सबसे बड़ा सामान्य गुणक और सबसे छोटा सामान्य भाजक। विभाज्यता मानदंड और समूहीकरण के तरीके (2019)

उच्चतम श्रेणी के शिक्षक

पूर्णांक किसे कहते हैं?

पाठ मकसद:

- ऋणात्मक संख्याओं का परिचय देकर संख्या की अवधारणा का विस्तार करें:

-सकारात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को लिखने का कौशल बनाना।

पाठ मकसद।

शिक्षात्मक - गणितीय क्षितिज, सोच और भाषण, ध्यान और स्मृति के विकास को बढ़ावा देने के लिए सामान्यीकरण और व्यवस्थित करने की क्षमता के विकास को बढ़ावा देना।

शिक्षात्मक - स्व-शिक्षा, स्व-शिक्षा, सटीक प्रदर्शन, गतिविधि के लिए रचनात्मक दृष्टिकोण, आलोचनात्मक सोच के प्रति दृष्टिकोण का पोषण करना।

शिक्षात्मक - स्कूली बच्चों में तुलना और सामान्यीकरण, तार्किक रूप से विचारों को व्यक्त करने, गणितीय क्षितिज, सोच और भाषण, ध्यान और स्मृति विकसित करने की क्षमता विकसित करना.

कक्षाओं के दौरान:

1. परिचयात्मक बातचीत।

अब तक गणित के पाठों में हमने किन संख्याओं पर विचार किया है?

-प्राकृतिक और भिन्नात्मक।

कौन सी संख्याएँ प्राकृतिक कहलाती हैं?

- ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को गिनने में किया जाता है।

आप कितने कह सकते हैं?

- असीम रूप से कई।

क्या शून्य एक प्राकृत संख्या है? क्यों?

भिन्नात्मक संख्याएँ किसके लिए होती हैं?

-हम न केवल वस्तुओं की गिनती करते हैं, बल्कि कुछ मात्राओं के कुछ हिस्सों को भी गिनते हैं।

आप कौन से अंश जानते हैं?

- साधारण और दशमलव।

टास्क नंबर 1.

क्या आप प्राकृतिक संख्याओं के नाम बता सकते हैं? साधारण अंश? दशमलव?

10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png" width="16" height="35 src="> ; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png" width="24" height="35 src="> .

2. नई सामग्री की व्याख्या:

हालाँकि, जीवन में आप शायद पहले से ही अन्य नंबरों से मिल चुके हैं, कौन से हैं? कहाँ?

-नकारात्मक। उदाहरण के लिए, मौसम रिपोर्ट में।

किसी नए विषय के अध्ययन की ओर बढ़ने से पहले, आइए उन संकेतों पर चर्चा करें जो संख्याओं के समुच्चय का विस्तार करने में मदद करेंगे। ये प्लस और माइनस संकेत हैं। इस बारे में सोचें कि ये संकेत जीवन में किससे जुड़े हैं। यह कुछ भी हो सकता है: सफेद - काला, अच्छा - बुरा। हम आपके उदाहरणों को एक तालिका के रूप में लिखेंगे।

सिर्फ दो संकेतों से कितने विचार आते हैं। वास्तव में, ये दो संकेत अलग-अलग दिशाओं में जाना संभव बनाते हैं। ऐसी संख्याएं, प्राकृतिक संख्याओं के समान "समान", लेकिन ऋण चिह्न के साथ, उन मामलों में आवश्यक हैं जहां मान दो विपरीत दिशाओं में बदल सकता है। किसी मान को ऋणात्मक संख्या के रूप में व्यक्त करने के लिए, कुछ प्रारंभिक, शून्य चिह्न पेश किया जाता है। आइए उन उदाहरणों को देखें जो दूसरों ने बनाए हैं, और घर पर सोचें और अपनी प्रस्तुति दें। स्लाइड नंबर 2-7।

संकेत का उपयोग बहुत सुविधाजनक है। इसका उपयोग पूरी दुनिया में स्वीकार किया जाता है। पर हमेशा से ऐसा नहीं था। स्लाइड नंबर 8.

