चार पक्षों पर एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना कैसे करें। समलंब क्षेत्र

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आमतौर पर एक गणित शिक्षक इसकी गणना के लिए कई तरीके जानता है, आइए उन पर अधिक विस्तार से ध्यान दें:
1) , जहां AD और BC आधार हैं, और BH समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई है। उपपत्ति: एक विकर्ण BD खींचिए और त्रिभुजों ABD और CDB के क्षेत्रफलों को उनके आधारों और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

, जहां डीपी बाहरी ऊंचाई है

हम इन समानताओं को पद दर पद से जोड़ते हैं और यह देखते हुए कि BH और DP की ऊँचाई बराबर है, हम प्राप्त करते हैं:

आइए इसे ब्रैकेट से बाहर निकालें

क्यू.ई.डी.

एक समलम्ब के क्षेत्र के लिए सूत्र से परिणाम:
चूँकि आधारों का आधा योग MN - समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा के बराबर है, तो

2) चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सामान्य सूत्र का अनुप्रयोग.
एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा किए गए विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है
इसे सिद्ध करने के लिए, समलम्ब चतुर्भुज को 4 त्रिभुजों में विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, प्रत्येक के क्षेत्रफल को "विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या" के रूप में व्यक्त करें (इसे कोण के रूप में लिया जाता है) , परिणामी व्यंजकों को जोड़ें, इसे कोष्ठक से बाहर रखें और व्यंजक की समानता प्राप्त करने के लिए समूहीकरण विधि का उपयोग करके इस कोष्ठक को कारकों में विघटित करें। यहाँ से

3) विकर्ण शिफ्ट विधि
यह मेरा शीर्षक है। स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में, गणित के शिक्षक को ऐसा शीर्षक नहीं मिलेगा। तकनीक का विवरण समस्या को हल करने के उदाहरण के रूप में केवल अतिरिक्त ट्यूटोरियल में पाया जा सकता है। मैंने ध्यान दिया है कि गणित के शिक्षक प्रायोगिक कार्य करने की प्रक्रिया में विद्यार्थियों को योजनामिति के अधिकांश रोचक और उपयोगी तथ्यों को प्रकट करते हैं। यह अत्यंत उप-इष्टतम है, क्योंकि छात्र को उन्हें अलग-अलग प्रमेयों में अलग करने और उन्हें "बड़े नाम" कहने की आवश्यकता होती है। इनमें से एक "विकर्ण शिफ्ट" है। इसके बारे में क्या है? आइए हम शीर्ष बी के माध्यम से एसी के समानांतर एक सीधी रेखा खींचते हैं जब तक कि यह बिंदु ई पर निचले आधार के साथ छेड़छाड़ न करे। इस मामले में, चतुर्भुज ईबीसीए एक समांतर चतुर्भुज (परिभाषा के अनुसार) होगा और इसलिए बीसी = ईए और ईबी = एसी। अब हम पहली समानता से चिंतित हैं। हमारे पास है:

ध्यान दें कि त्रिभुज BED, जिसका क्षेत्रफल एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है, में कई अन्य उल्लेखनीय गुण हैं:
1) इसका क्षेत्रफल समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है
2) इसका समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के समद्विबाहु के साथ ही होता है
3) शीर्ष B पर इसका ऊपरी कोण समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के बीच के कोण के बराबर है (जिसका उपयोग अक्सर समस्याओं में किया जाता है)
4) इसकी माध्यिका BK समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के मध्य बिन्दुओं के बीच की दूरी QS के बराबर है। मुझे हाल ही में इस संपत्ति के उपयोग का सामना करना पड़ा जब तकाचुक की पाठ्यपुस्तक, 1973 के संस्करण (कार्य पृष्ठ के नीचे दिया गया है) का उपयोग करके मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के मेखमत के लिए एक छात्र को तैयार कर रहा था।

