एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष ("जड़त्व का अक्षीय क्षण") को मान कहा जाता है जे एसभी के लोगों के उत्पादों के योग के बराबर एनप्रणाली के भौतिक बिंदुओं को अक्ष से उनकी दूरी के वर्गों में:

• मैं मैं- वजन मैं-वां बिंदु,
• मैं- से दूरी मैं- अक्ष के लिए बिंदु।

AXIAL निष्क्रियता के पलतन जे एएक धुरी के चारों ओर घूर्णी गति में एक पिंड की जड़ता का एक उपाय है, जैसे कि एक पिंड का द्रव्यमान अनुवाद गति में इसकी जड़ता का एक उपाय है।

यदि शरीर सजातीय है, अर्थात उसका घनत्व हर जगह समान है, तो

ह्यूजेंस-स्टेनर प्रमेय

निष्क्रियता के पलकिसी भी अक्ष के सापेक्ष एक ठोस पिंड का न केवल द्रव्यमान, आकार और आकार पर निर्भर करता है, बल्कि इस धुरी के संबंध में शरीर की स्थिति पर भी निर्भर करता है। स्टीनर प्रमेय (ह्यूजेंस-स्टीनर प्रमेय) के अनुसार, निष्क्रियता के पलतन जेएक मनमाना अक्ष के सापेक्ष योग के बराबर है निष्क्रियता के पलयह शरीर जे.सी.माना अक्ष के समानांतर शरीर के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष, और शरीर द्रव्यमान का उत्पाद एमप्रति वर्ग दूरी डीधुरी के बीच:

शरीर का कुल द्रव्यमान कहाँ है।

उदाहरण के लिए, एक छड़ के अंत से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण है:

कुछ निकायों की जड़ता के अक्षीय क्षण

शरीर	विवरण	अक्ष स्थिति ए	निष्क्रियता के पल जे ए
	द्रव्यमान का भौतिक बिंदु एम	दूरी पर आरएक बिंदु से, निश्चित
	खोखले पतली दीवार वाले सिलेंडर या त्रिज्या की अंगूठी आरऔर जनता एम	सिलेंडर अक्ष
	ठोस सिलेंडर या डिस्क त्रिज्या आरऔर जनता एम	सिलेंडर अक्ष
	खोखले मोटी दीवार वाले द्रव्यमान सिलेंडर एमबाहरी त्रिज्या के साथ r2और आंतरिक त्रिज्या आर 1	सिलेंडर अक्ष
	ठोस सिलेंडर लंबाई मैं, त्रिज्या आरऔर जनता एम
	खोखले पतली दीवार वाले सिलेंडर (अंगूठी) की लंबाई मैं, त्रिज्या आरऔर जनता एम	अक्ष बेलन के लंबवत है और इसके द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है
	सीधी पतली छड़ की लंबाई मैंऔर जनता एम	अक्ष छड़ के लंबवत है और इसके द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरती है
	सीधी पतली छड़ की लंबाई मैंऔर जनता एम	अक्ष छड़ के लंबवत है और इसके सिरे से होकर गुजरता है
	त्रिज्या का पतला दीवार वाला गोला आरऔर जनता एम	अक्ष गोले के केंद्र से होकर गुजरती है
	गेंद त्रिज्या आरऔर जनता एम	धुरी गेंद के केंद्र से होकर गुजरती है
	शंकु त्रिज्या आरऔर जनता एम	शंकु अक्ष
	ऊंचाई के साथ समद्विबाहु त्रिभुज एच, आधार एऔर वजन एम	अक्ष त्रिभुज के तल के लंबवत है और शीर्ष से होकर गुजरता है
	भुजा के साथ समकोण त्रिभुज एऔर वजन एम	अक्ष त्रिभुज के तल के लंबवत है और द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है
	पक्ष के साथ वर्ग एऔर वजन एम	अक्ष वर्ग के तल के लंबवत है और द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है

सूत्रों की व्युत्पत्ति

पतली दीवार वाला सिलेंडर (अंगूठी, घेरा)

सूत्र व्युत्पत्ति

किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण उसके अवयवों के जड़त्व आघूर्ण के योग के बराबर होता है। एक पतली दीवार वाले सिलेंडर को द्रव्यमान वाले तत्वों में विभाजित करना डी एमऔर जड़ता के क्षण डीजे मैं. फिर

चूँकि पतली दीवार वाले बेलन के सभी अवयव घूर्णन अक्ष से समान दूरी पर होते हैं, इसलिए सूत्र (1) को रूप में परिवर्तित किया जाता है।

मोटी दीवार वाला सिलेंडर (अंगूठी, घेरा)

सूत्र व्युत्पत्ति

माना बाहरी त्रिज्या वाला एक सजातीय वलय है आर, आंतरिक त्रिज्या आर 1, मोटा एचऔर घनत्व . आइए इसे मोटाई के साथ पतले छल्ले में तोड़ दें डॉ.. त्रिज्या की एक पतली अंगूठी की जड़ता का द्रव्यमान और क्षण आरहोगा

हम एक मोटे वलय के जड़त्व आघूर्ण को समाकलन के रूप में पाते हैं

चूँकि वलय का आयतन और द्रव्यमान बराबर है

हम अंगूठी की जड़ता के क्षण के लिए अंतिम सूत्र प्राप्त करते हैं

सजातीय डिस्क (ठोस सिलेंडर)

सूत्र व्युत्पत्ति

सिलेंडर (डिस्क) को शून्य आंतरिक त्रिज्या के साथ एक अंगूठी के रूप में मानते हुए ( आर 1 = 0), हम सिलेंडर (डिस्क) की जड़ता के क्षण के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं:

