Проверка простых гипотез критерием хи-квадрат Пирсона в MS EXCEL. Условия и ограничения применения критерия хи-квадрат пирсона

До конца XIX века нормальное распределение считалась всеобщим законом вариации данных. Однако К. Пирсон заметил, что эмпирические частоты могут сильно отличаться от нормального распределения. Встал вопрос, как это доказать. Требовалось не только графическое сопоставление, которое имеет субъективный характер, но и строгое количественное обоснование.

Так был изобретен критерий χ 2 (хи-квадрат), который проверяет значимость расхождения эмпирических (наблюдаемых) и теоретических (ожидаемых) частот. Это произошло в далеком 1900 году, однако критерий и сегодня на ходу. Более того, его приспособили для решения широкого круга задач. Прежде всего, это анализ номинальных данных, т.е. таких, которые выражаются не количеством, а принадлежностью к какой-то категории. Например, класс автомобиля, пол участника эксперимента, вид растения и т.д. К таким данным нельзя применять математические операции вроде сложения и умножения, для них можно только подсчитать частоты.

Наблюдаемые частоты обозначим О (Observed) , ожидаемые – E (Expected) . В качестве примера возьмем результат 60-кратного бросания игральной кости. Если она симметрична и однородна, вероятность выпадения любой стороны равна 1/6 и, следовательно, ожидаемое количество выпадения каждой из сторон равна 10 (1/6∙60). Наблюдаемые и ожидаемые частоты запишем в таблицу и нарисуем гистограмму.

Нулевая гипотеза заключается в том, что частоты согласованы, то есть фактические данные не противоречат ожидаемым. Альтернативная гипотеза – отклонения в частотах выходят за рамки случайных колебаний, то есть расхождения статистически значимы. Чтобы сделать строгий вывод, нам потребуется.

1. Обобщающая мера расхождения между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами.
2. Распределение этой меры при справедливости гипотезы о том, что различий нет.

Начнем с расстояния между частотами. Если взять просто разницу О — E , то такая мера будет зависеть от масштаба данных (частот). Например, 20 — 5 =15 и 1020 – 1005 = 15. В обоих случаях разница составляет 15. Но в первом случае ожидаемые частоты в 3 раза меньше наблюдаемых, а во втором случае – лишь на 1,5%. Нужна относительная мера, не зависящая от масштаба.

Обратим внимание на следующие факты. В общем случае количество градаций, по которым измеряются частоты, может быть гораздо больше, поэтому вероятность того, что отдельно взятое наблюдение попадет в ту или иную категорию, довольно мала. Раз так, то, распределение такой случайной величины будет подчинятся закону редких событий, известному под названием закон Пуассона . В законе Пуассона, как известно, значение математического ожидания и дисперсии совпадают (параметр λ ). Значит, ожидаемая частота для некоторой категории номинальной переменной E i будет являться одновременное и ее дисперсией. Далее, закон Пуассона при большом количестве наблюдений стремится к нормальному. Соединяя эти два факта, получаем, что, если гипотеза о согласии наблюдаемых и ожидаемых частот верна, то, при большом количестве наблюдений , выражение

Будет иметь .

Важно помнить, что нормальность будет проявляться только при достаточно больших частотах. В статистике принято считать, что общее количество наблюдений (сумма частот) должна быть не менее 50 и ожидаемая частота в каждой градации должна быть не менее 5. Только в этом случае величина, показанная выше, будет иметь стандартное нормальное распределение. Предположим, что это условие выполнено.

У стандартного нормального распределения почти все значение находятся в пределах ±3 (правило трех сигм). Таким образом, мы получили относительную разность в частотах для одной градации. Нам нужна обобщающая мера. Просто сложить все отклонения нельзя – получим 0 (догадайтесь почему). Пирсон предложил сложить квадраты этих отклонений.

Это и есть знамений критерий χ 2 Пирсона . Если частоты действительно соответствуют ожидаемым, то значение критерия будет относительно не большим (т.к. большинство отклонений находится около нуля). Но если критерий оказывается большим, то это свидетельствует в пользу существенных различий между частотами.

«Большим» критерий становится тогда, когда появление такого или еще большего значения становится маловероятным. И чтобы рассчитать такую вероятность, необходимо знать распределение критерия при многократном повторении эксперимента, когда гипотеза о согласии частот верна.

Как нетрудно заметить, величина хи-квадрат также зависит от количества слагаемых. Чем их больше, тем большее значение должно быть у критерия, ведь каждое слагаемое внесет свой вклад в общую сумму. Следовательно, для каждого количества независимых слагаемых, будет собственное распределение. Получается, что χ 2 – это целое семейство распределений.

И здесь мы подошли к одному щекотливому моменту. Что такое число независимых слагаемых? Вроде как любое слагаемое (т.е. отклонение) независимо. К. Пирсон тоже так думал, но оказался неправ. На самом деле число независимых слагаемых будет на один меньше, чем количество градаций номинальной переменной n . Почему? Потому что, если мы имеем выборку, по которой уже посчитана сумма частот, то одну из частот всегда можно определить, как разность общего количества и суммой всех остальных. Отсюда и вариация будет несколько меньше. Данный факт Рональд Фишер заметил лет через 20 после разработки Пирсоном своего критерия. Даже таблицы пришлось переделывать.

