एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा। घूर्णन गति के दौरान गतिज ऊर्जा

गतिज ऊर्जा एक योगात्मक मात्रा है। इसलिए, किसी पिंड की गतिज ऊर्जा एक मनमाना तरीके से चलती है, सभी n भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है जिसमें इस शरीर को मानसिक रूप से विभाजित किया जा सकता है:

यदि शरीर कोणीय वेग के साथ एक निश्चित अक्ष z के चारों ओर घूमता है, तो i-वें बिंदु का रैखिक वेग , री रोटेशन की धुरी की दूरी है। इसलिये,

तुलना करना और यह देखा जा सकता है कि पिंड I की जड़ता का क्षण घूर्णी गति के दौरान जड़ता का एक माप है, जिस तरह द्रव्यमान m अनुवाद गति के दौरान जड़ता का एक उपाय है।

सामान्य स्थिति में, एक कठोर शरीर की गति को दो गतियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है - एक गति vc के साथ अनुवादक और एक कोणीय वेग के साथ घूर्णी जड़ता के केंद्र से गुजरने वाले तात्कालिक अक्ष के चारों ओर। तब इस पिण्ड की कुल गतिज ऊर्जा

यहां आईसी जड़ता के केंद्र से गुजरने वाले घूर्णन के तात्कालिक अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण है।

घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल नियम।

घूर्णी गतिकी

घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल नियम:

या एम = जे, जहां एम बल का क्षण है एम = [आर एफ], जे -जड़ता का क्षण शरीर की गति का क्षण है।

यदि M(external)=0 - कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम। - एक घूर्णन पिंड की गतिज ऊर्जा।

घूर्णी कार्य।

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम।

एक भौतिक बिंदु का कोणीय गति (गति) एक निश्चित बिंदु O के सापेक्ष एक वेक्टर उत्पाद द्वारा निर्धारित एक भौतिक मात्रा है:

जहाँ r बिंदु O से बिंदु A तक खींची गई त्रिज्या सदिश है, p=mv भौतिक बिंदु का संवेग है (चित्र 1); एल एक स्यूडोवेक्टर है, जिसकी दिशा आर से पी तक घूमने के दौरान दाएं स्क्रू के ट्रांसलेशनल मूवमेंट की दिशा से मेल खाती है।

संवेग सदिश मापांक

जहाँ α सदिश r और p के बीच का कोण है, l बिंदु O के सापेक्ष सदिश p का कंधा है।

स्थिर अक्ष z के सापेक्ष कोणीय संवेग, अदिश मान Lz है, जो कोणीय संवेग सदिश के इस अक्ष पर प्रक्षेपण के बराबर है, जो इस अक्ष के एक मनमाना बिंदु O के सापेक्ष परिभाषित है। कोणीय संवेग Lz, z अक्ष पर बिंदु O की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है।

जब एक बिल्कुल कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष z के चारों ओर घूमता है, तो शरीर का प्रत्येक बिंदु निरंतर त्रिज्या ri के एक वृत्त के साथ गति vi के साथ चलता है। वेग vi और संवेग mivi इस त्रिज्या के लंबवत हैं, अर्थात त्रिज्या वेक्टर mivi की भुजा है। अतः हम लिख सकते हैं कि एक कण का कोणीय संवेग होता है

और सही पेंच के नियम द्वारा निर्धारित दिशा में अक्ष के साथ निर्देशित किया जाता है।

अक्ष के सापेक्ष एक कठोर पिंड का संवेग व्यक्तिगत कणों के संवेग का योग होता है:

सूत्र vi = ri का प्रयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

इस प्रकार, एक अक्ष के परितः एक दृढ़ पिंड का कोणीय संवेग, उसी अक्ष के परितः पिंड के जड़त्व आघूर्ण के कोणीय वेग से गुणा के बराबर होता है। आइए समय के संदर्भ में समीकरण (2) में अंतर करें:

यह सूत्र एक निश्चित अक्ष के बारे में एक कठोर शरीर की घूर्णी गति की गतिशीलता के समीकरण का दूसरा रूप है: एक अक्ष के बारे में एक कठोर शरीर के कोणीय गति का व्युत्पन्न समान अक्ष के बारे में बलों के क्षण के बराबर होता है।

यह दिखाया जा सकता है कि सदिश समानता धारण करती है

एक बंद प्रणाली में, बाहरी बलों का क्षण M = 0 होता है और जहाँ से

व्यंजक (4) कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम है: एक बंद निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है, अर्थात समय के साथ परिवर्तित नहीं होता है।

कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम और साथ ही ऊर्जा के संरक्षण का नियम प्रकृति का एक मूलभूत नियम है। यह अंतरिक्ष की समरूपता संपत्ति के साथ जुड़ा हुआ है - इसकी आइसोट्रॉपी, यानी, संदर्भ प्रणाली के समन्वय अक्षों की दिशा की पसंद के संबंध में भौतिक कानूनों के आविष्कार के साथ (अंतरिक्ष में एक बंद प्रणाली के घूर्णन के संबंध में) कोई कोण)।

यहां हम ज़ुकोवस्की बेंच का उपयोग करके कोणीय गति के संरक्षण के कानून का प्रदर्शन करेंगे। एक बेंच पर बैठा व्यक्ति, एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमता है, और बाहर की ओर हाथों में डम्बल पकड़े हुए है (चित्र 2), एक बाहरी तंत्र द्वारा कोणीय वेग ω1 के साथ घुमाया जाता है। यदि कोई व्यक्ति डम्बल को शरीर पर दबाता है, तो सिस्टम की जड़ता का क्षण कम हो जाएगा। लेकिन बाह्य बलों का आघूर्ण शून्य के बराबर होता है, निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है और घूर्णन 2 का कोणीय वेग बढ़ जाता है। इसी तरह, जिमनास्ट, अपने सिर के ऊपर से कूदते हुए, अपनी जड़ता के क्षण को कम करने के लिए अपने हाथों और पैरों को शरीर के करीब खींचता है और इस तरह रोटेशन के कोणीय वेग को बढ़ाता है।

तरल और गैस में दबाव।

गैस के अणु, एक अराजक, अराजक गति करते हुए, अंतःक्रियात्मक बलों द्वारा बाध्य या कमजोर रूप से बंधे नहीं होते हैं, यही कारण है कि वे लगभग स्वतंत्र रूप से आगे बढ़ते हैं और टकराव के परिणामस्वरूप, सभी दिशाओं में बिखर जाते हैं, जबकि उन्हें प्रदान की गई संपूर्ण मात्रा को भरते हैं, यानी, गैस का आयतन गैस के कब्जे वाले आयतन पोत द्वारा निर्धारित किया जाता है।

