सीधा गोलाकार शंकु। एक ज्यामितीय आकृति के रूप में शंकु

एक निश्चित तल में स्थित किसी भी रेखा l (वक्र या टूटी हुई रेखा) पर विचार करें (चित्र 386, a, b), और एक मनमाना बिंदु M जो इस तल में नहीं है। बिंदु M को रेखा के सभी बिंदुओं से जोड़ने वाली सभी संभव सीधी रेखाएं एक सतह बनाती हैं a; ऐसी सतह को शंक्वाकार सतह कहा जाता है, एक बिंदु एक शीर्ष होता है, एक रेखा को एक गाइड कहा जाता है, सीधी रेखाओं को जनरेटर कहा जाता है। अंजीर पर। 386 हम सतह को इसके शीर्ष तक सीमित नहीं करते हैं, लेकिन कल्पना करते हैं कि यह शीर्ष के दोनों ओर अनिश्चित काल तक फैली हुई है।

यदि शंक्वाकार सतह को गाइड के तल के समानांतर किसी भी तल से काटा जाता है, तो अनुभाग में हमें एक रेखा (घुमावदार या टूटी हुई, इस पर निर्भर करती है कि वह वक्र या टूटी हुई रेखा थी), रेखा l के समरूपी, के साथ मिलती है। शंक्वाकार सतह के शीर्ष पर समरूपता केंद्र। वास्तव में, किसी भी संगत रेखाखंडों का अनुपात स्थिर रहेगा:

तो, गाइड के तल के समानांतर विमानों द्वारा एक शंक्वाकार सतह के खंड समान और समान रूप से स्थित होते हैं, शंक्वाकार सतह के शीर्ष पर समानता के केंद्र के साथ; यह किसी भी समानांतर विमानों के लिए सच है जो सतह के शीर्ष से नहीं गुजरते हैं।

अब गाइड को एक बंद उत्तल रेखा होने दें (चित्र 387 में वक्र, ए, अंजीर में टूटी हुई रेखा। 387, बी)। इसके शीर्ष और गाइड के तल के बीच ली गई एक शंक्वाकार सतह और गाइड के तल में एक सपाट आधार द्वारा पार्श्व रूप से बंधे हुए शरीर को एक शंकु (यदि यह एक घुमावदार रेखा है) या एक पिरामिड (यदि यह एक है) कहा जाता है। टूटी पंक्ति)।

पिरामिडों को उनके आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाओं की संख्या के अनुसार वर्गीकृत किया जाता है। वे त्रिकोणीय, चतुर्भुज और आम तौर पर-कोणीय पिरामिड के बारे में बात करते हैं। ध्यान दें कि -कोयला पिरामिड का एक फलक होता है: पार्श्व फलक और एक आधार। पिरामिड के शीर्ष पर, हमारे पास फ्लैट और डायहेड्रल कोणों के साथ एक-हेड्रल कोण है।

उन्हें क्रमशः पार्श्व पसलियों पर समतल शीर्ष कोण और डायहेड्रल कोण कहा जाता है। आधार के शीर्ष पर हमारे पास त्रिभुज कोण हैं; आधार की भुजाओं, किनारों और भुजाओं से बने उनके समतल कोणों को आधार पर समतल कोण कहा जाता है, पार्श्व फलकों और आधार के तल के बीच के द्विफलक कोणों को आधार पर द्विफलकीय कोण कहा जाता है।

एक त्रिभुजाकार पिरामिड को अन्यथा चतुष्फलक (अर्थात चतुष्फलक) कहा जाता है। इसके किसी भी फलक को आधार बनाया जा सकता है।

एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि दो शर्तें पूरी होती हैं: 1) एक नियमित बहुभुज पिरामिड के आधार पर स्थित होता है,

2) पिरामिड के शीर्ष से आधार तक की ऊंचाई इसे इस बहुभुज के केंद्र में काटती है (दूसरे शब्दों में, पिरामिड के शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है)।

ध्यान दें कि एक नियमित पिरामिड, सामान्यतया, एक नियमित पॉलीहेड्रॉन नहीं है!