По этому поводу Фишер ввел в статистику новое понятие – степень свободы (degrees of freedom), которое и представляет собой количество независимых слагаемых в сумме. Понятие степеней свободы имеет математическое объяснение и проявляется только в распределениях, связанных с нормальным (Стьюдента, Фишера-Снедекора и сам хи-квадрат).

Чтобы лучше уловить смысл степеней свободы, обратимся к физическому аналогу. Представим точку, свободно движущуюся в пространстве. Она имеет 3 степени свободы, т.к. может перемещаться в любом направлении трехмерного пространства. Если точка движется по какой-либо поверхности, то у нее уже две степени свободы (вперед-назад, вправо-влево), хотя и продолжает находиться в трехмерном пространстве. Точка, перемещающаяся по пружине, снова находится в трехмерном пространстве, но имеет лишь одну степень свободы, т.к. может двигаться либо вперед, либо назад. Как видно, пространство, где находится объект, не всегда соответствует реальной свободе перемещения.

Примерно также распределение статистического критерия может зависеть от меньшего количества элементов, чем нужно слагаемых для его расчета. В общем случае количество степеней свободы меньше наблюдений на число имеющихся зависимостей. Это чистая математика, никакой магии.

Таким образом, распределение χ 2 – это семейство распределений, каждое из которых зависит от параметра степеней свободы. А формальное определение критерия хи-квадрат следующее. Распределение χ 2 (хи-квадрат) с k степенями свободы - это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Далее можно было бы перейти к самой формуле, по которой вычисляется функция распределения хи-квадрат, но, к счастью, все давно подсчитано за нас. Чтобы получить интересующую вероятность, можно воспользоваться либо соответствующей статистической таблицей, либо готовой функцией в специализированном ПО, которая есть даже в Excel.

Интересно посмотреть, как меняется форма распределения хи-квадрат в зависимости от количества степеней свободы.

С увеличением степеней свободы распределение хи-квадрат стремится к нормальному. Это объясняется действием центральной предельной теоремы, согласно которой сумма большого количества независимых случайных величин имеет нормальное распределение. Про квадраты там ничего не сказано)).

Проверка гипотезы по критерию хи-квадрат

Вот мы и подошли к проверке гипотез по методу хи-квадрат. В целом техника остается . Выдвигается нулевая гипотеза о том, что наблюдаемые частоты соответствуют ожидаемым (т.е. между ними нет разницы, т.к. они взяты из той же генеральной совокупности). Если этот так, то разброс будет относительно небольшим, в пределах случайных колебаний. Меру разброса определяют по критерию хи-квадрат. Далее либо сам критерий сравнивают с критическим значением (для соответствующего уровня значимости и степеней свободы), либо, что более правильно, рассчитывают наблюдаемый p-level, т.е. вероятность получить такое или еще больше значение критерия при справедливости нулевой гипотезы.

Т.к. нас интересует согласие частот, то отклонение гипотезы произойдет, когда критерий окажется больше критического уровня. Т.е. критерий является односторонним. Однако иногда (иногда) требуется проверить левостороннюю гипотезу. Например, когда эмпирические данные уж оооочень сильно похожи на теоретические. Тогда критерий может попасть в маловероятную область, но уже слева. Дело в том, что в естественных условиях, маловероятно получить частоты, практически совпадающие с теоретическими. Всегда есть некоторая случайность, которая дает погрешность. А вот если такой погрешности нет, то, возможно, данные были сфальсифицированы. Но все же обычно проверяют правостороннюю гипотезу.

Вернемся к задаче с игральным кубиком. Рассчитаем по имеющимся данным значение критерия хи-квадрат.

Теперь найдем табличное значение критерия при 5-ти степенях свободы (k ) и уровне значимости 0,05 (α ).

То есть χ 2 0,05; 5 = 11,1.

Сравним фактическое и табличное значение. 3,4 (χ 2 ) < 11,1 (χ 2 0,05; 5 ). Расчетный критерий оказался меньшим, значит гипотеза о равенстве (согласии) частот не отклоняется. На рисунке ситуация выглядит вот так.

Если бы расчетное значение попало в критическую область, то нулевая гипотеза была бы отклонена.

Более правильным будет рассчитать еще и p-level. Для этого нужно в таблице найти ближайшее значение для заданного количества степеней свободы и посмотреть соответствующий ему уровень значимости. Но это прошлый век. Воспользуемся ПЭВМ, в частности MS Excel. В эксель есть несколько функций, связанных с хи-квадрат.

Ниже их краткое описание.

