भौतिकी की कुछ समस्याओं में, प्रक्रिया का वर्णन करने वाली मात्राओं के बीच सीधा संबंध स्थापित नहीं किया जा सकता है। लेकिन अध्ययन के तहत कार्यों के व्युत्पन्न युक्त समानता प्राप्त करने की संभावना है। इस तरह से अंतर समीकरण उत्पन्न होते हैं और अज्ञात फ़ंक्शन को खोजने के लिए उन्हें हल करने की आवश्यकता होती है।

यह लेख उन लोगों के लिए है जो एक अंतर समीकरण को हल करने की समस्या का सामना कर रहे हैं जिसमें अज्ञात फ़ंक्शन एक चर का कार्य है। सिद्धांत इस तरह से बनाया गया है कि अंतर समीकरणों की शून्य समझ के साथ, आप अपने कार्य का सामना करने में सक्षम होंगे।

प्रत्येक प्रकार के अवकल समीकरण एक समाधान विधि से जुड़े होते हैं जिसमें विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के विस्तृत स्पष्टीकरण और समाधान होते हैं। आपको बस अपनी समस्या के लिए अवकल समीकरण का प्रकार निर्धारित करना है, एक समान विश्लेषण किए गए उदाहरण को ढूंढना है और समान कार्य करना है।

अवकल समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको विभिन्न फलनों के प्रतिअवकलन (अनिश्चित समाकलन) के समुच्चय खोजने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी। यदि आवश्यक हो, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप अनुभाग देखें।

सबसे पहले, हम पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरणों के प्रकारों पर विचार करते हैं जिन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है, फिर हम दूसरे क्रम के ओडीई पर जाते हैं, फिर हम उच्च-क्रम समीकरणों पर ध्यान केंद्रित करते हैं और अंतर समीकरणों की प्रणालियों के साथ समाप्त होते हैं।

याद रखें कि यदि y तर्क x का एक फलन है।

पहले क्रम के अंतर समीकरण।

फॉर्म के पहले क्रम का सबसे सरल अंतर समीकरण।

आइए ऐसे DE के कई उदाहरण लिखें .

विभेदक समीकरण व्युत्पन्न के संबंध में समानता के दोनों पक्षों को f(x) से विभाजित करके हल किया जा सकता है। इस मामले में, हम समीकरण पर पहुंचते हैं, जो f(x) 0 के लिए मूल समीकरण के बराबर होगा। ऐसे ODE के उदाहरण हैं।

यदि तर्क के मान हैं x जिसके लिए कार्य f(x) और g(x) एक साथ गायब हो जाते हैं, तो अतिरिक्त समाधान दिखाई देते हैं। समीकरण के अतिरिक्त समाधान दिए गए x उन तर्क मानों के लिए परिभाषित कोई भी कार्य हैं। ऐसे अवकल समीकरणों के उदाहरण हैं।

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण।

दूसरा क्रम रैखिक सजातीय विभेदक समीकरण स्थिर गुणांक के साथ।

स्थिर गुणांक वाला LODE एक बहुत ही सामान्य प्रकार का अवकल समीकरण है। उनका समाधान विशेष रूप से कठिन नहीं है। सबसे पहले, अभिलक्षणिक समीकरण के मूल पाए जाते हैं . विभिन्न p और q के लिए, तीन स्थितियाँ संभव हैं: अभिलक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न, वास्तविक और संयोगी हो सकते हैं। या जटिल संयुग्म। अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों के मानों के आधार पर, अवकल समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार लिखा जाता है , या , या क्रमशः।

उदाहरण के लिए, स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें। उसके अभिलक्षणिक समीकरण के मूल k 1 = -3 और k 2 = 0 हैं। जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं, इसलिए, स्थिर गुणांक वाले एलडीई का सामान्य समाधान है


स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक गैर-समरूप द्वितीय क्रम विभेदक समीकरण।

निरंतर गुणांक y के साथ दूसरे क्रम के LIDE का सामान्य समाधान संबंधित LODE के सामान्य समाधान के योग के रूप में मांगा जाता है और मूल अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान, अर्थात्। पिछला पैराग्राफ निरंतर गुणांक के साथ एक सजातीय अंतर समीकरण के लिए एक सामान्य समाधान खोजने के लिए समर्पित है। और एक विशेष समाधान या तो फ़ंक्शन f (x) के एक निश्चित रूप के लिए अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो मूल समीकरण के दाईं ओर खड़ा होता है, या मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के LIDE के उदाहरण के रूप में, हम प्रस्तुत करते हैं


सिद्धांत को समझने और उदाहरणों के विस्तृत समाधानों से परिचित होने के लिए, हम आपको निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण पृष्ठ पर प्रदान करते हैं।

रैखिक सजातीय विभेदक समीकरण (LODEs) और दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण (LNDE)।

इस प्रकार के अंतर समीकरणों का एक विशेष मामला निरंतर गुणांक वाले LODE और LODE हैं।

एक निश्चित अंतराल पर LODE का सामान्य समाधान इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधान y 1 और y 2 के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात, .

मुख्य कठिनाई इस प्रकार के अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान खोजने में है। आमतौर पर, रैखिक रूप से स्वतंत्र कार्यों की निम्नलिखित प्रणालियों से विशेष समाधान चुने जाते हैं:


हालांकि, विशेष समाधान हमेशा इस रूप में प्रस्तुत नहीं किए जाते हैं।

LODU का एक उदाहरण है .

एलआईडीई का सामान्य समाधान फॉर्म में मांगा जाता है, जहां संबंधित एलओडीई का सामान्य समाधान होता है, और मूल अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान होता है। हमने अभी खोजने के बारे में बात की है, लेकिन इसे मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

एलएनडीई का एक उदाहरण है .

उच्च क्रम अंतर समीकरण।

आदेश में कमी को स्वीकार करने वाले विभेदक समीकरण।

अंतर समीकरण का क्रम , जिसमें k-1 ऑर्डर तक वांछित फ़ंक्शन और इसके डेरिवेटिव शामिल नहीं हैं, को प्रतिस्थापित करके n-k तक घटाया जा सकता है।

इस मामले में, और मूल अंतर समीकरण कम हो जाता है। इसका समाधान p(x) खोजने के बाद, यह प्रतिस्थापन पर वापस लौटता है और अज्ञात फ़ंक्शन y निर्धारित करता है।

उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण प्रतिस्थापन के बाद एक वियोज्य समीकरण बन जाता है, और इसका क्रम तीसरे से पहले तक कम हो जाता है।

पहले क्रम के अंतर समीकरण। समाधान उदाहरण।
वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण

विभेदक समीकरण (DE)। ये दो शब्द आम तौर पर औसत आम आदमी को डराते हैं। कई छात्रों के लिए डिफरेंशियल इक्वेशन कुछ अपमानजनक और मास्टर करना मुश्किल लगता है। Uuuuuu… डिफरेंशियल इक्वेशन्स, मैं इन सब से कैसे बचूंगा?!

