एक घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ अनुवादकीय गति के उदाहरण। एक घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ शरीर की गति

6. घुमावदार आंदोलन। कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग और शरीर का त्वरण। शरीर की वक्रीय गति के दौरान पथ और विस्थापन।

वक्रीय गति- यह एक आंदोलन है जिसका प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा है (उदाहरण के लिए, एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक अतिपरवलय, एक परवलय)। वक्रीय गति का एक उदाहरण ग्रहों की गति, डायल पर घड़ी की सुई का अंत आदि है। सामान्य रूप में घुमावदार गतिआकार और दिशा में परिवर्तन।

भौतिक बिंदु की वक्रीय गतिएकसमान गति मानी जाती है यदि मॉड्यूल रफ़्तार स्थिर (उदाहरण के लिए, एक सर्कल में एक समान गति), और समान रूप से त्वरित अगर मॉड्यूल और दिशा रफ़्तार परिवर्तन (उदाहरण के लिए, एक कोण पर क्षितिज पर फेंके गए शरीर की गति)।

चावल। 1.19. वक्रीय गति में प्रक्षेपवक्र और विस्थापन वेक्टर।

घुमावदार रास्ते पर चलते समय विस्थापन वेक्टर जीवा के अनुदिश निर्देशित (चित्र 1.19), और मैं- लंबाई प्रक्षेप पथ . शरीर की तात्कालिक गति (अर्थात, प्रक्षेपवक्र में दिए गए बिंदु पर शरीर की गति) प्रक्षेपवक्र में उस बिंदु पर स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित होती है जहां गतिमान पिंड वर्तमान में स्थित है (चित्र। 1.20)।

चावल। 1.20. वक्रीय गति में तात्क्षणिक वेग।

वक्रीय गति हमेशा त्वरित गति होती है। अर्थात वक्रीय त्वरणहमेशा मौजूद रहता है, भले ही गति का मापांक नहीं बदलता है, लेकिन केवल गति की दिशा बदल जाती है। समय की प्रति इकाई गति में परिवर्तन है स्पर्शरेखा त्वरण :

या

कहाँ वी τ , वी 0 समय के समय गति हैं टी 0 + tऔर टी 0 क्रमश।

स्पर्शरेखा त्वरण प्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर, दिशा शरीर के वेग की दिशा के साथ मेल खाती है या इसके विपरीत होती है।

सामान्य त्वरण समय की प्रति इकाई दिशा में गति में परिवर्तन है:

सामान्य त्वरणप्रक्षेपवक्र की वक्रता त्रिज्या के साथ निर्देशित (घूर्णन की धुरी की ओर)। सामान्य त्वरण वेग की दिशा के लंबवत होता है।

केन्द्राभिमुख त्वरणएकसमान वृत्तीय गति के लिए सामान्य त्वरण है।

शरीर के समान रूप से परिवर्तनशील वक्रता गति के साथ पूर्ण त्वरणबराबर:

एक वक्रीय प्रक्षेप पथ के साथ एक पिंड की गति को लगभग कुछ वृत्तों के चापों के साथ गति के रूप में दर्शाया जा सकता है (चित्र 1.21)।

चावल। 1.21. वक्रीय गति के दौरान शरीर की गति।

वक्रीय गति

वक्रीय गति- गति, जिसके प्रक्षेप पथ सीधे नहीं, बल्कि घुमावदार रेखाएँ हैं। ग्रह और नदी जल वक्राकार पथों के साथ चलते हैं।

वक्रीय गति हमेशा त्वरण के साथ गति होती है, भले ही गति का निरपेक्ष मान स्थिर हो। निरंतर त्वरण के साथ वक्रीय गति हमेशा उस तल में होती है जिसमें त्वरण सदिश और बिंदु के प्रारंभिक वेग स्थित होते हैं। समतल में निरंतर त्वरण के साथ वक्रीय गति के मामले में xOyअनुमानों वी एक्सऔर वी आपअक्ष पर इसकी गति बैलऔर ओएऔर निर्देशांक एक्सऔर आपकिसी भी समय अंक टीसूत्रों द्वारा निर्धारित

वक्रीय गति का एक विशेष मामला वृत्तीय गति है। परिपत्र गति, यहां तक ​​कि एकसमान, हमेशा त्वरित गति होती है: वेग मापांक हमेशा प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है, लगातार दिशा बदल रहा है, इसलिए परिपत्र गति हमेशा अभिकेंद्री त्वरण के साथ होती है जहां आरवृत्त की त्रिज्या है।

वृत्त के अनुदिश गति करते समय त्वरण सदिश वृत्त के केंद्र की ओर और वेग सदिश के लंबवत निर्देशित होता है।

वक्रीय गति में, त्वरण को सामान्य और स्पर्शरेखा घटकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

सामान्य (केन्द्रापसारक) त्वरण प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होता है और दिशा में गति में परिवर्तन की विशेषता है:

वीतत्काल गति, आरकिसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या है।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण को प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित किया जाता है और गति मोडुलो में परिवर्तन की विशेषता है।

कुल त्वरण जिसके साथ एक भौतिक बिंदु चलता है, बराबर होता है:

अभिकेंद्रीय त्वरण के अलावा, एक वृत्त में एकसमान गति की सबसे महत्वपूर्ण विशेषताएँ क्रांति की अवधि और आवृत्ति हैं।

संचलन की अवधिशरीर को एक चक्कर पूरा करने में लगने वाला समय है .

