És fontolja meg a téma fontos gyakorlati alkalmazását is: kompatibilitási lineáris egyenletrendszer tanulmányozása.

Mi a mátrix rangja?

A cikk humoros epigráfiája sok igazságot tartalmaz. Magát a "rang" szót általában valamilyen hierarchiához, leggyakrabban a karrierlétrához kötik. Minél több tudással, tapasztalattal, képességekkel, kapcsolatokkal stb. rendelkezik az ember. - minél magasabb pozíciója és lehetőségei köre. Ifjúsági értelemben a rang a „keménység” általános fokára vonatkozik.

Matematikus testvéreink pedig ugyanezen elvek szerint élnek. Vegyünk egy sétát néhány önkényes nulla mátrixok:

Gondoljunk bele, ha a mátrixban csak nullák, akkor milyen rangról beszélhetünk? Mindenki ismeri a „teljes nulla” informális kifejezést. A mátrix társadalomban minden pontosan ugyanaz:

Nulla mátrix rangbármely méret nulla.

jegyzet : a nulla mátrixot a görög "théta" betű jelöli

A mátrix rangjának jobb megértése érdekében a továbbiakban az anyagokra fogok támaszkodni analitikus geometria. Tekintsük nullát vektor háromdimenziós terünknek, amely nem határoz meg egy bizonyos irányt, és építésre használhatatlan affin alapon. Algebrai szempontból egy adott vektor koordinátáit írjuk be mátrix"egyenként" és logikus (a megadott geometriai értelemben) Tegyük fel, hogy ennek a mátrixnak a rangja nulla.

Most nézzünk meg néhányat nem nulla oszlopvektorokés sorvektorok:


Minden példányban van legalább egy nem null elem, és ez már valami!

Bármely nem nulla sorvektor (oszlopvektor) rangja eggyel egyenlő

És általában véve - ha mátrixban tetszőleges méretek legalább egy nem nulla eleme van, akkor a rangja nem kevesebb egységek.

Az algebrai sor- és oszlopvektorok bizonyos mértékig absztraktak, ezért térjünk vissza a geometriai asszociációra. nem nulla vektor jól meghatározott irányt határoz meg a térben és alkalmas a konstrukcióra alapján, így a mátrix rangját eggyel egyenlőnek tételezzük fel.

Elméleti háttér : a lineáris algebrában a vektor egy vektortér (8 axiómán keresztül meghatározott) eleme, amely különösen lehet valós számok rendezett sora (vagy oszlopa) valós számmal való összeadás és szorzás művelettel. nekik. A vektorokkal kapcsolatos további információkért lásd a cikket Lineáris transzformációk.

lineárisan függő(egymáson keresztül kifejezve). Geometriai szempontból a második sor a kollineáris vektor koordinátáit tartalmazza , ami nem vitte előre az ügyet az építésben háromdimenziós alapon, ami ebben az értelemben felesleges. Így ennek a mátrixnak a rangja is egyenlő eggyel.

Átírjuk a vektorok koordinátáit oszlopokba ( transzponálja a mátrixot):

Mi változott a rangot tekintve? Semmi. Az oszlopok arányosak, ami azt jelenti, hogy a rang egyenlő eggyel. Egyébként vegye figyelembe, hogy mindhárom sor arányos is. A koordinátákkal azonosíthatók három a sík kollineáris vektorai, amelyek közül csak egy"lapos" alap felépítéséhez hasznos. És ez teljes összhangban van geometriai rangérzetünkkel.

A fenti példából egy fontos megállapítás következik:

A mátrix sorok szerinti rangja megegyezik az oszlopok szerinti mátrix rangjával. Ezt már említettem egy kicsit a hatékony leckében a determináns kiszámításának módszerei.

jegyzet : a sorok lineáris függése az oszlopok lineáris függéséhez vezet (és fordítva). De az időmegtakarítás érdekében és megszokásból szinte mindig a húrok lineáris függőségéről fogok beszélni.