ठोस शंकु

सूत्र व्युत्पत्ति

शंकु को मोटाई की पतली डिस्क में विभाजित करें धनबाद के, शंकु की धुरी के लंबवत। ऐसी डिस्क की त्रिज्या है

कहाँ पे आरशंकु के आधार की त्रिज्या है, एचशंकु की ऊंचाई है, एचशंकु के शीर्ष से डिस्क तक की दूरी है। ऐसी डिस्क का द्रव्यमान और जड़ता का क्षण होगा

एकीकृत करना, हमें मिलता है

ठोस वर्दी गेंद

सूत्र व्युत्पत्ति

गेंद को पतली डिस्क में विभाजित करें धनबाद के, घूर्णन की धुरी के लंबवत। ऊंचाई पर स्थित ऐसी डिस्क की त्रिज्या एचगोले के केंद्र से, हम सूत्र द्वारा पाते हैं

ऐसी डिस्क का द्रव्यमान और जड़ता का क्षण होगा

हम एकीकृत करके गोले की जड़ता का क्षण पाते हैं:

पतली दीवार वाला गोला

सूत्र व्युत्पत्ति

व्युत्पत्ति के लिए, हम त्रिज्या की एक सजातीय गेंद की जड़ता के क्षण के सूत्र का उपयोग करते हैं आर:

आइए हम गणना करें कि गेंद की जड़ता का क्षण कितना बदल जाएगा, यदि निरंतर घनत्व पर, इसकी त्रिज्या एक असीम मान से बढ़ जाती है डॉ.

पतली छड़ (अक्ष केंद्र से होकर गुजरती है)

सूत्र व्युत्पत्ति

रॉड को लंबाई के छोटे-छोटे टुकड़ों में बाँट लें डॉ.. ऐसे टुकड़े का द्रव्यमान और जड़ता का क्षण है

एकीकृत करना, हमें मिलता है

पतली छड़ (धुरी अंत से होकर जाती है)

सूत्र व्युत्पत्ति

जब छड़ के मध्य से उसके अंत तक घूर्णन अक्ष को घुमाते हैं, तो छड़ का गुरुत्व केंद्र अक्ष के सापेक्ष कुछ दूरी पर गति करता है। मैं/ 2। स्टीनर प्रमेय के अनुसार, जड़त्व का नया क्षण बराबर होगा

ग्रहों और उनके उपग्रहों की जड़ता के आयामहीन क्षण

ग्रहों और उनके उपग्रहों की आंतरिक संरचना के अध्ययन के लिए उनके जड़त्व के आयामहीन क्षण बहुत महत्वपूर्ण हैं। त्रिज्या के एक पिंड की जड़ता का आयामहीन क्षण आरऔर जनता एमदूरी पर स्थित रोटेशन के एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष समान द्रव्यमान के भौतिक बिंदु की जड़ता के क्षण के रोटेशन की धुरी के बारे में जड़ता के अपने क्षण के अनुपात के बराबर है आर(के बराबर श्री 2))। यह मान द्रव्यमान के वितरण को गहराई से दर्शाता है। ग्रहों और उपग्रहों में इसे मापने के तरीकों में से एक यह है कि किसी दिए गए ग्रह या उपग्रह के चारों ओर उड़ने वाले एएमएस द्वारा प्रेषित रेडियो सिग्नल के डॉपलर शिफ्ट को निर्धारित किया जाए। एक पतली दीवार वाले गोले के लिए, जड़त्व का आयाम रहित क्षण 2/3 (~ 0.67) के बराबर होता है, एक सजातीय गेंद के लिए - 0.4, और सामान्य तौर पर जितना छोटा होता है, शरीर का द्रव्यमान उतना ही अधिक उसके केंद्र पर केंद्रित होता है। उदाहरण के लिए, चंद्रमा में 0.4 (0.391 के बराबर) के करीब जड़त्व का एक आयामहीन क्षण है, इसलिए यह माना जाता है कि यह अपेक्षाकृत सजातीय है, इसका घनत्व गहराई के साथ थोड़ा बदलता है। पृथ्वी की जड़ता का आयामहीन क्षण एक सजातीय गेंद (0.335 के बराबर) की तुलना में कम है, जो इसमें एक घने कोर के अस्तित्व के पक्ष में एक तर्क है।

जड़ता का केन्द्रापसारक क्षण

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की कुल्हाड़ियों के संबंध में एक शरीर की जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण निम्नलिखित मात्रा हैं:

कहाँ पे एक्स, आपऔर जेड- आयतन के साथ शरीर के एक छोटे से तत्व का निर्देशांक डीवी, घनत्व ρ और वजन डी एम.

OX अक्ष कहा जाता है शरीर की जड़ता की मुख्य धुरीअगर जड़ता के केन्द्रापसारक क्षण जेक्सीऔर Jxzएक साथ शून्य हैं। शरीर के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से जड़त्व के तीन मुख्य अक्ष खींचे जा सकते हैं। ये कुल्हाड़ियाँ परस्पर लंबवत होती हैं। शरीर की जड़ता के क्षणएक मनमाना बिंदु पर खींची गई जड़ता के तीन मुख्य अक्षों के सापेक्ष हेनिकायों को कहा जाता है शरीर की जड़ता के मुख्य क्षण.

पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाले जड़त्व के प्रमुख अक्ष कहलाते हैं शरीर की जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्ष, और इन अक्षों के बारे में जड़ता के क्षण इसके हैं जड़ता के मुख्य केंद्रीय क्षण. एक सजातीय शरीर की समरूपता की धुरी हमेशा जड़ता के मुख्य केंद्रीय अक्षों में से एक होती है।

जड़ता का ज्यामितीय क्षण

जड़ता का ज्यामितीय क्षण - दृश्य के खंड की ज्यामितीय विशेषता

केंद्रीय अक्ष से तटस्थ अक्ष के सापेक्ष किसी भी प्राथमिक क्षेत्र की दूरी कहां है।

जड़ता का ज्यामितीय क्षण सामग्री की गति से संबंधित नहीं है, यह केवल खंड की कठोरता की डिग्री को दर्शाता है। इसका उपयोग गियरेशन की त्रिज्या, बीम विक्षेपण, बीम के अनुभाग चयन, कॉलम आदि की गणना के लिए किया जाता है।

माप की एसआई इकाई एम 4 है। निर्माण गणना, साहित्य और लुढ़का धातु के वर्गीकरण में, विशेष रूप से, यह सेमी 4 में इंगित किया गया है।

इससे खंड मापांक व्यक्त किया जाता है:

जड़ता का केंद्रीय क्षण

जड़ता का केंद्रीय क्षण(या बिंदु O के बारे में जड़ता का क्षण) मात्रा है

जड़ता के केंद्रीय क्षण को जड़ता के मुख्य अक्षीय या केन्द्रापसारक क्षणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:।

जड़ता का टेंसर और जड़ता का दीर्घवृत्त

द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली एक मनमानी धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण और एक इकाई वेक्टर द्वारा दी गई दिशा को द्विघात (द्विरेखीय) रूप के रूप में दर्शाया जा सकता है:

जड़ता टेंसर कहाँ है। जड़ता टेंसर मैट्रिक्स सममित है, इसमें आयाम हैं, और इसमें केन्द्रापसारक क्षण घटक होते हैं:

एक उपयुक्त समन्वय प्रणाली का चयन करके, जड़ता टेंसर के मैट्रिक्स को एक विकर्ण रूप में कम किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको टेंसर मैट्रिक्स के लिए eigenvalue समस्या को हल करने की आवश्यकता है:
,
जड़ता टेंसर के अपने आधार पर ऑर्थोगोनल संक्रमण मैट्रिक्स कहां है। अपने स्वयं के आधार पर, समन्वय अक्षों को जड़ता टेंसर के प्रमुख अक्षों के साथ निर्देशित किया जाता है और जड़ता टेंसर दीर्घवृत्त के प्रमुख अर्ध-अक्षों के साथ भी मेल खाता है। परिमाण जड़त्व के प्रमुख क्षण हैं। अभिव्यक्ति (1) अपने स्वयं के समन्वय प्रणाली में रूप है:

समीकरण कहाँ से आता है

अब समस्या पर विचार करें जड़ता के क्षण का निर्धारणविभिन्न निकायों। आम जड़ता के क्षण को खोजने का सूत्र z-अक्ष के सापेक्ष वस्तु का रूप होता है

दूसरे शब्दों में, आपको सभी द्रव्यमानों को जोड़ने की जरूरत है, उनमें से प्रत्येक को अक्ष से इसकी दूरी के वर्ग से गुणा करना (x 2 i + y 2 i)। ध्यान दें कि यह त्रि-आयामी शरीर के लिए भी सच है, भले ही दूरी में "द्वि-आयामी उपस्थिति" हो। हालांकि, ज्यादातर मामलों में हम खुद को दो-आयामी निकायों तक ही सीमित रखेंगे।

एक सरल उदाहरण के रूप में, एक छड़ पर विचार करें जो अपने सिरे से गुजरने वाली धुरी के परितः घूमती है और उसके लंबवत है (चित्र 19.3)। अब हमें सभी द्रव्यमानों को x दूरी के वर्गों से गुणा करने की आवश्यकता है (इस मामले में, सभी y शून्य हैं)। योग से, निश्चित रूप से, मेरा मतलब द्रव्यमान के "तत्वों" से गुणा x 2 का अभिन्न अंग है। यदि हम छड़ को लंबाई dx के टुकड़ों में विभाजित करते हैं, तो द्रव्यमान का संगत तत्व dx के समानुपाती होगा, और यदि dx पूरी छड़ की लंबाई हो, तो इसका द्रव्यमान M के बराबर होगा। इसलिए

जड़ता के क्षण का आयाम हमेशा लंबाई के वर्ग के द्रव्यमान के बराबर होता है, इसलिए हमने जो एकमात्र महत्वपूर्ण मूल्य की गणना की है वह कारक 1/3 है।

और जड़ता का क्षण क्या होगा I यदि घूर्णन की धुरी छड़ के बीच से होकर गुजरती है? इसे खोजने के लिए, हमें फिर से इंटीग्रल लेने की जरूरत है, लेकिन पहले से ही -1/2L से +1/2L तक की सीमा में है। हालाँकि, इस मामले की एक विशेषता पर ध्यान दें। केंद्र से गुजरने वाली धुरी के साथ ऐसी छड़ को दो छड़ के रूप में माना जा सकता है, जिसमें एक धुरी अंत से होकर गुजरती है, प्रत्येक का द्रव्यमान M/2 और लंबाई L/2 है। ऐसी दो छड़ों के जड़त्व आघूर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं और सूत्र (19.5) द्वारा परिकलित किए जाते हैं। अत: संपूर्ण छड़ का जड़त्व आघूर्ण है