अवधि को पत्र द्वारा दर्शाया गया है टी(सी) और सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

कहाँ पे टी- बदलाव का समय पी- इस दौरान की गई क्रांतियों की संख्या।

परिसंचरण की आवृत्ति- यह संख्यात्मक रूप से प्रति इकाई समय में किए गए क्रांतियों की संख्या के बराबर है।

आवृत्ति को ग्रीक अक्षर (nu) द्वारा निरूपित किया जाता है और सूत्र द्वारा पाया जाता है:

आवृत्ति 1/s में मापी जाती है।

अवधि और आवृत्ति परस्पर प्रतिलोम मात्राएँ हैं:

यदि कोई पिंड एक वृत्त में गति के साथ घूम रहा है वी,एक चक्कर लगाता है, तो इस शरीर द्वारा तय किया गया रास्ता गति को गुणा करके पाया जा सकता है वीएक मोड़ के लिए:

एल = वीटी।दूसरी ओर, यह पथ परिधि 2π . के बराबर है आर. इसलिए

वीटी = 2π आर,

कहाँ पे वू(1 से) - कोणीय गति।

एक स्थिर घूर्णन आवृत्ति पर, अभिकेन्द्र त्वरण गतिमान कण से घूर्णन के केंद्र तक की दूरी के सीधे आनुपातिक होता है।

कोणीय गति (वू) त्रिज्या के रोटेशन के कोण के अनुपात के बराबर एक मान है जिस पर घूर्णन बिंदु उस समय अंतराल के लिए स्थित है जिसके दौरान यह घूर्णन हुआ:

.

रैखिक और कोणीय गति के बीच संबंध:

किसी पिंड की गति को तभी जाना जा सकता है जब यह ज्ञात हो कि उसका प्रत्येक बिंदु कैसे चलता है। कठोर पिंडों की सबसे सरल गति अनुवादकीय होती है। अनुवादकीयकठोर पिंड की गति कहलाती है, जिसमें इस पिंड में खींची गई कोई भी सीधी रेखा अपने आप समानांतर चलती है।

आप अच्छी तरह से जानते हैं कि, प्रक्षेपवक्र के आकार के आधार पर, आंदोलन को विभाजित किया जाता है सीधाऔर वक्रीय. इस प्रकार की गति के लिए यांत्रिकी की मुख्य समस्या को हल करने के लिए, हमने पिछले पाठों में रेक्टिलिनियर गति के साथ काम करना सीखा।

हालांकि, यह स्पष्ट है कि वास्तविक दुनिया में हम अक्सर वक्रीय गति से निपटते हैं, जब प्रक्षेपवक्र एक घुमावदार रेखा होती है। इस तरह के आंदोलन के उदाहरण क्षितिज के कोण पर फेंके गए शरीर का प्रक्षेपवक्र, सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति और यहां तक ​​​​कि आपकी आंखों का प्रक्षेपवक्र भी हैं, जो अब इस सार का अनुसरण कर रहे हैं।

यह पाठ इस सवाल के लिए समर्पित होगा कि वक्रता गति के मामले में यांत्रिकी की मुख्य समस्या को कैसे हल किया जाता है।

शुरू करने के लिए, आइए यह निर्धारित करें कि वक्राकार गति (चित्र 1) में रेक्टिलिनियर गति के सापेक्ष कौन से मूलभूत अंतर हैं और ये अंतर क्या हैं।

चावल। 1. वक्रीय गति का प्रक्षेप पथ

आइए इस बारे में बात करें कि वक्रीय गति के दौरान किसी पिंड की गति का वर्णन करना किस प्रकार सुविधाजनक है।

आप आंदोलन को अलग-अलग वर्गों में तोड़ सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर आंदोलन को सीधा माना जा सकता है (चित्र 2)।

चावल। 2. वक्रीय गति का सरल रेखीय गति के खण्डों में विभाजन

हालांकि, निम्नलिखित दृष्टिकोण अधिक सुविधाजनक है। हम इस गति को वृत्तों के चापों के अनुदिश अनेक गतियों के समुच्चय के रूप में निरूपित करेंगे (चित्र 3)। ध्यान दें कि पिछले मामले की तुलना में इस तरह के कम विभाजन हैं, इसके अलावा, सर्कल के साथ आंदोलन घुमावदार है। इसके अलावा, प्रकृति में एक सर्कल में आंदोलन के उदाहरण बहुत आम हैं। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

वक्रीय गति का वर्णन करने के लिए, किसी को वृत्त के अनुदिश गति का वर्णन करना सीखना चाहिए, और फिर वृत्तों के चापों के साथ गतियों के समुच्चय के रूप में एक मनमाना गति का प्रतिनिधित्व करना चाहिए।

