultat sudara, raspršuju se u svim smjerovima, dok ispunjavaju cijeli volumen koji im se pruža, tj. zapreminu gasa određuje zapremina posude koju zauzima gas.

A tečnost, koja ima određenu zapreminu, poprima oblik posude u kojoj je zatvorena. Ali za razliku od gasova u tečnostima, prosečna udaljenost između molekula ostaje u proseku konstantna, tako da tečnost ima skoro nepromenjenu zapreminu.

Svojstva tečnosti i gasova su veoma različita na mnogo načina, ali u nekoliko mehaničkih pojava njihova svojstva su određena istim parametrima i identičnim jednačinama. Iz tog razloga, hidroaeromehanika je grana mehanike koja proučava ravnotežu i kretanje gasova i tečnosti, interakciju između njih i između čvrstih tela koja teku oko njih, tj. primjenjuje se jedinstven pristup proučavanju tekućina i plinova.

U mehanici se tečnosti i gasovi sa visokim stepenom tačnosti smatraju neprekidnim, neprekidno raspoređenim u delu prostora koji zauzimaju. U gasovima, gustina značajno zavisi od pritiska. Utvrđeno iz iskustva. da se kompresibilnost tečnosti i gasa često može zanemariti i preporučljivo je koristiti jedan koncept - nestišljivost tečnosti - tečnosti sa istom gustinom svuda, koja se ne menja tokom vremena.

Stavljamo ga u tanku ploču u mirovanju, kao rezultat toga, dijelovi tekućine koji se nalaze na suprotnim stranama ploče će djelovati na svaki od njegovih elemenata ΔS sa silama ΔF, koje će biti jednake apsolutnoj vrijednosti i usmjerene okomito na mjesto ΔS, bez obzira na orijentaciju mjesta, inače bi prisustvo tangencijalnih sila pokrenulo čestice tečnosti (slika 1)

Fizička veličina određena normalnom silom koja djeluje sa strane tekućine (ili plina) po jedinici površine naziva se tlak p / tekućina (ili plin): p=ΔF / ΔS.

Jedinica za pritisak je paskal (Pa): 1 Pa je jednak pritisku koji stvara sila od 1 N, koja je ravnomerno raspoređena na površini od 1 m2 normalno na nju (1 Pa = 1 N/m2).

Pritisak u ravnoteži tečnosti (gasova) podleže Pascalovom zakonu: pritisak na bilo kom mestu fluida koji miruje je isti u svim pravcima, a pritisak se podjednako prenosi na celu zapreminu koju zauzima fluid u mirovanju.

Hajde da istražimo uticaj težine fluida na raspodelu pritiska unutar stacionarne nestišljive tečnosti. Kada je tečnost u ravnoteži, pritisak duž bilo koje horizontalne linije je uvek isti, inače ne bi bilo ravnoteže. To znači da je slobodna površina fluida u mirovanju uvijek horizontalna (ne uzimamo u obzir privlačenje fluida zidovima posude). Ako je fluid nestišljiv, tada je gustina fluida nezavisna od pritiska. Tada je sa poprečnim presekom S stuba tečnosti, njegovom visinom h i gustinom ρ, težina P=ρgSh, dok je pritisak na donju osnovu: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

tj. pritisak se mijenja linearno sa visinom. Pritisak ρgh se naziva hidrostatički pritisak.

Prema formuli (1), sila pritiska na donje slojeve tečnosti bit će veća nego na gornje, stoga na tijelo uronjeno u tekućinu (gas) djeluje sila određena Arhimedovim zakonom: plutajući prema gore sila jednaka težini tečnosti (gasa) koju istisne telo: FA=ρgV, gde je ρ gustina tečnosti, V zapremina tela uronjenog u tečnost.

« fizika - 10. razred

Zašto se klizač rasteže duž ose rotacije da bi povećao ugaonu brzinu rotacije.
Da li helikopter treba da se okreće kada mu se rotira propeler?

Postavljena pitanja sugeriraju da ako vanjske sile ne djeluju na tijelo ili se njihovo djelovanje kompenzira i jedan dio tijela počne da se okreće u jednom smjeru, onda se drugi dio mora okretati u drugom smjeru, baš kao kada se gorivo izbacuje iz raketa, sama raketa se kreće u suprotnom smjeru.

moment impulsa.