इस प्रकार, छड़ को अंत की तुलना में बीच में मोड़ना बहुत आसान होता है।

बेशक, हमारे लिए रुचि के अन्य निकायों की जड़ता के क्षणों की गणना जारी रखना संभव है। लेकिन चूंकि इस तरह की गणनाओं के लिए इंटीग्रल (जो अपने आप में बहुत महत्वपूर्ण है) की गणना में बहुत अनुभव की आवश्यकता होती है, इसलिए, वे हमारे लिए बहुत कम रुचि रखते हैं। हालाँकि, यहाँ कुछ बहुत ही रोचक और उपयोगी प्रमेय हैं। चलो कुछ शरीर हो और हम इसे जानना चाहते हैं कुछ अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण. इसका मतलब है कि हम इस अक्ष के चारों ओर घूमते समय इसकी जड़ता का पता लगाना चाहते हैं। यदि हम पिंड को उसके द्रव्यमान केंद्र का समर्थन करने वाली छड़ द्वारा घुमाते हैं ताकि वह धुरी के चारों ओर घूमने के दौरान न घूमे (इस मामले में, जड़त्व बल का कोई क्षण उस पर कार्य नहीं करता है, इसलिए जब हम इसे चलाना शुरू करते हैं तो शरीर मुड़ नहीं जाएगा) , तो इसे चालू करने के लिए, आपको ठीक उसी बल की आवश्यकता है जैसे कि सभी द्रव्यमान द्रव्यमान के केंद्र में केंद्रित थे और जड़ता का क्षण केवल I 1 = MR 2 सेमी के बराबर होगा। , जहां R c.m द्रव्यमान के केंद्र से रोटेशन की धुरी तक की दूरी है। हालाँकि, यह सूत्र निश्चित रूप से गलत है। यह शरीर की जड़ता का सही क्षण नहीं देता है। दरअसल, मुड़ते समय शरीर घूमता है। न केवल द्रव्यमान का केंद्र घूम रहा है (जो I 1 मान देगा), शरीर को भी द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष घूमना चाहिए। इस प्रकार, जड़ता के क्षण I 1 में आपको I c जोड़ना होगा - द्रव्यमान के केंद्र के बारे में जड़ता का क्षण। सही उत्तर यह है कि किसी भी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है

इस प्रमेय को समानांतर अक्ष अनुवाद प्रमेय कहा जाता है। यह बहुत आसानी से सिद्ध हो जाता है। किसी भी अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण x और y के वर्गों के योग से गुणा किए गए द्रव्यमान के योग के बराबर होता है, अर्थात I \u003d Σm i (x 2 i + y 2 i)। अब हम अपना ध्यान x पर केंद्रित करेंगे, लेकिन y के लिए भी यही कहा जा सकता है। माना x-निर्देशांक मूल बिन्दु से किसी दिए गए विशेष बिंदु की दूरी है; हालांकि, आइए देखें कि अगर हम मूल बिंदु से x के बजाय द्रव्यमान के केंद्र से दूरी x` को मापते हैं तो चीजें कैसे बदलती हैं। यह जानने के लिए हमें लिखना होगा
x i = x` i + X सेमी.
इस व्यंजक का वर्ग करने पर हम पाते हैं
x 2 i = x` 2 i + 2X सेमी. x` i + X 2 सेमी.

यदि आप इसे m i से गुणा करें और सभी r पर योग करें तो क्या होगा? स्थिरांक को योग चिह्न से निकालने पर, हम पाते हैं

मैं x = m i x` 2 i + 2X c.m. m i x` i + X2 सेमी. मैं मैं हूँ

तीसरी राशि की गणना करना आसान है; यह सिर्फ एमएक्स 2 टीएसएम है। . दूसरे पद में दो गुणनखंड हैं, जिनमें से एक है Σm i x` i ; यह द्रव्यमान केंद्र के x`-निर्देशांक के बराबर होता है। लेकिन यह शून्य होना चाहिए, क्योंकि x` को द्रव्यमान के केंद्र से मापा जाता है, और इस समन्वय प्रणाली में, सभी कणों की औसत स्थिति, उनके द्रव्यमान द्वारा भारित, शून्य होती है। पहला पद, स्पष्ट रूप से, I c से x का एक भाग है। इस प्रकार, हम सूत्र (19.7) पर पहुँचते हैं।

आइए एक उदाहरण के साथ सूत्र (19.7) की जाँच करें। आइए देखें कि क्या यह रॉड के लिए लागू होगा। हमने पहले ही पाया है कि इसके सिरे के सापेक्ष छड़ का जड़त्व आघूर्ण ML 2/3 के बराबर होना चाहिए। और छड़ के द्रव्यमान का केंद्र, निश्चित रूप से, L/2 की दूरी पर है। तो हमें वह ML 2 /3=ML 2 /12+M(L/2) 2 मिलना चाहिए। चूंकि एक चौथाई + एक बारहवां = एक तिहाई, हमने कोई गलती नहीं की।

वैसे, जड़ता के क्षण (19.5) को खोजने के लिए, अभिन्न की गणना करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। कोई केवल यह मान सकता है कि यह किसी अज्ञात गुणांक द्वारा गुणा किए गए ML 2 के मान के बराबर है। उसके बाद, कोई दो हिस्सों के बारे में तर्क का उपयोग कर सकता है और गुणांक प्राप्त कर सकता है 1/4γ जड़ता के क्षण के लिए (19.6)। अब समानांतर अक्ष अनुवाद प्रमेय का उपयोग करके, हम साबित करते हैं कि γ=1/4γ + 1/4, जहां से γ=1/3 है। आप हमेशा कुछ चक्कर पा सकते हैं!

