विविधता पंक्तियाँ। औसत मूल्य

एक यादृच्छिक चर के देखे गए मान एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स केबुलाया विकल्प.

आवृत्तिविकल्प एक्समुझे एक नंबर कहा जाता है मैं (मैं=1,…,क) दिखा रहा है कि नमूने में यह विविधता कितनी बार होती है।

आवृत्ति(सापेक्ष आवृत्ति, शेयर) विकल्प एक्स मैं (मैं=1,…,क) को आमतौर पर इसकी आवृत्ति का अनुपात कहा जाता है मैंनमूना आकार के लिए एन.

आवृत्तियों और आवृत्तियों को कहा जाता है तराजू.

संचित आवृत्तियह विकल्पों की संख्या को कॉल करने के लिए प्रथागत है, जिनमें से मान दिए गए से कम हैं एक्स:

संचित आवृत्तियह संचित आवृत्ति के अनुपात को नमूना आकार में कॉल करने के लिए प्रथागत है:

विविधता श्रृंखला(सांख्यिकीय श्रृंखला) - यह आरोही क्रम में लिखे गए विकल्पों के अनुक्रम और उनके संबंधित भार को कॉल करने के लिए प्रथागत है।

विविधता श्रृंखला होनी चाहिए अलग(एक असतत यादृच्छिक चर के मूल्यों का नमूना) और निरंतर (अंतराल)(एक सतत यादृच्छिक चर के मूल्यों का चयन)।

असतत परिवर्तनशील श्रृंखला का रूप है:

जब विकल्पों की संख्या बड़ी होती है या विशेषता निरंतर होती है (एक यादृच्छिक चर एक निश्चित अंतराल में कोई भी मान ले सकता है), वे हैं मध्यान्तरविविधता श्रृंखला।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाने के लिए, निष्पादित करें समूहीकरणविकल्प - वे अलग-अलग अंतराल में विभाजित हैं:

कभी-कभी अंतरालों की संख्या का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है स्टर्ज सूत्र:

फिर प्रत्येक अंतराल में आने वाले वेरिएंट की संख्या की गणना की जाती है - आवृत्तियों मैं(या आवृत्ति मैं/एन) यदि वेरिएंट अंतराल की सीमा पर है, तो यह सही अंतराल से जुड़ा हुआ है।

अंतराल भिन्नता श्रृंखला का रूप है:

अनुभवजन्य (सांख्यिकीय) वितरण समारोहयह एक फ़ंक्शन को कॉल करने के लिए प्रथागत है जिसका मूल्य बिंदु पर है एक्सउस सापेक्ष आवृत्ति के बराबर है जो वैरिएंट के मान से कम होगा एक्स(के लिए संचयी आवृत्ति एक्स):

आवृत्ति बहुभुजएक पॉलीलाइन कहा जाता है जिसके खंड निर्देशांक के साथ बिंदुओं को जोड़ते हैं ( एक्स 1 ; एन 1), (एक्स 2 ; एन 2), …, (एक्स के; एनके) आवृत्ति बहुभुज, जो वितरण के बहुभुज का एक सांख्यिकीय एनालॉग है।

यह कहने योग्य है कि एक निरंतर परिवर्तनशील श्रृंखला के लिए, एक बहुभुज बनाया जा सकता है यदि मान एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स केअंतराल के मध्य बिंदु ले लो।

एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला को आमतौर पर का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है आयतचित्र.

दंड आरेख- एक चरणबद्ध आकृति जिसमें आयताकार होते हैं जिनके आधार आंशिक लंबाई अंतराल होते हैं एच= एक्स मैं +1 – एक्स मैं, मैं= 0,…,क-1, और ऊंचाई अंतराल के आवृत्तियों (या आवृत्तियों) के बराबर हैं मैं (मैं).

संचयी(संचयी वक्र) - संचित आवृत्तियों (आवृत्तियों) का वक्र। के लिए असतत श्रृंखलासंचयी बिंदुओं को जोड़ने वाली एक टूटी हुई रेखा है या , . के लिए अंतराल श्रृंखलासंचयी बिंदु से शुरू होता है, जिसका भुज पहले अंतराल की शुरुआत के बराबर है, और कोटि शून्य के बराबर संचित आवृत्ति (आवृत्ति) है। इस टूटी हुई रेखा के अन्य बिंदु अंतराल के सिरों के अनुरूप हैं।

विविधता श्रृंखला - अवधारणा और प्रकार। "विविधता श्रृंखला" 2017, 2018 श्रेणी का वर्गीकरण और विशेषताएं।

विविधता श्रृंखला: परिभाषा, प्रकार, मुख्य विशेषताएं। गणना की विधि
चिकित्सा और सांख्यिकीय अध्ययनों में फैशन, माध्यिका, अंकगणितीय माध्य
(सशर्त उदाहरण पर दिखाएं)।

एक परिवर्तनशील श्रृंखला अध्ययन के तहत विशेषता के संख्यात्मक मूल्यों की एक श्रृंखला है, जो एक दूसरे से उनके परिमाण में भिन्न होती है और एक निश्चित क्रम (आरोही या अवरोही क्रम में) में व्यवस्थित होती है। श्रृंखला के प्रत्येक संख्यात्मक मान को एक प्रकार (V) कहा जाता है, और यह दर्शाता है कि इस श्रृंखला की संरचना में यह या वह संस्करण कितनी बार होता है, आवृत्ति (p) कहलाता है।

प्रेक्षणों के मामलों की कुल संख्या, जिनमें भिन्नता श्रृंखला शामिल है, अक्षर n द्वारा निरूपित की जाती है। अध्ययन की गई विशेषताओं के अर्थ में अंतर को भिन्नता कहा जाता है। यदि चर चिह्न में मात्रात्मक माप नहीं है, तो भिन्नता को गुणात्मक कहा जाता है, और वितरण श्रृंखला को गुणकारी कहा जाता है (उदाहरण के लिए, रोग के परिणाम, स्वास्थ्य की स्थिति, आदि द्वारा वितरण)।

यदि एक चर चिह्न में मात्रात्मक अभिव्यक्ति होती है, तो इस तरह की भिन्नता को मात्रात्मक कहा जाता है, और वितरण श्रृंखला को भिन्नता कहा जाता है।

