तीन अंकों का लघुत्तम समापवर्त्य। संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कैसे ज्ञात करें

कम से कम सामान्य गुणक कैसे खोजें?

दो संख्याओं में से प्रत्येक के प्रत्येक गुणनखंड को खोजना आवश्यक है, जिसके लिए हमें सबसे छोटा सार्व गुणनफल मिलता है, और फिर पहली और दूसरी संख्याओं से मेल खाने वाले कारकों को एक-दूसरे से गुणा करें। उत्पाद का परिणाम वांछित गुणक होगा।

उदाहरण के लिए, हमारे पास संख्या 3 और 5 है और हमें एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक) खोजने की जरूरत है। हम गुणा किया जाना चाहिएऔर तीन और पांच 1 2 3 से शुरू होने वाली सभी संख्याओं के लिए ...और इसी तरह जब तक हम वहाँ और वहाँ दोनों जगह एक ही संख्या नहीं देखते।

हम तीनों को गुणा करते हैं और प्राप्त करते हैं: 3, 6, 9, 12, 15

पांच गुणा करें और प्राप्त करें: 5, 10, 15

अभाज्य गुणनखंडन विधि बहुसंख्याओं के अल्पतम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए सबसे उत्तम है। यह विधि निम्नलिखित वीडियो में स्पष्ट और सरल रूप से प्रदर्शित की गई है:

एक सामान्य हर और अन्य अंकगणितीय परिचालनों को जोड़ना, गुणा करना, विभाजित करना, कम करना एक बहुत ही रोमांचक गतिविधि है, उदाहरण जो पूरी शीट पर कब्जा कर लेते हैं, विशेष रूप से प्रशंसा की जाती है।

तो दो संख्याओं के लिए सामान्य गुणक खोजें, जो सबसे छोटी संख्या होगी जिससे दो संख्याएं विभाज्य हों। मैं यह नोट करना चाहता हूं कि आप जो खोज रहे हैं उसे खोजने के लिए भविष्य में सूत्रों का सहारा लेना आवश्यक नहीं है, यदि आप अपने दिमाग में गिन सकते हैं (और इसे प्रशिक्षित किया जा सकता है), तो संख्याएं स्वयं आपके सिर में आ जाती हैं और फिर भिन्न नट की तरह क्लिक करते हैं।

सबसे पहले, हम सीखते हैं कि हम दो संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, और फिर इस आंकड़े को कम कर सकते हैं और इन दो संख्याओं से बारी-बारी से विभाजित कर सकते हैं, इसलिए हमें सबसे छोटा गुणज मिलेगा।

उदाहरण के लिए, दो संख्याएँ 15 और 6. हम गुणा करते हैं और 90 प्राप्त करते हैं। यह स्पष्ट रूप से एक बड़ी संख्या है। इसके अलावा, 15 3 से विभाज्य है और 6 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि हम 90 को 3 से भी विभाजित करते हैं। हमें 30 मिलता है। हम 30 को 15 से विभाजित करने का प्रयास करते हैं। और 30 विभाजित 6 है 5. चूंकि 2 सीमा है, यह पता चला है कि संख्या 15 और 6 के लिए सबसे छोटा गुणक 30 होगा।

अधिक संख्या के साथ यह थोड़ा और कठिन होगा। लेकिन यदि आप जानते हैं कि विभाजित या गुणा करने पर कौन सी संख्याएँ शून्य शेष देती हैं, तो, सिद्धांत रूप में, कोई बड़ी कठिनाई नहीं है।

• एनओसी कैसे पता करें

  यहां एक वीडियो है जो आपको कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के दो तरीके दिखाएगा। प्रस्तावित विधियों में से पहले का उपयोग करके अभ्यास करके, आप बेहतर ढंग से समझ सकते हैं कि कम से कम सामान्य गुणक क्या है।

कम से कम सामान्य गुणक खोजने का एक और तरीका यहां दिया गया है। आइए एक दृष्टांत उदाहरण देखें।