Folytassuk szeretett házi kedvencünk kiképzését. Adja hozzá egy másik kollineáris vektor koordinátáit a harmadik sorban lévő mátrixhoz :

Segített nekünk a háromdimenziós alap felépítésében? Természetesen nem. Mindhárom vektor ugyanazon az úton jár oda-vissza, és a mátrix rangja egy. Tetszőleges számú kollineáris vektort vehetsz fel, mondjuk 100-at, a koordinátáikat egy 100x3-as mátrixba helyezheted, és egy ilyen felhőkarcoló rangja továbbra is egy marad.

Ismerkedjünk meg azzal a mátrixszal, amelynek sorai lineárisan független. Egy nem-kollineáris vektorpár alkalmas háromdimenziós bázis felépítésére. Ennek a mátrixnak a rangja kettő.

Mi a mátrix rangja? Úgy tűnik, hogy a vonalak nem arányosak... szóval elméletileg három. Ennek a mátrixnak a rangja azonban kettővel is egyenlő. Az első két sort hozzáadtam, és az eredményt az aljára írtam, i.e. lineárisan kifejezve harmadik sor az első kettőn keresztül. Geometriailag a mátrix sorai három koordinátájának felelnek meg koplanáris vektorok, és e hármas között van egy pár nem kollineáris elvtárs.

Amint látod lineáris függőség a figyelembe vett mátrixban nem nyilvánvaló, és ma csak megtanuljuk, hogyan vihetjük „tiszta vízbe”.

Szerintem sokan kitalálják, mi a mátrix rangja!

Tekintsünk egy mátrixot, amelynek sorai lineárisan független. Vektorok alkotnak affin alapon, és ennek a mátrixnak a rangja három.

Mint tudják, a háromdimenziós tér bármely negyedik, ötödik, tizedik vektorát lineárisan fejezzük ki bázisvektorokkal. Ezért ha tetszőleges számú sort adunk a mátrixhoz, akkor annak rangja akkor is három lesz.

Hasonló érvelés végezhető nagyobb méretű mátrixoknál is (egyértelműen, már geometriai jelentés nélkül).

Meghatározás : mátrix rang a lineárisan független sorok maximális száma. Vagy: egy mátrix rangja a lineárisan független oszlopok maximális száma. Igen, mindig egyeznek.

A fentiekből egy fontos gyakorlati útmutató következik: egy mátrix rangja nem haladja meg annak minimális méretét. Például a mátrixban négy sor és öt oszlop. A minimális méret négy, ezért ennek a mátrixnak a rangja biztosan nem haladja meg a 4-et.

Jelölés: a világelméletben és a gyakorlatban nincs általánosan elfogadott szabvány a mátrix rangjának kijelölésére, a legelterjedtebb megtalálható: - ahogy mondani szokás, az angol mást ír, a német mást. Ezért az amerikai és orosz pokolról szóló ismert anekdota alapján jelöljük meg a mátrix rangját anyanyelvi szóval. Például: . És ha a mátrix "névtelen", amiből sok van, akkor egyszerűen írhat .

Hogyan lehet megtalálni a mátrix rangját kiskorúak használatával?

Ha nagymamánknál volt egy ötödik oszlop a mátrixban, akkor újabb 4. rendű minort (“kék”, “málna” + 5. oszlop) kellett volna számolni.

Következtetés: a nullától eltérő moll maximális sorrendje három, tehát .

Talán nem mindenki értette meg teljesen ezt a mondatot: a 4. rendű moll egyenlő nullával, de a 3. rendű mollok között volt egy nem nulla - ezért a maximális sorrend nem nulla kisebb és egyenlő hárommal.

