A "függvény legkisebb pozitív periódusának keresése" címkével ellátott bejegyzések. Hogyan találjuk meg egy függvény legkisebb pozitív periódusát
Minimum pozitív időszak funkciókat a trigonometriában f-vel jelölve. Egy pozitív T szám legkisebb értéke jellemzi, vagyis a kisebb T értéke már nem lesz időszak ohm funkciókat .
Szükséged lesz
- - matematikai kézikönyv.
Utasítás
1. Kérjük, vegye figyelembe, hogy időszak Az ical függvénynek nincs mindig megfelelő minimuma időszak. Tehát például mint időszak hanem folyamatos funkciókat feltétel nélkül tetszőleges szám lehet, ami azt jelenti, hogy nem feltétlenül a legkisebb pozitív időszak a. Vannak instabilok is időszak ical funkciókat, amelyek nem rendelkeznek a legkisebb szabályos időszak a. A legtöbb esetben azonban a minimum helyes időszak nál nél időszak Az alapvető funkciók továbbra is megvannak.
2. Minimális időszak a szinusz 2?. Lásd ezt a példát megerősítésként. funkciókat y=sin(x). Legyen T tetszőleges időszak a szinusz ohm, ebben az esetben sin(a+T)=sin(a) bármely a értékre. Ha a=?/2, akkor kiderül, hogy sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Azonban sin(x)=1 csak akkor, ha x=?/2+2?n, ahol n egész szám. Innen következik, hogy T=2?n, ami azt jelenti, hogy 2?n legkisebb pozitív értéke 2?.
3. Minimum helyes időszak koszinusz is egyenlő 2?-vel. Lásd ezt a példát megerősítésként. funkciókat y=cos(x). Ha T önkényes időszak koszinusz, akkor cos(a+T)=cos(a). Abban az esetben, ha a=0, cos(T)=cos(0)=1. Ennek fényében T legkisebb pozitív értéke, amelyre cos(x)=1, 2?.
4. Figyelembe véve azt a tényt, hogy 2? - időszak szinusz és koszinusz, ugyanaz az érték lesz időszak ohm a kotangens, valamint az érintő, de nem a minimum, abból a tényből, hogy mint köztudott, a minimum helyes időszak az érintő és a kotangens egyenlő?. Ezt a következő példával ellenőrizheti: a trigonometrikus körön az (x) és (x +?) számoknak megfelelő pontok átlósan ellentétes helyen vannak. Az (x) pont és az (x + 2?) pont távolsága a kör felének felel meg. Az érintő és a kotangens definíciója szerint tg(x+?)=tgx, és ctg(x+?)=ctgx, ami azt jelenti, hogy a minimum helyes időszak kotangens és érintő egyenlő?.
A periodikus függvény olyan függvény, amely bizonyos nem nulla periódus után megismétli az értékeit. A függvény periódusa olyan szám, amelynek a függvény argumentumához való hozzáadása nem változtatja meg a függvény értékét.
Szükséged lesz
- Az elemi matematika ismerete és a felmérés kezdetei.
Utasítás
1. Jelöljük az f(x) függvény periódusát K számmal. A feladatunk az, hogy megtaláljuk K-nek ezt az értékét. Ehhez képzeljük el, hogy az f(x) függvény egy periodikus függvény definícióját felhasználva egyenlő f-vel. (x+K)=f(x).
2. Megoldjuk a kapott egyenletet az ismeretlen K-re, mintha x konstans lenne. A K értékétől függően több lehetőség is lesz.
3. Ha K>0, akkor ez a függvény periódusa Ha K=0, akkor az f(x) függvény nem periodikus Ha az f(x+K)=f(x) egyenlet megoldása nem létezik ha bármely K nem egyenlő nullával, akkor egy ilyen függvényt aperiodikusnak nevezünk, és nincs is periódusa.
Kapcsolódó videók
Jegyzet!
Minden trigonometrikus függvény periodikus, és minden 2-nél nagyobb fokú polinomiális függvény aperiodikus.
Hasznos tanács
Egy 2 periodikus függvényből álló függvény periódusa e függvények periódusainak legkisebb közös többszöröse.
Ha a kör pontjait tekintjük, akkor az x, x + 2π, x + 4π stb. egyeznek egymással. Tehát a trigonometrikus funkciókat egyenes vonalon időszakosan ismételje meg jelentésüket. Ha az időszak híres funkciókat, erre az időszakra fel lehet építeni egy függvényt, és meg lehet ismételni másokon.