Ako uzmemo u obzir rotirajući disk, postaje očigledno da je ukupni impuls diska jednak nuli, budući da bilo kojoj čestici tijela odgovara čestica koja se kreće jednakom brzinom po apsolutnoj vrijednosti, ali u suprotnom smjeru (slika 6.9).

Ali disk se kreće, ugaona brzina rotacije svih čestica je ista. Međutim, jasno je da što je čestica dalje od ose rotacije, to je veći njen impuls. Stoga je za rotacijsko kretanje potrebno uvesti još jednu karakteristiku, sličnu impulsu, - ugaoni moment.

Ugaoni moment čestice koja se kreće po kružnici je proizvod impulsa čestice i udaljenosti od nje do ose rotacije (slika 6.10):

Linearne i ugaone brzine su, dakle, povezane sa v = ωr

Sve tačke krute materije kreću se u odnosu na fiksnu os rotacije istom ugaonom brzinom. Kruto tijelo se može predstaviti kao skup materijalnih tačaka.

Ugaoni moment krutog tijela jednak je proizvodu momenta inercije i ugaone brzine rotacije:

Ugaoni moment je vektorska veličina, prema formuli (6.3), ugaoni moment je usmjeren na isti način kao i kutna brzina.

Osnovna jednadžba dinamike rotacionog kretanja u impulsivnom obliku.

Ugaono ubrzanje tijela jednako je promjeni ugaone brzine podijeljenoj s vremenskim intervalom tokom kojeg se ta promjena dogodila: Zamijenite ovaj izraz u osnovnu jednačinu za dinamiku rotacionog kretanja dakle I(ω 2 - ω 1) = MΔt, ili IΔω = MΔt.

dakle,

∆L = M∆t. (6.4)

Promjena ugaonog momenta jednaka je proizvodu ukupnog momenta sila koje djeluju na tijelo ili sistem i vremena djelovanja tih sila.

Zakon održanja ugaonog momenta:

Ako je ukupan moment sila koje djeluju na tijelo ili sistem tijela sa fiksnom osom rotacije jednak nuli, tada je i promjena ugaonog momenta jednaka nuli, odnosno ugaoni moment sistema ostaje konstantan.

∆L=0, L=konst.

Promjena količine gibanja sistema jednaka je ukupnom impulsu sila koje djeluju na sistem.

Klizač koji se okreće raširi ruke u stranu, čime se povećava moment inercije kako bi se smanjila kutna brzina rotacije.

Zakon održanja ugaonog momenta može se demonstrirati korištenjem sljedećeg eksperimenta, nazvanog "eksperiment sa klupom Žukovskog". Osoba stoji na klupi sa okomitom osom rotacije koja prolazi kroz njen centar. Čovjek u rukama drži bučice. Ako je klupa napravljena da se rotira, tada osoba može promijeniti brzinu rotacije pritiskom bučica na prsa ili spuštanjem ruku, a zatim ih raširivši. Raširivši ruke, on povećava moment inercije, a kutna brzina rotacije se smanjuje (slika 6.11, a), spuštajući ruke, smanjuje moment inercije, a kutna brzina rotacije klupe se povećava (sl. 6.11, b).

Osoba također može natjerati klupu da se okreće hodajući duž njene ivice. U tom slučaju, klupa će se rotirati u suprotnom smjeru, budući da ukupni ugaoni moment mora ostati jednak nuli.

Princip rada uređaja koji se nazivaju žiroskopi zasniva se na zakonu održanja ugaonog momenta. Glavno svojstvo žiroskopa je očuvanje smjera osi rotacije, ako vanjske sile ne djeluju na ovu os. U 19. vijeku žiroskope su navigatori koristili za navigaciju morem.

Kinetička energija rotirajućeg krutog tijela.