ХИ2.ОБР – критическое значение критерия при заданной вероятности слева (как в статистических таблицах)

ХИ2.ОБР.ПХ – критическое значение критерия при заданной вероятности справа. Функция по сути дублирует предыдущую. Но здесь можно сразу указывать уровень α , а не вычитать его из 1. Это более удобно, т.к. в большинстве случаев нужен именно правый хвост распределения.

ХИ2.РАСП – p-level слева (можно рассчитать плотность).

ХИ2.РАСП.ПХ – p-level справа.

ХИ2.ТЕСТ – по двум заданным диапазонам частот сразу проводит тест хи-квадрат. Количество степеней свободы берется на одну меньше, чем количество частот в столбце (так и должно быть), возвращая значение p-level.

Давайте пока рассчитаем для нашего эксперимента критическое (табличное) значение для 5-ти степеней свободы и альфа 0,05. Формула Excel будет выглядеть так:

ХИ2.ОБР(0,95;5)

ХИ2.ОБР.ПХ(0,05;5)

Результат будет одинаковым – 11,0705. Именно это значение мы видим в таблице (округленное до 1 знака после запятой).

Рассчитаем, наконец, p-level для 5-ти степеней свободы критерия χ 2 = 3,4. Нужна вероятность справа, поэтому берем функцию с добавкой ПХ (правый хвост)

ХИ2.РАСП.ПХ(3,4;5) = 0,63857

Значит, при 5-ти степенях свободы вероятность получить значение критерия χ 2 = 3,4 и больше равна почти 64%. Естественно, гипотеза не отклоняется (p-level больше 5%), частоты очень хорошо согласуются.

А теперь проверим гипотезу о согласии частот с помощью функции ХИ2.ТЕСТ.

Никаких таблиц, никаких громоздких расчетов. Указав в качестве аргументов функции столбцы с наблюдаемыми и ожидаемыми частотами, сразу получаем p-level. Красота.

Представим теперь, что вы играете в кости с подозрительным типом. Распределение очков от 1 до 5 остается прежним, но он выкидывает 26 шестерок (количество всех бросков становится 78).

P-level в этом случае оказывается 0,003, что гораздо меньше чем, 0,05. Есть серьезные основания сомневаться в правильности игральной кости. Вот, как выглядит эта вероятность на диаграмме распределения хи-квадрат.

Сам критерий хи-квадрат здесь получается 17,8, что, естественно, больше табличного (11,1).

Надеюсь, мне удалось объяснить, что такое критерий согласия χ 2 (хи-квадрат) Пирсона и как с его помощью проверяются статистические гипотезы.

Напоследок еще раз о важном условии! Критерий хи-квадрат исправно работает только в случае, когда количество всех частот превышает 50, а минимальное ожидаемое значение для каждой градации не меньше 5. Если в какой-либо категории ожидаемая частота менее 5, но при этом сумма всех частот превышает 50, то такую категорию объединяют с ближайшей, чтобы их общая часта превысила 5. Если это сделать невозможно, или сумма частот меньше 50, то следует использовать более точные методы проверки гипотез. О них поговорим в другой раз.

Ниже находится видео ролик о том, как в Excel проверить гипотезу с помощью критерия хи-квадрат.

В этой статье речь будет идти о исследовании зависимости между признаками, или как больше нравится - случайными величинами, переменными. В частности, мы разберем как ввести меру зависимости между признаками, используя критерий Хи-квадрат и сравним её с коэффициентом корреляции.

Для чего это может понадобиться? К примеру, для того, чтобы понять какие признаки сильнее зависимы от целевой переменной при построении кредитного скоринга - определении вероятности дефолта клиента. Или, как в моем случае, понять какие показатели нобходимо использовать для программирования торгового робота.

Отдельно отмечу, что для анализа данных я использую язык c#. Возможно это все уже реализовано на R или Python, но использование c# для меня позволяет детально разобраться в теме, более того это мой любимый язык программирования.

Начнем с совсем простого примера, создадим в экселе четыре колонки, используя генератор случайных чисел:
X =СЛУЧМЕЖДУ(-100;100)
Y =X *10+20
Z =X *X
T =СЛУЧМЕЖДУ(-100;100)

Как видно, переменная Y линейно зависима от X ; переменная Z квадратично зависима от X ; переменные X и Т независимы. Такой выбор я сделал специально, потому что нашу меру зависимости мы будем сравнивать с коэффициентом корреляции . Как известно, между двумя случайными величинами он равен по модулю 1 если между ними самый «жесткий» вид зависимости - линейный. Между двумя независимыми случайными величинами корреляция нулевая, но из равенства коэффициента корреляции нулю не следует независимость . Далее мы это увидим на примере переменных X и Z .

Сохраняем файл как data.csv и начинаем первые прикиди. Для начала рассчитаем коэффициент корреляции между величинами. Код в статью я вставлять не стал, он есть на моем github . Получаем корреляцию по всевозможным парам:

Видно, что у линейно зависимых X и Y коэффициент корреляции равен 1. А вот у X и Z он равен 0.01, хотя зависимость мы задали явную Z =X *X . Ясно, что нам нужна мера, которая «чувствует» зависимость лучше. Но прежде, чем переходить к критерию Хи-квадрат, давайте рассмотрим что такое матрица сопряженности.

