एक नियमित पेंटागन का निर्माण। नियमित पेंटागन: आवश्यक न्यूनतम जानकारी

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एक पंचभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें उचित संख्या में कोण होते हैं। उसी समय, उसके लिए, अन्य प्रकार के बहुभुजों के लिए, कोणों के योग सहित सामान्य नियम लागू होते हैं। पंचभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें पाँच कोने होते हैं। उसी समय, ज्यामिति के दृष्टिकोण से, पेंटागन की श्रेणी में कोई भी बहुभुज शामिल होता है जिसमें यह विशेषता होती है, चाहे इसके पक्षों का स्थान कुछ भी हो।

एक पंचभुज के कोणों का योग

एक पंचभुज वास्तव में एक बहुभुज है, इसलिए इसके कोणों के योग की गणना करने के लिए, आप किसी भी संख्या में कोणों वाले बहुभुज के लिए संकेतित योग की गणना के लिए अपनाए गए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। संकेतित सूत्र बहुभुज के कोणों के योग को निम्नलिखित समानता मानता है: कोणों का योग \u003d (n - 2) * 180 °, जहाँ n वांछित बहुभुज में कोणों की संख्या है। इस प्रकार, मामले में जब यह एक पंचभुज होता है, तो इस सूत्र में n का मान 5 के बराबर होगा। इस प्रकार, n के दिए गए मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, यह पता चलता है कि पंचकोण के कोणों का योग 540 ° होगा। हालाँकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि किसी विशेष पंचकोण के संबंध में इस सूत्र का अनुप्रयोग कई सीमाओं से जुड़ा है।

पेंटागन के प्रकार

तथ्य यह है कि पांच कोनों वाले बहुभुज के साथ-साथ अन्य प्रकार के इन ज्यामितीय आंकड़ों के लिए संकेतित सूत्र केवल तभी लागू किया जा सकता है जब हम तथाकथित उत्तल बहुभुज के बारे में बात कर रहे हों। यह, बदले में, एक ज्यामितीय आकृति है जो निम्नलिखित शर्त को पूरा करती है: इसके सभी बिंदु एक सीधी रेखा के एक ही तरफ होते हैं जो दो आसन्न शिखरों के बीच से गुजरती है। इस परिभाषा को कुछ हद तक सरल बनाया जा सकता है, यह ध्यान में रखते हुए कि इस मामले में ज्यामितीय आकृति में इसके अंदर निर्देशित शिखर नहीं होना चाहिए। केवल इस स्थिति में यह नियम सही होगा कि एक पंचभुज के कोणों का योग 540° होता है। उत्तल पंचभुज के विशेष मामलों में से एक नियमित पंचकोण है, जिसके सभी कोण बराबर हैं, जिनमें से प्रत्येक 108 डिग्री है। ज्यामिति में, इसका ग्रीक मूल - पेंटागन से जुड़ा एक विशेष नाम है। इस प्रकार, पेंटागन की एक पूरी श्रेणी है, कोणों का योग निर्दिष्ट मान से भिन्न होगा। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक गैर-उत्तल पेंटागन के वेरिएंट में से एक स्टार के आकार का ज्यामितीय आंकड़ा है। एक नियमित पेंटागन के विकर्णों के पूरे सेट का उपयोग करके एक स्टार पेंटागन भी प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात एक पेंटागन: इस मामले में, परिणामी ज्यामितीय आकृति को एक पेंटाग्राम कहा जाएगा, जिसमें समान कोण होते हैं। इस मामले में, संकेतित कोणों का योग 180° होगा।

गणित की दुनिया में सनसनी। एक नए प्रकार के पेंटागन की खोज की गई है, जो बिना टूटे और बिना ओवरलैप के विमान को कवर करते हैं।

यह ऐसे पेंटागन का केवल 15वां प्रकार है और पिछले 30 वर्षों में खोजा गया पहला पेंटागन है।

विमान किसी भी आकार के त्रिकोण और चतुर्भुज से ढका हुआ है, लेकिन पेंटागन के साथ सब कुछ अधिक जटिल और दिलचस्प है। नियमित पेंटागन एक विमान को कवर नहीं कर सकते हैं, लेकिन कुछ अनियमित पेंटागन कर सकते हैं। ऐसे आंकड़ों की खोज सौ वर्षों से सबसे दिलचस्प गणितीय समस्याओं में से एक रही है। खोज 1918 में शुरू हुई, जब गणितज्ञ कार्ल रेनहार्ड ने पहले पांच मिलान वाले टुकड़ों की खोज की।

