Vizsgáljon meg egy homogén rendszert nem triviális megoldás létezésére. Lineáris algebrai egyenletrendszerek

Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk, amelyben minden szabad tag egyenlő nullával homogén :

Bármely homogén rendszer mindig konzisztens, hiszen mindig is így volt nulla (jelentéktelen ) megoldást. Felmerül a kérdés, hogy milyen feltételek mellett lesz egy homogén rendszernek nem triviális megoldása.

5.2. Tétel.Egy homogén rendszernek akkor és csak akkor van nem triviális megoldása, ha az alapul szolgáló mátrix rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma.

Következmény. Egy négyzet alakú homogén rendszernek akkor és csak akkor van nem triviális megoldása, ha a rendszer főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával.

5.6. példa. Határozza meg az l paraméter értékeit, amelyekre a rendszer nemtriviális megoldásokkal rendelkezik, és keresse meg ezeket a megoldásokat:

Döntés. Ennek a rendszernek nem triviális megoldása lesz, ha a fő mátrix determinánsa egyenlő nullával:

Így a rendszer nem triviális, ha l=3 vagy l=2. l=3 esetén a rendszer főmátrixának rangja 1. Ekkor csak egy egyenletet hagyva, és feltételezve, hogy y=aés z=b, kapunk x=b-a, azaz

l=2 esetén a rendszer főmátrixának rangja 2. Ezután alap-mollnak választva:

egyszerűsített rendszert kapunk

Innentől azt találjuk x=z/4, y=z/2. Feltételezve z=4a, kapunk

Egy homogén rendszer összes megoldásának halmaza nagyon fontos lineáris tulajdonság : ha X oszlop 1 és X 2 - az AX = 0 homogén rendszer megoldásai, akkor ezek bármely lineáris kombinációja a x 1+b x 2 ennek a rendszernek a megoldása is lesz. Valóban, mert FEJSZE 1 = 0 és FEJSZE 2 = 0 , azután A(a x 1+b x 2) = a FEJSZE 1+b FEJSZE 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Ebből a tulajdonságból adódóan, ha egy lineáris rendszernek több megoldása is van, akkor ezekből a megoldásokból végtelenül sok lesz.

Lineárisan független oszlopok E 1 , E 2 , E k, amelyek egy homogén rendszer megoldásai, az ún alapvető döntési rendszer homogén lineáris egyenletrendszer, ha ennek a rendszernek az általános megoldása felírható ezen oszlopok lineáris kombinációjaként:

Ha egy homogén rendszer rendelkezik n változók, és a rendszer főmátrixának rangja egyenlő r, azután k = n-r.

5.7. példa. Keresse meg a következő lineáris egyenletrendszer alapvető megoldási rendszerét:

Döntés. Keresse meg a rendszer fő mátrixának rangját:

Így ennek az egyenletrendszernek a megoldási halmaza a dimenzió lineáris alterét alkotja n - r= 5 - 2 = 3. Alapmollnak választjuk

.

Ezután csak az alapegyenleteket (a többi ezen egyenletek lineáris kombinációja lesz) és az alapváltozókat (a többit, az ún. szabad változókat jobbra visszük át) meghagyva egy egyszerűsített egyenletrendszert kapunk:

Feltételezve x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, találunk

, .

Feltételezve a= 1, b=c= 0, megkapjuk az első alapmegoldást; feltételezve b= 1, a = c= 0, megkapjuk a második alapmegoldást; feltételezve c= 1, a = b= 0, akkor a harmadik alapmegoldást kapjuk. Ennek eredményeként a megoldások normál alapvető rendszere ölt formát

Az alaprendszer segítségével a homogén rendszer általános megoldása így írható fel

x = aE 1 + lenni 2 + cE 3. a

Vegyük észre az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak néhány tulajdonságát AX=Bés kapcsolatuk a megfelelő homogén egyenletrendszerrel AX = 0.

Inhomogén rendszer általános megoldásaegyenlő a megfelelő homogén rendszer AX = 0 általános megoldásának és az inhomogén rendszer tetszőleges egyedi megoldásának összegével. Valóban, hagyjuk Y A 0 egy inhomogén rendszer tetszőleges partikuláris megoldása, azaz. AY 0 = B, és Y egy inhomogén rendszer általános megoldása, azaz. AY=B. Ha kivonjuk az egyik egyenlőséget a másikból, azt kapjuk
A(Y-Y 0) = 0, azaz Y-Y 0 a megfelelő homogén rendszer általános megoldása FEJSZE=0. Ennélfogva, Y-Y 0 = x, vagy Y=Y 0 + x. Q.E.D.