Felmerül a kérdés, miért nem számítjuk ki azonnal a determinánst? Nos, először is, a legtöbb feladatban a mátrix nem négyzet alakú, másodszor, még ha nullától eltérő értéket is kap, akkor a feladat nagy valószínűséggel elutasításra kerül, mivel általában szabványos alulról felfelé irányuló megoldást jelent. És a vizsgált példában a 4. rend nulla determinánsa még azt is lehetővé teszi, hogy azt állítsuk, hogy a mátrix rangja csak négynél kisebb.

Be kell vallanom, hogy az elemzett problémát magam találtam ki, hogy jobban elmagyarázzam a kiskorúak határolásának módszerét. A gyakorlatban minden egyszerűbb:

2. példa

Keresse meg egy mátrix rangját a kiskorúak szegélyezésének módszerével

Megoldás és válasz a lecke végén.

Mikor fut a leggyorsabban az algoritmus? Térjünk vissza ugyanahhoz a négyszer négyes mátrixhoz . Nyilván a "jó" esetén lesz a legrövidebb a megoldás sarki kiskorúak:

És ha , akkor , különben - .

A gondolkodás egyáltalán nem hipotetikus – sok példa van arra, hogy az egész csak szögletes kiskorúakra korlátozódik.

Bizonyos esetekben azonban egy másik módszer hatékonyabb és előnyösebb:

Hogyan találjuk meg a mátrix rangját Gauss módszerrel?

Ez a rész azoknak az olvasóknak szól, akik már ismerik Gauss módszerés apránként a kezükbe került.

Technikai szempontból a módszer nem új:

1) elemi transzformációk segítségével lépésformára hozzuk a mátrixot;

2) a mátrix rangja megegyezik a sorok számával.

Ez teljesen egyértelmű a Gauss-módszer használata nem változtatja meg a mátrix rangját, és a lényeg itt rendkívül egyszerű: az algoritmus szerint az elemi átalakítások során minden szükségtelen arányos (lineárisan függő) vonalat detektálnak és eltávolítanak, aminek eredményeként „száraz maradék” marad - a maximális számú lineárisan független vonalak.

Alakítsuk át a régi ismert mátrixot három kollineáris vektor koordinátáival:

(1) Az első sort hozzáadtuk a második sorhoz, megszorozva -2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz.

(2) A nulla vonalakat eltávolítják.

Tehát egy sor maradt, tehát . Mondanom sem kell, hogy ez sokkal gyorsabb, mint kilenc nulla 2. rendű mollot kiszámítani, és csak azután levonni a következtetést.

Emlékeztetlek erre önmagában algebrai mátrix semmit nem lehet megváltoztatni, és az átalakításokat csak a rang kiderítése céljából végezzük! Apropó, időzzünk még egyszer a kérdésnél, miért ne? Forrás Mátrix olyan információt hordoz, amely alapvetően különbözik a mátrix- és sorinformációtól. Egyes matematikai modellekben (túlzás nélkül) egy szám különbsége létkérdés lehet. ... Eszembe jutottak az általános és középosztályos iskolai matematikatanárok, akik a legkisebb pontatlanság vagy az algoritmustól való eltérés miatt kíméletlenül levágták az osztályzatot 1-2 ponttal. És rettenetesen kiábrándító volt, amikor a garantáltnak tűnő „ötös” helyett „jó” vagy még rosszabb lett. A megértés sokkal később jött – hogyan másként bízhatna meg egy embert műholdakkal, nukleáris robbanófejekkel és erőművekkel? De ne aggódj, én nem dolgozom ezeken a területeken =)

Térjünk át az értelmesebb feladatokra, ahol többek között fontos számítási technikákkal ismerkedünk meg Gauss módszer:

3. példa

Keresse meg a mátrix rangját elemi transzformációk segítségével

Megoldás: adott egy négyszer-öt mátrix, ami azt jelenti, hogy a rangja biztosan nem több 4-nél.