16, 20 और 28: एक साथ तीन संख्याओं का LCM ज्ञात करना आवश्यक है।

• हम प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं:
• हम सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखते हैं:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• हम सबसे बड़ी डिग्रियों वाले सभी अभाज्य भाजक (गुणक) का चयन करते हैं, उन्हें गुणा करते हैं और LCM पाते हैं:

एलसीएम = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560।

एलसीएम (16, 20, 28) = 560।

इस प्रकार, गणना के परिणामस्वरूप, संख्या 560 प्राप्त हुई। यह सबसे छोटा सामान्य गुणक है, अर्थात यह बिना शेष के तीनों संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य है।

लघुत्तम समापवर्त्य वह संख्या है जिसे बिना किसी शेषफल के कई दी गई संख्याओं से विभाजित किया जा सकता है। इस तरह के एक आंकड़े की गणना करने के लिए, आपको प्रत्येक संख्या लेने और इसे सरल कारकों में विघटित करने की आवश्यकता है। मेल खाने वाले नंबर हटा दिए जाते हैं। एक समय में सभी को छोड़ देता है, उन्हें आपस में गुणा करता है और वांछित प्राप्त करता है - कम से कम सामान्य गुणक।

एनओसी, या आम एकाधिक, दो या दो से अधिक संख्याओं की सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो बिना किसी शेष के दी गई प्रत्येक संख्या से विभाज्य है।

यहां एक उदाहरण दिया गया है कि कैसे 30 और 42 के कम से कम सामान्य गुणकों को खोजें।

• पहला कदम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना है।

30 के लिए, यह 2 x 3 x 5 है।

42 के लिए, यह 2 x 3 x 7 है। चूंकि 2 और 3 संख्या 30 के विस्तार में हैं, इसलिए हम उन्हें काट देते हैं।

• हम संख्या 30 के विस्तार में शामिल कारकों को लिखते हैं। यह 2 x 3 x 5 है।
• अब आपको उन्हें लापता कारक से गुणा करने की आवश्यकता है, जो हमारे पास 42 को विघटित करते समय होता है, और यह 7 है। हमें 2 x 3 x 5 x 7 मिलता है।
• हम 2 x 3 x 5 x 7 के बराबर पाते हैं और 210 प्राप्त करते हैं।

नतीजतन, हम पाते हैं कि संख्या 30 और 42 का एलसीएम 210 है।

कम से कम सामान्य गुणक खोजने के लिए, आपको क्रम में कुछ सरल चरणों का पालन करने की आवश्यकता है। दो संख्याओं के उदाहरण का उपयोग करके इस पर विचार करें: 8 और 12

1. हम दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं: 8=2*2*2 और 12=3*2*2
2. हम किसी एक संख्या के लिए समान गुणकों को घटाते हैं। हमारे मामले में, 2 * 2 मैच, हम उन्हें 12 की संख्या के लिए कम करते हैं, फिर 12 का एक कारक होगा: 3.
3. शेष सभी कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 2*2*2*3=24

जाँच करने पर, हम सुनिश्चित करते हैं कि 24 8 और 12 दोनों से विभाज्य है, और यह सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य है। यहाँ हम हैं कम से कम सामान्य गुणक खोजें.

मैं संख्या 6 और 8 के उदाहरण का उपयोग करके समझाने की कोशिश करूँगा। सबसे छोटा सामान्य गुणक वह संख्या है जिसे इन संख्याओं से विभाजित किया जा सकता है (हमारे मामले में, 6 और 8) और कोई शेष नहीं होगा।

तो, हम पहले 6 को 1, 2, 3, आदि से गुणा करना शुरू करते हैं और 8 को 1, 2, 3, आदि से गुणा करते हैं।