Legyen egy inhomogén rendszer AX = B alakú 1 + B 2 . Ekkor egy ilyen rendszer általános megoldása úgy írható fel, hogy X = X 1 + x 2 , ahol AX 1 = B 1 és AX 2 = B 2. Ez a tulajdonság bármely lineáris rendszer univerzális tulajdonságát fejezi ki általában (algebrai, differenciális, funkcionális stb.). A fizikában ezt a tulajdonságot ún szuperpozíció elve, az elektro- és rádiótechnikában - átfedés elve. Például a lineáris elektromos áramkörök elméletében az áramkör bármely áramkörben megkapható az egyes energiaforrások által külön-külön okozott áramok algebrai összegeként.

Homogén lineáris egyenletrendszer egy mező felett

MEGHATÁROZÁS. Az (1) egyenletrendszer alapvető megoldási rendszere megoldásainak nem üres, lineárisan független rendszere, amelynek lineáris fesztávja egybeesik az (1) rendszer összes megoldásának halmazával.

Vegyük észre, hogy egy homogén lineáris egyenletrendszernek, amelynek csak nulla megoldása van, nincs alapvető megoldási rendszere.

JAVASLAT 3.11. Egy homogén lineáris egyenletrendszer bármely két alapvető megoldási rendszere ugyanannyi megoldásból áll.

Bizonyíték. Valójában az (1) homogén egyenletrendszer bármely két alapvető megoldási rendszere ekvivalens és lineárisan független. Ezért az 1.12 állítás szerint a rangjuk egyenlő. Ezért az egyik alaprendszerben szereplő megoldások száma megegyezik bármely más alapvető megoldási rendszerben szereplő megoldások számával.

Ha az (1) homogén egyenletrendszer A főmátrixa nulla, akkor bármelyik vektor -ból az (1) rendszer megoldása; ebben az esetben a lineárisan független vektorok tetszőleges gyűjteménye a -tól kezdve alapvető megoldási rendszer. Ha az A mátrix oszloprangja , akkor az (1) rendszernek csak egy megoldása van - nulla; ezért ebben az esetben az (1) egyenletrendszernek nincs alapvető megoldási rendszere.

3.12. TÉTEL. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer (1) főmátrixának rangja kisebb, mint a változók száma, akkor az (1) rendszernek van egy megoldásokból álló alapvető megoldási rendszere.

Bizonyíték. Ha az (1) homogén rendszer A főmátrixának rangja nulla vagy , akkor fentebb megmutattuk, hogy a tétel igaz. Ezért az alábbiakban feltételezzük, hogy feltételezzük, hogy az A mátrix első oszlopai lineárisan függetlenek. Ebben az esetben az A mátrix soronként ekvivalens a redukált lépéses mátrixszal, és az (1) rendszer ekvivalens a következő redukált lépéses egyenletrendszerrel:

Könnyen ellenőrizhető, hogy a (2) rendszer szabad változóinak bármely értékrendszere megfelel-e a (2) és így az (1) rendszer egyetlen megoldásának. Pontosabban, csak a (2) és az (1) rendszer nulla megoldása felel meg a nullaértékek rendszerének.

A (2) rendszerben az egyik szabad változóhoz 1-gyel egyenlő értéket rendelünk, a többi változóhoz pedig nulla értéket. Ennek eredményeként a (2) egyenletrendszer megoldásait kapjuk, amelyeket a következő C mátrix soraiként írunk fel:

Ennek a mátrixnak a sorrendszere lineárisan független. Valóban, az egyenlőségből származó bármely skalárhoz

egyenlőség következik

és ebből kifolyólag az egyenlőség

Bizonyítsuk be, hogy a C mátrix sorrendszerének lineáris fesztávja egybeesik az (1) rendszer összes megoldásának halmazával.

Az (1) rendszer önkényes megoldása. Aztán a vektor

rendszer megoldása is (1), és

Rendszer m lineáris egyenletek c n ismeretlennek hívják lineáris homogén rendszer egyenletek, ha minden szabad tag nulla. Egy ilyen rendszer így néz ki:

ahol és ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - adott számok; x i- ismeretlen.

A lineáris homogén egyenletrendszer mindig konzisztens, hiszen r(A) = r(). Mindig legalább nulla ( jelentéktelen) megoldás (0; 0; ...; 0).