हम एक नियमित-कोयला पिरामिड के कुछ गुणों पर ध्यान देते हैं। आइए हम ऐसे पिरामिड के शीर्ष से होकर SO ऊँचाई खींचते हैं (चित्र 388)।

आइए इस ऊंचाई के चारों ओर पूरे पिरामिड को एक कोण से घुमाएं। इस तरह के रोटेशन के साथ, आधार बहुभुज अपने आप में बदल जाएगा: इसका प्रत्येक कोने पड़ोसी की स्थिति ले लेगा। पिरामिड का शीर्ष और उसकी ऊँचाई (घूर्णन की धुरी!) यथावत रहेगी, और इसलिए पिरामिड को समग्र रूप से स्वयं के साथ जोड़ दिया जाएगा: प्रत्येक किनारे का किनारा अगले एक पर जाएगा, प्रत्येक पक्ष के चेहरे को जोड़ा जाएगा अगले एक, किनारे के किनारे पर प्रत्येक डायहेड्रल कोण को भी पड़ोसी के साथ जोड़ा जाएगा।

इसलिए निष्कर्ष: सभी पक्ष किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, सभी पक्ष फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं, आधार पर सभी डायहेड्रल कोण समान हैं, शीर्ष पर सभी समतल कोण समान हैं, आधार पर सभी समतल कोण समान हैं।

प्रारंभिक ज्यामिति के क्रम में शंकुओं की संख्या से, हम एक लम्ब वृत्तीय शंकु का अध्ययन करते हैं, अर्थात् एक शंकु जिसका आधार एक वृत्त है, और जिसका शीर्ष इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित है।

एक सीधा गोलाकार शंकु अंजीर में दिखाया गया है। 389. यदि हम एक शंकु के शीर्ष के माध्यम से ऊँचाई SO खींचते हैं और शंकु को इस ऊँचाई के चारों ओर एक मनमाना कोण से घुमाते हैं, तो आधार की परिधि अपने आप खिसक जाएगी; ऊंचाई और शीर्ष यथावत रहेगा, इसलिए जब किसी भी कोण पर घुमाया जाता है, तो शंकु स्वयं के साथ संरेखित हो जाएगा। इससे यह देखा जा सकता है, विशेष रूप से, शंकु के सभी जनरेटर एक दूसरे के बराबर हैं और समान रूप से आधार के तल पर झुके हुए हैं। इसकी ऊंचाई से गुजरने वाले विमानों द्वारा शंकु के खंड एक दूसरे के बराबर समद्विबाहु त्रिभुज होंगे। संपूर्ण शंकु अपने पैर के चारों ओर समकोण त्रिभुज SOA को घुमाकर प्राप्त किया जाता है (जो शंकु की ऊंचाई बन जाता है)। इसलिए, एक लम्ब वृत्तीय शंकु परिक्रमण का पिंड है और इसे परिक्रमण का शंकु भी कहा जाता है। जब तक अन्यथा न कहा जाए, संक्षिप्तता के लिए हम इसके बाद केवल "शंकु" कहेंगे, जिसका अर्थ है क्रांति का शंकु।

इसके आधार के तल के समांतर तलों द्वारा शंकु के खंड वृत्त हैं (यदि केवल इसलिए कि वे आधार के वृत्त के समरूप हैं)।

काम। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण हैं a. पार्श्व किनारों पर डायहेड्रल कोण खोजें।

फेसला। आइए हम अस्थायी रूप से पिरामिड के आधार के किनारे को एक के रूप में नामित करें। आइए एक समतल द्वारा पिरामिड का एक खंड बनाएं जिसकी ऊंचाई SO और आधार AM की माध्यिका हो (चित्र 390)।

एक समतल द्वारा शंक्वाकार सतह के खंड में, दूसरे क्रम के वक्र प्राप्त होते हैं - एक वृत्त, एक दीर्घवृत्त, एक परवलय और एक अतिपरवलय। अक्सर मामले में, छेदक विमान के एक निश्चित स्थान पर और जब यह शंकु (S∈γ) के शीर्ष से होकर गुजरता है, तो वृत्त और दीर्घवृत्त एक बिंदु या शंकु के एक या दो जनरेटर खंड में गिर जाते हैं।

देता है - एक वृत्त जब छेदक विमान अपनी धुरी के लंबवत होता है और सभी उत्पन्न करने वाली सतहों को काटता है।

देता है - एक दीर्घवृत्त, जब काटने वाला विमान अपनी धुरी के लंबवत नहीं होता है और सभी उत्पन्न करने वाली सतहों को काटता है।

आइए एक अण्डाकार का निर्माण करें ω विमान α , जो एक सामान्य स्थान रखता है।

समस्या का समाधान एक लम्ब वृत्तीय शंकु का भागयदि काटने वाला विमान प्रक्षेपित स्थिति में हो तो विमान बहुत सरल हो जाता है।