Kinetička energija rotirajućeg čvrstog tijela jednaka je zbiru kinetičkih energija njegovih pojedinačnih čestica. Podijelimo tijelo na male elemente, od kojih se svaki može smatrati materijalnom tačkom. Tada je kinetička energija tijela jednaka zbiru kinetičkih energija materijalnih tačaka od kojih se sastoji:

Ugaona brzina rotacije svih tačaka tela je ista, dakle,

Vrijednost u zagradi, kao što već znamo, je moment inercije krutog tijela. Konačno, formula za kinetičku energiju krutog tijela s fiksnom osom rotacije ima oblik

U opštem slučaju kretanja krutog tela, kada je os rotacije slobodna, njegova kinetička energija jednaka je zbiru energija translacionog i rotacionog kretanja. Dakle, kinetička energija točka, čija je masa koncentrisana u obodu, koji se kotrlja duž puta konstantnom brzinom, jednaka je

U tabeli se porede formule mehanike translacionog kretanja materijalne tačke sa sličnim formulama za rotaciono kretanje krutog tela.

Zadaci

1. Odrediti koliko je puta efektivna masa veća od gravitacione mase voza mase 4000 tona, ako je masa točkova 15% mase voza. Zamislite točkove kao diskove prečnika 1,02 m. Kako će se promeniti odgovor ako je prečnik točkova upola manji?

2. Odredite ubrzanje s kojim se par kotača mase 1200 kg kotrlja niz brdo s nagibom od 0,08. Smatrajte točkove kao diskove. Koeficijent otpora kotrljanja 0,004. Odredite silu prianjanja točkova na šine.

3. Odrediti ubrzanje s kojim se kotarski par mase 1400 kg kotrlja uzbrdo sa nagibom od 0,05. Koeficijent otpora 0,002. Koliki bi trebao biti koeficijent prianjanja da kotači ne bi proklizali. Smatrajte točkove kao diskove.

4. Odrediti ubrzanje kojim se vagon mase 40 tona kotrlja niz brdo nagiba 0,020 ako ima osam kotača teških 1200 kg i prečnika 1,02 m. Odrediti silu prianjanja točkova za šine. Koeficijent otpora 0,003.

5. Odrediti silu pritiska kočionih papučica na gume, ako voz težak 4000 tona usporava ubrzanjem od 0,3 m/s 2 . Moment inercije jednog para kotača je 600 kg m 2, broj osovina je 400, koeficijent trenja klizanja bloka je 0,18, koeficijent otpora kotrljanja je 0,004.

6. Odrediti kočnu silu koja djeluje na četveroosovinski vagon mase 60 tona na kočionu pločicu ranžirnog kolodvora ako se brzina na stazi od 30 m smanji sa 2 m/s na 1,5 m/s. Moment inercije jednog para kotača je 500 kg m 2 .

7. Brzinomjer lokomotive pokazao je povećanje brzine voza u roku od jedne minute sa 10 m/s na 60 m/s. Vjerovatno je došlo do proklizavanja prednjeg para kotača. Odrediti moment sila koje djeluju na armaturu elektromotora. Moment inercije osovine 600 kg m 2 , ankera 120 kg m 2 . Omjer prijenosa zupčanik 4.2. Sila pritiska na šine je 200 kN, koeficijent trenja klizanja točkova duž šine je 0,10.

11. KINETIČKA ENERGIJA ROTATORA

KRETANJA

Izvodimo formulu za kinetičku energiju rotacionog kretanja. Neka tijelo rotira ugaonom brzinom ω oko fiksne ose. Bilo koja mala čestica tijela vrši translacijsko kretanje u krugu brzinom , gdje r i - udaljenost do ose rotacije, radijus orbite. Kinetička energija čestice mase m i je jednako . Ukupna kinetička energija sistema čestica jednaka je zbiru njihovih kinetičkih energija. Zbrojimo formule za kinetičku energiju čestica tijela i izvadimo iz predznaka zbira polovinu kvadrata ugaone brzine, koja je ista za sve čestice, . Zbir proizvoda masa čestica i kvadrata njihovih udaljenosti do ose rotacije je moment inercije tela oko ose rotacije . dakle, kinetička energija tijela koje rotira oko fiksne ose jednaka je polovini umnoška momenta inercije tijela oko ose i kvadrata ugaone brzine rotacije:

Rotirajuća tijela mogu skladištiti mehaničku energiju. Takva tijela se nazivaju zamašnjaci. Obično su to tijela revolucije. Upotreba zamašnjaka u grnčarskom točku poznata je još od antike. Kod motora sa unutrašnjim sagorevanjem, klip za vreme hoda predaje mehaničku energiju zamašnjaku, koji zatim obavlja rad na rotaciji osovine motora u sledeća tri ciklusa. U pečatima i prešama, zamašnjak pokreće elektromotor relativno male snage, akumulira mehaničku energiju za gotovo cijeli okret i u kratkom trenutku udara daje je radu štancanja.