Чтобы построить матрицу сопряженности мы разобьём диапазон значений переменных на интервалы (или категорируем). Есть много способов такого разбиения, при этом какого-то универсального не существует. Некоторые из них разбивают на интервалы так, чтобы в них попадало одинаковое количество переменных, другие разбивают на равные по длине интервалы. Мне лично по духу комбинировать эти подходы. Я решил воспользоваться таким способом: из переменной я вычитаю оценку мат. ожидания, потом полученное делю на оценку стандартного отклонения. Иными словами я центрирую и нормирую случайную величину. Полученное значение умножается на коэффициент (в этом примере он равен 1), после чего все округляется до целого. На выходе получается переменная типа int, являющаяся идентификатором класса.

Итак, возьмем наши признаки X и Z , категорируем описанным выше способом, после чего посчитаем количество и вероятности появления каждого класса и вероятности появления пар признаков:

Это матрица по количеству. Здесь в строках - количества появлений классов переменной X , в столбцах - количества появлений классов переменной Z , в клетках - количества появлений пар классов одновременно. К примеру, класс 0 встретился 865 раз для переменной X , 823 раза для переменной Z и ни разу не было пары (0,0). Перейдем к вероятностям, поделив все значения на 3000 (общее число наблюдений):

Получили матрицу сопряженности, полученную после категорирования признаков. Теперь пора задуматься над критерием. По определению, случайные величины независимы, если независимы сигма-алгебры , порожденные этими случайными величинами. Независимость сигма-алгебр подразумевает попарную независимость событий из них. Два события называются независимыми, если вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей этих событий: Pij = Pi*Pj . Именно этой формулой мы будем пользоваться для построения критерия.

Нулевая гипотеза : категорированные признаки X и Z независимы. Эквивалентная ей: распределение матрицы сопряженности задается исключительно вероятностями появления классов переменных (вероятности строк и столбцов). Или так: ячейки матрицы находятся произведением соответствующих вероятностей строк и столбцов. Эту формулировку нулевой гипотезы мы будем использовать для построения решающего правила: существенное расхождение между Pij и Pi*Pj будет являться основанием для отклонения нулевой гипотезы.

Пусть - вероятность появления класса 0 у переменной X . Всего у нас n классов у X и m классов у Z . Получается, чтобы задать распределение матрицы нам нужно знать эти n и m вероятностей. Но на самом деле если мы знаем n-1 вероятность для X , то последняя находится вычитанием из 1 суммы других. Таким образом для нахождения распределения матрицы сопряженности нам надо знать l=(n-1)+(m-1) значений. Или мы имеем l -мерное параметрическое пространство, вектор из которого задает нам наше искомое распределение. Статистика Хи-квадрат будет иметь следующий вид:

и, согласно теореме Фишера, иметь распределение Хи-квадрат с n*m-l-1=(n-1)(m-1) степенями свободы.

Зададимся уровнем значимости 0.95 (или вероятность ошибки первого рода равна 0.05). Найдем квантиль распределения Хи квадрат для данного уровня значимости и степеней свободы из примера (n-1)(m-1)=4*3=12 : 21.02606982. Сама статистика Хи-квадрат для переменных X и Z равна 4088.006631. Видно, что гипотеза о независимости не принимается. Удобно рассматривать отношение статистики Хи-квадрат к пороговому значению - в данном случае оно равно Chi2Coeff=194.4256186 . Если это отношение меньше 1, то гипотеза о независимости принимается, если больше, то нет. Найдем это отношение для всех пар признаков:

Здесь Factor1 и Factor2 - имена признаков
src_cnt1 и src_cnt2 - количество уникальных значений исходных признаков
mod_cnt1 и mod_cnt2 - количество уникальных значений признаков после категорирования
chi2 - статистика Хи-квадрат
chi2max - пороговое значение статистики Хи-квадрат для уровня значимости 0.95
chi2Coeff - отношение статистики Хи-квадрат к пороговому значению
corr - коэффициент корреляции

Видно, что независимы (chi2coeff<1) получились следующие пары признаков - (X,T ), (Y,T ) и (Z,T ), что логично, так как переменная T генерируется случайно. Переменные X и Z зависимы, но менее, чем линейно зависимые X и Y , что тоже логично.

Код утилиты, рассчитывающей данные показатели я выложил на github, там же файл data.csv. Утилита принимает на вход csv-файл и высчитывает зависимости между всеми парами колонок: PtProject.Dependency.exe data.csv

Чтобы получить статистические критерии для таблиц сопряженности, щелкните на кнопке Statistics... (Статистика) в диалоговом окне Crosstabs. Откроется диалоговое окно Crosstabs: Statistics (Таблицы сопряженности: Статистика) (см. рис. 11.9).

Рис. 11.9:

Флажки в этом диалоговом окне позволяют выбрать один или несколько критериев.