Az első oszlopban nincs 1 vagy -1, ezért további lépésekre van szükség legalább egy egység megszerzéséhez. Az oldal teljes fennállása során többször is feltették nekem a kérdést: „Lehetőség van az oszlopok átrendezésére az elemi átalakítások során?”. Itt - átrendeztük az első vagy a második oszlopot, és minden rendben van! A legtöbb feladatban ahol Gauss módszer, az oszlopok valóban átrendezhetők. DE NE. És a lényeg még csak nem is a változókkal való esetleges összetévesztés, hanem az, hogy a felsőbb matematika oktatásának klasszikus kurzusában ezt a műveletet hagyományosan nem veszik figyelembe, ezért egy ilyen szűkszavúságot NAGYON ferdén fognak nézni (vagy akár mindent újra kell csinálni) .

A második pont a számokra vonatkozik. A döntés során célszerű a következő ökölszabályt betartani: az elemi transzformációk lehetőség szerint csökkentsék a mátrix számait. Valójában sokkal könnyebb egy-kettő-hárommal dolgozni, mint például a 23-mal, 45-tel és 97-tel. Az első művelet nem csak az első oszlopban lévő egység megszerzésére irányul, hanem a számok kiiktatására is. 7 és 11.

Először a teljes megoldás, majd a megjegyzések:

(1) Az első sort hozzáadtuk a második sorhoz, megszorozva -2-vel. Az első sort hozzáadtuk a harmadikhoz, megszorozva -3-mal. És a kupachoz: az 1. sort -1-gyel szorozva a 4. sorhoz adtuk.

(2) Az utolsó három sor arányos. A 3. és 4. sor törölve, a második sor az első helyre került.

(3) Az első sort hozzáadtuk a második sorhoz, megszorozva -3-mal.

A lépcsős formára redukált mátrixnak két sora van.

Válasz:

Most rajtad a sor, hogy megkínozza a négyszer négyes mátrixot:

4. példa

Keresse meg a mátrix rangját a Gauss-módszerrel

emlékeztetlek erre Gauss módszer nem utal egyértelmű merevségre, és az Ön megoldása nagy valószínűséggel eltér az én megoldásomtól. A feladat rövid mintája az óra végén.

Milyen módszerrel lehet meghatározni egy mátrix rangját?

A gyakorlatban gyakran egyáltalán nem mondják el, hogy milyen módszerrel kell a rangot megtalálni. Ilyen helyzetben elemezni kell a feltételt - egyes mátrixok esetében ésszerűbb a megoldást kiskorúakon keresztül végrehajtani, míg mások számára sokkal jövedelmezőbb az elemi transzformációk alkalmazása:

5. példa

Keresse meg a mátrix rangját

Megoldás: az első út valahogy azonnal eltűnik =)

Kicsit feljebb azt tanácsoltam, hogy ne érintse meg a mátrix oszlopait, de ha nulla oszlop van, vagy arányos / egyező oszlopok, akkor is érdemes amputálni:

(1) Az ötödik oszlop nulla, eltávolítjuk a mátrixból. Így a mátrix rangja legfeljebb négy lehet. Az első sort megszorozzuk -1-gyel. Ez a Gauss-módszer másik jellegzetessége, amely a következő műveletet kellemes sétává teszi:

(2) A másodikkal kezdődően minden sorhoz hozzáadtuk az első sort.

(3) Az első sort -1-gyel szoroztuk, a harmadikat 2-vel, a negyediket 3-mal. A második sort -1-gyel szorozva hozzáadtuk az ötödik sorhoz.

(4) A harmadik sort hozzáadtuk az ötödikhez, megszorozva -2-vel.

(5) Az utolsó két sor arányos, az ötödiket töröljük.

Az eredmény 4 sor.

Válasz:

Szabványos ötemeletes épület önfeltáráshoz:

6. példa

Keresse meg a mátrix rangját

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

Meg kell jegyezni, hogy a "mátrix rang" kifejezés nem olyan gyakori a gyakorlatban, és a legtöbb probléma esetén megteheti nélküle. De van egy feladat, ahol a szóban forgó koncepció a főszereplő, és a cikk végén ezt a gyakorlati alkalmazást vizsgáljuk meg:

Hogyan vizsgálható a lineáris egyenletrendszer kompatibilitása?