Brojni su pokušaji korištenja rotirajućih zamašnjaka za pogon vozila: automobila, autobusa. Zovu se mahomobili, žiro nosači. Stvoreno je mnogo takvih eksperimentalnih mašina. Bilo bi obećavajuće koristiti zamašnjake za skladištenje energije prilikom kočenja električnih vozova kako bi se akumulirana energija iskoristila prilikom naknadnog ubrzanja. Poznato je da se skladište energije zamašnjaka koristi u vozovima podzemne željeznice u New Yorku.

Mehanika.

Pitanje 1

Referentni sistem. Inercijski referentni sistemi. Galileo-Einsteinov princip relativnosti.

referentni sistem- ovo je skup tijela u odnosu na koji se opisuje kretanje datog tijela i koordinatni sistem koji je s njim povezan.

Inercijski referentni sistem (ISO)- sistem u kojem tijelo koje se slobodno kreće miruje ili ravnomjerno pravolinijsko.

Galileo-Einsteinov princip relativnosti- Svi fenomeni prirode u bilo kom inercijalnom referentnom okviru javljaju se na isti način i imaju isti matematički oblik. Drugim riječima, svi ISO-ovi su jednaki.

Pitanje #2

Jednačina kretanja. Vrste kretanja krutog tijela. Glavni zadatak kinematike.

Jednačine kretanja materijalne tačke:

- kinematička jednačina kretanja

Vrste kretanja krutog tijela:

1) Translacijsko kretanje - svaka prava linija povučena u tijelu kreće se paralelno sa sobom.

2) Rotaciono kretanje - bilo koja tačka tela se kreće u krug.

φ = φ(t)

Glavni zadatak kinematike- ovo je dobijanje vremenskih zavisnosti brzine V= V(t) i koordinata (ili radijus vektora) r = r(t) materijalne tačke iz poznate vremenske zavisnosti njenog ubrzanja a = a(t) i poznati početni uslovi V 0 i r 0 .

Pitanje #7

Puls (Broj pokreta) je vektorska fizička veličina koja karakteriše meru mehaničkog kretanja tela. U klasičnoj mehanici, impuls tijela jednak je proizvodu mase m ovo ukazuje na njegovu brzinu v, smjer zamaha se poklapa sa smjerom vektora brzine:

U teorijskoj mehanici generalizovani zamah je parcijalni izvod Lagranžiana sistema u odnosu na generalizovanu brzinu

Ako Lagranžijan sistema ne zavisi od nekog generalizovana koordinata, zatim zbog Lagrangeove jednadžbe .

Za slobodnu česticu, Lagrangeova funkcija ima oblik: , dakle:

Nezavisnost Lagranžiana zatvorenog sistema od njegovog položaja u prostoru proizilazi iz svojstva homogenost prostora: za dobro izolovan sistem, njegovo ponašanje ne zavisi od toga gde ga u prostoru postavljamo. By Noetherova teorema ova homogenost implicira očuvanje neke fizičke veličine. Ova veličina se naziva impuls (običan, a ne generalizovan).

U klasičnoj mehanici kompletan zamah Sistem materijalnih tačaka naziva se vektorska veličina jednaka zbroju proizvoda masa materijalnih tačaka pri njihovoj brzini:

prema tome, količina se naziva impulsom jedne materijalne tačke. To je vektorska veličina usmjerena u istom smjeru kao i brzina čestice. Jedinica za zamah u Međunarodnom sistemu jedinica (SI) je kilogram metar u sekundi(kg m/s)

Ako imamo posla s tijelom konačne veličine, da bismo odredili njegov impuls, potrebno je tijelo razbiti na male dijelove, koje se mogu smatrati materijalnim tačkama i zbrojiti ih, kao rezultat dobijamo:

Zamah sistema na koji ne utječu nikakve vanjske sile (ili su one kompenzirane), sačuvana na vrijeme:

Očuvanje količine kretanja u ovom slučaju slijedi iz Newtonovog drugog i trećeg zakona: pisanje Njutnovog drugog zakona za svaku od materijalnih tačaka koje čine sistem i sabiranje svih materijalnih tačaka koje čine sistem, na osnovu Njutnovog trećeg zakona dobijamo jednakost (*).

