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एक सपाट आकृति का क्षेत्र जो ऑनलाइन कैलकुलेटर की रेखाओं से घिरा है। ऑनलाइन कैलकुलेटर। एक निश्चित अभिन्न की गणना करें (एक वक्रतापूर्ण समलम्ब का क्षेत्रफल)

एक सपाट आकृति का क्षेत्र जो ऑनलाइन कैलकुलेटर की रेखाओं से घिरा है। ऑनलाइन कैलकुलेटर। एक निश्चित अभिन्न की गणना करें (एक वक्रतापूर्ण समलम्ब का क्षेत्रफल)

वास्तव में, किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको अनिश्चित और निश्चित अभिन्न के इतने ज्ञान की आवश्यकता नहीं है। कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक ड्राइंग का निर्माण शामिल होता है, इसलिए आपका ज्ञान और ड्राइंग कौशल अधिक प्रासंगिक मुद्दा होगा। इस संबंध में, यह मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन की स्मृति को ताज़ा करने के लिए उपयोगी है, और, कम से कम, एक सीधी रेखा और एक अतिपरवलय का निर्माण करने में सक्षम हो।

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज एक सपाट आकृति है जो एक अक्ष, सीधी रेखाओं और एक खंड पर एक निरंतर कार्य का एक ग्राफ है जो इस अंतराल पर संकेत नहीं बदलता है। इस आकृति को स्थित होने दें कम नहीं हैभुज:

फिर एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकल के बराबर होता है. कोई भी निश्चित समाकल (जो मौजूद है) का बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है।

ज्यामिति के संदर्भ में, निश्चित समाकल क्षेत्र है.

अर्थात,निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से किसी आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, निश्चित अभिन्न पर विचार करें। इंटीग्रैंड विमान पर एक वक्र को परिभाषित करता है जो अक्ष के ऊपर स्थित होता है (जो लोग ड्राइंग को पूरा करना चाहते हैं), और निश्चित अभिन्न स्वयं संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 1

यह एक विशिष्ट कार्य विवरण है। निर्णय का पहला और सबसे महत्वपूर्ण क्षण एक चित्र का निर्माण है. इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है।
आइए एक चित्र बनाएं (ध्यान दें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है):

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थित है अक्ष के ऊपर, इसीलिए:

जवाब:

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किए जाएंगे, यह सच लगता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि अगर हमारे पास, उत्तर, कहते हैं: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो, जाहिर है, कहीं न कहीं एक गलती की गई थी - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से एक दर्जन से अधिक प्रश्न में आकृति में फिट नहीं होती हैं। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें और अक्षों का समन्वय करें।

फेसला: आइए एक चित्र बनाते हैं:

यदि वक्रीय समलम्बाकार स्थित है धुरी के नीचे(या कम से कम उच्चतर नहींदी गई धुरी), तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

1) यदि आपको बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकल को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह ऋणात्मक हो सकता है।

2) यदि आपको एक निश्चित समाकल का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है! यही कारण है कि माइनस अभी विचार किए गए फॉर्मूले में दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे-तल दोनों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूली समस्याओं से, हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला: सबसे पहले आपको ड्राइंग पूरी करनी होगी। सामान्यतया, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है। हम समीकरण हल करते हैं:

इसलिए, एकीकरण की निचली सीमा, एकीकरण की ऊपरी सीमा।

यदि संभव हो तो इस पद्धति का उपयोग न करना सबसे अच्छा है।.

बिंदु-दर-बिंदु लाइनों का निर्माण करना अधिक लाभदायक और तेज़ है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जानी चाहिए, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और हम ऐसे उदाहरण पर भी विचार करेंगे।

हम अपने कार्य पर लौटते हैं: पहले एक सीधी रेखा और उसके बाद ही एक परवलय का निर्माण करना अधिक तर्कसंगत है। आइए एक चित्र बनाएं:

और अब कार्य सूत्र: यदि अंतराल पर कोई सतत फलन है से बड़ा या बराबरकुछ निरंतर कार्य, फिर इन कार्यों के रेखांकन और सीधी रेखाओं से घिरे आकृति का क्षेत्र, सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

यहां यह सोचने की आवश्यकता नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, और, मोटे तौर पर बोलते हुए, यह मायने रखता है कि कौन सा चार्ट ऊपर है(दूसरे ग्राफ के सापेक्ष), और कौन सा नीचे है.