गणित के शिक्षक विशेष।

कभी-कभी मैं एक ट्रैपेज़ॉयड के वर्ग को खोजने के बहुत ही मुश्किल तरीके से कार्यों का प्रस्ताव करता हूं। मैं इसे विशेष चालों के लिए श्रेय देता हूं, क्योंकि व्यवहार में शिक्षक शायद ही कभी उनका उपयोग करता है। यदि आपको केवल भाग बी में गणित में परीक्षा की तैयारी करनी है, तो आप उनके बारे में नहीं पढ़ सकते हैं। दूसरों के लिए, मैं आपको और बताऊंगा। यह पता चला है कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल का दुगना है जिसमें एक तरफ के सिरों पर कोने होते हैं और दूसरे के मध्य में, यानी आकृति में ABS त्रिभुज:
प्रमाण: त्रिभुजों BCS और ADS में SM और SN ऊँचाईयाँ खींचिए और इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग व्यक्त कीजिए:

चूँकि बिंदु S, CD का मध्यबिंदु है, तो (इसे स्वयं सिद्ध कीजिए) आइए त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग ज्ञात करें:

चूँकि यह राशि समलम्ब चतुर्भुज के आधे क्षेत्र के बराबर निकली, तो - इसका दूसरा भाग। शिक्षा विभाग

मैं एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना के रूप को उसके पक्षों के साथ एक ट्यूटर की विशेष चाल के खजाने में शामिल करूंगा: जहां p समलम्बाकार का आधा-परिधि है। मैं सबूत नहीं दूंगा। अन्यथा, आपका गणित शिक्षक काम से बाहर हो जाएगा :)। कक्षा में आओ!

ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के लिए कार्य:

गणित शिक्षक का नोट: नीचे दी गई सूची विषय के लिए एक पद्धतिगत समर्थन नहीं है, यह उपरोक्त विधियों के लिए दिलचस्प कार्यों का केवल एक छोटा सा चयन है।

1) समद्विबाहु समलम्बाकार का निचला आधार 13 है, और ऊपरी 5 है। समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसका विकर्ण भुजा के लंबवत है।
2) एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसके आधार 2 सेमी और 5 सेमी हैं और इसकी भुजाएँ 2 सेमी और 3 सेमी हैं।
3) एक समद्विबाहु समलम्ब में, बड़ा आधार 11 है, भुजा 5 है, और विकर्ण समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
4) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण 5 है, और मध्य रेखा 4 है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
5) एक समद्विबाहु समलम्ब में, आधार 12 और 20 हैं, और विकर्ण परस्पर लंबवत हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें
6) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण अपने निचले आधार के साथ एक कोण बनाता है। एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि उसकी ऊँचाई 6 सेमी है।
7) समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 20 है, और इसकी एक भुजा 4 सेमी है, विपरीत भुजा के मध्य से इसकी दूरी ज्ञात कीजिए।
8) एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण इसे 6 और 14 क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित करता है। यदि भुजा 4 है तो ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
9) एक समलम्ब चतुर्भुज में, विकर्ण 3 और 5 हैं, और आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड 2 है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी का मेखमत, 1970)।

मैंने सबसे कठिन कार्यों को नहीं चुना (मेखमत से डरो मत!) उनके स्वतंत्र समाधान की संभावना की उम्मीद के साथ। स्वास्थ्य पर निर्णय लें! यदि आपको गणित में परीक्षा की तैयारी करने की आवश्यकता है, तो इस प्रक्रिया में समलम्बाकार क्षेत्र सूत्र की भागीदारी के बिना, कार्य B6 के साथ भी गंभीर समस्याएं उत्पन्न हो सकती हैं, और इससे भी अधिक C4 के साथ। विषय शुरू न करें और किसी भी कठिनाई के मामले में मदद मांगें। एक गणित ट्यूटर आपकी मदद करने के लिए हमेशा खुश रहता है।

कोलपकोव ए.एन.
मास्को में गणित के ट्यूटर, स्ट्रोगिनो में परीक्षा की तैयारी.

