कार्य 1।पता लगाएँ कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वैक्टर की प्रणाली को सिस्टम के मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया जाएगा, जिसके कॉलम में वैक्टर के निर्देशांक होते हैं।

.

फेसला।माना रैखिक संयोजन शून्य के बराबर। इस समानता को निर्देशांक में लिखने के बाद, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

.

समीकरणों की ऐसी प्रणाली को त्रिकोणीय कहा जाता है। उसके पास एक ही उपाय है। . इसलिए वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

कार्य 2.पता लगाएँ कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

.

फेसला।वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (देखें समस्या 1)। आइए हम सिद्ध करें कि सदिश, सदिशों का एक रैखिक संयोजन है . वेक्टर विस्तार गुणांक समीकरणों की प्रणाली से निर्धारित होते हैं

.

त्रिकोणीय प्रणाली की तरह इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है।

इसलिए, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर।

टिप्पणी. समस्या 1 जैसे आव्यूह कहलाते हैं त्रिकोणीय , और समस्या 2 में - चरणबद्ध त्रिकोणीय . वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता का प्रश्न आसानी से हल हो जाता है यदि इन वैक्टरों के निर्देशांक से बना मैट्रिक्स चरणबद्ध त्रिकोणीय है। यदि मैट्रिक्स का कोई विशेष रूप नहीं है, तो उपयोग करना प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तन , स्तंभों के बीच रैखिक संबंधों को बनाए रखते हुए, इसे चरणबद्ध त्रिकोणीय रूप में कम किया जा सकता है।

प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तनमैट्रिक्स (EPS) को मैट्रिक्स पर निम्नलिखित ऑपरेशन कहा जाता है:

1) लाइनों का क्रमपरिवर्तन;

2) एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

3) स्ट्रिंग में एक और स्ट्रिंग जोड़ना, एक मनमानी संख्या से गुणा करना।

कार्य 3.अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम खोजें और वैक्टर की प्रणाली के रैंक की गणना करें

.

फेसला।आइए हम ईपीएस की मदद से सिस्टम के मैट्रिक्स को चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में कम करें। प्रक्रिया की व्याख्या करने के लिए, रूपांतरित होने वाले मैट्रिक्स की संख्या वाली रेखा को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाएगा। तीर के बाद का कॉलम नए मैट्रिक्स की पंक्तियों को प्राप्त करने के लिए परिवर्तित मैट्रिक्स की पंक्तियों पर की जाने वाली क्रियाओं को दिखाता है।

.

जाहिर है, परिणामी मैट्रिक्स के पहले दो कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तीसरा कॉलम उनका रैखिक संयोजन है, और चौथा पहले दो पर निर्भर नहीं है। वैक्टर बुनियादी कहा जाता है। वे सिस्टम की अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपप्रणाली बनाते हैं , और सिस्टम की रैंक तीन है।

आधार, निर्देशांक

कार्य 4.इस आधार पर सदिशों का आधार और निर्देशांक ज्यामितीय सदिशों के समुच्चय पर ज्ञात कीजिए जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं .

फेसला. सेट मूल से गुजरने वाला एक विमान है। समतल पर एक मनमाना आधार में दो असंरेखीय सदिश होते हैं। चयनित आधार में वैक्टर के निर्देशांक रैखिक समीकरणों की संबंधित प्रणाली को हल करके निर्धारित किए जाते हैं।

इस समस्या को हल करने का एक और तरीका है, जब आप निर्देशांक द्वारा आधार ढूंढ सकते हैं।

COORDINATES रिक्त स्थान समतल पर निर्देशांक नहीं हैं, क्योंकि वे संबंध से संबंधित हैं अर्थात् वे स्वतंत्र नहीं हैं। स्वतंत्र चर और (उन्हें मुक्त कहा जाता है) विमान पर वेक्टर को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं और इसलिए, उन्हें निर्देशांक के रूप में चुना जा सकता है। फिर आधार मुक्त चर के सेट में और संबंधित वैक्टर के होते हैं और , अर्थात ।

कार्य 5.अंतरिक्ष में सभी सदिशों के समुच्चय पर इस आधार पर सदिशों का आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिनके विषम निर्देशांक एक दूसरे के बराबर हैं।

फेसला. पिछली समस्या की तरह, हम अंतरिक्ष में निर्देशांक चुनते हैं।

जैसा , फिर मुक्त चर से एक सदिश को विशिष्ट रूप से परिभाषित करते हैं और इसलिए, निर्देशांक हैं। संबंधित आधार में वैक्टर होते हैं।

कार्य 6.प्रपत्र के सभी आव्यूहों के समुच्चय पर इस आधार पर सदिशों का आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए , कहाँ पे मनमानी संख्या हैं।

फेसला. से प्रत्येक मैट्रिक्स को विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

यह संबंध आधार के संदर्भ में सदिश का प्रसार है
निर्देशांक के साथ .

टास्क 7.वैक्टर की एक प्रणाली के रैखिक अवधि के आयाम और आधार का पता लगाएं

.

फेसला।ईपीएस का उपयोग करते हुए, हम मैट्रिक्स को सिस्टम वैक्टर के निर्देशांक से चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में बदलते हैं।

.

कॉलम अंतिम मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और कॉलम उनके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। इसलिए वैक्टर आधार बनाओ , और .

टिप्पणी. आधार अस्पष्ट रूप से चुना गया। उदाहरण के लिए, वैक्टर आधार भी बनाते हैं .

वेक्टर, उनके गुण और उनके साथ कार्य

सदिश, सदिशों के साथ क्रिया, रैखिक सदिश स्थान।

वेक्टर वास्तविक संख्याओं की एक सीमित संख्या का एक क्रमबद्ध संग्रह है।

क्रियाएँ: 1. एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करना: लैम्ब्डा * वेक्टर x \u003d (लैम्ब्डा * x 1, लैम्ब्डा * x 2 ... लैम्ब्डा * x n)। (3.4, 0. 7) * 3 \u003d (9, 12,0.21) )

2. वैक्टर का जोड़ (एक ही वेक्टर स्पेस से संबंधित) वेक्टर x + वेक्टर y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. वेक्टर 0=(0,0…0)---n E n - n-आयामी (रैखिक स्थान) वेक्टर x + वेक्टर 0 = वेक्टर x

प्रमेय। एक n-आयामी रैखिक अंतरिक्ष में n वैक्टर की एक प्रणाली के लिए रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि वैक्टर में से एक दूसरों का रैखिक संयोजन हो।

प्रमेय। n-आयामी रैखिक अंतरिक्ष yavl के n+ प्रथम वेक्टर का कोई भी सेट। रैखिक रूप से निर्भर।

सदिशों का योग, सदिशों का संख्याओं से गुणा। वैक्टर का घटाव।

दो वैक्टर का योग वेक्टर की शुरुआत से वेक्टर के अंत तक निर्देशित वेक्टर होता है, बशर्ते कि शुरुआत वेक्टर के अंत के साथ मेल खाती हो। यदि सदिशों को उनके प्रसार द्वारा आधार सदिश के रूप में दिया जाता है, तो सदिशों को जोड़ने पर उनके संबंधित निर्देशांक जुड़ जाते हैं।

आइए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के उदाहरण का उपयोग करके इस पर विचार करें। रहने दो

आइए दिखाते हैं कि

चित्र 3 दर्शाता है कि

किसी भी परिमित संख्या में सदिशों का योग बहुभुज नियम (चित्र 4) का उपयोग करके पाया जा सकता है: सदिशों की एक सीमित संख्या के योग का निर्माण करने के लिए, यह पिछले एक के अंत के साथ प्रत्येक अनुवर्ती वेक्टर की शुरुआत का मिलान करने के लिए पर्याप्त है और पहले वेक्टर की शुरुआत को आखिरी के अंत से जोड़ने वाले वेक्टर का निर्माण करें।

वेक्टर जोड़ ऑपरेशन के गुण:

इन व्यंजकों में m, n संख्याएँ हैं।

सदिशों के अंतर को सदिश कहा जाता है। दूसरा पद सदिश दिशा में सदिश के विपरीत होता है, लेकिन लंबाई में इसके बराबर होता है।

इस प्रकार, वेक्टर घटाव ऑपरेशन को जोड़ ऑपरेशन द्वारा बदल दिया जाता है

सदिश, जिसका आरंभ निर्देशांक के मूल में होता है, और अंत बिंदु A (x1, y1, z1) पर होता है, बिंदु A का त्रिज्या सदिश कहलाता है और इसे या सरल रूप से दर्शाया जाता है। चूँकि इसके निर्देशांक बिंदु A के निर्देशांकों से मेल खाते हैं, इकाई सदिशों के रूप में इसके विस्तार का रूप है

बिंदु A(x1, y1, z1) से शुरू होकर बिंदु B(x2, y2, z2) पर समाप्त होने वाले सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है

जहाँ r 2 बिंदु B की त्रिज्या सदिश है; r 1 - बिंदु A की त्रिज्या सदिश।

इसलिए, orts के रूप में वेक्टर के विस्तार का रूप है

इसकी लंबाई बिंदु A और B . के बीच की दूरी के बराबर है

गुणा

तो एक सपाट समस्या के मामले में, एक वेक्टर का गुणन a = (ax; ay) और एक संख्या b सूत्र द्वारा पाया जाता है

ए बी = (कुल्हाड़ी बी; एई बी)

उदाहरण 1. सदिश a = (1; 2) बटा 3 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

3 ए = (3 1; 3 2) = (3; 6)

तो एक स्थानिक समस्या के मामले में, सदिश a = (ax; ay; az) और संख्या b का गुणनफल सूत्र द्वारा पाया जाता है

ए बी = (कुल्हाड़ी बी; एई बी; एजेड बी)

उदाहरण 1. सदिश a = (1; 2; -5) का 2 से गुणनफल ज्ञात कीजिए।

2 ए = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

वैक्टर का डॉट उत्पाद और वैक्टर और के बीच का कोण कहां है; यदि या तो

अदिश उत्पाद की परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि

जहां, उदाहरण के लिए, वेक्टर की दिशा में वेक्टर के प्रक्षेपण का मूल्य है।

वेक्टर अदिश वर्ग:

डॉट उत्पाद गुण:

निर्देशांक में डॉट उत्पाद

यदि एक तब

वैक्टर के बीच का कोण

सदिशों के बीच का कोण - इन सदिशों की दिशाओं के बीच का कोण (सबसे छोटा कोण)।

वेक्टर उत्पाद (दो वैक्टर का वेक्टर उत्पाद।) -दो कारकों द्वारा निर्मित विमान के लिए एक स्यूडोवेक्टर लंबवत है, जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वैक्टर पर बाइनरी ऑपरेशन "वेक्टर गुणन" का परिणाम है। उत्पाद न तो कम्यूटेटिव है और न ही साहचर्य (यह एंटीकम्यूटेटिव है) और वैक्टर के डॉट उत्पाद से अलग है। कई इंजीनियरिंग और भौतिकी समस्याओं में, दो मौजूदा लोगों के लिए लंबवत वेक्टर बनाने में सक्षम होना आवश्यक है - वेक्टर उत्पाद यह अवसर प्रदान करता है। क्रॉस उत्पाद वैक्टर की लंबवतता को "मापने" के लिए उपयोगी है - दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की लंबाई उनकी लंबाई के उत्पाद के बराबर होती है यदि वे लंबवत हैं, और यदि वेक्टर समानांतर या समानांतर हैं तो शून्य हो जाता है।

वेक्टर उत्पाद केवल त्रि-आयामी और सात-आयामी रिक्त स्थान में परिभाषित किया गया है। वेक्टर उत्पाद का परिणाम, स्केलर उत्पाद की तरह, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मीट्रिक पर निर्भर करता है।

त्रि-आयामी आयताकार समन्वय प्रणाली में वैक्टर के निर्देशांक से अदिश उत्पाद की गणना के सूत्र के विपरीत, वेक्टर उत्पाद का सूत्र आयताकार समन्वय प्रणाली के उन्मुखीकरण पर निर्भर करता है, या, दूसरे शब्दों में, इसकी "चिरलिटी"

वैक्टर की कोलिनियरिटी।

दो गैर-शून्य (0 के बराबर नहीं) वैक्टर कोलाइनियर कहा जाता है यदि वे समानांतर रेखाओं पर या एक ही रेखा पर स्थित हों। हम अनुमति देते हैं, लेकिन अनुशंसित नहीं, एक समानार्थी - "समानांतर" वैक्टर। कोलिनियर वैक्टर को एक ही दिशा ("सह-निर्देशित") या विपरीत दिशा में निर्देशित किया जा सकता है (बाद के मामले में उन्हें कभी-कभी "एंटीकॉलिनियर" या "एंटीपैरेलल" कहा जाता है)।

वैक्टर का मिश्रित उत्पाद( ए, बी, सी)- सदिश a का अदिश गुणनफल और सदिश b और c का सदिश गुणनफल:

(ए, बी, सी) = ए ⋅ (बी × सी)

कभी-कभी इसे वैक्टर का ट्रिपल डॉट उत्पाद कहा जाता है, जाहिरा तौर पर इस तथ्य के कारण कि परिणाम एक अदिश (अधिक सटीक, एक स्यूडोस्केलर) है।

ज्यामितीय अर्थ: मिश्रित उत्पाद का मापांक संख्यात्मक रूप से वैक्टर द्वारा गठित समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है (ए, बी, सी) .

गुण

एक मिश्रित उत्पाद अपने सभी तर्कों के संबंध में तिरछा-सममित होता है: अर्थात, ई. किन्हीं दो कारकों के क्रमपरिवर्तन से उत्पाद का चिन्ह बदल जाता है। यह इस प्रकार है कि सही कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में मिश्रित उत्पाद (ऑर्थोनॉर्मल आधार में) वैक्टर से बने मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है और:

लेफ्ट कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टम (ऑर्थोनॉर्मल बेसिस में) में मिश्रित उत्पाद वैक्टर से बने मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होता है और इसे माइनस साइन के साथ लिया जाता है:

विशेष रूप से,

यदि कोई दो सदिश समानांतर हैं, तो किसी तीसरे सदिश के साथ वे शून्य के बराबर मिश्रित उत्पाद बनाते हैं।

यदि तीन सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं (अर्थात समतलीय, एक ही तल में स्थित हैं), तो उनका मिश्रित गुणनफल शून्य होता है।

ज्यामितीय अर्थ - निरपेक्ष मूल्य में मिश्रित उत्पाद वैक्टर द्वारा गठित समानांतर चतुर्भुज (आंकड़ा देखें) के आयतन के बराबर होता है और; संकेत इस बात पर निर्भर करता है कि वैक्टर का यह ट्रिपल दाएं या बाएं है या नहीं।

वैक्टर की तुलना।

तीन सदिश (या अधिक) समतलीय कहलाते हैं यदि वे, एक सामान्य मूल में कम होकर, एक ही तल में स्थित हों

तुलना गुण

यदि तीन सदिशों में से कम से कम एक सदिश शून्य है, तो तीन सदिशों को समतलीय भी माना जाता है।

समरेखी सदिशों की एक जोड़ी वाले सदिशों का एक तिहाई समतलीय होता है।

समतलीय सदिशों का मिश्रित उत्पाद। यह तीन सदिशों की समतलीयता के लिए एक मानदंड है।

समतलीय सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं। यह समतलीयता के लिए एक मानदंड भी है।

3-आयामी अंतरिक्ष में, 3 गैर-समतलीय वैक्टर एक आधार बनाते हैं

रैखिक रूप से निर्भर और रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर।

वैक्टर की रैखिक रूप से निर्भर और स्वतंत्र प्रणाली।परिभाषा. वैक्टर की प्रणाली को कहा जाता है रैखिक रूप से आश्रित, यदि शून्य वेक्टर के बराबर इन वैक्टरों का कम से कम एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है। अन्यथा, अर्थात्। यदि दिए गए सदिशों का केवल एक तुच्छ रैखिक संयोजन अशक्त सदिश के बराबर है, तो सदिश कहलाते हैं रैखिक रूप से स्वतंत्र.