समानांतर अक्ष प्रमेय को लागू करते समय, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि अक्ष I c उस अक्ष के समानांतर होना चाहिए जिसके बारे में हम जड़ता के क्षण की गणना करना चाहते हैं।

यह शायद एक और संपत्ति का उल्लेख करने योग्य है, जो अक्सर कुछ प्रकार के निकायों की जड़ता के क्षण को खोजने में बहुत उपयोगी होता है। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं: यदि हमारे पास इस विमान में स्थित मूल के साथ एक सपाट आकृति और समन्वय अक्षों का एक तिहाई है और z-अक्ष इसके लंबवत निर्देशित है, तो z-अक्ष के बारे में इस आकृति की जड़ता का क्षण बराबर है x और y कुल्हाड़ियों के बारे में जड़ता के क्षणों के योग के लिए। यह काफी सरलता से सिद्ध होता है। नोटिस जो

एक सजातीय आयताकार प्लेट की जड़ता का क्षण, उदाहरण के लिए, द्रव्यमान एम, चौड़ाई और लंबाई एल के साथ एक अक्ष के लंबवत और इसके केंद्र से गुजरने के लिए, बस है

चूंकि प्लेट के तल में स्थित एक अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण और इसकी लंबाई के समानांतर Mω 2/12 के बराबर है, अर्थात। एक ही विमान एमएल 2/12 के बराबर है, लंबाई एल की छड़ के समान।

तो, आइए किसी दिए गए अक्ष के बारे में जड़ता के क्षण के गुणों को सूचीबद्ध करें, जिसे हम z- अक्ष कहेंगे:

1. जड़त्व का क्षण है

2. यदि किसी वस्तु में कई भाग होते हैं, और उनमें से प्रत्येक का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात हो, तो जड़त्व का कुल आघूर्ण इन भागों के जड़त्व आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
3. किसी दिए गए अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से समानांतर अक्ष के बारे में जड़ता के क्षण के बराबर होता है, साथ ही कुल द्रव्यमान का गुणन उस अक्ष के द्रव्यमान के केंद्र से दूरी के वर्ग के बराबर होता है।
4. अपने तल के लंबवत अक्ष के परितः एक समतल आकृति का जड़त्व आघूर्ण, आकृति के तल में स्थित किन्हीं दो अन्य परस्पर लंबवत अक्षों के लम्बवत अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करते हुए जड़त्व आघूर्ण के योग के बराबर होता है।

तालिका में। 19.1 कुछ प्राथमिक आंकड़ों की जड़ता के क्षणों को दर्शाता है जिनमें एक समान द्रव्यमान घनत्व होता है, और तालिका में। 19.2 - कुछ आंकड़ों की जड़ता के क्षण, जो तालिका से प्राप्त किए जा सकते हैं। 19.1 ऊपर सूचीबद्ध गुणों का उपयोग करके।

किसी भी अक्ष के बारे में निकायों को गणना द्वारा पाया जा सकता है। यदि शरीर में पदार्थ लगातार वितरित किया जाता है, तो इसके जड़त्व के क्षण की गणना अभिन्न की गणना के लिए कम हो जाती है

जिसमें आर- द्रव्यमान तत्व से दूरी डी एमरोटेशन की धुरी के लिए।

एक लंबवत अक्ष के बारे में एक पतली सजातीय छड़ की जड़ता का क्षण।अक्ष को छड़ के अंत से गुजरने दें लेकिन(चित्र। 4.4)।

जड़ता के क्षण के लिए, हम लिख सकते हैं मैं ए = किमी 2, जहां मैं- रॉड की लंबाई, क- आनुपातिकता का गुणांक। रॉड केंद्र साथ मेंइसके द्रव्यमान का केंद्र है। स्टीनर प्रमेय के अनुसार मैं ए = आई सी + एम(मैं/2) 2. मूल्य I Cदो छड़ों की जड़ता के क्षणों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, एसएऔर दप, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई है मैं/2, मास एम/2, और इसलिए, जड़ता का क्षण इस प्रकार है, मैं सी = किमी(एल/ 2) 2 . इन व्यंजकों को स्टीनर प्रमेय के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

,

कहाँ पे कश्मीर = 1/3. परिणामस्वरूप, हम पाते हैं

(4.16)

एक अपरिमित रूप से पतले वृत्ताकार वलय का जड़त्व आघूर्ण(मंडलियां)। अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण जेड(चित्र 4.5) बराबर है

मैं जेड = एमआर 2 , (4.17)

कहाँ पे आरवलय की त्रिज्या है। समरूपता के कारण मैं एक्स = मैं वाई.

फॉर्मूला (4.17) स्पष्ट रूप से एक खोखले सजातीय सिलेंडर की जड़ता का क्षण भी देता है जिसमें इसकी ज्यामितीय धुरी के बारे में असीमित पतली दीवारें होती हैं।

चावल। 4.5 अंजीर। 4.6

एक असीम रूप से पतली डिस्क और एक ठोस सिलेंडर की जड़ता का क्षण।यह माना जाता है कि डिस्क और सिलेंडर सजातीय हैं, अर्थात, उनमें एक स्थिर घनत्व के साथ पदार्थ वितरित किया जाता है। चलो अक्ष जेडडिस्क के केंद्र से होकर गुजरता है साथ मेंइसके तल के लंबवत (चित्र। 4.6)। आंतरिक त्रिज्या के साथ एक असीम पतली अंगूठी पर विचार करें आरऔर बाहरी त्रिज्या आर + डॉ. ऐसे वलय का क्षेत्रफल डीएस = 2पी आरडीआर. इसकी जड़ता का क्षण सूत्र (4.17) द्वारा पाया जाता है, यह बराबर है डीइज़ = आर 2 डीएमसंपूर्ण डिस्क की जड़ता का क्षण डिस्क की एकरूपता के कारण अभिन्न द्वारा निर्धारित किया जाता है डीएम = , कहाँ पे एस =पी आर 2 संपूर्ण डिस्क का क्षेत्रफल है। इस व्यंजक को समाकल चिह्न के अंतर्गत प्रस्तुत करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(4.18)