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए इसे घटाना आवश्यक है

समाधान का पूरा होना इस तरह दिख सकता है:

वांछित आंकड़ा ऊपर से एक परवलय और नीचे से एक सीधी रेखा द्वारा सीमित है।
खंड पर, संबंधित सूत्र के अनुसार:

जवाब:

उदाहरण 4

रेखा , , , , द्वारा परिबद्ध आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

फेसला: आइए पहले एक चित्र बनाते हैं:

जिस आकृति का क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग में छायांकित है।(हालत को ध्यान से देखें - कैसे आंकड़ा सीमित है!) लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, एक "गड़बड़" अक्सर होता है, कि आपको हरे रंग में छायांकित आकृति के क्षेत्र को खोजने की आवश्यकता होती है!

यह उदाहरण इस मायने में भी उपयोगी है कि इसमें दो निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की गणना की जाती है।

सच में:

1) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक सीधी रेखा का ग्राफ होता है;

2) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक अतिपरवलय ग्राफ है।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और चाहिए), इसलिए:

पीछे की ओर आगे की ओर

ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचना के उद्देश्यों के लिए है और प्रस्तुति की पूरी सीमा का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है। यदि आप इस काम में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

कीवर्ड:अभिन्न, घुमावदार समलम्बाकार, लिली से घिरे आंकड़ों का क्षेत्र

उपकरण: व्हाइटबोर्ड, कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर

पाठ प्रकार: पाठ-व्याख्यान

पाठ मकसद:

शैक्षिक:मानसिक कार्य की संस्कृति बनाना, प्रत्येक छात्र के लिए सफलता की स्थिति बनाना, सीखने के लिए सकारात्मक प्रेरणा बनाना; दूसरों को बोलने और सुनने की क्षमता विकसित करना।
विकसित होना:विभिन्न स्थितियों में ज्ञान के अनुप्रयोग में छात्र की सोच की स्वतंत्रता का गठन, विश्लेषण करने और निष्कर्ष निकालने की क्षमता, तर्क का विकास, प्रश्नों को सही ढंग से प्रस्तुत करने और उनके उत्तर खोजने की क्षमता का विकास। कम्प्यूटेशनल, गणना कौशल के गठन में सुधार, प्रस्तावित कार्यों को करने के दौरान छात्रों की सोच विकसित करना, एक एल्गोरिथम संस्कृति विकसित करना।
शिक्षात्मक: एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के बारे में अवधारणाएँ बनाने के लिए, एक अभिन्न के बारे में, समतल आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करने के कौशल में महारत हासिल करने के लिए

पढ़ाने का तरीका:व्याख्यात्मक और दृष्टांत।

कक्षाओं के दौरान

पिछली कक्षाओं में, हमने उन आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना करना सीखा जिनकी सीमाएँ टूटी हुई रेखाएँ हैं। गणित में, ऐसे तरीके हैं जो आपको वक्रों से घिरे आंकड़ों के क्षेत्र की गणना करने की अनुमति देते हैं। इस तरह के आंकड़े वक्रीय समलम्बाकार कहलाते हैं, और उनके क्षेत्र की गणना एंटीडेरिवेटिव का उपयोग करके की जाती है।

वक्रीय समलम्बाकार ( स्लाइड 1)

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज एक आकृति है जो फंक्शन ग्राफ से घिरा होता है, ( डब्ल्यू.एम.), सीधा एक्स = एऔर एक्स = बीऔर भुज

विभिन्न प्रकार के वक्रीय समलम्बाकार ( स्लाइड 2)

हम विभिन्न प्रकार के वक्रीय समलम्बाकारों पर विचार करते हैं और नोटिस करते हैं: रेखाओं में से एक बिंदु में पतित हो जाती है, सीमित कार्य की भूमिका रेखा द्वारा निभाई जाती है

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल (स्लाइड 3)

अंतराल के बाएँ सिरे को ठीक करें ए,और सही एक्सहम बदलेंगे, यानी, हम वक्रतापूर्ण समलम्बाकार की दाहिनी दीवार को हिलाते हैं और एक बदलती हुई आकृति प्राप्त करते हैं। फ़ंक्शन ग्राफ़ से घिरा एक चर वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल प्रतिअवकलन है एफसमारोह के लिए एफ

और खंड पर [ ए; बी] फ़ंक्शन द्वारा गठित वक्रीय समलंब चतुर्भुज का क्षेत्र एफ,इस फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि के बराबर है:

अभ्यास 1:

एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरे एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाएं: एफ (एक्स) = एक्स 2और प्रत्यक्ष वाई = 0, एक्स = 1, एक्स = 2।