और द्रव, जिसका एक निश्चित आयतन होता है, उस पात्र का रूप धारण कर लेता है जिसमें वह बंद रहता है। लेकिन तरल पदार्थों में गैसों के विपरीत, अणुओं के बीच की औसत दूरी औसतन स्थिर रहती है, इसलिए तरल का आयतन लगभग स्थिर होता है।

तरल पदार्थ और गैसों के गुण कई मायनों में बहुत भिन्न होते हैं, लेकिन कई यांत्रिक घटनाओं में उनके गुण समान मापदंडों और समान समीकरणों द्वारा निर्धारित होते हैं। इस कारण से, हाइड्रोएरोमैकेनिक्स यांत्रिकी की एक शाखा है जो गैसों और तरल पदार्थों के संतुलन और गति का अध्ययन करती है, उनके बीच और उनके चारों ओर बहने वाले ठोस निकायों के बीच की बातचीत, अर्थात। तरल पदार्थ और गैसों के अध्ययन के लिए एक एकीकृत दृष्टिकोण लागू किया जाता है।

यांत्रिकी में, तरल पदार्थ और गैसों को उच्च सटीकता के साथ निरंतर माना जाता है, उनके द्वारा कब्जा किए गए स्थान के हिस्से में निरंतर वितरित किया जाता है। गैसों में, घनत्व काफी दबाव पर निर्भर करता है। अनुभव से स्थापित। कि एक तरल और एक गैस की संपीड़ितता को अक्सर उपेक्षित किया जा सकता है और एक ही अवधारणा का उपयोग करने की सलाह दी जाती है - एक तरल की असंपीड़ता - हर जगह समान घनत्व वाला तरल, जो समय के साथ नहीं बदलता है।

हम इसे एक पतली प्लेट में आराम से रखते हैं, परिणामस्वरूप, प्लेट के विपरीत किनारों पर स्थित तरल के हिस्से इसके प्रत्येक तत्व ΔS पर बल F के साथ कार्य करेंगे, जो कि निरपेक्ष मान के बराबर होगा और साइट के लंबवत निर्देशित होगा ΔS, साइट के उन्मुखीकरण की परवाह किए बिना, अन्यथा स्पर्शरेखा बलों की उपस्थिति तरल के कणों को गति में स्थापित कर देगी (चित्र 1)

प्रति इकाई क्षेत्र में तरल (या गैस) की ओर से कार्य करने वाले सामान्य बल द्वारा निर्धारित भौतिक मात्रा को दबाव पी / तरल (या गैस) कहा जाता है: पी = ΔF / ΔS।

दबाव की इकाई पास्कल (Pa) है: 1 Pa 1 N के बल द्वारा बनाए गए दबाव के बराबर है, जो समान रूप से 1 m2 की सतह पर समान रूप से वितरित किया जाता है (1 Pa = 1 N/m2)।

तरल पदार्थ (गैसों) के संतुलन पर दबाव पास्कल के नियम का पालन करता है: किसी भी तरल पदार्थ के किसी भी स्थान पर दबाव सभी दिशाओं में समान होता है, और दबाव समान रूप से द्रव द्वारा कब्जा किए गए पूरे मात्रा में समान रूप से प्रसारित होता है।

आइए हम एक स्थिर असंपीड्य द्रव के अंदर दाब के वितरण पर द्रव के भार के प्रभाव की जाँच करें। जब कोई तरल संतुलन में होता है, तो किसी भी क्षैतिज रेखा के साथ दबाव हमेशा समान होता है, अन्यथा कोई संतुलन नहीं होगा। इसका अर्थ है कि विरामावस्था में द्रव का मुक्त पृष्ठ सदैव क्षैतिज होता है (हम पात्र की दीवारों द्वारा द्रव के आकर्षण को ध्यान में नहीं रखते हैं)। यदि कोई द्रव असंपीड्य है, तो द्रव का घनत्व दबाव से स्वतंत्र होता है। फिर, तरल स्तंभ के क्रॉस सेक्शन S के साथ, इसकी ऊंचाई h और घनत्व , वजन P=ρgSh है, जबकि निचले आधार पर दबाव है: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

यानी दबाव ऊंचाई के साथ रैखिक रूप से बदलता है। दबाव ρgh को हाइड्रोस्टेटिक दबाव कहा जाता है।

सूत्र (1) के अनुसार, तरल की निचली परतों पर दबाव बल ऊपरी परतों की तुलना में अधिक होगा, इसलिए आर्किमिडीज के नियम द्वारा निर्धारित बल एक तरल (गैस) में डूबे हुए शरीर पर कार्य करता है: ऊपर की ओर उत्प्लावक शरीर द्वारा विस्थापित द्रव (गैस) के भार के बराबर बल: FA=ρgV, जहाँ ρ तरल का घनत्व है, V तरल में डूबे हुए पिंड का आयतन है।

« भौतिकी - ग्रेड 10 "

रोटेशन के कोणीय वेग को बढ़ाने के लिए स्केटर रोटेशन की धुरी के साथ क्यों फैलता है।
क्या एक हेलीकॉप्टर को घूमना चाहिए जब उसका प्रोपेलर घूमता है?

पूछे गए प्रश्नों से पता चलता है कि यदि बाहरी बल शरीर पर कार्य नहीं करते हैं या उनकी कार्रवाई की भरपाई की जाती है और शरीर का एक हिस्सा एक दिशा में घूमना शुरू कर देता है, तो दूसरे भाग को दूसरी दिशा में घूमना चाहिए, जैसे कि जब ईंधन बाहर निकलता है एक रॉकेट, रॉकेट स्वयं विपरीत दिशा में चलता है।

आवेग का क्षण।

यदि हम एक घूर्णन डिस्क पर विचार करते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि डिस्क का कुल संवेग शून्य है, क्योंकि शरीर का कोई भी कण निरपेक्ष मान में समान गति से गतिमान कण से मेल खाता है, लेकिन विपरीत दिशा में (चित्र। 6.9)।

लेकिन डिस्क गतिमान है, सभी कणों के घूर्णन का कोणीय वेग समान है। हालांकि, यह स्पष्ट है कि कण रोटेशन की धुरी से जितना दूर होगा, उसका संवेग उतना ही अधिक होगा। इसलिए, घूर्णी गति के लिए, एक और विशेषता पेश की जानी चाहिए, गति के समान, कोणीय गति।