सूत्र (4.18) एक समांगी ठोस बेलन के उसके अनुदैर्ध्य ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व का आघूर्ण भी देता है।

एक धुरी के बारे में एक शरीर की जड़ता के क्षण की गणना को अक्सर पहली गणना द्वारा सरल बनाया जा सकता है निष्क्रियता के पलउसका बिंदु के सापेक्ष. अपने आप में, बिंदु के सापेक्ष शरीर की जड़ता का क्षण गतिकी में कोई भूमिका नहीं निभाता है। यह विशुद्ध रूप से एक सहायक अवधारणा है जो गणनाओं को सरल बनाने का कार्य करती है। बिंदु O . के बारे में शरीर की जड़ता का क्षणबुलाया उन भौतिक बिंदुओं के द्रव्यमान के उत्पादों का योग जिनमें शरीर होता है, उनकी दूरी R से बिंदु O तक के वर्गों द्वारा: क्यू = Σ एमआर 2. निरंतर द्रव्यमान वितरण के मामले में, यह योग अभिन्न q . तक कम हो जाता है = R 2 डीएम. यह बिना कहे चला जाता है कि क्षण को जड़ता के क्षण से भ्रमित नहीं होना चाहिए मैंधुरी के बारे में। पल के मामले में मैंजनता डी एमइस अक्ष की दूरी के वर्गों से गुणा किया जाता है, और क्षण के मामले में - एक निश्चित बिंदु तक।

द्रव्यमान के साथ पहले एक भौतिक बिंदु पर विचार करें एमऔर निर्देशांक के साथ एक्स, पर,जेडआयताकार समन्वय प्रणाली के सापेक्ष (चित्र। 4.7)। निर्देशांक अक्षों से इसकी दूरी के वर्ग एक्स,यू,जेडक्रमशः बराबर वाई 2 + जेड 2,z2 + x2,एक्स 2 + वाई 2, और एक ही कुल्हाड़ियों के बारे में जड़ता के क्षण

मैं एक्स= एम(आप 2 + जेड 2), मैं = एम(जेड 2 + एक्स 2),

मैं ज़ू = एम(एक्स 2 + आप 2).

इन तीन समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं आई एक्स + आई वाई + आई जेड = 2एम(एक्स 2 + y 2 +z 2).

लेकिन एक्स 2 + y 2 +z 2 = आर 2, जहां आर- मूल बिंदु से बिंदु m की दूरी ओइसलिए

आई एक्स + आई वाई + आई जेड = 2θ . (4.19)

यह अनुपात न केवल एक भौतिक बिंदु के लिए, बल्कि एक मनमाना शरीर के लिए भी मान्य है, क्योंकि शरीर को भौतिक बिंदुओं का एक समूह माना जा सकता है। इस प्रकार, एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करने वाले तीन परस्पर लंबवत अक्षों के बारे में एक पिंड की जड़ता के क्षणों का योग इस बिंदु के बारे में एक ही शरीर की जड़ता के दोगुने के बराबर है।

असीमित पतली दीवारों वाले खोखले गोले का जड़त्व आघूर्ण.

सबसे पहले, हम जड़ता का क्षण पाते हैं गेंद के केंद्र के बारे में। जाहिर है, यह . के बराबर है = एमआर 2 . फिर हम फॉर्मूला (4.19) लागू करते हैं। समरूपता को देखते हुए इसमें मानते हुए आई एक्स = आई वाई = आई जेड = आई।नतीजतन, हम इसके व्यास के सापेक्ष खोखले गेंद की जड़ता का क्षण पाते हैं

निष्क्रियता के पल
जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए, हमें मानसिक रूप से शरीर को पर्याप्त रूप से छोटे तत्वों में विभाजित करना चाहिए, जिनके बिंदुओं को रोटेशन की धुरी से समान दूरी पर स्थित माना जा सकता है, फिर वर्ग द्वारा प्रत्येक तत्व के द्रव्यमान का गुणनफल ज्ञात करें। अक्ष से इसकी दूरी, और अंत में, सभी परिणामी उत्पादों का योग करें। जाहिर है, यह बहुत श्रमसाध्य कार्य है। गिनती के लिए
नियमित ज्यामितीय आकार के निकायों की जड़ता के क्षण, कुछ मामलों में, अभिन्न कलन के तरीकों का उपयोग किया जा सकता है।
शरीर के तत्वों की जड़ता के क्षणों के परिमित योग को खोजने के लिए अनंत तत्वों के लिए गणना की गई जड़त्व के अनंत क्षणों के योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा:
लिम मैं = 1 एम मैं आर मैं 2 = ∫r 2 डीएम. (पर एम → 0).
आइए हम एक सजातीय डिस्क या ऊंचाई के साथ एक ठोस सिलेंडर की जड़ता के क्षण की गणना करें एचसमरूपता की अपनी धुरी के बारे में