फेसला: ( स्लाइड 3 एल्गोरिथ्म के अनुसार)

फलन और रेखाओं का आलेख खींचिए

फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक खोजें एफ (एक्स) = एक्स 2 :

स्लाइड सेल्फ-चेक

अभिन्न

फ़ंक्शन द्वारा दिए गए एक वक्रीय समलम्ब पर विचार करें एफखंड पर [ ए; बी]. आइए इस खंड को कई भागों में विभाजित करें। पूरे ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को छोटे वक्रता वाले ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्रों के योग में विभाजित किया जाएगा। ( स्लाइड 5). ऐसे प्रत्येक समलम्ब को लगभग एक आयत माना जा सकता है। इन आयतों के क्षेत्रफलों का योग वक्रीय समलंब के पूरे क्षेत्र का एक अनुमानित अनुमान देता है। जितना छोटा हम खंड को तोड़ते हैं [ ए; बी], जितना अधिक सटीक रूप से हम क्षेत्रफल की गणना करते हैं।

हम इन विचारों को सूत्रों के रूप में लिखते हैं।

खंड को विभाजित करें [ ए; बी] डॉट्स के साथ n भागों में एक्स 0 \u003d ए, एक्स 1, ..., एक्सएन \u003d बी।लंबाई क-वां द्वारा निरूपित करें एक्सके = एक्सके - एक्सके -1. आइए संक्षेप करें

ज्यामितीय रूप से, यह योग आकृति में छायांकित आकृति का क्षेत्रफल है ( श.एम.)

रूप के योगों को फलन के लिए समाकल योग कहते हैं एफ. (एससीएम)

अभिन्न योग क्षेत्र का अनुमानित मूल्य देते हैं। सटीक मान सीमा को पार करके प्राप्त किया जाता है। कल्पना कीजिए कि हम खंड के विभाजन को परिष्कृत करते हैं [ ए; बी] ताकि सभी छोटे खंडों की लंबाई शून्य हो जाए। तब रचित आकृति का क्षेत्र वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के निकट पहुंचेगा। हम कह सकते हैं कि एक वक्रीय समलम्बाकार का क्षेत्रफल समाकल योगों की सीमा के बराबर होता है, एस.टी. (एससीएम)या अभिन्न, यानी,

परिभाषा:

फंक्शन इंटीग्रल एफ (एक्स)से एइससे पहले बीसमाकल योगों की सीमा कहलाती है

= (एससीएम)

न्यूटन-लीबनिज सूत्र।

याद रखें कि अभिन्न रकम की सीमा एक वक्रतापूर्ण समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर है, इसलिए हम लिख सकते हैं:

एस.टी. = (एससीएम)

दूसरी ओर, एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

एस से टी. (एससीएम)

इन सूत्रों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

= (एससीएम)

इस समानता को न्यूटन-लीबनिज सूत्र कहते हैं।

गणना की सुविधा के लिए, सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

= = (एससीएम)

कार्य: (sch.m.)

1. न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके समाकलन की गणना करें: ( चेक स्लाइड 5)

2. ड्राइंग के अनुसार इंटीग्रल संकलित करें ( स्लाइड 6 . पर देखें)

3. रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( स्लाइड 7)

समतल आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात करना ( स्लाइड 8)

उन आकृतियों का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें जो वक्ररेखीय समलम्बाकार नहीं हैं?

मान लीजिए दो फलन दिए गए हैं, जिनका आलेख आप स्लाइड पर देख रहे हैं . (एससीएम)छायांकित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए . (एससीएम). प्रश्न में आकृति एक वक्रीय समलम्ब है? और आप उस क्षेत्र के योगात्मक गुण का उपयोग करके उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात कर सकते हैं? दो वक्रीय समलम्ब चतुर्भुजों पर विचार करें और उनमें से एक के क्षेत्रफल से दूसरे के क्षेत्रफल को घटाएँ ( डब्ल्यू.एम.)

