पूर्णांकों का सामान्य विचार। सबसे बड़ा सामान्य गुणक और कम से कम सामान्य भाजक

पूर्णांक का क्या अर्थ है

तो, विचार करें कि कौन सी संख्याएं पूर्णांक कहलाती हैं।

इस प्रकार, पूर्णांक ऐसी संख्याओं को निरूपित करेंगे: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, आदि।

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, अर्थात्। कोई भी प्राकृत एक पूर्णांक होगा, लेकिन कोई भी पूर्णांक एक प्राकृत संख्या नहीं है।

पूर्णांक धनात्मक और पूर्णांक ऋणात्मक संख्याएँ

परिभाषा 2

प्लस.

संख्या $3, 78, 569, 10450$ धनात्मक पूर्णांक हैं।

परिभाषा 3

हस्ताक्षरित पूर्णांक हैं ऋण.

संख्या $−3, −78, −569, -10450$ ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

टिप्पणी 1

संख्या शून्य या तो सकारात्मक पूर्णांक या ऋणात्मक पूर्णांकों को संदर्भित नहीं करता है।

पूर्ण सकारात्मक संख्याशून्य से बड़े पूर्णांक हैं।

पूर्ण ऋणात्मक संख्याशून्य से कम पूर्णांक हैं।

प्राकृत पूर्णांकों का समुच्चय सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय होता है और प्राकृत संख्याओं के सभी विपरीतों का समुच्चय सभी ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय होता है।

पूर्णांक गैर-सकारात्मक और पूर्णांक गैर-ऋणात्मक संख्याएँ

सभी धनात्मक पूर्णांक और संख्या शून्य कहलाते हैं पूर्णांक गैर-ऋणात्मक संख्या.

पूर्णांक गैर-धनात्मक संख्याएंसभी ऋणात्मक पूर्णांक हैं और संख्या $0$ है।

टिप्पणी 2

इस प्रकार, संपूर्ण गैर-ऋणात्मक संख्याशून्य से बड़े या शून्य के बराबर पूर्णांक हैं, और गैर-सकारात्मक पूर्णांकशून्य से कम या शून्य के बराबर पूर्णांक हैं।

उदाहरण के लिए, गैर-धनात्मक पूर्णांक: $−32, −123, 0, −5$, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक: $54, 123, 0.856 342.$

पूर्णांकों का उपयोग करके मूल्यों को बदलने का विवरण

किसी भी आइटम की संख्या में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए पूर्णांक का उपयोग किया जाता है।

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1

मान लीजिए कि कोई स्टोर एक निश्चित संख्या में आइटम बेचता है। जब स्टोर को $ 520$ आइटम प्राप्त होते हैं, तो स्टोर में आइटम्स की संख्या में वृद्धि होगी, और $ 520$ की संख्या संख्या में सकारात्मक परिवर्तन दिखाती है। जब स्टोर $50$ आइटम बेचता है, तो स्टोर में आइटम्स की संख्या कम हो जाएगी, और संख्या $50$ संख्या में नकारात्मक परिवर्तन को व्यक्त करेगी। यदि स्टोर न तो सामान लाएगा और न ही बेचेगा, तो माल की संख्या अपरिवर्तित रहेगी (यानी, हम संख्या में शून्य परिवर्तन के बारे में बात कर सकते हैं)।

उपरोक्त उदाहरण में, माल की संख्या में परिवर्तन को क्रमशः $520$, $−50$, और $0$ पूर्णांकों का उपयोग करके वर्णित किया गया है। पूर्णांक $520$ का धनात्मक मान संख्या में सकारात्मक परिवर्तन को दर्शाता है। पूर्णांक $−50$ का ऋणात्मक मान संख्या में ऋणात्मक परिवर्तन को दर्शाता है। पूर्णांक $0$ संख्या की अपरिवर्तनीयता को इंगित करता है।

पूर्णांकों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, क्योंकि संख्या में वृद्धि या कमी के स्पष्ट संकेत की कोई आवश्यकता नहीं है - पूर्णांक का संकेत परिवर्तन की दिशा को इंगित करता है, और मान मात्रात्मक परिवर्तन को इंगित करता है।

पूर्णांकों का उपयोग करके, आप न केवल मात्रा में परिवर्तन, बल्कि किसी भी मान में परिवर्तन को भी व्यक्त कर सकते हैं।

किसी उत्पाद की लागत में बदलाव के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2

लागत में वृद्धि, उदाहरण के लिए, $20$ रूबल द्वारा एक सकारात्मक पूर्णांक $20$ का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। लागत में कमी, उदाहरण के लिए, $5$ रूबल को एक ऋणात्मक पूर्णांक $−5$ का उपयोग करके वर्णित किया गया है। यदि कोई लागत परिवर्तन नहीं है, तो इस तरह के परिवर्तन को पूर्णांक $0$ का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

अलग से, ऋण के आकार के रूप में ऋणात्मक पूर्णांकों के मान पर विचार करें।

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, एक व्यक्ति के पास $5,000 रूबल हैं। फिर, एक सकारात्मक पूर्णांक $5,000$ का उपयोग करके, आप उसके पास कितने रूबल की संख्या दिखा सकते हैं। एक व्यक्ति को $7,000 रूबल की राशि में किराए का भुगतान करना पड़ता है, लेकिन उसके पास उस तरह का पैसा नहीं होता है; इस मामले में, ऐसी स्थिति को नकारात्मक पूर्णांक $-7,000$ द्वारा वर्णित किया जाता है। इस मामले में, एक व्यक्ति के पास $-7,000$ रूबल हैं, जहां "-" एक ऋण को इंगित करता है, और संख्या $7,000$ ऋण की राशि को दर्शाती है।

इस लेख में दी गई जानकारी का एक सामान्य विचार है पूर्ण संख्याएं. सबसे पहले, पूर्णांकों की परिभाषा दी गई है और उदाहरण दिए गए हैं। इसके बाद, संख्या रेखा पर पूर्णांकों पर विचार किया जाता है, जिससे यह स्पष्ट हो जाता है कि कौन-सी संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक कहलाती हैं, और कौन-सी ऋणात्मक पूर्णांक हैं। उसके बाद, यह दिखाया गया है कि कैसे पूर्णांकों का उपयोग करके मात्राओं में परिवर्तन का वर्णन किया जाता है, और ऋणात्मक पूर्णांकों को ऋण के अर्थ में माना जाता है।

पृष्ठ नेविगेशन।

पूर्णांक - परिभाषा और उदाहरण

परिभाषा।

पूर्ण संख्याएंप्राकृतिक संख्याएँ हैं, संख्या शून्य, साथ ही प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ।