लंबे समय से यह माना जाता था कि रेनहार्ड ने सभी संभावित सूत्रों की गणना की और ऐसे कोई और पेंटागन नहीं हैं, लेकिन 1968 में गणितज्ञ आर. . उसी वर्ष, 50 वर्षीय अमेरिकी गृहिणी और गणित प्रेमी मार्जोरी राइस ने अपनी खुद की अंकन पद्धति विकसित की और कुछ वर्षों के भीतर चार और पेंटागन की खोज की। अंत में, 1985 में, रॉल्फ स्टीन ने आंकड़ों की संख्या चौदह तक ला दी।

पेंटागन एकमात्र ऐसी आकृति है जिसके संबंध में अनिश्चितता और रहस्य बना हुआ है। 1963 में, यह साबित हो गया कि विमान को कवर करने वाले केवल तीन प्रकार के षट्भुज हैं। उत्तल सात-, आठ-, और इसी तरह, ऐसे कोई नहीं हैं। लेकिन "पेंटागन्स" के साथ अंत तक स्पष्ट नहीं है।

अब तक, केवल 14 प्रकार के ऐसे पेंटागन ज्ञात हैं। उन्हें दृष्टांत में दिखाया गया है। उनमें से प्रत्येक के लिए सूत्र लिंक पर दिए गए हैं।

30 वर्षों तक, किसी को कुछ भी नया नहीं मिला, और अंत में, लंबे समय से प्रतीक्षित खोज! इसे वाशिंगटन विश्वविद्यालय के वैज्ञानिकों के एक समूह द्वारा बनाया गया था: केसी मान, जेनिफर मैकलॉड और डेविड वॉन डेरौ। यहाँ छोटा लड़का कैसा दिखता है।

"हमने विकल्पों की एक बड़ी लेकिन सीमित संख्या के कम्प्यूटरीकृत पुनरावृत्ति द्वारा पैटर्न खोला," केसी मान कहते हैं। "बेशक, हम बहुत उत्साहित हैं और थोड़ा आश्चर्यचकित हैं कि हम एक नए प्रकार के पेंटागन की खोज करने में कामयाब रहे।"

खोज विशुद्ध रूप से अमूर्त लगती है, लेकिन वास्तव में यह व्यावहारिक उपयोग की हो सकती है। उदाहरण के लिए, परिष्करण टाइल के उत्पादन में।

विमान को ढकने वाले नए पेंटागन की तलाश निश्चित रूप से जारी रहेगी।

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बहुभुज- एक बंद टूटी हुई रेखा से बंधे एक विमान पर एक ज्यामितीय आकृति; एक रेखा जो प्राप्त होती है यदि आप n कोई बिंदु A 1, A 2, ..., A n लेते हैं और उनमें से प्रत्येक को अगले एक के साथ सीधी रेखा खंडों के साथ जोड़ते हैं, और अंतिम को पहले वाले के साथ जोड़ते हैं।

बहुभुज दो प्रकार के होते हैं: उत्तल और गैर-उत्तल. हम उत्तल बहुभुजों पर करीब से नज़र डालेंगे। बहुभुज कहा जाता है उत्तलयदि बहुभुज की कोई भुजा अनिश्चित काल तक विस्तारित न होने पर बहुभुज को दो भागों में काटती है। उत्तल बहुभुज नियमित और अनियमित होते हैं, लेकिन हम सही बहुभुजों पर विचार करेंगे। उत्तल बहुभुजबुलाया सहीयदि सभी भुजाएँ समान हों और सभी कोण समान हों। एक सम बहुभुज का केंद्र उसके सभी शीर्षों और उसकी सभी भुजाओं से समान दूरी पर स्थित एक बिंदु होता है।

एक नियमित बहुभुज का केंद्रीय कोण वह कोण होता है जिस पर इसके केंद्र से भुजा दिखाई देती है। नियमित बहुभुज गुण:

1) एक नियमित बहुभुज एक वृत्त में अंकित होता है और एक वृत्त के चारों ओर परिबद्ध होता है, जबकि इन वृत्तों के केंद्र मेल खाते हैं;

2) एक नियमित बहुभुज का केंद्र खुदा हुआ और परिबद्ध हलकों के केंद्रों के साथ मेल खाता है;

3) दाईं ओर एन-गॉन त्रिज्या से संबंधित है आरपरिचालित वृत्त सूत्र;

4) सही के परिमाप एन-गॉन परिचालित वृत्तों की त्रिज्या के रूप में संबंधित हैं।

5) एक नियमित n-gon के विकर्ण इसके कोणों को बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