प्रमेय (रैखिक निर्भरता मानदंड). रैखिक अंतरिक्ष में वैक्टर की एक प्रणाली के लिए रैखिक रूप से निर्भर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इनमें से कम से कम एक वेक्टर दूसरों का रैखिक संयोजन हो।

1) यदि सदिशों में कम से कम एक शून्य सदिश हो, तो सदिशों का पूरा तंत्र रैखिक रूप से आश्रित होता है।

वास्तव में, यदि, उदाहरण के लिए, तो, यह मानते हुए कि हमारे पास एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन है

2) यदि कुछ वैक्टर एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली बनाते हैं, तो पूरी प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है।

वास्तव में, वैक्टर को रैखिक रूप से निर्भर होने दें। इसलिए, शून्य वेक्टर के बराबर एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन मौजूद है। लेकिन फिर, यह मानकर , हम शून्य वेक्टर के बराबर एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन भी प्राप्त करते हैं।

2. आधार और आयाम। परिभाषा. रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की प्रणाली सदिश स्थान कहलाता है आधारयह स्थान, यदि किसी भी सदिश को इस प्रणाली के वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात। प्रत्येक वेक्टर के लिए वास्तविक संख्याएँ होती हैं ऐसा कि समानता धारण करती है। इस समानता को कहा जाता है वेक्टर अपघटनआधार के अनुसार, और संख्या बुलाया वेक्टर आधार के सापेक्ष निर्देशांक करता है(या आधार पर) .

प्रमेय (आधार के संदर्भ में विस्तार की विशिष्टता पर). प्रत्येक अंतरिक्ष वेक्टर को आधार के रूप में विस्तारित किया जा सकता है एक अनोखे तरीके से, यानी। आधार में प्रत्येक वेक्टर के निर्देशांक स्पष्ट रूप से परिभाषित हैं।

इस लेख में, हम कवर करेंगे:

• संरेखीय सदिश क्या हैं;
• संरेखीय सदिशों के लिए क्या शर्तें हैं;
• संरेखीय सदिशों के गुण क्या हैं;
• कोलीनियर वैक्टर की रैखिक निर्भरता क्या है।

Yandex.RTB आर-ए-339285-1 परिभाषा 1

संरेख सदिश वे सदिश होते हैं जो एक ही रेखा के समानांतर होते हैं या एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।

उदाहरण 1

संरेखीय सदिशों के लिए शर्तें

यदि निम्नलिखित में से कोई भी स्थिति सत्य है, तो दो सदिश संरेख हैं:

• शर्त 1 . सदिश a और b संरेख हैं यदि कोई संख्या इस प्रकार है कि a = b ;
• शर्त 2 . सदिश a और b निर्देशांक के समान अनुपात के साथ संरेख हैं:

ए = (ए 1; ए 2), बी = (बी 1; बी 2) ⇒ ए ∥ बी ⇔ ए 1 बी 1 = ए 2 बी 2

• शर्त 3 . सदिश a और b संरेख हैं बशर्ते कि सदिश गुणनफल और शून्य सदिश बराबर हों:

ए ∥ बी ⇔ ए, बी = 0

टिप्पणी 1

शर्त 2 यदि सदिश निर्देशांकों में से एक शून्य है तो लागू नहीं होता है।

टिप्पणी 2

शर्त 3 केवल उन्हीं सदिशों पर लागू होता है जो अंतरिक्ष में दिए गए हैं।

सदिशों की संरेखता के अध्ययन के लिए समस्याओं के उदाहरण

उदाहरण 1

हम संरेखता के लिए वैक्टर a \u003d (1; 3) और b \u003d (2; 1) की जांच करते हैं।

कैसे तय करें?

इस मामले में, संपार्श्विकता की दूसरी शर्त का उपयोग करना आवश्यक है। दिए गए वैक्टर के लिए, यह इस तरह दिखता है:

समानता गलत है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सदिश a और b असंरेख हैं।

जवाब : ए | | बी

उदाहरण 2

सदिश a = (1 ; 2) और b = (- 1 ; m) का कौन-सा मान सदिशों के संरेखीय होने के लिए आवश्यक है?

कैसे तय करें?

दूसरी समरेखीय स्थिति का उपयोग करते हुए, यदि उनके निर्देशांक आनुपातिक हैं, तो सदिश संरेखीय होंगे:

इससे पता चलता है कि एम = - 2।

जवाब: एम = - 2।

रैखिक निर्भरता और वैक्टर की प्रणालियों की रैखिक स्वतंत्रता के लिए मानदंड

प्रमेय

एक वेक्टर अंतरिक्ष में वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से केवल तभी निर्भर होती है जब सिस्टम के वैक्टरों में से एक को सिस्टम के बाकी वैक्टरों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

प्रमाण

माना निकाय e 1 , e 2 , । . . , e n रैखिक रूप से निर्भर है। आइए इस प्रणाली के रैखिक संयोजन को शून्य वेक्टर के बराबर लिखें:

ए 1 ई 1 + ए 2 ई 2 +। . . + ए एन ई एन = 0

जिसमें संयोजन के गुणांकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है।

मान लीजिए a k 0 k 1 , 2 , . . . , एन ।

हम समानता के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य गुणांक से विभाजित करते हैं:

ए के - 1 (ए के - 1 ए 1) ई 1 + (ए के - 1 ए के) ई के +। . . + (ए के - 1 ए एन) ई एन = 0

निरूपित करें:

एक के - 1 बजे एम, जहां एम 1, 2,। . . , के - 1 , के + 1 , n

इस मामले में:

β 1 ई 1 +। . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn ई एन = 0

या ई के = (- β 1) ई 1 +। . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + । . . + (- β एन) ई एन

यह इस प्रकार है कि सिस्टम के वैक्टरों में से एक को सिस्टम के अन्य सभी वैक्टरों के रूप में व्यक्त किया जाता है। जिसे सिद्ध करना आवश्यक था (p.t.d.)।

पर्याप्तता

सिस्टम के अन्य सभी वैक्टरों के संदर्भ में वैक्टरों में से एक को रैखिक रूप से व्यक्त करने दें:

ई के = γ 1 ई 1 +। . . + के - 1 ई के - 1 + γ के + 1 ई के + 1 +। . . + एन ई एन

हम सदिश e k को इस समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं:

0 = 1 ई 1 + . . . + के - 1 ई के - 1 - ई के + γ के + 1 ई के + 1 +। . . + एन ई एन

चूँकि सदिश e k का गुणांक -1 ≠ 0 के बराबर है, इसलिए हमें सदिश e 1 , e 2 , सदिशों के निकाय द्वारा शून्य का गैर-तुच्छ निरूपण प्राप्त होता है। . . , e n , और इसका, बदले में, इसका अर्थ है कि वैक्टर की दी गई प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है। जिसे सिद्ध करना आवश्यक था (p.t.d.)।

परिणाम:

• वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है जब इसके किसी भी वैक्टर को सिस्टम के अन्य सभी वैक्टरों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
• एक सदिश प्रणाली जिसमें एक अशक्त सदिश या दो समान सदिश होते हैं, रैखिक रूप से निर्भर होती है।

रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर के गुण

1. 2- और 3-आयामी वैक्टर के लिए, शर्त पूरी होती है: दो रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर संरेख हैं। दो संरेख सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं।
2. 3-आयामी वैक्टर के लिए, शर्त पूरी होती है: तीन रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर समतलीय होते हैं। (3 समतलीय सदिश - रैखिक रूप से आश्रित)।
3. n-आयामी वैक्टर के लिए, शर्त पूरी होती है: n + 1 वेक्टर हमेशा रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

रैखिक निर्भरता या वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता के लिए समस्याओं को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 3

आइए रेखीय स्वतंत्रता के लिए सदिश a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 की जाँच करें।