पूर्णांकों की परिभाषा में कहा गया है कि कोई भी संख्या 1, 2, 3, ..., संख्या 0, और कोई भी संख्या -1, -2, -3, ... एक पूर्णांक है। अब हम आसानी से ला सकते हैं पूर्णांक उदाहरण. उदाहरण के लिए, संख्या 38 एक पूर्णांक है, संख्या 70 040 भी एक पूर्णांक है, शून्य एक पूर्णांक है (याद रखें कि शून्य एक प्राकृत संख्या नहीं है, शून्य एक पूर्णांक है), संख्याएँ -999, -1, −8 934 832 भी पूर्णांक संख्याओं के उदाहरण हैं।

सभी पूर्णांकों को पूर्णांकों के अनुक्रम के रूप में निरूपित करना सुविधाजनक है, जिसका निम्न रूप है: 0, ±1, ±2, ±3, ... पूर्णांकों का क्रम इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

पूर्णांकों की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए, प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक होती है, लेकिन प्रत्येक पूर्णांक एक प्राकृत संख्या नहीं होती है।

निर्देशांक रेखा पर पूर्णांक

परिभाषा।

पूर्णांक सकारात्मक संख्यावे पूर्णांक हैं जो शून्य से बड़े हैं।

परिभाषा।

पूर्णांक ऋणात्मक संख्यावे पूर्णांक हैं जो शून्य से कम हैं।

पूर्णांक धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को निर्देशांक रेखा पर उनकी स्थिति से भी निर्धारित किया जा सकता है। एक क्षैतिज निर्देशांक रेखा पर, ऐसे बिंदु जिनके निर्देशांक धनात्मक पूर्णांक होते हैं, मूल बिंदु के दाईं ओर स्थित होते हैं। बदले में, ऋणात्मक पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदु बिंदु O के बाईं ओर स्थित होते हैं।

यह स्पष्ट है कि सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय प्राकृत संख्याओं का समुच्चय होता है। बदले में, सभी ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय प्राकृत संख्याओं के विपरीत सभी संख्याओं का समुच्चय होता है।

अलग से, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि हम सुरक्षित रूप से किसी भी प्राकृत संख्या को पूर्णांक कह सकते हैं, और हम किसी पूर्णांक को प्राकृत संख्या नहीं कह सकते। हम प्राकृत को केवल कोई धनात्मक पूर्णांक कह सकते हैं, क्योंकि ऋणात्मक पूर्णांक और शून्य प्राकृत नहीं हैं।

पूर्णांक गैर-सकारात्मक और पूर्णांक गैर-ऋणात्मक संख्याएँ

आइए हम गैर-धनात्मक पूर्णांकों और अऋणात्मक पूर्णांकों की परिभाषा दें।

परिभाषा।

शून्य सहित सभी धनात्मक पूर्णांक कहलाते हैं पूर्णांक गैर-ऋणात्मक संख्या.

परिभाषा।

पूर्णांक गैर-धनात्मक संख्याएंसंख्या 0 के साथ सभी ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

दूसरे शब्दों में, एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक एक पूर्णांक होता है जो शून्य से बड़ा या उसके बराबर होता है, और एक गैर-धनात्मक पूर्णांक एक पूर्णांक होता है जो शून्य से कम या उसके बराबर होता है।

गैर-धनात्मक पूर्णांकों के उदाहरण संख्याएँ -511, -10 030, 0, -2 हैं, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के उदाहरण के रूप में, आइए संख्याएँ 45, 506, 0, 900 321 दें।

अधिकतर, शब्द "गैर-सकारात्मक पूर्णांक" और "गैर-ऋणात्मक पूर्णांक" संक्षिप्तता के लिए उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, वाक्यांश के बजाय "संख्या एक पूर्णांक है, और एक शून्य से बड़ा या शून्य के बराबर है", आप कह सकते हैं "ए एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है"।

पूर्णांकों का उपयोग करके मूल्यों को बदलने का विवरण

यह बात करने का समय है कि पूर्णांक किस लिए हैं।

पूर्णांकों का मुख्य उद्देश्य यह है कि उनकी सहायता से किसी भी वस्तु की संख्या में परिवर्तन का वर्णन करना सुविधाजनक होता है। आइए उदाहरणों के साथ इससे निपटें।

मान लीजिए कि स्टॉक में कुछ निश्चित हिस्से हैं। यदि, उदाहरण के लिए, 400 और भागों को गोदाम में लाया जाता है, तो गोदाम में भागों की संख्या में वृद्धि होगी, और संख्या 400 मात्रा में इस परिवर्तन को सकारात्मक दिशा में (वृद्धि की दिशा में) व्यक्त करती है। यदि, उदाहरण के लिए, 100 भागों को गोदाम से लिया जाता है, तो गोदाम में भागों की संख्या घट जाएगी, और संख्या 100 मात्रा में परिवर्तन को नकारात्मक दिशा (कमी की दिशा में) में व्यक्त करेगी। कोई भाग गोदाम में नहीं लाया जाएगा, और कोई भाग गोदाम से नहीं लिया जाएगा, तो हम भागों की संख्या के अपरिवर्तन के बारे में बात कर सकते हैं (अर्थात, हम मात्रा में शून्य परिवर्तन के बारे में बात कर सकते हैं)।

दिए गए उदाहरणों में, भागों की संख्या में परिवर्तन को क्रमशः पूर्णांक 400, −100 और 0 का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। एक धनात्मक पूर्णांक 400 मात्रा में धनात्मक परिवर्तन (वृद्धि) को दर्शाता है। ऋणात्मक पूर्णांक −100 मात्रा में ऋणात्मक परिवर्तन (कमी) को व्यक्त करता है। पूर्णांक 0 इंगित करता है कि मात्रा नहीं बदली है।

प्राकृतिक संख्याओं के उपयोग की तुलना में पूर्णांकों का उपयोग करने की सुविधा यह है कि स्पष्ट रूप से यह इंगित करने की आवश्यकता नहीं है कि मात्रा बढ़ रही है या घट रही है - पूर्णांक मात्रात्मक रूप से परिवर्तन को निर्दिष्ट करता है, और पूर्णांक का चिह्न परिवर्तन की दिशा को इंगित करता है।

पूर्णांक न केवल मात्रा में परिवर्तन, बल्कि कुछ मूल्य में परिवर्तन को भी व्यक्त कर सकते हैं। आइए तापमान परिवर्तन के उदाहरण का उपयोग करके इससे निपटें।

तापमान में 4 डिग्री की वृद्धि को एक धनात्मक पूर्णांक 4 के रूप में व्यक्त किया जाता है। तापमान में कमी, उदाहरण के लिए, 12 डिग्री तक एक ऋणात्मक पूर्णांक -12 द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और तापमान का व्युत्क्रम इसका परिवर्तन है, जो पूर्णांक 0 द्वारा निर्धारित होता है।