आइए स्लाइड पर एनीमेशन से क्षेत्र खोजने के लिए एक एल्गोरिदम बनाएं:

प्लॉट फ़ंक्शंस
ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को x-अक्ष पर प्रोजेक्ट करें
रेखांकन को पार करके प्राप्त आकृति को छायांकित करें
वक्रीय समलंब ज्ञात कीजिए जिनका प्रतिच्छेदन या संघ दी गई आकृति है।
प्रत्येक के क्षेत्रफल की गणना करें
अंतर या क्षेत्रों का योग खोजें

मौखिक कार्य: छायांकित आकृति का क्षेत्र कैसे प्राप्त करें (एनीमेशन का उपयोग करके बताएं, स्लाइड 8 और 9)

गृहकार्य:सार, संख्या 353 (ए), संख्या 364 (ए) पर काम करें।

ग्रन्थसूची

बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: शाम (शिफ्ट) स्कूल / एड के ग्रेड 9-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक। जी.डी. ग्लेज़र। - एम: ज्ञानोदय, 1983।
बश्माकोव एम.आई. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: मध्य विद्यालय के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक / बश्माकोव एम.आई. - एम: ज्ञानोदय, 1991।
बश्माकोव एम.आई. गणित: संस्थानों की शुरुआत के लिए एक पाठ्यपुस्तक। और औसत प्रो शिक्षा / एम.आई. बश्माकोव। - एम: अकादमी, 2010।
कोलमोगोरोव ए.एन. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: 10-11 कोशिकाओं के लिए एक पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थान / ए.एन. कोलमोगोरोव। - एम: ज्ञानोदय, 2010।
ओस्त्रोव्स्की एस.एल. पाठ के लिए प्रस्तुतिकरण कैसे करें? / एस.एल. ओस्त्रोव्स्की। - एम .: पहली सितंबर, 2010।

समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें

अब हम समाकलन कलन के अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं। इस पाठ में, हम एक विशिष्ट और सबसे सामान्य कार्य का विश्लेषण करेंगे। एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए एक निश्चित समाकल का उपयोग कैसे करें. अंत में, जो उच्च गणित में अर्थ की तलाश करते हैं - वे इसे पा सकते हैं। आपको कभी नहीं जानते। वास्तविक जीवन में, आपको प्राथमिक कार्यों के साथ एक ग्रीष्मकालीन कुटीर का अनुमान लगाना होगा और एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके अपना क्षेत्र ढूंढना होगा।

सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) कम से कम एक मध्यवर्ती स्तर पर अनिश्चितकालीन अभिन्न को समझें। इस प्रकार, डमी को पहले पाठ पढ़ना चाहिए नहीं.

2) न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने और निश्चित समाकलन की गणना करने में सक्षम हो। आप पृष्ठ पर कुछ अभिन्न के साथ मधुर मैत्रीपूर्ण संबंध स्थापित कर सकते हैं समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरण.

वास्तव में, किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको अनिश्चित और निश्चित अभिन्न के इतने ज्ञान की आवश्यकता नहीं है। कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक ड्राइंग का निर्माण शामिल होता है, इसलिए आपका ज्ञान और ड्राइंग कौशल अधिक प्रासंगिक मुद्दा होगा। इस संबंध में, स्मृति में मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन को ताज़ा करना उपयोगी है, और, कम से कम, एक सीधी रेखा, एक परवलय और एक अतिपरवलय का निर्माण करने में सक्षम होने के लिए। यह किया जा सकता है (कई लोगों को इसकी आवश्यकता होती है) कार्यप्रणाली सामग्री और ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तनों पर एक लेख की मदद से।

दरअसल, स्कूल के समय से ही एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्र खोजने की समस्या से हर कोई परिचित है, और हम स्कूली पाठ्यक्रम से थोड़ा आगे जाएंगे। यह लेख शायद मौजूद ही नहीं है, लेकिन तथ्य यह है कि समस्या 100 में से 99 मामलों में होती है, जब एक छात्र को उच्च गणित में एक पाठ्यक्रम में महारत हासिल करने के उत्साह के साथ एक घृणास्पद टॉवर द्वारा सताया जाता है।

इस कार्यशाला की सामग्री को सरलता से, विस्तार से और न्यूनतम सिद्धांत के साथ प्रस्तुत किया गया है।

आइए एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज से शुरू करते हैं।

वक्रीय समलम्ब चतुर्भुजअक्ष, सीधी रेखाओं और एक खंड पर निरंतर एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ जो इस अंतराल पर संकेत नहीं बदलता है, से घिरा एक सपाट आंकड़ा कहलाता है। इस आकृति को स्थित होने दें कम नहीं हैभुज:

फिर एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकल के बराबर होता है. कोई भी निश्चित समाकल (जो मौजूद है) का बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। सबक पर समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरणमैंने कहा कि एक निश्चित समाकल एक संख्या है। और अब एक और उपयोगी तथ्य बताने का समय आ गया है। ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकल क्षेत्र है.

