Pronađite nagib tangente povučene na graf. Jednadžba tangente na graf funkcije

Neka je data funkcija f koja u nekoj tački x 0 ima konačan izvod f (x 0). Tada prava koja prolazi kroz tačku (x 0; f (x 0)), koja ima nagib f '(x 0), naziva se tangenta.

Ali šta se dešava ako izvod u tački x 0 ne postoji? Postoje dvije opcije:

1. Tangenta na graf takođe ne postoji. Klasičan primjer je funkcija y = |x | u tački (0; 0).
2. Tangenta postaje vertikalna. To vrijedi, na primjer, za funkciju y = arcsin x u tački (1; π /2).

Tangentna jednadžba

Svaka nevertikalna prava linija data je jednadžbom oblika y = kx + b, gdje je k nagib. Tangenta nije izuzetak, a da bi se sastavila njena jednadžba u nekoj tački x 0, dovoljno je znati vrijednost funkcije i derivacije u ovoj tački.

Dakle, neka je funkcija data y = f (x), koja ima derivaciju y = f '(x) na segmentu. Tada se u bilo kojoj tački x 0 ∈ (a; b) može povući tangenta na graf ove funkcije, koja je data jednadžbom:

y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

Ovdje je f ’(x 0) vrijednost derivacije u tački x 0, a f (x 0) je vrijednost same funkcije.

Zadatak. Zadana funkcija y = x 3 . Napišite jednadžbu za tangentu na graf ove funkcije u tački x 0 = 2.

Tangentna jednadžba: y = f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Tačka x 0 = 2 nam je data, ali će se morati izračunati vrijednosti f (x 0) i f '(x 0).

Prvo, pronađimo vrijednost funkcije. Ovdje je sve lako: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Sada pronađimo izvod: f '(x) = (x 3) ' = 3x 2;
Zamjena u izvodu x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Tako dobijamo: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Ovo je tangentna jednadžba.

Zadatak. Sastavite jednadžbu tangente na graf funkcije f (x) \u003d 2sin x + 5 u tački x 0 \u003d π / 2.

Ovaj put nećemo detaljno opisivati ​​svaku radnju - samo ćemo naznačiti ključne korake. Imamo:

f (x 0) = f (π / 2) = 2sin (π / 2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) = 2cos (π / 2) \u003d 0;

Tangentna jednadžba:

y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

U potonjem slučaju, linija se pokazala horizontalnom, jer njegov nagib k = 0. U tome nema ništa loše - upravo smo naišli na tačku ekstrema.

U matematici, jedan od parametara koji opisuje položaj prave linije na dekartskoj koordinatnoj ravni je nagib ove prave linije. Ovaj parametar karakterizira nagib prave linije prema x-osi. Da biste razumjeli kako pronaći nagib, prvo se prisjetite općeg oblika jednadžbe prave linije u XY koordinatnom sistemu.

Općenito, bilo koja linija se može predstaviti izrazom ax+by=c, gdje su a, b i c proizvoljni realni brojevi, ali nužno a 2 + b 2 ≠ 0.

Uz pomoć jednostavnih transformacija, ovakva jednadžba se može dovesti u oblik y=kx+d, u kojem su k i d realni brojevi. Broj k je nagib, a jednačina ove prave se zove jednačina sa nagibom. Ispostavilo se da da biste pronašli nagib, samo trebate dovesti originalnu jednadžbu u gornji oblik. Za bolje razumijevanje, razmotrite konkretan primjer:

Zadatak: Pronađite nagib prave date jednadžbom 36x - 18y = 108

Rješenje: Transformirajmo originalnu jednačinu.

Odgovor: Željeni nagib ove linije je 2.

Ako smo tokom transformacije jednadžbe dobili izraz tipa x = const i kao rezultat toga ne možemo predstaviti y kao funkciju od x, onda imamo posla s ravnom linijom koja je paralelna osi X. Nagib od takva prava je jednaka beskonačnosti.

Za linije koje su izražene jednačinom kao što je y = const, nagib je nula. Ovo je tipično za prave linije paralelne sa x-osom. Na primjer:

Zadatak: Pronađite nagib prave date jednadžbom 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Rješenje: Originalnu jednačinu dovodimo u opći oblik

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Nemoguće je izraziti y iz rezultirajućeg izraza, stoga je nagib ove prave linije jednak beskonačnosti, a sama prava linija će biti paralelna s Y osom.

geometrijskog smisla

Za bolje razumijevanje, pogledajmo sliku:

Na slici vidimo graf funkcije tipa y = kx. Da pojednostavimo, uzimamo koeficijent c = 0. U trouglu OAB, omjer stranice BA prema AO će biti jednak nagibu k. Istovremeno, omjer BA / AO je tangenta oštrog ugla α u pravokutnom trokutu OAB. Ispada da je nagib prave jednak tangentu ugla koji ta prava čini sa x-osom koordinatne mreže.

Rješavajući problem kako pronaći nagib prave linije, nalazimo tangentu ugla između nje i x-ose koordinatne mreže. Granični slučajevi, kada je prava koja se razmatra paralelna sa koordinatnim osa, potvrđuju gore navedeno. Zaista, za pravu liniju opisanu jednadžbom y=const, ugao između nje i x-ose jednak je nuli. Tangens nultog ugla je takođe nula i nagib je takođe nula.

