A legegyszerűbb egyjegyű prímszám. Képletek prímszámokhoz
Ebben a cikkben tanulmányozni fogjuk prímszámok és összetett számok. Először megadjuk a prímszámok és az összetett számok definícióit, és példákat is adunk. Ezek után bebizonyítjuk, hogy végtelen sok prímszám van. Ezután írunk egy prímszámtáblázatot, és megfontoljuk a prímszámtáblázat összeállításának módszereit, különösen óvatosan foglalkozunk az Eratoszthenész szitájának nevezett módszerrel. Befejezésül kiemeljük azokat a főbb pontokat, amelyeket figyelembe kell venni egy adott szám prím- vagy összetett számának bizonyításakor.
Oldalnavigáció.
Prím- és összetett számok – meghatározások és példák
A prímszámok és az összetett számok fogalma azokra vonatkozik, amelyek nagyobbak egynél. Az ilyen egész számokat pozitív osztóik számától függően prímszámokra és összetett számokra osztjuk. Tehát megérteni prímszámok és összetett számok definíciói, jó ötletnek kell lennie arról, hogy mik az osztók és többszörösek.
Meghatározás.
prímszámok olyan egynél nagyobb egész számok, amelyeknek csak két pozitív osztójuk van, nevezetesen önmaguk és 1 .
Meghatározás.
Összetett számok egynél nagyobb egész számok, amelyeknek legalább három pozitív osztójuk van.
Külön megjegyezzük, hogy az 1-es szám nem vonatkozik sem prímszámokra, sem összetett számokra. Az egységnek csak egy pozitív osztója van, ez maga az 1. Ez megkülönbözteti az 1-es számot minden olyan pozitív egésztől, amelynek legalább két pozitív osztója van.
Tekintettel arra, hogy a pozitív egész számok , és az egységnek csak egy pozitív osztója van, a prímszámok és az összetett számok hangos definícióinak más megfogalmazásai is megadhatók.
Meghatározás.
prímszámok természetes számok, amelyeknek csak két pozitív osztójuk van.
Meghatározás.
Összetett számok olyan természetes számok, amelyeknek kettőnél több pozitív osztójuk van.
Vegye figyelembe, hogy minden egynél nagyobb pozitív egész prímszám vagy összetett szám. Más szóval, nincs egyetlen egész szám, amely ne prím vagy összetett lenne. Ez következik az oszthatósági tulajdonságból, amely szerint az 1 és a számok mindig osztói bármely a egész számnak.
Az előző bekezdés információi alapján az összetett számok következő definícióját adhatjuk meg.
Meghatározás.
Azokat a természetes számokat, amelyek nem prímszámok, nevezzük alkotó.
hozzuk példák prímszámokra és összetett számokra.
Az összetett számokra példaként a 6 , 63 , 121 és 6697 számokat adjuk meg. Ez a kijelentés is magyarázatra szorul. A 6-os számnak az 1-es és 6-os pozitív osztókon kívül 2-es és 3-as osztója is van, mivel 6 \u003d 2 3, ezért a 6 valóban összetett szám. A 63 pozitív osztói az 1 , 3 , 7 , 9 , 21 és 63 számok . A 121 szám egyenlő a 11 11 szorzatával, így pozitív osztói 1, 11 és 121. A 6697-es szám pedig összetett, hiszen pozitív osztói az 1-en és a 6697-en kívül a 37-es és a 181-es számok is.
A bekezdés zárásaként arra is szeretném felhívni a figyelmet, hogy a prímszámok és a koprímszámok korántsem ugyanazok.
Prímszám táblázat
A prímszámokat a további felhasználásuk megkönnyítése érdekében egy táblázatban rögzítjük, amelyet prímszámtáblázatnak nevezünk. Alább prímszám táblázat 1000-ig.
Felmerül egy logikus kérdés: „Miért csak 1000-ig töltöttük ki a prímszámok táblázatát, nem lehet az összes létező prímszámból táblázatot készíteni”?