प्रक्षेपण विमानों को बदलने की विधि का उपयोग करके, हम विमान का अनुवाद करते हैं α एक सामान्य स्थिति से किसी विशेष स्थिति तक - सामने की ओर प्रक्षेपित करना। ललाट प्रक्षेपण विमान पर वी 1विमान का एक निशान बनाएँ α और शंकु की सतह का प्रक्षेपण ω एक विमान एक दीर्घवृत्त देता है, क्योंकि काटने वाला विमान शंकु के सभी जनरेटर को काटता है। दीर्घवृत्त को दूसरे क्रम के वक्र के रूप में प्रक्षेपण विमानों पर प्रक्षेपित किया जाता है।
विमान की पगडंडी पर αVएक मनमाना बिंदु लें 3" प्रक्षेपण विमान से इसकी दूरी को मापें एचऔर इसे पहले से ही विमान पर संचार लाइन के साथ स्थगित कर दें वी 1, एक बिंदु प्राप्त करना 3" 1 . एक निशान इसके माध्यम से गुजरेगा αV 1. शंकु की धारा रेखा ω - अंक ए" 1, ई" 1यहाँ विमान के निशान के साथ मेल खाता है। इसके बाद, हम अनुमानों के ललाट तल पर ड्राइंग करके एक सहायक छेदक विमान γ3 का निर्माण करते हैं वी 1उसके पदचिह्न γ 3वी 1. एक शंक्वाकार सतह के साथ प्रतिच्छेद करने वाला सहायक तल ω एक वृत्त देगा, और एक विमान के साथ प्रतिच्छेद करेगा α एक क्षैतिज रेखा h3 देगा। बदले में, वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करने वाली रेखा वांछित अंक देती है सी'और के'समतल चौराहा α शंक्वाकार सतह के साथ ω . वांछित बिंदुओं के ललाट अनुमान सी" और के"काटने वाले विमान से संबंधित बिंदुओं के रूप में निर्माण करें α .

एक बिंदु खोजने के लिए ई (ई`, ई")खंड रेखाएँ, हम शंकु के शीर्ष के माध्यम से एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान खींचते हैं 2 एच, जो विमान को काटता है α एक सीधी रेखा में 1-2(1`-2`, 1"-2") . चौराहा 1"-2" संचार की एक पंक्ति के साथ एक बिंदु देता है इ"- खंड रेखा का उच्चतम बिंदु।

खंड रेखा के ललाट प्रक्षेपण की दृश्यता की सीमाओं को इंगित करने वाले बिंदु को खोजने के लिए, हम शंकु के शीर्ष के माध्यम से एक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमान खींचते हैं 5 एचऔर क्षैतिज प्रक्षेपण खोजें एफ'वांछित बिंदु। इसके अलावा, विमान 5 एचविमान को पार करेंगे α ललाट एफ (एफ`, एफ"). चौराहा एफ"संचार की एक पंक्ति के साथ एक बिंदु देता है एफ". हम क्षैतिज प्रक्षेपण पर प्राप्त चिकनी वक्र के बिंदुओं को जोड़ते हैं, उस पर सबसे बाएं बिंदु जी को चिह्नित करते हैं - चौराहे की रेखा के विशिष्ट बिंदुओं में से एक।
फिर, हम अनुमानों V1 और V के ललाट विमानों पर अनुमानों का निर्माण करते हैं। हम अनुमानों के ललाट तल पर खंड रेखा के सभी निर्मित बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़ते हैं।

देता है - एक परवलय जब शंकु विमान शंकु के एक जनक के समानांतर होता है।

वक्रों - शंकु वर्गों के अनुमानों का निर्माण करते समय, प्रमेय को याद रखना आवश्यक है: अपनी धुरी के लंबवत एक विमान पर क्रांति के शंकु के एक समतल खंड का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण एक दूसरे क्रम का वक्र है और इसका एक फोकस एक ऑर्थोगोनल है शंकु शीर्ष के इस तल पर प्रक्षेपण।

काटने वाले विमान के दौरान अनुभाग अनुमानों के निर्माण पर विचार करें α शंकु के एक जनक के समानांतर (एसडी).

क्रॉस सेक्शन बिंदु पर शीर्ष के साथ एक परवलय है ए (ए`, ए"). प्रमेय के अनुसार, शंकु का शीर्ष एसफोकस में प्रक्षेपित एस`. प्रसिद्ध के अनुसार =आर एस`परवलय की नियता की स्थिति ज्ञात कीजिए। इसके बाद, वक्र के बिंदुओं का निर्माण समीकरण के अनुसार किया जाता है पी = आर.