विविधता श्रृंखला को असंतत और निरंतर में विभाजित किया जाता है - मात्रात्मक विशेषता की प्रकृति के अनुसार, सरल और भारित - संस्करण की घटना की आवृत्ति के अनुसार।

एक साधारण विविधता श्रृंखला में, प्रत्येक प्रकार केवल एक बार (p=1) होता है, भारित एक में, एक ही प्रकार कई बार होता है (p>1)। ऐसी श्रृंखला के उदाहरणों पर बाद में पाठ में चर्चा की जाएगी। यदि मात्रात्मक विशेषता निरंतर है, अर्थात। पूर्णांक मानों के बीच मध्यवर्ती भिन्नात्मक मान होते हैं, परिवर्तनशील श्रृंखला को निरंतर कहा जाता है।

उदाहरण के लिए: 10.0 - 11.9

14.0 - 15.9, आदि।

यदि मात्रात्मक चिन्ह असंतत है, अर्थात। इसके व्यक्तिगत मान (विकल्प) एक दूसरे से एक पूर्णांक से भिन्न होते हैं और इनमें मध्यवर्ती भिन्नात्मक मान नहीं होते हैं, भिन्नता श्रृंखला को असंतत या असतत कहा जाता है।

हृदय गति के बारे में पिछले उदाहरण के डेटा का उपयोग करना

21 छात्रों के लिए, हम एक विविधता श्रृंखला (तालिका 1) का निर्माण करेंगे।

तालिका नंबर एक

पल्स रेट (बीपीएम) द्वारा मेडिकल छात्रों का वितरण

इस प्रकार, एक परिवर्तनशील श्रृंखला बनाने का अर्थ है व्यवस्थित करना, मौजूदा संख्यात्मक मूल्यों (विकल्प) को सुव्यवस्थित करना, अर्थात। एक निश्चित क्रम में (आरोही या अवरोही क्रम में) उनकी संगत आवृत्तियों के साथ व्यवस्थित करें। विचाराधीन उदाहरण में, विकल्पों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है और उन्हें असंतत (असतत) पूर्णांकों के रूप में व्यक्त किया जाता है, प्रत्येक विकल्प कई बार आता है, अर्थात। हम एक भारित, असंतत या असतत परिवर्तनशील श्रृंखला के साथ काम कर रहे हैं।

एक नियम के रूप में, यदि हम जिस सांख्यिकीय आबादी का अध्ययन कर रहे हैं, उसमें टिप्पणियों की संख्या 30 से अधिक नहीं है, तो अध्ययन के तहत विशेषता के सभी मूल्यों को बढ़ते क्रम में एक परिवर्तनशील श्रृंखला में व्यवस्थित करने के लिए पर्याप्त है, जैसा कि तालिका में है। 1, या अवरोही क्रम में।

बड़ी संख्या में प्रेक्षणों (n>30) के साथ, घटित होने वाले वेरिएंट की संख्या बहुत बड़ी हो सकती है, इस मामले में एक अंतराल या समूहीकृत विविधता श्रृंखला संकलित की जाती है, जिसमें बाद के प्रसंस्करण को सरल बनाने और वितरण की प्रकृति को स्पष्ट करने के लिए, रूपों को समूहों में जोड़ा जाता है।

आमतौर पर समूह विकल्पों की संख्या 8 से 15 तक होती है।

उनमें से कम से कम 5 होने चाहिए, क्योंकि। अन्यथा, यह बहुत मोटा, अत्यधिक इज़ाफ़ा होगा, जो भिन्नता की समग्र तस्वीर को विकृत करता है और औसत मूल्यों की सटीकता को बहुत प्रभावित करता है। जब समूह विकल्पों की संख्या 20-25 से अधिक होती है, तो औसत मूल्यों की गणना की सटीकता बढ़ जाती है, लेकिन विशेषता भिन्नता की विशेषताएं काफी विकृत हो जाती हैं और गणितीय प्रसंस्करण अधिक जटिल हो जाता है।

समूहीकृत श्रृंखला का संकलन करते समय, इस पर विचार करना आवश्यक है

- भिन्न समूहों को एक विशिष्ट क्रम में रखा जाना चाहिए (आरोही या अवरोही);

- भिन्न समूहों में अंतराल समान होना चाहिए;

− अंतराल की सीमाओं का मान मेल नहीं खाना चाहिए, क्योंकि यह स्पष्ट नहीं होगा कि किस समूह में अलग-अलग विकल्पों को विशेषता देना है;

- अंतराल की सीमा निर्धारित करते समय एकत्रित सामग्री की गुणात्मक विशेषताओं को ध्यान में रखना आवश्यक है (उदाहरण के लिए, वयस्कों के वजन का अध्ययन करते समय, 3-4 किलोग्राम का अंतराल स्वीकार्य है, और पहले महीनों में बच्चों के लिए) जीवन का यह 100 ग्राम से अधिक नहीं होना चाहिए।)

आइए एक समूहीकृत (अंतराल) श्रृंखला का निर्माण करें जो परीक्षा से पहले 55 मेडिकल छात्रों के लिए पल्स रेट (बीट्स प्रति मिनट की संख्या) पर डेटा की विशेषता है: 64, 66, 60, 62,

64, 68, 70, 66, 70, 68, 62, 68, 70, 72, 60, 70, 74, 62, 70, 72, 72,

64, 70, 72, 76, 76, 68, 70, 58, 76, 74, 76, 76, 82, 76, 72, 76, 74,

79, 78, 74, 78, 74, 78, 74, 74, 78, 76, 78, 76, 80, 80, 80, 78, 78.