ट्रापेज़चतुर्भुज कहा जाता है केवल दोपक्ष एक दूसरे के समानांतर हैं।

उन्हें आकृति का आधार कहा जाता है, बाकी - भुजाएँ। एक समांतर चतुर्भुज को एक आकृति का एक विशेष मामला माना जाता है। एक वक्रीय समलम्बाकार भी होता है, जिसमें एक फ़ंक्शन ग्राफ़ शामिल होता है। एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के सूत्रों में इसके लगभग सभी तत्व शामिल हैं, और दिए गए मूल्यों के आधार पर सबसे अच्छा समाधान चुना जाता है।
ट्रेपेज़ॉइड में मुख्य भूमिकाएँ ऊँचाई और मध्य रेखा को सौंपी जाती हैं। मध्य पंक्ति- यह भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा है। ऊंचाईसमलम्ब चतुर्भुज को शीर्ष कोने से आधार तक समकोण पर खींचा जाता है।
ऊंचाई के माध्यम से एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों की लंबाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे ऊंचाई से गुणा किया जाता है:

यदि माध्यिका रेखा को शर्तों के अनुसार जाना जाता है, तो यह सूत्र बहुत सरल है, क्योंकि यह आधारों की लंबाई के आधे योग के बराबर है:

यदि, शर्तों के अनुसार, सभी पक्षों की लंबाई दी जाती है, तो हम इन आंकड़ों का उपयोग करके एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार कर सकते हैं:

मान लीजिए कि एक समलम्ब चतुर्भुज आधारों a = 3 सेमी, b = 7 सेमी और भुजाओं c = 5 सेमी, d = 4 सेमी के साथ दिया गया है। आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

एक समद्विबाहु समलम्ब का क्षेत्रफल

एक अलग मामला एक समद्विबाहु है या, जैसा कि इसे एक समद्विबाहु समलम्बाकार भी कहा जाता है।
एक विशेष मामला समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्बाकार क्षेत्र का भी पता लगा रहा है। सूत्र विभिन्न तरीकों से प्राप्त होता है - विकर्णों के माध्यम से, आधार से सटे कोणों के माध्यम से और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या।
यदि विकर्णों की लंबाई शर्तों द्वारा निर्दिष्ट की जाती है और उनके बीच का कोण ज्ञात होता है, तो आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

याद रखें कि समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं!

यानी उनके आधार, भुजा और कोण में से किसी एक को जानकर आप आसानी से क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

एक अलग मामला है वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज. यह समन्वय अक्ष पर स्थित है और एक निरंतर सकारात्मक कार्य के ग्राफ तक सीमित है।

इसका आधार X अक्ष पर स्थित है और दो बिंदुओं तक सीमित है:
इंटीग्रल एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने में मदद करते हैं।
सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। कुछ अभिन्न के साथ काम करने के लिए सूत्र को कुछ ज्ञान की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, आइए निश्चित अभिन्न के मूल्य का विश्लेषण करें:

यहाँ F(a) बिंदु a पर प्रतिअवकलन फलन f(x) का मान है, F(b) बिंदु b पर उसी फलन f(x) का मान है।

आइए अब समस्या का समाधान करें। यह आंकड़ा एक फ़ंक्शन से घिरा हुआ एक वक्रीय समलम्बाकार दिखाता है। समारोह
हमें चयनित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है, जो एक वक्ररेखीय समलम्ब है, जो एक ग्राफ द्वारा शीर्ष पर घिरा है, दाईं ओर एक सीधी रेखा x = (-8) है, बाईं ओर एक सीधी रेखा x = ( -10) और अक्ष OX नीचे है।
हम सूत्र का उपयोग करके इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना करेंगे:

हमें समस्या की स्थितियों से एक फ़ंक्शन दिया जाता है। इसका उपयोग करते हुए, हम अपने प्रत्येक बिंदु पर प्रतिपदार्थ के मान पाएंगे:


अभी
जवाब:दिए गए वक्ररेखीय समलम्ब का क्षेत्रफल 4 है।

इस मूल्य की गणना करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। गणना में केवल अत्यधिक सावधानी महत्वपूर्ण है।