Za prave linije okomite na x-osu i opisane jednačinom x=const, ugao između njih i x-ose je 90 stepeni. Tangenta pravog ugla jednaka je beskonačnosti, a nagib sličnih pravih beskonačnosti, što potvrđuje gore napisano.

Tangent Slope

Uobičajen zadatak koji se često sreće u praksi je i pronalaženje nagiba tangente na graf funkcije u nekoj tački. Tangenta je prava linija, stoga je koncept nagiba također primjenjiv na nju.

Da bismo shvatili kako pronaći nagib tangente, morat ćemo se prisjetiti koncepta derivacije. Derivat bilo koje funkcije u nekoj tački je konstanta brojčano jednaka tangentu ugla koji se formira između tangente u navedenoj tački na graf ove funkcije i ose apscise. Ispada da da bismo odredili nagib tangente u tački x 0, moramo izračunati vrijednost derivacije originalne funkcije u ovoj tački k \u003d f "(x 0). Razmotrimo primjer:

Zadatak: Naći nagib prave tangente na funkciju y = 12x 2 + 2xe x pri x = 0,1.

Rješenje: Pronađite izvod originalne funkcije u općem obliku

y "(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Odgovor: Željeni nagib u tački x = 0,1 je 4,831

Razmotrite sljedeću sliku:

Prikazuje neku funkciju y = f(x) koja je diferencibilna u tački a. Označena tačka M sa koordinatama (a; f(a)). Kroz proizvoljnu tačku P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafa povlači se sekansa MP.

Ako se sada tačka P pomeri duž grafika do tačke M, tada će prava linija MP rotirati oko tačke M. U ovom slučaju, ∆x će težiti nuli. Odavde možemo formulirati definiciju tangente na graf funkcije.

Tangenta na graf funkcije

Tangenta na graf funkcije je granična pozicija sekansa kada inkrement argumenta teži nuli. Treba shvatiti da postojanje derivacije funkcije f u tački x0 znači da u ovoj tački grafa postoji tangenta za njega.

U ovom slučaju, nagib tangente će biti jednak derivaciji ove funkcije u ovoj tački f’(x0). Ovo je geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije f diferencibilne u tački x0 je neka prava linija koja prolazi kroz tačku (x0;f(x0)) i ima nagib f’(x0).

Tangentna jednadžba

Pokušajmo dobiti jednadžbu tangente na graf neke funkcije f u tački A(x0; f(x0)). Jednačina prave linije sa nagibom k ima sljedeći oblik:

Pošto je naš nagib jednak izvodu f'(x0), tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik: y = f'(x0)*x + b.

Sada izračunajmo vrijednost b. Da bismo to učinili, koristimo činjenicu da funkcija prolazi kroz tačku A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odavde izražavamo b i dobijamo b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Dobivenu vrijednost zamjenjujemo u tangentnu jednadžbu:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

Razmotrite sljedeći primjer: pronađite jednadžbu tangente na graf funkcije f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 u tački x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Zamijenite dobijene vrijednosti u tangentnu formulu, dobijamo: y = 1 + 4*(x - 2). Otvarajući zagrade i donoseći slične članove, dobijamo: y = 4*x - 7.

Odgovor: y = 4*x - 7.

Opća šema za sastavljanje tangentne jednačine na graf funkcije y = f(x):

1. Odrediti x0.

2. Izračunajte f(x0).

3. Izračunajte f'(x)

Tema "Ugaoni koeficijent tangente kao tangenta ugla nagiba" na sertifikacionom ispitu daje nekoliko zadataka odjednom. U zavisnosti od njihovog stanja, od maturanta se može tražiti da pruži i potpun i kratak odgovor. Prilikom pripreme za ispit iz matematike student obavezno treba da ponovi zadatke u kojima je potrebno izračunati nagib tangente.

Obrazovni portal Shkolkovo pomoći će vam u tome. Naši stručnjaci pripremili su i predstavili teorijski i praktični materijal što je moguće pristupačniji. Nakon što se upoznaju s njim, diplomci sa bilo kojim nivoom obuke moći će uspješno rješavati probleme vezane za derivate, u kojima je potrebno pronaći tangentu nagiba tangente.

Osnovni momenti

Da bismo pronašli ispravno i racionalno rješenje takvih zadataka u USE, potrebno je podsjetiti se na osnovnu definiciju: derivacija je brzina promjene funkcije; jednaka je tangenti nagiba tangente povučene na graf funkcije u određenoj tački. Jednako je važno završiti crtež. Omogućit će vam da pronađete ispravno rješenje za USE probleme na derivaciji, u kojoj je potrebno izračunati tangentu nagiba tangente. Radi jasnoće, najbolje je nacrtati graf na ravni OXY.

Ako ste se već upoznali sa osnovnim materijalom na temu derivacije i spremni ste da počnete rješavati zadatke za izračunavanje tangente nagiba tangente, slično USE zadacima, to možete učiniti online. Za svaki zadatak, na primjer, zadatke na temu "Odnos derivacije sa brzinom i ubrzanjem tijela", zapisali smo tačan odgovor i algoritam rješenja. U ovom slučaju učenici mogu uvježbati izvođenje zadataka različitog nivoa složenosti. Ako je potrebno, vježbu možete sačuvati u odeljku "Omiljeni", tako da kasnije možete razgovarati o odluci sa nastavnikom.