ऋण की राशि के रूप में ऋणात्मक पूर्णांकों की व्याख्या के बारे में अलग से कहा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास 3 सेब हैं, तो धनात्मक पूर्णांक 3 हमारे पास मौजूद सेबों की संख्या को दर्शाता है। दूसरी ओर, अगर हमें किसी को 5 सेब देना है, और हमारे पास उपलब्ध नहीं है, तो इस स्थिति को एक ऋणात्मक पूर्णांक -5 का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इस मामले में, हमारे पास -5 सेब "स्वामित्व" हैं, ऋण चिह्न ऋण को इंगित करता है, और संख्या 5 ऋण की मात्रा निर्धारित करती है।

ऋण के रूप में एक ऋणात्मक पूर्णांक की समझ, उदाहरण के लिए, ऋणात्मक पूर्णांकों को जोड़ने के नियम को उचित ठहराने की अनुमति देती है। आइए एक उदाहरण लेते हैं। यदि किसी का एक व्यक्ति पर 2 सेब और दूसरे का एक सेब बकाया है, तो कुल ऋण 2+1=3 सेब है, इसलिए −2+(−1)=−3 ।

ग्रंथ सूची।

• विलेनकिन एन.वाई.ए. आदि गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।

सेवा पूर्ण संख्याएंप्राकृतिक संख्याएँ, शून्य और प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ शामिल करें।

पूर्णांकोंधनात्मक पूर्णांक हैं।

उदाहरण के लिए: 1, 3, 7, 19, 23, आदि। हम गिनती के लिए ऐसे नंबरों का उपयोग करते हैं (टेबल पर 5 सेब हैं, कार में 4 पहिए हैं, आदि)

लैटिन अक्षर \mathbb(N) - निरूपित प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय.

प्राकृतिक संख्याओं में ऋणात्मक (एक कुर्सी में पैरों की ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती) और भिन्नात्मक संख्याएँ (इवान 3.5 साइकिलें नहीं बेच सकता) शामिल नहीं हो सकतीं।

प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक होती हैं: -8, -148, -981, ....

पूर्णांकों के साथ अंकगणितीय संचालन

आप पूर्णांकों के साथ क्या कर सकते हैं? उन्हें एक दूसरे से गुणा, जोड़ा और घटाया जा सकता है। आइए प्रत्येक ऑपरेशन का एक विशिष्ट उदाहरण पर विश्लेषण करें।

पूर्णांक जोड़

समान चिह्न वाले दो पूर्णांक इस प्रकार जोड़े जाते हैं: इन संख्याओं के मॉड्यूल जोड़े जाते हैं और परिणामी योग अंतिम चिह्न से पहले होता है:

(+11) + (+9) = +20

पूर्णांकों का घटाव

विभिन्न चिह्नों के साथ दो पूर्णांकों को इस प्रकार जोड़ा जाता है: छोटी संख्या का मापांक बड़ी संख्या के मापांक से घटाया जाता है, और बड़े मॉड्यूल संख्या का चिह्न उत्तर के सामने रखा जाता है:

(-7) + (+8) = +1

पूर्णांक गुणन

एक पूर्णांक को दूसरे से गुणा करने के लिए, आपको इन संख्याओं के मॉड्यूल को गुणा करना होगा और प्राप्त उत्तर के सामने "+" चिह्न लगाना होगा यदि मूल संख्याएँ समान चिह्नों के साथ थीं, और "-" चिह्न यदि मूल संख्याएँ थीं विभिन्न संकेतों के साथ:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

आपको निम्नलिखित याद रखना चाहिए पूर्ण संख्या गुणन नियम:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

कई पूर्णांकों को गुणा करने का एक नियम है। आइए इसे याद रखें:

उत्पाद का चिन्ह "+" होगा यदि ऋणात्मक चिन्ह वाले कारकों की संख्या सम है और "-" यदि ऋणात्मक चिन्ह वाले कारकों की संख्या विषम है।

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

पूर्णांकों का विभाजन

दो पूर्णांकों का विभाजन निम्नानुसार किया जाता है: एक संख्या के मापांक को दूसरे के मापांक से विभाजित किया जाता है, और यदि संख्याओं के संकेत समान हैं, तो परिणामी भागफल के सामने एक "+" चिन्ह रखा जाता है। , और यदि मूल संख्याओं के चिन्ह भिन्न हैं, तो "-" चिन्ह लगाया जाता है।

(-25) : (+5) = -5

पूर्णांकों के योग और गुणन के गुण

आइए किसी भी पूर्णांक a , b और c के लिए जोड़ और गुणा के मूल गुणों का विश्लेषण करें:

1. a + b = b + a - योग का क्रमविनिमेय गुण;
2. (ए + बी) + सी \u003d ए + (बी + सी) - जोड़ की सहयोगी संपत्ति;
3. a \cdot b = b \cdot a - गुणन का क्रमविनिमेय गुण;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- गुणन के साहचर्य गुण;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot cगुणन का वितरण गुण है।

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ने अपने प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" है। यहां बताया गया है कि यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलीस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। जिस समय के दौरान अकिलीज़ इतनी दूरी चलाता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुआ को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, गिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी समस्या का सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया ..."[विकिपीडिया," ज़ेनो के एपोरियास "]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में मूल्य से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय आवेदन करने का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। हमारे सामान्य तर्क का प्रयोग हमें एक जाल में ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, समय की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि जब अकिलीज़ कछुए को पकड़ता है, तो समय पूरी तरह से रुक जाता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुआ से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को बदल दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। इसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ असीम रूप से जल्दी से कछुए से आगे निकल जाएगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में बने रहें और पारस्परिक मूल्यों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

अकिलीज़ को एक हज़ार कदम चलने में जितना समय लगता है, उसी दिशा में कछुआ सौ कदम रेंगता है। अगले समय अंतराल के दौरान, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक और हज़ार कदम चलाएगा, और कछुआ एक सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुआ से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की दुर्गमता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द कछुआ" के समान है। हमें अभी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया उड़ते हुए तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, और चूँकि वह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, इसलिए वह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम करता है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात ध्यान देने योग्य है। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके चलने के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करने के लिए उनका उपयोग नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (स्वाभाविक रूप से, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं जो विशेष रूप से इंगित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु दो अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए क्योंकि वे अन्वेषण के विभिन्न अवसर प्रदान करते हैं।

बुधवार, 4 जुलाई 2018

बहुत अच्छी तरह से विकिपीडिया में सेट और मल्टीसेट के बीच के अंतरों का वर्णन किया गया है। हम देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते", लेकिन यदि सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। विवेकशील प्राणी बेतुकेपन के ऐसे तर्क को कभी नहीं समझेंगे। यह बात करने वाले तोते और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिसमें मन "पूरी तरह से" शब्द से अनुपस्थित है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, अपने बेतुके विचारों का हमें प्रचार करते हैं।