एक व्यापक स्कूल की 5 वीं कक्षा में "एकाधिक संख्या" विषय का अध्ययन किया जाता है। इसका लक्ष्य गणितीय गणनाओं के लिखित और मौखिक कौशल में सुधार करना है। इस पाठ में, नई अवधारणाओं का परिचय दिया गया है - "एकाधिक संख्या" और "भाजक", एक प्राकृतिक संख्या के भाजक और गुणक खोजने की तकनीक, विभिन्न तरीकों से एलसीएम खोजने की क्षमता पर काम किया जाता है।

यह विषय बहुत महत्वपूर्ण है। इस पर ज्ञान को भिन्नों के साथ उदाहरणों को हल करते समय लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) की गणना करके सामान्य भाजक को खोजने की आवश्यकता है।

A का गुणज एक पूर्णांक होता है जो बिना शेषफल के A से विभाज्य होता है।

प्रत्येक प्राकृत संख्या में अनंत गुणज होते हैं। इसे सबसे कम माना जाता है। एक गुणक स्वयं संख्या से कम नहीं हो सकता।

यह साबित करना आवश्यक है कि संख्या 125 संख्या 5 का गुणज है। ऐसा करने के लिए, आपको पहली संख्या को दूसरे से विभाजित करने की आवश्यकता है। यदि 125 शेष के बिना 5 से विभाज्य है, तो उत्तर हाँ है।

यह विधि छोटी संख्याओं के लिए लागू होती है।

एलसीएम की गणना करते समय, विशेष मामले होते हैं।

1. यदि आपको 2 संख्याओं (उदाहरण के लिए, 80 और 20) के लिए एक सामान्य गुणक खोजने की आवश्यकता है, जहां उनमें से एक (80) शेष के बिना दूसरे (20) से विभाज्य है, तो यह संख्या (80) सबसे छोटी है इन दो संख्याओं में से कई।

एलसीएम (80, 20) = 80।

2. यदि दो का उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो हम कह सकते हैं कि उनका LCM इन दो संख्याओं का गुणनफल है।

एलसीएम (6, 7) = 42.

अंतिम उदाहरण पर विचार करें। 42 के संबंध में 6 और 7 भाजक हैं। वे बिना किसी शेषफल के एक गुणक को विभाजित करते हैं।

इस उदाहरण में, 6 और 7 युग्म भाजक हैं। उनका गुणनफल सबसे अधिक संख्या (42) के बराबर है।

एक संख्या को अभाज्य कहा जाता है यदि वह केवल स्वयं या 1 से विभाज्य हो (3:1=3; 3:3=1)। बाकी को समग्र कहा जाता है।

एक अन्य उदाहरण में, आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि 9 42 के संबंध में भाजक है या नहीं।

42:9=4 (शेष 6)

उत्तर: 9 42 का भाजक नहीं है क्योंकि उत्तर में शेषफल है।

एक भाजक एक से अधिक में भिन्न होता है कि भाजक वह संख्या होती है जिससे प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित किया जाता है, और गुणक स्वयं उस संख्या से विभाज्य होता है।

संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एकतथा बी, उनके सबसे छोटे गुणज से गुणा करने पर, संख्याओं का गुणनफल स्वयं प्राप्त होगा एकतथा बी.

अर्थात्: जीसीडी (ए, बी) एक्स एलसीएम (ए, बी) = ए एक्स बी।

अधिक सम्मिश्र संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणज निम्न प्रकार से पाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, 168, 180, 3024 का एलसीएम ज्ञात कीजिए।

हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं, इन्हें घातों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

एलसीएम (168, 180, 3024) = 15120।

परिभाषा।वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)ये नंबर।

आइए संख्या 24 और 35 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करें।
24 के भाजक संख्या 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 और 35 के भाजक संख्या 1, 5, 7, 35 होंगे।
हम देखते हैं कि संख्याएँ 24 और 35 का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्य.