Nézzük meg, hogy a homogén rendszereknek milyen feltételek mellett vannak nullától eltérő megoldásai.

1. tétel. Egy lineáris homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nullától eltérő megoldása, ha a főmátrixának rangja r kevesebb az ismeretlen n, azaz r < n.

□ egy). Legyen a lineáris homogén egyenletrendszernek nullától eltérő megoldása. Mivel a rang nem haladhatja meg a mátrix méretét, nyilvánvaló, hogy r ≤ n. Legyen r = n. Aztán az egyik kiskorú mérete n n különbözik a nullától. Ezért a megfelelő lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van: , , . Ezért nincs más megoldás, mint a triviális. Tehát, ha van nem triviális megoldás, akkor r < n.

2). Legyen r < n. Ekkor egy homogén rendszer, mivel konzisztens, határozatlan. Ennélfogva végtelen számú megoldása van, pl. nullától eltérő megoldásai is vannak. ■

Tekintsünk egy homogén rendszert n lineáris egyenletek c n ismeretlen:

(2)

2. tétel. homogén rendszer n lineáris egyenletek c n Az ismeretleneknek (2) akkor és csak akkor vannak nem nulla megoldásai, ha a determinánsa egyenlő nullával: = 0.

□ Ha a (2) rendszernek nincs nullától eltérő megoldása, akkor = 0. Az at esetén a rendszernek csak egyedi nulla megoldása van. Ha = 0, akkor a rang r a rendszer főmátrixa kisebb, mint az ismeretlenek száma, azaz. r < n. És ezért a rendszernek végtelen számú megoldása van, pl. nullától eltérő megoldásai is vannak. ■

Jelölje az (1) rendszer megoldását! x 1 = k 1 , x 2 = k 2 , …, x n = k n mint egy húr .

A lineáris homogén egyenletrendszer megoldásai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

1. Ha a húr az (1) rendszer megoldása, akkor a karakterlánc az (1) rendszer megoldása is.

2. Ha a vonalak és - az (1) rendszer megoldásai, akkor tetszőleges értékekre val vel 1 és val vel 2 lineáris kombinációjuk megoldást jelent az (1) rendszerre is.

Ezen tulajdonságok érvényességét úgy ellenőrizheti, hogy közvetlenül behelyettesíti őket a rendszer egyenleteibe.

A megfogalmazott tulajdonságokból következik, hogy a lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak bármely lineáris kombinációja ennek a rendszernek a megoldása is.

Lineárisan független megoldások rendszere e 1 , e 2 , …, e r hívott alapvető, ha az (1) rendszer minden megoldása ezen megoldások lineáris kombinációja e 1 , e 2 , …, e r.

3. tétel. Ha rang r az (1) lineáris homogén egyenletrendszer változóinak együtthatói mátrixa kisebb, mint a változók száma n, akkor az (1) rendszer bármely alapvető megoldási rendszere abból áll n–r megoldásokat.

Így közös döntés A lineáris homogén egyenletrendszer (1) alakja:

ahol e 1 , e 2 , …, e r a (9) rendszer bármely alapvető megoldási rendszere, val vel 1 , val vel 2 , …, p- tetszőleges számok, R = n–r.

4. tétel.Általános rendszermegoldás m lineáris egyenletek c n ismeretlenek egyenlő a megfelelő lineáris homogén egyenletrendszer (1) általános megoldásának és e rendszer tetszőleges konkrét megoldásának (1) összegével.

Példa. Oldja meg a rendszert

Döntés. Ehhez a rendszerhez m = n= 3. Meghatározó

A 2. Tétel szerint a rendszernek csak egy triviális megoldása van: x = y = z = 0.

Példa. 1) Keresse meg a rendszer általános és sajátos megoldásait

2) Találja meg a megoldások alapvető rendszerét.

Döntés. 1) Ehhez a rendszerhez m = n= 3. Meghatározó

a 2. Tétel szerint a rendszernek vannak nem nulla megoldásai.

Mivel csak egy független egyenlet van a rendszerben

x + y – 4z = 0,

akkor abból fejezzük ki x =4z- y. Ahonnan végtelen számú megoldást kapunk: (4 z- y, y, z) a rendszer általános megoldása.

Nál nél z= 1, y= -1, akkor egy konkrét megoldást kapunk: (5, -1, 1). Elhelyezés z= 3, y= 2, akkor a második konkrét megoldást kapjuk: (10, 2, 3) stb.