समूहीकृत श्रृंखला बनाने के लिए, आपको चाहिए:

1. अंतराल का मान निर्धारित करें;

2. भिन्नता श्रृंखला के प्रकार के समूहों के मध्य, शुरुआत और अंत का निर्धारण करें।

अंतराल का मान (i) अपेक्षित समूहों (r) की संख्या से निर्धारित होता है, जिसकी संख्या एक विशेष तालिका के अनुसार टिप्पणियों (n) की संख्या के आधार पर निर्धारित की जाती है

अवलोकनों की संख्या के आधार पर समूहों की संख्या:

हमारे मामले में, 55 छात्रों के लिए 8 से 10 समूह बनाना संभव है।

अंतराल (i) का मान निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है -

मैं = वीमैक्स-वीमिन/आर

हमारे उदाहरण में, अंतराल का मान 82-58/8= 3 है।

यदि अंतराल मान एक भिन्नात्मक संख्या है, तो परिणाम को एक पूर्णांक तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।

कई प्रकार के औसत हैं:

अंकगणित माध्य,

ज्यामितीय माध्य,

हार्मोनिक माध्य,

मूल माध्य वर्ग,

● मध्यम प्रगतिशील,

माध्यिका

चिकित्सा आंकड़ों में, अंकगणितीय औसत का सबसे अधिक बार उपयोग किया जाता है।

अंकगणित माध्य (M) एक सामान्यीकरण मान है जो उस विशिष्ट मान को निर्धारित करता है जो संपूर्ण जनसंख्या की विशेषता है। एम की गणना के लिए मुख्य तरीके हैं: अंकगणितीय माध्य विधि और क्षणों की विधि (सशर्त विचलन)।

अंकगणित माध्य विधि का उपयोग सरल अंकगणितीय माध्य और भारित अंकगणितीय माध्य की गणना के लिए किया जाता है। समांतर माध्य मान की गणना के लिए विधि का चुनाव भिन्नता श्रृंखला के प्रकार पर निर्भर करता है। एक साधारण परिवर्तनशील श्रृंखला के मामले में, जिसमें प्रत्येक प्रकार केवल एक बार होता है, सरल अंकगणितीय माध्य सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

जहां: - अंकगणितीय माध्य मान;

V चर विशेषता (विकल्प) का मान है;

- क्रिया को इंगित करता है - योग;

n प्रेक्षणों की कुल संख्या है।

अंकगणित माध्य की गणना का एक उदाहरण सरल है। 35: 20, 22, 19, 15, 16, 21, 17, 23, 18 आयु वर्ग के 9 पुरुषों में श्वसन दर (प्रति मिनट सांसों की संख्या)।

35 वर्ष की आयु के पुरुषों में श्वसन दर का औसत स्तर निर्धारित करने के लिए यह आवश्यक है:

1. सभी विकल्पों को आरोही या अवरोही क्रम में रखते हुए एक परिवर्तनशील श्रृंखला बनाएँ। हमें एक साधारण परिवर्तनशील श्रृंखला मिली है, क्योंकि भिन्न मान केवल एक बार होते हैं।

एम = ∑V/n = 171/9 = 19 श्वास प्रति मिनट

निष्कर्ष। 35 वर्ष की आयु के पुरुषों में श्वसन दर औसतन 19 श्वास प्रति मिनट होती है।

यदि किसी प्रकार के अलग-अलग मान दोहराए जाते हैं, तो प्रत्येक संस्करण को एक पंक्ति में लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है; यह उस प्रकार के आकार को सूचीबद्ध करने के लिए पर्याप्त है जो (V) होता है और आगे उनके दोहराव की संख्या को इंगित करने के लिए (p) ) ऐसी विविधता श्रृंखला, जिसमें विकल्प होते हैं, जैसे कि, उनके अनुरूप आवृत्तियों की संख्या के अनुसार भारित होते हैं, भारित भिन्नता श्रृंखला कहलाते हैं, और परिकलित औसत मान अंकगणित भारित औसत होता है।

अंकगणितीय भारित औसत सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: M= Vp/n

जहां n आवृत्तियों के योग के बराबर प्रेक्षणों की संख्या है - r।

अंकगणितीय भारित औसत की गणना का एक उदाहरण।

चालू वर्ष की पहली तिमाही के दौरान एक स्थानीय चिकित्सक द्वारा इलाज किए गए तीव्र श्वसन रोगों (एआरआई) के 35 रोगियों में विकलांगता की अवधि (दिनों में) थी: 6, 7, 5, 3, 9, 8, 7, 5, 6 , 4, 9, 8, 7, 6, 6, 9, 6, 5, 10, 8, 7, 11, 13, 5, 6, 7, 12, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 6 , 7 दिन।

तीव्र श्वसन संक्रमण वाले रोगियों में विकलांगता की औसत अवधि निर्धारित करने की पद्धति इस प्रकार है:

1. आइए एक भारित परिवर्ती श्रंखला का निर्माण करें, क्योंकि अलग-अलग प्रकार के मान कई बार दोहराए जाते हैं। ऐसा करने के लिए, आप सभी विकल्पों को उनकी संगत आवृत्तियों के साथ आरोही या अवरोही क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं।

हमारे मामले में, विकल्प आरोही क्रम में हैं।

2. सूत्र का उपयोग करके अंकगणितीय भारित औसत की गणना करें: M = Vp/n = 233/35 = 6.7 दिन

विकलांगता की अवधि के अनुसार तीव्र श्वसन संक्रमण वाले रोगियों का वितरण:

निष्कर्ष। तीव्र श्वसन रोगों वाले रोगियों में विकलांगता की अवधि औसतन 6.7 दिन थी।

मोड (मो) विविधता श्रृंखला में सबसे आम प्रकार है। तालिका में प्रस्तुत वितरण के लिए, मोड 10 के बराबर संस्करण से मेल खाता है, यह दूसरों की तुलना में अधिक बार होता है - 6 बार।

अस्पताल के बिस्तर में रहने की अवधि के अनुसार रोगियों का वितरण (दिनों में)

कभी-कभी बहुलक का सटीक मान निर्धारित करना मुश्किल होता है, क्योंकि अध्ययन किए जा रहे डेटा में कई अवलोकन हो सकते हैं जो "सबसे अधिक बार" होते हैं।

माध्यिका (Me) एक गैर-पैरामीट्रिक संकेतक है जो भिन्नता श्रृंखला को दो बराबर हिस्सों में विभाजित करता है: समान संख्या में विकल्प माध्यिका के दोनों किनारों पर स्थित होते हैं।

उदाहरण के लिए, तालिका में दिखाए गए वितरण के लिए, माध्यिका 10 है क्योंकि इस मान के दोनों ओर 14वें विकल्प पर स्थित है, अर्थात्। संख्या 10 इस श्रृंखला में एक केंद्रीय स्थान रखती है और इसकी माध्यिका है।

यह देखते हुए कि इस उदाहरण में प्रेक्षणों की संख्या सम (n=34) है, माध्यिका निम्नानुसार निर्धारित की जा सकती है:

मैं = 2+3+4+5+6+5+4+3+2/2 = 34/2 = 17

इसका अर्थ है कि श्रृंखला का मध्य सत्रहवें विकल्प पर पड़ता है, जो 10 के माध्यिका से मेल खाता है। तालिका में प्रस्तुत वितरण के लिए, अंकगणितीय माध्य है:

एम = वीपी/एन = 334/34 = 10.1

तो, तालिका से 34 टिप्पणियों के लिए। 8, हमें मिला: Mo=10, Me=10, समांतर माध्य (M) 10.1 है। हमारे उदाहरण में, तीनों संकेतक एक-दूसरे के बराबर या करीब निकले, हालांकि वे पूरी तरह से अलग हैं।

अंकगणित माध्य सभी प्रभावों का परिणामी योग है; सभी प्रकार, बिना किसी अपवाद के, इसके गठन में भाग लेते हैं, जिसमें चरम वाले भी शामिल हैं, जो अक्सर किसी घटना या सेट के लिए असामान्य होते हैं।

मोड और माध्यिका, अंकगणितीय माध्य के विपरीत, चर विशेषता के सभी व्यक्तिगत मूल्यों (चरम वेरिएंट के मान और श्रृंखला के बिखरने की डिग्री) के मूल्य पर निर्भर नहीं करते हैं। अंकगणित माध्य प्रेक्षणों के पूरे द्रव्यमान की विशेषता है, बहुलक और माध्यिका थोक की विशेषता है

अभ्यास 1

वितरण की विभिन्न श्रृंखला

विविधता श्रृंखलाया वितरण के निकटविशेषता के बढ़ते (अधिक बार) या घटते (कम अक्सर) मूल्यों और विशेषता के एक या दूसरे मूल्य के साथ इकाइयों की संख्या की गणना के अनुसार जनसंख्या इकाइयों के क्रमबद्ध वितरण को कहा जाता है।

3 . हैं तरहवितरण रेंज:

1) रैंक की गई पंक्ति- यह अध्ययन की गई विशेषता के आरोही क्रम में जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों की एक सूची है; यदि जनसंख्या इकाइयों की संख्या काफी बड़ी है, तो क्रमबद्ध श्रृंखला बोझिल हो जाती है, और ऐसे मामलों में, अध्ययन के तहत विशेषता के मूल्यों के अनुसार जनसंख्या इकाइयों को समूहीकृत करके वितरण श्रृंखला का निर्माण किया जाता है (यदि विशेषता एक छोटी संख्या लेती है मूल्यों का, फिर एक असतत श्रृंखला का निर्माण किया जाता है, और अन्यथा, एक अंतराल श्रृंखला);

2) असतत श्रृंखला- यह दो स्तंभों (पंक्तियों) से युक्त एक तालिका है - एक भिन्न विशेषता के विशिष्ट मान एक्स मैंऔर सुविधा के दिए गए मान के साथ जनसंख्या इकाइयों की संख्या एफ मैं- आवृत्तियों; असतत श्रृंखला में समूहों की संख्या चर विशेषता के वास्तव में मौजूदा मूल्यों की संख्या से निर्धारित होती है;

3) अंतराल श्रृंखला- यह दो स्तंभों (पंक्तियों) से युक्त एक तालिका है - एक भिन्न चिह्न के अंतराल एक्स मैंऔर किसी दिए गए अंतराल (आवृत्तियों) के भीतर आने वाली जनसंख्या इकाइयों की संख्या, या जनसंख्या की कुल संख्या (आवृत्तियों) में इस संख्या का अनुपात।

किसी दी गई जनसंख्या में व्यक्तिगत विकल्प कितनी बार आते हैं, यह दर्शाने वाली संख्याएँ कहलाती हैं आवृत्तियोंया तराजूभिन्न और लैटिन वर्णमाला के एक छोटे अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है एफ. परिवर्ती श्रेणी की बारंबारताओं का कुल योग इस समष्टि के आयतन के बराबर होता है, अर्थात्।

कहाँ पे क- समूहों की संख्या, एनअवलोकनों की कुल संख्या या जनसंख्या का आकार है।

फ़्रीक्वेंसी (वज़न) को न केवल निरपेक्ष, बल्कि सापेक्ष संख्याओं में भी व्यक्त किया जाता है - एक इकाई के अंशों में या इस सेट को बनाने वाले वेरिएंट की कुल संख्या के प्रतिशत के रूप में। ऐसे मामलों में, वज़न को कहा जाता है सापेक्ष आवृत्तियोंया आवृत्तियों।विवरण का कुल योग एक के बराबर है

या
,

यदि आवृत्तियों को प्रेक्षणों की कुल संख्या के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है पी।आवृत्तियों द्वारा आवृत्तियों का प्रतिस्थापन अनिवार्य नहीं है, लेकिन कभी-कभी यह उन मामलों में उपयोगी और यहां तक ​​​​कि आवश्यक हो जाता है जब एक दूसरे के साथ तुलना करना आवश्यक होता है जो उनके संस्करणों में बहुत भिन्न होते हैं।

इस पर निर्भर करता है कि विशेषता कैसे भिन्न होती है - अलग-अलग या लगातार, एक विस्तृत या संकीर्ण सीमा में - सांख्यिकीय आबादी को वितरित किया जाता है अंतराल रहितया मध्यान्तरभिन्नता रेखाएँ। पहले मामले में, आवृत्तियां सीधे विशेषता के रैंक किए गए मूल्यों को संदर्भित करती हैं, जो अलग-अलग समूहों या भिन्नता श्रृंखला के वर्गों की स्थिति प्राप्त करती हैं, दूसरे में, वे व्यक्तिगत अंतराल या अंतराल से संबंधित आवृत्तियों की गणना करती हैं (से - to), जिसमें इस सेट के लिए न्यूनतम से लेकर अधिकतम विकल्पों तक, विशेषता के समग्र रूपांतर को विभाजित किया गया है। ये रिक्त स्थान, या वर्ग रिक्त स्थान, चौड़ाई के बराबर हो भी सकते हैं और नहीं भी। यहाँ से वे भेद करते हैं समान और असमान अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला।असमान अंतराल श्रृंखला में, वर्ग अंतराल की चौड़ाई में परिवर्तन के रूप में आवृत्ति वितरण की प्रकृति बदल जाती है। जीव विज्ञान में असमान-अंतराल समूह का प्रयोग अपेक्षाकृत कम ही किया जाता है। एक नियम के रूप में, बायोमेट्रिक डेटा को समान अंतराल श्रृंखला में वितरित किया जाता है, जो न केवल भिन्नता के पैटर्न की पहचान करने की अनुमति देता है, बल्कि वितरण श्रृंखला की एक दूसरे के साथ तुलना करते हुए, विविधता श्रृंखला के सारांश संख्यात्मक विशेषताओं की गणना की सुविधा भी देता है।