ऐसी राय और ऐसा रवैया मौलिक रूप से गलत है, क्योंकि वास्तव में विभेदक समीकरण सरल और मजेदार भी होते हैं. अंतर समीकरणों को हल करने के लिए आपको क्या जानने और सीखने में सक्षम होने की आवश्यकता है? विभिन्नताओं का सफलतापूर्वक अध्ययन करने के लिए, आपको एकीकरण और विभेद करने में अच्छा होना चाहिए। बेहतर विषयों का अध्ययन किया जाता है एक चर के एक फलन का व्युत्पन्नऔर अनिश्चितकालीन अभिन्न, अवकल समीकरणों को समझना उतना ही आसान होगा। मैं और अधिक कहूंगा, यदि आपके पास कम या ज्यादा सभ्य एकीकरण कौशल है, तो विषय व्यावहारिक रूप से महारत हासिल है! विभिन्न प्रकार के जितने अधिक समाकलन आप हल कर सकते हैं, उतना ही अच्छा है। क्यों? आपको बहुत कुछ एकीकृत करना होगा। और अंतर करें। भी बहुत अधिक सिफारिश की जाती हैखोजना सीखो।

95% मामलों में, परीक्षण पत्रों में 3 प्रकार के प्रथम-क्रम अंतर समीकरण होते हैं: वियोज्य समीकरण, जिसे हम इस पाठ में शामिल करेंगे; सजातीय समीकरणऔर रैखिक अमानवीय समीकरण. डिफ्यूज़र का अध्ययन करने वाले शुरुआती लोगों के लिए, मैं आपको इस क्रम में पाठ पढ़ने की सलाह देता हूं, और पहले दो लेखों का अध्ययन करने के बाद, एक अतिरिक्त कार्यशाला में अपने कौशल को मजबूत करने में कोई दिक्कत नहीं होगी - समीकरण जो सजातीय को कम करते हैं.

और भी दुर्लभ प्रकार के अंतर समीकरण हैं: कुल अंतर में समीकरण, बर्नौली के समीकरण, और कुछ अन्य। पिछले दो प्रकारों में से, सबसे महत्वपूर्ण कुल अंतर में समीकरण हैं, क्योंकि इस DE के अलावा, मैं नई सामग्री पर विचार कर रहा हूं - आंशिक एकीकरण.

अगर आपके पास सिर्फ एक या दो दिन बचे हैं, तब अल्ट्रा-फास्ट तैयारी के लिएवहाँ है ब्लिट्ज कोर्सपीडीएफ प्रारूप में।

तो, स्थलचिह्न निर्धारित हैं - चलो चलते हैं:

आइए पहले हम सामान्य बीजीय समीकरणों को याद करें। उनमें चर और संख्याएँ होती हैं। सबसे सरल उदाहरण: . साधारण समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? इसका मतलब है ढूँढना संख्याओं का समूहजो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। यह देखना आसान है कि बच्चों के समीकरण का एक ही मूल है: . मज़े के लिए, आइए एक जाँच करें, हमारे समीकरण में पाए गए रूट को प्रतिस्थापित करें:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि समाधान सही पाया जाता है।

डिफ्यूज़ को उसी तरह से व्यवस्थित किया जाता है!

अंतर समीकरण पहले के आदेशसामान्य रूप में शामिल है:
1) स्वतंत्र चर;
2) आश्रित चर (फ़ंक्शन);
3) फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न:।

पहले क्रम के कुछ समीकरणों में, "x" या (और) "y" नहीं हो सकता है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है - जरूरीताकि डीयू में थापहला व्युत्पन्न, और नहीं थाउच्च आदेशों के डेरिवेटिव - आदि।

क्या मतलब ?डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व करने का मतलब है ढूँढना सभी कार्यों का सेटजो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। कार्यों के इस तरह के एक सेट में अक्सर रूप होता है ( एक मनमाना स्थिरांक है), जिसे कहा जाता है अंतर समीकरण का सामान्य समाधान.

उदाहरण 1

अंतर समीकरण हल करें

पूरा गोला बारूद। कहाँ से शुरू करें फेसला?

सबसे पहले, आपको व्युत्पन्न को थोड़े अलग रूप में फिर से लिखना होगा। हम बोझिल संकेतन को याद करते हैं, जिसे आप में से कई लोगों ने शायद हास्यास्पद और अनावश्यक समझा होगा। यह है कि डिफ्यूज़र में नियम!

दूसरे चरण में, देखते हैं कि क्या यह संभव है विभाजित चर?चरों को अलग करने का क्या अर्थ है? मोटे तौर पर बोल, बायीं तरफ परहमें जाने की जरूरत है केवल "खेल", ए दाहिने तरफ़व्यवस्थित केवल x's. "स्कूल" जोड़तोड़ की मदद से चर का पृथक्करण किया जाता है: कोष्ठक, एक संकेत परिवर्तन के साथ एक भाग से दूसरे भाग में शब्दों का स्थानांतरण, अनुपात के नियम के अनुसार भाग से भाग में कारकों का स्थानांतरण, आदि।

विभेदक और पूर्ण गुणक हैं और शत्रुता में सक्रिय भागीदार हैं। इस उदाहरण में, अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को फ़्लिप करके चर को आसानी से अलग किया जाता है:

चर अलग हो गए हैं। बाईं ओर - केवल "गेम", दाईं ओर - केवल "X"।

अगला पड़ाव - अंतर समीकरण एकीकरण. यह आसान है, हम दोनों हिस्सों पर इंटीग्रल लटकाते हैं:

बेशक, अभिन्न लिया जाना चाहिए। इस मामले में, वे सारणीबद्ध हैं:

जैसा कि हमें याद है, किसी भी प्रतिअवकलन को नियतांक नियत किया जाता है। यहाँ दो समाकल हैं, लेकिन एक बार स्थिरांक लिखने के लिए पर्याप्त है (क्योंकि एक अचर + एक अचर अभी भी दूसरे अचर के बराबर है). ज्यादातर मामलों में, इसे दाईं ओर रखा जाता है।

कड़ाई से बोलते हुए, इंटीग्रल लेने के बाद, डिफरेंशियल इक्वेशन को हल माना जाता है। केवल एक चीज यह है कि हमारे "y" को "x" के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जाता है, अर्थात समाधान प्रस्तुत किया जाता है निहित मेंप्रपत्र। अवकल समीकरण का निहित हल कहलाता है अवकल समीकरण का सामान्य समाकलन. अर्थात् सामान्य समाकलन है।

इस रूप में एक उत्तर काफी स्वीकार्य है, लेकिन क्या कोई बेहतर विकल्प है? आइए प्राप्त करने का प्रयास करें सामान्य निर्णय.

आपका स्वागत है, पहली तकनीक याद रखें, यह बहुत आम है और अक्सर व्यावहारिक कार्यों में उपयोग किया जाता है: यदि एकीकरण के बाद दाईं ओर एक लघुगणक दिखाई देता है, तो कई मामलों में (लेकिन हमेशा नहीं!) लघुगणक के तहत स्थिरांक लिखना भी उचित है.

अर्थात, के बजायरिकॉर्ड आमतौर पर लिखे जाते हैं .

इसकी आवश्यकता क्यों है? और "y" को व्यक्त करना आसान बनाने के लिए। हम लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करते हैं . इस मामले में:

अब लघुगणक और मॉड्यूल को हटाया जा सकता है:

समारोह को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है। यह सामान्य समाधान है।

जवाब: आम निर्णय: .