आइए डिस्क को समरूपता के अक्ष पर केंद्रों के साथ पतली संकेंद्रित वलय के रूप में तत्वों में विभाजित करें। परिणामी छल्ले में एक आंतरिक व्यास होता है आरऔर बाहरी आर + डॉ, और ऊंचाई एच. जैसा डॉ.<< r , तब हम यह मान सकते हैं कि अक्ष से वलय के सभी बिंदुओं की दूरी है आर.
प्रत्येक व्यक्तिगत वलय के लिए, जड़ता का क्षण
मैं = mr 2 = r 2 m,
कहाँ पे mपूरे वलय का द्रव्यमान है।
रिंग वॉल्यूम 2prhdr. यदि डिस्क सामग्री का घनत्व ρ , फिर रिंग का द्रव्यमान
ρ2prhdr.
जड़ता का वलय क्षण
मैं = 2πρhr 3dr.
संपूर्ण डिस्क की जड़ता के क्षण की गणना करने के लिए, डिस्क के केंद्र से छल्ले की जड़ता के क्षणों को जोड़ना आवश्यक है ( आर = 0) इसके किनारे तक ( आर = आर), यानी अभिन्न की गणना करें:
मैं = 2πρh 0 आर ∫r 3dr,
या
मैं = (1/2)πρएचआर 4.
लेकिन डिस्क का द्रव्यमान एम = ρπएचआर 2, इस तरह,
मैं = (1/2)mR 2.
हम समरूप सामग्री से बने नियमित ज्यामितीय आकार के कुछ निकायों के लिए जड़ता के क्षण (गणना के बिना) प्रस्तुत करते हैं


 1. अपने तल के लंबवत केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में एक पतली अंगूठी की जड़ता का क्षण (या समरूपता की धुरी के बारे में एक पतली दीवार वाले खोखले सिलेंडर):
मैं = एमआर 2.
 2. समरूपता की धुरी के बारे में एक मोटी दीवार वाले सिलेंडर की जड़ता का क्षण:
मैं = (1/2)एम(आर 1 2 - आर 2 2)
कहाँ पे आर 1- आंतरिक और R2- बाहरी त्रिज्या।
 3. इसके व्यास में से एक के साथ मेल खाने वाली धुरी के बारे में डिस्क की जड़ता का क्षण:
मैं = (1/4)mR 2.
 4. जेनरेट्रिक्स के लंबवत अक्ष के बारे में एक ठोस सिलेंडर की जड़ता का क्षण और इसके बीच से गुजरना:
मैं \u003d मी (आर 2/4 + एच 2/12)
कहाँ पे आर- बेलन के आधार की त्रिज्या, एचसिलेंडर की ऊंचाई है।
 5. अपने मध्य से गुजरने वाली धुरी के बारे में एक पतली छड़ की जड़ता का क्षण:
मैं = (1/12) मिली 2,
कहाँ पे मैंरॉड की लंबाई है।
 6. इसके एक सिरे से गुजरने वाली धुरी के परितः एक पतली छड़ का जड़त्व आघूर्ण:
मैं = (1/3) मिली 2
7. एक व्यास के साथ मेल खाने वाली धुरी के बारे में गेंद की जड़ता का क्षण:
मैं = (2/5)mR 2.

यदि किसी पिंड का उसके द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण ज्ञात हो, तो पहले के समानांतर किसी अन्य अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण तथाकथित ह्यूजेन्स-स्टीनर प्रमेय के आधार पर पाया जा सकता है।
शरीर की जड़ता का क्षण मैंकिसी भी अक्ष के सापेक्ष शरीर की जड़ता के क्षण के बराबर होता है हैदिए गए एक के समानांतर एक अक्ष के बारे में और शरीर के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरते हुए, साथ ही शरीर का द्रव्यमान एमदूरी के वर्ग का गुना मैंधुरी के बीच:
मैं \u003d मैं सी + एमएल 2.
एक उदाहरण के रूप में, हम त्रिज्या की एक गेंद की जड़ता के क्षण की गणना करते हैं आरऔर वजन एमनिलंबन बिंदु से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष लंबाई l के धागे पर निलंबित हे. धागे का द्रव्यमान गेंद के द्रव्यमान की तुलना में छोटा होता है। द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में गेंद की जड़ता के क्षण के बाद से आईसी = (2/5) एमआर 2, और दूरी
धुरी के बीच ( एल + आर), फिर निलंबन बिंदु से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण:
मैं = (2/5) एमआर 2 + एम (एल + आर) 2.
जड़ता के क्षण का आयाम:
[मैं] = [एम] × = एमएल 2.

अनुबंध। जड़ता का क्षण और इसकी गणना।

कठोर शरीर को Z अक्ष के चारों ओर घूमने दें (चित्र 6)। इसे विभिन्न भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के रूप में दर्शाया जा सकता है m i , समय के साथ अपरिवर्तित, जिनमें से प्रत्येक एक त्रिज्या के साथ एक वृत्त के साथ चलता है मैं Z अक्ष के लंबवत समतल में स्थित है। सभी भौतिक बिंदुओं के कोणीय वेग समान हैं। Z अक्ष के परितः पिंड की जड़ता आघूर्ण का मान है:

कहाँ पे - OZ अक्ष के बारे में एक अलग सामग्री बिंदु की जड़ता का क्षण। परिभाषा से यह निम्नानुसार है कि जड़ता का क्षण है योगात्मक मात्रा, अर्थात्, अलग-अलग हिस्सों से मिलकर एक शरीर की जड़ता का क्षण भागों की जड़ता के क्षणों के योग के बराबर होता है।

चित्र 6

स्पष्टतः, [ मैं] = किलो × मी 2. जड़ता के क्षण की अवधारणा का महत्व तीन सूत्रों में व्यक्त किया गया है:

; ; .