तो, प्राकृतिक संख्याओं के साथ

1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …

हम नकारात्मक संख्याओं पर विचार करेंगे, जिनमें से प्रत्येक को संबंधित प्राकृतिक संख्या के लिए ऋण चिह्न निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जाता है:

-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …

एक प्राकृत संख्या और उसकी संगत ऋणात्मक संख्या विपरीत कहलाती है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 15 और -15। आप -15 और 15 कर सकते हैं। O स्वयं के विपरीत है।

नियम: प्राकृत संख्याएँ, उनके ऋणात्मक विपरीत और संख्या 0 कहलाती हैं पूर्ण संख्याएं।ये सभी संख्याएँ मिलकर पूर्णांकों का समुच्चय बनाती हैं।

पाठ्यपुस्तक पृष्ठ 159 खोलें, नियम खोजें, इसे फिर से पढ़ें, हम इसे घर पर दिल से सीखते हैं।

एक प्राकृत संख्या को धनात्मक पूर्णांक भी कहा जाता है, अर्थात वह एक ही वस्तु होती है। इससे पहले, नकारात्मक से बाहरी अंतर पर जोर देने के लिए, कभी-कभी एक प्लस चिह्न लगाया जाता है। +5=5.

3. कौशल और क्षमताओं का गठन:

1) № 000.

2) इन नंबरों को दो समूहों में लिखें: सकारात्मक और नकारात्मक:

-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.

3) खेल "मेरा मूड"।

अब आप इस समय अपने मूड का मूल्यांकन निम्न पैमाने पर करेंगे:

अच्छा मूड: +1, +2, +3, +4, +5।

खराब मूड: -1, -2, -3, -4, -5।

एक व्यक्ति बोर्ड पर परिणाम लिखेगा, और बाकी सभी लोग जोर से कहेंगे: "मैं 4 बिंदुओं के लिए अच्छे मूड में हूं"

4) क्लैपरबोर्ड गेम

मैं संख्याओं के जोड़े को बुलाऊंगा, यदि जोड़ी विपरीत है, तो आप ताली बजाते हैं, यदि नहीं, तो कक्षा में सन्नाटा होना चाहिए:

5 और -5; 6 और 0.6; -300 और 300; 3 और 1/3; 8 और 80; 14 और -14; 5/7 और 7/5; -1 और 1.

5) पूर्णांकों के योग का अध्ययन करने का प्रोपेड्यूटिक्स:

संख्या 000 (ए)।

हम प्रेजेंटेशन की मदद से समाधान को देखते हैं। स्लाइड नंबर 8.

4. पाठ सारांश:

सकारात्मक संख्याएं क्या हैं? नकारात्मक?

- आपको किस बारे में पता चला?

ऋणात्मक संख्याएँ किसके लिए हैं?

धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ कैसे लिखी जाती हैं?

5. डी / जेड: 8.1, संख्या 000, 721 (बी), 715 (बी)। रचनात्मक कार्य: पूर्णांकों के बारे में एक कविता लिखें, एक चित्र, एक प्रस्तुति, एक परी कथा।

हम संख्या से दूसरे को घटाते हैं,
हम एक सीधी रेखा बनाते हैं।
हम इस चिन्ह को पहचानते हैं
"माइनस" हम उसे कहते हैं।
1.
एक इकाई के लायक
मैच लगता है।
वह सिर्फ एक पानी का छींटा है
एक छोटे से धमाके के साथ।

2.
बमुश्किल पानी पर ग्लाइड होता है
हंस की तरह, नंबर दो।
धनुषाकार गर्दन,
लहरों का पीछा।