एक वृत्त में गतिमान कण का कोणीय संवेग, कण के संवेग और उससे घूर्णन अक्ष तक की दूरी का गुणनफल होता है (चित्र 6.10):

रैखिक और कोणीय वेग v = r से संबंधित हैं, फिर

एक कठोर पदार्थ के सभी बिंदु समान कोणीय वेग के साथ घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के सापेक्ष गति करते हैं। एक कठोर शरीर को भौतिक बिंदुओं के संग्रह के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक कठोर पिंड का कोणीय संवेग जड़ता आघूर्ण और घूर्णन के कोणीय वेग के गुणनफल के बराबर होता है:

कोणीय संवेग एक सदिश राशि है, सूत्र (6.3) के अनुसार कोणीय संवेग उसी प्रकार निर्देशित होता है जैसे कोणीय वेग।

आवेगी रूप में घूर्णी गति की गतिशीलता का मूल समीकरण।

किसी पिंड का कोणीय त्वरण उस समय अंतराल से विभाजित कोणीय वेग में परिवर्तन के बराबर होता है जिसके दौरान यह परिवर्तन हुआ था: इस अभिव्यक्ति को घूर्णी गति की गतिशीलता के लिए मूल समीकरण में बदलें। इसलिए I(ω 2 - ω 1) = MΔt, या IΔω = MΔt।

इस प्रकार,

L = M∆t। (6.4)

कोणीय गति में परिवर्तन शरीर या प्रणाली पर कार्य करने वाले बलों के कुल क्षण और इन बलों की कार्रवाई के समय के उत्पाद के बराबर है।

कोणीय गति के संरक्षण का नियम:

यदि किसी पिंड या पिंडों के एक निश्चित घूर्णन अक्ष पर कार्य करने वाले बलों का कुल आघूर्ण शून्य के बराबर है, तो कोणीय संवेग में परिवर्तन भी शून्य के बराबर होता है, अर्थात निकाय का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

∆एल = 0, एल = स्थिरांक.

निकाय के संवेग में परिवर्तन निकाय पर कार्यरत बलों के कुल संवेग के बराबर होता है।

कताई स्केटर अपनी भुजाओं को भुजाओं तक फैलाता है, जिससे घूर्णन के कोणीय वेग को कम करने के लिए जड़ता के क्षण में वृद्धि होती है।

कोणीय गति के संरक्षण के नियम को निम्नलिखित प्रयोग का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसे "ज़ुकोवस्की बेंच के साथ प्रयोग" कहा जाता है। एक व्यक्ति एक बेंच पर खड़ा होता है जिसके केंद्र से गुजरने वाली घूर्णन की लंबवत धुरी होती है। आदमी अपने हाथों में डम्बल रखता है। यदि बेंच को घुमाने के लिए बनाया गया है, तो एक व्यक्ति डम्बल को अपनी छाती पर दबाकर या अपनी बाहों को नीचे करके और फिर उन्हें अलग करके रोटेशन की गति को बदल सकता है। अपनी बाहों को फैलाते हुए, वह जड़ता के क्षण को बढ़ाता है, और रोटेशन का कोणीय वेग कम हो जाता है (चित्र 6.11, ए), अपने हाथों को कम करके, वह जड़ता के क्षण को कम कर देता है, और बेंच के रोटेशन का कोणीय वेग बढ़ जाता है (चित्र। 6.11, बी)।

एक व्यक्ति बेंच को उसके किनारे पर चलकर भी घुमा सकता है। इस मामले में, बेंच विपरीत दिशा में घूमेगी, क्योंकि कुल कोणीय गति शून्य के बराबर रहनी चाहिए।

जाइरोस्कोप नामक उपकरणों के संचालन का सिद्धांत कोणीय गति के संरक्षण के नियम पर आधारित है। जाइरोस्कोप की मुख्य संपत्ति रोटेशन की धुरी की दिशा का संरक्षण है, अगर बाहरी बल इस अक्ष पर कार्य नहीं करते हैं। 19 वीं सदी में जाइरोस्कोप का उपयोग नाविकों द्वारा समुद्र में नेविगेट करने के लिए किया जाता था।

एक घूर्णन कठोर पिंड की गतिज ऊर्जा।

एक घूर्णन ठोस पिंड की गतिज ऊर्जा उसके अलग-अलग कणों की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। आइए हम शरीर को छोटे-छोटे तत्वों में विभाजित करें, जिनमें से प्रत्येक को एक भौतिक बिंदु माना जा सकता है। तब शरीर की गतिज ऊर्जा उन भौतिक बिंदुओं की गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है जिनमें यह शामिल है:

शरीर के सभी बिंदुओं के घूर्णन का कोणीय वेग समान है, इसलिए,

कोष्ठक में मान, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, कठोर शरीर की जड़ता का क्षण है। अंत में, घूर्णन के एक निश्चित अक्ष के साथ एक कठोर शरीर की गतिज ऊर्जा के सूत्र का रूप है

एक कठोर पिंड की गति के सामान्य मामले में, जब रोटेशन की धुरी मुक्त होती है, तो इसकी गतिज ऊर्जा स्थानान्तरण और घूर्णी गतियों की ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। तो, एक पहिया की गतिज ऊर्जा, जिसका द्रव्यमान रिम में केंद्रित होता है, सड़क के साथ निरंतर गति से लुढ़कता है, के बराबर है

तालिका एक भौतिक बिंदु के अनुवाद गति के यांत्रिकी के सूत्रों की तुलना एक कठोर शरीर के घूर्णन गति के समान सूत्रों के साथ करती है।

कार्य

1. निर्धारित करें कि 4000 टन के द्रव्यमान वाली ट्रेन के गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान से प्रभावी द्रव्यमान कितनी गुना अधिक है, यदि पहियों का द्रव्यमान ट्रेन के द्रव्यमान का 15% है। पहियों को 1.02 मीटर के व्यास के साथ डिस्क के रूप में मानें। पहियों का व्यास आधा होने पर उत्तर कैसे बदलेगा?