कई अंतर समीकरणों के उत्तरों की जांच करना काफी आसान है। हमारे मामले में, यह काफी सरलता से किया जाता है, हम पाया गया समाधान लेते हैं और इसे अलग करते हैं:

फिर हम व्युत्पन्न को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

- सही समानता प्राप्त की जाती है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाधान समीकरण को संतुष्ट करता है, जिसे जांचना आवश्यक था।

निरंतर भिन्न मान देकर, आप की अनंत संख्या प्राप्त कर सकते हैं निजी निर्णयअंतर समीकरण। यह स्पष्ट है कि कोई भी कार्य, आदि। अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है।

कभी-कभी सामान्य समाधान कहा जाता है कार्यों का परिवार. इस उदाहरण में, सामान्य समाधान रैखिक कार्यों का एक परिवार है, या बल्कि, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का परिवार है।

पहले उदाहरण की विस्तृत चर्चा के बाद, अवकल समीकरणों के बारे में कुछ सरल प्रश्नों के उत्तर देना उचित होगा:

1)इस उदाहरण में, हम वेरिएबल्स को अलग करने में कामयाब रहे। क्या ऐसा करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं। और इससे भी अधिक बार चरों को अलग नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, में सजातीय प्रथम कोटि समीकरणपहले बदला जाना चाहिए। अन्य प्रकार के समीकरणों में, उदाहरण के लिए, पहले क्रम के एक रैखिक गैर-समरूप समीकरण में, आपको एक सामान्य समाधान खोजने के लिए विभिन्न युक्तियों और विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। पहले पाठ में हम जिन वियोज्य चर समीकरणों पर विचार करते हैं, वे सबसे सरल प्रकार के अवकल समीकरण हैं।

2) क्या अंतर समीकरण को एकीकृत करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं। एक "फैंसी" समीकरण के साथ आना बहुत आसान है जिसे एकीकृत नहीं किया जा सकता है, इसके अलावा, ऐसे इंटीग्रल हैं जिन्हें नहीं लिया जा सकता है। लेकिन ऐसे डीई को विशेष तरीकों का उपयोग करके लगभग हल किया जा सकता है। डी'अलेम्बर्ट और कॉची गारंटी ... ... उघ, लर्कमोर.तो मैंने अभी बहुत कुछ पढ़ा है, मैंने लगभग "दूसरी दुनिया से" जोड़ा है।

3) इस उदाहरण में, हमने एक सामान्य समाकल के रूप में एक हल प्राप्त किया है . क्या सामान्य समाकलन से एक सामान्य हल खोजना संभव है, अर्थात् "y" को स्पष्ट रूप में व्यक्त करना?नहीं हमेशा नहीं। उदाहरण के लिए: । खैर, मैं यहाँ "y" कैसे व्यक्त कर सकता हूँ?! ऐसे मामलों में, उत्तर को एक सामान्य अभिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए। इसके अलावा, कभी-कभी एक सामान्य समाधान खोजना संभव होता है, लेकिन यह इतना बोझिल और अनाड़ी रूप से लिखा जाता है कि उत्तर को सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ना बेहतर होता है।

4) ... शायद अभी के लिए पर्याप्त है। पहले उदाहरण में, हम मिले एक और महत्वपूर्ण बिंदु, लेकिन नई जानकारी के हिमस्खलन के साथ "डमी" को कवर न करने के लिए, मैं इसे अगले पाठ तक छोड़ दूंगा।

चलो जल्दी मत करो। एक और सरल रिमोट कंट्रोल और दूसरा विशिष्ट समाधान:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए जो प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता हो

फेसला: शर्त के अनुसार इसे खोजना आवश्यक है निजी निर्णय DE जो दी गई प्रारंभिक शर्त को पूरा करता है। इस प्रकार की पूछताछ को भी कहा जाता है कौची समस्या.

सबसे पहले, हम एक सामान्य समाधान पाते हैं। समीकरण में कोई "x" चर नहीं है, लेकिन यह शर्मनाक नहीं होना चाहिए, मुख्य बात यह है कि इसका पहला व्युत्पन्न है।

हम व्युत्पन्न को आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं:

जाहिर है, चर को विभाजित किया जा सकता है, लड़कों को बाईं ओर, लड़कियों को दाईं ओर:

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं:

सामान्य समाकलन प्राप्त होता है। यहां मैंने एक उच्चारण तारे के साथ एक स्थिरांक खींचा, तथ्य यह है कि बहुत जल्द यह एक और स्थिरांक में बदल जाएगा।

अब हम सामान्य समाकलन को एक सामान्य समाधान में बदलने का प्रयास कर रहे हैं (स्पष्ट रूप से "y" व्यक्त करें)। हम पुराने, अच्छे, स्कूल को याद करते हैं: . इस मामले में:

संकेतक में स्थिरांक किसी तरह कोषेर नहीं दिखता है, इसलिए इसे आमतौर पर स्वर्ग से पृथ्वी पर उतारा जाता है। विस्तार से ऐसा होता है। डिग्री के गुण का उपयोग करते हुए, हम फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

यदि एक अचर है, तो कुछ अचर भी है, इसे अक्षर के साथ फिर से नामित करें:

याद रखें एक स्थिरांक का "विध्वंस" है दूसरी तकनीक, जिसका उपयोग अक्सर अंतर समीकरणों को हल करने के दौरान किया जाता है।

तो सामान्य समाधान है: घातीय कार्यों का इतना अच्छा परिवार।

अंतिम चरण में, आपको एक विशेष समाधान खोजने की आवश्यकता है जो दी गई प्रारंभिक शर्त को पूरा करता है। यह सरल भी है।

कार्य क्या है? लेने की जरूरत है ऐसाशर्त को संतुष्ट करने के लिए स्थिरांक का मान।

आप इसे अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं, लेकिन सबसे अधिक समझने योग्य, शायद, ऐसा होगा। सामान्य समाधान में, "x" के बजाय, हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं, और "y" के बजाय, दो:



अर्थात,

मानक डिजाइन संस्करण:

अब हम सामान्य समाधान में स्थिरांक के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
- यह वह विशेष समाधान है जिसकी हमें आवश्यकता है।

जवाब: निजी समाधान:

चलो एक चेक करते हैं। किसी विशेष समाधान के सत्यापन में दो चरण शामिल हैं:

सबसे पहले, यह जांचना आवश्यक है कि क्या पाया गया विशेष समाधान वास्तव में प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है? "x" के बजाय हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं और देखते हैं कि क्या होता है:
- हाँ, वास्तव में, एक ड्यूस प्राप्त किया गया था, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक स्थिति संतुष्ट है।

दूसरा चरण पहले से ही परिचित है। हम परिणामी विशेष समाधान लेते हैं और व्युत्पन्न पाते हैं:

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

- सही समानता प्राप्त होती है।

निष्कर्ष: विशेष समाधान सही ढंग से पाया जाता है।

आइए अधिक सार्थक उदाहरणों पर चलते हैं।

उदाहरण 3

अंतर समीकरण हल करें

फेसला:हम व्युत्पन्न को उस रूप में फिर से लिखते हैं जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

यह आकलन करना कि क्या चर को अलग किया जा सकता है? कर सकना। हम दूसरे पद को एक संकेत परिवर्तन के साथ दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