एक बार की बात है, पुल का निर्माण करने वाले इंजीनियर पुल के परीक्षणों के दौरान पुल के नीचे एक नाव में थे। पुल ढह गया तो उसकी रचना के मलबे के नीचे औसत दर्जे का इंजीनियर मर गया। यदि पुल भार का सामना कर सकता है, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुलों का निर्माण किया।

कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "माइंड मी, आई एम इन द हाउस" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है", एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह गर्भनाल धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश डेस्क पर बैठे हैं, वेतन दे रहे हैं। यहाँ एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसके लिए पूरी राशि गिनते हैं और उसे अपनी मेज पर अलग-अलग ढेर में रख देते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "गणितीय वेतन सेट" देते हैं। हम गणित की व्याख्या करते हैं कि वह शेष बिल तभी प्राप्त करेगा जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, डिप्टी का तर्क काम करेगा: "आप इसे दूसरों पर लागू कर सकते हैं, लेकिन मुझ पर नहीं!" इसके अलावा, आश्वासन शुरू हो जाएगा कि एक ही मूल्यवर्ग के बैंक नोटों पर अलग-अलग बैंकनोट नंबर हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें समान तत्व नहीं माना जा सकता है। खैर, हम वेतन को सिक्कों में गिनते हैं - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं होती है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को याद करेंगे: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, प्रत्येक सिक्के के लिए क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था अद्वितीय होती है ...

और अब मेरे पास सबसे दिलचस्प सवाल है: वह सीमा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ शेमस द्वारा तय किया जाता है, यहां विज्ञान भी करीब नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान क्षेत्र वाले फुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। खेतों का क्षेत्रफल समान है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम उन्हीं स्टेडियमों के नामों पर विचार करें तो हमें बहुत कुछ मिलता है, क्योंकि नाम अलग-अलग होते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक ही समय में एक सेट और एक मल्टीसेट दोनों है। कितना सही? और यहाँ गणितज्ञ-शमन-शुलर अपनी आस्तीन से एक ट्रम्प इक्का निकालता है और हमें एक सेट या एक मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी मामले में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

यह समझने के लिए कि आधुनिक शेमैन सेट थ्योरी के साथ कैसे काम करते हैं, इसे वास्तविकता से बांधते हुए, एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको बिना किसी "एक पूरे के रूप में बोधगम्य" या "एक पूरे के रूप में बोधगम्य नहीं" के बिना दिखाऊंगा।

रविवार, 18 मार्च 2018

एक संख्या के अंकों का योग तंबूरा के साथ शेमस का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन वे उसके लिए शेमस हैं, अपने वंशजों को उनके कौशल और ज्ञान को सिखाने के लिए, अन्यथा शमां बस मर जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ खोजने का प्रयास करें। वह मौजूद नहीं है। गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिससे आप किसी भी संख्या के अंकों का योग ज्ञात कर सकें। आखिरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में, कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन शेमस इसे मूल रूप से कर सकते हैं।

आइए जानें कि दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, मान लें कि हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करना होगा? आइए क्रम में सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिखिए। हमने क्या किया है? हमने संख्या को एक संख्या ग्राफिक प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

2. हमने एक प्राप्त तस्वीर को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काट दिया। चित्र काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. अलग-अलग ग्राफिक वर्णों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

4. परिणामी संख्याओं को जोड़ें। अब वह गणित है।

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये गणितज्ञों द्वारा उपयोग किए जाने वाले शेमस के "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं। लेकिन यह बिलकुल भी नहीं है।

गणित की दृष्टि से इस बात से कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में अंक लिखते हैं। तो, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। बड़ी संख्या 12345 के साथ, मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, लेख से 26 नंबर पर विचार करें। आइए इस नंबर को बाइनरी, ऑक्टल, डेसीमल और हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम में लिखें। हम माइक्रोस्कोप के तहत प्रत्येक चरण पर विचार नहीं करेंगे, हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइए परिणाम देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में, एक ही संख्या के अंकों का योग भिन्न होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे मीटर और सेंटीमीटर में आयत के क्षेत्रफल का निर्धारण करते समय आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

सभी संख्या प्रणालियों में शून्य समान दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है कि . गणितज्ञों के लिए एक प्रश्न: जो संख्या नहीं है उसे गणित में कैसे दर्शाया जाता है? क्या, गणितज्ञों के लिए, संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? शेमस के लिए, मैं इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए, नहीं। वास्तविकता केवल संख्या के बारे में नहीं है।

प्राप्त परिणाम को प्रमाण के रूप में माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणाली संख्याओं के मापन की इकाइयाँ हैं। आखिरकार, हम माप की विभिन्न इकाइयों के साथ संख्याओं की तुलना नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा के माप की विभिन्न इकाइयों के साथ एक ही क्रिया की तुलना करने के बाद अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

असली गणित क्या है? यह तब होता है जब गणितीय क्रिया का परिणाम संख्या के मूल्य, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें दरवाजा खोलता है और कहता है:

आउच! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- जवान महिला! स्वर्ग में स्वर्गारोहण पर आत्माओं की अनिश्चितकालीन पवित्रता का अध्ययन करने के लिए यह एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर निंबस और ऊपर तीर। और क्या शौचालय?

महिला... शीर्ष पर एक प्रभामंडल और नीचे एक तीर नर है।

यदि आपके पास दिन में कई बार आपकी आंखों के सामने डिजाइन कला का ऐसा काम है,

तब यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आप अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन पाते हैं:

व्यक्तिगत रूप से, मैं अपने आप को एक शिकार करने वाले व्यक्ति (एक तस्वीर) में शून्य से चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की संरचना: ऋण चिह्न, संख्या चार, डिग्री पदनाम)। और मैं इस लड़की को मूर्ख नहीं मानता जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों की धारणा का एक चाप स्टीरियोटाइप है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है।

1A "माइनस फोर डिग्री" या "वन ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में "पोपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। वे लोग जो लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं, स्वचालित रूप से संख्या और अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में देखते हैं।

महत्वपूर्ण लेख!
1. यदि फ़ार्मुलों के बजाय आप अब्रकदबरा देखते हैं, तो कैशे साफ़ करें। इसे अपने ब्राउज़र में कैसे करें यहाँ लिखा है:
2. इससे पहले कि आप लेख पढ़ना शुरू करें, सबसे उपयोगी संसाधन के लिए हमारे नेविगेटर पर ध्यान दें

अपने जीवन को बहुत आसान बनाने के लिए जब आपको कुछ गणना करने की आवश्यकता हो, OGE या USE में कीमती समय जीतने के लिए, कम मूर्खतापूर्ण गलतियाँ करने के लिए - इस अनुभाग को पढ़ें!