फेसला। वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर होते हैं क्योंकि वैक्टर का आयाम वैक्टर की संख्या से कम होता है।

उदाहरण 4

आइए रेखीय स्वतंत्रता के लिए सदिश a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 की जाँच करें।

फेसला। हम गुणांक के मान पाते हैं जिस पर रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर होगा:

एक्स 1 ए + एक्स 2 बी + एक्स 3 सी 1 = 0

हम सदिश समीकरण को रैखिक रूप में लिखते हैं:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

हम गॉस विधि का उपयोग करके इस प्रणाली को हल करते हैं:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

दूसरी पंक्ति से हम पहली, तीसरी - पहली से घटाते हैं:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

दूसरी को पहली पंक्ति से घटाएँ, दूसरी को तीसरी में जोड़ें:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

समाधान से यह पता चलता है कि सिस्टम के पास कई समाधान हैं। इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं x 1 , x 2 , x 3 के मानों का एक गैर-शून्य संयोजन है जिसके लिए रैखिक संयोजन a , b , c शून्य वेक्टर के बराबर होता है। अत: सदिश a , b , c हैं रैखिक रूप से निर्भर।

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वैक्टर की प्रणाली को कहा जाता है रैखिक रूप से आश्रित, यदि ऐसी संख्याएँ हैं, जिनमें से कम से कम एक शून्य से भिन्न है, तो वह समानता https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

यदि यह समानता केवल तभी धारण करती है जब सभी , तो सदिशों का निकाय कहलाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र.

प्रमेय।वैक्टर की प्रणाली होगी रैखिक रूप से आश्रितयदि और केवल यदि इसका कम से कम एक सदिश अन्य का रैखिक संयोजन है।

उदाहरण 1बहुपद बहुपदों का एक रैखिक संयोजन है https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">। बहुपद एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का गठन करते हैं, क्योंकि https बहुपद: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

उदाहरण 2मैट्रिक्स सिस्टम, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> रैखिक रूप से स्वतंत्र है, क्योंकि रैखिक संयोजन के बराबर है शून्य मैट्रिक्स केवल तभी जब https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> रैखिक रूप से निर्भर।

फेसला।

इन वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन लिखें https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" ऊंचाई =" 22 ">।

समान सदिशों के समान-नामित निर्देशांकों की तुलना करते हुए, हमें प्राप्त होता है https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

अंत में हमें मिलता है

और

सिस्टम का एक अनूठा तुच्छ समाधान है, इसलिए इन वैक्टरों का रैखिक संयोजन केवल शून्य है यदि सभी गुणांक शून्य हैं। इसलिए, वैक्टर की यह प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

उदाहरण 4वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। वैक्टर के सिस्टम क्या होंगे

ए)।;

बी)।?

फेसला।

ए)।एक रैखिक संयोजन की रचना करें और इसे शून्य के बराबर करें

रैखिक अंतरिक्ष में वैक्टर के साथ संचालन के गुणों का उपयोग करते हुए, हम अंतिम समानता को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

चूँकि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, के लिए गुणांक शून्य के बराबर होना चाहिए, अर्थात..gif" width="12" height="23 src=">

समीकरणों की परिणामी प्रणाली का एक अनूठा तुच्छ समाधान है .

समानता के बाद से (*) केवल https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> पर निष्पादित - रैखिक रूप से स्वतंत्र;

बी)।समानता लिखें https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

इसी तरह के तर्क को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

गॉस विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या

बाद वाली प्रणाली में अनंत समाधान हैं https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">। इस प्रकार, एक गैर- गुणांक का शून्य सेट जिसके लिए समानता (**) . इसलिए, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

उदाहरण 5वेक्टर सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और वेक्टर सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

समानता में (***) . दरअसल, के लिए, सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होगा।

रिश्ते से (***) हम पाते हैं या निरूपित .

पाना

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य (कक्षा में)

1. एक शून्य वेक्टर वाला सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होता है।

2. सिंगल वेक्टर सिस्टम ए, रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल यदि, ए = 0.

3. दो वैक्टरों से युक्त एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल तभी वेक्टर आनुपातिक होते हैं (अर्थात, उनमें से एक दूसरे से एक संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है)।

4. यदि एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली में एक वेक्टर जोड़ा जाता है, तो एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली प्राप्त होती है।

5. यदि एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली से एक वेक्टर को हटा दिया जाता है, तो वैक्टर की परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है।

6. अगर सिस्टम एसरैखिक रूप से स्वतंत्र, लेकिन एक वेक्टर जोड़े जाने पर रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है बी, फिर वेक्टर बीसिस्टम के वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया गया एस.

सी)।दूसरे क्रम के आव्यूहों के स्थान में आव्यूहों की प्रणाली।

10. चलो वैक्टर की प्रणाली ए,बी,सीवेक्टर अंतरिक्ष रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वैक्टर की निम्नलिखित प्रणालियों की रैखिक स्वतंत्रता साबित करें:

ए)।ए+बी, बी, सी।

बी)।ए+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–मनमाना संख्या

सी)।ए+बी, ए+सी, बी+सी।

11. रहने दो ए,बी,सीतल में तीन सदिश हैं जिनका उपयोग त्रिभुज बनाने के लिए किया जा सकता है। क्या ये वेक्टर रैखिक रूप से निर्भर होंगे?

12. दो वैक्टर दिए गए a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). दो और 4D वैक्टर उठाओ ए3 औरए4ताकि सिस्टम ए1,ए 2,ए 3,ए4रैखिक रूप से स्वतंत्र था .

रैखिक निर्भरता और वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता।
वैक्टर का आधार। एफ़िन समन्वय प्रणाली

दर्शकों में चॉकलेट के साथ एक गाड़ी है, और आज प्रत्येक आगंतुक को एक मीठा जोड़ा मिलेगा - रैखिक बीजगणित के साथ विश्लेषणात्मक ज्यामिति। इस लेख में, उच्च गणित के दो खंडों को एक साथ छुआ जाएगा, और हम देखेंगे कि वे एक आवरण में कैसे मिलते हैं। ब्रेक लो, ट्विक्स खाओ! ... अरे, ठीक है, बकवास बहस करना। हालांकि ठीक है, मैं स्कोर नहीं करूंगा, लेकिन अंत में पढ़ाई के लिए सकारात्मक दृष्टिकोण होना चाहिए।

वैक्टर की रैखिक निर्भरता, वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता, वेक्टर आधारऔर अन्य शब्दों की न केवल एक ज्यामितीय व्याख्या है, बल्कि, सबसे बढ़कर, एक बीजीय अर्थ है। रैखिक बीजगणित के दृष्टिकोण से "वेक्टर" की अवधारणा हमेशा "साधारण" वेक्टर नहीं होती है जिसे हम एक विमान या अंतरिक्ष में चित्रित कर सकते हैं। आपको प्रमाण के लिए दूर तक देखने की आवश्यकता नहीं है, पांच-आयामी अंतरिक्ष के वेक्टर को खींचने का प्रयास करें . या मौसम सदिश, जिसके लिए मैं अभी-अभी जिस्मेटो के लिए गया था: - तापमान और वायुमंडलीय दबाव, क्रमशः। उदाहरण, निश्चित रूप से, वेक्टर स्पेस के गुणों के दृष्टिकोण से गलत है, लेकिन, फिर भी, कोई भी इन मापदंडों को वेक्टर के रूप में औपचारिक रूप देने से मना नहीं करता है। शरद ऋतु की सांस...

नहीं, मैं आपको सिद्धांत, रैखिक वेक्टर रिक्त स्थान से बोर नहीं करने जा रहा हूं, कार्य है समझनापरिभाषाएँ और प्रमेय। नए शब्द (रैखिक निर्भरता, स्वतंत्रता, रैखिक संयोजन, आधार, आदि) बीजगणितीय दृष्टिकोण से सभी वैक्टरों पर लागू होते हैं, लेकिन उदाहरण ज्यामितीय रूप से दिए जाएंगे। इस प्रकार, सब कुछ सरल, सुलभ और दृश्य है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं के अतिरिक्त, हम बीजगणित के कुछ विशिष्ट कार्यों पर भी विचार करेंगे। सामग्री में महारत हासिल करने के लिए, पाठों से खुद को परिचित करना उचित है डमी के लिए वेक्टरऔर निर्धारक की गणना कैसे करें?