काटने वाले विमान के दौरान अनुभाग अनुमानों का निर्माण α शंकु के एक जेनरेट्रिक्स के समानांतर, प्रदर्शन किया जा सकता है:

शंकु के शीर्ष से गुजरने वाले सहायक क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित विमानों की सहायता से γ 1 एचऔर 2 एच.

सबसे पहले, बिंदुओं के ललाट अनुमान निर्धारित किए जाते हैं एफ", जी"- जनरेटर के चौराहे पर एस "1", एस "2"और काटने वाले विमान का निशान αV. संचार की रेखाओं के चौराहे पर γ 1 एचऔर 2 एचनिर्धारित एफ ', जी'.

खंड रेखा के अन्य बिंदुओं को इसी तरह परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए डे"और डे'.

सहायक फ्रंट-प्रोजेक्टिंग विमानों की मदद से शंकु अक्ष के 3 वीऔर 4 वी.

विमान पर सहायक विमानों और शंकु के खंड का अनुमान एच, वृत्त होंगे। कटिंग प्लेन के साथ सहायक विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखाएँ α सामने की ओर सीधी रेखाएँ प्रक्षेपित होंगी।

देता है - एक अतिपरवलय जब शंकु के दो जनित्रों के लिए छेदक विमान समानांतर होता है।

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पाठ मकसद:

• शिक्षात्मक: एक शंकु, उसके तत्वों की अवधारणा का परिचय दें; एक सही शंकु के निर्माण पर विचार करें; शंकु की पूरी सतह खोजने पर विचार करें; शंकु के तत्वों को खोजने के लिए समस्याओं को हल करने की क्षमता बनाने के लिए।
• शिक्षात्मक: सक्षम गणितीय भाषण, तार्किक सोच विकसित करना।
• शिक्षात्मक: संज्ञानात्मक गतिविधि, संचार की संस्कृति, संवाद की संस्कृति की खेती करना।

पाठ प्रपत्र:नए ज्ञान और कौशल के निर्माण में एक सबक।

शैक्षिक गतिविधि का रूप:काम का सामूहिक रूप।

पाठ में उपयोग की जाने वाली विधियाँ:व्याख्यात्मक और निदर्शी, उत्पादक।

उपदेशात्मक सामग्री:नोटबुक, पाठ्यपुस्तक, पेन, पेंसिल, रूलर, ब्लैकबोर्ड, चॉक और क्रेयॉन, प्रोजेक्टर और प्रस्तुति “शंकु। बुनियादी अवधारणाओं। एक शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल।

शिक्षण योजना:

1. संगठनात्मक क्षण (1 मिनट)।
2. प्रारंभिक चरण (प्रेरणा) (5 मिनट)।
3. नई सामग्री सीखना (15 मिनट)।
4. शंकु के तत्वों को खोजने के लिए समस्याओं को हल करना (15 मिनट)।
5. पाठ को सारांशित करना (2 मिनट)।
6. होमवर्क (2 मिनट)।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

उद्देश्य: नई सामग्री को आत्मसात करने की तैयारी करना।

2. प्रारंभिक चरण

प्रपत्र: मौखिक कार्य।

उद्देश्य: क्रांति के एक नए निकाय का परिचय।

ग्रीक में कोन "कोनोस" का अर्थ है "पाइन कोन"।

शंकु के रूप में शरीर होते हैं। उन्हें विभिन्न वस्तुओं में देखा जा सकता है, साधारण आइसक्रीम से लेकर उपकरणों तक, साथ ही बच्चों के खिलौने (पिरामिड, पटाखा, आदि), प्रकृति में (स्प्रूस, पहाड़, ज्वालामुखी, बवंडर)।

(स्लाइड्स 1-7 का उपयोग किया गया है)