यहाँ आप क्या सीखेंगे:

• उपयोग करके तेज़, आसान और अधिक सटीक गणना कैसे करेंसंख्याओं का समूहनजोड़ने और घटाने पर,
• त्रुटियों के बिना तेजी से गुणा और भाग कैसे करें गुणन नियम और विभाज्यता मानदंड,
• का उपयोग करके गणनाओं को महत्वपूर्ण रूप से कैसे तेज करें आम एकाधिक(एनओसी) और महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी)।

इस खंड की तकनीकों का कब्जा एक दिशा या किसी अन्य में तराजू को टिप सकता है ... आप अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करते हैं या नहीं, आपको या आपके माता-पिता को शिक्षा के लिए बहुत पैसा देना होगा या आप बजट में प्रवेश करेंगे। .

चलो सही में गोता लगाएँ... (चलो चलें!)

पी.एस. अंतिम मूल्यवान सलाह...

गुच्छा पूर्णांकों 3 भागों से मिलकर बनता है:

1. पूर्णांकों(हम उन पर नीचे और अधिक विस्तार से विचार करेंगे);
2. प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएं(जैसे ही आप जानते हैं कि प्राकृतिक संख्याएं क्या हैं, सब कुछ ठीक हो जाएगा);
3. शून्य - " " (इसके बिना कहाँ?)

पत्र जेड।

पूर्णांकों

"भगवान ने प्राकृतिक संख्याएं बनाईं, बाकी सब कुछ मानव हाथों का काम है" (सी) जर्मन गणितज्ञ क्रोनकर।

प्राकृतिक संख्याएँ हैंवे संख्याएँ जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं और इसी पर उनकी घटना का इतिहास आधारित है - तीर, खाल आदि गिनने की आवश्यकता।

1, 2, 3, 4...एन

पत्र एन.

तदनुसार, इस परिभाषा में शामिल नहीं है (क्या आप गिन नहीं सकते कि क्या नहीं है?) और इससे भी अधिक इसमें नकारात्मक मान शामिल नहीं हैं (क्या कोई सेब है?)

इसके अलावा, सभी भिन्नात्मक संख्याएं शामिल नहीं हैं (हम यह भी नहीं कह सकते कि "मेरे पास एक लैपटॉप है", या "मैंने कारें बेचीं")

कोई भी प्राकृतिक संख्या 10 अंकों का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

तो 14 एक संख्या नहीं है। यह एक संख्या है। इसमें कौन सी संख्याएँ शामिल हैं? यह सही है, संख्याओं से और।

योग। तेजी से गिनती और कम गलतियों के लिए जोड़ते समय समूह बनाना

इस प्रक्रिया के बारे में आप क्या दिलचस्प बातें कह सकते हैं? बेशक, अब आप जवाब देंगे "योग का मूल्य शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है।" ऐसा लगता है कि प्रथम श्रेणी से परिचित एक आदिम नियम, हालांकि, बड़े उदाहरणों को हल करते समय, यह तुरंत भूल गए!

उसके बारे में मत भूलनासमूहीकरण का उपयोग करें, गिनती की प्रक्रिया को सुविधाजनक बनाने और त्रुटियों की संभावना को कम करने के लिए, क्योंकि आपके पास परीक्षा के लिए कैलकुलेटर नहीं होगा।

आप स्वयं देखें कि कौन-सा व्यंजक जोड़ना आसान है?

• 4 + 5 + 3 + 6
• 4 + 6 + 5 + 3

बेशक दूसरा! हालांकि परिणाम वही है। लेकिन! दूसरे तरीके को ध्यान में रखते हुए, आपसे गलती होने की संभावना कम है और आप सब कुछ तेजी से करेंगे!

तो, आपके मन में, आप ऐसा सोचते हैं:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

घटाव। तेजी से गिनती और कम त्रुटि के लिए घटाते समय समूह बनाना

घटाते समय, हम घटाई गई संख्याओं को भी समूहित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

क्या होगा यदि घटाव को उदाहरण में जोड़ के साथ जोड़ दिया जाए? आप समूह भी कर सकते हैं, आप उत्तर देंगे, और ठीक है। बस कृपया, संख्याओं के सामने के संकेतों को न भूलें, उदाहरण के लिए: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

याद रखें: गलत तरीके से लगाए गए संकेत गलत परिणाम देंगे।

गुणन। अपने दिमाग में कैसे गुणा करें

यह स्पष्ट है कि कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद का मूल्य भी नहीं बदलेगा:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

मैं आपको "समस्याओं को हल करते समय इसका उपयोग करने" के लिए नहीं कहूंगा (आपको संकेत स्वयं मिला है, है ना?), बल्कि आपको बताता हूं कि अपने सिर में कुछ संख्याओं को जल्दी से कैसे गुणा करें। तो, तालिका को ध्यान से देखें:

और गुणा के बारे में थोड़ा और। बेशक, आपको दो खास मौके याद हैं... अंदाजा लगाइए कि मेरा क्या मतलब है? यहाँ इसके बारे में है:

अरे हाँ, आइए एक नज़र डालते हैं विभाज्यता के संकेत. कुल मिलाकर, विभाज्यता के संकेतों के लिए 7 नियम हैं, जिनमें से आप पहले से ही पहले 3 को निश्चित रूप से जानते हैं!

लेकिन बाकी को याद रखना बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

संख्याओं की विभाज्यता के 7 संकेत जो आपको जल्दी से अपने दिमाग में गिनने में मदद करेंगे!

• बेशक, आप पहले तीन नियमों को जानते हैं।
• चौथा और पाँचवाँ याद रखना आसान है - जब से विभाजित किया जाता है और हम देखते हैं कि संख्या बनाने वाले अंकों का योग इससे विभाज्य है या नहीं।
• से विभाजित करते समय, हम संख्या के अंतिम दो अंकों पर ध्यान देते हैं - क्या वे संख्या जिससे वे विभाज्य हैं?
• किसी संख्या से विभाजित करते समय, यह एक ही समय में और द्वारा विभाज्य होना चाहिए। वह सब ज्ञान है।

क्या आप अब सोच रहे हैं - "मुझे यह सब क्यों चाहिए"?