नियमित पंचकोण

आइए हम नियमित पेंटागन - पेंटागन पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

मूल अनुपात: पंचभुज के शीर्ष पर कोण 108° है, बाह्य कोण 72° है। एक पंचभुज की भुजा को उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है:

आइए एक नियमित पेंटागन का निर्माण करें। यह परिचालित सर्कल के साथ करना आसान है। इसके केंद्र से, वृत्त के केंद्र में एक शीर्ष के साथ 72 ° के बराबर कोणों को क्रमिक रूप से अलग करना आवश्यक है। कोनों की भुजाएँ वृत्त को पाँच बिंदुओं पर काटती हैं, उन्हें श्रृंखला में जोड़कर, हमें एक नियमित पंचकोण मिलता है। और अब हम इस पंचभुज के सभी विकर्णों को खींचते हैं। वे एक नियमित तारकीय पंचभुज बनाते हैं, अर्थात। प्रसिद्ध पेंटाग्राम। दिलचस्प है, पेंटाग्राम के किनारे, प्रतिच्छेद करते हुए, फिर से एक नियमित पेंटागन बनाते हैं, जिसमें विकर्णों का प्रतिच्छेदन हमें एक नया पेंटाग्राम देता है, और इसी तरह एड इनफिनिटम (चित्र 6 देखें)।

पेंटाग्राम एक नियमित गैर-उत्तल पंचकोण है, यह एक नियमित तारा पंचकोण या एक नियमित पंचकोणीय तारा भी है। कई फूल, तारामछली और हेजहोग, वायरस आदि में पांच-नुकीले तारे का आकार होता है। पेंटाग्राम का पहला उल्लेख प्राचीन ग्रीस को संदर्भित करता है। ग्रीक से अनुवादित, पेंटाग्राम का शाब्दिक अर्थ है पाँच पंक्तियाँ। पेंटाग्राम पाइथागोरस के स्कूल (580-500 ईसा पूर्व) की पहचान थी। उनका मानना था कि इस खूबसूरत बहुभुज में कई रहस्यमय गुण हैं। पेंटाग्राम के प्रति श्रद्धापूर्ण रवैया भी मध्ययुगीन मनीषियों की विशेषता थी, जिन्होंने पाइथागोरस से बहुत कुछ उधार लिया था। मध्य युग में, यह माना जाता था कि पेंटाग्राम शैतान से सुरक्षा संकेत के रूप में कार्य करता है।

पंचभुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें पांच कोने होते हैं। उसी समय, ज्यामिति के दृष्टिकोण से, पेंटागन की श्रेणी में कोई भी बहुभुज शामिल होता है जिसमें यह विशेषता होती है, चाहे इसके पक्षों का स्थान कुछ भी हो।

एक पंचभुज के कोणों का योग

इस प्रकार, जब यह लगभग होता है, तो इस सूत्र में n का मान 5 के बराबर होगा। इस प्रकार, n के दिए गए मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, यह पता चलता है कि पंचकोण के कोणों का योग 540 होगा। °. हालाँकि, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि किसी विशेष पंचकोण के संबंध में इस सूत्र का अनुप्रयोग कई सीमाओं से जुड़ा है।

पेंटागन के प्रकार

तथ्य यह है कि संकेतित सूत्र, इन ज्यामितीय आकृतियों के अन्य प्रकारों के लिए, केवल तभी लागू किया जा सकता है जब हम तथाकथित उत्तल बहुभुज के बारे में बात कर रहे हों। यह, बदले में, एक ज्यामितीय आकृति है जो निम्नलिखित शर्त को पूरा करती है: इसके सभी बिंदु एक सीधी रेखा के एक ही तरफ होते हैं जो दो आसन्न शिखरों के बीच से गुजरती है।

इस प्रकार, पंचकोणों की एक पूरी श्रेणी है, कोणों का योग जिसमें निर्दिष्ट मान से भिन्न होगा। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक गैर-उत्तल पेंटागन के वेरिएंट में से एक स्टार के आकार का ज्यामितीय आंकड़ा है। एक नियमित पेंटागन के विकर्णों के पूरे सेट का उपयोग करके एक स्टार पेंटागन भी प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात एक पेंटागन: इस मामले में, परिणामी ज्यामितीय आकृति को एक पेंटाग्राम कहा जाएगा, जिसमें समान कोण होते हैं। इस मामले में, संकेतित कोणों का योग 180° होगा।

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