2) Az általános megoldásban (4 z- y, y, z) változók yés z szabadok, és a változó x- tőlük függ. A megoldások alapvető rendszerének megtalálásához értékeket rendelünk a szabad változókhoz: először y = 1, z= 0, akkor y = 0, z= 1. Olyan partikuláris megoldásokat kapunk (-1, 1, 0), (4, 0, 1), amelyek a megoldások alapvető rendszerét alkotják.

Illusztrációk:

Rizs. 1 Lineáris egyenletrendszerek osztályozása

Rizs. 2 Lineáris egyenletrendszerek tanulmányozása

Előadások:

SLAE_mátrix módszer megoldása

Megoldás SLAU_Cramer metódusa

Megoldás SLAE_Gauss módszer

· Csomagok matematikai feladatok megoldásához Mathematica: lineáris egyenletrendszerek analitikus és numerikus megoldásának keresése

tesztkérdések:

1. Határozzon meg egy lineáris egyenletet!

2. Milyen rendszer működik m lineáris egyenletek -val n ismeretlen?

3. Mit nevezünk lineáris egyenletrendszerek megoldásának?

4. Milyen rendszereket nevezünk egyenértékűnek?

5. Melyik rendszert nevezzük inkompatibilisnek?

6. Milyen rendszert nevezünk ízületnek?

7. Milyen rendszert nevezünk definiáltnak?

8. Milyen rendszert nevezünk határozatlannak

9. Sorolja fel a lineáris egyenletrendszerek elemi transzformációit!

10. Sorolja fel a mátrixok elemi transzformációit!

11. Fogalmazzon meg tételt elemi transzformációk lineáris egyenletrendszerre való alkalmazásáról

12. Milyen rendszerek oldhatók meg mátrix módszerrel?

13. Milyen rendszereket lehet megoldani Cramer módszerével?

14. Milyen rendszereket lehet Gauss-módszerrel megoldani?

15. Soroljon fel 3 lehetséges esetet, amely lineáris egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása során merül fel

16. Ismertesse a mátrix módszert lineáris egyenletrendszerek megoldására!

17. Ismertesse Cramer módszerét lineáris egyenletrendszerek megoldására!

18. Ismertesse a Gauss-módszert lineáris egyenletrendszerek megoldására!

19. Milyen rendszereket lehet megoldani az inverz mátrix segítségével?

20. Soroljon fel 3 lehetséges esetet, amely lineáris egyenletrendszerek Cramer módszerrel történő megoldása során merül fel

Irodalom:

1. Felsőfokú matematika közgazdászoknak: Tankönyv egyetemeknek / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M. N. Fridman. Szerk. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 p.

2. Felsőfokú matematika általános tantárgy közgazdászoknak: Tankönyv. / Szerk. AZ ÉS. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 p.

3. Feladatgyűjtemény a felsőbb matematikából közgazdászoknak: Tankönyv / Szerk.: V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 p.

4. V. E. Gmurman, Útmutató a problémamegoldáshoz a valószínűségszámításban és a magmatikus statisztikában. - M.: Felsőiskola, 2005. - 400 p.

5. Gmurman. VE Valószínűségelmélet és matematikai statisztika. - M.: Felsőiskola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Felsőfokú matematika gyakorlatokban és feladatokban. 1. rész, 2. - M .: Ónix 21. század: Világ és oktatás, 2005. - 304 p. 1. rész; – 416 p. 2. rész

7. Matematika a közgazdaságtanban: Tankönyv: 2 óra alatt / A.S. Solodovnikov, V.A. Babatsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Pénzügy és statisztika, 2006.

8. Shipachev V.S. Felsőfokú matematika: Tankönyv diákoknak. egyetemek - M .: Felsőiskola, 2007. - 479 p.

Hasonló információk.

1. példa. Keressen egy általános megoldást és néhány alapvető megoldási rendszert a rendszer számára

Döntés számológéppel keresse meg. A megoldási algoritmus ugyanaz, mint a lineáris inhomogén egyenletrendszereknél.
Csak sorokkal operálva megtaláljuk a mátrix rangját, az alapmollt; függő és szabad ismeretleneket deklarálunk, és megtaláljuk az általános megoldást.