2. उस त्वरण का निर्धारण करें जिसके साथ 1200 किग्रा द्रव्यमान का एक पहिया जोड़ा 0.08 की ढलान के साथ एक पहाड़ी पर लुढ़कता है। डिस्क के रूप में पहियों पर विचार करें। रोलिंग प्रतिरोध गुणांक 0.004। रेल के पहियों के आसंजन बल का निर्धारण करें।

3. उस त्वरण का निर्धारण करें जिसके साथ 1400 किग्रा भार वाला एक पहिया युग्म 0.05 की ढलान वाली पहाड़ी पर लुढ़कता है। गुणांक 0.002 खींचें। आसंजन का गुणांक क्या होना चाहिए ताकि पहिए फिसले नहीं। डिस्क के रूप में पहियों पर विचार करें।

4. उस त्वरण का निर्धारण करें जिसके साथ 40 टन वजन का एक वैगन 0.020 की ढलान के साथ एक पहाड़ी पर लुढ़कता है यदि इसमें आठ पहिये हैं जिनका वजन 1200 किलोग्राम और 1.02 मीटर का व्यास है। पहियों के आसंजन के बल को रेल पर निर्धारित करें। गुणांक 0.003 खींचें।

5. यदि 4000 टन भार वाली कोई ट्रेन 0.3 m/s 2 के त्वरण से धीमी हो जाती है, तो पट्टियों पर ब्रेक शूज़ का दाब बल ज्ञात कीजिए। एक पहिए की जड़ता का क्षण 600 किग्रा मी 2 है, धुरों की संख्या 400 है, ब्लॉक का फिसलने वाला घर्षण गुणांक 0.18 है, रोलिंग प्रतिरोध गुणांक 0.004 है।

6. एक मार्शलिंग यार्ड के ब्रेक पैड पर 60 टन के द्रव्यमान के साथ चार-एक्सल वैगन पर अभिनय करने वाले ब्रेकिंग बल का निर्धारण करें यदि 30 मीटर ट्रैक पर गति 2 मीटर / सेकंड से घटकर 1.5 मीटर / सेकंड हो जाती है। एक पहिए का जड़त्व आघूर्ण 500 kg m2 है।

7. लोकोमोटिव के स्पीडोमीटर ने एक मिनट के भीतर ट्रेन की गति में 10 मीटर/सेकेंड से 60 मीटर/सेकेंड की वृद्धि दिखाई। संभवत: आगे का पहिया फिसल गया था। विद्युत मोटर के आर्मेचर पर कार्य करने वाले बलों के क्षण का निर्धारण करें। व्हीलसेट की जड़ता का क्षण 600 किग्रा मी 2, एंकर 120 किग्रा मी 2। गियर अनुपात गियर 4.2। रेल पर दबाव बल 200 kN है, रेल के साथ पहियों का फिसलने वाला घर्षण गुणांक 0.10 है।

11. रोटेटर की गतिज ऊर्जा

आंदोलनों

हम घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा का सूत्र प्राप्त करते हैं। शरीर को कोणीय वेग से घूमने दें ω स्थिर अक्ष के बारे में शरीर का कोई भी छोटा कण गति के साथ एक वृत्त में स्थानान्तरण गति करता है, जहाँ मैं -घूर्णन के अक्ष से दूरी, कक्षा की त्रिज्या। कण की गतिज ऊर्जा जनता मैं मैंके बराबर है . कणों के एक निकाय की कुल गतिज ऊर्जा उनकी गतिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। आइए हम पिंड के कणों की गतिज ऊर्जा के सूत्रों का योग करें और कोणीय वेग के आधे वर्ग के योग का चिन्ह निकालें, जो सभी कणों के लिए समान है, . कणों के द्रव्यमान के गुणनफल और रोटेशन की धुरी के लिए उनकी दूरी के वर्गों का योग रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण है . इसलिए, एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन करने वाले पिंड की गतिज ऊर्जा धुरी के परितः पिंड के जड़त्व आघूर्ण के आधे गुणनफल के बराबर होती है और घूर्णन के कोणीय वेग के वर्ग के बराबर होती है।:

घूर्णन निकाय यांत्रिक ऊर्जा को संग्रहीत कर सकते हैं। ऐसे पिंडों को चक्का कहा जाता है। आमतौर पर ये क्रांति के निकाय होते हैं। कुम्हार के पहिये में चक्का का उपयोग प्राचीन काल से जाना जाता है। आंतरिक दहन इंजन में, स्ट्रोक के दौरान, पिस्टन चक्का को यांत्रिक ऊर्जा प्रदान करता है, जो अगले तीन चक्रों के लिए इंजन शाफ्ट के रोटेशन पर काम करता है। टिकटों और प्रेस में, चक्का अपेक्षाकृत कम-शक्ति वाली इलेक्ट्रिक मोटर द्वारा संचालित होता है, लगभग एक पूर्ण मोड़ के लिए यांत्रिक ऊर्जा जमा करता है, और प्रभाव के एक छोटे से क्षण में इसे मुद्रांकन के काम देता है।

वाहनों को चलाने के लिए घूमने वाले चक्का का उपयोग करने के कई प्रयास हैं: कार, बसें। उन्हें महोमोबाइल्स, जाइरो कैरियर्स कहा जाता है। ऐसी कई प्रायोगिक मशीनें बनाई गईं। बाद में त्वरण के दौरान संचित ऊर्जा का उपयोग करने के लिए इलेक्ट्रिक ट्रेनों के ब्रेकिंग के दौरान ऊर्जा भंडारण के लिए फ्लाईव्हील का उपयोग करने का वादा किया जाएगा। फ्लाईव्हील ऊर्जा भंडारण को न्यूयॉर्क शहर की मेट्रो ट्रेनों में उपयोग करने के लिए जाना जाता है।

यांत्रिकी।

प्रश्न 1

संदर्भ प्रणाली। जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली। गैलीलियो-आइंस्टीन का सापेक्षता का सिद्धांत।

संदर्भ प्रणाली- यह निकायों का एक समूह है जिसके संबंध में किसी दिए गए शरीर की गति और उससे जुड़ी समन्वय प्रणाली का वर्णन किया गया है।

जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली (आईएसओ)- एक प्रणाली जिसमें एक स्वतंत्र रूप से गतिमान पिंड आराम या एकसमान सीधा गति में है।

गैलीलियो-आइंस्टीन का सापेक्षता का सिद्धांत- किसी भी जड़त्वीय संदर्भ में प्रकृति की सभी घटनाएं एक ही तरह से घटित होती हैं और उनका गणितीय रूप समान होता है। दूसरे शब्दों में, सभी आईएसओ समान हैं।

प्रश्न 2

गति का समीकरण। एक कठोर शरीर की गति के प्रकार। किनेमेटिक्स का मुख्य कार्य।

भौतिक बिंदु की गति के समीकरण:

- गति का गतिज समीकरण

एक कठोर शरीर की गति के प्रकार:

1) स्थानान्तरण गति - शरीर में खींची गई कोई भी सीधी रेखा अपने आप समानांतर चलती है।

2) घूर्णी गति - शरीर का कोई भी बिंदु एक वृत्त में घूमता है।

= (टी)