U relativističkoj mehanici, trodimenzionalni impuls sistema materijalnih tačaka koje nisu u interakciji je količina

gdje m i- težina i-ta materijalna tačka.

Za zatvoreni sistem materijalnih tačaka koje nisu u interakciji, ova vrijednost je očuvana. Međutim, trodimenzionalni impuls nije relativistički invarijantna veličina, jer zavisi od referentnog okvira. Značajnija vrijednost će biti četverodimenzionalni impuls, koji se za jednu materijalnu tačku definira kao

U praksi se često koriste sljedeći odnosi između mase, impulsa i energije čestice:

U principu, za sistem materijalnih tačaka koje nisu u interakciji, njihovi 4-momenti se sabiraju. Međutim, za interakciju čestica u relativističkoj mehanici treba uzeti u obzir momente ne samo čestica koje čine sistem, već i impuls polja interakcije između njih. Stoga je mnogo značajnija veličina u relativističkoj mehanici tenzor energija-moment, koji u potpunosti zadovoljava zakone održanja.

Pitanje #8

Moment inercije- skalarna fizička veličina, mjera inercije tijela u rotacijskom kretanju oko ose, kao što je masa tijela mjera njegove inercije u translatornom kretanju. Karakterizira ga raspodjela masa u tijelu: moment inercije jednak je zbroju proizvoda elementarnih masa i kvadrata njihovih udaljenosti od osnovnog skupa

Aksijalni moment inercije

Aksijalni momenti inercije nekih tijela.

Moment inercije mehaničkog sistema u odnosu na fiksnu os ("aksijalni moment inercije") naziva se vrijednost J a jednak zbiru proizvoda masa svih n materijalne tačke sistema u kvadrate njihovih udaljenosti do ose:

m i- težina i-ta tačka,
r i- udaljenost od i-ta tačka na osi.

Aksijalni moment inercije tijelo J a je mjera inercije tijela u rotacijskom kretanju oko ose, kao što je masa tijela mjera njegove inercije u translatornom kretanju.

dm = ρ dV- masa malog volumenskog elementa tijela dV,
ρ - gustina,
r- udaljenost od elementa dV na os a.

Ako je tijelo homogeno, odnosno njegova gustina je svuda ista

Izvođenje formule

dm i momente inercije DJ i. Onda

Tankozidni cilindar (prsten, obruč)

Izvođenje formule

Moment inercije tijela jednak je zbiru momenata inercije njegovih sastavnih dijelova. Podjela tankosjednog cilindra na elemente s masom dm i momente inercije DJ i. Onda

Budući da su svi elementi cilindra tankih stijenki na istoj udaljenosti od ose rotacije, formula (1) se pretvara u oblik

Steinerova teorema

Moment inercije krutog tijela u odnosu na bilo koju osu zavisi ne samo od mase, oblika i dimenzija tijela, već i od položaja tijela u odnosu na ovu os. Prema Steinerovoj teoremi (Huygens-Steinerova teorema), moment inercije tijelo J u odnosu na proizvoljnu osu jednak je zbiru moment inercije ovo tijelo Jc u odnosu na osu koja prolazi središtem mase tijela paralelno s razmatranom osom, i proizvod mase tijela m po kvadratnoj udaljenosti d između osovina:

Ako je moment inercije tijela oko ose koja prolazi kroz centar mase tijela, tada je moment inercije oko paralelne ose koja se nalazi na udaljenosti od nje jednak

gdje je ukupna masa tijela.

Na primjer, moment inercije štapa oko ose koja prolazi kroz njegov kraj je:

Rotaciona energija

Kinetička energija rotacionog kretanja- energija tijela povezana s njegovom rotacijom.