परिभाषा।प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्ययदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)दी गई संख्याओं के सभी भाजक को लिखे बिना पाया जा सकता है।

संख्या 48 और 36 का गुणनखंडन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन संख्याओं को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या (यानी, दो ड्यूस) के विस्तार में शामिल नहीं हैं।
गुणनखंड 2*2*3 रहता है। उनका गुणनफल 12 होता है। यह संख्या 48 और 36 की संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी पाया जाता है।

ढूँढ़ने के लिए महत्तम सामान्य भाजक

2) इनमें से किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, उन संख्याओं को काट दें जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं;
3) शेष कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यदि दी गई सभी संख्याएँ उनमें से किसी एक से विभाज्य हैं, तो यह संख्या है महत्तम सामान्य भाजकदिए गए नंबर।
उदाहरण के लिए, 15, 45, 75 और 180 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है, क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है: 45, 75 और 180।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

परिभाषा। कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)प्राकृत संख्याएँ a और b सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है। 75 और 60 की संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को सरल कारकों में विघटित करते हैं: 75 \u003d 3 * 5 * 5, और 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5।
हम इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल गुणनखंडों को लिखते हैं, और उनमें दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं (अर्थात हम गुणनखंडों को जोड़ते हैं)।
हमें पाँच गुणनखंड 2 * 2 * 3 * 5 * 5 मिलते हैं, जिनका गुणनफल 300 है। यह संख्या 75 और 60 की संख्याओं का सबसे छोटा सा सामान्य गुणज है।

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य भी ज्ञात कीजिए।

प्रति कम से कम सामान्य गुणक खोजेंकई प्राकृतिक संख्याएँ, आपको चाहिए:
1) उन्हें प्रमुख कारकों में विघटित करें;
2) किसी एक संख्या के प्रसार में शामिल कारकों को लिखिए;
3) उनमें शेष संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
4) परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

ध्यान दें कि यदि इनमें से एक संख्या अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य है, तो यह संख्या इन संख्याओं में सबसे छोटी सामान्य गुणज है।
उदाहरण के लिए, 12, 15, 20 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणक 60 होगा, क्योंकि यह सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है।

पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता के मुद्दे का अध्ययन किया। एक संख्या जो अपने सभी भाजक के योग के बराबर होती है (बिना संख्या के), वे पूर्ण संख्या कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ 496, 8128, 33,550,336 हैं। पाइथागोरस केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथा - 8128 - पहली शताब्दी में ज्ञात हुआ। एन। इ। पांचवां - 33 550 336 - 15वीं शताब्दी में पाया गया था। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन अब तक, वैज्ञानिक यह नहीं जानते हैं कि क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं, क्या सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है।
अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य के कारण है कि कोई भी संख्या या तो अभाज्य होती है या उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात अभाज्य संख्याएँ ईंटों की तरह होती हैं जिनसे शेष प्राकृतिक संख्याएँ निर्मित होती हैं।
आपने शायद ध्यान दिया होगा कि प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से आती हैं - श्रृंखला के कुछ भागों में उनमें से अधिक होती हैं, अन्य में - कम। लेकिन हम संख्या श्रृंखला के साथ जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही दुर्लभ होती हैं। प्रश्न उठता है: क्या अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या मौजूद है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) ने अपनी पुस्तक "बिगिनिंग्स" में, जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, ने साबित किया कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, अर्थात प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे एक सम है। अधिक अभाज्य संख्या।
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, उसी समय के एक अन्य यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज ने ऐसी विधि का आविष्कार किया। उसने 1 से लेकर किसी संख्या तक की सभी संख्याओं को लिख दिया, और फिर उस इकाई को काट दिया, जो न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या है, फिर 2 के बाद सभी संख्याओं में से एक को काट दिया (वे संख्याएँ जो 2 के गुणज हैं, अर्थात 4, 6, 8, आदि)। 2 के बाद पहली शेष संख्या 3 थी। फिर, दो के बाद, 3 के बाद की सभी संख्याओं को काट दिया गया (वे संख्याएँ जो 3 के गुणज हैं, अर्थात 6, 9, 12, आदि)। अंत में, केवल अभाज्य संख्याएँ ही बिना क्रॉस के रह गईं।