Тест хи-квадрат (X 2)

Корреляции

Меры связанности для переменных, относящихся к номинальной шкале

Меры связанности для переменных, относящихся к порядковой шкале

Меры связанности для переменных, относящихся к интервальной шкале

Коэффициент каппа (к )

Мера риска

Тест Мак-Немара

Статистики Кохрана и Мантеля-Хэнзеля

Эти критерии рассматриваются в двух последующих разделах, причем из-за того, что критерий хи-квадрат имеет большое значение в статистических вычислениях, ему посвящен отдельный раздел.

Тест хи-квадрат (X 2)

При проведении теста хи-квадрат проверяется взаимная независимость двух переменных таблицы сопряженности и благодаря этому косвенно выясняется зависимость обоих переменных. Две переменные считаются взаимно независимыми, если наблюдаемые частоты (f о) в ячейках совпадают с ожидаемыми частотами (f e).

Для того, чтобы провести тест хи-квадрат с помощью SPSS, выполните следующие действия:

Выберите в меню команды Analyze (Анализ) Descriptive Statistics (Дескриптивные статистики) Crosstabs... (Таблицы сопряженности)

Кнопкой Reset (Сброс) удалите возможные настройки.

Перенесите переменную sex в список строк, а переменную psyche - в список столбцов.

Щелкните на кнопке Cells... (Ячейки). В диалоговом окне установите, кроме предлагаемого по умолчанию флажка Observed, еще флажки Expected и Standardized. Подтвердите выбор кнопкой Continue.

Щелкните на кнопке Statistics... (Статистика). Откроется описанное выше диалоговое окно Crosstabs: Statistics.

Установите флажок Chi-square (Хи-квадрат). Щелкните на кнопке Continue, а в главном диалоговом окне - на ОК.

Вы получите следующую таблицу сопряженности.

Пол * Психическое состояние Таблица сопряженности

Кроме того, в окне просмотра будут показаны результаты теста хи-квадрат:

Chi-Square Tests (Тесты хи-квадрат)

а. 2 cells (25,0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 2,49 (2 ячейки (25%) имеют ожидаемую частоту менее 5. Минимальная ожидаемая частота 2,49.)

Для вычисления критерия хи-квадрат применяются три различных подхода:

• формула Пирсона ;
• поправка на правдоподобие ;
• тест Мантеля-Хэнзеля .
• Если таблица сопряженности имеет четыре поля (таблица 2 x 2) и ожидаемая вероятность менее 5, дополнительно выполняется точный тест Фишера .

Обычно для вычисления критерия хи-квадрат используется формула Пирсона:

Здесь вычисляется сумма квадратов стандартизованных остатков по всем полям таблицы сопряженности. Поэтому поля с более высоким стандартизованным остатком вносят более весомый вклад в численное значение критерия хи-квадрат и, следовательно, - в значимый результат. Согласно правилу, приведенному в разделе 8.9 , стандартизованный остаток 2 (1,96) или более указывает на значимое расхождение между наблюдаемой и ожидаемой частотами в той или ячейке таблицы.

В рассматриваемом примере формула Пирсона дает максимально значимую величину критерия хи-квадрат (р<0,0001). Если рассмотреть стандартизованные остатки в отдельных полях таблицы сопряженности, то на основе вышеприведенного правила можно сделать вывод, что эта значимость в основном определяется полями, в которых переменная psyche имеет значение "крайне неустойчивое". У женщин это значение сильно повышено, а у мужчин - понижено.

Корректность проведения теста хи-квадрат определяется двумя условиями:

• ожидаемые частоты < 5 должны встречаться не более чем в 20% полей таблицы;
• суммы по строкам и столбцам всегда должны быть больше нуля.

Однако в рассматриваемом примере это условие выполняется не полностью. Как указывает примечание после таблицы теста хи-квадрат, 25% полей имеют ожидаемую частоту менее 5. Однако, так как допустимый предел в 20% превышен лишь ненамного и эти поля, вследствие своего очень малого стандартизованного остатка, вносят весьма незначительную долю в величину критерия хи-квадрат, это нарушение можно считать несущественным.

Альтернативой формуле Пирсона для вычисления критерия хи-квадрат является поправка на правдоподобие:

При большом объеме выборки формула Пирсона и подправленная формула дают очень близкие результаты. В нашем примере критерий хи-квадрат с поправкой на правдоподобие составляет 23,688.

Хи-квадрат Пирсона - это наиболее простой критерий проверки значимости связи между двумя категоризованными переменными. Критерий Пирсона основывается на том, что в двувходовой таблице ожидаемые частоты при гипотезе "между переменными нет зависимости" можно вычислить непосредственно. Представьте, что 20 мужчин и 20 женщин опрошены относительно выбора газированной воды (марка A или марка B ). Если между предпочтением и полом нет связи, то естественно ожидать равного выбора марки A и марки B для каждого пола.