Glavne kinematičke karakteristike rotacionog kretanja tijela su njegova ugaona brzina (ω) i ugaono ubrzanje. Glavne dinamičke karakteristike rotacionog kretanja su ugaoni moment oko ose rotacije z:

Kz = Izω

i kinetičku energiju

gdje je I z moment inercije tijela oko ose rotacije.

Sličan primjer se može naći kada se razmatra rotirajući molekul s glavnom osom inercije I 1, I 2 i I 3. Energija rotacije takvog molekula data je izrazom

gdje ω 1, ω 2, i ω 3 su glavne komponente ugaone brzine.

U opštem slučaju, energija tokom rotacije sa ugaonom brzinom nalazi se po formuli:

, gdje I je tenzor inercije.

Pitanje #9

moment impulsa (ugaoni moment, ugaoni moment, orbitalni moment, ugaoni moment) karakterizira količinu rotacijskog kretanja. Količina koja zavisi od toga koliko se masa rotira, kako je raspoređena oko ose rotacije i koliko brzo se rotacija dešava.

Treba napomenuti da se ovdje rotacija podrazumijeva u širem smislu, a ne samo kao pravilna rotacija oko ose. Na primjer, čak i kod pravolinijskog kretanja tijela pored proizvoljne zamišljene tačke koja ne leži na liniji kretanja, ono također ima ugaoni moment. Možda najveću ulogu igra ugaoni moment u opisivanju stvarnog rotacionog kretanja. Međutim, izuzetno je važno za mnogo širu klasu problema (naročito ako problem ima centralnu ili aksijalnu simetriju, ali ne samo u ovim slučajevima).

Zakon održanja impulsa(zakon održanja ugaonog momenta) - vektorski zbir svih ugaonih momenta oko bilo koje ose za zatvoreni sistem ostaje konstantan u slučaju ravnoteže sistema. U skladu s tim, ugaoni moment zatvorenog sistema u odnosu na bilo koji nevremenski derivat ugaonog momenta je moment sile:

Dakle, zahtjev za zatvaranjem sistema može biti oslabljen na zahtjev da glavni (ukupni) moment vanjskih sila bude jednak nuli:

gdje je moment jedne od sila primijenjenih na sistem čestica. (Ali, naravno, ako uopšte nema spoljnih sila, i ovaj uslov je zadovoljen).

Matematički, zakon održanja ugaonog momenta proizlazi iz izotropije prostora, odnosno iz invarijantnosti prostora u odnosu na rotaciju kroz proizvoljan ugao. Prilikom rotacije kroz proizvoljan beskonačno mali ugao, vektor radijusa čestice sa brojem će se promeniti za , a brzine - . Lagrangeova funkcija sistema se neće promijeniti tokom takve rotacije, zbog izotropije prostora. Dakle

1. Razmotrite rotaciju tijela okolo nepomičan osa Z. Podijelimo cijelo tijelo na skup elementarnih masa m i. Linearna brzina elementarne mase m i– v i = w R i, gdje je R i– udaljenost mase m i od ose rotacije. Dakle, kinetička energija i-th elementarna masa će biti jednaka . Ukupna kinetička energija tijela: , ovdje je moment inercije tijela oko ose rotacije.

Dakle, kinetička energija tijela koje rotira oko fiksne ose je:

2. Pustite tijelo sada okreće se oko neke ose, i osovina se pomera progresivno, ostajući paralelno sa sobom.

NA PRIMJER: Lopta koja se kotrlja bez klizanja vrši rotaciono kretanje, a njeno težište, kroz koje prolazi osa rotacije (tačka "O") kreće se naprijed (slika 4.17).

Brzina i-da je elementarna masa tela jednaka , gdje je brzina neke tačke "O" tijela; – radijus-vektor koji određuje položaj elementarne mase u odnosu na tačku “O”.

Kinetička energija elementarne mase jednaka je:

NAPOMENA: vektorski proizvod se poklapa u pravcu sa vektorom i ima modul jednak (slika 4.18).