Utasítás
1. A periódus egy T szám, amelyben f(x) = f(x+T). A periódus megtalálásához oldja meg a megfelelő egyenletet x és x + T behelyettesítésével argumentumként. Ebben az esetben a függvényekhez jobban ismert periódusokat használunk. A szinuszos és koszinuszfüggvényeknél a periódus 2π, az érintőnél és a kotangensnél pedig π.
2. Legyen adott az f(x) = sin^2(10x) függvény. Tekintsük a sin^2(10x) = sin^2(10(x+T) kifejezést). Használja a képletet a fok csökkentésére: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Ezután kapjon 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) vagy cos 20x = cos (20x+20T). Tudva, hogy a koszinusz periódusa 2π, 20T = 2π. Ezért T = π/10. T a minimális helyes periódus, és a függvény megismétlődik 2T és 3T után, valamint a másik irányban a tengely mentén: -T, -2T stb.
Hasznos tanács
Képletekkel csökkentheti a függvény mértékét. Ha jobban ismeri egyes függvények periódusait, próbálja meg a meglévő függvényt a híresekre redukálni.
Olyan függvényt hívunk meg, amelynek értékei egy bizonyos szám után ismétlődnek időszakos. Vagyis nem számít, hogy hány pontot ad hozzá x értékéhez, a függvény ugyanazzal a számmal lesz egyenlő. A periodikus függvények keresése a legkisebb periódus keresésével kezdődik, nehogy felesleges munkát végezzünk: elég egy periódussal megegyező szegmens összes tulajdonságát megvizsgálni.
Utasítás
1. Használd a definíciót időszakos funkciókat. Minden x érték benne van funkciókat cserélje ki (x+T)-re, ahol T a minimális periódus funkciókat. Oldja meg a kapott egyenletet úgy, hogy T ismeretlen számnak tekinti!
2. Ennek eredményeként kapsz némi identitást, próbáld megtalálni belőle a legkisebb időszakot. Tegyük fel, hogy ha megkapjuk a sin (2T) = 0,5 egyenlőséget, akkor 2T = P / 6, azaz T = P / 12.
3. Ha az egyenlőség csak T=0-nál bizonyul helyesnek, vagy a T paraméter x-től függ (mondjuk az egyenlet 2T=x), akkor következtessen arra, hogy a függvény nem periodikus.
4. A minimális időtartam megtalálása érdekében funkciókat csak egy trigonometrikus kifejezést tartalmaz, használja a szabályt. Ha a kifejezés sin vagy cos-t tartalmaz, akkor a for periódus funkciókat 2P lesz, és a tg, ctg függvényekhez állítsa be a minimális P periódust. Felhívjuk figyelmét, hogy a függvényt nem szabad bármilyen hatványra emelni, hanem az előjel alatti változót. funkciókat nem szabad 1-től jó számmal szorozni.
5. Ha cos vagy sin belül funkciókat egyenletes teljesítményre építve csökkentse a 2P periódust felére. Grafikusan így láthatja: grafikon funkciókat, amely az x tengely alatt található, szimmetrikusan tükröződik felfelé, következésképpen a függvény kétszer olyan gyakran ismétlődik.
6. Megtalálni a minimális időtartamot funkciókat annak ellenére, hogy az x szöget megszorozzuk valamilyen számmal, a következőképpen járjunk el: határozzuk meg ennek jellemző periódusát funkciókat(mondjuk, mert ez 2P). Ezután ossza el a változó előtti tényezővel. Ez lesz a kívánt minimális időtartam. A periódus csökkenése tökéletesen látható a grafikonon: pontosan annyiszor zsugorodik, ahányszor megszorozzuk a trigonometrikus előjel alatti szöget. funkciókat .
7. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ha x előtt egy 1-nél kisebb törtszám áll, a periódus növekszik, vagyis a grafikon éppen ellenkezőleg, megnyúlik.
8. Ha a kifejezésnek két periodikusa van funkciókat egymással szorozva keresse meg mindegyikhez külön a minimális időtartamot. Ezt követően határozza meg számukra a minimális általános szorzót. Tegyük fel, hogy a P és a 2/3P periódusokra a minimális közös tényező 3P lesz (ezt maradék nélkül elosztjuk P-vel és 2/3P-vel is).