उनमें से पहला एक पिंड की कोणीय गति को व्यक्त करता है जो एक निश्चित अक्ष Z के चारों ओर घूमता है (इस सूत्र की तुलना किसी पिंड की गति के लिए अभिव्यक्ति के साथ करना उपयोगी है) पी = एमवीसी, कहाँ पे कुलपतिद्रव्यमान के केंद्र की गति है)। दूसरे सूत्र को एक निश्चित अक्ष के चारों ओर किसी पिंड की घूर्णी गति की गतिकी का मूल समीकरण कहा जाता है, अर्थात, दूसरे शब्दों में, घूर्णी गति के लिए न्यूटन का दूसरा नियम (द्रव्यमान के केंद्र की गति के नियम के साथ तुलना करें: ) तीसरा सूत्र एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने वाले शरीर की गतिज ऊर्जा को व्यक्त करता है (एक कण की गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति के साथ तुलना करें) ) सूत्रों की तुलना हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है कि घूर्णी गति में जड़ता का क्षण इस अर्थ में द्रव्यमान के समान भूमिका निभाता है कि शरीर की जड़ता का क्षण जितना अधिक होता है, उतना ही कम कोणीय त्वरण प्राप्त होता है, अन्य सभी चीजें समान होती हैं। शरीर, लाक्षणिक रूप से बोलना, घूमना अधिक कठिन है)। वास्तव में, जड़त्व के क्षणों की गणना ट्रिपल इंटीग्रल की गणना के लिए कम हो जाती है और केवल सीमित संख्या में सममित निकायों के लिए और केवल समरूपता के अक्षों के लिए किया जा सकता है। कुल्हाड़ियों की संख्या जिसके चारों ओर शरीर घूम सकता है, असीम रूप से बड़ा है। सभी कुल्हाड़ियों में से एक है जो शरीर के एक अद्भुत बिंदु से होकर गुजरता है - ग्रैविटी केंद्र (एक बिंदु, जिसकी गति का वर्णन करने के लिए यह कल्पना करना पर्याप्त है कि प्रणाली का पूरा द्रव्यमान द्रव्यमान के केंद्र में केंद्रित है और इस बिंदु पर सभी बलों के योग के बराबर बल लगाया जाता है)। लेकिन द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरने वाली अपरिमित रूप से कई कुल्हाड़ियां भी हैं। यह पता चला है कि मनमाने आकार के किसी भी कठोर शरीर के लिए, तीन परस्पर लंबवत अक्ष होते हैं सी एक्स, सी वाई, सी जेड, बुलाया मुक्त घूर्णन की कुल्हाड़ियाँ , जिसमें एक उल्लेखनीय गुण है: यदि शरीर को इनमें से किसी भी कुल्हाड़ी के चारों ओर घुमाया जाता है और ऊपर फेंका जाता है, तो शरीर के बाद के आंदोलन के दौरान, अक्ष अपने आप समानांतर रहेगा, अर्थात। नहीं गिरेगा। किसी अन्य अक्ष के चारों ओर घूमने में यह गुण नहीं होता है। संकेतित कुल्हाड़ियों के बारे में विशिष्ट निकायों की जड़ता के क्षणों का मूल्य नीचे दिया गया है। यदि अक्ष द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है, लेकिन कुल्हाड़ियों के साथ कोण a, b, g बनाता है सी एक्स, सी वाई, सी जेडतदनुसार, ऐसी धुरी के बारे में जड़ता का क्षण बराबर है

मैं c = मैं cx cos 2 a + मैं cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

सरलतम निकायों के लिए जड़ता के क्षण की गणना पर संक्षेप में विचार करें।

1.एक लंबी पतली सजातीय छड़ की जड़ता का क्षण एक धुरी के बारे में है जो छड़ के द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरती है और इसके लंबवत होती है।

रहने दो टी -रॉड मास, मैं -इसकी लंबाई।

,

अनुक्रमणिका " साथ» जड़ता के क्षण में I Cइसका मतलब है कि यह द्रव्यमान के केंद्र (शरीर के समरूपता के केंद्र) के बिंदु से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण है, सी (0,0,0)।

2. एक पतली आयताकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण।

; ;

3. एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज की जड़ता का क्षण।

, टी. सी(0,0,0)

4. एक पतली अंगूठी की जड़ता का क्षण।

;

, टी. सी(0,0,0)

5. एक पतली डिस्क की जड़ता का क्षण।

समरूपता के कारण

; ;

6. एक ठोस सिलेंडर की जड़ता का क्षण।

;

समरूपता के कारण:

7. एक ठोस गेंद की जड़ता का क्षण।

, टी. सी(0,0,0)

8. एक ठोस शंकु की जड़ता का क्षण।

, टी. सी(0,0,0)

कहाँ पे आरआधार की त्रिज्या है, एचशंकु की ऊंचाई है।

याद रखें कि cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1। अंत में, यदि अक्ष O द्रव्यमान के केंद्र से नहीं गुजरता है, तो शरीर की जड़ता के क्षण की गणना ह्यूजेंस स्टीनर प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है।

मैं ओ \u003d मैं सी + एमडी 2, (**)

कहाँ पे मैं ओएक मनमानी धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण है, है- इसके समानांतर अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण, द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है,
एम- शरीर का द्रव्यमान, डी- धुरों के बीच की दूरी।

एक मनमानी अक्ष के संबंध में मानक आकार के निकायों के लिए जड़ता के क्षणों की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है।