अर्थात, निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से किसी आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है. उदाहरण के लिए, निश्चित अभिन्न पर विचार करें। इंटीग्रैंड विमान पर एक वक्र को परिभाषित करता है जो अक्ष के ऊपर स्थित होता है (जो लोग ड्राइंग को पूरा करना चाहते हैं), और निश्चित अभिन्न स्वयं संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के बराबर है।

उदाहरण 1

ब्लूप्रिंट बनाते समय, मैं निम्नलिखित आदेश की अनुशंसा करता हूं: सर्वप्रथमसभी लाइनों (यदि कोई हो) का निर्माण करना बेहतर है और केवल बाद- परवलय, अतिपरवलय, अन्य कार्यों के रेखांकन। फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए अधिक लाभदायक हैं बिन्दुवार, बिंदुवार निर्माण की तकनीक के साथ संदर्भ सामग्री में पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. वहां आप ऐसी सामग्री भी पा सकते हैं जो हमारे पाठ के संबंध में बहुत उपयोगी है - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

मैं एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड नहीं बनाऊंगा, यह स्पष्ट है कि हम यहां किस क्षेत्र की बात कर रहे हैं। समाधान इस तरह जारी है:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थित है अक्ष के ऊपर, इसीलिए:

जवाब:

निश्चित समाकल की गणना करने और न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने में किसे कठिनाई होती है , व्याख्यान का संदर्भ लें समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरण.

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किए जाएंगे, यह सच लगता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि अगर हमारे पास उत्तर था: 20 वर्ग इकाइयां, तो, जाहिर है, कहीं एक गलती की गई थी - 20 कोशिकाएं स्पष्ट रूप से एक दर्जन से अधिक प्रश्न में आंकड़े में फिट नहीं होती हैं। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 2

रेखाओं, और अक्षों से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

अगर कर्विलिनियर ट्रेपोजॉइड स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे?

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें और अक्षों का समन्वय करें।

फेसला: आइए एक चित्र बनाते हैं:

यदि वक्रीय समलम्बाकार स्थित है धुरी के नीचे(या कम से कम उच्चतर नहींदी गई धुरी), तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:
इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित न करें:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

इसलिए, एकीकरण की निचली सीमा, एकीकरण की ऊपरी सीमा।
यदि संभव हो तो इस पद्धति का उपयोग न करना सबसे अच्छा है।.

बिंदु-दर-बिंदु लाइनों का निर्माण करना अधिक लाभदायक और तेज़ है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। विभिन्न चार्टों के लिए बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक पर सहायता में विस्तार से चर्चा की गई है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जानी चाहिए, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और हम ऐसे उदाहरण पर भी विचार करेंगे।

हम अपने कार्य पर लौटते हैं: पहले एक सीधी रेखा और उसके बाद ही एक परवलय का निर्माण करना अधिक तर्कसंगत है। आइए एक चित्र बनाएं:

मैं दोहराता हूं कि बिंदुवार निर्माण के साथ, एकीकरण की सीमाएं अक्सर "स्वचालित रूप से" पाई जाती हैं।

समाधान का पूरा होना इस तरह दिख सकता है:

जवाब:

वास्तव में, निचले आधे तल में एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (सरल उदाहरण संख्या 3 देखें) सूत्र का एक विशेष मामला है . चूंकि अक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है, और फ़ंक्शन का ग्राफ स्थित है उच्चतर नहींकुल्हाड़ियों, फिर

और अब एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना के लिए समस्याओं को हल करने के दौरान, कभी-कभी एक मजेदार घटना होती है। ड्राइंग सही ढंग से बनाई गई थी, गणना सही थी, लेकिन असावधानी के कारण ... गलत आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात किया, इस तरह आपका आज्ञाकारी सेवक कई बार पंगा ले चुका है। यहाँ एक वास्तविक जीवन का मामला है:

उदाहरण 7

रेखा , , , , द्वारा परिबद्ध आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

फेसला: आइए पहले एक चित्र बनाते हैं:

...अरे, ड्राइंग बकवास निकली, लेकिन सब कुछ सुपाठ्य प्रतीत होता है।

यह उदाहरण इस मायने में भी उपयोगी है कि इसमें दो निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की गणना की जाती है। सच में:

1) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक सीधी रेखा का ग्राफ होता है;

2) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक अतिपरवलय ग्राफ है।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और चाहिए), इसलिए:

जवाब:

आइए एक और सार्थक कार्य की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 8

रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना कीजिए,
आइए समीकरणों को "स्कूल" रूप में प्रस्तुत करें, और बिंदु-दर-बिंदु आरेखण करें:

ड्राइंग से देखा जा सकता है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छा" है:।
लेकिन निचली सीमा क्या है? यह स्पष्ट है कि यह एक पूर्णांक नहीं है, लेकिन क्या है? शायद ? लेकिन इस बात की गारंटी कहां है कि ड्राइंग सही सटीकता के साथ बनाई गई है, यह अच्छी तरह से हो सकता है। या जड़। क्या होगा अगर हमें ग्राफ बिल्कुल सही नहीं मिला?