चावल। 3. वक्रीय गति का वृत्तों के चापों के अनुदिश गतियों में विभाजन

तो, आइए एक वृत्त में एकसमान गति के अध्ययन के साथ वक्रीय गति का अध्ययन प्रारंभ करें। आइए देखें कि वक्रता और रेक्टिलिनियर गति के बीच मूलभूत अंतर क्या हैं। शुरू करने के लिए, आइए याद करें कि नौवीं कक्षा में हमने इस तथ्य का अध्ययन किया था कि एक वृत्त के साथ चलते समय एक पिंड की गति प्रक्षेपवक्र (चित्र 4) के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होती है। वैसे, आप इस तथ्य को व्यवहार में देख सकते हैं यदि आप देखते हैं कि ग्राइंडस्टोन का उपयोग करते समय चिंगारी कैसे चलती है।

एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश एक पिंड की गति पर विचार करें (चित्र 5)।

चावल। 5. वृत्त में गति करते समय शरीर की गति

कृपया ध्यान दें कि इस मामले में, बिंदु पर शरीर की गति का मापांक बिंदु पर शरीर की गति के मापांक के बराबर होता है:

हालांकि, वेक्टर वेक्टर के बराबर नहीं है। तो, हमारे पास एक वेग अंतर वेक्टर है (चित्र 6):

चावल। 6. वेग अंतर वेक्टर

इसके अलावा, गति में परिवर्तन थोड़ी देर बाद हुआ। इस प्रकार, हमें परिचित संयोजन मिलता है:

यह समय के साथ गति में बदलाव या किसी पिंड के त्वरण के अलावा और कुछ नहीं है। हम एक बहुत ही महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

घुमावदार पथ के साथ गति तेज हो जाती है। इस त्वरण की प्रकृति वेग वेक्टर की दिशा में निरंतर परिवर्तन है।

एक बार फिर, हम ध्यान दें कि, भले ही यह कहा जाए कि शरीर एक समान रूप से एक सर्कल में चलता है, इसका मतलब है कि शरीर के वेग का मापांक नहीं बदलता है। हालांकि, इस तरह की गति हमेशा तेज होती है, क्योंकि वेग की दिशा बदल जाती है।

नौवीं कक्षा में, आपने पढ़ा कि यह त्वरण क्या है और इसे कैसे निर्देशित किया जाता है (चित्र 7)। अभिकेंद्री त्वरण हमेशा उस वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है जिसके साथ शरीर गति कर रहा है।

चावल। 7. अभिकेंद्री त्वरण

अभिकेन्द्र त्वरण मॉड्यूल की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

हम एक वृत्त में पिंड की एकसमान गति के विवरण की ओर मुड़ते हैं। मान लीजिए कि आपने अनुवाद गति का वर्णन करते समय जिस गति का उपयोग किया था, उसे अब रैखिक गति कहा जाएगा। और रैखिक गति से हम एक घूर्णन पिंड के प्रक्षेपवक्र के बिंदु पर तात्कालिक गति को समझेंगे।

चावल। 8. डिस्क बिंदुओं की गति

एक डिस्क पर विचार करें, जो निश्चितता के लिए दक्षिणावर्त घूमती है। इसकी त्रिज्या पर हम दो बिंदु अंकित करते हैं और (चित्र 8)। उनके आंदोलन पर विचार करें। कुछ समय के लिए ये बिंदु वृत्त के चापों के अनुदिश गति करेंगे और बिंदु बन जाएंगे। जाहिर है, बिंदु बिंदु से अधिक चला गया है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु रोटेशन की धुरी से जितना दूर होता है, उतनी ही अधिक रैखिक गति चलती है।

हालाँकि, यदि हम बिंदुओं को ध्यान से देखें और, हम कह सकते हैं कि जिस कोण से वे घूर्णन की धुरी के सापेक्ष मुड़े, वह अपरिवर्तित रहा। यह कोणीय विशेषताएँ हैं जिनका उपयोग हम एक वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए करेंगे। ध्यान दें कि एक वृत्त में गति का वर्णन करने के लिए, हम उपयोग कर सकते हैं कोनाविशेषताएँ।

आइए सबसे सरल मामले के साथ एक सर्कल में गति पर विचार शुरू करें - एक सर्कल में एक समान गति। याद रखें कि एकसमान स्थानांतरीय गति एक ऐसी गति है जिसमें शरीर किसी भी समान समय अंतराल के लिए समान विस्थापन करता है। सादृश्य द्वारा, हम एक वृत्त में एकसमान गति की परिभाषा दे सकते हैं।

एक वृत्त में एकसमान गति एक ऐसी गति है जिसमें शरीर किसी भी समान अंतराल के लिए समान कोणों से घूमता है।

इसी तरह रैखिक वेग की अवधारणा के लिए, कोणीय वेग की अवधारणा पेश की जाती है।

एकसमान गति का कोणीय वेग (उस कोण के अनुपात के बराबर एक भौतिक मात्रा कहा जाता है जिस पर शरीर उस समय के लिए बदल जाता है जिसके दौरान यह मोड़ होता है।

भौतिकी में, कोण के रेडियन माप का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोण पर रेडियन के बराबर है। कोणीय वेग को रेडियन प्रति सेकंड में मापा जाता है:

आइए एक बिंदु के कोणीय वेग और इस बिंदु के रैखिक वेग के बीच संबंध खोजें।

चावल। 9. कोणीय और रैखिक गति के बीच संबंध

एक कोण के माध्यम से मोड़ते समय बिंदु घूर्णन के दौरान लंबाई के चाप से गुजरता है। कोण के रेडियन माप की परिभाषा से, हम लिख सकते हैं:

आइए समानता के बाएँ और दाएँ भागों को समय अंतराल से विभाजित करें, जिसके लिए आंदोलन किया गया था, फिर हम कोणीय और रैखिक वेग की परिभाषा का उपयोग करेंगे:

ध्यान दें कि बिंदु रोटेशन की धुरी से जितना दूर होगा, उसकी रैखिक गति उतनी ही अधिक होगी। और घूर्णन की धुरी पर स्थित बिंदु निश्चित हैं। इसका एक उदाहरण हिंडोला है: आप हिंडोला के केंद्र के जितने करीब होंगे, आपके लिए उस पर बने रहना उतना ही आसान होगा।

रैखिक और कोणीय वेगों की इस निर्भरता का उपयोग भूस्थिर उपग्रहों (पृथ्वी की सतह पर हमेशा एक ही बिंदु से ऊपर रहने वाले उपग्रह) में किया जाता है। ऐसे उपग्रहों के लिए धन्यवाद, हम टेलीविजन संकेत प्राप्त करने में सक्षम हैं।

याद कीजिए कि इससे पहले हमने आवर्त और घूर्णन की आवृत्ति की अवधारणाओं का परिचय दिया था।

रोटेशन की अवधि एक पूर्ण रोटेशन का समय है।रोटेशन की अवधि एक अक्षर द्वारा इंगित की जाती है और एसआई में सेकंड में मापा जाता है:

घूर्णन की आवृत्ति एक भौतिक मात्रा है जो शरीर द्वारा प्रति इकाई समय में किए जाने वाले चक्करों की संख्या के बराबर होती है।

आवृत्ति एक अक्षर द्वारा इंगित की जाती है और इसे पारस्परिक सेकंड में मापा जाता है:

वे इससे संबंधित हैं:

कोणीय वेग और शरीर के घूमने की आवृत्ति के बीच एक संबंध है। अगर हम याद रखें कि एक पूर्ण क्रांति है, तो यह देखना आसान है कि कोणीय वेग है:

इन भावों को कोणीय और रैखिक गति के बीच निर्भरता में प्रतिस्थापित करके, कोई अवधि या आवृत्ति पर रैखिक गति की निर्भरता प्राप्त कर सकता है:

आइए हम अभिकेंद्रीय त्वरण और इन राशियों के बीच संबंध को भी लिखें:

इस प्रकार, हम एक वृत्त में एकसमान गति की सभी विशेषताओं के बीच संबंध को जानते हैं।

आइए संक्षेप करते हैं। इस पाठ में, हमने वक्रीय गति का वर्णन करना शुरू किया। हमने समझा कि वक्रीय गति को वृत्तीय गति से कैसे जोड़ा जाता है। परिपत्र गति हमेशा तेज होती है, और त्वरण की उपस्थिति इस तथ्य का कारण बनती है कि गति हमेशा अपनी दिशा बदलती है। ऐसे त्वरण को अभिकेन्द्रक कहते हैं। अंत में, हमने एक वृत्त में गति की कुछ विशेषताओं (रैखिक वेग, कोणीय वेग, आवर्त और घूर्णन की आवृत्ति) को याद किया और उनके बीच संबंध पाया।

ग्रन्थसूची

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गृहकार्य

इस पाठ के कार्यों को हल करके, आप GIA के प्रश्न 1 और एकीकृत राज्य परीक्षा के प्रश्न A1, A2 की तैयारी करने में सक्षम होंगे।

1. समस्या 92, 94, 98, 106, 110 - शनि। ए.पी. के कार्य रिमकेविच, एड। दस
2. घड़ी के मिनट, सेकंड और घंटे की सुई के कोणीय वेग की गणना करें। इन तीरों की युक्तियों पर अभिनय करने वाले अभिकेंद्रीय त्वरण की गणना करें यदि उनमें से प्रत्येक की त्रिज्या एक मीटर है।

किसी पिंड की वक्रीय गति को ध्यान में रखते हुए, हम देखेंगे कि इसकी गति अलग-अलग क्षणों में भिन्न होती है। यदि गति का मापांक नहीं बदलता है, तब भी गति की दिशा में परिवर्तन होता है। सामान्य स्थिति में, मापांक और वेग की दिशा दोनों बदल जाते हैं।

इस प्रकार वक्रीय गति के साथ, गति लगातार बदल रही है, जिससे यह गति त्वरण के साथ होती है। इस त्वरण (मापांक और दिशा द्वारा) को निर्धारित करने के लिए, एक सदिश के रूप में वेग में परिवर्तन का पता लगाना आवश्यक है, अर्थात, वेग के मापांक में वृद्धि और इसकी दिशा में परिवर्तन को खोजने के लिए।