एक समान-अंतराल भिन्नता श्रृंखला का निर्माण शुरू करते समय, वर्ग अंतराल की चौड़ाई को सही ढंग से रेखांकित करना महत्वपूर्ण है। तथ्य यह है कि एक मोटा समूह (जब बहुत व्यापक वर्ग अंतराल निर्धारित किया जाता है) भिन्नता की विशिष्ट विशेषताओं को विकृत करता है और श्रृंखला की संख्यात्मक विशेषताओं की सटीकता में कमी की ओर जाता है। अत्यधिक संकीर्ण अंतराल का चयन करते समय, संख्यात्मक विशेषताओं के सामान्यीकरण की सटीकता बढ़ जाती है, लेकिन श्रृंखला बहुत विस्तारित हो जाती है और भिन्नता की स्पष्ट तस्वीर नहीं देती है।

एक अच्छी तरह से परिभाषित विविधता श्रृंखला प्राप्त करने के लिए और इससे गणना की गई संख्यात्मक विशेषताओं की पर्याप्त सटीकता सुनिश्चित करने के लिए, विशेषता की भिन्नता (न्यूनतम से अधिकतम विकल्पों की सीमा में) को ऐसे कई समूहों या वर्गों में विभाजित करना आवश्यक है जो दोनों आवश्यकताओं को पूरा करेंगे। एक विविधता श्रृंखला का निर्माण करते समय नियोजित समूहों या वर्गों की संख्या से एक विशेषता की विविधता की सीमा को विभाजित करके इस समस्या को हल किया जाता है:

,

कहाँ पे एच- अंतराल मूल्य; एक्सएम ए एक्स आई एक्सन्यूनतम - कुल में अधिकतम और न्यूनतम मान; कसमूहों की संख्या है।

अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करते समय, समूहों की इष्टतम संख्या (चरित्र अंतराल) चुनना और अंतराल की लंबाई (सीमा) निर्धारित करना आवश्यक है। चूंकि वितरण श्रृंखला का विश्लेषण विभिन्न अंतरालों में आवृत्तियों की तुलना करता है, इसलिए यह आवश्यक है कि अंतराल की लंबाई स्थिर हो। यदि आपको असमान अंतराल के साथ वितरण की एक अंतराल श्रृंखला से निपटना है, तो तुलनीयता के लिए आपको अंतराल की इकाई के लिए आवृत्ति या आवृत्ति लाने की आवश्यकता है, परिणामी मूल्य कहा जाता है घनत्व ρ , अर्थात
.

समूहों की इष्टतम संख्या को चुना जाता है ताकि समुच्चय में विशेषता के मूल्यों की विविधता पर्याप्त सीमा तक परिलक्षित हो और साथ ही, वितरण की नियमितता, इसका आकार यादृच्छिक आवृत्ति उतार-चढ़ाव से विकृत न हो। यदि बहुत कम समूह हैं, तो भिन्नता का कोई पैटर्न नहीं होगा; यदि बहुत अधिक समूह हैं, तो यादृच्छिक आवृत्ति छलांग वितरण के आकार को विकृत कर देगी।

अक्सर, वितरण श्रृंखला में समूहों की संख्या स्टर्गेस सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

कहाँ पे एन- जनसंख्या का आकार।

एक चित्रमय प्रतिनिधित्व एक वितरण श्रृंखला और उसके गुणों के विश्लेषण में आवश्यक सहायता प्रदान करता है। अंतराल श्रृंखला को एक बार चार्ट द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें एब्सिस्सा अक्ष के साथ स्थित सलाखों के आधार अलग-अलग विशेषता के मूल्यों के अंतराल होते हैं, और सलाखों की ऊंचाई पैमाने के अनुरूप आवृत्तियां होती हैं निर्देशांक अक्ष। इस प्रकार के आरेख को कहा जाता है हिस्टोग्राम

यदि कोई असतत वितरण श्रृंखला है या मध्य अंतराल का उपयोग किया जाता है, तो ऐसी श्रृंखला के ग्राफिक प्रतिनिधित्व को कहा जाता है बहुभुज, जो निर्देशांक के साथ सीधे बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है एक्स मैंऔर एफ मैं .

यदि वर्ग मानों को भुज अक्ष के अनुदिश आलेखित किया जाता है, और संचित आवृत्तियों को कोटि अक्ष के अनुदिश आलेखित किया जाता है, इसके बाद बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़कर, एक ग्राफ प्राप्त किया जाता है जिसे कहा जाता है संचयी।संचित आवृत्तियों को क्रमिक योग द्वारा पाया जाता है, या संचयीप्रथम श्रेणी से भिन्नता श्रृंखला के अंत तक की दिशा में आवृत्तियाँ।

उदाहरण. पोल्ट्री फार्म पर 1 वर्ष के लिए 50 अंडे देने वाली मुर्गियों के अंडे के उत्पादन के आंकड़े हैं (तालिका 1.1)।

टी ए बी एल ई 1.1

अंडा देने वाली मुर्गी

एक अंतराल वितरण श्रृंखला बनाना और इसे हिस्टोग्राम, बहुभुज और संचयी के रूप में ग्राफिक रूप से प्रदर्शित करना आवश्यक है।

यह देखा जा सकता है कि यह विशेषता 1 वर्ष में एक बिछाने वाली मुर्गी से प्राप्त 212 से 245 अंडे से भिन्न होती है।

हमारे उदाहरण में, स्टर्गेस सूत्र का उपयोग करके, हम समूहों की संख्या निर्धारित करते हैं:

क = 1 + 3,322एलजी 50 = 6,643 ≈ 7.