Először válaszoljunk ennek a kérdésnek az első részére. A legtöbb prímszámmal kapcsolatos probléma esetén az ezerig terjedő prímszámok is elegendőek. Más esetekben valószínűleg speciális megoldási technikákat kell alkalmaznia. Bár természetesen táblázatolhatunk prímszámokat tetszőlegesen nagy véges pozitív egész számig, legyen az 10 000 vagy 1 000 000 000 , a következő bekezdésben a prímszámtáblázatok összeállítási módszereiről lesz szó, különös tekintettel a módszer elemzésére. hívott.
Most nézzük meg annak lehetőségét (vagy inkább lehetetlenségét), hogy az összes létező prímszámból táblázatot állítsunk össze. Nem készíthetünk táblázatot az összes prímszámból, mert végtelen sok prím van. Az utolsó állítás egy tétel, amelyet a következő segédtétel után fogunk bizonyítani.
Tétel.
Az 1-től eltérő természetes szám legkisebb pozitív osztója prímszám.
Bizonyíték.
Legyen a egynél nagyobb természetes szám, b pedig a legkisebb pozitív nem egy osztója. Bizonyítsuk be ellentmondással, hogy b prímszám.
Tegyük fel, hogy b egy összetett szám. Ekkor van a b szám osztója (jelöljük b 1 ), amely különbözik 1-től és b-től is. Ha azt is figyelembe vesszük, hogy az osztó abszolút értéke nem haladja meg az osztalék abszolút értékét (ezt az oszthatóság tulajdonságaiból tudjuk), akkor az 1. feltétel
Mivel az a szám feltétel alapján osztható b-vel, és azt mondtuk, hogy b osztható b 1 -gyel, akkor az oszthatóság fogalma lehetővé teszi, hogy olyan q és q 1 egész számok létezéséről beszéljünk, amelyek a=b q és b=b 1 q 1, ahonnan a= b 1 ·(q 1 ·q) . Ebből következik, hogy két egész szám szorzata egész szám, akkor az a=b 1 ·(q 1 ·q) egyenlőség azt jelzi, hogy b 1 osztója az a számnak. Figyelembe véve a fenti egyenlőtlenségeket 1
Most bebizonyíthatjuk, hogy végtelen sok prímszám van.
Tétel.
Végtelen sok prímszám van.
Bizonyíték.
Tegyük fel, hogy nem. Vagyis tegyük fel, hogy csak n prím van, és ezek p 1 , p 2 , …, p n . Mutassuk meg, hogy mindig találhatunk a feltüntetettektől eltérő prímszámot.
Tekintsünk egy p számot, amely egyenlő p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Nyilvánvaló, hogy ez a szám különbözik a p 1 , p 2 , …, p n prímektől. Ha a p szám prím, akkor a tétel bizonyítást nyer. Ha ez a szám összetett, akkor az előző tétel értelmében ennek a számnak van prímosztója (jelöljük p n+1 ). Mutassuk meg, hogy ez az osztó nem esik egybe a p 1 , p 2 , …, p n számok egyikével sem.
Ha ez nem így lenne, akkor az oszthatósági tulajdonságok alapján a p 1 ·p 2 ·…·p n szorzat osztható lenne p n+1 -gyel. De a p szám is osztható p n+1-gyel, egyenlő a p 1 ·p 2 ·…·p n +1 összeggel. Ez azt jelenti, hogy ennek az összegnek a második tagjának, amely egyenlő eggyel, oszthatónak kell lennie p n+1-gyel, és ez lehetetlen.
Így bebizonyosodott, hogy mindig lehet új prímszámot találni, amely nem szerepel az előre megadott prímszámok között. Ezért végtelenül sok prímszám van.
Tehát abból a tényből adódóan, hogy végtelenül sok prímszám van, a prímszámtáblázatok összeállításakor mindig felülről korlátozzák magukat valamilyen számra, általában 100, 1000, 10 000 stb.
Eratoszthenész szita
Most megvitatjuk a prímszámtáblázatok összeállításának módjait. Tegyük fel, hogy egy táblázatot kell készítenünk prímszámokból 100-ig.