3.
दो हुक, देखो
तीसरा नंबर मिला।
लेकिन ये दो हुक
एक कीड़ा मत लगाओ।

4.
किसी तरह कांटा गिराया गया
एक दांत टूट गया था।
पूरी दुनिया में यह कांटा
इसे "चार" कहा जाता है।

5.
नंबर पांच - एक बड़े पेट के साथ,
वह टोपी का छज्जा पहनता है।
स्कूल में, यह संख्या पाँच है
बच्चे प्राप्त करना पसंद करते हैं।

6.
क्या चेरी है, मेरे दोस्त
क्या तना मुड़ा हुआ है?
आप इसे खाने की कोशिश करें
यह चेरी छठे नंबर की है।

7.
मैं एक ऐसा पोकर हूँ
मैं इसे ओवन में नहीं रख सकता।
उसके बारे में सब जानते हैं
कि इसे "सात" कहा जाता है।

8.
रस्सी मुड़ गई, मुड़ गई,
दो छोरों में बुना।
"नंबर क्या है?" - चलो माँ से पूछो।
माँ हमें जवाब देगी: "आठ।"

9.
हवा तेज चली और चली,
चेरी को पलटें।
नंबर छह, प्रार्थना बताओ
नौवें नंबर पर आ गया।

10.
एक बड़ी बहन की तरह
शून्य एक नेतृत्व करता है।
हम बस साथ चले
तुरंत दस नंबर बन गया।

गणित के बारे में कविताएँ

गणित सभी विज्ञानों का आधार और रानी है, और मैं आपको सलाह देता हूं कि आप उससे दोस्ती करें, मेरे दोस्त। उसके बुद्धिमान कानून, यदि आप पालन करते हैं, अपना ज्ञान बढ़ाएँ आप उनका उपयोग कर रहे होंगे। क्या आप समुद्र में तैर सकते हैं आप अंतरिक्ष में उड़ सकते हैं। आप लोगों के लिए घर बना सकते हैं: यह सौ साल तक खड़ा रहेगा। आलसी मत बनो, मेहनत करो विज्ञान के नमक को जानना सब कुछ साबित करने की कोशिश करो लेकिन हार मत मानो। इसे न्यूटन का द्विपद बनने दें आपके लिए, एक दोस्त के रूप में, फुटबॉल में माराडोना की तरह बीजगणित में, यह बुनियादी है। ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा आपको दिल से पता होना चाहिए। और, ज़ाहिर है, कोटैंजेंट, यह सही है, मेरे दोस्त। यदि आप यह सब अध्ययन करते हैं, यदि आप निश्चित रूप से जानते हैं तब शायद आप कर सकते हैं आकाश में तारे गिनें सौशकिना याना, 8वीं कक्षा मुझे गणित पसंद है यह इतना जटिल नहीं है और इसमें कोई व्याकरण नहीं है, और सभी को इसकी जरूरत है। हम बीजगणित से गुजरते हैं निर्देशांक, अक्ष, रेखा कहाँ जाती है सीधा या बग़ल में। वर्गों का जोड़ जड़ों का विभाजन और इससे क्या होगा हम उसे ही जानते हैं। आंकड़े आपको समरूपता पाएंगे, ज्यामिति लेना। अर्ज़निकोवा स्वेतलाना, 8 वीं कक्षा जटिल विज्ञान गणित: हमें यहां विभाजित और गुणा करने की आवश्यकता है। यह कला नहीं है और व्याकरण नहीं है, यहाँ याद करने के लिए बहुत कुछ है। यह काम नहीं है, जीव विज्ञान नहीं है, लागू करने के लिए कई सूत्र हैं। यह कोई कहानी या त्रयी नहीं है आप यहां संख्याओं से घटा सकते हैं। यह अंग्रेजी नहीं है और यह संगीत नहीं है, स्मार्ट विज्ञान, लेकिन मुश्किल। गणित का जटिल विज्ञान यह हमारे जीवन में काम आएगा। रज़बोरोव रोमन, 8 वीं कक्षा