Значение статистики хи-квадрат и ее уровень значимости зависит от общего числа наблюдений и количества ячеек в таблице. В соответствии с принципами, обсуждаемыми в разделе , относительно малые отклонения наблюдаемых частот от ожидаемых будет доказывать значимость, если число наблюдений велико.

Имеется только одно существенное ограничение использования критерия хи-квадрат (кроме очевидного предположения о случайном выборе наблюдений), которое состоит в том, что ожидаемые частоты не должны быть очень малы. Это связано с тем, что критерий хи-квадрат по своей природе проверяет вероятности в каждой ячейке; и если ожидаемые частоты в ячейках, становятся, маленькими, например, меньше 5, то эти вероятности нельзя оценить с достаточной точностью с помощью имеющихся частот. Дальнейшие обсуждения см. в работах Everitt (1977), Hays (1988) или Kendall and Stuart (1979).

Критерий хи-квадрат (метод максимального правдоподобия). Максимум правдоподобия хи-квадрат предназначен для проверки той же самой гипотезы относительно связей в таблицах сопряженности, что и критерий хи-квадрат Пирсона. Однако его вычисление основано на методе максимального правдоподобия. На практике статистика МП хи-квадрат очень близка по величине к обычной статистике Пирсона хи-квадрат . Подробнее об этой статистике можно прочитать в работах Bishop, Fienberg, and Holland (1975) или Fienberg (1977). В разделе Логлинейный анализ эта статистика обсуждается подробнее.

Поправка Йетса. Аппроксимация статистики хи-квадрат для таблиц 2x2 с малыми числом наблюдений в ячейках может быть улучшена уменьшением абсолютного значения разностей между ожидаемыми и наблюдаемыми частотами на величину 0.5 перед возведением в квадрат (так называемая поправка Йетса ). Поправка Йетса, делающая оценку более умеренной, обычно применяется в тех случаях, когда таблицы содержат только малые частоты, например, когда некоторые ожидаемые частоты становятся меньше 10 (дальнейшее обсуждение см. в Conover, 1974; Everitt, 1977; Hays, 1988; Kendall and Stuart, 1979 и Mantel, 1974).

Точный критерий Фишера. Этот критерий применим только для таблиц 2x2. Критерий основан на следующем рассуждении. Даны маргинальные частоты в таблице, предположим, что обе табулированные переменные независимы. Зададимся вопросом: какова вероятность получения наблюдаемых в таблице частот, исходя из заданных маргинальных? Оказывается, эта вероятность вычисляется точно подсчетом всех таблиц, которые можно построить, исходя из маргинальных. Таким образом, критерий Фишера вычисляет точную вероятность появления наблюдаемых частот при нулевой гипотезе (отсутствие связи между табулированными переменными). В таблице результатов приводятся как односторонние, так и двусторонние уровни.

Хи-квадрат Макнемара. Этот критерий применяется, когда частоты в таблице 2x2 представляют зависимые выборки. Например, наблюдения одних и тех же индивидуумов до и после эксперимента. В частности, вы можете подсчитывать число студентов, имеющих минимальные успехи по математике в начале и в конце семестра или предпочтение одних и тех же респондентов до и после рекламы. Вычисляются два значения хи-квадрат : A/D и B/C . A/D хи-квадрат проверяет гипотезу о том, что частоты в ячейках A и D (верхняя левая, нижняя правая) одинаковы. B/C хи-квадрат проверяет гипотезу о равенстве частот в ячейках B и C (верхняя правая, нижняя левая).

Коэффициент Фи. Фи-квадрат представляет собой меру связи между двумя переменными в таблице 2x2. Его значения изменяются от 0 (нет зависимости между переменными; хи-квадрат = 0.0 ) до 1 (абсолютная зависимость между двумя факторами в таблице). Подробности см. в Castellan and Siegel (1988, стр. 232).

Тетрахорическая корреляция. Эта статистика вычисляется (и применяется) только для таблиц сопряженности 2x2. Если таблица 2x2 может рассматриваться как результат (искусственного) разбиения значений двух непрерывных переменных на два класса, то коэффициент тетрахорической корреляции позволяет оценить зависимость между двумя этими переменными.

Коэффициент сопряженности. Коэффициент сопряженности представляет собой основанную на статистике хи-квадрат меру связи признаков в таблице сопряженности (предложенную Пирсоном). Преимущество этого коэффициента перед обычной статистикой хи-квадрат в том, что он легче интерпретируется, т.к. диапазон его изменения находится в интервале от 0 до 1 (где 0 соответствует случаю независимости признаков в таблице, а увеличение коэффициента показывает увеличение степени связи). Недостаток коэффициента сопряженности в том, что его максимальное значение "зависит" от размера таблицы. Этот коэффициент может достигать значения 1 только, если число классов не ограничено (см. Siegel, 1956, стр. 201).

Интерпретация мер связи. Существенный недостаток мер связи (рассмотренных выше) связан с трудностью их интерпретации в обычных терминах вероятности или "доли объясненной вариации", как в случае коэффициента корреляции r Пирсона (см. Корреляции). Поэтому не существует одной общепринятой меры или коэффициента связи.