ऐसे मामलों में, व्यक्ति को अतिरिक्त समय बिताना पड़ता है और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को परिष्कृत करना पड़ता है।

आइए रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:

,

सच में, ।

आगे का समाधान तुच्छ है, मुख्य बात यह है कि प्रतिस्थापन और संकेतों में भ्रमित न हों, यहां गणना सबसे आसान नहीं है।

खंड पर , इसी सूत्र के अनुसार:

जवाब:

खैर, पाठ के अंत में, हम दो कार्यों को और अधिक कठिन मानेंगे।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,

फेसला: इस आकृति को चित्र में खींचिए।

धिक्कार है, मैं शेड्यूल पर हस्ताक्षर करना भूल गया, और तस्वीर को फिर से करना, क्षमा करें, हॉटज़ नहीं। चित्र नहीं, संक्षेप में, आज का दिन है =)

बिंदु-दर-बिंदु निर्माण के लिए, साइनसॉइड की उपस्थिति को जानना आवश्यक है (और सामान्य तौर पर यह जानना उपयोगी होता है सभी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन), साथ ही साथ कुछ साइन मान, वे इसमें पाए जा सकते हैं त्रिकोणमितीय तालिका. कुछ मामलों में (जैसा कि इस मामले में), इसे एक योजनाबद्ध ड्राइंग बनाने की अनुमति है, जिस पर रेखांकन और एकीकरण सीमा को सिद्धांत रूप से सही ढंग से प्रदर्शित किया जाना चाहिए।

यहां एकीकरण सीमा के साथ कोई समस्या नहीं है, वे सीधे शर्त से पालन करते हैं: - "x" शून्य से "pi" में बदल जाता है। हम एक और निर्णय लेते हैं:

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के ऊपर स्थित होता है, इसलिए:

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकल के बराबर होता है

कोई भी निश्चित समाकल (जो मौजूद है) का बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। मैंने कक्षा में कहा था कि एक निश्चित समाकल एक संख्या होती है। और अब एक और उपयोगी तथ्य बताने का समय आ गया है। ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकल क्षेत्र है.

अर्थात, निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से किसी आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है. उदाहरण के लिए, निश्चित अभिन्न पर विचार करें। इंटीग्रैंड प्लेन पर एक निश्चित वक्र को परिभाषित करता है (यदि वांछित हो तो इसे हमेशा खींचा जा सकता है), और निश्चित इंटीग्रल स्वयं संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्रता वाले ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के बराबर होता है।

उदाहरण 1

वहां आप ऐसी सामग्री भी पा सकते हैं जो हमारे पाठ के संबंध में बहुत उपयोगी है - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ स्थित है अक्ष के ऊपर, इसीलिए:

जवाब:

कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, "आंख से" हम ड्राइंग में कोशिकाओं की संख्या गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 टाइप किए जाएंगे, यह सच लगता है। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि अगर हमारे पास उत्तर था: 20 वर्ग इकाइयां, तो, जाहिर है, कहीं एक गलती की गई थी - 20 कोशिकाएं स्पष्ट रूप से एक दर्जन से अधिक प्रश्न में आंकड़े में फिट नहीं होती हैं। यदि उत्तर नकारात्मक निकला, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 2

रेखाओं, और अक्षों से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

अगर कर्विलिनियर ट्रेपोजॉइड स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचे?