A probléma megoldásának legkézenfekvőbb módja az, hogy 2-vel kezdődő és 100-zal végződő pozitív egész számokat szekvenciálisan ellenőrizzük, hogy van-e olyan pozitív osztó, amely nagyobb 1-nél és kisebb, mint az ellenőrzött szám (az oszthatóság tulajdonságaiból tudnia kell, hogy az osztó abszolút értéke nem haladja meg az osztalék nullától eltérő abszolút értékét). Ha ilyen osztó nem található, akkor az ellenőrzött szám prím, és bekerül a prímszámok táblázatába. Ha ilyen osztót találunk, akkor az ellenőrzött szám összetett, NEM kerül be a prímszámok táblázatába. Ezt követően történik az átmenet a következő számra, amelyhez hasonlóan ellenőrzik az osztó jelenlétét.
Ismertesse az első néhány lépést.
A 2-es számmal kezdjük. A 2-es számnak nincs más pozitív osztója, mint 1 és 2. Ezért prím, ezért beírjuk a prímszámok táblázatába. Itt azt kell mondani, hogy a 2 a legkisebb prímszám. Térjünk át a 3. számra. 1-től és 3-tól eltérő lehetséges pozitív osztója 2. De a 3 nem osztható 2-vel, ezért a 3 prímszám, és azt is be kell írni a prímszámok táblázatába. Térjünk át a 4-es számra. Pozitív osztói az 1-től és a 4-től eltérőek lehetnek 2 és 3 , nézzük meg őket. A 4 osztható 2-vel, ezért a 4 összetett szám, és nem kell beírni a prímszámok táblázatába. Vegye figyelembe, hogy a 4 a legkisebb összetett szám. Térjünk át az 5-ös számra. Ellenőrizzük, hogy a 2 , 3 , 4 számok közül legalább az egyik osztója-e. Mivel az 5 nem osztható sem 2-vel, sem 3-mal, sem 4-gyel, ezért prímszám, és be kell írni a prímszámok táblázatába. Ezután következik az átmenet a 6-os, 7-es számokra és így tovább 100-ig.
A prímszámtáblázat összeállításának ez a megközelítése messze nem ideális. Így vagy úgy, joga van a létezéshez. Vegye figyelembe, hogy az egész számok táblázatának ezzel a módszerével oszthatósági kritériumokat használhat, ami kissé felgyorsítja az osztók keresésének folyamatát.
Van egy kényelmesebb módja a prímszámok táblájának összeállításának. A névben előforduló „szita” szó nem véletlen, hiszen ennek a módszernek a hatásai mintegy segítik az Eratoszthenész egész számok, nagy egységek szitájának „átszitálását”, hogy elkülönüljenek az egyszerűek az összetettektől.
Mutassuk meg Eratoszthenész szitáját működés közben, amikor prímszámokat tartalmazó táblázatot állítunk össze 50-ig.
Először a 2, 3, 4, ..., 50 számokat írjuk fel sorrendben.
A 2-vel írt első szám prím. Most a 2-es számtól sorban haladunk jobbra két számmal, és húzzuk ki ezeket a számokat, amíg el nem jutunk az összeállított számtáblázat végére. Tehát minden szám, amely kettő többszöröse, át lesz húzva.
A 2 utáni első át nem húzott szám a 3. Ez a szám prímszám. Most a 3-as számtól sorban haladunk jobbra három számmal (figyelembe véve a már áthúzott számokat), és áthúzzuk őket. Tehát minden szám, amely három többszöröse, át lesz húzva.
A 3 utáni első át nem húzott szám az 5 . Ez a szám prímszám. Most az 5-ös számtól sorban haladunk jobbra 5 számmal (a korábban áthúzott számokat is figyelembe vesszük), és áthúzzuk őket. Tehát minden szám, amely öt többszöröse, át lesz húzva.
Ezután kihúzzuk azokat a számokat, amelyek 7 többszörösei, majd 11 többszörösei, és így tovább. A folyamat akkor ér véget, amikor már nem marad áthúzható szám. Az alábbiakban egy teljes táblázat látható az Eratosthenes szitával nyert 50-ig terjedő prímekről. Minden át nem húzott szám prímszám, és minden áthúzott szám összetett.