सबसे पहले, परीक्षा है कैलकुलेटर के बिनाऔर ये नियम उदाहरणों को नेविगेट करने में आपकी सहायता करेंगे।

और दूसरी बात, आपने कार्यों के बारे में सुना जीसीडीऔर अनापत्ति प्रमाण पत्र? परिचित संक्षिप्त? आइए याद करना और समझना शुरू करें।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) - भिन्नों को कम करने और तेज़ गणना के लिए आवश्यक

मान लें कि आपके पास दो नंबर हैं: और। इन दोनों संख्याओं से विभाज्य सबसे बड़ी संख्या क्या है? आप बिना किसी हिचकिचाहट के उत्तर देंगे, क्योंकि आप जानते हैं कि:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

विस्तार में कौन सी संख्याएँ सामान्य हैं? यह सही है, 2*2 = 4। वह आपका उत्तर था। इस सरल उदाहरण को ध्यान में रखते हुए, आप खोजने के लिए एल्गोरिथ्म को नहीं भूलेंगे जीसीडी. इसे अपने सिर में "निर्माण" करने का प्रयास करें। हो गई?

आपको जिस एनओडी की आवश्यकता है उसे खोजने के लिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (उन संख्याओं में जिन्हें स्वयं के अलावा किसी अन्य चीज़ से विभाजित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3, 7, 11, 13, आदि)।
2. उन्हें गुणा करें।

क्या आप समझते हैं कि हमें विभाज्यता के संकेतों की आवश्यकता क्यों थी? ताकि आप संख्या को देखें और आप शेषफल के बिना विभाजित करना शुरू कर सकें।

उदाहरण के लिए, आइए संख्या 290 और 485 . की GCD ज्ञात करें

प्रथम अंक - .

इसे देखकर, आप तुरंत बता सकते हैं कि यह किससे विभाज्य है, आइए लिखते हैं:

आप इसे किसी और चीज़ में विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप कर सकते हैं - और, हमें मिलता है:

290 = 29 * 5 * 2

चलिए एक और नंबर लेते हैं - 485।

विभाज्यता के संकेतों के अनुसार, इसे बिना किसी शेषफल के विभाज्य होना चाहिए, क्योंकि यह समाप्त होता है। हम बांटते हैं:

आइए मूल संख्या का विश्लेषण करें।

• इसे विभाजित नहीं किया जा सकता (अंतिम अंक विषम है),
• - से विभाज्य नहीं है, इसलिए संख्या भी विभाज्य नहीं है,
• से भी विभाज्य नहीं है और (संख्या में अंकों का योग द्वारा और द्वारा विभाज्य नहीं है)
• विभाज्य भी नहीं है, क्योंकि यह और से विभाज्य नहीं है,
• और से भी विभाज्य नहीं है, क्योंकि यह और से विभाज्य नहीं है।
• पूरी तरह से विभाजित नहीं किया जा सकता

तो संख्या को केवल और में विघटित किया जा सकता है।

और अब आइए ढूढ़ें जीसीडीये संख्याएँ (और)। यह संख्या क्या है? सही ढंग से, .

क्या हम अभ्यास करें?

टास्क नंबर 1. संख्या 6240 और 6800 . की GCD ज्ञात कीजिए

1) मैं तुरंत विभाजित करता हूं, क्योंकि दोनों संख्याएं 100% विभाज्य हैं:

टास्क नंबर 2. संख्या 345 और 324 की GCD ज्ञात कीजिए

मुझे यहां कम से कम एक सामान्य भाजक नहीं मिल रहा है, इसलिए मैं केवल प्रमुख कारकों (जितना संभव हो उतना कम) में विघटित हो जाता हूं:

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम) - समय बचाता है, बॉक्स के बाहर की समस्याओं को हल करने में मदद करता है

मान लीजिए कि आपके पास दो नंबर हैं - और। वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो से विभाज्य है? एक ट्रेस के बिना(यानी पूरी तरह से)? कल्पना करना मुश्किल है? यहाँ आपके लिए एक दृश्य सुराग है:

क्या आपको याद है कि पत्र का क्या अर्थ है? यह सही है, बस पूर्ण संख्याएं।तो वह सबसे छोटी संख्या कौन सी है जो x पर फिट बैठती है? :

इस मामले में।

इस सरल उदाहरण से कई नियम अनुसरण करते हैं।

जल्दी से एनओसी खोजने के नियम

नियम 1. यदि दो प्राकृत संख्याओं में से एक दूसरी संख्या से विभाज्य है, तो इन दो संख्याओं में से बड़ी संख्या उनकी सबसे छोटी सामान्य गुणज होती है।

निम्नलिखित संख्याएं खोजें:

• एनओसी (7;21)
• एनओसी (6;12)
• एनओसी (5;15)
• एनओसी (3;33)

बेशक, आपने आसानी से इस कार्य का सामना किया और आपको उत्तर मिल गए - और।

ध्यान दें कि नियम में हम दो संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं, यदि अधिक संख्याएं हैं, तो नियम काम नहीं करता है।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (7;14;21) 21 के बराबर नहीं है, क्योंकि इसे शेषफल के बिना विभाजित नहीं किया जा सकता है।

नियम 2. यदि दो (या दो से अधिक) संख्याएँ सह अभाज्य हैं, तो सबसे छोटा समापवर्तक उनके गुणनफल के बराबर होता है।

पाना अनापत्ति प्रमाण पत्रनिम्नलिखित संख्याओं के लिए:

• एनओसी (1;3;7)
• एनओसी (3;7;11)
• एनओसी (2;3;7)
• एनओसी (3;5;2)

क्या आपने गिनती की? यहाँ उत्तर हैं - , ; .

जैसा कि आप समझते हैं, इसी x को लेना और चुनना हमेशा इतना आसान नहीं होता है, इसलिए थोड़ी अधिक जटिल संख्याओं के लिए निम्नलिखित एल्गोरिथम है:

क्या हम अभ्यास करें?

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए - LCM (345; 234)

स्वयं लघुतम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए

आपको क्या उत्तर मिले?

यहाँ मेरे साथ क्या हुआ है:

आपको खोजने में कितना समय लगा अनापत्ति प्रमाण पत्र? मेरा समय 2 मिनट है, मुझे सच में पता है एक चाल, जो मेरा सुझाव है कि आप अभी खोलें!