और । अब हम इस प्रश्न पर विचार करना शुरू कर सकते हैं कि एक समलम्ब का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। रोजमर्रा की जिंदगी में यह कार्य बहुत कम होता है, लेकिन कभी-कभी यह आवश्यक हो जाता है, उदाहरण के लिए, एक कमरे के क्षेत्र को एक ट्रेपोजॉइड के रूप में खोजने के लिए, जो आधुनिक अपार्टमेंट के निर्माण में तेजी से उपयोग किया जाता है, या नवीकरण डिजाइन परियोजनाओं में।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है जो चार प्रतिच्छेदन खंडों द्वारा बनाई गई है, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर हैं और समलम्बाकार के आधार कहलाते हैं। अन्य दो खंडों को समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ कहा जाता है। इसके अलावा, हमें बाद में एक और परिभाषा की आवश्यकता होगी। यह ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा है, जो पक्षों के मध्य बिंदुओं और ट्रेपोज़ॉइड की ऊंचाई को जोड़ने वाला एक खंड है, जो आधारों के बीच की दूरी के बराबर है।
त्रिभुजों की तरह, एक समलम्बाकार समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्बाकार के रूप में विशेष प्रकार का होता है, जिसमें भुजाओं की लंबाई समान होती है, और एक आयताकार समलम्बाकार होता है, जिसमें एक भुजा आधारों के साथ समकोण बनाती है।

Trapezoids में कुछ दिलचस्प गुण हैं:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के योग की आधी और उनके समानांतर होती है।
   
2. समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में समान भुजाएँ और कोण होते हैं जो वे आधारों के साथ बनाते हैं।
   
3. एक समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदु और इसके विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु एक ही सीधी रेखा पर होते हैं।
   
4. यदि एक समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं का योग आधारों के योग के बराबर है, तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है
   
5. यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं द्वारा उसके किसी आधार पर बनने वाले कोणों का योग 90 है, तो आधारों के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उनके आधे-अंतर के बराबर होती है।
   
6. एक समद्विबाहु समलम्ब को एक वृत्त द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और इसके विपरीत। यदि एक समलम्ब चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जाता है, तो वह समद्विबाहु है।
   
7. समद्विबाहु समलम्बाकार के आधारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाला खंड इसके आधारों के लंबवत होगा और समरूपता की धुरी का प्रतिनिधित्व करता है।
   

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें.

एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के योग का आधा गुणा उसकी ऊँचाई का होगा। इसे सूत्र के रूप में व्यंजक के रूप में लिखा जाता है:

जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, a,b समलंब के प्रत्येक आधार की लंबाई है, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है।

आप इस फॉर्मूले को इस प्रकार समझ और याद कर सकते हैं। नीचे दिए गए चित्र के अनुसार, मध्य रेखा का उपयोग करने वाले एक समलम्ब को एक आयत में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसकी लंबाई आधारों के योग के आधे के बराबर होगी।

आप किसी भी समलम्ब को सरल आकृतियों में भी विघटित कर सकते हैं: एक आयत और एक या दो त्रिभुज, और यदि यह आपके लिए आसान है, तो समलम्ब का क्षेत्रफल उसके घटक आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में ज्ञात कीजिए।

इसके क्षेत्रफल की गणना के लिए एक और सरल सूत्र है। इसके अनुसार, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी मध्य रेखा के गुणनफल और समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई के बराबर होता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है: S \u003d m * h, जहाँ S क्षेत्रफल है, m की लंबाई है मध्य रेखा, h समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है। यह सूत्र रोजमर्रा की समस्याओं की तुलना में गणित की समस्याओं के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि वास्तविक परिस्थितियों में आप प्रारंभिक गणना के बिना मध्य रेखा की लंबाई नहीं जान पाएंगे। और आप केवल आधारों और भुजाओं की लंबाई ही जान पाएंगे।

इस मामले में, ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस \u003d ((ए + बी) / 2) * c 2 - ((बी-ए) 2 + सी 2-डी 2 / 2 (बी-ए)) 2

जहाँ S क्षेत्रफल है, a,b आधार हैं, c,d समलम्ब चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के और भी कई तरीके हैं। लेकिन, वे अंतिम सूत्र के रूप में असुविधाजनक हैं, जिसका अर्थ है कि उन पर ध्यान देने का कोई मतलब नहीं है। इसलिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप लेख से पहले सूत्र का उपयोग करें और चाहते हैं कि आपको हमेशा सटीक परिणाम मिले।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज है जिसमें दो विपरीत पक्ष एक दूसरे के समानांतर होते हैं और अन्य दो नहीं होते हैं। विभिन्न वास्तविक वस्तुओं का एक समलम्बाकार आकार होता है, इसलिए आपको रोज़ाना या स्कूल की समस्याओं को हल करने के लिए ऐसी ज्यामितीय आकृति की परिधि की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है।