Fogalmazzunk meg és bizonyítsunk be egy tételt, amely felgyorsítja a prímszámtáblázat összeállítását Eratoszthenész szitája segítségével.
Tétel.
Az a összetett szám legkevésbé pozitív nem egy osztója nem haladja meg a -t, ahol a -ból származik.
Bizonyíték.
Jelölje b az a összetett szám egységtől eltérő legkisebb osztóját (a b szám prím, ami az előző bekezdés legelején bizonyított tételből következik). Ekkor van egy q egész szám, amelyre a=b q (itt q pozitív egész szám, ami az egész számok szorzásának szabályaiból következik), és (ha b>q, megsérül az a feltétel, hogy b a legkisebb osztója, mivel q is osztója a-nak az a=q b egyenlőség miatt). Az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozva egy pozitív és egynél nagyobb b egész számmal (ezt megtehetjük), megkapjuk a , honnan és .
Mit ad nekünk a bizonyított tétel Eratoszthenész szitájával kapcsolatban?
Először is, a b prímszám többszörösei összetett számok törlését a következővel egyenlő számmal kell kezdeni (ez az egyenlőtlenségből következik). Például a kettő többszöröseinek áthúzását a 4-gyel, a három többszörösét a 9-es számmal, az öt többszörösét a 25-ös számmal kell áthúzni, és így tovább.
Másodszor, a prímszámok táblázatának összeállítása n számig Eratoszthenész szitája segítségével akkor tekinthető befejezettnek, ha minden olyan összetett számot áthúzunk, amelyek legfeljebb prímszámok többszörösei. Példánkban n=50 (mert prímeket 50 -ig táblázatolunk) és, tehát Eratoszthenész szitájának ki kell gyomlálnia a 2 , 3 , 5 és 7 prímek összes olyan összetett többszörösét, amely nem haladja meg az 50 számtani négyzetgyökét. . Ez azt jelenti, hogy többé nem kell keresnünk és kihúznunk azokat a számokat, amelyek a 11 , 13 , 17 , 19 , 23 és így tovább 47-ig többszörösei, mivel ezek már kisebb 2 prímszámok többszöröseiként ki lesznek húzva, 3 , 5 és 7 .
Ez a szám prím vagy összetett?
Egyes feladatokhoz ki kell deríteni, hogy egy adott szám prím-e vagy összetett-e. Általános esetben ez a feladat korántsem egyszerű, különösen olyan számoknál, amelyek rekordja jelentős számú karakterből áll. A legtöbb esetben valamilyen konkrét megoldást kell keresni. Igyekszünk azonban irányt adni a gondolatmenetnek az egyszerű esetekre.
Kétségtelenül meg lehet próbálni oszthatósági kritériumokkal bizonyítani, hogy egy adott szám összetett. Ha például valamely oszthatósági feltétel azt mutatja, hogy az adott szám osztható valamilyen egynél nagyobb pozitív egész számmal, akkor az eredeti szám összetett.
Példa.
Bizonyítsuk be, hogy a 898 989 898 989 898 989 szám összetett.
Döntés.
Ennek a számnak a számjegyeinek összege 9 8+9 9=9 17 . Mivel a 9 17-tel egyenlő szám osztható 9-cel, ezért a 9-cel való oszthatóság ismérve alapján az eredeti szám osztható 9-cel is. Ezért összetett.
Ennek a megközelítésnek jelentős hátránya, hogy az oszthatóság kritériumai nem teszik lehetővé egy szám egyszerűségének bizonyítását. Ezért, ha egy számról ellenőrzi, hogy prím-e vagy összetett-e, másképp kell eljárnia.
A leglogikusabb megközelítés egy adott szám összes lehetséges osztójának felsorolása. Ha a lehetséges osztók egyike sem igazi osztója egy adott számnak, akkor ez a szám prím, egyébként pedig összetett. Az előző bekezdésben bizonyított tételekből az következik, hogy egy adott a szám osztóit a -t meg nem haladó prímszámok között kell keresni. Így az adott a szám egymás után elosztható prímszámokkal (amit kényelmesen ki lehet venni a prímszámtáblázatból), megpróbálva megtalálni az a szám osztóját. Ha találtunk osztót, akkor az a szám összetett. Ha a -t meg nem haladó prímszámok között nincs osztója az a számnak, akkor az a szám prím.