रैखिक निर्भरता और समतल सदिशों की स्वतंत्रता।
प्लेन बेसिस और एफाइन कोऑर्डिनेट सिस्टम

अपने कंप्यूटर डेस्क के समतल पर विचार करें (बस एक टेबल, बेडसाइड टेबल, फर्श, छत, जो भी आपको पसंद हो)। कार्य में निम्नलिखित क्रियाएं शामिल होंगी:

1) विमान के आधार का चयन करें. मोटे तौर पर, टेबलटॉप की लंबाई और चौड़ाई होती है, इसलिए यह सहज रूप से स्पष्ट है कि आधार बनाने के लिए दो वैक्टर की आवश्यकता होती है। एक वेक्टर स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं है, तीन वेक्टर बहुत अधिक हैं।

2) चुने हुए आधार के आधार पर समन्वय प्रणाली सेट करें(कोऑर्डिनेट ग्रिड) टेबल पर सभी आइटम्स को कोऑर्डिनेट असाइन करने के लिए।

हैरान न हों, पहले तो समझाइशें उंगलियों पर होंगी। इसके अलावा, आप पर। कृपया जगह दें बाएं हाथ की तर्जनीटेबलटॉप के किनारे पर ताकि वह मॉनिटर को देखे। यह एक वेक्टर होगा। अब जगह दाहिने हाथ की छोटी उंगलीउसी तरह मेज के किनारे पर - ताकि यह मॉनिटर स्क्रीन पर निर्देशित हो। यह एक वेक्टर होगा। मुस्कुराओ, तुम बहुत अच्छे लग रहे हो! वैक्टर के बारे में क्या कहा जा सकता है? डेटा वैक्टर समरेख, मतलब रैखिकएक दूसरे के माध्यम से व्यक्त:
, वेल, या इसके विपरीत: , जहां एक गैर-शून्य संख्या है।

आप पाठ में इस क्रिया की एक तस्वीर देख सकते हैं। डमी के लिए वेक्टर, जहां मैंने एक सदिश को एक संख्या से गुणा करने का नियम समझाया।

क्या आपकी उंगलियां कंप्यूटर टेबल के तल पर आधार स्थापित करेंगी? स्पष्टः नहीं। कोलिनियर वैक्टर आगे और पीछे यात्रा करते हैं अकेलादिशा, जबकि एक विमान की लंबाई और चौड़ाई होती है।

ऐसे वैक्टर कहलाते हैं रैखिक रूप से आश्रित.

संदर्भ: "रैखिक", "रैखिक" शब्द इस तथ्य को दर्शाते हैं कि गणितीय समीकरणों, व्यंजकों में कोई वर्ग, घन, अन्य घात, लघुगणक, ज्या आदि नहीं हैं। केवल रैखिक (प्रथम डिग्री) भाव और निर्भरताएँ हैं।

दो विमान वैक्टर रैखिक रूप से आश्रितयदि और केवल यदि वे संरेख हैं.

अपनी उंगलियों को टेबल पर क्रॉस करें ताकि उनके बीच 0 या 180 डिग्री को छोड़कर कोई कोण हो। दो विमान वैक्टररैखिक नहींआश्रित हैं यदि और केवल यदि वे संरेख नहीं हैं. तो आधार मिलता है। शर्मिंदा होने की आवश्यकता नहीं है कि आधार विभिन्न लंबाई के गैर-लंबवत वैक्टर के साथ "तिरछा" निकला। बहुत जल्द हम देखेंगे कि न केवल 90 डिग्री का कोण इसके निर्माण के लिए उपयुक्त है, और न केवल समान लंबाई के इकाई वैक्टर

कोई भीविमान वेक्टर एक ही रास्ताआधार के रूप में विस्तारित:
, वास्तविक संख्याएँ कहाँ हैं। नंबर कहलाते हैं वेक्टर निर्देशांकइस आधार में।

वे यह भी कहते हैं कि वेक्टररूप में प्रस्तुत किया गया है रैखिक संयोजनआधार वैक्टर. अर्थात् व्यंजक कहलाता है वेक्टर अपघटनआधारया रैखिक संयोजनआधार वैक्टर।

उदाहरण के लिए, कोई यह कह सकता है कि एक सदिश समतल के लम्बवत आधार पर विस्तारित होता है, या कोई कह सकता है कि इसे सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जाता है।

आइए तैयार करें आधार परिभाषाऔपचारिक रूप से: विमान का आधाररैखिक रूप से स्वतंत्र (गैर-समरेखीय) वैक्टर की एक जोड़ी है, , जिसमें कोई भीसमतल सदिश आधार सदिशों का एक रैखिक संयोजन है।

परिभाषा का आवश्यक बिंदु यह तथ्य है कि वैक्टर लिया जाता है एक निश्चित क्रम में. अड्डों ये दो पूरी तरह से अलग आधार हैं! जैसा कि वे कहते हैं, बाएं हाथ की छोटी उंगली को दाहिने हाथ की छोटी उंगली के स्थान पर नहीं ले जाया जा सकता है।

हमने आधार का पता लगा लिया, लेकिन यह समन्वय ग्रिड सेट करने और आपके कंप्यूटर डेस्क पर प्रत्येक आइटम को निर्देशांक निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त नहीं है। पर्याप्त क्यों नहीं? वेक्टर स्वतंत्र हैं और पूरे विमान में घूमते हैं। तो आप जंगली सप्ताहांत से छोड़े गए उन छोटे गंदे टेबल बिंदुओं को निर्देशांक कैसे निर्दिष्ट करते हैं? एक शुरुआती बिंदु की जरूरत है। और ऐसा संदर्भ बिंदु सभी के लिए परिचित बिंदु है - निर्देशांक की उत्पत्ति। समन्वय प्रणाली को समझना:

मैं "स्कूल" प्रणाली से शुरू करूंगा। पहले से ही प्रारंभिक पाठ में डमी के लिए वेक्टरमैंने एक आयताकार समन्वय प्रणाली और एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के बीच कुछ अंतरों पर प्रकाश डाला। यहाँ मानक चित्र है:

बात करते समय आयताकार समन्वय प्रणाली, तो अक्सर उनका मतलब मूल से होता है, कुल्हाड़ियों के साथ समन्वय और कुल्हाड़ियों के साथ पैमाने। सर्च इंजन में "रेक्टेंगुलर कोऑर्डिनेट सिस्टम" टाइप करने की कोशिश करें, और आप देखेंगे कि कई स्रोत आपको 5वीं-6वीं कक्षा से परिचित निर्देशांक अक्षों के बारे में बताएंगे और एक प्लेन पर पॉइंट्स कैसे प्लॉट करें।

दूसरी ओर, किसी को यह आभास हो जाता है कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली को एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है। और यह लगभग है। शब्दांकन इस प्रकार है:

मूल, और ऑर्थोनॉर्मलआधार सेट विमान की कार्तीय समन्वय प्रणाली . यानी एक आयताकार समन्वय प्रणाली निश्चित रूप सेएक एकल बिंदु और दो इकाई ओर्थोगोनल वैक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है। इसलिए, आप ऊपर दिए गए चित्र को देखते हैं - ज्यामितीय समस्याओं में, दोनों वैक्टर और समन्वय अक्ष अक्सर (लेकिन हमेशा से दूर) खींचे जाते हैं।

मुझे लगता है कि हर कोई इसे एक बिंदु (मूल) और एक ऑर्थोनॉर्मल आधार की मदद से समझता है विमान का कोई भी बिंदु और विमान का कोई भी वेक्टरनिर्देशांक सौंपा जा सकता है। लाक्षणिक रूप से बोलते हुए, "विमान में सब कुछ गिना जा सकता है।"