और हम अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को पलटते हैं:

चर अलग हो गए हैं, आइए दोनों भागों को एकीकृत करें:

मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए, न्याय का दिन आ रहा है। अगर आपने अच्छी तरह से नहीं सीखा है अनिश्चित समाकलन, कुछ उदाहरणों को हल किया, फिर कहीं जाना नहीं है - अब आपको उनमें महारत हासिल करनी होगी।

लेफ्ट साइड का इंटीग्रल खोजना आसान है, कोटेंजेंट के इंटीग्रल के साथ हम उस मानक तकनीक से निपटते हैं जिसे हमने पाठ में माना था त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरणपिछले साल:

दाईं ओर, हमारे पास एक लघुगणक है, और, मेरी पहली तकनीकी अनुशंसा के अनुसार, लघुगणक के नीचे स्थिरांक भी लिखा जाना चाहिए।

अब हम सामान्य समाकलन को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। चूंकि हमारे पास केवल लघुगणक हैं, इसलिए उनसे छुटकारा पाना काफी संभव (और आवश्यक) है। ज़रिये ज्ञात गुणलघुगणक को अधिकतम रूप से "पैक" करें। मैं विस्तार से लिखूंगा:

पैकेजिंग पूरी तरह से बर्बर रूप से फटी हुई है:

क्या "y" को व्यक्त करना संभव है? कर सकना। दोनों भागों को चौकोर होना चाहिए।

लेकिन आपको नहीं करना है।

तीसरा टेक टिप:यदि एक सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए आपको शक्ति बढ़ाने या जड़ें जमाने की आवश्यकता है, तो अधिकतर परिस्थितियों मेंआपको इन कार्यों से बचना चाहिए और उत्तर को एक सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ देना चाहिए। तथ्य यह है कि सामान्य समाधान बहुत ही भयानक लगेगा - बड़ी जड़ों, संकेतों और अन्य कचरे के साथ।

इसलिए, हम उत्तर को एक सामान्य अभिन्न के रूप में लिखते हैं। इसे रूप में प्रस्तुत करना अच्छा माना जाता है, अर्थात दाईं ओर, यदि संभव हो तो केवल एक स्थिरांक छोड़ दें। ऐसा करना जरूरी नहीं है, लेकिन प्रोफेसर को खुश करना हमेशा फायदेमंद होता है ;-)

जवाब:सामान्य अभिन्न:

! टिप्पणी: किसी भी समीकरण का सामान्य समाकल एक से अधिक तरीकों से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, यदि आपका परिणाम पहले से ज्ञात उत्तर से मेल नहीं खाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपने समीकरण को गलत तरीके से हल किया है।

सामान्य इंटीग्रल को भी काफी आसानी से चेक किया जाता है, मुख्य बात यह है कि खोजने में सक्षम होना परोक्ष रूप से परिभाषित एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. आइए उत्तर को अलग करें:

हम दोनों पदों को इससे गुणा करते हैं:

और हम इसके द्वारा विभाजित करते हैं:

मूल अंतर समीकरण बिल्कुल प्राप्त किया गया था, जिसका अर्थ है कि सामान्य अभिन्न सही ढंग से पाया गया था।

उदाहरण 4

अवकल समीकरण का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए जो प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता हो। एक चेक चलाएँ।

यह स्वयं का उदाहरण है।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि एल्गोरिथ्म में दो चरण होते हैं:
1) एक सामान्य समाधान खोजना;
2) आवश्यक विशेष समाधान खोजना।

जांच भी दो चरणों में की जाती है (उदाहरण संख्या 2 में नमूना देखें), आपको चाहिए:
1) सुनिश्चित करें कि पाया गया विशेष समाधान प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है;
2) जाँच करें कि कोई विशेष हल आम तौर पर अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है।

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 5

अवकल समीकरण का विशेष हल ज्ञात कीजिए , प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट . एक चेक चलाएँ।

फेसला:सबसे पहले, आइए एक सामान्य समाधान खोजें। इस समीकरण में पहले से ही तैयार अंतर शामिल हैं और, जिसका अर्थ है कि समाधान सरल है। चर अलग करना:

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं:

बायीं ओर का समाकल सारणीबद्ध है, दायीं ओर का समाकल लिया गया है अंतर के संकेत के तहत फ़ंक्शन को सारांशित करने की विधि:

सामान्य समाकलन प्राप्त कर लिया गया है, क्या सामान्य हल को सफलतापूर्वक व्यक्त करना संभव है? कर सकना। हम दोनों तरफ लघुगणक लटकाते हैं। चूंकि वे सकारात्मक हैं, मॉड्यूल संकेत बेमानी हैं:

(उम्मीद करता हूं कि हर कोई परिवर्तन को समझता है, ऐसी बातें पहले से ही पता होनी चाहिए)

तो सामान्य समाधान है:

आइए दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें।
सामान्य समाधान में, "x" के बजाय, हम शून्य को प्रतिस्थापित करते हैं, और "y" के बजाय, दो का लघुगणक:

अधिक परिचित डिजाइन:

हम स्थिरांक के पाए गए मान को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं।

जवाब:निजी समाधान:

जांचें: सबसे पहले, जांचें कि प्रारंभिक शर्त पूरी हुई है या नहीं:
- सबकुछ ठीक है।

अब देखते हैं कि पाया गया विशेष हल अवकल समीकरण को बिल्कुल संतुष्ट करता है या नहीं। हम व्युत्पन्न पाते हैं:

आइए मूल समीकरण को देखें: - इसे अंतरों में प्रस्तुत किया जाता है। जाँच करने के दो तरीके हैं। पाए गए व्युत्पन्न से अंतर को व्यक्त करना संभव है:

हम मूल समीकरण में पाए गए विशेष समाधान और परिणामी अंतर को प्रतिस्थापित करते हैं :

हम मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग करते हैं:

सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि विशेष समाधान सही पाया जाता है।

जाँच का दूसरा तरीका प्रतिबिंबित और अधिक परिचित है: समीकरण से व्युत्पन्न को व्यक्त करें, इसके लिए हम सभी टुकड़ों को विभाजित करते हैं:

और रूपांतरित DE में हम प्राप्त विशेष समाधान और पाए गए व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करते हैं। सरलीकरण के परिणामस्वरूप सही समानता भी प्राप्त की जानी चाहिए।

उदाहरण 6

विभेदक समीकरण को हल करें। उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में व्यक्त कीजिए।

यह पाठ के अंत में आत्म-समाधान, पूर्ण समाधान और उत्तर के लिए एक उदाहरण है।

वियोज्य चरों के साथ अवकल समीकरणों को हल करने में किन कठिनाइयों का इंतजार है?

1) यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता (विशेषकर एक चायदानी के लिए) कि चर को अलग किया जा सकता है। एक सशर्त उदाहरण पर विचार करें: . यहां आपको कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालने की आवश्यकता है: और जड़ों को अलग करें:। आगे कैसे बढ़ना है यह स्पष्ट है।

2) एकीकरण में ही कठिनाइयाँ। इंटीग्रल अक्सर सबसे सरल नहीं होते हैं, और अगर खोजने के कौशल में खामियां हैं अनिश्चितकालीन अभिन्न, तो यह कई डिफ्यूज़र के साथ मुश्किल होगा। इसके अलावा, तर्क "चूंकि अंतर समीकरण सरल है, तो इंटीग्रल को अधिक जटिल होने दें" संग्रह और मैनुअल के संकलनकर्ताओं के बीच लोकप्रिय है।

3) एक स्थिरांक के साथ परिवर्तन। जैसा कि सभी ने देखा है, अंतर समीकरणों में एक स्थिरांक को काफी स्वतंत्र रूप से नियंत्रित किया जा सकता है, और कुछ परिवर्तन हमेशा एक शुरुआत के लिए स्पष्ट नहीं होते हैं। आइए एक और काल्पनिक उदाहरण देखें: . इसमें, सभी पदों को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . परिणामी स्थिरांक भी किसी प्रकार का स्थिरांक है, जिसे निम्न द्वारा दर्शाया जा सकता है: . हां, और चूंकि दाईं ओर एक लघुगणक है, इसलिए यह सलाह दी जाती है कि स्थिरांक को दूसरे स्थिरांक के रूप में फिर से लिखा जाए: .

परेशानी यह है कि वे अक्सर सूचकांकों से परेशान नहीं होते हैं और एक ही अक्षर का उपयोग करते हैं। परिणामस्वरूप, निर्णय रिकॉर्ड निम्नलिखित रूप लेता है:

क्या विधर्म? यहाँ त्रुटियाँ हैं! कड़ाई से बोलते हुए, हाँ। हालांकि, एक वास्तविक दृष्टिकोण से, कोई त्रुटि नहीं है, क्योंकि एक चर स्थिरांक के परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक चर स्थिरांक अभी भी प्राप्त होता है।

या एक अन्य उदाहरण, मान लीजिए कि समीकरण को हल करने के क्रम में, एक सामान्य समाकलन प्राप्त होता है। यह उत्तर बदसूरत लगता है, इसलिए प्रत्येक पद के चिन्ह को बदलने की सलाह दी जाती है: . औपचारिक रूप से, फिर से एक त्रुटि है - इसे दाईं ओर लिखा जाना चाहिए। लेकिन यह अनौपचारिक रूप से निहित है कि "माइनस सीई" अभी भी स्थिर है ( जो किसी भी मूल्य को भी लेता है!), इसलिए "माइनस" डालने का कोई मतलब नहीं है और आप उसी अक्षर का उपयोग कर सकते हैं।

मैं एक लापरवाह दृष्टिकोण से बचने की कोशिश करूंगा, और फिर भी उन्हें परिवर्तित करते समय स्थिरांक के लिए अलग-अलग अनुक्रमणिका डालूंगा।

उदाहरण 7

विभेदक समीकरण को हल करें। एक चेक चलाएँ।

फेसला:यह समीकरण चरों के पृथक्करण को स्वीकार करता है। चर अलग करना:

हम एकीकृत करते हैं:

यहां स्थिरांक को लघुगणक के तहत परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इससे कुछ भी अच्छा नहीं होगा।

जवाब:सामान्य अभिन्न:

जाँच करें: उत्तर को अलग करें (अंतर्निहित कार्य):

हम भिन्नों से छुटकारा पाते हैं, इसके लिए हम दोनों पदों को गुणा करते हैं:

मूल अवकल समीकरण प्राप्त कर लिया गया है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाकल सही पाया गया है।

उदाहरण 8

DE का एक विशेष हल ज्ञात कीजिए।
,

यह स्वयं का उदाहरण है। एकमात्र संकेत यह है कि यहां आपको एक सामान्य अभिन्न अंग मिलता है, और, अधिक सही ढंग से, आपको एक विशेष समाधान खोजने के लिए प्रयास करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन निजी अभिन्न. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

6.1. बुनियादी अवधारणाएं और परिभाषाएं

गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान और चिकित्सा की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, अक्सर अध्ययन के तहत प्रक्रिया का वर्णन करने वाले चर को जोड़ने वाले सूत्र के रूप में एक कार्यात्मक निर्भरता को तुरंत स्थापित करना संभव नहीं होता है। आमतौर पर, किसी को स्वतंत्र चर और अज्ञात फ़ंक्शन के अलावा, इसके डेरिवेटिव वाले समीकरणों का उपयोग करना पड़ता है।

परिभाषा।एक स्वतंत्र चर, एक अज्ञात फलन और विभिन्न कोटि के इसके व्युत्पन्न से संबंधित समीकरण कहलाता है अंतर।

अज्ञात फ़ंक्शन को आमतौर पर दर्शाया जाता है वाई (एक्स)या केवल वाई,और इसके डेरिवेटिव हैं वाई", वाई"आदि।

अन्य संकेतन भी संभव हैं, उदाहरण के लिए: if आप= एक्स (टी), फिर एक्स"(टी), एक्स""(टी)इसके डेरिवेटिव हैं, और टीएक स्वतंत्र चर है।

परिभाषा।यदि फलन एक चर पर निर्भर करता है, तो अवकल समीकरण को साधारण कहा जाता है। सामान्य फ़ॉर्म साधारण अंतर समीकरण:

या

कार्यों एफऔर एफहो सकता है कि इसमें कुछ तर्क न हों, लेकिन समीकरणों के विभेदक होने के लिए, एक व्युत्पन्न की उपस्थिति आवश्यक है।

परिभाषा।अवकल समीकरण का क्रमइसमें शामिल उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

उदाहरण के लिए, एक्स 2 वाई"- आप= 0, वाई" + पाप एक्स= 0 प्रथम-क्रम समीकरण हैं, और वाई"+ 2 वाई"+ 5 आप= एक्सद्वितीय कोटि का समीकरण है।

अंतर समीकरणों को हल करते समय, एकीकरण ऑपरेशन का उपयोग किया जाता है, जो एक मनमाना स्थिरांक की उपस्थिति से जुड़ा होता है। अगर एकीकरण कार्रवाई लागू की जाती है एनसमय, तो, जाहिर है, समाधान शामिल होगा एनमनमाना स्थिरांक।

6.2. पहला आदेश विभेदक समीकरण

सामान्य फ़ॉर्म पहला क्रम अंतर समीकरणअभिव्यक्ति द्वारा परिभाषित किया गया है

समीकरण में स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हो सकता है एक्सऔर वाई,लेकिन आवश्यक रूप से y" शामिल है।

यदि समीकरण को के रूप में लिखा जा सकता है

तब हमें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया गया प्रथम-क्रम अंतर समीकरण मिलता है।

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण (6.3) (या (6.4)) का सामान्य हल हलों का समुच्चय है , कहाँ पे साथ मेंएक मनमाना स्थिरांक है।

अवकल समीकरण को हल करने के लिए ग्राफ को कहा जाता है अभिन्न वक्र।

एक मनमाना स्थिरांक देना साथ मेंविभिन्न मूल्यों, विशेष समाधान प्राप्त करना संभव है। सतह पर xOyसामान्य समाधान प्रत्येक विशेष समाधान के अनुरूप अभिन्न वक्रों का एक परिवार है।

यदि आप एक बिंदु निर्धारित करते हैं ए (x0, y0),जिसके माध्यम से अभिन्न वक्र पारित होना चाहिए, फिर, एक नियम के रूप में, कार्यों के सेट से एक को अलग किया जा सकता है - एक विशेष समाधान।