अपनी गति खोजें और तरीकों की गणना करें तुम्हारी मदद कर सकूं केवल गणित। मेरे पास एक नोटबुक है यहाँ क्या छिपाना है: अक्सर आलसी उसमें कुछ लिखो। मुफ्त शिक्षक मेरे साथ समय बर्बाद किया उन्होंने मुझे व्यर्थ पीड़ा दी, समय व्यर्थ गया। समझदार शिक्षक मैंने ध्यान से सुना अगर कुछ पूछा गया मैंने नहीं किया। मैं एक वर्ग बनाना चाहता था लेकिन वह खुद खुश नहीं था: पक्षों को मापा, डिग्री में लिखा है। कोनों के बजाय पक्ष और कोनों पर मंडलियां। मैं अब नहीं चाहूंगा यह फिर से आप पर निर्भर है। मैंने एक घेरा काटना शुरू किया रोम्बस अचानक निकला त्रिज्या नहीं मिली विकर्ण आयोजित। रात में मैंने एक सपना देखा: चक्र रो रहा है, वह रो रहा है। रोता है और कहता है: "आपने हमारे साथ क्या किया है?" , गणित शिक्षक एक दो तीन चार पांच, संख्याएँ एक पंक्ति में पंक्तिबद्ध हैं। अब हम गिनेंगे: जोड़ें और गुणा करें। दो गुणा दो बराबर चार; दो गुना तीन, ज़ाहिर है, छह है। दुनिया में हर कोई जानता है टू प्लस सिक्स क्या होता है. अब हम तुलना कर सकते हैं क्या अधिक है: दो या सात? यह नियम मदद करेगा वह जवाब हम सभी के लिए है। गणित के साथ हम करेंगे मजबूत, मजबूत दोस्ती हम कभी नहीं भूलेंगे इस दोस्ती को संजोएं। वितुत्नेवा मरीना,

बहुत सारा गणित स्मृति में नहीं रहता है, लेकिन जब आप इसे समझ जाते हैं, तो कभी-कभी भूली हुई चीजों को याद करना आसान हो जाता है।

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक तुरुप का इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। 12345 की एक बड़ी संख्या के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे मीटर और सेंटीमीटर में आयत के क्षेत्रफल का निर्धारण करते समय आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: जो संख्या नहीं है उसे गणित में कैसे दर्शाया जाता है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। वे लोग जो लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं, स्वचालित रूप से संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में देखते हैं।

सेवा पूर्ण संख्याएंप्राकृतिक संख्याएँ, शून्य और प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ शामिल करें।

पूर्णांकोंधनात्मक पूर्णांक हैं।

उदाहरण के लिए: 1, 3, 7, 19, 23, आदि। हम गिनती के लिए ऐसे नंबरों का उपयोग करते हैं (टेबल पर 5 सेब हैं, कार में 4 पहिए हैं, आदि)

लैटिन अक्षर \mathbb(N) - निरूपित प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय.

प्राकृतिक संख्याओं में ऋणात्मक (एक कुर्सी में पैरों की ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती) और भिन्नात्मक संख्याएँ (इवान 3.5 साइकिलें नहीं बेच सकता) शामिल नहीं हो सकतीं।

प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं: -8, -148, -981, ....

पूर्णांकों के साथ अंकगणितीय संचालन

आप पूर्णांकों के साथ क्या कर सकते हैं? उन्हें एक दूसरे से गुणा, जोड़ा और घटाया जा सकता है। आइए प्रत्येक ऑपरेशन का एक विशिष्ट उदाहरण पर विश्लेषण करें।

पूर्णांक जोड़

समान चिह्न वाले दो पूर्णांक इस प्रकार जोड़े जाते हैं: इन संख्याओं के मॉड्यूल जोड़े जाते हैं और परिणामी योग अंतिम चिह्न से पहले होता है:

(+11) + (+9) = +20

पूर्णांकों का घटाव

विभिन्न चिह्नों के साथ दो पूर्णांकों को इस प्रकार जोड़ा जाता है: छोटी संख्या का मापांक बड़ी संख्या के मापांक से घटाया जाता है, और बड़े मॉड्यूल संख्या का चिह्न उत्तर के सामने रखा जाता है:

(-7) + (+8) = +1

पूर्णांक गुणन

एक पूर्णांक को दूसरे से गुणा करने के लिए, आपको इन संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा करना होगा और प्राप्त उत्तर के सामने "+" चिह्न लगाना होगा यदि मूल संख्याएँ समान चिह्नों के साथ थीं, और "-" चिह्न यदि मूल संख्याएँ थीं विभिन्न संकेतों के साथ:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

आपको निम्नलिखित याद रखना चाहिए पूर्ण संख्या गुणन नियम:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

कई पूर्णांकों को गुणा करने का एक नियम है। आइए इसे याद रखें:

उत्पाद का चिन्ह "+" होगा यदि ऋणात्मक चिन्ह वाले कारकों की संख्या सम है और "-" यदि ऋणात्मक चिन्ह वाले कारकों की संख्या विषम है।

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

पूर्णांकों का विभाजन

दो पूर्णांकों का विभाजन निम्नानुसार किया जाता है: एक संख्या के मापांक को दूसरे के मापांक से विभाजित किया जाता है, और यदि संख्याओं के संकेत समान हैं, तो परिणामी भागफल के सामने एक "+" चिन्ह रखा जाता है। , और यदि मूल संख्याओं के चिन्ह भिन्न हैं, तो "-" चिन्ह लगाया जाता है।

(-25) : (+5) = -5

पूर्णांकों के योग और गुणन के गुण

आइए किसी भी पूर्णांक a , b और c के लिए जोड़ और गुणा के मूल गुणों का विश्लेषण करें:

1. a + b = b + a - योग का क्रमविनिमेय गुण;
2. (ए + बी) + सी \u003d ए + (बी + सी) - जोड़ की सहयोगी संपत्ति;
3. a \cdot b = b \cdot a - गुणन का क्रमविनिमेय गुण;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- गुणन के साहचर्य गुण;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot cगुणन का वितरण गुण है।

पूर्णांक का क्या अर्थ है

तो, विचार करें कि कौन सी संख्याएं पूर्णांक कहलाती हैं।

इस प्रकार, पूर्णांक ऐसी संख्याओं को निरूपित करेंगे: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, आदि।

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अर्थात्। कोई भी प्राकृत एक पूर्णांक होगा, लेकिन कोई भी पूर्णांक एक प्राकृत संख्या नहीं है।

पूर्णांक धनात्मक और पूर्णांक ऋणात्मक संख्याएँ

परिभाषा 2

प्लस.

संख्या $3, 78, 569, 10450$ धनात्मक पूर्णांक हैं।

परिभाषा 3

हस्ताक्षरित पूर्णांक हैं ऋण.

संख्या $−3, −78, −569, -10450$ ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

टिप्पणी 1

संख्या शून्य या तो सकारात्मक पूर्णांक या ऋणात्मक पूर्णांकों को संदर्भित नहीं करता है।

पूर्ण सकारात्मक संख्याशून्य से बड़े पूर्णांक हैं।

पूर्ण ऋणात्मक संख्याशून्य से कम पूर्णांक हैं।

प्राकृत पूर्णांकों का समुच्चय सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय होता है और प्राकृत संख्याओं के सभी विपरीतों का समुच्चय सभी ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय होता है।

पूर्णांक गैर-सकारात्मक और पूर्णांक गैर-ऋणात्मक संख्याएँ

सभी धनात्मक पूर्णांक और संख्या शून्य कहलाते हैं पूर्णांक गैर-ऋणात्मक संख्या.