लेकिन कई प्राकृत संख्याएँ अन्य प्राकृत संख्याओं से समान रूप से विभाज्य होती हैं।

उदाहरण के लिए:

संख्या 12, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;

संख्या 36, 1 से 2, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।

वे संख्याएँ जिनसे संख्या विभाज्य है (12 के लिए यह 1, 2, 3, 4, 6 और 12 है) कहलाती है संख्या भाजक. एक प्राकृतिक संख्या का भाजक एकवह प्राकृत संख्या है जो दी गई संख्या को विभाजित करती है एकएक ट्रेस के बिना। वह प्राकृत संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड हों, कहलाती है कम्पोजिट .

ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य भाजक हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है। इन दोनों संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एकतथा बीवह संख्या है जिससे दी गई दोनों संख्याएं बिना शेषफल के विभाज्य हैं एकतथा बी.

सामान्य बहुअनेक संख्याओं को वह संख्या कहा जाता है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है। उदाहरण के लिए, संख्या 9, 18 और 45 में 180 का एक सामान्य गुणक है। लेकिन 90 और 360 भी उनके सामान्य गुणक हैं। सभी सामान्य गुणकों में हमेशा सबसे छोटा होता है, इस स्थिति में यह 90 होता है। इस संख्या को कहा जाता है कम से कमकॉमन मल्टीपल (LCM).

LCM हमेशा एक प्राकृत संख्या होती है, जो उन सबसे बड़ी संख्याओं से बड़ी होनी चाहिए जिनके लिए इसे परिभाषित किया गया है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)। गुण।

कम्यूटेटिविटी:

सहयोगीता:

विशेष रूप से, यदि और सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो:

दो पूर्णांकों का लघुत्तम समापवर्त्य एमतथा एनअन्य सभी सामान्य गुणकों का भाजक है एमतथा एन. इसके अलावा, सामान्य गुणकों का सेट एम, एनएलसीएम के लिए गुणकों के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).

के लिए स्पर्शोन्मुख को कुछ संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इसलिए, चेबीशेव समारोह. साथ ही:

यह लैंडौ फ़ंक्शन की परिभाषा और गुणों से निम्नानुसार है जी (एन).

अभाज्य संख्याओं के वितरण के नियम से क्या निकलता है।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) ढूँढना।

अनापत्ति प्रमाण पत्र ( ए, बी) की गणना कई तरीकों से की जा सकती है:

1. यदि सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात है, तो आप LCM के साथ इसके संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

2. मान लीजिए कि दोनों संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडों में विहित अपघटन ज्ञात है:

कहाँ पे पी 1 ,...,पी केविभिन्न अभाज्य संख्याएँ हैं, और घ 1 ,...,डीकेतथा ई 1,...,ईकेगैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संगत अभाज्य अपघटन में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)।

फिर एलसीएम ( एक,बी) सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

दूसरे शब्दों में, एलसीएम विस्तार में सभी प्रमुख कारक शामिल होते हैं जो कम से कम एक संख्या विस्तार में शामिल होते हैं ए, बी, और इस कारक के दो घातांक में से सबसे बड़ा लिया जाता है।

उदाहरण:

कई संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना को दो संख्याओं के LCM की कई क्रमिक गणनाओं में घटाया जा सकता है:

नियम।संख्याओं की एक श्रृंखला का एलसीएम खोजने के लिए, आपको चाहिए:

- संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना;

- वांछित उत्पाद के कारकों के लिए सबसे बड़ा विस्तार स्थानांतरित करें (दिए गए लोगों की सबसे बड़ी संख्या के कारकों का उत्पाद), और फिर अन्य संख्याओं के विस्तार से कारक जोड़ें जो पहली संख्या में नहीं होते हैं या इसमें हैं कम संख्या में बार;