समलंब ज्यामिति

एक ट्रेपेज़ॉइड (ग्रीक "ट्रेपेज़ियन" - एक टेबल से) एक विमान पर एक आकृति है, जो चार खंडों तक सीमित है, जिनमें से दो समानांतर हैं, और दो नहीं हैं। समांतर खंडों को ट्रेपेज़ॉइड के आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर - आकृति के किनारे। झुकाव के पक्ष और उनके कोण समलम्बाकार के प्रकार को निर्धारित करते हैं, जो बहुमुखी, समद्विबाहु या आयताकार हो सकता है। आधारों और भुजाओं के अतिरिक्त, समलम्ब चतुर्भुज में दो और तत्व होते हैं:

• ऊंचाई - आकृति के समानांतर आधारों के बीच की दूरी;
• मध्य रेखा - पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड।

यह ज्यामितीय आकृति वास्तविक जीवन में व्यापक है।

हकीकत में ट्रैपेज़

रोजमर्रा की जिंदगी में, कई वास्तविक वस्तुएं एक ट्रेपोजॉइडल आकार लेती हैं। आप मानव गतिविधि के निम्नलिखित क्षेत्रों में आसानी से ट्रैपेज़ियम पा सकते हैं:

• इंटीरियर डिजाइन और सजावट - सोफा, काउंटरटॉप्स, दीवारें, कालीन, निलंबित छत;
• परिदृश्य डिजाइन - लॉन और कृत्रिम जलाशयों की सीमाएं, सजावटी तत्वों के रूप;
• फैशन - कपड़े, जूते और सामान का रूप;
• वास्तुकला - खिड़कियां, दीवारें, भवन की नींव;
• उत्पादन - विभिन्न उत्पाद और विवरण।

ट्रेपेज़ॉइड के इतने व्यापक उपयोग के साथ, विशेषज्ञों को अक्सर एक ज्यामितीय आकृति की परिधि की गणना करनी होती है।

समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप

एक आकृति की परिधि एक संख्यात्मक विशेषता है, जिसकी गणना एन-गॉन के सभी पक्षों की लंबाई के योग के रूप में की जाती है। एक समलम्ब चतुर्भुज है और सामान्य स्थिति में इसके सभी पक्षों की अलग-अलग लंबाई होती है, इसलिए परिधि की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

पी = ए + बी + सी + डी,

जहाँ a और c आकृति के आधार हैं, b और d इसकी भुजाएँ हैं।

भले ही हमें एक समलम्ब चतुर्भुज की परिधि की गणना करते समय ऊँचाई जानने की आवश्यकता नहीं है, कैलकुलेटर के कोड के लिए इस चर को दर्ज करने की आवश्यकता होती है। चूंकि ऊंचाई किसी भी तरह से गणना को प्रभावित नहीं करती है, हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करते समय, आप कोई भी ऊंचाई मान दर्ज कर सकते हैं जो शून्य से अधिक हो। आइए एक दो उदाहरण देखें।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

रूमाल

मान लें कि आपके पास ए-लाइन स्कार्फ है और आप इसे फ्रिंज से ट्रिम करना चाहते हैं। आपको दुपट्टे की परिधि जानने की आवश्यकता होगी ताकि आप अतिरिक्त सामग्री न खरीदें या दो बार स्टोर पर न जाएं। मान लें कि आपके समद्विबाहु स्कार्फ में निम्नलिखित पैरामीटर हैं: ए = 120 सेमी, बी = 60 सेमी, सी = 100 सेमी, डी = 60 सेमी। हम इस डेटा को ऑनलाइन फॉर्म में चलाते हैं और फॉर्म में उत्तर प्राप्त करते हैं:

इस प्रकार, स्कार्फ की परिधि 340 सेमी है, और यह इसकी सजावट के लिए फ्रिंज ब्रेड की लंबाई है।