Példa.
Szám 11 723 egyszerű vagy összetett?
Döntés.
Nézzük meg, milyen prímszámra lehetnek a 11 723 szám osztói. Ehhez úgy becsüljük.
Ez teljesen nyilvánvaló 
, 200 óta 2 \u003d 40 000 és 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью szám összehasonlítás). Így a 11 723 lehetséges prímosztói kisebbek, mint 200. Ez már nagyban leegyszerűsíti a feladatunkat. Ha ezt nem tudnánk, akkor az összes prímszámot nem 200-ig, hanem 11 723-ig kellene rendeznünk.
Ha szükséges, pontosabban is megbecsülheti. Mivel 108 2 \u003d 11 664, és 109 2 \u003d 11 881, majd 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Így a 109-nél kisebb prímek bármelyike potenciálisan az adott 11 723 szám prímosztója.
Most egymás után felosztjuk a 11 723 számot prímszámokra 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 5 , 6 , 6 , 6 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Ha a 11 723 számot teljesen elosztjuk valamelyik írott prímszámmal, akkor az összetett lesz. Ha nem osztható egyik felírt prímszámmal sem, akkor az eredeti szám prímszám.
Nem fogjuk leírni ezt az egész monoton és monoton osztódási folyamatot. Tegyük fel, hogy 11 723
Osztók listája.Értelemszerűen a szám n csak akkor prím, ha nem osztható egyenlően 2-vel és más egész számokkal, kivéve 1-et és önmagát. A fenti képlet eltávolítja a felesleges lépéseket és időt takarít meg: például miután ellenőriztük, hogy egy szám osztható-e 3-mal, nem kell ellenőrizni, hogy osztható-e 9-cel.
- A floor(x) függvény az x-et az x-nél kisebb vagy azzal egyenlő legközelebbi egész számra kerekíti.
Ismerje meg a moduláris aritmetikát. Az „x mod y” művelet (a mod a latin „modulo”, azaz „modul” szó rövidítése) azt jelenti, hogy „osztjuk el x-et y-val, és keressük meg a maradékot”. Más szóval, a moduláris aritmetikában egy bizonyos érték elérésekor, amelyet ún modult, a számok "visszafordulnak" nullára. Például egy óra a 12-es modulusban méri az időt: 10, 11 és 12 órát mutat, majd visszatér 1-re.
- Sok számológép rendelkezik mod gombbal. Ennek a szakasznak a vége bemutatja, hogyan kell manuálisan kiszámítani ezt a függvényt nagy számokhoz.
Ismerje meg Fermat kis tételének buktatóit. Minden olyan szám, amelyre a vizsgálati feltételek nem teljesülnek, összetett, de a többi szám csak valószínűleg egyszerűnek tartják. Ha el akarja kerülni a helytelen eredményeket, keresse n a „Carmichael-számok” (összetett számok, amelyek megfelelnek ennek a tesztnek) és „pszeudoprím Fermat-számok” listájában (ezek a számok csak bizonyos értékek esetében felelnek meg a teszt feltételeinek a).
Ha kényelmes, használja a Miller-Rabin tesztet. Bár ez a módszer meglehetősen nehézkes a kézi számításokhoz, gyakran használják számítógépes programokban. Elfogadható sebességet biztosít és kevesebb hibát ad, mint a Fermat-féle módszer. Az összetett szám nem számít prímszámnak, ha a számításokat ¼-nél több értékre végezzük a. Ha véletlenszerűen választ ki különböző értékeket aés mindegyiknél a teszt pozitív eredményt ad, elég nagy biztonsággal feltételezhetjük, hogy n egy prímszám.