शिक्षक गतिविधि	छात्र गतिविधियां
3. नई सामग्री की व्याख्या उद्देश्य: एक शंकु की नई अवधारणाओं और गुणों का परिचय देना।
1. एक शंकु को उसके एक पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है। (स्लाइड 8) अब विचार करें कि शंकु कैसे बनाया जाता है। सबसे पहले, हम केंद्र O के साथ एक वृत्त खींचते हैं और इस वृत्त के तल पर एक सीधी रेखा OP लंबवत खींचते हैं। हम वृत्त के प्रत्येक बिंदु को बिंदु P के साथ एक खंड से जोड़ते हैं (शिक्षक चरणों में एक शंकु बनाता है)। इन खंडों द्वारा गठित सतह को कहा जाता है शंक्वाकार सतह, और खंड स्वयं एक शंक्वाकार सतह बनाना.	नोटबुक में एक शंकु बनाया गया है।
(परिभाषा निर्धारित करता है) (स्लाइड 9) एक शंक्वाकार सतह से घिरा एक पिंड और सीमा L के साथ एक वृत्त कहलाता है शंकु.	परिभाषा लिखिए।
शंक्वाकार सतह को कहा जाता है शंकु की पार्श्व सतह, और सर्कल शंकु आधार. आधार के केंद्र और शीर्ष से गुजरने वाली रेखा OP कहलाती है शंकु अक्ष. शंकु की धुरी आधार के तल के लंबवत है। खंड ओपी को कहा जाता है शंकु की ऊंचाई. बिंदु P कहलाता है शंकु के शीर्ष, और शंक्वाकार सतह के जनरेटर हैं एक शंकु बनाना.	ड्राइंग पर शंकु के तत्वों पर हस्ताक्षर किए गए हैं।
शंकु के दो जनक कौन से हैं और उनकी तुलना करें?	पीए और पीबी, वे बराबर हैं।
जनरेटर बराबर क्यों हैं?	झुके हुए लोगों के अनुमान एक वृत्त की त्रिज्या के बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि जनरेटर स्वयं समान हैं।
अपनी नोटबुक में लिखें: शंकु के गुण:	(स्लाइड 10)
1. एक शंकु के सभी जनक समान होते हैं। आधार पर जनित्रों के झुकाव के कोण क्या हैं? उनकी तुलना करो। क्यों, साबित करो?	कोण: पीसीओ, पीडीओ। वे बराबर हैं। चूँकि त्रिभुज PAB समद्विबाहु है।
2. जनरेटर के आधार के झुकाव के कोण बराबर हैं। अक्ष और जनरेटर के बीच के कोण क्या हैं? इन कोनों के बारे में क्या कहा जा सकता है?	एसआरओ और डीपीओ वे बराबर हैं।
3. अक्ष और जनरेटर के बीच के कोण बराबर हैं। अक्ष और आधार के बीच के कोण क्या हैं? ये कोण क्या हैं?	पीओसी और पीओडी। 90 के बारे में
4. अक्ष और आधार के बीच के कोण सीधे हैं। हम केवल एक सीधे शंकु पर विचार करेंगे।
2. विभिन्न तलों द्वारा एक शंकु के एक भाग पर विचार करें। शंकु की धुरी से गुजरने वाला छेदक तल क्या है?	त्रिभुज।
यह त्रिकोण क्या है?	वह समद्विबाहु है।
क्यों?	इसके दो पक्ष जनरेटर हैं, और वे बराबर हैं।
इस त्रिभुज का आधार क्या है?	शंकु आधार व्यास।
ऐसे खंड को अक्षीय कहा जाता है। (स्लाइड 11) नोटबुक में आरेखित करें और इस अनुभाग पर हस्ताक्षर करें। शंकु के ओपी अक्ष के लंबवत काटने वाला विमान क्या है?	एक क्षेत्र में।
इस वृत्त का केंद्र कहाँ है?	शंकु की धुरी पर।
इस खंड को एक वृत्ताकार खंड कहा जाता है।(Sdile 12) नोटबुक में ड्रा करें और इस खंड पर हस्ताक्षर करें। अन्य प्रकार के शंकु खंड हैं जो अक्षीय नहीं हैं और शंकु के आधार के समानांतर नहीं हैं। आइए उन्हें उदाहरणों के साथ देखें। (स्लाइड 13)	वे नोटबुक में आकर्षित करते हैं।
3. अब हम शंकु के कुल पृष्ठ का सूत्र प्राप्त करते हैं। (स्लाइड 14) ऐसा करने के लिए, शंकु की पार्श्व सतह, साथ ही सिलेंडर की पार्श्व सतह को एक जनरेटर के साथ काटकर एक विमान में बदल दिया जा सकता है।
शंकु की पार्श्व सतह का विकास क्या है? (बोर्ड पर खींचता है)	परिपत्र क्षेत्र।
इस सेक्टर की त्रिज्या क्या है?	एक शंकु का जनक।
त्रिज्यखंड की चाप लंबाई के बारे में क्या?	परिधि।
इसके विकास के क्षेत्र को शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के रूप में लिया जाता है। (स्लाइड 15)	, चाप की डिग्री माप कहाँ है।
वृत्ताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल कितना है?
तो शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल क्या है? और के माध्यम से व्यक्त करें। (स्लाइड 16) चाप की लंबाई क्या है?
दूसरी ओर, यही चाप शंकु के आधार की परिधि है। यह किसके बराबर है?
शंकु की पार्श्व सतह के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं। एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल पार्श्व सतह और आधार के क्षेत्रफलों का योग होता है। . इन सूत्रों को लिखिए।	लिखो: .