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें और अक्षों का समन्वय करें।

समाधान: आइए एक चित्र बनाते हैं:

यदि एक वक्रीय समलम्बाकार पूरी तरह से धुरी के नीचे, तो इसका क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:
इस मामले में:

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक सपाट आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उपाय: सबसे पहले आपको एक ड्राइंग बनाने की जरूरत है। सामान्यतया, क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय और रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहला तरीका विश्लेषणात्मक है। हम समीकरण हल करते हैं:

इसलिए, एकीकरण की निचली सीमा, एकीकरण की ऊपरी सीमा।
यदि संभव हो तो इस पद्धति का उपयोग न करना बेहतर है।

बिंदु-दर-बिंदु रेखाओं का निर्माण करना अधिक लाभदायक और तेज़ है, जबकि एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं" के रूप में पाई जाती हैं। विभिन्न चार्टों के लिए बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक पर सहायता में विस्तार से चर्चा की गई है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. फिर भी, सीमाओं को खोजने की विश्लेषणात्मक विधि अभी भी कभी-कभी उपयोग की जानी चाहिए, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या थ्रेडेड निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे आंशिक या तर्कहीन हो सकते हैं)। और हम ऐसे उदाहरण पर भी विचार करेंगे।

और अब कार्य सूत्र:यदि एक खंड पर कुछ निरंतर कार्य से बड़ा या बराबरकुछ निरंतर कार्य करते हैं, तो सूत्र द्वारा संबंधित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है:

समाधान का पूरा होना इस तरह दिख सकता है:

जवाब:

वास्तव में, निचले आधे तल में एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (सरल उदाहरण संख्या 3 देखें) सूत्र का एक विशेष मामला है . चूँकि अक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है, और फलन का आलेख अक्ष के नीचे स्थित है, तो

और अब एक स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 7

रेखा , , , , द्वारा परिबद्ध आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें।

आइए पहले ड्रा करें:

जिस आकृति का क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग में छायांकित है।(हालत को ध्यान से देखें - कैसे आंकड़ा सीमित है!) लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, अक्सर ऐसा होता है कि आपको हरे रंग में छायांकित आकृति के क्षेत्र को खोजने की आवश्यकता होती है!

1) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक सीधी रेखा का ग्राफ होता है;

2) अक्ष के ऊपर के खंड पर एक अतिपरवलय ग्राफ है।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और चाहिए), इसलिए:

जवाब:

उदाहरण 8

आइए रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं:

इसलिये, ।

खंड पर , इसी सूत्र के अनुसार:

जवाब:

खैर, पाठ के अंत में, हम दो कार्यों को और अधिक कठिन मानेंगे।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,

हल : इस आकृति को चित्र में खींचिए।

एक ड्राइंग के बिंदु-दर-बिंदु निर्माण के लिए, साइनसॉइड की उपस्थिति को जानना आवश्यक है (और सामान्य तौर पर यह जानना उपयोगी होता है सभी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन), साथ ही साथ कुछ साइन मान, वे इसमें पाए जा सकते हैं त्रिकोणमितीय तालिका. कुछ मामलों में (जैसा कि इस मामले में), इसे एक योजनाबद्ध ड्राइंग बनाने की अनुमति है, जिस पर रेखांकन और एकीकरण सीमा को सिद्धांत रूप से सही ढंग से प्रदर्शित किया जाना चाहिए।

खंड पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष के ऊपर स्थित होता है, इसलिए:

(1) विषम शक्तियों में साइन और कोसाइन कैसे एकीकृत होते हैं, इसे पाठ में देखा जा सकता है त्रिकोणमितीय कार्यों के समाकलन. यह एक विशिष्ट तकनीक है, हम एक ज्या को चुटकी बजाते हैं।

(2) हम मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग फॉर्म में करते हैं

(3) चलिए वेरिएबल को बदलते हैं, फिर:

एकीकरण के नए पुनर्वितरण:

प्रतिस्थापन के साथ वास्तव में खराब व्यवसाय कौन है, कृपया पाठ पर जाएं अनिश्चितकालीन समाकलन में प्रतिस्थापन विधि. उन लोगों के लिए जो एक निश्चित अभिन्न में प्रतिस्थापन एल्गोरिदम के बारे में बहुत स्पष्ट नहीं हैं, पृष्ठ पर जाएं समाकलन परिभाषित करें। समाधान उदाहरण.

उदाहरण 1 . रेखा द्वारा परिबद्ध आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3, और x = 2

आइए एक आकृति बनाएं (अंजीर देखें।) हम दो बिंदुओं ए (4; 0) और बी (0; 2) के साथ एक सीधी रेखा x + 2y - 4 \u003d 0 बनाते हैं। x के संदर्भ में y को व्यक्त करने पर, हमें y \u003d -0.5x + 2 मिलता है। सूत्र (1) के अनुसार, जहाँ f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, हम पाना

एस \u003d \u003d [-0.25 \u003d 11.25 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 2 रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 और y \u003d 0।