परिभाषा।निजी निर्णयएक अवकल समीकरण का वह हल होता है जिसमें स्वेच्छ अचर नहीं होते हैं।

यदि एक एक सामान्य समाधान है, तो स्थिति से

आप एक स्थायी पा सकते हैं साथ।हालत कहा जाता है आरंभिक दशा।

एक अवकल समीकरण (6.3) या (6.4) का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करती है पर बुलाया कॉची समस्या।क्या इस समस्या का हमेशा कोई समाधान होता है? उत्तर निम्नलिखित प्रमेय में निहित है।

कॉची का प्रमेय(अस्तित्व का प्रमेय और समाधान की विशिष्टता)। चलो अवकल समीकरण में वाई"= एफ (एक्स, वाई)समारोह एफ (एक्स, वाई)और उसकी

आंशिक व्युत्पन्न कुछ में परिभाषित और निरंतर

क्षेत्रों डी,एक बिंदु युक्त फिर क्षेत्र में डीमौजूद

समीकरण का एकमात्र समाधान जो प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता है पर

कॉची के प्रमेय में कहा गया है कि कुछ शर्तों के तहत एक अद्वितीय अभिन्न वक्र होता है आप= एफ (एक्स),एक बिंदु से गुजरना वे बिंदु जहां प्रमेय की शर्तें संतुष्ट नहीं हैं

बिल्लियों को कहा जाता है विशेष।इन बिंदुओं पर टूटा एफ(एक्स, वाई) या।

या तो कई अभिन्न वक्र एकवचन बिंदु से गुजरते हैं, या कोई नहीं।

परिभाषा।यदि समाधान (6.3), (6.4) के रूप में पाया जाता है एफ(एक्स, वाई, सी)= 0 y के सन्दर्भ में अनुमत नहीं है, तो इसे कहते हैं सामान्य अभिन्नअंतर समीकरण।

कॉची का प्रमेय केवल इस बात की गारंटी देता है कि समाधान मौजूद है। चूँकि हल खोजने की कोई एक विधि नहीं है, हम केवल कुछ प्रकार के प्रथम-कोटि अवकल समीकरणों पर विचार करेंगे जो कि समाकलनीय हैं। वर्ग

परिभाषा।अवकल समीकरण कहलाता है चतुर्भुज में एकीकृत,यदि इसके समाधान की खोज को कार्यों के एकीकरण तक सीमित कर दिया जाए।

6.2.1. वियोज्य चर के साथ पहले क्रम के अंतर समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि के अवकल समीकरण को के साथ समीकरण कहा जाता है वियोज्य चर,

समीकरण का दायाँ पक्ष (6.5) दो फलनों का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक केवल एक चर पर निर्भर करता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण अलग करने वाला एक समीकरण है

पासिंग वेरिएबल्स
और समीकरण

फॉर्म (6.5) में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

मान लीजिये , हम (6.5) को फिर से लिखते हैं

इस समीकरण से हम अलग-अलग चर के साथ एक अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं, जिसमें अंतर में ऐसे कार्य होते हैं जो केवल संबंधित चर पर निर्भर करते हैं:

टर्म को टर्म से इंटीग्रेट करना, हमारे पास है

जहां सी = सी 2 - सी 1 एक मनमाना स्थिरांक है। व्यंजक (6.6) समीकरण (6.5) का सामान्य समाकल है।

समीकरण (6.5) के दोनों भागों को से भाग देने पर हम उन हलों को खो सकते हैं जिनके लिए, दरअसल, अगर पर

तब स्पष्ट रूप से समीकरण (6.5) का एक हल है।

उदाहरण 1संतोषजनक समीकरण का हल खोजें

स्थिति: आप= 6 बजे एक्स= 2 (y(2) = 6).

फेसला।आइए बदलें पर"तब के लिए . दोनों पक्षों को से गुणा करें

डीएक्स,चूंकि आगे एकीकरण में छोड़ना असंभव है डीएक्सहर में:

और फिर दोनों भागों को विभाजित करके हमें समीकरण मिलता है,

जिसे एकीकृत किया जा सकता है। हम एकीकृत करते हैं:

फिर ; पोटेंशियेटिंग करने पर हमें y = C प्राप्त होता है। (एक्स + 1) - ओब-

उपाय।

प्रारंभिक डेटा के आधार पर, हम उन्हें सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करके एक मनमाना स्थिरांक निर्धारित करते हैं

अंत में हमें मिलता है आप= 2(x + 1) एक विशेष हल है। वियोज्य चरों वाले समीकरणों को हल करने के कुछ और उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 2समीकरण का हल खोजें

फेसला।मान लीजिये , हम पाते हैं .

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हमारे पास है

कहाँ पे

उदाहरण 3समीकरण का हल खोजें फेसला।हम समीकरण के दोनों भागों को उन कारकों से विभाजित करते हैं जो एक चर पर निर्भर करते हैं जो अंतर चिह्न के तहत चर के साथ मेल नहीं खाता है, अर्थात, द्वारा और एकीकृत करें। तब हमें मिलता है

और अंत में

उदाहरण 4समीकरण का हल खोजें

फेसला।यह जानकर कि हमें क्या मिलेगा। खंड-

लिम चर। फिर

एकीकृत करना, हमें मिलता है

टिप्पणी।उदाहरण 1 और 2 में, वांछित फलन आपस्पष्ट रूप से व्यक्त (सामान्य समाधान)। उदाहरण 3 और 4 में - परोक्ष रूप से (सामान्य समाकलन)। भविष्य में, निर्णय का रूप निर्दिष्ट नहीं किया जाएगा।

उदाहरण 5समीकरण का हल खोजें फेसला।

उदाहरण 6समीकरण का हल खोजें संतुष्टि देने वाला

स्थिति वाई (ई)= 1.

फेसला।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करना डीएक्सऔर आगे, हमें मिलता है

समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर (दाईं ओर का समाकल भागों द्वारा लिया जाता है), हम प्राप्त करते हैं

लेकिन शर्त आप= 1 पर एक्स= इ. फिर

पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करें साथ मेंएक सामान्य समाधान में:

परिणामी व्यंजक अवकल समीकरण का विशिष्ट हल कहलाता है।

6.2.2 प्रथम कोटि के समांगी अवकल समीकरण

परिभाषा।प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहलाता है सजातीययदि इसे के रूप में दर्शाया जा सकता है

हम सजातीय समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्रस्तुत करते हैं।

1. इसके बजाय आपफिर एक नया फ़ंक्शन पेश करें और इसलिए

2. कार्य के संदर्भ में तुमसमीकरण (6.7) रूप लेता है

यानी, प्रतिस्थापन सजातीय समीकरण को वियोज्य चर वाले समीकरण में कम कर देता है।

3. समीकरण (6.8) को हल करने पर, हम पहले u पाते हैं, और फिर आप= ux.