A munkavállalók átlagbérének kiszámítása szükséges az átmeneti rokkantsági ellátások, az üzleti utak fizetésének kiszámításához. A szakértők átlagbérét a ténylegesen ledolgozott órák alapján számítják ki, és a létszámtáblázatban meghatározott fizetéstől, juttatásoktól és prémiumoktól függ.
Szükséged lesz
- - létszám;
- - számológép;
- - jobb;
- - gyártási naptár;
- - munkaidő-nyilvántartás vagy elvégzett munka.
Utasítás
1. A munkavállaló átlagos fizetésének kiszámításához először határozza meg azt az időszakot, amelyre ki kell számítani. A szokásos módon ez az időszak 12 naptári hónap. De ha egy alkalmazott egy évnél rövidebb ideig, például 10 hónapig dolgozik a vállalkozásnál, akkor meg kell találnia az átlagos keresetet arra az időre, amíg a szakértő a munkakörét látja el.
2. Most határozza meg a ténylegesen felhalmozott bérek összegét a számlázási időszakban. Ehhez használja a bérjegyzéket, amely szerint a munkavállaló megkapta az összes neki járó kifizetést. Ha ezeknek a dokumentumoknak a felhasználása elképzelhetetlen, akkor szorozza meg a havi fizetést, prémiumokat, pótlékokat 12-vel (vagy a vállalkozásnál töltött hónapok számával, ha egy évnél rövidebb ideje van bejegyezve a cégnél).
3. Számolja ki átlagos napi keresetét. Ehhez el kell osztani a számlázási időszak bérének összegét egy hónap átlagos napjaival (jelenleg 29,4). A kapott összeget osszuk el 12-vel.
4. Ezt követően határozza meg a ténylegesen ledolgozott órák számát. Ehhez használja az óramutatót. Ezt a dokumentumot egy időmérőnek, személyzeti tisztnek vagy más olyan alkalmazottnak kell kitöltenie, aki ezt a munkaköri kötelezettségei között meghatározta.
5. Szorozzuk meg a ténylegesen ledolgozott órák számát a napi átlagkeresettel. A kapott összeg egy szakértő évi átlagkeresete. Az eredményt elosztjuk 12-vel. Ez lesz az átlagos havi jövedelem. Ezt a számítást azokra az alkalmazottakra használják, akiknek a fizetése a ténylegesen ledolgozott óráktól függ.
6. Ha a munkavállalónak darabbért adnak, akkor szorozza meg a (a létszámtáblázatban feltüntetett és a munkaszerződésben meghatározott) tarifát az előállított termékek számával (használja az elvégzett munkát vagy más olyan dokumentumot, amelyben ez rögzítésre kerül).
Jegyzet!
Ne keverje össze az y=cos(x) és y=sin(x) függvényeket – azonos periódusú, ezek a függvények eltérően jelennek meg.
Hasznos tanács
A nagyobb áttekinthetőség érdekében rajzoljon egy trigonometrikus függvényt, amelyre a minimális helyes periódus számít.
Utasítás
Kérjük, vegye figyelembe, hogy időszak Az ic-nek nem mindig van a legkisebb pozitívuma időszak. Tehát például mint időszak de állandó funkciókat teljesen tetszőleges szám lehet, és lehet, hogy nem a legkisebb pozitív időszak a. Vannak instabilok is időszak ical funkciókat, amelyeknek nincs a legkisebb pozitívuma időszak a. Azonban a legtöbb esetben a legkisebb pozitívum időszak nál nél időszak ic még mindig ott van.
Legkevésbé időszak a szinusz 2?. Tekintse meg ezt egy példával funkciókat y=sin(x). Legyen T tetszőleges időszak a szinusz ohm, ebben az esetben sin(a+T)=sin(a) bármely a értékre. Ha a=?/2, akkor kiderül, hogy sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Azonban sin(x)=1 csak akkor, ha x=?/2+2?n, ahol n egész szám. Ebből következik, hogy T=2?n, és így a legkisebb pozitív érték 2?n 2?.
Legkevésbé pozitív időszak koszinusz is egyenlő 2?-vel. Tekintsük ennek bizonyítását egy példával funkciókat y=cos(x). Ha T önkényes időszak koszinusz, akkor cos(a+T)=cos(a). Abban az esetben, ha a=0, cos(T)=cos(0)=1. Erre tekintettel T legkisebb pozitív értéke, amelynél cos(x)=1, 2?.