Uzimajući u obzir ovu primjedbu, možemo to napisati , gdje je udaljenost mase od ose rotacije. U drugom članu pravimo cikličku permutaciju faktora, nakon čega dobijamo

Da bismo dobili ukupnu kinetičku energiju tijela, ovaj izraz sumiramo preko svih elementarnih masa, uzimajući konstantne faktore iz predznaka zbira. Get

Zbir elementarnih masa je masa tijela "m". Izraz je jednak proizvodu mase tijela i radijus vektora centra inercije tijela (po definiciji centra inercije). Konačno, - moment inercije tijela oko ose koja prolazi kroz tačku "O". Dakle, može se pisati

Ako uzmemo centar inercije tijela "C" kao tačku "O", radijus vektor će biti jednak nuli i drugi član će nestati. Zatim, označavajući kroz - brzinu centra inercije, i kroz - moment inercije tijela u odnosu na osu koja prolazi kroz tačku "C", dobijamo:

(4.6)

Dakle, kinetička energija tijela pri kretanju u ravnini se sastoji od energije translacijskog kretanja brzinom jednakom brzini centra inercije i energije rotacije oko ose koja prolazi kroz centar inercije tijela.

Rad vanjskih sila pri rotacionom kretanju krutog tijela.

Nađite rad sila kada se tijelo rotira oko fiksne Z ose.

Neka na masu djeluju unutrašnja i vanjska sila (rezultirajuća sila leži u ravni okomitoj na os rotacije) (slika 4.19). Ove sile stvaraju u vremenu dt posao:

Provodeći cikličku permutaciju faktora u mješovitim produktima vektora, nalazimo:

gdje je , - respektivno, momenti unutrašnjih i vanjskih sila u odnosu na tačku "O".

Zbrajanjem svih elementarnih masa dobijamo elementarni rad koji je telo obavilo tokom vremena dt:

Zbir momenata unutrašnjih sila jednak je nuli. Zatim, označavajući ukupan moment vanjskih sila kroz , dolazimo do izraza:

Poznato je da je skalarni proizvod dva vektora skalar jednak proizvodu modula jednog od pomnoženih vektora i projekcije drugog na smjer prvog, uzimajući u obzir da je , (smjerovi Z osa i poklapaju), dobijamo

ali w dt=d j, tj. ugao kroz koji telo rotira u vremenu dt. Dakle

Predznak rada zavisi od predznaka M z, tj. iz predznaka projekcije vektora na smjer vektora .

Dakle, kada se tijelo rotira, unutrašnje sile ne rade, a rad vanjskih sila određen je formulom .

Rad obavljen u konačnom vremenskom intervalu nalazi se integracijom

Ako projekcija rezultujućeg momenta vanjskih sila na smjer ostane konstantna, onda se može izvaditi iz predznaka integrala:

, tj. .

One. rad vanjske sile pri rotacionom kretanju tijela jednak je proizvodu projekcije momenta vanjske sile i smjera i ugla rotacije.

S druge strane, rad vanjske sile koja djeluje na tijelo ide na prirast kinetičke energije tijela (ili je jednak promjeni kinetičke energije tijela koje se rotira). Pokažimo to:

;

dakle,

. (4.7)

samostalno:

Elastične sile;

Hookeov zakon.

PREDAVANJE 7

Hidrodinamika

Vodovi i cijevi struje.

Hidrodinamika proučava kretanje tečnosti, ali njeni zakoni važe i za kretanje gasova. U stacionarnom toku fluida, brzina njegovih čestica u svakoj tački u prostoru je veličina neovisna o vremenu i funkcija koordinata. U stacionarnom toku, putanje čestica fluida formiraju strujnu liniju. Skup strujnih linija formira strujnu cijev (slika 5.1). Pretpostavljamo da je tečnost nestišljiva, a zatim zapreminu tečnosti koja teče kroz sekcije S 1 i S 2 će biti isto. U sekundi, zapremina tečnosti jednaka

, (5.1)

gdje su i brzine fluida u poprečnim presjecima S 1 i S 2 , a vektori i su definirani kao i , gdje su i normale na presjeke S 1 i S 2. Jednačina (5.1) se naziva jednačina kontinuiteta mlaza. Iz ovoga slijedi da je brzina fluida obrnuto proporcionalna poprečnom presjeku strujne cijevi.