यदि आप बहुत चौकस हैं, तो आपने शायद देखा है कि दिए गए नंबरों के लिए हम पहले ही खोज चुके हैं जीसीडीऔर आप उस उदाहरण से इन संख्याओं का गुणनखंडन ले सकते हैं, जिससे आपका कार्य सरल हो जाएगा, लेकिन यह सब से बहुत दूर है।

तस्वीर को देखिए, शायद आपके मन में कुछ और विचार आएंगे:

कुंआ? मैं आपको एक संकेत दूंगा: गुणा करने का प्रयास करें अनापत्ति प्रमाण पत्रऔर जीसीडीआपस में और उन सभी कारकों को लिखिए जो गुणा करने पर होंगे। क्या आप संभाल पाओगे? आपको इस तरह की एक श्रृंखला के साथ समाप्त होना चाहिए:

इसे करीब से देखें: कारकों की तुलना कैसे और कैसे विघटित होती है।

इससे आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? सही ढंग से! यदि हम मानों को गुणा करते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्रऔर जीसीडीआपस में, तब हमें इन संख्याओं का गुणनफल प्राप्त होता है।

तदनुसार, संख्याएँ और अर्थ होना जीसीडी(या अनापत्ति प्रमाण पत्र), हम ढूंढ सकते हैं अनापत्ति प्रमाण पत्र(या जीसीडी) इस अनुसार:

1. संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

2. हम परिणामी उत्पाद को हमारे . से विभाजित करते हैं जीसीडी (6240; 6800) = 80:

बस इतना ही।

आइए नियम को सामान्य रूप में लिखें:

ढूंढने की कोशिश करो जीसीडीयदि यह ज्ञात हो कि:

क्या आप संभाल पाओगे? .

नकारात्मक संख्याएँ - "झूठी संख्याएँ" और मानव जाति द्वारा उनकी मान्यता।

जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, ये प्राकृत संख्याओं के विपरीत संख्याएँ हैं, अर्थात्:

ऋणात्मक संख्याओं को जोड़ा जा सकता है, घटाया जा सकता है, गुणा किया जा सकता है और विभाजित किया जा सकता है - बिल्कुल प्राकृतिक संख्याओं की तरह। ऐसा लगेगा कि वे इतने खास हैं? लेकिन तथ्य यह है कि नकारात्मक संख्याओं ने 19वीं शताब्दी तक गणित में अपना सही स्थान "जीत" लिया (उस क्षण तक बड़ी मात्रा में विवाद था कि वे मौजूद हैं या नहीं)।

"घटाव" के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के साथ इस तरह के एक ऑपरेशन के कारण ऋणात्मक संख्या स्वयं उत्पन्न हुई। दरअसल, घटाना - यह एक ऋणात्मक संख्या है। इसीलिए ऋणात्मक संख्याओं के समुच्चय को अक्सर "समुच्चय का विस्तार" कहा जाता है प्राकृतिक संख्याएं».

लंबे समय तक लोगों द्वारा नकारात्मक संख्याओं को पहचाना नहीं गया था। तो, प्राचीन मिस्र, बेबीलोन और प्राचीन ग्रीस - अपने समय की रोशनी, नकारात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे, और समीकरण में नकारात्मक जड़ें प्राप्त करने के मामले में (उदाहरण के लिए, जैसा कि हमारे पास है), जड़ों को असंभव के रूप में खारिज कर दिया गया था।

पहली बार ऋणात्मक संख्याओं को चीन में और फिर 7वीं शताब्दी में भारत में अस्तित्व का अधिकार मिला। आप इस स्वीकारोक्ति के बारे में क्या सोचते हैं? यह सही है, ऋणात्मक संख्याएँ ऋणों को निरूपित करने लगीं (अन्यथा - कमी)। यह माना जाता था कि ऋणात्मक संख्या एक अस्थायी मूल्य है, जिसके परिणामस्वरूप सकारात्मक में बदल जाएगा (अर्थात, धन अभी भी लेनदार को वापस कर दिया जाएगा)। हालांकि, भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने पहले से ही नकारात्मक संख्याओं को सकारात्मक के साथ समान स्तर पर माना था।

यूरोप में, ऋणात्मक संख्याओं की उपयोगिता, साथ ही यह तथ्य कि वे ऋण को निरूपित कर सकते हैं, बहुत बाद में, यानी एक सहस्राब्दी आई। पहला उल्लेख 1202 में पीसा के लियोनार्ड द्वारा "अबेकस की पुस्तक" में देखा गया था (मैं तुरंत कहता हूं कि पुस्तक के लेखक का पीसा के लीनिंग टॉवर से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन फाइबोनैचि संख्याएं उनके काम हैं ( पीसा के लियोनार्डो का उपनाम फिबोनाची है))। इसके अलावा, यूरोपीय इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि नकारात्मक संख्याओं का मतलब न केवल ऋण हो सकता है, बल्कि किसी चीज की कमी भी हो सकती है, हालांकि, सभी ने इसे मान्यता नहीं दी।

तो, XVII सदी में, पास्कल ने ऐसा माना। आपको क्या लगता है कि उन्होंने इसे कैसे सही ठहराया? यह सही है, "कुछ भी नहीं से कम कुछ नहीं हो सकता"। उस समय की एक प्रतिध्वनि यह तथ्य बनी हुई है कि एक ऋणात्मक संख्या और घटाव के संचालन को एक ही प्रतीक - माइनस "-" द्वारा दर्शाया गया है। और सच: । क्या संख्या " " धनात्मक है, जिसमें से घटाया गया है, या ऋणात्मक है, जिसमें जोड़ा गया है? ... श्रृंखला से कुछ "जो पहले आता है: मुर्गी या अंडा?" यहाँ इस प्रकार का गणितीय दर्शन है।

नकारात्मक संख्याओं ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के आगमन के साथ अस्तित्व का अधिकार सुरक्षित कर लिया, दूसरे शब्दों में, जब गणितज्ञों ने वास्तविक धुरी के रूप में ऐसी चीज पेश की।

इसी क्षण से समानता आई। हालाँकि, उत्तर से अधिक प्रश्न अभी भी थे, उदाहरण के लिए:

अनुपात

इस अनुपात को अर्नो विरोधाभास कहा जाता है। जरा सोचिए, इसमें शक की क्या बात है?

चलो एक साथ बात करते हैं " " से ज्यादा " " सही है ? इस प्रकार, तर्क के अनुसार, अनुपात का बायाँ भाग दाएँ पक्ष से बड़ा होना चाहिए, लेकिन वे बराबर हैं ... यहाँ यह विरोधाभास है।

नतीजतन, गणितज्ञों ने सहमति व्यक्त की कि कार्ल गॉस (हाँ, हाँ, यह वही है जिसने 1831 में संख्याओं का योग (या) माना) ने इसे समाप्त कर दिया - उन्होंने कहा कि नकारात्मक संख्याओं के पास सकारात्मक के समान अधिकार हैं, और तथ्य यह है कि वे सभी चीजों पर लागू नहीं होते हैं, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि भिन्न कई चीजों पर भी लागू नहीं होते हैं (ऐसा नहीं होता है कि एक खुदाई करने वाला एक छेद खोदता है, आप मूवी टिकट नहीं खरीद सकते हैं, आदि)।

गणितज्ञ केवल 19वीं शताब्दी में शांत हुए, जब ऋणात्मक संख्याओं का सिद्धांत विलियम हैमिल्टन और हरमन ग्रासमैन द्वारा बनाया गया था।