Tekintettel arra, hogy 2? - időszak szinusz és koszinusz, ugyanaz lesz időszak ohm a kotangens, valamint az érintő, de nem a minimum, mivel, mint , a legkisebb pozitív időszak az érintő és a kotangens egyenlő?. Ezt a következők figyelembevételével ellenőrizheti: a trigonometrikus kör (x) és (x +?) pontjainak átlósan ellentétes helye van. Az (x) pont és az (x + 2?) pont távolsága a kör felének felel meg. Az érintő és a kotangens definíciója szerint tg(x+?)=tgx, és ctg(x+?)=ctgx, ami azt jelenti, hogy a legkevésbé pozitív időszak kotangens és ?.
jegyzet
Ne keverje össze az y=cos(x) és y=sin(x) függvényeket – azonos periódus esetén ezek a függvények eltérően jelennek meg.
Hasznos tanács
A nagyobb áttekinthetőség érdekében rajzoljon egy trigonometrikus függvényt, amelyre a legkisebb pozitív periódus számít.
Források:
- Matematika, iskolai matematika, felsőfokú matematika kézikönyve
A periodikus függvény olyan függvény, amely bizonyos nem nulla periódus után megismétli az értékeit. A függvény periódusa egy olyan szám, amelynek a függvény argumentumához való hozzáadása nem változtatja meg a függvény értékét.
Szükséged lesz
- Az elemi matematika ismerete és az elemzés kezdetei.
Utasítás
Kapcsolódó videók
jegyzet
Minden trigonometrikus függvény periodikus, és minden 2-nél nagyobb fokú polinomiális függvény aperiodikus.
Hasznos tanács
Egy két periodikus függvényből álló függvény periódusa e függvények periódusainak legkisebb közös többszöröse.
Ha a kör pontjait tekintjük, akkor az x, x + 2π, x + 4π stb. egyeznek egymással. Tehát a trigonometrikus funkciókat egyenes vonalon időszakosan ismételje meg jelentésüket. Ha ismert az időszak funkciókat, építhet függvényt erre az időszakra, és megismételheti másokon.
Utasítás
Legyen adott az f(x) = sin^2(10x) függvény. Tekintsük sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Használja a redukciós képletet: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Ezután kapjon 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) vagy cos 20x = cos (20x+20T). Tudva, hogy a koszinusz periódusa 2π, 20T = 2π. Ezért T = π/10. T a legkisebb periódus, és a függvény megismétlődik 2T-n és 3T-n keresztül, valamint a tengely mentén oldalra: -T, -2T stb.
Hasznos tanács
Képletekkel csökkentheti a függvény mértékét. Ha már ismeri valamelyik függvény periódusát, próbálja meg a meglévő függvényt az ismertekre redukálni.
Olyan függvényt hívunk meg, amelynek értékei egy bizonyos szám után ismétlődnek időszakos. Vagyis nem számít, hogy hány pontot ad hozzá x értékéhez, a függvény ugyanazzal a számmal lesz egyenlő. A periódusos függvények bármilyen tanulmányozása a legkisebb periódus keresésével kezdődik, hogy ne végezzünk többletmunkát: elegendő egy periódussal megegyező szegmens összes tulajdonságát tanulmányozni.
Utasítás
Ennek eredményeként kap egy bizonyos identitást, próbálja meg megtalálni belőle a minimális időtartamot. Például, ha megkapja a sin (2T) = 0,5 egyenlőséget, akkor 2T = P / 6, azaz T = P / 12.
Ha az egyenlőség csak T = 0 esetén igaz, vagy a T paraméter x-től függ (például a 2T = x egyenlőség kiderült), akkor ellenőrizze, hogy a függvény nem periodikus.
Megtalálni a legrövidebb időszakot funkciókat csak egy trigonometrikus kifejezést tartalmaz, használja a . Ha a kifejezés sin vagy cos-t tartalmaz, akkor a for periódus funkciókat 2P lesz, és a tg, ctg függvényekhez állítsa be a legkisebb P periódust. Felhívjuk figyelmét, hogy a függvényt nem szabad semmilyen hatványra emelni, és a változó az előjel alatt van funkciókat nem szorozható 1-től eltérő számmal.