ढलानों

उदाहरण के लिए, आप गैर-मानक धातु-प्लास्टिक की खिड़कियों के लिए ढलान बनाने का निर्णय लेते हैं जिनमें एक ट्रेपोजॉइडल आकार होता है। ऐसी खिड़कियां इमारतों के डिजाइन में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं, जिससे कई शटर की संरचना बनती है। सबसे अधिक बार, ऐसी खिड़कियां एक आयताकार ट्रेपोजॉइड के रूप में बनाई जाती हैं। आइए जानें कि ऐसी खिड़की के ढलानों को पूरा करने के लिए कितनी सामग्री की आवश्यकता होती है। मानक विंडो में निम्नलिखित पैरामीटर हैं a = 140 सेमी, b = 20 सेमी, c = 180 सेमी, d = 50 सेमी। हम इन आंकड़ों का उपयोग करते हैं और परिणाम को फॉर्म में प्राप्त करते हैं

इसलिए, एक ट्रेपोजॉइडल विंडो की परिधि 390 सेमी है, और ढलान बनाने के लिए आपको प्लास्टिक के पैनल खरीदने की कितनी आवश्यकता होगी।

निष्कर्ष

ट्रेपेज़ॉइड एक ऐसा आंकड़ा है जो रोजमर्रा की जिंदगी में लोकप्रिय है, जिसके मापदंडों की परिभाषा सबसे अप्रत्याशित स्थितियों में आवश्यक हो सकती है। कई पेशेवरों के लिए एक ट्रेपोजॉइड द्वारा परिधि की गणना आवश्यक है: इंजीनियरों और वास्तुकारों से लेकर डिजाइनरों और यांत्रिकी तक। ऑनलाइन कैलकुलेटर की हमारी सूची आपको किसी भी ज्यामितीय आकार और ठोस के लिए गणना करने की अनुमति देगी।

इस कैलकुलेटर ने "एक समलम्ब का क्षेत्रफल" विषय पर 2192 समस्याओं की गणना की है

ट्रैपेज़ो स्क्वायर

एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र चुनें जिसे आप अपनी समस्या को हल करने के लिए लागू करने की योजना बना रहे हैं:

एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना के लिए सामान्य सिद्धांत।

ट्रेपेज़ - यह एक सपाट आकृति है जिसमें चार बिंदु होते हैं, जिनमें से तीन एक सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और चार खंड (पक्ष) इन चार बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं, जिसमें दो विपरीत पक्ष समानांतर होते हैं (समानांतर रेखाओं पर स्थित होते हैं), और अन्य दो समानांतर नहीं हैं।

अंक कहलाते हैं एक समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष और बड़े लैटिन अक्षरों द्वारा निरूपित किए जाते हैं।

खंडों को कहा जाता है एक समलम्ब चतुर्भुज के किनारे और इन खंडों को जोड़ने वाले शीर्षों के अनुरूप बड़े लैटिन अक्षरों की एक जोड़ी द्वारा निरूपित किया जाता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज की दो समानांतर भुजाएँ कहलाती हैं एक समलम्बाकार आधार .

एक समलम्ब चतुर्भुज की दो गैर-समानांतर भुजाएँ कहलाती हैं एक समलम्ब चतुर्भुज के किनारे .

चित्र #1: समलंब ABCD

चित्र 1 में एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD है जिसके शीर्ष A, B, C, D और भुजाएँ AB, BC, CD, DA हैं।

AB DC - समलम्ब चतुर्भुज ABCD के आधार।

AD, BC समलम्ब चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ हैं।

किरणों AB और AD द्वारा बनाए गए कोण को शीर्ष A पर कोण कहा जाता है। इसे A या BAD, या DAB के रूप में दर्शाया जाता है।

BA और BC किरणों द्वारा निर्मित कोण को शीर्ष B पर कोण कहा जाता है। इसे B या ABC, या CBA के रूप में नामित किया जाता है।

किरणों CB और CD द्वारा बनाए गए कोण को शीर्ष कोण C कहा जाता है। इसे C या ÐDCB या ÐBCD के रूप में दर्शाया जाता है।

AD और CD किरणों द्वारा बनाए गए कोण को शीर्ष कोण D कहा जाता है। इसे D या ÐADC या ÐCDA के रूप में दर्शाया जाता है।

चित्र #2: समलंब ABCD

चित्र 2 में, भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड MN को कहा जाता है ट्रेपेज़ियम की मध्य रेखा।

समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखाआधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर। अर्थात, .