Gyakran a megoldás mellett lineáris egyenletrendszerek a feltétel szerint először meg kell vizsgálni a kompatibilitást, vagyis annak bizonyítását, hogy egyáltalán létezik-e megoldás. Ebben az ellenőrzésben kulcsszerepet játszik Kronecker-Capelli tétel, amit a szükséges formában megfogalmazok:

Ha rang rendszermátrixok ranggal egyenlő kiterjesztett mátrix rendszer, akkor a rendszer konzisztens, és ha a megadott szám egybeesik az ismeretlenek számával, akkor a megoldás egyedi.

Így a rendszer kompatibilitási vizsgálatához ellenőrizni kell az egyenlőséget , ahol - rendszermátrix(emlékezz a leckében lévő terminológiára Gauss módszer), a - kiterjesztett mátrix rendszer(azaz mátrix együtthatókkal a változóknál + a szabad tagok oszlopa).

>>Matrix rang

Mátrix rang

Mátrix rangjának meghatározása

Tekintsünk egy téglalap alakú mátrixot. Ha ebben a mátrixban tetszőlegesen választjuk ki k vonalak és k oszlopokat, akkor a kijelölt sorok és oszlopok metszéspontjában lévő elemek k-edik rendű négyzetmátrixot alkotnak. Ennek a mátrixnak a determinánsát ún k-rendű kiskorú A mátrix. Nyilvánvaló, hogy az A mátrixnak tetszőleges sorrendje van 1-től a legkisebb m és n számokig. Az A mátrix összes nullától eltérő mollja között van legalább egy moll, amelynek a sorrendje a legnagyobb. Egy adott mátrix minorjainak nullától eltérő nagyságrendje közül a legnagyobbat nevezzük rang mátrixok. Ha az A mátrix rangja az r, akkor ez azt jelenti, hogy az A mátrixnak van egy nem nulla rendű mollja r, de minden kisebb rend nagyobb mint r, egyenlő nullával. Az A mátrix rangját r(A) jelöli. Nyilvánvaló, hogy a kapcsolat

Mátrix rangjának kiszámítása minorok segítségével

A mátrix rangját vagy a kiskorúak határolásával, vagy az elemi transzformációk módszerével találjuk meg. A mátrix rangjának első módszerrel történő kiszámításakor az alacsonyabb rendű kiskorúakról magasabb rendű kiskorúakra kell átmenni. Ha az A mátrix k-edrendű nullától eltérő kiskorú D-jét már találtuk, akkor csak a D mollmal határos (k + 1)-ed rendű mollokat kell számolni, azaz. kiskorúként tartalmazza. Ha mindegyik nulla, akkor a mátrix rangja az k.

1. példaKeresse meg a mátrix rangját a kiskorúak határolásának módszerével

.

Megoldás.I. rendű kiskorúakkal kezdjük, pl. Az A mátrix elemei közül válasszuk például az első sorban és az első oszlopban található М 1 = 1 mellékelemet. A második sor és a harmadik oszlop segítségével szegélyezve megkapjuk a nullától eltérő M 2 = minort. Most az M 2 -vel határos 3. rendű kiskorúakra térünk rá. Csak kettő van belőlük (egy második vagy egy negyedik oszlopot is hozzáadhat). Kiszámoljuk őket: = 0. Így az összes határos harmadrendű kiskorú nullával egyenlő. Az A mátrix rangja kettő.

Mátrix rangjának kiszámítása elemi transzformációk segítségével

AlapvetőA következő mátrix transzformációkat nevezzük:

1) bármely két sor (vagy oszlop) permutációja,

2) egy sor (vagy oszlop) szorzása nullától eltérő számmal,

3) egy sor (vagy oszlop) hozzáadása egy másik sorhoz (vagy oszlophoz), megszorozva valamilyen számmal.