- अभाज्य गुणनखंडों का परिणामी गुणनफल दी गई संख्याओं का LCM होगा।

किन्हीं दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं का अपना LCM होता है। यदि संख्याएँ एक-दूसरे की गुणज नहीं हैं या प्रसार में समान गुणनखंड नहीं हैं, तो उनका LCM इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है।

संख्या 28 (2, 2, 7) के अभाज्य गुणनखंडों को 3 (संख्या 21) के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया, परिणामी गुणनफल (84) वह सबसे छोटी संख्या होगी जो 21 और 28 से विभाज्य है।

सबसे बड़ी संख्या 30 के अभाज्य गुणनखंडों को संख्या 25 के 5 के गुणनखंड के साथ पूरक किया गया था, परिणामी उत्पाद 150 सबसे बड़ी संख्या 30 से बड़ा है और शेष के बिना सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है। यह सबसे छोटा संभव गुणनफल (150, 250, 300...) है कि सभी दी गई संख्याएँ इसके गुणज हैं।

संख्याएँ 2,3,11,37 अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।

नियम. अभाज्य संख्याओं का LCM निकालने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प:

आपको आवश्यक कई संख्याओं में से कम से कम सामान्य गुणक (LCM) खोजने के लिए:

1) प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें, उदाहरण के लिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) सभी प्रमुख कारकों की शक्तियों को लिखिए:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) इनमें से प्रत्येक संख्या के सभी अभाज्य भाजक (गुणक) लिखिए;

4) उनमें से प्रत्येक की सबसे बड़ी डिग्री चुनें, जो इन संख्याओं के सभी विस्तारों में पाई जाती है;

5) इन शक्तियों को गुणा करें।

उदाहरण. संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए: 168, 180 और 3024।

समाधान. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1।

हम सभी अभाज्य भाजक की सबसे बड़ी घातों को लिखते हैं और उन्हें गुणा करते हैं:

एलसीएम = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120।

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक सीधे उन संख्याओं के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से संबंधित होता है। इस जीसीडी और एनओसी के बीच लिंकनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा परिभाषित किया गया है।

प्रमेय।

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्तक a और b के गुणनफल के बराबर होता है, जो a और b के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से विभाजित होता है, अर्थात, एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी).

सबूत।

होने देना M, संख्या a और b का कुछ गुणज है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k ऐसा है कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M भी b से विभाज्य है, तो k, b से विभाज्य है।

gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। तब हम समानताएं लिख सकते हैं a=a 1 ·d और b=b 1 ·d, और a 1 =a:d और b 1 =b:d सहअभाज्य संख्याएं होंगी। इसलिए, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त यह है कि a k, b से विभाज्य है, को निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: a 1 d k, b 1 d से विभाज्य है, और यह, विभाज्यता के गुणों के कारण, इस शर्त के बराबर है कि a 1 k b एक से विभाज्य है।

हमें विचाराधीन प्रमेय से दो महत्वपूर्ण उपफलों को भी लिखने की आवश्यकता है।

दो संख्याओं के सार्व गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणजों के समान होते हैं।

यह सच है, क्योंकि एम संख्या ए और बी के किसी भी सामान्य गुणक को समानता एम = एलसीएम (ए, बी) टी द्वारा कुछ पूर्णांक मान टी के लिए परिभाषित किया जाता है।

सहअभाज्य धनात्मक संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है।

इस तथ्य का औचित्य बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b सहअभाज्य हैं, तो gcd(a, b)=1 इसलिए, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करने के लिए घटाया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है, यह निम्नलिखित प्रमेय में इंगित किया गया है: a 1, a 2, …, k, m k-1 और a k के सामान्य गुणकों के साथ मेल खाता है, इसलिए, m k के गुणकों के साथ मेल खाता है। और चूँकि संख्या m k का लघुत्तम धनात्मक गुणज संख्या m k ही है, तो a 1 , a 2 , …, a k का लघुत्तम समापवर्तक m k है।

ग्रंथ सूची।

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• कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: फ़िज़-मैट के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थानों की विशेषता।