Az első és a második sor arányos, az egyik törlődik:

.
Függő változók - x 2, x 3, x 5, szabad - x 1, x 4. Az első 10x 5 = 0 egyenletből azt találjuk, hogy x 5 = 0, akkor
; .
Az általános megoldás így néz ki:

Megtaláljuk a megoldások alapvető rendszerét, amely (n-r) megoldásokból áll. Esetünkben n=5, r=3, tehát a megoldások alapvető rendszere két megoldásból áll, és ezeknek a megoldásoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük. Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függetlenek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a sorok elemeiből álló mátrix rangja egyenlő legyen a sorok számával, azaz 2-vel. Elegendő megadni a szabad ismeretleneket x 1 és x 4 értéket a nullától eltérő másodrendű determináns soraiból, és számítsa ki az x 2 , x 3 , x 5 értéket. A legegyszerűbb nem nulla determináns a.
Tehát az első megoldás: , a második - .
Ez a két döntés alkotja az alapvető döntési rendszert. Ne feledje, hogy az alaprendszer nem egyedi (a nullától eltérő determinánsokat tetszőleges számban állíthatunk össze).

2. példa. Keresse meg az általános megoldást és a rendszer alapvető megoldási rendszerét!
Döntés.



,
ebből következik, hogy a mátrix rangja 3, és egyenlő az ismeretlenek számával. Ez azt jelenti, hogy a rendszerben nincsenek szabad ismeretlenek, ezért van egy egyedi megoldása - egy triviális.

Gyakorlat . Lineáris egyenletrendszer feltárása és megoldása.
4. példa

Gyakorlat . Keressen általános és egyedi megoldásokat minden rendszerhez.
Döntés. Felírjuk a rendszer fő mátrixát:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

A mátrixot háromszög alakúra hozzuk. Csak sorokkal fogunk dolgozni, mivel ha egy mátrix egy sorát megszorozzuk egy nem nulla számmal és hozzáadjuk egy másik sorhoz a rendszer számára azt jelenti, hogy az egyenletet meg kell szorozni ugyanazzal a számmal és hozzáadni egy másik egyenlethez, ami nem változtatja meg a megoldást. a rendszerről.
Szorozzuk meg a 2. sort (-5)-tel. Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Szorozzuk meg a 2. sort (6-tal). Szorozzuk meg a 3. sort (-1)-gyel. Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz:
Keresse meg a mátrix rangját!

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

A kiemelt moll a legmagasabb rendű (a lehetséges mollok közül), és nem nulla (egyenlő a reciprok átlón lévő elemek szorzatával), ezért rang(A) = 2.
Ez a minor alap. Ismeretlen x 1, x 2 együtthatóit tartalmaz, ami azt jelenti, hogy az ismeretlen x 1, x 2 függő (alap), az x 3, x 4, x 5 pedig szabad.
A mátrixot átalakítjuk úgy, hogy csak az alapmoll marad a bal oldalon.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

A mátrix együtthatóival rendelkező rendszer megegyezik az eredeti rendszerrel, és a következő formában van:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével azt találjuk nem triviális megoldás:
Megkaptuk az x 1 ,x 2 -től a szabad x 3 ,x 4 ,x 5 -ig terjedő függő változókat kifejező relációkat, azaz közös döntés:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = -0,55x4 - 1,82x3 - 0,64x5
Megtaláljuk a megoldások alapvető rendszerét, amely (n-r) megoldásokból áll.
Esetünkben n=5, r=2, ezért a megoldások alaprendszere 3 megoldásból áll, és ezeknek a megoldásoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük.
Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függetlenek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a sorok elemeiből összeállított mátrix rangja egyenlő legyen a sorok számával, azaz 3-mal.
A szabad ismeretleneknek elegendő x 3 ,x 4 ,x 5 értéket megadni a 3. rendű determináns nullától eltérő soraiból, és kiszámolni x 1 ,x 2 -t.
A legegyszerűbb nem nulla determináns az azonosságmátrix.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Feladat . Találja meg a megoldások alapvető halmazát egy homogén lineáris egyenletrendszerre.

Legyen M 0 a (4) homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza.

Meghatározás 6.12. Vektorok val vel 1 ,val vel 2 , …, p, amelyek egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai, úgynevezett alapvető megoldáskészlet(rövidítve FNR) ha

1) vektorok val vel 1 ,val vel 2 , …, p lineárisan független (azaz egyik sem fejezhető ki a többivel);

2) egy homogén lineáris egyenletrendszer bármely más megoldása kifejezhető megoldásokkal val vel 1 ,val vel 2 , …, p.

Vegye figyelembe, hogy ha val vel 1 ,val vel 2 , …, p néhány f.n.r., akkor a kifejezés alapján k 1× val vel 1 + k 2× val vel 2 + … + kp× p le tudja írni az egész készletet M 0 megoldása a (4) rendszernek, így hívják a rendszermegoldás általános képe (4).