Bernoullijeva jednadžba.

Razmotrićemo idealnu nestišljivu tečnost u kojoj nema unutrašnjeg trenja (viskoziteta). Izdvojimo tanku strujnu cijev u stacionarnoj tekućini (slika 5.2) poprečnog presjeka S1 i S2 okomito na strujne linije. u sekciji 1 za kratko vreme tčestice se kreću na udaljenosti l 1, iu odjeljku 2 - na daljinu l 2. Kroz obje dionice u vremenu t proći će jednake male količine tečnosti V= V 1 = V 2 i nosi dosta tečnosti m=rV, gdje r je gustina tečnosti. Općenito, promjena mehaničke energije cijele tekućine u strujnoj cijevi između sekcija S1 i S2, što se dogodilo u to vrijeme t, može se zamijeniti promjenom zapreminske energije V, koji se dogodio kada je prešao iz odjeljka 1 u odjeljak 2. Takvim kretanjem će se promijeniti kinetička i potencijalna energija ovog volumena, kao i ukupna promjena njegove energije

, (5.2)

gdje v 1 i v 2 - brzina čestica fluida u sekcijama S1 i S2 respektivno; g- ubrzanje gravitacije; h1 i h2- visine središta sekcija.

U idealnom fluidu nema gubitaka zbog trenja, pa se povećava energija DE mora biti jednaka radu sila pritiska na dodijeljenu zapreminu. U nedostatku sila trenja, ovaj rad:

Izjednačavajući desne strane jednakosti (5.2) i (5.3) i prenoseći članove sa istim indeksima na jedan dio jednakosti, dobijamo

. (5.4)

Sekcije cijevi S1 i S2 su uzeti proizvoljno, pa se može tvrditi da je izraz validan u bilo kojem dijelu strujne cijevi

. (5.5)

Jednačina (5.5) se naziva Bernulijeva jednačina. Za horizontalnu strujnu liniju h = const , a jednakost (5.4) ima oblik

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

one. pritisak je manji u onim tačkama gde je brzina veća.

Sile unutrašnjeg trenja.

Viskoznost je svojstvena pravoj tečnosti, što se manifestuje u činjenici da se svako kretanje tečnosti i gasa spontano zaustavlja u odsustvu uzroka koji su ga izazvali. Razmotrimo eksperiment u kojem se tečni sloj nalazi iznad fiksne površine, a ploča koja pluta na njemu sa površinom pomiče se iznad njega brzinom S(Sl. 5.3). Iskustvo pokazuje da je za pomicanje ploče konstantnom brzinom potrebno na nju djelovati silom. Pošto ploča ne prima ubrzanje, to znači da je djelovanje ove sile uravnoteženo drugom silom koja joj je jednaka po veličini i suprotno usmjerena, a to je sila trenja . Newton je pokazao da je sila trenja

, (5.7)

gdje d- debljina sloja tečnosti, h - koeficijent viskoznosti ili koeficijent trenja tečnosti, znak minus uzima u obzir različit smer vektora F tr i v o. Ako ispitamo brzinu čestica fluida na različitim mjestima sloja, ispada da se ona mijenja po linearnom zakonu (slika 5.3):

v(z) = (v 0 /d) z.

Razlikovanjem ove jednakosti dobijamo dv/dz= v 0 /d. Imajući ovo na umu

formula (5.7) poprima oblik

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

gdje h- koeficijent dinamičkog viskoziteta. Vrijednost dv/dz naziva gradijent brzine. Pokazuje koliko se brzo mijenja brzina u smjeru ose z. At dv/dz= const gradijent brzine je numerički jednak promjeni brzine v kada se promeni z po jedinici. Stavljamo numerički u formulu (5.8) dv/dz =-1 i S= 1, dobijamo h = F. ovo implicira fizičko značenje h: koeficijent viskoznosti je numerički jednak sili koja djeluje na sloj tekućine jedinične površine pri gradijentu brzine jednakom jedan. SI jedinica viskoznosti naziva se paskal sekunda (označena Pa s). U CGS sistemu jedinica za viskozitet je 1 pois (P), sa 1 Pa s = 10P.

Sekcije