Nagy számok esetén használjon moduláris aritmetikát. Ha nincs kéznél mod-kalkulátor, vagy ha a számológépét nem ilyen nagy számok kezelésére tervezték, használja a teljesítménytulajdonságokat és a moduláris aritmetikát a számítások megkönnyítése érdekében. Az alábbiakban egy példa a 3 50 (\displaystyle 3^(50)) 50. mód:
- Írja át a kifejezést kényelmesebb formában: mod 50. Kézi számításnál további egyszerűsítésekre lehet szükség.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Itt figyelembe vettük a moduláris szorzás tulajdonságát.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25))) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 * 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
- = 49 (\displaystyle=49).
M. Gardner színesen elmondja, hogyan történt ez a megfigyelés a Mathematical Leisures-ben (M., Mir, 1972). Íme ez a darab (413-417. oldal):
Az egész számok elrendezésétől függően a prímszámok egy vagy másik mintát alkothatnak. Egyszer Stanislav M. Ulam matematikusnak részt kellett vennie egy nagyon hosszú és nagyon unalmas – szavai szerint – jelentésben. Hogy valahogy jól érezze magát, függőleges és vízszintes vonalakat húzott egy papírra, és el akarta kezdeni a sakktanulmányok összeállítását, de aztán meggondolta magát, és elkezdte számozni a metszéspontokat, 1-et tett a középpontba, és az óramutató járásával ellentétes irányban spirálisan mozgott. . Minden hátsó szándék nélkül bekarikázta az összes prímszámot. Hamarosan meglepetésére a körök elképesztő szívóssággal kezdtek felsorakozni az egyenes vonalak mentén. ábrán A 203 megmutatja, hogyan nézett ki a spirál száz első számmal (1-től 100-ig). [ Ez a fenti 1. ábra kétfordulatú csonka változata, ezért nem veszem ide. — E.G.A.] A kényelem kedvéért a számok cellákba vannak írva, és nem a vonalak metszéspontjában állnak.
Az egyenesek mentén a prímek igazításának középpontja közelében még számítani lehetett, mivel a prímek sűrűsége kezdetben nagy, és a 2-es szám kivételével mindegyik páratlan. Ha a sakktábla cellái spirálisan vannak számozva, akkor minden páratlan szám az azonos színű cellákra esik. Ha 17 gyalogot veszünk (amelyek 17 prímszámnak felelnek meg, amelyek nem haladják meg a 64-et), és véletlenszerűen helyezzük el őket azonos színű négyzetekre, azt tapasztaljuk, hogy a gyalogok az átlós vonalak mentén sorakoznak. Nem volt azonban okunk arra számítani, hogy a nagy számok tartományában, ahol a prímek sűrűsége jóval kisebb, ezek is egyenesek mentén sorakoznak fel. Ulamot az érdekelte, hogyan nézne ki a spirálja, ha több ezer prímszámra kiterjesztenék.
A Los Alamos laboratórium számítástechnikai osztályán, ahol Ulam dolgozott, volt egy mágnesszalag, amelyen 90 millió prímszámot rögzítettek. Ulam Myron L. Steinnel és Mark B. Wells-szel együtt írt egy programot a MANIAC számítógéphez, amely lehetővé tette 1 és 65 000 közötti egymást követő egész számok spirálra történő nyomtatását. Az eredményül kapott mintát (amit néha "Ulam terítőnek" is neveznek) a képen láthatjuk. ábrán. 204. [ Ez pedig a fenti 2. ábra kiterjesztett változata, ezért hozom. — E.G.A.] Ügyeljen arra, hogy a prímszámok még a kép szélén is engedelmesen illeszkednek az egyenesekre.
Először is feltűnőek a prímszámok az átlókon, de a prímszámok egy másik tendenciája is szembetűnő: függőleges és vízszintes vonalak mentén sorakoznak fel, amelyeken minden prímszámtól mentes cellát páratlan számok foglalnak el. Azok a prímszámok, amelyek a spirál valamely fordulóján elhelyezkedő egymást követő számokat tartalmazó szakaszon túlnyúló egyenesekre esnek, néhány 4-es taggal kezdődő másodfokú kifejezés értékének tekinthetők. x². Például az 5., 19., 41., 71. prímszámok sorozata, amely az ábra egyik átlóján áll. 204, a 4 másodfokú trinom által felvett értékek x² + 10 x+ 5 at x egyenlő 0, 1, 2 és 3. 204 látható, hogy a prímértéket felvevő másodfokú kifejezések "szegények" (kevés prímszámot adnak) és "gazdagok", és a "gazdag" sorokon prímek egész "elhelyezői" figyelhetők meg.