6.6. Tétel. Bármely határozatlan homogén lineáris egyenletrendszernek van alapvető megoldási halmaza.

A megoldások alapvető halmazának megtalálásának módja a következő:

Keresse meg egy homogén lineáris egyenletrendszer általános megoldását;

Épít ( n – r) ennek a rendszernek a részmegoldásai, míg a szabad ismeretlenek értékeinek identitásmátrixot kell alkotniuk;

Írja le a benne szereplő megoldás általános formáját! M 0 .

6.5. példa. Keresse meg a következő rendszer alapvető megoldási halmazát:

Döntés. Keressük ennek a rendszernek az általános megoldását.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Ennek a rendszernek öt ismeretlenje van ( n= 5), ebből két fő ismeretlen ( r= 2), három szabad ismeretlen ( n – r), azaz a megoldások alapvető halmaza három megoldási vektort tartalmaz. Építsük meg őket. Nekünk van x 1 és x 3 - fő ismeretlenek, x 2 , x 4 , x 5 - ingyenes ismeretlenek

A szabad ismeretlenek értékei x 2 , x 4 , x 5 alkotják az identitásmátrixot E harmadik rend. Megvannak a vektorok val vel 1 ,val vel 2 , val vel 3 forma f.n.r. ezt a rendszert. Ekkor ennek a homogén rendszernek a megoldásainak halmaza lesz M 0 = {k 1× val vel 1 + k 2× val vel 2 + k 3× val vel 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Nézzük most meg egy homogén lineáris egyenletrendszer nullától eltérő megoldásainak létezésének feltételeit, más szóval egy alapvető megoldáshalmaz létezésének feltételeit.

Egy homogén lineáris egyenletrendszernek nullától eltérő megoldásai vannak, azaz határozatlan, ha

1) a rendszer főmátrixának rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma;

2) egy homogén lineáris egyenletrendszerben az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma;

3) ha egy homogén lineáris egyenletrendszerben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, és a főmátrix determinánsa egyenlő nullával (azaz | A| = 0).

6.6. példa. A paraméter melyik értékénél a homogén lineáris egyenletrendszer vannak nem nullától eltérő megoldások?

Döntés. Állítsuk össze ennek a rendszernek a főmátrixát, és keressük meg a determinánsát: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Ennek a mátrixnak a determinánsa egyenlő nullával, amikor a = –4.

Válasz: –4.

7. Számtan n-dimenziós vektortér

Alapfogalmak

Az előző részekben már találkoztunk a bizonyos sorrendbe rendezett valós számok halmazának fogalmával. Ez egy sormátrix (vagy oszlopmátrix) és egy lineáris egyenletrendszer megoldása n ismeretlen. Ez az információ összefoglalható.

Meghatározás 7.1. n-dimenziós aritmetikai vektor rendezett halmazának nevezzük n valós számok.

Eszközök a= (a 1 , a 2 , …, a n), hol egy énО R, én = 1, 2, …, n a vektor általános képe. Szám n hívott dimenzió vektor, és a számok a én hívta koordináták.

Például: a= (1, –8, 7, 4, ) egy ötdimenziós vektor.

Minden kész n-dimenziós vektorokat általában úgy jelöljük R n.

Meghatározás 7.2. Két vektor a= (a 1 , a 2 , …, a n) és b= (b 1 , b 2 , …, b n) azonos méretű egyenlő akkor és csak akkor, ha a megfelelő koordinátáik egyenlőek, azaz a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Meghatározás 7.3.összeg kettő n-dimenziós vektorok a= (a 1 , a 2 , …, a n) és b= (b 1 , b 2 , …, b n) vektornak nevezzük a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Meghatározás 7.4. munka valós szám k vektoronként a= (a 1 , a 2 , …, a n) vektornak nevezzük k× a = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Meghatározás 7.5. Vektor ról ről= (0, 0, …, 0) meghívásra kerül nulla(vagy null-vektor).

Könnyen ellenőrizhető, hogy a vektorok összeadásának és valós számmal való szorzásának műveletei (műveletei) a következő tulajdonságokkal rendelkeznek-e: a, b, c Î R n, " k, lОR:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + ról ről = a;

4) a+ (–a) = ról ről;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Meghatározás 7.6. Egy csomó R n a vektorok összeadása és a rajta megadott valós számmal való szorzás műveleteivel nevezzük aritmetikai n-dimenziós vektortér.