शंकु (ग्रीक "कोनोस" से)- पाइन शंकु। शंकु प्राचीन काल से लोगों से परिचित है। 1906 में आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व) द्वारा लिखित पुस्तक "ऑन द मेथड" की खोज की गई थी, इस पुस्तक में प्रतिच्छेदित सिलेंडरों के सामान्य भाग के आयतन की समस्या का समाधान दिया गया है। आर्किमिडीज का कहना है कि यह खोज प्राचीन यूनानी दार्शनिक डेमोक्रिटस (470-380 ईसा पूर्व) की है, जिन्होंने इस सिद्धांत का उपयोग करके पिरामिड और शंकु के आयतन की गणना के लिए सूत्र प्राप्त किए।

शंकु (गोलाकार शंकु) - एक पिंड जिसमें एक वृत्त होता है - शंकु का आधार, एक बिंदु जो इस वृत्त के तल से संबंधित नहीं है - शंकु का शीर्ष और शंकु के शीर्ष और आधार को जोड़ने वाले सभी खंड सर्कल अंक। शंकु के शीर्ष को आधार के वृत्त के बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड शंकु के जनक कहलाते हैं। शंकु की सतह में एक आधार और एक पार्श्व सतह होती है।

एक शंकु को सीधा कहा जाता है यदि शंकु के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाली रेखा आधार के तल के लंबवत हो। एक लम्ब वृत्तीय शंकु को एक अक्ष के रूप में अपने पैर के चारों ओर एक समकोण त्रिभुज को घुमाकर प्राप्त पिंड के रूप में माना जा सकता है।

एक शंकु की ऊंचाई उसके शीर्ष से उसके आधार के तल तक खींचा गया लंबवत है। एक सही शंकु के लिए, ऊंचाई का आधार आधार के केंद्र के साथ मेल खाता है। एक दाहिने शंकु की धुरी एक सीधी रेखा है जिसमें इसकी ऊंचाई होती है।

एक समतल द्वारा शंकु का वह भाग जो शंकु के जेनरेट्रिक्स से होकर गुजरता है और इस जेनरेट्रिक्स से खींचे गए अक्षीय खंड के लंबवत होता है, शंकु का स्पर्शरेखा तल कहलाता है।

शंकु की धुरी के लंबवत एक विमान एक सर्कल में शंकु को काटता है, और पार्श्व सतह - शंकु की धुरी पर केंद्रित एक सर्कल में।

शंकु की धुरी के लंबवत एक विमान एक छोटे शंकु को काटता है। शेष को काटे गए शंकु कहते हैं।

एक शंकु का आयतन ऊँचाई के गुणनफल और आधार के क्षेत्रफल के एक तिहाई के बराबर होता है। इस प्रकार, किसी दिए गए आधार पर आराम करने वाले सभी शंकु और आधार के समानांतर किसी दिए गए विमान पर स्थित एक शीर्ष समान मात्रा में होता है, क्योंकि उनकी ऊंचाई बराबर होती है।

एक शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

एस साइड \u003d Rl,

शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

एस कोन \u003d Rl + R 2,

जहाँ R आधार की त्रिज्या है, l जेनरेटर की लंबाई है।

एक वृत्ताकार शंकु का आयतन है

वी = 1/3 πआर 2 एच,

जहाँ R आधार की त्रिज्या है, H शंकु की ऊँचाई है

एक काटे गए शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

एस पक्ष = (आर + आर) एल,

एक काटे गए शंकु का कुल सतह क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

एस कोन \u003d πR 2 + πr 2 + (R + r)l,

जहाँ R निचले आधार की त्रिज्या है, r ऊपरी आधार की त्रिज्या है, l जेनरेटर की लंबाई है।

एक काटे गए शंकु का आयतन निम्नानुसार पाया जा सकता है:

वी = 1/3 πH (आर 2 + आरआर + आर 2),

जहाँ R निचले आधार की त्रिज्या है, r ऊपरी आधार की त्रिज्या है, H शंकु की ऊँचाई है।

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ग्रेड: 11 पाठ #14 दिनांक: ____________

पाठ विषय: दायां गोलाकार शंकु, इसके तत्व। शंकु के अक्षीय खंड। आधार के समानांतर एक समतल द्वारा शंकु के खंड। शंकु विकास»

पाठ का उद्देश्य:

एक शंक्वाकार सतह, शंकु, शंकु तत्वों (पक्ष की सतह, आधार, शीर्ष, जेनरेट्रिक्स, अक्ष, ऊंचाई) की अवधारणाओं का परिचय दें, एक काटे गए शंकु की अवधारणा;

एक शंकु और एक काटे गए शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतहों के क्षेत्रों की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें;

छात्रों को इस विषय पर समस्याओं को हल करना सिखाएं।

शैक्षिक सामग्री के बारे में छात्रों की रचनात्मक धारणा और खुद को बेहतर बनाने की उनकी इच्छा को बढ़ावा देना।

संगठन, अनुशासन, अपने काम के लिए जिम्मेदारी और सहपाठियों के काम की खेती करना।

पाठ प्रकार: नई सामग्री सीखना।

सबक उपकरण: इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड, टेबल, शंकु के मॉडल, मॉडल बनाने के लिए सामग्री: बुनाई सुई, विमान मॉडल (स्टायरोफोम), कागज, गोंद, कैंची, परकार, चांदा, शासक।

छात्र गतिविधियों के संगठन का रूप : जी समूह।

कक्षाओं के दौरान

1. सामने का काम

प्रस्तावित ज्यामितीय आकृतियों में से एक शंकु चुनें

शंकु सतह का परिचय

परिभाषा #1 एक शंक्वाकार सतह एक सीधी रेखा की गति से बनने वाली सतह होती है जो किसी दिए गए बिंदु से गुजरती है और एक दी गई समतल रेखा को काटती है।

सीधी रेखा ए - जेनरेट्रिक्स;

फ्लैट लाइन एमएन - गाइड।

बंद शंक्वाकार सतह

अगर गाइड बंद है, तोशंक्वाकार सतह बंद है।

परिभाषा #2 शंकु एक बंद शंक्वाकार सतह और इसे प्रतिच्छेद करने वाले तल से घिरा पिंड कहलाता है।

शंकु और उसके तत्वों को जानना

लेकिन) शंकु

इसलिए ए (एसओ =एच, एसओ = एच)

एसओ - शंकु ऊंचाई

एसए - जेनरेट्रिक्स

एस - शंकु शीर्ष

ए.बी.ए. वक्र -मार्गदर्शन देना .

बी) आयताकार आयत SOA को पैर SO के चारों ओर घूमने दें; एक पूर्ण मोड़ के साथ, कर्ण AS एक शंक्वाकार सतह का वर्णन करता है, पैर OA एक वृत्त का वर्णन करता है।

ऐसे शरीर को कहा जाता हैक्रांति का शंकु . (दायां गोलाकार शंकु)।

सीधा गोलाकार शंकु

एस - शंकु शीर्ष

एसए - जेनरेट्रिक्स

SO=h - शंकु की ऊँचाई

(शंकु अक्ष - ए)

शंकु का आधार एक वृत्त है (O; r)

ओ - आधार का केंद्र,

AO=OB=r - वृत्त के आधार की त्रिज्या

डी सब-AXIAL खंड

ए||बी एसओ, ए इसलिए

सर्कल (ओ; आर) ~ सर्कल (ओ 1; आर 1)

एक पार्श्व (पूर्ण) सतह की अवधारणा।

द्वितीय. समूह कार्य (3-5 लोग)

(कार्य कार्ड पर प्रत्येक समूह को वितरित किए जाते हैं)

"शंकु" विषय पर असाइनमेंट

1) एक शंकु बनाएं। ड्राइंग से शंकु के सभी तत्वों का निर्धारण करें।

2) शंकु के दिए गए मॉडल के आधार पर इस शंकु के विकास का निर्माण करें। शंकु के स्वीप के तत्वों, ड्राइंग और शंकु के मॉडल के बीच पत्राचार का निर्धारण करें।

3) मोटे कागज़ की एक शीट से एक शंकु बनाएं ताकि इसकी पूरी सतह: S110 सेमी2 आधार त्रिज्या r . के साथ3.1 सेमी

निर्धारित करें कि इसके लिए आपको किन उपकरणों की आवश्यकता होगी, क्या गणना करने की आवश्यकता है, कौन से सूत्र याद रखने होंगे और कौन से नए प्राप्त करने हैं?