Статистики, основанные на рангах. Во многих задачах, возникающих на практике, мы имеем измерения лишь в порядковой шкале (см. Элементарные понятия статистики ). Особенно это относится к измерениям в области психологии, социологии и других дисциплинах, связанных с изучением человека. Предположим, вы опросили некоторое множество респондентов с целью выяснения их отношение к некоторым видам спорта. Вы представляете измерения в шкале со следующими позициями: (1) всегда , (2) обычно , (3) иногда и (4) никогда . Очевидно, что ответ иногда интересуюсь показывает меньший интерес респондента, чем ответ обычно интересуюсь и т.д. Таким образом, можно упорядочить (ранжировать) степень интереса респондентов. Это типичный пример порядковой шкалы. Для переменных, измеренных в порядковой шкале, имеются свои типы корреляции, позволяющие оценить зависимости.

R Спирмена. Статистику R Спирмена можно интерпретировать так же, как и корреляцию Пирсона (r Пирсона) в терминах объясненной доли дисперсии (имея, однако, в виду, что статистика Спирмена вычислена по рангам). Предполагается, что переменные измерены как минимум в порядковой шкале. Всестороннее обсуждение ранговой корреляции Спирмена, ее мощности и эффективности можно найти, например, в книгах Gibbons (1985), Hays (1981), McNemar (1969), Siegel (1956), Siegel and Castellan (1988), Kendall (1948), Olds (1949) и Hotelling and Pabst (1936).

Тау Кендалла. Статистика тау Кендалла эквивалентна R Спирмена при выполнении некоторых основных предположений. Также эквивалентны их мощности. Однако обычно значения R Спирмена и тау Кендалла различны, потому что они отличаются как своей внутренней логикой, так и способом вычисления. В работе Siegel and Castellan (1988) авторы выразили соотношение между этими двумя статистиками следующим неравенством:

1 < = 3 * Тау Кендалла - 2 * R Спирмена < = 1

Более важно то, что статистики Кендалла тау и Спирмена R имеют различную интерпретацию: в то время как статистика R Спирмена может рассматриваться как прямой аналог статистики r Пирсона, вычисленный по рангам, статистика Кендалла тау скорее основана на вероятности . Более точно, проверяется, что имеется различие между вероятностью того, что наблюдаемые данные расположены в том же самом порядке для двух величин и вероятностью того, что они расположены в другом порядке. Kendall (1948, 1975), Everitt (1977), и Siegel and Castellan (1988) очень подробно обсуждают тау Кендалла. Обычно вычисляется два варианта статистики тау Кендалла: tau b и tau c . Эти меры различаются только способом обработки совпадающих рангов. В большинстве случаев их значения довольно похожи. Если возникают различия, то, по-видимому, самый безопасный способ - рассматривать наименьшее из двух значений.

Коэффициент d Соммера: d(X|Y), d(Y|X). Статистика d Соммера представляет собой несимметричную меру связи между двумя переменными. Эта статистика близка к tau b (см. Siegel and Castellan, 1988, стр. 303-310).

Гамма-статистика. Если в данных имеется много совпадающих значений, статистика гамма предпочтительнее R Спирмена или тау Кендалла. С точки зрения основных предположений, статистика гамма эквивалентна статистике R Спирмена или тау Кендалла. Ее интерпретация и вычисления более похожи на статистику тау Кендалла, чем на статистику R Спирмена. Говоря кратко, гамма представляет собой также вероятность ; точнее, разность между вероятностью того, что ранговый порядок двух переменных совпадает, минус вероятность того, что он не совпадает, деленную на единицу минус вероятность совпадений. Таким образом, статистика гамма в основном эквивалентна тау Кендалла, за исключением того, что совпадения явно учитываются в нормировке. Подробное обсуждение статистики гамма можно найти у Goodman and Kruskal (1954, 1959, 1963, 1972), Siegel (1956) и Siegel and Castellan (1988).

Коэффициенты неопределенности. Эти коэффициенты измеряют информационную связь между факторами (строками и столбцами таблицы). Понятие информационной зависимости берет начало в теоретико-информационном подходе к анализу таблиц частот, можно обратиться к соответствующим руководствам для разъяснения этого вопроса (см. Kullback, 1959; Ku and Kullback, 1968; Ku, Varner, and Kullback, 1971; см. также Bishop, Fienberg, and Holland, 1975, стр. 344-348). Статистика S (Y,X ) является симметричной и измеряет количество информации в переменной Y относительно переменной X или в переменной X относительно переменной Y . Статистики S(X|Y) и S(Y|X) выражают направленную зависимость.

Многомерные отклики и дихотомии. Переменные типа многомерных откликов и многомерных дихотомий возникают в ситуациях, когда исследователя интересуют не только "простые" частоты событий, но также некоторые (часто неструктурированные) качественные свойства этих событий. Природу многомерных переменных (факторов) лучше всего понять на примерах.