चावल। 49. वक्रीय गति के दौरान गति में परिवर्तन

मान लीजिए, उदाहरण के लिए, एक बिंदु, वक्राकार रूप से गतिमान है (चित्र 49), किसी क्षण गति है और थोड़े समय के बाद - गति। गति वृद्धि वैक्टर और के बीच का अंतर है। चूँकि इन सदिशों की अलग-अलग दिशाएँ होती हैं, इसलिए हमें इनका सदिश अंतर लेना चाहिए। गति की वृद्धि को सदिश द्वारा विकर्ण और दूसरी तरफ के साथ समांतर चतुर्भुज के पक्ष द्वारा दर्शाया जाएगा। त्वरण उस समय अंतराल में गति में वृद्धि का अनुपात है जिसके लिए यह वृद्धि हुई है। तो त्वरण

दिशा वेक्टर के साथ मेल खाती है।

पर्याप्त रूप से छोटा चुनना, हम तात्कालिक त्वरण (cf. 16) की अवधारणा पर पहुंचते हैं; एक मनमाना वेक्टर के साथ समय की अवधि में औसत त्वरण का प्रतिनिधित्व करेगा।

वक्रीय गति के दौरान त्वरण की दिशा वेग की दिशा से मेल नहीं खाती है, जबकि सीधी गति के लिए ये दिशाएं मेल खाती हैं (या विपरीत हैं)। वक्रीय गति के दौरान त्वरण की दिशा ज्ञात करने के लिए, प्रक्षेपवक्र के दो निकट बिंदुओं पर वेगों की दिशाओं की तुलना करना पर्याप्त है। चूंकि वेग स्पर्शरेखा के साथ प्रक्षेपवक्र के लिए निर्देशित होते हैं, तो प्रक्षेपवक्र के रूप में ही, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि त्वरण किस दिशा में प्रक्षेपवक्र से निर्देशित है। दरअसल, चूंकि प्रक्षेपवक्र के दो करीबी बिंदुओं पर वेगों में अंतर हमेशा उस दिशा में निर्देशित होता है जिसमें प्रक्षेपवक्र घुमावदार होता है, इसका मतलब है कि त्वरण हमेशा प्रक्षेपवक्र की अवतलता की ओर निर्देशित होता है। उदाहरण के लिए, जब एक गेंद एक घुमावदार ढलान (चित्र। 50) के साथ लुढ़कती है, तो वर्गों में इसका त्वरण और तीरों द्वारा दिखाए गए अनुसार निर्देशित होता है, और यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि गेंद लुढ़कती है या विपरीत दिशा में।

चावल। 50. वक्रीय गति के दौरान त्वरण हमेशा प्रक्षेपवक्र की अवतलता की ओर निर्देशित होते हैं

चावल। 51. अभिकेन्द्र त्वरण के सूत्र की व्युत्पत्ति के लिए

एक वक्रीय प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु की एकसमान गति पर विचार करें। हम पहले से ही जानते हैं कि यह एक त्वरित आंदोलन है। आइए त्वरण का पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, एक वृत्त के अनुदिश एकसमान गति के किसी विशेष मामले के लिए त्वरण पर विचार करना पर्याप्त है। आइए दो नज़दीकी स्थितियाँ और एक गतिमान बिंदु लें, जो एक छोटे से समय अंतराल (चित्र 51, ए) द्वारा अलग किया गया हो। गतिमान बिंदु के वेग निरपेक्ष मान में बराबर होते हैं, लेकिन दिशा में भिन्न होते हैं। आइए त्रिभुज नियम (चित्र 51, बी) का उपयोग करके इन गतियों के बीच अंतर ज्ञात करें। त्रिभुज और समरूप हैं, समद्विबाहु त्रिभुज के समान शीर्ष कोण वाले। समय की अवधि में गति में वृद्धि का प्रतिनिधित्व करने वाले पक्ष की लंबाई के बराबर सेट किया जा सकता है, जहां वांछित त्वरण का मॉड्यूल है। इसके समान भुजा चाप की जीवा है; चाप के छोटे होने के कारण, इसकी जीवा की लंबाई लगभग चाप की लंबाई के बराबर ली जा सकती है, अर्थात। . आगे, ; , प्रक्षेपवक्र की त्रिज्या कहाँ है। त्रिभुजों की समानता से यह पता चलता है कि उनमें समान भुजाओं के अनुपात समान हैं:

जहां हमें वांछित त्वरण का मॉड्यूल मिलता है:

त्वरण की दिशा जीवा के लंबवत होती है। पर्याप्त रूप से छोटे समय अंतराल के लिए, हम मान सकते हैं कि चाप की स्पर्शरेखा व्यावहारिक रूप से उसकी जीवा के साथ मेल खाती है। इसका मतलब यह है कि त्वरण को प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के लिए लंबवत (सामान्य रूप से) निर्देशित माना जा सकता है, अर्थात त्रिज्या के साथ वृत्त के केंद्र तक। इसलिए, इस तरह के त्वरण को सामान्य या अभिकेंद्री त्वरण कहा जाता है।