फेसला। आइए एक आकृति बनाते हैं।

आइए एक सीधी रेखा x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0) बनाते हैं; एक्स = 0, वाई = 2, बी (0; 2)।

आइए एक सीधी रेखा x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5) बनाते हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करके रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं:

एक्स = 2, वाई = 3; एम (2; 3)।

आवश्यक क्षेत्र की गणना करने के लिए, हम AMC त्रिभुज को दो त्रिभुज AMN और NMC में विभाजित करते हैं, क्योंकि जब x A से N में बदलता है, तो क्षेत्र एक सीधी रेखा द्वारा सीमित होता है, और जब x N से C में बदलता है, तो यह एक सीधी रेखा होती है।

त्रिभुज AMN के लिए हमारे पास है: ; y \u003d 0.5x + 2, यानी f (x) \u003d 0.5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

एनएमसी त्रिभुज के लिए हमारे पास है: y = - x + 5, अर्थात f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5।

प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना और परिणाम जोड़ने पर, हम पाते हैं:

वर्ग इकाइयों

9 + 4, 5 = 13.5 वर्ग। इकाइयों जाँच करें: = 0.5AC = 0.5 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 3 रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = x 2 , वाई = 0, एक्स = 2, एक्स = 3।

इस मामले में, एक परवलय y = x से घिरे एक वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है 2 , सीधी रेखाएँ x \u003d 2 और x \u003d 3 और ऑक्स अक्ष (अंजीर देखें।) सूत्र (1) के अनुसार, हम एक वक्रतापूर्ण समलम्ब का क्षेत्रफल पाते हैं

= = 6kv. इकाइयों

उदाहरण 4 रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y \u003d - x 2 + 4 और वाई = 0

आइए एक आकृति बनाते हैं। वांछित क्षेत्र परवलय y \u003d - x . के बीच संलग्न है 2 + 4 और अक्ष ओह।

x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए। Y \u003d 0 मानते हुए, हम x \u003d पाते हैं क्योंकि यह आंकड़ा ओए अक्ष के बारे में सममित है, हम ओए अक्ष के दाईं ओर स्थित आकृति के क्षेत्र की गणना करते हैं, और परिणाम को दोगुना करते हैं: \u003d + 4x] वर्ग। इकाइयों 2 = 2 वर्ग। इकाइयों

उदाहरण 5 रेखाओं से घिरी हुई आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y 2 = एक्स, वाईएक्स = 1, एक्स = 4

यहां परवलय y की ऊपरी शाखा से घिरे वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है 2 \u003d x, ऑक्स अक्ष और सीधी रेखाएँ x \u003d 1x \u003d 4 (चित्र देखें।)

सूत्र (1) के अनुसार, जहाँ f(x) = a = 1 और b = 4, हमारे पास = (= sq. इकाइयाँ) हैं

उदाहरण 6 . रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें: y = sinx, y = 0, x = 0, x= ।

वांछित क्षेत्र एक अर्ध-लहर साइनसॉइड और ऑक्स अक्ष (अंजीर देखें) द्वारा सीमित है।

हमारे पास है - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 वर्ग मीटर। इकाइयों

उदाहरण 7 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें: y \u003d - 6x, y \u003d 0 और x \u003d 4.

आकृति ऑक्स अक्ष के नीचे स्थित है (चित्र देखें)।

अतः इसका क्षेत्रफल सूत्र (3) द्वारा ज्ञात किया जाता है

= =

उदाहरण 8 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें: y \u003d और x \u003d 2. हम बिंदुओं द्वारा वक्र y \u003d का निर्माण करेंगे (आंकड़ा देखें)। इस प्रकार, आकृति का क्षेत्रफल सूत्र (4) द्वारा पाया जाता है

उदाहरण 9 .

एक्स 2 + y 2 = आर 2 .

यहां आपको सर्कल x . से घिरे क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है 2 + y 2 = आर 2 , यानी त्रिज्या r के एक वृत्त का क्षेत्रफल मूल बिंदु पर केंद्रित है। आइए 0 . से एकीकरण की सीमा लेकर इस क्षेत्र का चौथा भाग खोजें

दोर; अपने पास: 1 = = [

इसलिये, 1 =

उदाहरण 10 रेखाओं से बंधी आकृति के क्षेत्र की गणना करें: y \u003d x 2 और वाई = 2x

यह आंकड़ा परवलय y \u003d x . द्वारा सीमित है 2 और सीधी रेखा y \u003d 2x (अंजीर देखें।) दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं: x 2 - 2x = 0 x = 0 और x = 2

क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र (5) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

= }

धारा