उदाहरण 1प्रश्न हल करें फेसला।हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
फिर

आइए बदलें

डीएक्स से गुणा करें: से भाग एक्सऔर पर तब

समीकरण के दोनों भागों को संगत चरों के संबंध में समाकलित करने पर, हमें प्राप्त होता है

या, पुराने चरों पर लौटने पर, हम अंत में प्राप्त करते हैं

उदाहरण 2प्रश्न हल करें फेसला।रहने दो तब

समीकरण के दोनों पक्षों को द्वारा विभाजित करें x2: आइए कोष्ठक खोलें और शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करें:

पुराने चरों पर चलते हुए, हम अंतिम परिणाम पर पहुँचते हैं:

उदाहरण 3समीकरण का हल खोजें मान लीजिये

फेसला।एक मानक प्रतिस्थापन करना हम पाते हैं

या

या

तो विशेष समाधान का रूप है उदाहरण 4समीकरण का हल खोजें

फेसला।

उदाहरण 5समीकरण का हल खोजें फेसला।

स्वतंत्र काम

वियोज्य चर के साथ अंतर समीकरणों का हल खोजें (1-9).

सजातीय अंतर समीकरणों का हल खोजें (9-18).

6.2.3. प्रथम कोटि के अवकल समीकरणों के कुछ अनुप्रयोग

रेडियोधर्मी क्षय की समस्या

प्रत्येक क्षण में रा (रेडियम) की क्षय दर इसके उपलब्ध द्रव्यमान के समानुपाती होती है। रा के रेडियोधर्मी क्षय के नियम का पता लगाएं यदि यह ज्ञात है कि प्रारंभिक क्षण में रा था और रा का आधा जीवन 1590 वर्ष है।

फेसला।इस समय द्रव्यमान रा होने दें एक्स= एक्स (टी)जी, और तब रा की क्षय दर है

कार्य के अनुसार

कहाँ पे क

अंतिम समीकरण में चरों को अलग करने और समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

कहाँ पे

निर्धारण के लिए सीहम प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करते हैं: .

फिर और इसीलिए,

आनुपातिकता कारक कअतिरिक्त शर्त से निर्धारित:

हमारे पास है

यहां से और वांछित सूत्र

बैक्टीरिया के प्रजनन की दर की समस्या

जीवाणुओं के प्रजनन की दर उनकी संख्या के समानुपाती होती है। शुरुआती समय में 100 बैक्टीरिया थे। 3 घंटे के भीतर उनकी संख्या दोगुनी हो गई। समय पर जीवाणुओं की संख्या की निर्भरता ज्ञात कीजिए। 9 घंटे में बैक्टीरिया की संख्या कितनी गुना बढ़ जाएगी?

फेसला।रहने दो एक्स- इस समय बैक्टीरिया की संख्या टी।फिर शर्त के मुताबिक,

कहाँ पे क- आनुपातिकता का गुणांक।

यहां से इस शर्त से पता चलता है कि . माध्यम,

अतिरिक्त शर्त से . फिर

आवश्यक कार्य:

तो, अत टी= 9 एक्स= 800, यानी 9 घंटे के भीतर बैक्टीरिया की संख्या 8 गुना बढ़ गई।

एंजाइम की मात्रा बढ़ाने का कार्य

शराब बनाने वाले के खमीर की संस्कृति में, सक्रिय एंजाइम की वृद्धि दर इसकी प्रारंभिक मात्रा के समानुपाती होती है। एक्स।एंजाइम की प्रारंभिक मात्रा एएक घंटे के भीतर दोगुना हो गया। निर्भरता खोजें

एक्स (टी)।

फेसला।शर्त के अनुसार, प्रक्रिया के अवकल समीकरण का रूप होता है

यहां से

लेकिन . माध्यम, सी= एऔर फिर

यह भी ज्ञात है कि

इसलिये,

6.3. दूसरे क्रम के अंतर समीकरण

6.3.1. बुनियादी अवधारणाओं

परिभाषा।दूसरा क्रम अंतर समीकरणस्वतंत्र चर, वांछित फलन और इसके प्रथम और द्वितीय अवकलज को जोड़ने वाला संबंध कहलाता है।

विशेष मामलों में, x समीकरण में अनुपस्थित हो सकता है, परया y"। हालांकि, दूसरे क्रम के समीकरण में आवश्यक रूप से y होना चाहिए"। सामान्य स्थिति में, दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को इस प्रकार लिखा जाता है:

या, यदि संभव हो तो, दूसरे व्युत्पन्न के लिए अनुमत प्रपत्र में:

जैसा कि पहले क्रम के समीकरण के मामले में होता है, दूसरे क्रम के समीकरण के लिए एक सामान्य और एक विशेष समाधान मौजूद हो सकता है। सामान्य समाधान इस तरह दिखता है:

एक निजी समाधान ढूँढना

प्रारंभिक शर्तों के तहत - दिया गया

नंबर) कहा जाता है कॉची समस्या।ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि इसे अभिन्न वक्र खोजने की आवश्यकता है पर= वाई (एक्स),किसी दिए गए बिंदु से गुजरना और इस बिंदु पर एक स्पर्शरेखा है, जो लगभग . है

सकारात्मक अक्ष दिशा के साथ कांटे बैलदिया गया कोण। इ। (चित्र 6.1)। कॉची समस्या का एक अनूठा समाधान है यदि समीकरण का दाहिना पक्ष (6.10), पूर्व-

असंतत है और के संबंध में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न है तुम तुम"शुरुआती बिंदु के कुछ पड़ोस में

स्थिरांक खोजने के लिए किसी विशेष समाधान में शामिल, सिस्टम को अनुमति देना आवश्यक है

चावल। 6.1.अभिन्न वक्र

साधारण अंतर समीकरण एक समीकरण कहा जाता है जो एक स्वतंत्र चर, इस चर के एक अज्ञात कार्य और विभिन्न आदेशों के इसके डेरिवेटिव (या अंतर) से संबंधित है।

अवकल समीकरण का क्रम इसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

सामान्य समीकरणों के अतिरिक्त, आंशिक अवकल समीकरणों का भी अध्ययन किया जाता है। ये स्वतंत्र चर से संबंधित समीकरण हैं, इन चरों का एक अज्ञात कार्य और समान चर के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न। लेकिन हम केवल विचार करेंगे सामान्य अवकल समीकरण और इसलिए हम संक्षिप्तता के लिए "साधारण" शब्द को छोड़ देंगे।

अंतर समीकरणों के उदाहरण:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

समीकरण (1) चौथे क्रम का है, समीकरण (2) तीसरे क्रम का है, समीकरण (3) और (4) दूसरे क्रम का है, समीकरण (5) पहले क्रम का है।

अंतर समीकरण एनऑर्डर में स्पष्ट रूप से एक फ़ंक्शन शामिल नहीं है, इसके सभी डेरिवेटिव पहले से . तक एनवें क्रम और एक स्वतंत्र चर। इसमें स्पष्ट रूप से कुछ ऑर्डर, एक फ़ंक्शन, एक स्वतंत्र चर के डेरिवेटिव शामिल नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण (1) में स्पष्ट रूप से तीसरे और दूसरे क्रम का कोई व्युत्पन्न नहीं है, साथ ही साथ कार्य भी हैं; समीकरण (2) में - दूसरे क्रम के व्युत्पन्न और कार्य; समीकरण (4) में - स्वतंत्र चर; समीकरण में (5) - कार्य। केवल समीकरण (3) में स्पष्ट रूप से सभी डेरिवेटिव, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर शामिल हैं।

अवकल समीकरण को हल करके किसी भी फ़ंक्शन को कहा जाता है वाई = एफ (एक्स), जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, यह एक पहचान में बदल जाता है।

अवकल समीकरण का हल ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है एकीकरण.