A két mátrixot ún egyenértékű, ha az egyiket a másikból egy véges elemi transzformáció segítségével kapjuk meg.

Az ekvivalens mátrixok általában nem egyenlőek, de rangjaik egyenlőek. Ha az A és B mátrixok ekvivalensek, akkor ezt a következőképpen írjuk: A~b.

Kánonia mátrix olyan mátrix, amelynek a főátló elején egymás után több 1-es van (amelyek száma nulla is lehet), és az összes többi elem egyenlő nullával, pl.

.

A sorok és oszlopok elemi transzformációi segítségével bármely mátrix kanonikusra redukálható. A kanonikus mátrix rangja megegyezik a főátlóján lévő egyesek számával.

2. példaKeresse meg a mátrix rangját

A=

és hozd kanonikus formába.

Megoldás. Vonja ki az első sort a második sorból, és rendezze át ezeket a sorokat:

.

Most a második és a harmadik sorból vonja ki az elsőt, megszorozva 2-vel, illetve 5-tel:

;

vonja ki az elsőt a harmadik sorból; megkapjuk a mátrixot

B = ,

amely ekvivalens az A mátrixszal, mivel abból nyerjük elemi transzformációk véges halmazának felhasználásával. Nyilvánvaló, hogy a B mátrix rangja 2, tehát r(A)=2. A B mátrix könnyen redukálható kanonikusra. Az első, megfelelő számokkal megszorzott oszlopot kivonva az összes következőből, az első sor összes elemét nullára fordítjuk, kivéve az elsőt, és a többi sor elemei nem változnak. Ezután kivonva a második oszlopot, megszorozva a megfelelő számokkal az összes következőből, nullára fordítjuk a második sor összes elemét, kivéve a másodikat, és megkapjuk a kanonikus mátrixot:

.

Egy mátrix rangjának kiszámításához használhatja a kiskorúak határos módszerét ill Gauss módszer. Tekintsük a Gauss-módszert vagy az elemi transzformációk módszerét.

A mátrix rangja a kisebbek maximális sorrendje, amelyek között van legalább egy, amely nem egyenlő nullával.

Egy sorrendszer (oszlop) rangja a rendszer lineárisan független sorainak (oszlopainak) maximális száma.

Az algoritmus egy mátrix rangjának megtalálására kiskorúak szegélyezésének módszerével:

1. Kisebb M a sorrend nem nulla.
2. Ha kiskorúak kiskorúaknak szegélyeznek M (k+1)-edik sorrendben nem lehet összeállítani (azaz a mátrix tartalmaz k vonalak ill k oszlopok), akkor a mátrix rangja az k. Ha vannak határos kiskorúak, és mindegyik nulla, akkor a rang k. Ha a határos kiskorúak között van legalább olyan, ami nem egyenlő nullával, akkor megpróbálunk új moll összeállítását k+2 stb.

Elemezzük részletesebben az algoritmust. Először is vegyük figyelembe a mátrix elsőrendű minorjait (mátrixelemeit). A. Ha mindegyik nulla, akkor rangA = 0. Ha vannak elsőrendű minorok (mátrixelemek), amelyek nem egyenlők nullával M1 ≠ 0, majd a rangot rangA ≥ 1.

M1. Ha vannak ilyen kiskorúak, akkor másodrendű kiskorúak lesznek. Ha az összes kiskorú határos a kiskorúval M1 akkor egyenlők nullával rangA = 1. Ha van legalább egy másodrendű moll, amely nem egyenlő nullával M2 ≠ 0, majd a rangot rangA ≥ 2.