Ha a spirált nem 1-ből, hanem valamilyen másik számból indítjuk, más másodfokú kifejezéseket kapunk az egyenesek mentén sorakozó prímszámokra. Tekintsünk egy spirált, amely a 17-es számmal kezdődik (205. ábra, bal). A főátló mentén az "északkeletről" a "délnyugatra" tartó számokat a 4-es másodfokú trinom generálja x² + 2 x+ 17. Pozitív értékek behelyettesítése x, az átló alsó felét negatív értékek helyettesítésével kapjuk meg - a felsőt. Ha a teljes átlót figyelembe vesszük, és a prímszámokat növekvő sorrendbe rendezzük, kiderül (és ez kellemes meglepetés), hogy minden számot egy egyszerűbb képlet ír le. x² + x+ 17. Ez egyike a prímszámokra vonatkozó sok „generáló” képletnek, amelyet a 18. században fedezett fel a nagy matematikus, Leonhard Euler. Nál nél x, amely 0 és 15 közötti értékeket vesz fel, csak prímszámokat ad. Ezért az átlót meghosszabbítva addig, amíg ki nem tölti a 16x16-os négyzetet, azt látjuk, hogy a teljes átló prímszámokkal van kitöltve.
Euler leghíresebb másodfokú trinomiuma, amely prímszámokat állít elő, x² + x+ 41, akkor derül ki, ha a spirált a 41-es számmal indítja (205. ábra, jobbra). Ez a trinom lehetővé teszi, hogy 40 egymást követő prímszámot kapjunk, amelyek kitöltik a 40 × 4 négyzet 0 teljes átlóját! Régóta ismert, hogy a hármastag által felvett 2398 első értéknek pontosan a fele egyszerű. Ulam, Stein és Wells a híres trinomiális összes, 10 000 000-et meg nem haladó értékén végignézve azt találta, hogy a prímszámok aránya közöttük 0,475…. A matematikusok nagyon szeretnének felfedezni egy olyan képletet, amely lehetővé teszi, hogy elérje mindenkiáltalában x különféle prímszámok, de ez idáig ilyen képletet nem fedeztek fel. Talán nem is létezik.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Rizs. 205. Másodfokú trinomiálisok által generált prímekkel kitöltött átlók x² + x+ 17 (balra) és x² + x+ 41 (jobbra). | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Az Ulam-spirál sok új kérdést vetett fel a prímszámok eloszlásának mintázataival és véletlenszerűségével kapcsolatban. Vannak végtelen sok prímszámot tartalmazó sorok? Mekkora a prímszámok maximális eloszlási sűrűsége az egyenesek mentén? Eltérnek-e szignifikánsan a prímszámok sűrűségeloszlásai Ulam terítő kvadránsaiban, ha feltételezzük, hogy ez a végtelenségig folytatódik? Az Ulam spirál szórakoztató, de komolyan kell venni.
A prímszám olyan természetes szám, amely csak önmagával és eggyel osztható.
A többi számot összetettnek nevezzük.
Egyszerű természetes számok
De nem minden természetes szám prímszám.
Az egyszerű természetes számok csak azok, amelyek csak önmagukkal és eggyel oszthatók.
Példák prímszámokra:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
Egyszerű egész számok
Ebből következik, hogy csak a természetes számok prímszámok.
Ez azt jelenti, hogy a prímszámok szükségszerűen természetesek.
De minden természetes szám is egész szám.
Így minden prímszám egész szám.
Példák prímszámokra:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
Páros prímszámok
Csak egy páros prímszám van, ez pedig kettő.
Az összes többi prímszám páratlan.
Miért nem lehet prímszám egy kettőnél nagyobb páros szám?
Hanem azért, mert minden kettőnél nagyobb páros szám önmagával osztható lesz, nem eggyel, hanem kettővel, vagyis egy ilyen számnak mindig lesz három osztója, és esetleg több is.