क्या निर्देशांक सदिशों को इकाई होना चाहिए? नहीं, उनके पास एक मनमाना गैर-शून्य लंबाई हो सकती है। मनमाना गैर-शून्य लंबाई के एक बिंदु और दो ओर्थोगोनल वैक्टर पर विचार करें:

ऐसा आधार कहा जाता है ओर्थोगोनल. वैक्टर के साथ निर्देशांक की उत्पत्ति निर्देशांक ग्रिड को परिभाषित करती है, और विमान के किसी भी बिंदु, किसी भी वेक्टर के दिए गए आधार में अपने स्वयं के निर्देशांक होते हैं। उदाहरण के लिए, या। स्पष्ट असुविधा यह है कि निर्देशांक वैक्टर सामान्य रूप मेंएकता के अलावा अन्य लंबाई है। यदि लंबाई एक के बराबर है, तो सामान्य ऑर्थोनॉर्मल आधार प्राप्त होता है।

! टिप्पणी : ओर्थोगोनल आधार में, साथ ही नीचे विमान और अंतरिक्ष के एफ़िन बेस में, कुल्हाड़ियों के साथ इकाइयों पर विचार किया जाता है सशर्त. उदाहरण के लिए, एब्सिस्सा के साथ एक इकाई में 4 सेमी होता है, कोर्डिनेट के साथ एक इकाई में 2 सेमी होता है। यह जानकारी "गैर-मानक" निर्देशांक को "हमारे सामान्य सेंटीमीटर" में बदलने के लिए पर्याप्त है यदि आवश्यक हो।

और दूसरा प्रश्न, जिसका वास्तव में पहले ही उत्तर दिया जा चुका है - क्या आधार वैक्टर के बीच के कोण का 90 डिग्री के बराबर होना आवश्यक है? नहीं! जैसा कि परिभाषा कहती है, आधार वैक्टर होना चाहिए केवल असंरेखित. तदनुसार, कोण 0 और 180 डिग्री को छोड़कर कुछ भी हो सकता है।

तल पर एक बिंदु जिसे कहा जाता है मूल, और गैर समरेखवैक्टर, , सेट विमान की एफाइन समन्वय प्रणाली :

कभी-कभी इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है परोक्षप्रणाली। अंक और वैक्टर को ड्राइंग में उदाहरण के रूप में दिखाया गया है:

जैसा कि आप समझते हैं, एफ़िन समन्वय प्रणाली और भी कम सुविधाजनक है, वैक्टर और खंडों की लंबाई के सूत्र, जिन्हें हमने पाठ के दूसरे भाग में माना था, इसमें काम नहीं करते हैं। डमी के लिए वेक्टर, से जुड़े कई स्वादिष्ट सूत्र सदिशों का अदिश गुणनफल. लेकिन वैक्टर जोड़ने और एक संख्या से एक वेक्टर को गुणा करने के नियम मान्य हैं, इस संबंध में एक खंड को विभाजित करने के सूत्र, साथ ही साथ कुछ अन्य प्रकार की समस्याएं जिन पर हम जल्द ही विचार करेंगे।

और निष्कर्ष यह है कि एक एफ़िन समन्वय प्रणाली का सबसे सुविधाजनक विशेष मामला कार्टेशियन आयताकार प्रणाली है। इसलिए, उसे, उसे, सबसे अधिक बार देखा जाना चाहिए। ... हालाँकि, इस जीवन में सब कुछ सापेक्ष है - ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनमें एक तिरछा होना उचित है (या कुछ अन्य, उदाहरण के लिए, ध्रुवीय) समन्वय प्रणाली। हां, और ह्यूमनॉइड्स ऐसी प्रणालियों का स्वाद ले सकते हैं =)

आइए व्यावहारिक भाग पर चलते हैं। इस पाठ की सभी समस्याएं एक आयताकार समन्वय प्रणाली और सामान्य एफाइन मामले दोनों के लिए मान्य हैं। यहां कुछ भी जटिल नहीं है, एक स्कूली बच्चे के लिए भी सारी सामग्री उपलब्ध है।

समतल सदिशों की संरेखता का निर्धारण कैसे करें?

विशिष्ट बात। दो समतल सदिशों के क्रम में संरेख हैं, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके संबंधित निर्देशांक समानुपाती हों.अनिवार्य रूप से, यह स्पष्ट संबंध का समन्वय-दर-समन्वय शोधन है।

उदाहरण 1

ए) जांचें कि क्या वेक्टर संरेख हैं .
बी) क्या वैक्टर एक आधार बनाते हैं? ?

फेसला:
ए) पता लगाएं कि क्या वैक्टर के लिए मौजूद है आनुपातिकता का गुणांक, जैसे कि समानताएं पूरी होती हैं:

मैं आपको निश्चित रूप से इस नियम के आवेदन के "फोपिश" संस्करण के बारे में बताऊंगा, जो व्यवहार में काफी अच्छा काम करता है। विचार यह है कि तुरंत एक अनुपात तैयार किया जाए और देखें कि क्या यह सही है:

आइए वैक्टर के संबंधित निर्देशांक के अनुपात से अनुपात बनाएं:

हम छोटा करते हैं:
, इस प्रकार संबंधित निर्देशांक आनुपातिक हैं, इसलिए,

संबंध बनाया जा सकता है और इसके विपरीत, यह एक समान विकल्प है:

स्व-परीक्षण के लिए, कोई इस तथ्य का उपयोग कर सकता है कि कोलिनियर वैक्टर एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं। इस मामले में, समानताएं हैं . वैक्टर के साथ प्राथमिक संचालन के माध्यम से उनकी वैधता को आसानी से जांचा जा सकता है:

b) दो समतल सदिश एक आधार बनाते हैं यदि वे संरेख (रैखिक रूप से स्वतंत्र) नहीं हैं। हम संरेखता के लिए सदिशों की जांच करते हैं . आइए एक सिस्टम बनाएं:

पहले समीकरण से यह इस प्रकार है कि, दूसरे समीकरण से यह अनुसरण करता है, जिसका अर्थ है, प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, सदिशों के संगत निर्देशांक समानुपाती नहीं होते हैं।

निष्कर्ष: सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं और एक आधार बनाते हैं।

समाधान का एक सरलीकृत संस्करण इस तरह दिखता है:

सदिशों के संगत निर्देशांकों से अनुपात लिखिए :
इसलिए, ये सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और एक आधार बनाते हैं।

आमतौर पर समीक्षक इस विकल्प को अस्वीकार नहीं करते हैं, लेकिन समस्या उन मामलों में उत्पन्न होती है जहां कुछ निर्देशांक शून्य के बराबर होते हैं। ऐशे ही: . या इस तरह: . या इस तरह: . यहां अनुपात के माध्यम से कैसे काम करें? (वास्तव में, आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते)। यही कारण है कि मैंने सरलीकृत समाधान "फोपिश" कहा।

जवाब:ए), बी) फॉर्म।

एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक छोटा सा रचनात्मक उदाहरण:

उदाहरण 2

पैरामीटर वैक्टर के किस मूल्य पर समरेखीय होगा?

नमूना समाधान में, पैरामीटर अनुपात के माध्यम से पाया जाता है।

संरेखता के लिए सदिशों की जांच करने का एक सुंदर बीजगणितीय तरीका है। आइए अपने ज्ञान को व्यवस्थित करें और इसे केवल पांचवें बिंदु के रूप में जोड़ें:

दो समतल सदिशों के लिए, निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं::

2) वैक्टर एक आधार बनाते हैं;
3) सदिश संरेख नहीं हैं;

+ 5) इन सदिशों के निर्देशांकों से बना सारणिक अशून्य है.

क्रमश, निम्नलिखित विपरीत कथन समतुल्य हैं:
1) वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर हैं;
2) वैक्टर आधार नहीं बनाते हैं;
3) सदिश संरेख हैं;
4) वैक्टर को एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जा सकता है;
+ 5) इन सदिशों के निर्देशांकों से बना सारणिक शून्य के बराबर होता है.