Ha cos vagy sin belül funkciókat egyenlő hatványra emelve felezzük meg a 2P periódusát. Grafikailag a következőképpen láthatod: funkciókat, az x tengely alatt, szimmetrikusan tükröződik felfelé, így a függvény kétszer olyan gyakran ismétlődik.
Megtalálni a legkisebb időszakot funkciókat tekintettel arra, hogy az x szöget megszorozzuk valamilyen számmal, a következőképpen járjunk el: határozzuk meg ennek standard periódusát funkciókat(például cos esetében ez 2P). Ezután ossza fel a változó előtt. Ez lesz a szükséges minimális időtartam. A periódus csökkenése jól látható a grafikonon: pontosan annyiszoros, ahányszor a trigonometrikus előjel alatti szöget megszorozzuk funkciókat.
Ha a kifejezésnek két periodikusa van funkciókat egymással szorozva keressük meg mindegyikhez külön a legkisebb periódust. Ezután határozza meg a számukra legkevésbé gyakori tényezőt. Például a P és a 2/3P periódusoknál a legkisebb közös tényező a 3P lesz (a P és a 2/3P esetében sem marad maradék).
A munkavállalók átlagkeresetének kiszámítása szükséges az átmeneti rokkantsági ellátások kiszámításához, az üzleti utak kifizetéséhez. A szakemberek átlagbérét a ténylegesen ledolgozott órák alapján számítják ki, és a létszámtáblázatban feltüntetett fizetéstől, juttatásoktól, prémiumoktól függ.
Kérésére!
7. Keresse meg a függvény legkisebb pozitív periódusát: y=2cos(0,2x+1).
Alkalmazzuk a szabályt: ha az f függvény periodikus és T periódusa van, akkor az y=Af(kx+b) függvény, ahol A, k és b állandó, és k≠0, szintén periodikus, ráadásul periódusa T o = T: |k|. Van T \u003d 2π - ez a koszinuszfüggvény legkisebb pozitív periódusa, k \u003d 0,2. Azt találjuk, hogy T o = 2π:0,2=20π:2=10π.
9. A négyzet csúcsaitól egyenlő távolságra lévő pont és a sík távolsága 9 dm. Határozza meg a távolságot ettől a ponttól a négyzet oldalaiig, ha a négyzet oldala 8 hüvelyk.
10. Oldja meg az egyenletet: 10=|5x+5x 2 |.
Mivel |10|=10 és |-10|=10, 2 eset lehetséges: 1) 5x 2 +5x=10 és 2) 5x 2 +5x=-10. Osszuk el az egyenlőségeket 5-tel, és oldjuk meg a kapott másodfokú egyenleteket:
1) x 2 +x-2=0, gyökök a Vieta-tétel szerint x 1 \u003d -2, x 2 = 1. 2) x2 +x+2=0. A diszkrimináns negatív – nincsenek gyökerei.
11. Oldja meg az egyenletet:
Az alap logaritmikus azonosságot alkalmazzuk az egyenlőség jobb oldalára:
Az egyenlőséget kapjuk:
Megoldjuk az x 2 -3x-4=0 másodfokú egyenletet, és megkeressük a gyököket: x 1 \u003d -1, x 2 = 4.
13. Oldja meg az egyenletet, és keresse meg gyökeinek összegét a megadott intervallumon.
22. Oldja meg az egyenlőtlenséget:
Ekkor az egyenlőtlenség a következő alakot ölti: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.
24. Egyenes y= a x+b merőleges az y=2x+3 egyenesre és átmegy a C(4; 5) ponton. Írd fel az egyenletét. Közvetleny=k 1 x+b 1 és y=k 2 x+b 2 egymásra merőlegesek, ha a k 1 ∙k 2 =-1 feltétel teljesül. Ebből következik tehát a 2=-1. A kívánt sor így fog kinézni: y=(-1/2) x+b. A b if értékét az egyenesünk egyenletében fogjuk megtalálni ahelyett xés nál nél Helyettesítsük be a C pont koordinátáit.
5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Ezután megkapjuk az egyenletet: y \u003d (-1/2) x + 7.
25. Négy A, B, C és D halász büszkélkedett a fogásával:
1. D több C-t fogott;
2. A és B fogásainak összege megegyezik C és D fogásának összegével;
3. A és D együtt kevesebbet fogott, mint B és C együtt. Jegyezze fel a halászok fogását csökkenő sorrendben.
Nekünk van: 1)
D>C; 2)
A+B=C+D; 3)
A+D