4) योजना के अनुसार कार्य स्थल पर व्यवस्थित करें:

ए) कार्यों को पूरा करने की प्रक्रिया में समूह में आपकी क्या जिम्मेदारियां थीं:

विचार का जनरेटर;

निर्माता;

कैलकुलेटर;

डिजाइनर;

निर्माता।

बी) समस्या को हल करने के तरीकों और तरीकों का वर्णन करें।

शंकु मॉडल के निर्माण के लिए आवश्यक गणना। (ड्राइंग। सूत्र। निष्कर्ष)

शंकु बनाना।

5) कोन मॉडल तैयार है।

6) शंकु के आधार के समानांतर एक खंड के क्षेत्र की गणना करने और शंकु की ऊंचाई को 1: 3 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, ऊपर से गिनती के लिए एक सूत्र बनाएं

7) शंकु की धुरी से गुजरने वाले खंड के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक सूत्र बनाएं। इस खंड के शीर्ष पर कोण क्या है?

8) आप अपने मॉडल से एक छोटा शंकु कैसे प्राप्त कर सकते हैं? कार्यों (6) का उपयोग करके इसकी कुल सतह की गणना करें।

9) इस विषय पर तीन और समस्याएँ लिखें और हल करें।

टिप्पणी: शिक्षक समस्याओं को हल करने, त्वरित प्रश्नों का उपयोग करने और खोजशब्दों पर भरोसा करने में सलाहकार के रूप में कार्य करता है।

एक समूह को आसान काम दिए गए:

№1. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

एक सीधी रेखा जो चलते समय एक शंक्वाकार सतह बनाती है, कहलाती है ...;

जेनरेट्रिक्स को पार करने वाली रेखा को कहा जाता है ... ..;

क्रांति का शंकु एक विशेष मामला है ... जब शंकु का आधार है .. और ऊंचाई का आधार है ..;

आधार के समानांतर एक समतल द्वारा परिक्रमण के शंकु का खंड है .... अनुभागीय क्षेत्र का पता लगाएं।

यदि शंकु का अक्षीय खंड एक समबाहु त्रिभुज है, तो शंकु ... .. एक चित्र बनाएं:

№2. रिक्त स्थानों को भरकर समस्या का समाधान करें।

शंकु की पार्श्व सतह के विकास में, केंद्रीय कोण 200 . है हे. जेनरेटर और शंकु के आधार के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

दिया गया:एसबी = 200 हे, एसए = एल, ओबी = आर

ढूँढ़ने के लिएसाओ

फेसला:

1) ए =360 हे…..| कॉसक्स =…

2) 200 हे=…

3) क्योंकिएक्स=… , एक्स -

ए) ... जेनरेटरिक्स;

बी) ... गाइड;

सी) ... शंकु, .... सर्कल…, बेस सेंटर

डी) ... सर्कल, ... शंकु के शीर्ष से अनुभागीय दूरी;

डी) ... को समबाहु कहा जाता है

लेकिन)

बी) 200 हे= 360 हे*कॉसक्स;

ग्रिह कार्य।

काटे गए शंकु का अध्ययन करें, समस्याओं का समाधान करें।

पाठ का सारांश।

काम के परिणामस्वरूप, छात्र

उन्होंने स्वयं शंकु के पार्श्व और पूर्ण सतहों की गणना के लिए सूत्र निकाले

स्वीप ड्रा करें

आवश्यक गणना की

समूहों

एल (सेमी)

9,2

3,1

21,1754

89,5528

110,7282

7,8

28,26

73,476

101,74

9,4

28,26

88,548

116,808

10,4

4,9

75,3914

160,0144

235,4058

संचालित शोध कार्य

कार्यों को हल किया

हमने लगातार एक-दूसरे से संवाद किया, अपने साथी कार्यकर्ताओं के बारे में सोचना और उन्हें प्रेरित करना सीखा।

हमें न केवल आवश्यक ज्ञान प्राप्त हुआ, बल्कि बहुत खुशी भी हुई।

हमें पता चला कि "कोन" शब्द ग्रीक शब्द "xwnos" से आया है, जिसका अर्थ हैशंकु