मुझे बहुत, बहुत उम्मीद है कि इस समय आप पहले से ही उन सभी नियमों और कथनों को समझ गए हैं जो सामने आए हैं।

आइए नए, पांचवें बिंदु पर करीब से नज़र डालें: दो विमान वैक्टर संरेख हैं यदि और केवल यदि दिए गए सदिशों के निर्देशांकों से बना सारणिक शून्य के बराबर है:. इस सुविधा का उपयोग करने के लिए, निश्चित रूप से, आपको सक्षम होने की आवश्यकता है निर्धारक खोजें.

हम तय करेंगेउदाहरण 1 दूसरे तरीके से:

क) सदिशों के निर्देशांकों से बने सारणिक की गणना करें :
, इसलिए ये सदिश संरेख हैं।

b) दो समतल सदिश एक आधार बनाते हैं यदि वे संरेख (रैखिक रूप से स्वतंत्र) नहीं हैं। आइए हम सदिशों के निर्देशांकों से बने सारणिक की गणना करें :
, इसलिए सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं और एक आधार बनाते हैं।

जवाब:ए), बी) फॉर्म।

यह अनुपात के साथ समाधान की तुलना में बहुत अधिक कॉम्पैक्ट और सुंदर दिखता है।

माना सामग्री की मदद से, न केवल वैक्टर की समरूपता स्थापित करना संभव है, बल्कि खंडों, सीधी रेखाओं की समानता को भी साबित करना संभव है। विशिष्ट ज्यामितीय आकृतियों वाली कुछ समस्याओं पर विचार करें।

उदाहरण 3

एक चतुर्भुज के शीर्ष दिए गए हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

प्रमाण: समस्या में चित्र बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि समाधान विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक होगा। समांतर चतुर्भुज की परिभाषा याद रखें:
चतुर्भुज एक चतुर्भुज कहलाता है, जिसमें सम्मुख भुजाएँ जोड़ीवार समानांतर होती हैं।

इस प्रकार, यह साबित करना आवश्यक है:
1) विपरीत पक्षों की समानता और;
2) विपरीत पक्षों की समानता और .

हम साबित करते हैं:

1) वैक्टर खोजें:

2) वैक्टर खोजें:

परिणाम वही वेक्टर है ("स्कूल के अनुसार" - समान वैक्टर)। समरूपता काफी स्पष्ट है, लेकिन व्यवस्था के साथ निर्णय ठीक से करना बेहतर है। वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए ये सदिश संरेख हैं, और .

निष्कर्ष: एक चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ जोड़ी में समान्तर होती हैं, इसलिए यह परिभाषा के अनुसार एक समांतर चतुर्भुज है। क्यू.ई.डी.

अधिक अच्छे और अलग आंकड़े:

उदाहरण 4

एक चतुर्भुज के शीर्ष दिए गए हैं। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज एक समलम्ब है।

प्रमाण के अधिक कठोर निरूपण के लिए, निश्चित रूप से, एक ट्रैपेज़ॉइड की परिभाषा प्राप्त करना बेहतर है, लेकिन यह केवल यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि यह कैसा दिखता है।

यह स्वतंत्र निर्णय का कार्य है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान।

और अब समय है धीरे-धीरे विमान से अंतरिक्ष में जाने का:

अंतरिक्ष वैक्टर की संपार्श्विकता कैसे निर्धारित करें?

नियम बहुत समान है। दो अंतरिक्ष सदिशों के संरेख होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके संगत निर्देशांक के समानुपाती हों.

उदाहरण 5

पता लगाएँ कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष सदिश संरेख हैं:

ए) ;
बी)
में)

फेसला:
ए) जांचें कि क्या वैक्टर के संबंधित निर्देशांक के लिए आनुपातिकता गुणांक है:

प्रणाली का कोई समाधान नहीं है, जिसका अर्थ है कि वेक्टर संरेख नहीं हैं।

"सरलीकृत" अनुपात की जाँच करके बनाया गया है। इस मामले में:
- संगत निर्देशांक आनुपातिक नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि वेक्टर संरेख नहीं हैं।

जवाब:वेक्टर संरेख नहीं हैं।

b-c) ये स्वतंत्र निर्णय के लिए बिंदु हैं। इसे दो तरह से आजमाएं।

समरेखीयता के लिए स्थानिक सदिशों की जाँच के लिए एक विधि है और तीसरे क्रम के निर्धारक के माध्यम से, इस विधि को लेख में शामिल किया गया है वैक्टर का क्रॉस उत्पाद.

इसी तरह समतल मामले के लिए, स्थानिक खंडों और रेखाओं की समानता का अध्ययन करने के लिए विचार किए गए उपकरणों का उपयोग किया जा सकता है।

दूसरे खंड में आपका स्वागत है:

त्रि-आयामी अंतरिक्ष वैक्टर की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता।
स्थानिक आधार और संबद्ध समन्वय प्रणाली

हमने विमान में जिन नियमितताओं पर विचार किया है उनमें से कई अंतरिक्ष के लिए भी मान्य होंगी। मैंने सिद्धांत के सारांश को कम से कम करने की कोशिश की, क्योंकि जानकारी के शेर के हिस्से को पहले ही चबाया जा चुका है। फिर भी, मैं अनुशंसा करता हूं कि आप प्रारंभिक भाग को ध्यान से पढ़ें, क्योंकि नए नियम और अवधारणाएं दिखाई देंगी।

अब, कंप्यूटर टेबल के समतल के बजाय, आइए त्रि-आयामी स्थान की जाँच करें। सबसे पहले, आइए इसका आधार बनाएं। कोई अब घर के अंदर है, कोई बाहर है, लेकिन किसी भी मामले में, हम तीन आयामों से दूर नहीं हो सकते: चौड़ाई, लंबाई और ऊंचाई। इसलिए, आधार के निर्माण के लिए तीन स्थानिक सदिशों की आवश्यकता होती है। एक या दो वैक्टर पर्याप्त नहीं हैं, चौथा अतिश्योक्तिपूर्ण है।

और फिर से हम उंगलियों पर वार्म अप करते हैं। कृपया अपना हाथ ऊपर उठाएं और अलग-अलग दिशाओं में फैलाएं अंगूठे, तर्जनी और मध्यमा. ये वैक्टर होंगे, वे अलग-अलग दिशाओं में देखते हैं, अलग-अलग लंबाई के होते हैं और आपस में अलग-अलग कोण होते हैं। बधाई हो, त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार तैयार है! वैसे, आपको इसे शिक्षकों के सामने प्रदर्शित करने की आवश्यकता नहीं है, चाहे आप अपनी उंगलियों को कैसे भी मोड़ लें, लेकिन आप परिभाषाओं से दूर नहीं हो सकते =)

अगला, हम एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछते हैं, क्या कोई तीन सदिश त्रिविमीय समष्टि का आधार बनाते हैं? कृपया तीन अंगुलियों को कंप्यूटर टेबल टॉप पर मजबूती से दबाएं। क्या हुआ? तीन वैक्टर एक ही विमान में स्थित हैं, और मोटे तौर पर बोलते हुए, हमने मापों में से एक खो दिया है - ऊंचाई। ऐसे वैक्टर हैं समतलीयऔर, स्पष्ट रूप से, कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार नहीं बनाया गया है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कोपलानर वैक्टर को एक ही विमान में झूठ नहीं बोलना पड़ता है, वे समानांतर विमानों में हो सकते हैं (बस अपनी उंगलियों से ऐसा न करें, केवल सल्वाडोर डाली उस तरह से उतरी =))।

परिभाषा: सदिश कहलाते हैं समतलीययदि कोई ऐसा तल मौजूद है जिसके समानांतर वे हैं। यहां यह जोड़ना तर्कसंगत है कि यदि ऐसा विमान मौजूद नहीं है, तो सदिश समतलीय नहीं होंगे।