चित्र #3: समद्विबाहु समलंब ABCD

चित्र #3 में, AD=BC।

समलम्ब चतुर्भुज कहलाता है समद्विबाहु (समद्विबाहु)यदि इसकी भुजाएँ समान हैं।

चित्र #4: आयताकार समलम्ब चतुर्भुज ABCD

चित्र संख्या 4 में, कोण D सीधा है (90 ° के बराबर)।

समलम्ब चतुर्भुज कहलाता है आयताकार,यदि पार्श्व भुजा का कोण सीधा है।

स्क्वायर एस फ्लैटआकृतियाँ, जिनमें समलम्ब भी शामिल है, समतल पर परिबद्ध बंद स्थान कहलाती है। एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल इस आकृति के आकार को दर्शाता है।

क्षेत्र में कई गुण हैं:

1. यह ऋणात्मक नहीं हो सकता।

2. यदि एक समतल पर कुछ बंद क्षेत्र दिया गया है, जो कई आकृतियों से बना है जो एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं (अर्थात, आकृतियों में सामान्य आंतरिक बिंदु नहीं हैं, लेकिन एक दूसरे को अच्छी तरह से स्पर्श कर सकते हैं), तो का क्षेत्रफल \u200b\u200bऐसा क्षेत्र इसके घटक आंकड़ों के क्षेत्रों के योग के बराबर है।

3. यदि दो अंक समान हों, तो उनका क्षेत्रफल बराबर होता है।

4. एक इकाई खंड पर बने वर्ग का क्षेत्रफल एक के बराबर होता है।

पीछे इकाई मापन क्षेत्रएक वर्ग का क्षेत्रफल लीजिए जिसकी भुजा के बराबर है इकाई मापनखंड।

समस्याओं को हल करते समय, समलम्बाकार क्षेत्र की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र अक्सर उपयोग किए जाते हैं:

1. एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों के योग का आधा गुणा उसकी ऊँचाई से होता है:

2. एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी मध्य रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है:

3. समलम्ब चतुर्भुज के आधारों और भुजाओं की ज्ञात लंबाई के साथ, इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

4. समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या की ज्ञात लंबाई और आधार पर कोण के ज्ञात मान के साथ समद्विबाहु समलम्बाकार के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके करना संभव है:

उदाहरण 1:आधार a=7, b=3 और ऊंचाई h=15 के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें।

फेसला:

जवाब:

उदाहरण 2:एक समलम्ब चतुर्भुज के आधार की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल S=35 cm 2, ऊँचाई h=7 cm और दूसरा आधार b = 2 cm है।

फेसला:

समलम्ब चतुर्भुज के आधार की भुजा ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

हम इस सूत्र से समलम्ब के आधार के पक्ष को व्यक्त करते हैं:

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

जवाब:

उदाहरण 3:एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल S=17 cm2 और आधार a=30 cm, b=4 cm है।

फेसला:

समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

जवाब:

उदाहरण 4:ऊँचाई h=24 और मध्य रेखा m=5 के साथ एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला:

एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, क्षेत्रफल की गणना के लिए निम्न सूत्र का उपयोग करें:

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

जवाब:

उदाहरण 5:एक समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल S = 48 cm 2 और मध्य रेखा m = 6 cm है।

फेसला:

एक समलम्ब की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, हम एक समलम्ब के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

हम इस सूत्र से समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई व्यक्त करते हैं:

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं:

जवाब:

उदाहरण 6:एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल S = 56 और ऊँचाई h = 4 है।

फेसला:

एक समलम्ब की मध्य रेखा ज्ञात करने के लिए, हम समलंब के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

हम इस सूत्र से समलंब की मध्य रेखा व्यक्त करते हैं:

इस प्रकार, हमारे पास निम्नलिखित हैं।