किनेमेटिक्स का मुख्य कार्य- यह वेग की समय निर्भरता प्राप्त कर रहा है V=V(t) और निर्देशांक (या त्रिज्या वेक्टर) r = r(t) एक भौतिक बिंदु के ज्ञात समय निर्भरता से उसके त्वरण a = a(t) और ज्ञात प्रारंभिक शर्तें V 0 और r 0 ।

प्रश्न #7

धड़कन (आंदोलन की संख्या) एक वेक्टर भौतिक मात्रा है जो शरीर के यांत्रिक आंदोलन के माप की विशेषता है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, किसी पिंड का संवेग द्रव्यमान के गुणनफल के बराबर होता है एमइसकी गति के लिए यह बिंदु वी, संवेग की दिशा वेग वेक्टर की दिशा के साथ मेल खाती है:

सैद्धांतिक यांत्रिकी में सामान्यीकृत गतिसामान्यीकृत वेग के संबंध में प्रणाली के लैग्रैन्जियन का आंशिक व्युत्पन्न है

यदि सिस्टम का लग्रांगियन कुछ पर निर्भर नहीं करता है सामान्यीकृत समन्वय, तो के कारण लैग्रेंज समीकरण .

एक मुक्त कण के लिए, लैग्रेंज फ़ंक्शन का रूप है: , इसलिए:

अंतरिक्ष में अपनी स्थिति से एक बंद प्रणाली के लग्रांगियन की स्वतंत्रता संपत्ति से होती है अंतरिक्ष की एकरूपता: एक अच्छी तरह से पृथक प्रणाली के लिए, इसका व्यवहार इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि हम इसे अंतरिक्ष में कहां रखते हैं। द्वारा नोथेर का प्रमेययह समरूपता कुछ भौतिक मात्रा के संरक्षण का तात्पर्य है। इस मात्रा को आवेग (सामान्य, सामान्यीकृत नहीं) कहा जाता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी में, पूर्ण गतिभौतिक बिंदुओं की प्रणाली को उनकी गति पर भौतिक बिंदुओं के द्रव्यमान के उत्पादों के योग के बराबर वेक्टर मात्रा कहा जाता है:

तदनुसार, मात्रा को एक भौतिक बिंदु का संवेग कहा जाता है। यह कण के वेग के समान दिशा में निर्देशित एक सदिश राशि है। इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स (SI) में संवेग की इकाई है किलोग्राम मीटर प्रति सेकंड(किलो मीटर/सेक)

यदि हम एक सीमित आकार के शरीर के साथ काम कर रहे हैं, तो इसकी गति को निर्धारित करने के लिए, शरीर को छोटे भागों में तोड़ना आवश्यक है, जिसे भौतिक बिंदु माना जा सकता है और उन पर योग किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

एक प्रणाली की गति जो किसी बाहरी ताकतों से प्रभावित नहीं होती है (या उन्हें मुआवजा दिया जाता है), संरक्षितसमय के भीतर:

इस मामले में संवेग का संरक्षण न्यूटन के दूसरे और तीसरे नियमों से होता है: सिस्टम को बनाने वाले प्रत्येक भौतिक बिंदु के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लिखना और इसे न्यूटन के तीसरे नियम के आधार पर सिस्टम बनाने वाले सभी भौतिक बिंदुओं पर जोड़ना। कानून हम समानता (*) प्राप्त करते हैं।

सापेक्षतावादी यांत्रिकी में, गैर-अंतःक्रियात्मक सामग्री बिंदुओं की एक प्रणाली की त्रि-आयामी गति मात्रा है

,

कहाँ पे मैं मैं- वजन मैं-वें सामग्री बिंदु।

गैर-अंतःक्रियात्मक सामग्री बिंदुओं की एक बंद प्रणाली के लिए, यह मान संरक्षित है। हालांकि, त्रि-आयामी गति एक सापेक्ष रूप से अपरिवर्तनीय मात्रा नहीं है, क्योंकि यह संदर्भ के फ्रेम पर निर्भर करती है। एक अधिक सार्थक मूल्य एक चार-आयामी गति होगी, जिसे एक भौतिक बिंदु के रूप में परिभाषित किया गया है

व्यवहार में, किसी कण के द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के बीच निम्नलिखित संबंधों का अक्सर उपयोग किया जाता है:

सिद्धांत रूप में, गैर-अंतःक्रियात्मक सामग्री बिंदुओं की एक प्रणाली के लिए, उनके 4-मोमेंट को सारांशित किया जाता है। हालांकि, सापेक्षतावादी यांत्रिकी में कणों के परस्पर क्रिया के लिए, किसी को न केवल उन कणों के क्षण को ध्यान में रखना चाहिए जो सिस्टम को बनाते हैं, बल्कि उनके बीच बातचीत के क्षेत्र की गति को भी ध्यान में रखते हैं। इसलिए, सापेक्षतावादी यांत्रिकी में एक अधिक सार्थक मात्रा ऊर्जा-गति टेंसर है, जो संरक्षण कानूनों को पूरी तरह से संतुष्ट करती है।

प्रश्न #8

निष्क्रियता के पल- एक अदिश भौतिक मात्रा, एक धुरी के चारों ओर घूर्णी गति में एक पिंड की जड़ता का एक माप, जिस तरह किसी पिंड का द्रव्यमान अनुवाद गति में उसकी जड़ता का एक माप है। यह शरीर में द्रव्यमान के वितरण की विशेषता है: जड़ता का क्षण प्राथमिक द्रव्यमान के उत्पादों के योग के बराबर होता है और आधार सेट के लिए उनकी दूरी का वर्ग होता है

जड़ता का अक्षीय क्षण

कुछ निकायों की जड़ता के अक्षीय क्षण।

एक यांत्रिक प्रणाली की जड़ता का क्षणएक निश्चित अक्ष के सापेक्ष ("जड़त्व का अक्षीय क्षण") को मान कहा जाता है जे एसभी के लोगों के उत्पादों के योग के बराबर एनप्रणाली के भौतिक बिंदुओं को अक्ष से उनकी दूरी के वर्गों में:

,

• मैं मैं- वजन मैं-वां बिंदु,
• मैं- से दूरी मैं- अक्ष के लिए बिंदु।

AXIAL निष्क्रियता के पलतन जे एएक धुरी के चारों ओर घूर्णी गति में एक पिंड की जड़ता का एक उपाय है, जैसे कि एक पिंड का द्रव्यमान अनुवाद गति में इसकी जड़ता का एक उपाय है।