Ellenőrizze, hogy vannak-e határos kiskorúak a kiskorú számára M2. Ha vannak ilyen kiskorúak, akkor harmadrendű kiskorúak lesznek. Ha az összes kiskorú határos a kiskorúval M2 akkor egyenlők nullával rangA = 2. Ha van legalább egy harmadrendű moll, amely nem egyenlő nullával M3 ≠ 0, majd a rangot rangA ≥ 3.

Ellenőrizze, hogy vannak-e határos kiskorúak a kiskorú számára M3. Ha vannak ilyen kiskorúak, akkor negyedrendű kiskorúak lesznek. Ha az összes kiskorú határos a kiskorúval M3 akkor egyenlők nullával rangA = 3. Ha van legalább egy negyedrendű moll, amely nem egyenlő nullával M4 ≠ 0, majd a rangot hang A ≥ 4.

Annak ellenőrzése, hogy van-e határ menti kiskorú kiskorú számára M4, stb. Az algoritmus leáll, ha valamelyik szakaszban a határos mollok nullával egyenlőek, vagy a határos moll nem érhető el (nincs több sor vagy oszlop a mátrixban). A nem nulla moll sorrendje, amelyet összeállíthatunk, a mátrix rangja lesz.

Példa

Tekintsük ezt a módszert egy példával. Adott egy 4x5-ös mátrix:

Ennek a mátrixnak a rangja nem lehet nagyobb 4-nél. Ezen kívül ennek a mátrixnak vannak nem nulla elemei (elsőrendű minor), ami azt jelenti, hogy a mátrix rangja ≥ 1.

Csináljunk kisebbet 2 rendelés. Kezdjük a sarokból.

Mivel a determináns egyenlő nullával, egy másik mollot alkotunk.

Keresse meg ennek a minornak a meghatározóját.

Határozza meg az adott moll -2 . Tehát a mátrix rangja ≥ 2 .

Ha ez a moll egyenlő lenne 0-val, akkor további kiskorúak is hozzáadódnak. A végéig minden kiskorú az 1. és 2. sorba került volna. Ezután az 1. és 3. sorban, a 2. és 3. sorban, a 2. és 4. sorban, amíg nem 0-val egyenlő mollot találnak, például:

Ha minden másodrendű minor 0, akkor a mátrix rangja 1 lenne. A megoldást meg lehetne állítani.

3 rendelés.

A kiskorúról kiderült, hogy nem nulla. a mátrix rangját jelenti ≥ 3 .

Ha ez a kiskorú nulla lenne, akkor más kiskorúakat kellene alkotni. Például:

Ha minden harmadrendű minor 0, akkor a mátrix rangja 2 lenne. A megoldás megállítható.

Folytatjuk a mátrix rangjának keresését. Csináljunk kisebbet 4 rendelés.

Keressük meg ennek a kiskorúnak a meghatározóját.

A kiskorú meghatározója egyenlőnek bizonyult 0 . Építsünk még egy kisebbet.

Keressük meg ennek a kiskorúnak a meghatározóját.

A kiskorú egyenlőnek bizonyult 0 .

Építs kiskorút 5 a sorrend nem fog működni, ebben a mátrixban nincs erre vonatkozó sor. Az utolsó nem nulla kiskorú volt 3 sorrendben, tehát a mátrix rangja az 3 .

Alapvető A következő mátrix transzformációkat nevezzük:

1) bármely két sor (vagy oszlop) permutációja,

2) egy sor (vagy oszlop) szorzása nullától eltérő számmal,

3) egy sor (vagy oszlop) hozzáadása egy másik sorhoz (vagy oszlophoz), megszorozva valamilyen számmal.

A két mátrixot ún egyenértékű, ha az egyiket a másikból egy véges elemi transzformáció segítségével kapjuk meg.

Az ekvivalens mátrixok általában nem egyenlőek, de rangjaik egyenlőek. Ha az A és B mátrixok ekvivalensek, akkor ezt így írjuk: A ~ B.

Kánoni a mátrix olyan mátrix, amelynek a főátló elején egymás után több 1-es van (amelyek száma nulla is lehet), és az összes többi elem egyenlő nullával, pl.