यदि प्रक्षेपवक्र एक वृत्त नहीं है, बल्कि एक मनमाना घुमावदार रेखा है, तो सूत्र (27.1) में किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के निकटतम वृत्त की त्रिज्या लेनी चाहिए। इस मामले में सामान्य त्वरण की दिशा भी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा के लंबवत होगी। यदि वक्रीय गति के दौरान, त्वरण परिमाण और दिशा में स्थिर है, तो इसे गति वृद्धि के उस समय अंतराल के अनुपात के रूप में पाया जा सकता है जिसके दौरान यह वृद्धि हुई, चाहे यह समय अंतराल कुछ भी हो। तो, इस मामले में, सूत्र द्वारा त्वरण पाया जा सकता है

स्थिर त्वरण के साथ सरल रेखीय गति के लिए सूत्र (17.1) के समान। यहाँ प्रारंभिक क्षण में शरीर की गति है, उस समय की गति है।

बिंदु कीनेमेटीक्स। मार्ग। हिलाना। गति और त्वरण। निर्देशांक अक्षों पर उनके अनुमान। तय की गई दूरी की गणना। औसत मान।

बिंदु कीनेमेटीक्स- किनेमेटिक्स का एक खंड जो भौतिक बिंदुओं की गति के गणितीय विवरण का अध्ययन करता है। किनेमेटिक्स का मुख्य कार्य इस आंदोलन के कारणों का पता लगाए बिना गणितीय उपकरण की मदद से आंदोलन का वर्णन करना है।

पथ और आंदोलन।वह रेखा जिसके साथ शरीर का बिंदु चलता है, कहलाती है प्रक्षेपवक्र. प्रक्षेपवक्र की लंबाई को कहा जाता है जिस तरह से हमने यात्रा की है. प्रक्षेपवक्र के प्रारंभ और अंत बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश को कहा जाता है आंदोलन। रफ़्तार- एक वेक्टर भौतिक मात्रा जो शरीर की गति की गति को दर्शाती है, संख्यात्मक रूप से इस अवधि के मूल्य के लिए एक छोटी अवधि में गति के अनुपात के बराबर है। समय अंतराल को पर्याप्त रूप से छोटा माना जाता है यदि इस अंतराल के दौरान असमान गति के दौरान गति में परिवर्तन नहीं होता है। गति के लिए परिभाषित सूत्र v = s/t है। गति की इकाई m/s है। व्यवहार में, उपयोग की जाने वाली गति इकाई किमी/घंटा (36 किमी/घंटा = 10 मीटर/सेकेंड) है। स्पीडोमीटर से गति मापें।

त्वरण- एक वेक्टर भौतिक मात्रा जो गति में परिवर्तन की दर को दर्शाती है, संख्यात्मक रूप से उस समय की अवधि में गति में परिवर्तन के अनुपात के बराबर होती है, जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ था। यदि गति के पूरे समय के दौरान गति समान रहती है, तो त्वरण की गणना सूत्र a=Δv/Δt द्वारा की जा सकती है। त्वरण की इकाई - एम / एस 2

वक्रीय गति में वेग और त्वरण। स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण।

वक्रीय गति- गति, जिसके प्रक्षेप पथ सीधे नहीं, बल्कि घुमावदार रेखाएँ हैं।

वक्रीय गति- यह हमेशा त्वरण के साथ गति करता है, भले ही गति का निरपेक्ष मान स्थिर हो। निरंतर त्वरण के साथ वक्रीय गति हमेशा उस तल में होती है जिसमें त्वरण सदिश और बिंदु के प्रारंभिक वेग स्थित होते हैं। समतल में निरंतर त्वरण के साथ वक्रीय गति के मामले में xOyअनुमानों वी एक्सऔर वी यूअक्ष पर इसकी गति बैलऔर ओएऔर निर्देशांक एक्सऔर आपकिसी भी समय अंक टीसूत्रों द्वारा निर्धारित

v x \u003d v 0 x + a x t, x \u003d x 0 + v 0 x t + a x t + a x t 2/2; v y \u003d v 0 y + a y t, y \u003d y 0 + v 0 y t + a y t 2/2

वक्रीय गति का एक विशेष मामला वृत्तीय गति है। परिपत्र गति, यहां तक ​​कि एकसमान, हमेशा त्वरित गति होती है: वेग मॉड्यूल हमेशा प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है, लगातार दिशा बदल रहा है, इसलिए परिपत्र गति हमेशा अभिकेंद्री त्वरण के साथ होती है |a|=v 2 /r जहां आरवृत्त की त्रिज्या है।

वृत्त के अनुदिश गति करते समय त्वरण सदिश वृत्त के केंद्र की ओर और वेग सदिश के लंबवत निर्देशित होता है।

वक्रीय गति के साथ, त्वरण को सामान्य और स्पर्शरेखा घटकों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

सामान्य (केन्द्रापसारक) त्वरण प्रक्षेपवक्र के वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होता है और दिशा में गति में परिवर्तन की विशेषता है:

वीतत्काल गति, आरकिसी दिए गए बिंदु पर प्रक्षेपवक्र की वक्रता की त्रिज्या है।

स्पर्शरेखा (स्पर्शरेखा) त्वरण को प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित किया जाता है और गति मोडुलो में परिवर्तन की विशेषता है।