सूत्र का उपयोग करके अंतराल की लंबाई (सीमा) की गणना करें:

.

आइए 7 समूहों और 5 टुकड़ों के अंतराल के साथ एक अंतराल श्रृंखला बनाएं। अंडे (तालिका 1.2)। तालिका में रेखांकन बनाने के लिए, हम अंतराल के मध्य और संचित आवृत्ति की गणना करते हैं।

टी ए बी एल ई 1.2

अंडा उत्पादन के वितरण की अंतराल श्रृंखला

आइए अंडे के उत्पादन के वितरण का एक हिस्टोग्राम बनाएं (चित्र 1.1)।

चावल। 1.1. अंडा उत्पादन वितरण का हिस्टोग्राम

ये हिस्टोग्राम कई लक्षणों के वितरण विशेषता का रूप दिखाते हैं: विशेषता के औसत अंतराल के मूल्य अधिक सामान्य होते हैं, और विशेषता के चरम (छोटे और बड़े) मूल्य कम आम होते हैं। इस वितरण का रूप सामान्य वितरण कानून के करीब है, जो तब बनता है जब एक चर चर बड़ी संख्या में कारकों से प्रभावित होता है, जिनमें से किसी का भी प्रमुख मूल्य नहीं होता है।

अंडा उत्पादन के वितरण के बहुभुज और संचयी का रूप है (चित्र 1.2 और 1.3)।

चावल। 1.2. अंडा वितरण बहुभुज

चावल। 1.3. अंडा उत्पादन का संचयी वितरण

समस्या समाधान तकनीक में स्प्रेडशीट प्रोसेसर माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल अगला।

1. अंजीर के अनुसार प्रारंभिक डेटा दर्ज करें। 1.4.

2. पंक्ति को रैंक करें।

2.1. कक्ष A2:A51 का चयन करें।

2.2. बटन पर टूलबार पर बायाँ-क्लिक करें<Сортировка по возрастанию > .

3. वितरण की अंतराल श्रृंखला के निर्माण के लिए अंतराल का आकार निर्धारित करें।

3.1. सेल A2 को सेल E53 में कॉपी करें।

3.2. सेल A51 को सेल E54 में कॉपी करें।

3.3. भिन्नता की सीमा की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E55 . में सूत्र दर्ज करें =ई54-ई53.

3.4. विविधता समूहों की संख्या की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E56 . में सूत्र दर्ज करें =1+3.322*LOG10(50).

3.5. सेल E57 में समूहों की गोल संख्या दर्ज करें।

3.6. अंतराल की लंबाई की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E58 . में सूत्र दर्ज करें =ई55/ई57.

3.7. सेल E59 में अंतराल की गोल लंबाई दर्ज करें।

4. एक अंतराल श्रृंखला बनाएँ।

4.1. सेल E53 को सेल B64 में कॉपी करें।

4.2. सेल B65 . में सूत्र दर्ज करें =B64+$ई$59.

4.3. सेल B65 को सेल B66:B70 में कॉपी करें।

4.4. सेल C64 . में सूत्र दर्ज करें =बी65.

4.5. सेल C65 . में सूत्र दर्ज करें =C64+$ई$59.

4.6. सेल C65 को सेल C66:C70 में कॉपी करें।

समाधान के परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्न रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.5)।

5. अंतराल आवृत्ति की गणना करें।

5.1. कमांड निष्पादित करें सेवा,डेटा विश्लेषणबाईं माउस बटन के साथ बारी-बारी से क्लिक करके।

5.2. डायलॉग बॉक्स में डेटा विश्लेषणबाईं माउस बटन के साथ सेट करें: विश्लेषण उपकरण<Гистограмма>(चित्र 1.6)।

5.3. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<ОК>.

5.4. टैब पर दंड आरेखअंजीर के अनुसार पैरामीटर सेट करें। 1.7.

5.5. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<ОК>.

समाधान के परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्न रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.8)।

6. तालिका "वितरण की अंतराल श्रृंखला" भरें।

6.1. सेल B74:B80 को सेल D64:D70 में कॉपी करें।

6.2. आवृत्तियों के योग की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल D64:D70 चुनें और टूलबार पर बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Автосумма > .

6.3. अंतराल के बीच की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल E64 . में सूत्र दर्ज करें =(बी64+सी64)/2और सेल E65:E70 पर कॉपी करें।

6.4. संचित आवृत्तियों की गणना करें। ऐसा करने के लिए, सेल D64 को सेल F64 में कॉपी करें। कक्ष F65 में, सूत्र =F64+D65 दर्ज करें और इसे कक्षों F66:F70 में कॉपी करें।

समाधान के परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्न रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.9)।

7. हिस्टोग्राम संपादित करें।

7.1 "पॉकेट" नाम पर आरेख पर राइट-क्लिक करें और दिखाई देने वाले टैब में, बटन पर क्लिक करें<Очистить>.

7.2. चार्ट पर राइट-क्लिक करें और दिखाई देने वाले टैब पर, बटन पर क्लिक करें<Исходные данные>.

7.3. डायलॉग बॉक्स में आरंभिक डेटा x-अक्ष लेबल बदलें। ऐसा करने के लिए, कक्ष B64:C70 (चित्र 1.10) का चयन करें।

7.5. कुंजी दबाएं .

परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.11)।

8. अंडा वितरण बहुभुज बनाएँ।

8.1. बटन पर टूलबार पर बायाँ-क्लिक करें<Мастер диаграмм > .

8.2. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विज़ार्ड (चरण 4 में से 1)सेट करने के लिए बाएँ माउस बटन का उपयोग करें: मानक<График>(चित्र 1.12)।

8.3. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Далее>.

8.4. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विजार्ड (4 का चरण 2)अंजीर के अनुसार पैरामीटर सेट करें। 1.13.

8.5. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Далее>.

8.6. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विजार्ड (चरण 3 का 4)चार्ट और अक्ष Y के नाम दर्ज करें (चित्र 1.14)।

8.7. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Далее>.

8.8. डायलॉग बॉक्स में चार्ट विज़ार्ड (चरण 4 का 4)अंजीर के अनुसार पैरामीटर सेट करें। 1.15.

8.9. बटन पर बायाँ-क्लिक करें<Готово>.

परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.16)।

9. चार्ट पर डेटा लेबल डालें।

9.1. चार्ट पर राइट-क्लिक करें और दिखाई देने वाले टैब पर, बटन पर क्लिक करें<Исходные данные>.

9.2. डायलॉग बॉक्स में आरंभिक डेटाएक्स-अक्ष लेबल बदलें। ऐसा करने के लिए, सेल E64:E70 (चित्र। 1.17) का चयन करें।

9.3. कुंजी दबाएं .

परिणाम डिस्प्ले स्क्रीन पर निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित होते हैं (चित्र 1.18)।

वितरण संचयी संचयी आवृत्तियों के आधार पर वितरण बहुभुज के समान बनाया गया है।

अध्ययन की गई संपत्ति के सभी मूल्य जो अध्ययन की गई आबादी में होते हैं, उन्हें विशेषता का मूल्य (संस्करण, प्रकार) और इस मूल्य में परिवर्तन कहा जाता है। उतार-चढ़ाव. समूह की क्रम संख्या के अनुरूप अनुक्रमित के साथ लैटिन वर्णमाला के छोटे अक्षरों द्वारा रूपों को निरूपित किया जाता है - एक्स मैं .

एक संख्या जो दर्शाती है कि अध्ययन के तहत जनसंख्या में प्रत्येक विशेषता मान कितनी बार आता है आवृत्ति और f . को निरूपित करें मैं . श्रृंखला की सभी आवृत्तियों का योग अध्ययन की गई जनसंख्या के आयतन के बराबर होता है।

अक्सर गणना करने की आवश्यकता होती है संचित आवृत्ति (एस). प्रत्येक विशेषता मान के लिए संचयी आवृत्ति दर्शाती है कि कितनी जनसंख्या इकाइयों का एक विशेषता मान दिए गए मान से अधिक नहीं है। संचयी आवृत्ति की गणना निम्नलिखित विशिष्ट मानों की आवृत्ति विशेषता के पहले मान की आवृत्ति में क्रमिक रूप से जोड़कर की जाती है:

संचित आवृत्ति की गणना सुविधा के पहले मूल्य से की जाती है

आवृत्तियों का योग हमेशा एक या 100% के बराबर होता है। बारंबारताओं को बारंबारताओं से बदलने से विभिन्न संख्याओं के प्रेक्षणों के साथ परिवर्तनशील श्रृंखला की तुलना करना संभव हो जाता है।

कुछ मामलों में श्रृंखला की आवृत्तियों (f i) को आवृत्तियों (ω i) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

यदि भिन्नता श्रृंखला असमान अंतरालों के साथ दी जाती है, तो वितरण की प्रकृति के सही विचार के लिए, निरपेक्ष या सापेक्ष वितरण घनत्व की गणना करना आवश्यक है।

निरपेक्ष वितरण घनत्व (p .) एफ ) श्रृंखला के एक अलग समूह के अंतराल के प्रति इकाई आकार आवृत्ति के मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है:

आर एफ = एफ/ मैं।

सापेक्ष वितरण घनत्व (पी .) ω ) श्रृंखला के एक अलग समूह के अंतराल के प्रति इकाई आकार आवृत्ति के मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है:

आर ω = ω / मैं।

असमान अंतराल वाली श्रृंखला के लिए, केवल ये विशेषताएँ आवृत्ति और आवृत्ति की तुलना में वितरण की प्रकृति का अधिक सही विचार देती हैं।

नमूने का सांख्यिकीय वितरण विकल्पों की सूची (फीचर मान) और उनकी संगत आवृत्तियों या वितरण घनत्वों, सापेक्ष आवृत्तियों या सापेक्ष वितरण घनत्वों को नाम दें।

विभिन्न वितरण श्रृंखला आवृत्ति विशेषताओं के एक अलग सेट की विशेषता है:

न्यूनतम - जिम्मेदार श्रृंखला (आवृत्ति, आवृत्ति),

असतत के लिए, चार विशेषताओं का उपयोग किया जाता है (आवृत्ति, आवृत्ति, संचित आवृत्ति, संचित आवृत्ति),

अंतराल वाले के लिए - सभी पाँच (आवृत्ति, आवृत्ति, संचयी आवृत्ति, संचयी आवृत्ति, निरपेक्ष और सापेक्ष वितरण घनत्व)।

1. अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाने के नियम

1. विविधता श्रृंखला का ग्राफिक प्रतिनिधित्व

परिवर्तनशील श्रृंखला के अध्ययन में पहला चरण इसके चित्रमय प्रतिनिधित्व का निर्माण है। परिवर्तनशील श्रृंखला का ग्राफिक प्रतिनिधित्व उनके विश्लेषण की सुविधा प्रदान करता है और वितरण के रूप का न्याय करना संभव बनाता है। आँकड़ों में एक परिवर्तनशील श्रृंखला के चित्रमय प्रतिनिधित्व के लिए, एक हिस्टोग्राम, एक बहुभुज और एक संचयी वितरण बनाया जाता है।

एक असतत परिवर्तनशील श्रृंखला को तथाकथित बारंबारता बहुभुज के रूप में दर्शाया गया है।

अंतराल श्रृंखला को प्रदर्शित करने के लिए, एक बारंबारता बंटन बहुभुज और एक बारंबारता हिस्टोग्राम का उपयोग किया जाता है।

रेखांकन एक आयताकार समन्वय प्रणाली में बनाए जाते हैं।

(एक परिवर्तनशील श्रृंखला की परिभाषा; एक परिवर्तनशील श्रृंखला के घटक; एक परिवर्तनशील श्रृंखला के तीन रूप; एक अंतराल श्रृंखला के निर्माण की समीचीनता; निष्कर्ष जो निर्मित श्रृंखला से निकाले जा सकते हैं)

एक परिवर्तनशील श्रृंखला गैर-घटते क्रम में व्यवस्थित नमूने के सभी तत्वों का एक क्रम है। वही तत्व दोहराए जाते हैं

भिन्नात्मक - ये मात्रात्मक आधार पर निर्मित श्रृंखलाएँ हैं।

विभिन्न वितरण श्रृंखला में दो तत्व होते हैं: रूपांतर और आवृत्तियां:

वेरिएंट वितरण की विविधता श्रृंखला में मात्रात्मक विशेषता के संख्यात्मक मान हैं। वे सकारात्मक या नकारात्मक, पूर्ण या सापेक्ष हो सकते हैं। इसलिए, जब उद्यमों को आर्थिक गतिविधि के परिणामों के अनुसार समूहीकृत किया जाता है, तो विकल्प सकारात्मक होते हैं - यह लाभ है, और नकारात्मक संख्या - यह एक नुकसान है।

फ़्रीक्वेंसी अलग-अलग वेरिएंट या विविधता श्रृंखला के प्रत्येक समूह की संख्या है, अर्थात। ये संख्याएँ दर्शाती हैं कि वितरण श्रृंखला में कुछ निश्चित विकल्प कितनी बार आते हैं। सभी आवृत्तियों के योग को जनसंख्या का आयतन कहा जाता है और यह संपूर्ण जनसंख्या के तत्वों की संख्या से निर्धारित होता है।

फ़्रीक्वेंसी वे फ़्रीक्वेंसी हैं जिन्हें सापेक्ष मूल्यों (इकाइयों या प्रतिशत के अंश) के रूप में व्यक्त किया जाता है। आवृत्तियों का योग एक या 100% के बराबर होता है। बारंबारताओं को बारंबारताओं से बदलने से विभिन्न संख्याओं के प्रेक्षणों के साथ परिवर्तनशील श्रृंखला की तुलना करना संभव हो जाता है।

विविधता श्रृंखला के तीन रूप हैं:क्रमबद्ध श्रृंखला, असतत श्रृंखला और अंतराल श्रृंखला।

एक क्रमबद्ध श्रृंखला अध्ययन के तहत विशेषता के आरोही या अवरोही क्रम में जनसंख्या की व्यक्तिगत इकाइयों का वितरण है। रैंकिंग मात्रात्मक डेटा को समूहों में विभाजित करना आसान बनाता है, तुरंत एक विशेषता के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों का पता लगाता है, और सबसे अधिक बार दोहराए जाने वाले मूल्यों को उजागर करता है।

विविधता श्रृंखला के अन्य रूप अध्ययन के तहत विशेषता के मूल्यों में भिन्नता की प्रकृति के अनुसार संकलित समूह सारणी हैं। भिन्नता की प्रकृति से, असतत (असंतत) और निरंतर संकेत प्रतिष्ठित हैं।

एक असतत श्रृंखला एक ऐसी परिवर्तनशील श्रृंखला है, जिसका निर्माण एक असंतत परिवर्तन (असतत संकेत) वाले संकेतों पर आधारित होता है। उत्तरार्द्ध में टैरिफ श्रेणी, परिवार में बच्चों की संख्या, उद्यम में कर्मचारियों की संख्या आदि शामिल हैं। ये संकेत केवल कुछ निश्चित मानों की सीमित संख्या ले सकते हैं।

एक असतत विविधता श्रृंखला एक तालिका है जिसमें दो कॉलम होते हैं। पहला कॉलम विशेषता के विशिष्ट मूल्य को इंगित करता है, और दूसरा - विशेषता के विशिष्ट मूल्य के साथ जनसंख्या इकाइयों की संख्या।

यदि किसी चिन्ह में निरंतर परिवर्तन होता है (आय की राशि, कार्य अनुभव, किसी उद्यम की अचल संपत्तियों की लागत, आदि, जो कुछ सीमाओं के भीतर कोई भी मूल्य ले सकता है), तो इस संकेत के लिए एक अंतराल भिन्नता श्रृंखला बनाई जानी चाहिए।

यहां समूह तालिका में भी दो स्तंभ हैं। पहला अंतराल "से - से" (विकल्प) में सुविधा के मूल्य को इंगित करता है, दूसरा - अंतराल (आवृत्ति) में शामिल इकाइयों की संख्या।

आवृत्ति (पुनरावृत्ति आवृत्ति) - विशेषता मानों के एक विशेष प्रकार के दोहराव की संख्या, निरूपित फाई, और अध्ययन की गई आबादी के आयतन के बराबर आवृत्तियों का योग, निरूपित

जहाँ k विशेषता मान विकल्पों की संख्या है

बहुत बार, तालिका को एक स्तंभ के साथ पूरक किया जाता है जिसमें संचित आवृत्तियों एस की गणना की जाती है, जो दर्शाती है कि जनसंख्या की कितनी इकाइयों का एक विशेषता मान इस मान से अधिक नहीं है।

एक असतत परिवर्तनशील वितरण श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूह एक विशेषता के अनुसार बनाए जाते हैं जो अलग-अलग होते हैं और केवल पूर्णांक मान लेते हैं।

वितरण की अंतराल भिन्नता श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें समूहीकरण विशेषता, जो समूहीकरण का आधार बनती है, एक निश्चित अंतराल में भिन्नात्मक सहित कोई भी मान ले सकती है।

एक अंतराल परिवर्तनशील श्रृंखला एक यादृच्छिक चर के मूल्यों की भिन्नता के अंतराल का एक क्रमबद्ध सेट है जिसमें उनमें से प्रत्येक में गिरने वाली मात्रा के मूल्यों की संबंधित आवृत्तियों या आवृत्तियों के साथ होता है।

एक अंतराल वितरण श्रृंखला का निर्माण करना समीचीन है, सबसे पहले, एक विशेषता की निरंतर भिन्नता के साथ, और यह भी कि यदि एक असतत भिन्नता एक विस्तृत श्रृंखला पर प्रकट होती है, अर्थात। असतत सुविधा के लिए विकल्पों की संख्या काफी बड़ी है।

इस श्रृंखला से पहले ही कई निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक भिन्नता श्रृंखला (माध्यिका) का औसत तत्व माप के सबसे संभावित परिणाम का अनुमान हो सकता है। परिवर्तनशील श्रृंखला का पहला और अंतिम तत्व (अर्थात नमूने का न्यूनतम और अधिकतम तत्व) नमूने के तत्वों के प्रसार को दर्शाता है। कभी-कभी, यदि पहला या अंतिम तत्व बाकी नमूने से बहुत अलग होता है, तो उन्हें माप परिणामों से बाहर रखा जाता है, यह देखते हुए कि ये मान किसी प्रकार की सकल विफलता के परिणामस्वरूप प्राप्त किए गए थे, उदाहरण के लिए, प्रौद्योगिकी।