A sorok és oszlopok elemi transzformációi segítségével bármely mátrix kanonikusra redukálható. A kanonikus mátrix rangja megegyezik a főátlóján lévő egyesek számával.

2. példa Keresse meg a mátrix rangját

A=

és hozd kanonikus formába.

Megoldás. Vonja ki az első sort a második sorból, és rendezze át ezeket a sorokat:

.

Most a második és a harmadik sorból vonja ki az elsőt, megszorozva 2-vel, illetve 5-tel:

;

vonja ki az elsőt a harmadik sorból; megkapjuk a mátrixot

B = ,

amely ekvivalens az A mátrixszal, mivel abból nyerjük elemi transzformációk véges halmazának felhasználásával. Nyilvánvaló, hogy a B mátrix rangja 2, tehát r(A)=2. A B mátrix könnyen redukálható kanonikusra. Az első, megfelelő számokkal megszorzott oszlopot kivonva az összes következőből, az első sor összes elemét nullára fordítjuk, kivéve az elsőt, és a többi sor elemei nem változnak. Ezután kivonva a második oszlopot, megszorozva a megfelelő számokkal az összes következőből, nullára fordítjuk a második sor összes elemét, kivéve a másodikat, és megkapjuk a kanonikus mátrixot:

.

Kronecker - Capelli tétel- a lineáris algebrai egyenletrendszer kompatibilitási kritériuma:

Ahhoz, hogy egy lineáris rendszer kompatibilis legyen, szükséges és elegendő, hogy ennek a rendszernek a kiterjesztett mátrixának rangja egyenlő legyen a főmátrix rangjával.

Bizonyíték (rendszerkompatibilitási feltételek)

Szükség

Hadd rendszer közös. Aztán vannak olyan számok, hogy . Ezért az oszlop a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. Abból, hogy egy mátrix rangja nem változik, ha egy sort (oszlopot) törölünk a sorai (oszlopai) rendszeréből, vagy egy olyan sort (oszlopot), amely más sorok (oszlopok) lineáris kombinációja, az következik, hogy .

Megfelelőség

Hadd . Vegyünk néhány alapvető minort a mátrixban. Mivel akkor ez lesz a mátrix alapmollja is. Ekkor az alaptétel szerint kiskorú, a mátrix utolsó oszlopa az alaposzlopok, azaz a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja lesz. Ezért a rendszer szabad tagjainak oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja.

Következmények

A fő változók száma rendszerek egyenlő a rendszer rangjával.

közös rendszer akkor lesz definiálva (megoldása egyedi), ha a rendszer rangja megegyezik az összes változó számával.

Homogén egyenletrendszer

Mondat15 . 2 Homogén egyenletrendszer

mindig együttműködő.

Bizonyíték. Erre a rendszerre a , , , számhalmaz a megoldás.

Ebben a részben a rendszer mátrixjelölését fogjuk használni: .

Mondat15 . 3 Egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak összege ennek a rendszernek a megoldása. A számmal szorzott megoldás is megoldás.

Bizonyíték. Legyen és szolgáljon a rendszer megoldásaiként. Aztán és . Hadd . Akkor

Mivel , akkor ez a megoldás.

Legyen tetszőleges szám, . Akkor

Mivel , akkor ez a megoldás.

Következmény15 . 1 Ha egy homogén lineáris egyenletrendszernek van nullától eltérő megoldása, akkor végtelen sok különböző megoldása van.

Valóban, ha egy nem nulla megoldást megszorozunk különböző számokkal, különböző megoldásokat kapunk.

Meghatározás15 . 5 Azt mondjuk, hogy a megoldások rendszerek formálódnak alapvető döntési rendszer ha az oszlopok lineárisan független rendszert alkotnak, és a rendszer bármely megoldása ezen oszlopok lineáris kombinációja.