उदाहरण 1अवकल समीकरण का हल ज्ञात कीजिए।

फेसला। हम इस समीकरण को रूप में लिखते हैं। इसका समाधान इसके व्युत्पन्न द्वारा फ़ंक्शन को खोजना है। मूल कार्य, जैसा कि समाकलन कलन से जाना जाता है, के लिए प्रतिअवकलन है, अर्थात।

यह वही है दिए गए अवकल समीकरण का हल . इसमें बदल रहा है सी, हमें अलग-अलग समाधान मिलेंगे। हमने पाया कि प्रथम कोटि के अवकल समीकरण के अनंत हल हैं।

अवकल समीकरण का सामान्य हल एनवां क्रम इसका समाधान अज्ञात फ़ंक्शन के संबंध में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है और इसमें शामिल है एनस्वतंत्र मनमाना स्थिरांक, अर्थात्।

उदाहरण 1 में अवकल समीकरण का हल सामान्य है।

अवकल समीकरण का आंशिक हल इसका समाधान कहा जाता है, जिसमें विशिष्ट संख्यात्मक मान मनमाने स्थिरांक को सौंपे जाते हैं।

उदाहरण 2अवकल समीकरण का सामान्य हल और के लिए एक विशेष हल ज्ञात कीजिए .

फेसला। हम समीकरण के दोनों पक्षों को इतनी बार एकीकृत करते हैं कि अवकल समीकरण का क्रम बराबर हो।

,

.

नतीजतन, हमें सामान्य समाधान मिला -

तृतीय-क्रम अवकल समीकरण दिया गया है।

अब आइए निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने गुणांक के बजाय उनके मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

.

यदि अवकल समीकरण के अतिरिक्त प्रारंभिक अवस्था को रूप में दिया जाता है, तो ऐसी समस्या कहलाती है कौची समस्या . मान और समीकरण के सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित किए जाते हैं और एक मनमाना स्थिरांक का मान पाया जाता है सी, और फिर पाए गए मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान सी. यह कौची समस्या का समाधान है।

उदाहरण 3शर्त के तहत उदाहरण 1 से अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें।

फेसला। हम सामान्य समाधान में प्रारंभिक स्थिति से मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं आप = 3, एक्स= 1. हमें प्राप्त होता है

हम पहले क्रम के दिए गए अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या का हल लिखते हैं:

विभेदक समीकरणों को हल करना, यहां तक ​​कि सबसे सरल समीकरणों को भी, जटिल कार्यों सहित, एकीकृत करने और डेरिवेटिव लेने में अच्छे कौशल की आवश्यकता होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है।

उदाहरण 4अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

फेसला। समीकरण को इस तरह से लिखा जाता है कि दोनों पक्षों को तुरंत एकीकृत किया जा सके।

.

हम चर (प्रतिस्थापन) को बदलकर एकीकरण की विधि लागू करते हैं। चलो, फिर।

लेने के लिए आवश्यक डीएक्सऔर अब - ध्यान - हम इसे एक जटिल कार्य के भेदभाव के नियमों के अनुसार करते हैं, क्योंकि एक्सऔर एक जटिल कार्य है ("सेब" - वर्गमूल निकालना या, जो समान है - शक्ति "एक सेकंड", और "कीमा बनाया हुआ मांस" - जड़ के नीचे अभिव्यक्ति):

हम अभिन्न पाते हैं:

चर पर लौट रहा है एक्स, हम पाते हैं:

.

यह पहली डिग्री के इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है।

विभेदक समीकरणों को हल करने में न केवल उच्च गणित के पिछले वर्गों के कौशल की आवश्यकता होगी, बल्कि प्राथमिक, यानी स्कूल गणित से भी कौशल की आवश्यकता होगी। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी भी क्रम के अवकल समीकरण में एक स्वतंत्र चर नहीं हो सकता है, अर्थात एक चर एक्स. स्कूल बेंच से अनुपात के बारे में ज्ञान जिसे भुलाया नहीं गया है (हालांकि, किसी को भी यह पसंद है) इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। यह अगला उदाहरण है।

विभेदक समीकरण (DE) समीकरण है,
जहां स्वतंत्र चर हैं, y एक फलन है और आंशिक अवकलज हैं।

साधारण अंतर समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर है।

आंशिक विभेदक समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर होते हैं।

"साधारण" और "आंशिक व्युत्पन्न" शब्दों को छोड़ा जा सकता है यदि यह स्पष्ट है कि किस समीकरण पर विचार किया जा रहा है। निम्नलिखित में, साधारण अंतर समीकरणों पर विचार किया जाता है।

अंतर समीकरण का क्रम उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

यहाँ पहले क्रम के समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

यहाँ चौथे क्रम के समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

कभी-कभी प्रथम-क्रम अवकल समीकरण को विभेदों के रूप में लिखा जाता है:

इस मामले में, चर x और y बराबर हैं। अर्थात्, स्वतंत्र चर या तो x या y हो सकता है। पहले मामले में, y x का एक फलन है। दूसरे मामले में, x, y का एक फलन है। यदि आवश्यक हो, तो हम इस समीकरण को एक ऐसे रूप में ला सकते हैं जिसमें व्युत्पन्न y′ स्पष्ट रूप से प्रवेश करता है।
इस समीकरण को dx से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
.
चूँकि और , यह इस प्रकार है
.

अवकल समीकरणों का हल

प्राथमिक कार्यों के व्युत्पन्न प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं। प्राथमिक कार्यों के अभिन्न अंग अक्सर प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किए जाते हैं। अंतर समीकरणों के साथ, स्थिति और भी खराब है। समाधान के परिणामस्वरूप, आप प्राप्त कर सकते हैं:

• एक चर पर एक समारोह की स्पष्ट निर्भरता;

  एक विभेदक समीकरण को हल करना फलन है y = u (एक्स), जिसे परिभाषित किया गया है, n गुना भिन्न है, और .

• . प्रकार के समीकरण के रूप में निहित निर्भरता (एक्स, वाई) = 0या समीकरणों की प्रणाली;

  अवकल समीकरण का समाकलन एक अंतर समीकरण का एक समाधान है जिसका एक निहित रूप है।

• प्रारंभिक कार्यों और उनसे अभिन्न के माध्यम से व्यक्त निर्भरता;

  द्विघात समीकरण का हल - यह प्राथमिक कार्यों और उनके अभिन्न के संयोजन के रूप में समाधान ढूंढ रहा है।

• समाधान को प्राथमिक कार्यों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

चूँकि अवकल समीकरणों के हल को समाकलों की गणना में घटा दिया जाता है, समाधान में स्थिरांकों का एक समुच्चय C 1, C 2, C 3, ... C n शामिल है। स्थिरांक की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर होती है। अवकल समीकरण का आंशिक समाकलन स्थिरांक C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n के दिए गए मानों के लिए सामान्य समाकलन है।

सन्दर्भ:
वी.वी. स्टेपानोव, कोर्स ऑफ डिफरेंशियल इक्वेशन, एलकेआई, 2015।
एन.एम. गुंथर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, लैन, 2003।