वे कितने विवादास्पद हैं, ये नकारात्मक संख्याएँ हैं।

"शून्यता" का उदय, या शून्य की जीवनी।

गणित में, एक विशेष संख्या। पहली नज़र में, यह कुछ भी नहीं है: जोड़ें, घटाएं - कुछ भी नहीं बदलेगा, लेकिन आपको बस इसे "" के दाईं ओर रखना होगा, और परिणामी संख्या मूल संख्या से कई गुना अधिक होगी। शून्य से गुणा करके हम सब कुछ शून्य में बदल देते हैं, लेकिन हम "कुछ नहीं" से विभाजित नहीं कर सकते। एक शब्द में, जादुई संख्या)

शून्य का इतिहास लंबा और जटिल है। 2000 ई. में चीनियों के लेखन में शून्य का निशान मिलता है। और पहले भी माया के साथ। शून्य चिह्न का पहला प्रयोग, जैसा कि आज है, यूनानी खगोलविदों के बीच देखा गया था।

इस तरह के पदनाम "कुछ नहीं" को क्यों चुना गया, इसके कई संस्करण हैं। कुछ इतिहासकारों का मानना ​​है कि यह एक ओमाइक्रोन है, अर्थात। कुछ नहीं के लिए यूनानी शब्द का पहला अक्षर ouden है। एक अन्य संस्करण के अनुसार, "ओबोल" (लगभग कोई मूल्य का सिक्का) शब्द ने शून्य के प्रतीक को जीवन दिया।

शून्य (या शून्य) एक गणितीय प्रतीक के रूप में सबसे पहले भारतीयों के बीच प्रकट होता है (ध्यान दें कि ऋणात्मक संख्याएं वहां "विकसित" होने लगीं)। शून्य लिखने का पहला विश्वसनीय प्रमाण 876 से मिलता है, और उनमें "" संख्या का एक घटक है।

शून्य भी यूरोप में देरी से आया - केवल 1600 में, और नकारात्मक संख्याओं की तरह, इसे प्रतिरोध का सामना करना पड़ा (आप क्या कर सकते हैं, वे यूरोपीय हैं)।

अमेरिकी गणितज्ञ चार्ल्स सीफ लिखते हैं, "शून्य से अक्सर घृणा, भय, या यहां तक ​​​​कि प्रतिबंधित भी किया जाता रहा है।" तो, 19 वीं शताब्दी के अंत में तुर्की सुल्तान अब्दुल-हामिद II। अपने सेंसर को सभी रसायन शास्त्र की पाठ्यपुस्तकों से H2O पानी के फार्मूले को हटाने का आदेश दिया, "O" अक्षर को शून्य के लिए ले लिया और यह नहीं चाहता था कि उसके आद्याक्षर को नीच शून्य से निकटता से बदनाम किया जाए।

इंटरनेट पर आप वाक्यांश पा सकते हैं: "शून्य ब्रह्मांड में सबसे शक्तिशाली शक्ति है, यह कुछ भी कर सकता है! शून्य गणित में व्यवस्था बनाता है और उसमें अराजकता भी लाता है। बिल्कुल सही बिंदु :)

अनुभाग का सारांश और मूल सूत्र

पूर्णांकों के समुच्चय में 3 भाग होते हैं:

• प्राकृतिक संख्याएँ (हम उन पर नीचे और अधिक विस्तार से विचार करेंगे);
• प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ;
• शून्य - " "

पूर्णांकों के समुच्चय को निरूपित किया जाता है पत्र जेड।

1. प्राकृतिक संख्या

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनने के लिए करते हैं।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को निरूपित किया जाता है पत्र एन.

पूर्णांकों के साथ संचालन में, आपको GCD और LCM खोजने की क्षमता की आवश्यकता होगी।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)

आपको जिस एनओडी की आवश्यकता है उसे खोजने के लिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (उन संख्याओं में जिन्हें स्वयं के अलावा किसी अन्य चीज़ से विभाजित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, आदि)।
2. उन कारकों को लिखिए जो दोनों संख्याओं के भाग हैं।
3. उन्हें गुणा करें।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

एनओसी खोजने के लिए आपको चाहिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें (आप पहले से ही जानते हैं कि यह कैसे करना है)।
2. किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखिए (सबसे लंबी श्रृंखला लेना बेहतर है)।
3. उनमें शेष संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें।
4. परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

2. ऋणात्मक संख्या

ये वे संख्याएँ हैं जो प्राकृत संख्याओं के विपरीत हैं, अर्थात्:

अब मैं आपसे सुनना चाहता हूं ...

मुझे आशा है कि आपने इस खंड की अति-उपयोगी "ट्रिक्स" की सराहना की और समझ गए कि वे परीक्षा में आपकी कैसे मदद करेंगे।

और इससे भी महत्वपूर्ण बात, जीवन में। मैं इसके बारे में बात नहीं कर रहा हूं, लेकिन मेरा विश्वास करो, यह है। जल्दी और बिना त्रुटियों के गिनने की क्षमता कई जीवन स्थितियों में बचाती है।

अब आपकी बारी है!

लिखिए, क्या आप गणना में समूहन विधियों, विभाज्यता मानदंड, GCD और LCM का उपयोग करेंगे?

हो सकता है कि आपने उन्हें पहले इस्तेमाल किया हो? कहां और कैसे?

शायद आपके पास प्रश्न हैं। या सुझाव।

टिप्पणियों में लिखें कि आपको लेख कैसा लगा।

और आपकी परीक्षा के लिए शुभकामनाएँ!

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने अधिकांश साथियों से पहले से ही बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किस लिए?

परीक्षा में सफल उत्तीर्ण होने के लिए, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...

जिन लोगों ने अच्छी शिक्षा प्राप्त की है, वे उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया है। यह सांख्यिकी है।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत अधिक अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? पता नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिए...

परीक्षा में दूसरों की तुलना में बेहतर होने और अंततः ... अधिक खुश होने के लिए यह सुनिश्चित करने के लिए क्या आवश्यक है?

इस विषय पर समस्याओं का समाधान करते हुए अपना हाथ भरें।

परीक्षा में आपसे थ्योरी नहीं पूछी जाएगी।

आपको चाहिये होगा समस्याओं का समाधान समय पर करें.

और, यदि आपने उन्हें हल नहीं किया है (बहुत!), तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या बस इसे समय पर नहीं करेंगे।

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निष्कर्ष के तौर पर...

यदि आप हमारे कार्यों को पसंद नहीं करते हैं, तो दूसरों को खोजें। बस सिद्धांत के साथ मत रुको।

"समझ गया" और "मुझे पता है कि कैसे हल करना है" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

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