पूर्णांक गैर-धनात्मक संख्याएंसभी ऋणात्मक पूर्णांक हैं और संख्या $0$ है।

टिप्पणी 2

इस प्रकार, संपूर्ण गैर-ऋणात्मक संख्याशून्य से बड़े या शून्य के बराबर पूर्णांक हैं, और गैर-सकारात्मक पूर्णांकशून्य से कम या शून्य के बराबर पूर्णांक हैं।

उदाहरण के लिए, गैर-धनात्मक पूर्णांक: $−32, −123, 0, −5$, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक: $54, 123, 0.856 342.$

पूर्णांकों का उपयोग करके मूल्यों को बदलने का विवरण

किसी भी आइटम की संख्या में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए पूर्णांक का उपयोग किया जाता है।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

मान लीजिए कि कोई स्टोर एक निश्चित संख्या में आइटम बेचता है। जब स्टोर को $ 520$ आइटम प्राप्त होते हैं, तो स्टोर में आइटम्स की संख्या में वृद्धि होगी, और $ 520$ की संख्या संख्या में सकारात्मक परिवर्तन दिखाती है। जब स्टोर $50$ आइटम बेचता है, तो स्टोर में आइटम्स की संख्या कम हो जाएगी, और संख्या $50$ संख्या में नकारात्मक परिवर्तन को व्यक्त करेगी। यदि स्टोर न तो सामान लाएगा और न ही बेचेगा, तो माल की संख्या अपरिवर्तित रहेगी (यानी, हम संख्या में शून्य परिवर्तन के बारे में बात कर सकते हैं)।

उपरोक्त उदाहरण में, माल की संख्या में परिवर्तन को क्रमशः $520$, $−50$, और $0$ पूर्णांकों का उपयोग करके वर्णित किया गया है। पूर्णांक $520$ का धनात्मक मान संख्या में सकारात्मक परिवर्तन को दर्शाता है। पूर्णांक $−50$ का ऋणात्मक मान संख्या में ऋणात्मक परिवर्तन को दर्शाता है। पूर्णांक $0$ संख्या की अपरिवर्तनीयता को इंगित करता है।

पूर्णांकों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, क्योंकि संख्या में वृद्धि या कमी के स्पष्ट संकेत की कोई आवश्यकता नहीं है - पूर्णांक का संकेत परिवर्तन की दिशा को इंगित करता है, और मान मात्रात्मक परिवर्तन को इंगित करता है।

पूर्णांकों का उपयोग करके, आप न केवल मात्रा में परिवर्तन, बल्कि किसी भी मान में परिवर्तन को भी व्यक्त कर सकते हैं।

किसी उत्पाद की लागत में बदलाव के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2

लागत में वृद्धि, उदाहरण के लिए, $20$ रूबल द्वारा एक सकारात्मक पूर्णांक $20$ का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। लागत में कमी, उदाहरण के लिए, $5$ रूबल को एक ऋणात्मक पूर्णांक $−5$ का उपयोग करके वर्णित किया गया है। यदि कोई लागत परिवर्तन नहीं है, तो इस तरह के परिवर्तन को पूर्णांक $0$ का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

अलग से, ऋण के आकार के रूप में ऋणात्मक पूर्णांकों के मान पर विचार करें।

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, एक व्यक्ति के पास $5,000 रूबल हैं। फिर, एक सकारात्मक पूर्णांक $5,000$ का उपयोग करके, आप उसके पास कितने रूबल की संख्या दिखा सकते हैं। एक व्यक्ति को $7,000 रूबल की राशि में किराए का भुगतान करना पड़ता है, लेकिन उसके पास उस तरह का पैसा नहीं होता है; इस मामले में, ऐसी स्थिति को नकारात्मक पूर्णांक $-7,000$ द्वारा वर्णित किया जाता है। इस मामले में, व्यक्ति के पास $-7,000$ रूबल हैं, जहां "-" ऋण को इंगित करता है, और संख्या $7,000$ ऋण की राशि को दर्शाती है।

बीजीय गुण

लिंक

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

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