,

• डी एम = ρ डीवी- शरीर के एक छोटे आयतन तत्व का द्रव्यमान डीवी,
• - घनत्व,
• आर- तत्व से दूरी डीवीअक्ष के लिए ए।

यदि शरीर सजातीय है, अर्थात उसका घनत्व हर जगह समान है, तो

सूत्र व्युत्पत्ति

डी एमऔर जड़ता के क्षण डीजे मैं. फिर

पतली दीवार वाला सिलेंडर (अंगूठी, घेरा)

सूत्र व्युत्पत्ति

किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण उसके अवयवों के जड़त्व आघूर्ण के योग के बराबर होता है। एक पतली दीवार वाले सिलेंडर को द्रव्यमान वाले तत्वों में विभाजित करना डी एमऔर जड़ता के क्षण डीजे मैं. फिर

चूँकि पतली दीवार वाले बेलन के सभी अवयव घूर्णन अक्ष से समान दूरी पर होते हैं, इसलिए सूत्र (1) को रूप में परिवर्तित किया जाता है।

स्टेनर का प्रमेय

निष्क्रियता के पलकिसी भी धुरी के सापेक्ष एक कठोर शरीर का आकार न केवल शरीर के द्रव्यमान, आकार और आयामों पर निर्भर करता है, बल्कि इस धुरी के संबंध में शरीर की स्थिति पर भी निर्भर करता है। स्टीनर प्रमेय (ह्यूजेंस-स्टीनर प्रमेय) के अनुसार, निष्क्रियता के पलतन जेएक मनमाना अक्ष के सापेक्ष योग के बराबर है निष्क्रियता के पलयह शरीर जे.सी.माना अक्ष के समानांतर शरीर के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष, और शरीर द्रव्यमान का उत्पाद एमप्रति वर्ग दूरी डीधुरी के बीच:

यदि पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण है, तो इससे दूरी पर स्थित समानांतर अक्ष के बारे में जड़ता का क्षण बराबर है

,

शरीर का कुल द्रव्यमान कहाँ है।

उदाहरण के लिए, एक छड़ के अंत से गुजरने वाली धुरी के बारे में जड़ता का क्षण है:

घूर्णी ऊर्जा

घूर्णी गति की गतिज ऊर्जा- इसके घूमने से जुड़ी शरीर की ऊर्जा।

किसी पिंड की घूर्णी गति की मुख्य गतिज विशेषताएँ इसका कोणीय वेग (ω) और कोणीय त्वरण हैं। घूर्णी गति की मुख्य गतिशील विशेषताएं रोटेशन अक्ष z के बारे में कोणीय गति हैं:

केज़ू = इज़ूω

और गतिज ऊर्जा

जहां I z घूर्णन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण है।

जड़त्व के प्रमुख अक्षों के साथ घूर्णन अणु पर विचार करते समय एक समान उदाहरण पाया जा सकता है मैं 1, मैं 2और मैं 3. ऐसे अणु की घूर्णन ऊर्जा व्यंजक द्वारा दी जाती है

कहाँ पे 1, 2, और 3कोणीय वेग के प्रमुख घटक हैं।

सामान्य स्थिति में, कोणीय वेग के साथ घूर्णन के दौरान ऊर्जा सूत्र द्वारा पाई जाती है:

, कहाँ पे मैंजड़ता टेंसर है।

प्रश्न #9

आवेग का क्षण (कोणीय गति, कोणीय गति, कक्षीय गति, कोणीय गति) घूर्णी गति की मात्रा को दर्शाता है। एक मात्रा जो इस बात पर निर्भर करती है कि कितना द्रव्यमान घूम रहा है, इसे घूर्णन की धुरी के बारे में कैसे वितरित किया जाता है, और कितनी तेजी से घूर्णन होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहां घूर्णन को व्यापक अर्थों में समझा जाता है, न कि केवल अक्ष के चारों ओर नियमित घूर्णन के रूप में। उदाहरण के लिए, यहां तक ​​​​कि एक शरीर की एक सीधी गति के साथ एक मनमाना काल्पनिक बिंदु जो गति की रेखा पर स्थित नहीं है, इसमें कोणीय गति भी होती है। वास्तविक घूर्णी गति का वर्णन करने में शायद सबसे बड़ी भूमिका कोणीय गति द्वारा निभाई जाती है। हालांकि, समस्याओं के एक व्यापक वर्ग के लिए यह अत्यंत महत्वपूर्ण है (विशेषकर यदि समस्या में केंद्रीय या अक्षीय समरूपता है, लेकिन केवल इन मामलों में ही नहीं)।

संवेग के संरक्षण का नियम(कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम) - एक बंद प्रणाली के लिए किसी भी अक्ष के बारे में सभी कोणीय गति का वेक्टर योग प्रणाली के संतुलन के मामले में स्थिर रहता है। इसके अनुसार, कोणीय गति के किसी भी गैर-समय व्युत्पन्न के संबंध में एक बंद प्रणाली की कोणीय गति बल का क्षण है:

इस प्रकार, सिस्टम क्लोजर की आवश्यकता को इस आवश्यकता के लिए कमजोर किया जा सकता है कि बाहरी बलों का मुख्य (कुल) क्षण शून्य के बराबर हो:

कणों की प्रणाली पर लागू बलों में से एक का क्षण कहां है। (लेकिन निश्चित रूप से, अगर कोई बाहरी ताकतें नहीं हैं, तो यह आवश्यकता भी पूरी होती है)।

गणितीय रूप से, कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम अंतरिक्ष के समस्थानिक से अनुसरण करता है, अर्थात, अंतरिक्ष के अपरिवर्तनशीलता से एक मनमाना कोण के माध्यम से घूर्णन के संबंध में। जब एक मनमाना अन्तर्निहित कोण के माध्यम से घूमते हैं, तो संख्या के साथ कण का त्रिज्या वेक्टर बदल जाएगा, और वेग -। अंतरिक्ष की आइसोट्रॉपी के कारण, इस तरह के रोटेशन के दौरान सिस्टम का लैग्रेंज फ़ंक्शन नहीं बदलेगा। इसलिए

1. शरीर के चारों ओर घूमने पर विचार करें स्तब्धअक्ष Z. आइए हम पूरे शरीर को प्राथमिक द्रव्यमान m . के एक समूह में विभाजित करें मैं. प्रारंभिक द्रव्यमान m . का रैखिक वेग मैं- वी मैं = डब्ल्यू आर मैं, जहां R मैं- द्रव्यमान m . की दूरी मैंरोटेशन की धुरी से। अत: गतिज ऊर्जा मैं-वें प्राथमिक द्रव्यमान के बराबर होगा . शरीर की कुल गतिज ऊर्जा: , यहाँ रोटेशन की धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण है।