• · Многомерные отклики
• · Многомерные дихотомии
• · Кросстабуляция многомерных откликов и дихотомий
• · Парная кросстабуляция переменных с многомерными откликами
• · Заключительный комментарий

Многомерные отклики. Представьте, что в процессе большого маркетингового исследования, вы попросили покупателей назвать 3 лучших, с их точки зрения, безалкогольных напитка. Обычный вопрос может выглядеть следующим образом.

При проведении теста хи-квадрат проверяется взаимная независимость двух переменных таблицы сопряженности и благодаря этому косвенно выясняется зависимость обоих переменных. Две переменные считаются взаимно независимыми, если наблюдаемые частоты (f 0) в ячейках совпадают с ожидаемыми частотами (f e).

Для того, чтобы провести тест хи-квадрат с помощью SPSS, выполните следующие действия:

• Выберите в меню команды Analyze (Анализ) › Descriptive Statistics (Дескриптивные статистики) › Crosstabs… (Таблицы сопряженности)
• Кнопкой Reset (Сброс) удалите возможные настройки.
• Перенесите переменную sex в список строк, а переменную psyche - в список столбцов.
• Щелкните на кнопке Cells… (Ячейки). В диалоговом окне установите, кроме предлагаемого по умолчанию флажка Observed , еще флажки Expected и Standardized . Подтвердите выбор кнопкой Continue .
• Щелкните на кнопке Statistics… (Статистика).

Откроется описанное выше диалоговое окно Crosstabs: Statistics .

• Установите флажок Chi-square (Хи-квадрат). Щелкните на кнопке Continue , а в главном диалоговом окне - на ОК .

Вы получите следующую таблицу сопряженности.

Пол * Психическое состояние. Таблица сопряженности .

Кроме того, в окне просмотра будут показаны результаты теста хи-квадрат:

Chi-Square Tests (Тесты хи-квадрат)

• а. 2 cells (25.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 2.49 (2 ячейки (25%) имеют ожидаемую частоту менее 5. Минимальная ожидаемая частота 2.49.)

Для вычисления критерия хи-квадрат применяются три различных подхода: формула Пирсона, поправка на правдоподобие и тест Мантеля-Хэнзеля. Если таблица сопряженности имеет четыре поля и ожидаемая вероятность менее 5, дополнительно выполняется точный тест Фишера.

Критерий хи-квадрат по Пирсону

Обычно для вычисления критерия хи-квадрат используется формула Пирсона:

Здесь вычисляется сумма квадратов стандартизованных остатков по всем полям таблицы сопряженности. Поэтому поля с более высоким стандартизованным остатком вносят более весомый вклад в численное значение критерия хи-квадрат и, следовательно, - в значимый результат. Согласно правилу, приведенному в разделе 8.7.2, стандартизованный остаток 2 или более указывает на значимое расхождение между наблюдаемой и ожидаемой частотами.

В рассматриваемом нами примере формула Пирсона дает максимально значимую величину критерия хи-квадрат (р<0.001). Если рассмотреть стандартизованные остатки в отдельных полях таблицы сопряженности, то на основе вышеприведенного правила можно сделать вывод, что эта значимость в основном определяется полями, в которых переменная psyche имеет значение "крайне неустойчивое". У женщин это значение сильно повышено, а у мужчин - понижено.

Корректность проведения теста хи-квадрат определяется двумя условиями: во-первых, ожидаемые частоты < 5 должны встречаться не более чем в 20% полей таблицы; во-вторых, суммы по строкам и столбцам всегда должны быть больше нуля.

Однако в рассматриваемом примере это условие выполняется не полностью. Как указывает примечание после таблицы теста хи-квадрат, 25% полей имеют ожидаемую частоту менее 5. Однако, так как допустимый предел4в 20% превышен лишь ненамного и эти поля, вследствие своего очень малого стандартизованного остатка, вносят весьма незначительную долю в величину критерия хи-квадрат, это нарушение можно считать несущественным.

Критерий хи-квадрат с поправкой на правдоподобие

Альтернативой формуле Пирсона для вычисления критерия хи-квадрат является поправка на правдоподобие:

При большом объеме выборки формула Пирсона и подправленная формула дают очень близкие результаты. В нашем примере критерий хи-квадрат с поправкой на правдоподобие составляет 23.688.

Тест Мантеля-Хэнзеля

Дополнительно в таблице сопряженности под обозначением linear-by-linear ("линейный-по-линейному") выводится значение теста Мантеля-Хэнзеля (20.391). Эта форма критерия хи-квадрат с поправкой Мантеля-Хэнзеля - еще одна мера линейной зависимости между строками и столбцами таблицы сопряженности. Она определяется как произведение коэффициента корреляции Пирсона на количество наблюдений, уменьшенное на единицу:

Полученный таким образом критерий имеет одну степень свободы. Метод Мантеля-Хэнзеля используется всегда, когда в диалоговом окне Crosstabs: Statistics установлен флажок Chi-square . Однако для данных, относящихся к с номинальной шкале, этот критерий неприменим.