तीन समतलीय सदिश सदैव रैखिक रूप से आश्रित होते हैं, अर्थात्, वे एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं। सादगी के लिए, फिर से कल्पना करें कि वे एक ही विमान में हैं। सबसे पहले, वैक्टर न केवल समतलीय हैं, बल्कि समरेखीय भी हो सकते हैं, फिर किसी भी वेक्टर को किसी भी वेक्टर के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे मामले में, यदि, उदाहरण के लिए, वैक्टर संरेख नहीं हैं, तो तीसरा वेक्टर उनके माध्यम से एक अनोखे तरीके से व्यक्त किया जाता है: (और पिछले अनुभाग की सामग्री से अनुमान लगाना आसान क्यों है)।

इसका उलटा भी सच है: तीन गैर समतलीय सदिश हमेशा रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैंअर्थात्, वे किसी भी तरह से एक दूसरे के माध्यम से व्यक्त नहीं होते हैं। और, जाहिर है, केवल ऐसे वैक्टर ही त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बन सकते हैं।

परिभाषा: त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधाररैखिक रूप से स्वतंत्र (गैर-समतलीय) सदिशों का त्रिगुण कहलाता है, एक निश्चित क्रम में लिया गया, जबकि अंतरिक्ष के किसी भी वेक्टर एक ही रास्तादिए गए आधार में फैलता है, दिए गए आधार में वेक्टर के निर्देशांक कहां हैं

एक अनुस्मारक के रूप में, आप यह भी कह सकते हैं कि एक सदिश को इस प्रकार दर्शाया जाता है रैखिक संयोजनआधार वैक्टर।

एक समन्वय प्रणाली की अवधारणा को ठीक उसी तरह पेश किया जाता है जैसे कि समतल मामले के लिए, एक बिंदु और किन्हीं तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर पर्याप्त होते हैं:

मूल, और गैर समतलीयवैक्टर, एक निश्चित क्रम में लिया गया, सेट त्रि-आयामी अंतरिक्ष की एफ़िन समन्वय प्रणाली :

बेशक, समन्वय ग्रिड "तिरछा" और असुविधाजनक है, लेकिन, फिर भी, निर्मित समन्वय प्रणाली हमें अनुमति देती है निश्चित रूप सेकिसी भी वेक्टर के निर्देशांक और अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें। विमान के समान, अंतरिक्ष के एफ़िन समन्वय प्रणाली में, कुछ सूत्र जिनका मैंने पहले ही उल्लेख किया है, काम नहीं करेंगे।

एफ़िन समन्वय प्रणाली का सबसे परिचित और सुविधाजनक विशेष मामला, जैसा कि हर कोई अनुमान लगा सकता है, है आयताकार अंतरिक्ष समन्वय प्रणाली:

अंतरिक्ष में बिंदु कहा जाता है मूल, और ऑर्थोनॉर्मलआधार सेट अंतरिक्ष की कार्तीय समन्वय प्रणाली . परिचित तस्वीर:

व्यावहारिक कार्यों के लिए आगे बढ़ने से पहले, हम जानकारी को फिर से व्यवस्थित करते हैं:

तीन अंतरिक्ष सदिशों के लिए, निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
1) वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं;
2) वैक्टर एक आधार बनाते हैं;
3) सदिश समतलीय नहीं हैं;
4) वैक्टर को एक दूसरे के माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है;
5) इन सदिशों के निर्देशांकों से बना सारणिक शून्य से भिन्न है।

मुझे लगता है कि विपरीत बयानों को समझा जा सकता है।

निर्धारक (आइटम 5) का उपयोग करके पारंपरिक रूप से अंतरिक्ष वैक्टर की रैखिक निर्भरता / स्वतंत्रता की जाँच की जाती है। शेष व्यावहारिक कार्य स्पष्ट बीजगणितीय प्रकृति के होंगे। यह एक ज्यामितीय छड़ी को एक कील पर लटकाने और एक रैखिक बीजगणित बेसबॉल बैट चलाने का समय है:

तीन अंतरिक्ष वैक्टरसमतलीय हैं यदि और केवल यदि दिए गए वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक शून्य के बराबर है: .

मैं आपका ध्यान एक छोटी तकनीकी बारीकियों की ओर आकर्षित करता हूं: वैक्टर के निर्देशांक न केवल स्तंभों में, बल्कि पंक्तियों में भी लिखे जा सकते हैं (इससे निर्धारक का मूल्य नहीं बदलेगा - निर्धारकों के गुण देखें)। लेकिन यह कॉलम में बहुत बेहतर है, क्योंकि यह कुछ व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए अधिक फायदेमंद है।

उन पाठकों के लिए जो निर्धारकों की गणना के तरीकों को थोड़ा भूल गए हैं, या शायद वे बिल्कुल भी खराब उन्मुख हैं, मैं अपने सबसे पुराने पाठों में से एक की सिफारिश करता हूं: निर्धारक की गणना कैसे करें?

उदाहरण 6

जांचें कि क्या निम्नलिखित वेक्टर त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं:

फेसला: वास्तव में, सारणिक की गणना के लिए संपूर्ण समाधान नीचे आता है।

ए) वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक की गणना करें (निर्धारक पहली पंक्ति पर विस्तारित होता है):

, जिसका अर्थ है कि वेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (कॉपलर नहीं) और त्रि-आयामी अंतरिक्ष का आधार बनाते हैं।

जवाब: ये वैक्टर आधार बनाते हैं

बी) यह स्वतंत्र निर्णय के लिए एक बिंदु है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

रचनात्मक कार्य भी हैं:

उदाहरण 7

पैरामीटर के किस मान पर सदिश समतलीय होंगे?

फेसला: सदिश समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि दिए गए सदिशों के निर्देशांकों से बना सारणिक शून्य के बराबर हो:

अनिवार्य रूप से, एक सारणिक के साथ एक समीकरण को हल करना आवश्यक है। हम पतंगों की तरह शून्य में उड़ते हैं - दूसरी पंक्ति में निर्धारक को खोलना और तुरंत नुकसान से छुटकारा पाना सबसे अधिक लाभदायक है:

हम और सरलीकरण करते हैं और मामले को सरलतम रैखिक समीकरण में कम करते हैं:

जवाब: पर

यहां जांचना आसान है, इसके लिए आपको परिणामी मान को मूल निर्धारक में बदलना होगा और सुनिश्चित करना होगा कि इसे फिर से खोलकर।

अंत में, आइए एक और विशिष्ट समस्या पर विचार करें, जो एक बीजीय प्रकृति की अधिक है और पारंपरिक रूप से रैखिक बीजगणित के पाठ्यक्रम में शामिल है। यह इतना सामान्य है कि यह एक अलग विषय के योग्य है:

सिद्ध कीजिए कि 3 सदिश त्रिविमीय समष्टि का आधार बनाते हैं
और दिए गए आधार में चौथे वेक्टर के निर्देशांक खोजें

उदाहरण 8

वेक्टर दिए गए हैं। दिखाएँ कि सदिश त्रिविमीय समष्टि का आधार बनाते हैं और इस आधार पर सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

फेसला: आइए पहले स्थिति से निपटें। शर्त के अनुसार, चार वैक्टर दिए गए हैं, और, जैसा कि आप देख सकते हैं, उनके पास पहले से ही किसी न किसी आधार पर निर्देशांक हैं। आधार क्या है - हमें कोई दिलचस्पी नहीं है। और निम्नलिखित बात रुचिकर है: तीन वैक्टर अच्छी तरह से एक नया आधार बना सकते हैं। और पहला कदम पूरी तरह से उदाहरण 6 के समाधान के समान है, यह जांचना आवश्यक है कि क्या वैक्टर वास्तव में रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं:

वैक्टर के निर्देशांक से बना निर्धारक की गणना करें:

, इसलिए सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं और त्रिविमीय समष्टि का आधार बनते हैं।

! जरूरी : वेक्टर निर्देशांक आवश्यक रूप सेलिखो कॉलम मेंनिर्धारक, तार नहीं। अन्यथा, आगे समाधान एल्गोरिदम में भ्रम होगा।