इस प्रकार, एक निश्चित अक्ष के परितः घूमते हुए पिंड की गतिज ऊर्जा है:

2. शरीर को अभी रहने दो घूमताकुछ अक्ष के बारे में, और अक्ष चलता हैउत्तरोत्तर, स्वयं के समानांतर शेष।

उदाहरण के लिए: एक गेंद बिना खिसके लुढ़कती हुई एक घूर्णी गति करती है, और इसका गुरुत्वाकर्षण केंद्र, जिसके माध्यम से रोटेशन का अक्ष गुजरता है (बिंदु "O") आगे बढ़ता है (चित्र। 4.17)।

रफ़्तार मैं-कि शरीर का प्राथमिक द्रव्यमान बराबर है , शरीर के किसी बिंदु "O" की गति कहाँ है; - त्रिज्या-वेक्टर जो बिंदु "ओ" के संबंध में प्रारंभिक द्रव्यमान की स्थिति निर्धारित करता है।

प्राथमिक द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा बराबर होती है:

नोट: वेक्टर उत्पाद वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाता है और इसका मापांक बराबर होता है (चित्र 4.18)।

इस टिप्पणी को ध्यान में रखते हुए, हम लिख सकते हैं कि , जहां घूर्णन के अक्ष से द्रव्यमान की दूरी है। दूसरे पद में, हम कारकों का चक्रीय क्रमपरिवर्तन करते हैं, जिसके बाद हम प्राप्त करते हैं

शरीर की कुल गतिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए, हम इस अभिव्यक्ति को सभी प्रारंभिक द्रव्यमानों पर जोड़ते हैं, स्थिर कारकों को योग चिह्न से निकालते हैं। पाना

प्राथमिक द्रव्यमान का योग "m" शरीर का द्रव्यमान है। अभिव्यक्ति शरीर के द्रव्यमान के उत्पाद के बराबर है और शरीर के जड़त्व केंद्र के त्रिज्या वेक्टर (जड़ता के केंद्र की परिभाषा के अनुसार) के बराबर है। अंत में, - बिंदु "ओ" से गुजरने वाली धुरी के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण। इसलिए, कोई लिख सकता है

.

यदि हम पिंड "C" के जड़त्व केंद्र को बिंदु "O" के रूप में लेते हैं, तो त्रिज्या वेक्टर शून्य के बराबर होगा और दूसरा पद गायब हो जाएगा। फिर, के माध्यम से - जड़ता के केंद्र की गति, और के माध्यम से - बिंदु "सी" से गुजरने वाली धुरी के सापेक्ष शरीर की जड़ता का क्षण, हम प्राप्त करते हैं:

(4.6)

इस प्रकार, समतल गति के दौरान किसी पिंड की गतिज ऊर्जा, जड़त्व के केंद्र की गति के बराबर गति के साथ अनुवाद गति की ऊर्जा और शरीर के जड़त्व के केंद्र से गुजरने वाली धुरी के चारों ओर घूमने की ऊर्जा से बनी होती है।

कठोर पिंड की घूर्णी गति के दौरान बाहरी बलों का कार्य।

जब पिंड स्थिर Z अक्ष के चारों ओर घूमता है तो बलों द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि द्रव्यमान पर एक आंतरिक बल और एक बाहरी बल कार्य करता है (परिणामस्वरूप बल घूर्णन के अक्ष के लंबवत समतल में होता है) (चित्र 4.19)। ये ताकतें समय में बनाती हैं डीटीकाम:

वैक्टर के मिश्रित उत्पादों में कारकों का चक्रीय क्रमपरिवर्तन करने के बाद, हम पाते हैं:

जहां , - क्रमशः, बिंदु "ओ" के सापेक्ष आंतरिक और बाहरी बलों के क्षण।

सभी प्राथमिक द्रव्यमानों को मिलाकर, हम समय के दौरान शरीर पर किए गए प्राथमिक कार्य को प्राप्त करते हैं डीटी:

आंतरिक बलों के क्षणों का योग शून्य के बराबर होता है। फिर, के माध्यम से बाहरी बलों के कुल क्षण को दर्शाते हुए, हम अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं:

.

यह ज्ञात है कि दो सदिशों का अदिश गुणन गुणित सदिशों में से एक के मापांक के गुणनफल के बराबर अदिश होता है और दूसरे का प्रक्षेपण पहले की दिशा में होता है, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि , Z अक्ष और संपाती), हम प्राप्त करते हैं

,

लेकिन इसके साथ डीटी=डीजे, यानी वह कोण जिससे पिंड समय में घूमता है डीटी. इसलिए

.

कार्य का चिन्ह M z के चिन्ह पर निर्भर करता है, अर्थात। वेक्टर की दिशा में वेक्टर के प्रक्षेपण के संकेत से।

इसलिए, जब शरीर घूमता है, आंतरिक बल कोई काम नहीं करते हैं, और बाहरी बलों का कार्य सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है .

एक सीमित समय अंतराल में किया गया कार्य समाकलन द्वारा पाया जाता है

.

यदि दिशा पर बाहरी बलों के परिणामी क्षण का प्रक्षेपण स्थिर रहता है, तो इसे अभिन्न चिन्ह से निकाला जा सकता है:

, अर्थात। .

वे। किसी पिंड की घूर्णन गति के दौरान बाह्य बल का कार्य बाह्य बल के आघूर्ण के प्रक्षेपण और घूर्णन की दिशा और कोण के गुणनफल के बराबर होता है।

दूसरी ओर, शरीर पर अभिनय करने वाले बाहरी बल का कार्य शरीर की गतिज ऊर्जा में वृद्धि (या घूमने वाले शरीर की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर) तक जाता है। आइए इसे दिखाते हैं:

;

इसलिये,

. (4.7)

ख़ुद के दम पर:

लोचदार बल;

हुक का नियम।

व्याख्यान 7

जल-गत्यात्मकता

करंट की लाइनें और ट्यूब।

हाइड्रोडायनामिक्स तरल पदार्थों की गति का अध्ययन करता है, लेकिन इसके नियम गैसों की गति पर भी लागू होते हैं। एक स्थिर द्रव प्रवाह में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर इसके कणों का वेग समय से स्वतंत्र मात्रा और निर्देशांक का एक कार्य होता है। एक स्थिर प्रवाह में, द्रव कणों के प्रक्षेप पथ एक धारा रेखा बनाते हैं। स्ट्रीमलाइन का सेट एक स्ट्रीम ट्यूब बनाता है (चित्र 5.1)। हम मानते हैं कि तरल असम्पीडित है, तो वर्गों के माध्यम से बहने वाले तरल की मात्रा एस 1 और एस 2 समान होगा। एक सेकंड में, द्रव का आयतन के बराबर होता है