कुल त्वरण जिसके साथ एक भौतिक बिंदु चलता है, बराबर होता है:

स्पर्शरेखा त्वरणसंख्यात्मक मान द्वारा गति की गति में परिवर्तन की गति को दर्शाता है और प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है।

इसलिये

सामान्य त्वरणदिशा में गति के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। आइए वेक्टर की गणना करें:

4. कठोर पिंड की गतिकी। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना। कोणीय गति और त्वरण। कोणीय और रैखिक वेग और त्वरण के बीच संबंध।

घूर्णी गति के कीनेमेटीक्स।

शरीर की गति अनुवादकीय और घूर्णी दोनों हो सकती है। इस मामले में, शरीर को कठोर रूप से परस्पर जुड़े भौतिक बिंदुओं की एक प्रणाली के रूप में दर्शाया जाता है।

ट्रांसलेशनल मोशन के साथ, शरीर में खींची गई कोई भी सीधी रेखा अपने आप समानांतर चलती है। प्रक्षेपवक्र के आकार के अनुसार, अनुवादकीय गति सीधी और वक्रीय हो सकती है। ट्रांसलेशनल मोशन में, एक कठोर पिंड के सभी बिंदु समान अवधि के लिए परिमाण और दिशा में समान गति करते हैं। इसलिए, किसी भी समय शरीर के सभी बिंदुओं की गति और त्वरण भी समान होते हैं। ट्रांसलेशनल मोशन का वर्णन करने के लिए, एक बिंदु की गति को परिभाषित करना पर्याप्त है।

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक कठोर शरीर की घूर्णन गतिएक ऐसी गति कहलाती है जिसमें शरीर के सभी बिंदु वृत्तों के साथ गति करते हैं, जिसके केंद्र एक सीधी रेखा (घूर्णन की धुरी) पर स्थित होते हैं।

घूर्णन की धुरी शरीर से होकर गुजर सकती है या उसके बाहर स्थित हो सकती है। यदि घूर्णन की धुरी शरीर से होकर गुजरती है, तो धुरी पर स्थित बिंदु शरीर के घूमने के दौरान आराम पर रहते हैं। घूर्णन अक्ष से अलग-अलग दूरी पर स्थित एक दृढ़ पिंड के बिंदु, एक ही समय अंतराल में अलग-अलग दूरी तय करते हैं और इसलिए, अलग-अलग रैखिक वेग होते हैं।

जब कोई पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो शरीर के बिंदु समान समय के लिए समान कोणीय विस्थापन करते हैं। मॉड्यूल समय में धुरी के चारों ओर शरीर के घूर्णन के कोण के बराबर है, शरीर के घूर्णन की दिशा के साथ कोणीय विस्थापन वेक्टर की दिशा स्क्रू नियम से जुड़ी होती है: यदि आप स्क्रू के घूर्णन की दिशाओं को जोड़ते हैं शरीर के घूर्णन की दिशा के साथ, तो वेक्टर पेंच के अनुवाद संबंधी आंदोलन के साथ मेल खाएगा। वेक्टर को रोटेशन की धुरी के साथ निर्देशित किया जाता है।

कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर कोणीय वेग - निर्धारित करती है। रैखिक वेग के साथ सादृश्य द्वारा, अवधारणाएँ औसत और तात्कालिक कोणीय वेग:

कोणीय गतिएक वेक्टर मात्रा है।

कोणीय वेग के परिवर्तन की दर की विशेषता है औसत और तत्काल

कोणीय त्वरण.

वेक्टर और वेक्टर के साथ मेल खा सकता है और इसके विपरीत हो सकता है

वक्रीय गति के साथ, वेग सदिश की दिशा बदल जाती है। ऐसे में इसका मॉड्यूल यानी लंबाई भी बदल सकती है। इस मामले में, त्वरण वेक्टर दो घटकों में विघटित होता है: प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा और प्रक्षेपवक्र के लंबवत (चित्र। 10)। घटक कहा जाता है स्पज्या का(स्पर्शरेखा) त्वरण, घटक - सामान्य(केन्द्राभिमुख त्वरण।

वक्रीय त्वरण

स्पर्शरेखा त्वरण रैखिक वेग के परिवर्तन की दर को दर्शाता है, और सामान्य त्वरण गति की दिशा में परिवर्तन की दर को दर्शाता है।

कुल त्वरण स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण के सदिश योग के बराबर है:

(15)

कुल त्वरण मापांक है:

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एक वृत्त के अनुदिश एक बिंदु की एकसमान गति पर विचार करें। जिसमें और . माना बिंदु t (चित्र 11) पर बिंदु 1 की स्थिति में है। समय t के बाद, पथ यात्रा करने के बाद, बिंदु 2 की स्थिति में होगा s, चाप 1-2 के बराबर। इस स्थिति में, बिंदु v की गति में वृद्धि हो जाती है v, जिसके परिणामस्वरूप वेग वेक्टर, परिमाण में अपरिवर्तित रहता है, एक कोण से घूमेगा Δφ , लंबाई के चाप के आधार पर केंद्रीय कोण के साथ परिमाण में मेल खाता है s:

(16)

जहाँ R उस वृत्त की त्रिज्या है जिसके अनुदिश बिन्दु गति करता है। आइए वेग वेक्टर की वृद्धि का पता लगाएं ऐसा करने के लिए, हम वेक्टर को स्थानांतरित करेंगे ताकि इसकी शुरुआत वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाए। फिर वेक्टर को वेक्टर के अंत से वेक्टर के अंत तक खींचे गए खंड द्वारा दर्शाया जाएगा . यह खंड पक्षों के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के रूप में कार्य करता है और और कोण Δφ शीर्ष पर। यदि कोण Δφ छोटा है (जो छोटे Δt के लिए सत्य है), इस त्रिभुज की भुजाओं के लिए हम लगभग लिख सकते हैं:

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यहाँ (16) से को प्रतिस्थापित करते हुए, हम वेक्टर के मापांक के लिए एक व्यंजक प्राप्त करते हैं:

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समीकरण के दोनों भागों को t से विभाजित करने और सीमा संक्रमण करने पर, हम अभिकेन्द्रीय त्वरण का मान प्राप्त करते हैं:

यहाँ मात्रा वीऔर आरस्थिर हैं, इसलिए उन्हें सीमा चिन्ह से बाहर निकाला जा सकता है। अनुपात सीमा गति मापांक है इसे रैखिक गति भी कहते हैं।

वक्रता त्रिज्या

वृत्त की त्रिज्या R कहलाती है वक्रता त्रिज्याप्रक्षेप पथ R के व्युत्क्रम को पथ की वक्रता कहते हैं:

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जहाँ R विचाराधीन वृत्त की त्रिज्या है। यदि α वृत्त s के चाप के अनुरूप केंद्रीय कोण है, तो, जैसा कि ज्ञात है, निम्नलिखित संबंध R, α और s के बीच है:

एस = रा. (18)

वक्रता त्रिज्या की अवधारणा न केवल एक वृत्त पर लागू होती है, बल्कि किसी भी घुमावदार रेखा पर भी लागू होती है। वक्रता की त्रिज्या (या इसके पारस्परिक - वक्रता) रेखा की वक्रता की डिग्री को दर्शाती है। वक्रता की त्रिज्या जितनी छोटी होगी (क्रमशः, उतनी ही अधिक वक्रता), उतनी ही अधिक रेखा मुड़ी हुई होती है। आइए इस अवधारणा पर अधिक विस्तार से विचार करें।

किसी बिंदु A पर एक सपाट रेखा की वक्रता का वृत्त बिंदु A और दो अन्य बिंदुओं B 1 और B 2 से गुजरने वाले वृत्त की सीमित स्थिति है क्योंकि वे बिंदु A पर असीम रूप से पहुंचते हैं (चित्र 12 में, वक्र एक द्वारा खींचा गया है) ठोस रेखा, और वक्रता का वृत्त धराशायी है)। वक्रता वृत्त की त्रिज्या बिंदु A पर विचाराधीन वक्र की वक्रता की त्रिज्या देती है, और इस वृत्त का केंद्र उसी बिंदु A के लिए वक्र की वक्रता का केंद्र है।

बिंदु B 1 और B 2 पर बिंदु B 1 , A और B 2 से गुजरने वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ B 1 D और B 2 E खींचिए। इन स्पर्शरेखाओं B 1 C और B 2 C के अभिलंब वृत्त की त्रिज्या R होंगे और इसके केंद्र C पर प्रतिच्छेद करेंगे। आइए हम मानक B1C और B 2 C के बीच के कोण Δα का परिचय दें; जाहिर है, यह स्पर्शरेखा बी 1 डी और बी 2 ई के बीच के कोण के बराबर है। आइए बिंदु बी 1 और बी 2 के बीच वक्र के खंड को s के रूप में नामित करें। फिर सूत्र के अनुसार (18):

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एक सपाट घुमावदार रेखा की वक्रता का वृत्त

विभिन्न बिंदुओं पर समतल वक्र की वक्रता का निर्धारण

अंजीर पर। 13 विभिन्न बिंदुओं पर एक सपाट रेखा की वक्रता के वृत्त दिखाता है। बिंदु A 1 पर, जहां वक्र समतल है, वक्रता की त्रिज्या क्रमशः बिंदु A 2 से अधिक है, बिंदु A 1 पर रेखा की वक्रता बिंदु A 2 से कम होगी। बिंदु A 3 पर वक्र बिंदु A 1 और A 2 की तुलना में भी अधिक सपाट है, इसलिए इस बिंदु पर वक्रता की त्रिज्या बड़ी होगी और वक्रता छोटी होगी। इसके अलावा, बिंदु A 3 पर वक्रता वृत्त वक्र के दूसरी ओर स्थित है। इसलिए, इस बिंदु पर वक्रता के परिमाण को बिंदु ए 1 और ए 2 पर वक्रता के संकेत के विपरीत एक संकेत दिया जाता है: यदि बिंदु ए 1 और ए 2 पर वक्रता को सकारात्मक माना जाता है, तो बिंदु ए 3 पर वक्रता होगी नकारात्मक।