, (5.1)

क्रॉस सेक्शन में द्रव वेग कहाँ और हैं एस 1 और एस 2 , और वैक्टर और को परिभाषित किया गया है और , जहां और वर्गों के लिए मानक हैं एस 1 और एस 2. समीकरण (5.1) को जेट निरंतरता समीकरण कहा जाता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि द्रव का वेग धारा नली के अनुप्रस्थ काट के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

बर्नौली समीकरण।

हम एक आदर्श असंपीड्य द्रव पर विचार करेंगे जिसमें कोई आंतरिक घर्षण (चिपचिपापन) न हो। आइए हम अनुप्रस्थ काट वाले स्थिर प्रवाहित द्रव (चित्र 5.2) में धारा की एक पतली नली को अलग करें एस 1और एस 2स्ट्रीमलाइन के लंबवत। अनुभाग में 1 कुछ ही समय में टीकण दूर चले जाते हैं एल 1, और अनुभाग में 2 - दूरी पर एल 2. समय में दोनों वर्गों के माध्यम से टीतरल के समान छोटे आयतन गुजरेंगे वी= वी 1 = वी 2और बहुत सारा तरल ले जाना एम = आरवी, कहाँ पे आरद्रव का घनत्व है। सामान्य तौर पर, वर्गों के बीच वर्तमान ट्यूब में पूरे तरल की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तन एस 1और एस 2, जो उस समय के दौरान हुआ टी, आयतन ऊर्जा में परिवर्तन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है वी, जो तब हुआ जब इसे धारा 1 से धारा 2 में स्थानांतरित किया गया। इस तरह के एक आंदोलन के साथ, इस मात्रा की गतिज और संभावित ऊर्जा बदल जाएगी, और इसकी ऊर्जा में कुल परिवर्तन होगा

, (5.2)

जहां वी 1 और वी 2 - वर्गों में द्रव कणों का वेग एस 1और एस 2क्रमश; जी- गुरुत्वाकर्षण का त्वरण; एच 1और एच 2- वर्गों के केंद्र की ऊंचाई।

एक आदर्श द्रव में, कोई घर्षण हानि नहीं होती है, इसलिए ऊर्जा में वृद्धि होती है डेआवंटित आयतन पर दबाव बलों द्वारा किए गए कार्य के बराबर होना चाहिए। घर्षण बलों की अनुपस्थिति में, यह कार्य:

समानता (5.2) और (5.3) के दाहिने हाथ की बराबरी करना और समान सूचकांक वाले शब्दों को समानता के एक हिस्से में स्थानांतरित करना, हम प्राप्त करते हैं

. (5.4)

ट्यूब अनुभाग एस 1और एस 2मनमाने ढंग से लिए गए थे, इसलिए यह तर्क दिया जा सकता है कि अभिव्यक्ति वर्तमान ट्यूब के किसी भी भाग में मान्य है

. (5.5)

समीकरण (5.5) को बर्नौली समीकरण कहा जाता है। एक क्षैतिज स्ट्रीमलाइन के लिए एच = स्थिरांक,और समानता (5.4) रूप लेती है

आर /2 + पी 1 = आर /2 + p2 , (5.6)

वे। उन बिंदुओं पर दबाव कम होता है जहां गति अधिक होती है।

आंतरिक घर्षण बल।

चिपचिपाहट एक वास्तविक तरल में निहित है, जो स्वयं को इस तथ्य में प्रकट करता है कि तरल और गैस की कोई भी गति उन कारणों की अनुपस्थिति में अनायास रुक जाती है जो इसे उत्पन्न करते हैं। आइए एक प्रयोग पर विचार करें जिसमें एक तरल परत एक निश्चित सतह के ऊपर स्थित होती है, और एक सतह के साथ उस पर तैरती हुई प्लेट इसके ऊपर से गति के साथ चलती है एस(चित्र 5.3)। अनुभव से पता चलता है कि प्लेट को स्थिर गति से स्थानांतरित करने के लिए, उस पर बल के साथ कार्य करना आवश्यक है। चूँकि प्लेट को त्वरण प्राप्त नहीं होता है, इसका अर्थ है कि इस बल की क्रिया परिमाण में इसके बराबर एक अन्य बल द्वारा संतुलित होती है और विपरीत दिशा में निर्देशित होती है, जो घर्षण बल है। . न्यूटन ने दिखाया कि घर्षण बल

, (5.7)

कहाँ पे डीतरल परत की मोटाई है, h तरल का चिपचिपापन गुणांक या घर्षण गुणांक है, ऋण चिह्न वैक्टर की विभिन्न दिशाओं को ध्यान में रखता है एफ ट्रऔर वीओ यदि हम परत के विभिन्न स्थानों में द्रव कणों के वेग की जांच करते हैं, तो यह पता चलता है कि यह एक रैखिक नियम के अनुसार बदलता है (चित्र 5.3):

वी (जेड) = (वी 0 / डी) जेड।

इस समानता को अलग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं डीवी/डीजे= वी 0 /डी. इसे ध्यान में रखते

सूत्र (5.7) रूप लेता है

एफ ट्र=- एच (डीवी/डीजेड) एस , (5.8)

कहाँ पे एच- गतिशील चिपचिपाहट गुणांक. मूल्य डीवी/डीजेवेग प्रवणता कहलाती है। यह दिखाता है कि धुरी की दिशा में गति कितनी तेजी से बदलती है जेड. पर डीवी/डीजे= स्थिरांक वेग प्रवणता संख्यात्मक रूप से वेग परिवर्तन के बराबर है वीजब यह बदलता है जेडप्रति यूनिट। हम संख्यात्मक रूप से सूत्र (5.8) में रखते हैं डीवी/डीजेड =-1 और एस= 1, हमें मिलता है एच = एफ. यह संकेत करता है भौतिक अर्थ h: चिपचिपापन गुणांक संख्यात्मक रूप से उस बल के बराबर होता है जो एक के बराबर वेग ढाल पर इकाई क्षेत्र की तरल परत पर कार्य करता है। श्यानता की SI इकाई को पास्कल सेकंड (Pa s) कहा जाता है। सीजीएस प्रणाली में, चिपचिपाहट की इकाई 1 पॉइज़ (पी) है, जिसमें 1 पा एस = 10 पी है।